Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
WYKŁAD 11.
PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
Przekształcenie liniowe
Definicja
Przyporządkowanie wektorom nRv
wektorów kRvf
,
vfvf :
jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy:
kkkk vfcvfcvfcvcvcf 221111
Postać przekształcenia liniowego
neee ,,, 21 - baza kanoniczna w nR
Przyjmujemy:
nn wefwefwef
,,, 2211
dla dowolnego wektora n
n Rvvvv
,,, 21
nn evevevv 2211
Stąd )(vf
nn efvefvefv 2211 =
nn wvwvwv 2211 =
nnnnnn wvwvwvwv 111111 ,, =
vwww n21 , gdzie ijw jest j- tą współrzędną wektora iw
Definicja
Macierz fA postaci fA
nwww 21 nazywamy
macierzą przekształcenia f
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Konstrukcja macierzy przekształcenia
f – przekształcenie liniowe
Krok 1. Znaleźć
nn wefwefwef
,,, 2211
Krok 2. Utworzyć macierz fA przez wpisanie jako jej kolejnych
kolumn wektorów nwww 21 tj.
nf wwwA 21
Wtedy vAvf f dla wektorów nRv
Podstawowe własności przekształcenia liniowego
Niech rząd rAf
Uwaga
Jeżeli f jest przekształceniem liniowym określonym na wektorach w nR o wartościach będących wektorami z mR , to macierz fA jest wymiaru mxn
Metoda eliminacji pozwala na doprowadzenie macierzy fA do postaci:
000
0
2
1
ra
a
a
operacje wierszowe nie zmieniają wartości wyznaczników, więc zachowują liniową niezależność
wektorów
Obliczamy
vAvf f
gdzie jako wektor
v przyjmujemy kolejno:
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
neee ,,, 21 nR
Stąd
1q
1
2
1
000
0e
a
a
a
r
0,,0,1 a
0,,0,,0 22 aq
0,,0,,0,0 33 aq
................................
0,0,,0,,0 rr aq
0,,0,0 - (m-r) wierszy
Każdy wektor )(vf jest kombinacją liniową wektorów
rqqq ,,, 21
Oznaczenia
Obraz mR przez przekształcenie f - rng(f) (zbiór wektorów postaci f(v) w Rn)
Baza w rng(f) (inaczej: wymiar algebraiczny) - dimrng(f)
Twierdzenie
rząd fA =dimrng(f)
Algorytm dla bazy w rng(f)
Krok 1. Wykonaj operacje wierszowe metody eliminacji na fA .
Zapisz współczynniki główne raaa ,,, 21 .
Utwórz wektory rqqq ,,, 21 .
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Krok 2. Utwórz macierz
rqqqB 21 .
Wykonaj w B operacje wierszowe odwrotne do operacji w Krok 1. I w odwrotnej kolejności.
Zapisz otrzymaną macierz C.
Wynik: Kolumny macierzy C tworzą bazę w rng(f)
Definicja
Jądrem przekształcenia liniowego Ker(f) nazywamy zbiór tych wszystkich wektorów z nR dla których
0)( vf
zatem
0)( vAfKerv f
Wektory z Ker(f) są rozwiązaniami układu równań
0vAf
Oznaczenie: dimKer(f) – wymiar algebraiczny Ker(f)
Twierdzenie
DimKer(f)=n-r=n-rząd fA
Twierdzenie
n=dimrgn(f)+dimKer(f)=rząd fA + dimKer(f)
Przykłady przekształceń liniowych
Rzutowanie wektora na podprzestrzeń rozpiętą na wektorach n
k Rvvv
,,, 21
kk vvvvvvvvvvf ,,,)( 2211
Np.: Dla ],0,1,0[],0,0,1[ 2211
evev Dowolny wektor ],,[ cbav
jest przekształcony
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
następująco:
]0,,[,,)( 212211 baebeaeeveevvf
Zatem:
]0,,[]),,([ bacbaf
f „wybiera” z
v pierwsze dwie współrzędne, rzutując na płaszczyznę ),( 21
eeP
Obrót w 2R o kąt
Przyporządkowanie:
21
2
21 ,],[ vvfRvvv
2
1
21cossin
sincos,
v
vvvf
Własności macierzy przekształcenia
A =
cossin
sincos
(a) det 1A
(b) Kolumny macierzy A są ortogonalne i mają długość 1
(c) Wiersze macierzy A są ortogonalne i mają długość 1
Definicja
Macierze spełniające (a)-(c) - macierze ortonormalne
Definicja
Macierze spełniające następujące własności nazywane są macierzami ortogonalnymi:
(a) det 1A lub det 1A
(b) Kolumny macierzy A są ortogonalne
(c) Wiersze macierzy A są ortogonalne
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Wartości Własne i Wektory Własne
Definicja
Endomorfizmem liniowym przestrzeni V nazywamy przekształcenie liniowe VVf : .
Uwaga
Macierz endomorfizmu jest macierzą kwadratową.
Definicja
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, wówczas:
Wektor V nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f, jeśli 0 oraz isnieje K takie, że f() =
.
Liczbę nazywamy wartością własną endomorfizmu f.
Wektor własny endomorfizmu (przekształcenia liniowego) =
wektor własny macierzy przekształcenia
Wartość własna endomorfizmu (przekształcenia liniowego) =
wartość własna macierzy przekształcenia
Przykład 1 33: RRf , zxzyxzyxzyxf 27 ,3 ,22,,
Wówczas f((1, 1, 1)) = (5, 5, 5) = 5(1, 1, 1)
Wartość własna: 5
Wektor własny: (1, 1, 1)
Przykład 2
Niech VVf : będzie jednokładnością o skali , tzn.
fV
Wówczas każdy wektor V ( 0) jest wektorem własnym tego przekształcenia o wartości własnej .
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Przykład 3
Niech 22: RRf będzie obrotem o kąt 2
, czyli
xyyxf ,,
To przekształcenie nie ma żadnych wartości własnych,
tzn. żaden wektor nie przechodzi na swoją wielokrotność.
Znajdowanie wektorów i wartości własnych
Niech
f – przekształcenie liniowe o macierzy
nnn
n
aa
aa
A
...
.........
...
1
111
nx
x
X ...
1
- przedstawia w zapisie macierzowym wektor
nxxx ,...,1
ny
y
Y ...
1
przedstawia w zapisie macierzowym wektor nyyy ,...,1
będący obrazem wektora x .
PROBLEM
Znaleźć niezerowy wektor x , którego obraz
y jest jego liniową wielokrotnością .
Mamy więc rozwiązać równanie macierzowe:
AX = X,
czyli
0 XIA lub
0
...
0
0
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
Niezerowe rozwiązanie równania 0 XIA , istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz IA jest
nieosobliwa, czyli gdy jej wyznacznik jest równy 0.
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Definicja
Równanie 0
...
............
...
...
det
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
nazywamy
równaniem charakterystycznym macierzy A.
Twierdzenie
Pierwiastki równania charakterystycznego są wartościami własnymi macierzy A.
Przykład 1
Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy
53
35fA
Z równania charakterystycznego
082
10910259553
35222
Wartości własne macierzy: 1=2, 2=8.
Znajdowanie wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym:
dla każdej wartości własnej rozwiązujemy równanie
0 XIA
Dla 1=2 otrzymujemy:
0
0
253
325
y
x, czyli
0
0
33
33
y
x
Rozwiązując układ równań:
033
033
yx
yx
otrzymujemy np. wektor
1
11X .
Wszystkie wektory równoległe do tego wektora są wektorami własnymi. Wybieramy po prostu
reprezentanta.
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Dla 1=8 otrzymujemy układ:
033
033
yx
yx
co daje np. wektor
1
12X .
Przykład 2
Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy
20
52fA
Z równania charakterystycznego
22202
20
52
otrzymujemy jedną podwójną wartość własną tej macierzy:
1=2=2.
Znajdujemy wektory własne odpowiadające tej wartości własnej:
Aby znaleźć pierwszą wartość własną rozwiązujemy równanie XIA 0
Załóżmy, że znaleźliśmy wartość własną X1.
Aby znaleźć drugą wartość własną rozwiązujemy równanie
XIA X1
Czyli dla 1=2=2:
0
0
220
522
y
x, stąd
0
0
00
50
y
x
Rozwiązując układ równań:
00
05y
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
otrzymujemy np. wektor
0
11X .
Teraz musimy rozwiązać równanie:
0
1
220
522
y
x, stąd
0
1
00
50
y
x
Rozwiązując układ równań:
otrzymujemy np. wektor
51
12X .
Przykład 3
Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy
776
874
431
fA
Z równania charakterystycznego
031
35712156)7(24
112144771
776
474
431
2
23
Wartość własna podwójna: 1=2= -1 oraz pojedyncza: 3= 3
Znajdujemy wektory własne odpowiadające wartości własnej 1=2= -1:
00
15y
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
0
0
0
1776
8174
4311
z
y
x
stąd
0
0
0
876
864
432
z
y
x
Po eliminacji:
0
0
0
000
420
432
z
y
x
Rozwiązując układ równań:
dowolne
2
00
042
0432
z
zy
zx
zy
zyx
otrzymujemy np. wektor
1
2
1
1X - wektor własny
Teraz musimy rozwiązać równanie:
1
2
1
1776
8174
4311
z
y
x
stąd
1
2
1
876
864
432
z
y
x
Po eliminacji:
2
0
1
000
420
432
z
y
x
Rozwiązując układ równań:
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
dowolne
21
1
00
242
1432
z
zy
zx
zy
zyx
otrzymujemy np. wektor
1
1
0
2X - wektor własny
Pozostało jeszcze znaleźć wektory własne odpowiadające wartości własnej 3=3:
0
0
0
3776
8374
4331
z
y
x
stąd
0
0
0
476
8104
432
z
y
x
Po eliminacji:
0
0
0
000
110
432
z
y
x
Rozwiązując układ równań:
dowolne
2
00
0
0432
z
zy
zx
zy
zyx
otrzymujemy np. wektor
2
2
1
1X .
Przykład 4
Niech 22: RRf będzie obrotem o kąt 2
, czyli przekształceniem liniowym o macierzy
01
10A .
Z równania charakterystycznego
101
102
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
nie otrzymujemy pierwiastków rzeczywistych, a zatem:
obrót nie ma wektorów własnych na płaszczyźnie.
Twierdzenie
Jeśli wartości własne są różne, to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne.
Twierdzenie Jordana
Macierz kwadratowa A jest w postaci Jordana (jest macierzą Jordana), jeśli:
kA
A
A
A
0
...
0
2
1
,
gdzie każda z macierzy Ak jest kwadratowa i ma postać:
j
j
j
a
a
a
0
1...
...
01
Macierze Ak nazywamy klatkami Jordana macierzy A.
Uwaga
a1, a2, ... a k występujące w macierzy Jordana są jej wartościami własnymi.
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą kwadratową.
Niech B będzie macierzą w postaci Jordana podobną do A.
Niech K będzie wartością własną macierzy A.
Niech am=rz(A-aI)m, a0 = n.
Wówczas: am-1 – am 0
am-1 – am jest liczbą klatek Jordana rozmiaru m w macierzy B, zawierających wartość własną .
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Znajdowanie macierzy Jordana dla macierzy A
Przykład 1
Znaleźć macierz Jordana dla macierzy
53
35fA .
Ponieważ wartości własne były pojedyncze
(1=2, 2=8) macierz Jordana możemy zapisać natychmiast:
80
02B
Przykład 2
Znaleźć macierz Jordana dla macierzy
20
52fA .
Wartość własna macierzy: 1=2= 2.
Zatem obliczamy:
a0=2(wymiar macierzy)
a1=1 (rząd macierzy IA =
00
50)
a0 - a1 =1
Liczba klatek rozmiaru 1 wynosi 1, czyli macierz Jordana jest postaci:
20
12B
Przykład 3
Znaleźć macierz Jordana dla macierzy
776
874
431
fA .
Wartość własna macierzy: 1=2= -1
Zatem obliczamy:
a0=3(wymiar macierzy)
a1=2 (rząd macierzy IA =
000
420
432
)
a0 - a1 =1