Transcript
  • Capitolul 1

    CALCUL MATRICEAL

    1.1 Structuri algebrice

    an univ.2005/2006

    1.1.1 Grupuri

    Definitia 1.1 Fie X o multime nevida. O functie f definita pe XX si cu valori n X senumeste lege de compozitie interna n X.

    Notam, pentru (x, y) X2, f(x, y) = x y si se citeste x compus cu y dupa legea .Legile de compozitie interne pot avea urmatoarele proprietati:

    Definitia 1.1 O lege de compozitie interna n X se numeste lege asociativa daca(x, y, z) X3 avem:

    (x y) z = x (y z).

    Definitia 1.2 O lege de compozitie interna n X se numeste lege cu element neutrudaca e X astfel ncat x X avem: x e = e x = x. Elementul e se numeste elementneutru a legii .

    Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o multime si o lege decompozitie interna n X. Daca admite un element neutru atunci acesta este unic.

    Demonstratie.Presupunem prin absurd ca legea are doua elemente neutre e si e0, e 6= e0 deci

    x X : x e = e x = x, (1.1)

    x X : x e0 = e0 x = x. (1.2)

    Pentru x = e0 n (1.1) si x = e n (1.2) obtinem: e0 e = e e0 = e0 si e e0 = e0 e = e, deunde rezulta e = e0.

    1

  • 2 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    Definitia 1.3 Daca o lege de compozitie interna n X admite un element neutru eatunci spunem ca unui element x X i corespunde un element numit element simetricn raport cu legea daca exista x X astfel ncat

    x x = x x = e. (1.3)

    Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o multime si o legede compozitie interna n X asociativa cu elementul neutru e. Daca un element x X areun element simetric n raport cu legea , atunci acest element simetric este unic.

    Demonstratie.

    Presupunem prin absurd ca elementul x X are doua element simetrice x si x0, x 6= x0,n raport cu legea . Deoarece

    x x = x x = e, x x0 = x0 x = ededucem ca x = x e = x (x x0) = (x x) x0 = e x0 = x0.

    Definitia 1.4 O lege de compozitie interna n X se numeste lege comutativa daca(x, y) X2 avem x y = y x.

    Definitia 1.5 Fie X o multime si o lege de compozitie interna n X. Perechea ordonata(X, ) se numeste semigrup daca legea este asociativa.

    Definitia 1.6 Semigrupul (X, ) se numestemonoid daca legea are si element neutru.

    Definitia 1.7 Monoidul (X, ) se numeste grup daca legea daca orice element din Xare simetric n raport cu legea . Un grup (X, ) se numeste grup comutativ (abelian)daca legea este comutativa.

    Observatia 1.1 Daca (X, ) este un grup si notam legea cu simbolul + , atuncigrupul (X, +) se numeste grup aditiv, legea + se numeste adunarea elementelordin X, elementul sau neutru se numeste zero si se noteaza 0, iar simetricul unuielement x X, se numeste opusul elementului x n raport cu adunarea n X, si senoteaza (x). n grupul aditiv (X, +) notam x y n loc de x+ (y).

    Observatia 1.2 Daca (X, ) este un grup si notam legea cu simbolul , atunci grupul(X, ) se numeste grup multiplicativ, legea se numeste nmultire a elementelor dinX, elementul sau neutru se numeste unitate si se noteaza 1, iar simetricul unuielement x X, se numeste inversul elementului x n raport cu nmultirea n X, si senoteaza x1.

  • 1.1. STRUCTURI ALGEBRICE 3

    1.1.2 Morfisme de grupuri

    Definitia 1.8 Fie (X,) si (Y, B) doua grupuri. Aplicatia f : X Y se numeste morfismde grupuri daca satisface conditia:

    x, y X : f(x y) = f(x) B f(y).

    Daca morfismul f este injectiv (respectiv surjectiv) atunci el se numestemonomorfism(respectiv epimorfism) de grupuri. Daca morfismul f este bijectie atunci grupurile (X,)si (Y, B) se numesc izomorfe iar f : X Y este un izomorfism. Daca X Y si Batunci orice izomorfism f se numeste automorfism.

    Observatia 1.3 Izomorfismul a doua grupuri identifica un grup cu altul si astfel din punctde vedere algebric este suficient sa se studieze unul din ele. Un morfism nu are aceastaproprietate.

    Definitia 1.9 Fie (X,) un grup, f : X Y o aplicatie si X0 o submultime a lui X. Imag-inea lui X0 prin aplicatia f se noteaza f(X0) se defineste astfel:

    f(X0) = {y Y :x X0si f(x) = y} .

    Principalele proprietati ale morfismelor sunt date de urmatoarele teoreme:

    Teorema 1.3 Fie (X,) si (Y, B) doua grupuri si morfismul f : X Y. Atunci:a) imaginea elementului neutru al lui (X,) prin morfismul f este elementul neutru din

    (Y, B);b) imaginea simetricului unui element printr-un morfism este simetricul imaginii lui

    prin f .

    Demonstatie.a) Notam cu e respectiv e elementul neutru al lui (X,) respectiv (Y, B) si avem f(x) =

    f(x e) = f(x e) = f(x) B f(e) = f(e) B f(x), deci f(e) = e.b) Folosim rezultatul de la punctul a): e = f(e) = f(x x0) = f(x) B f(x0), deci f(x0)

    este elementul simetic al lui f(x), f(x0) = (f(x))0 . Afirmatia teoremei rezulta din unicitateaelementului simetric.

    1.1.3 Inele si corpuri

    Definitia 1.10 Daca si sunt doua legi de compozitie interne n X, spunem calegea este distributiva la stanga (respectiv la dreapta) n raport cu lugea daca(x, y, z) X3 avem x (y z) = (x y) (x z) (respectiv (x y) z = (x z) (y z)).In cazul n care legea este distributiva la stanga si la dreapta n raport cu legea spunem ca legea este dublu distributiva n raport cu legea .

  • 4 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    Definitia 1.11 Fie (X,+, ) o terna ordonata unde X este o multime, + este operatia deadunare n X, iar este operatia de nmultire n X. Terna ordonata (X,+, ) se numesteinel daca (X,+) este grup comutativ aditiv, iar nmultirea este asociativa ((X,)este semigrup) si dublu distributiva n raport cu adunarea.

    Definitia 1.12 Un inel (X,+, ) se numeste inel cu unitate daca nmultirea are unitate.Un inel (X,+, ) se numeste inel cu comutativ daca nmultirea este comutativa.Exemplul 1.1 Multimea Z a numerelor ntregi inzestrata cu operatiile de adunare sinmultire este un inel comutativ cu element unitate.

    Intr-un inel (X,+, ) elementul neutru fata de legea + se noteaza cu 0X sau, cand nu suntposibile confuzii, se noteaza cu 0. De asemenea elementul neutru fata de legea multiplicativase noteaza cu 1X sau, cand nu sunt posibile confuzii, se noteaza cu 1.Este usor de demonstrat ca n orice inel . (X,+, ),a = 0 a b = 0,b Xb = 0 a b = 0,a X,

    dar nu ntotdeauna a b = 0 a = 0 sau b = 0. De exemplu n inelul (M2(Z),+, ) avem:1 00 0

    0 01 2

    =

    0 00 0

    .

    Definitia 1.13 Daca ntr-un inel exista a 6= 0, b 6= 0, astfel ncat ab = 0 se spune ca asi b sunt divizori ai lui zero si ca inelul admite divizori ai lui zero. Orice inel care nuadmite divizori ai lui zero se numeste inel integru. Daca un inel integru este comutativsi cu element unitate, el se numeste domeniu de integritate.

    Definitia 1.14 Un inel (X,+, ) se numeste corp daca (X,+, ) este inel cu unitate si oriceelement din X, diferit de zeroul adunarii, are invers.

    Definitia 1.15 Un corp (X,+, ) se numeste corp comutativ sau camp daca nmultireaeste comutativa.

    Observatia 1.4 Daca (X,+, ) este un corp, notam xy1 = xy, x X, y X, y 6= 0.

    Teorema 1.4 Corpurile nu au divizori ai lui zero. Orice corp comutativ este un domeniude integritate.

    Demonstratie. Fie (X,+, ) un corp. Deoarece (X,+, ) este un inel, egaliatatea xy = 0Xeste verificata pentru x = 0X,y X si pentru y = 0X, x X. Acestea sunt singurelecazuri deoarece x 6= 0X x1 X cu proprietatea ca x1 x = 1X, si din egalitatea demai sus , datorita asociativitatii, deducem

    y = (x1 x) y = x1 0X = 0X.Analog, daca y 6= 0X x = 0X. Deci corpul nu admite divizori ai lui zero.

    Observatia 1.5 Orice corp este inel cu element unitate. Daca este comutativ, cum nuadmite divizori ai lui zero, este domeniu de integritate.

  • 1.2. MATRICE SI DETERMINANTI 5

    1.1.4 Morfisme de corpuri

    Definitia 1.16 Fie (X,+, ) si (Y,,) doua corpuri. Aplicatia f : X Y se numestemorfism de corpuri daca satisface relatiile:

    f(x+ y) = f(x) f(y)x, y X,f(x y) = f(x) f(y)x, y X.

    Daca n plus, f este bijectie, corpurile se numesc izomorfe iar f este un izomorfism.

    1.2 Matrice si determinanti

    1.2.1 Definitii si notatii

    Definitia 1.17 Daca f : I X este o functie definita pe o multime de indici I si cuvalori ntr-o multime X si daca f(i) = xi, i I, atunci notam f prin (xi)iI pe care-lnumim sistem de elemente din X.

    Definitia 1.18 Se numeste matrice cu m linii si n coloane si cu elemente din K, corpcomutativ (R sau C), sistemul de elemente (aij)i=1,m,j=1,n. Acest sistem este o functie

    f : {1, 2, . . . ,m} {1, 2, . . . , n} K, f(i, j) = aij.Notam matricea cu elementele (aij)i=1,m,j=1,n cu A = (aij)i=1,m,j=1,n si cu Mmn(K)

    multimea acestor matrice.

    Daca A Mmn(K), vom nota matricea A sub forma

    A =

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

    ......

    ...am1 am2 . . . amn

    ,

    adica printr-un tablou cu m linii si n coloane care contine valorile functiei f.n cazul m = n, se obtine multimea matricelor patratice de ordinul n, notataMn(K).Doua matrice A = (aij)i=1,m,j=1,n, B = (bij)i=1,m,j=1,n Mmn(K), sunt egale daca

    aij = bij, pentru toti i = 1,m, j = 1, n.Daca m = 1 Atunci A se numeste matrice linie si se noteaza A = (a1, ..., an).

    Daca n = 1 Atunci A se numeste matrice coloana si se noteaza A =

    a1...an

    .

  • 6 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    1.2.2 Operatii cu matrice

    Definitia 1.19 Pentru orice A = (aij)i=1,m,j=1,n, B = (bij)i=1,m,j=1,n Mmn(K) definimlegea de compozitie interna

    A+B = (aij + bij)i=1,m,j=1,n (1.4)

    numita suma matricei A cu matricea B.

    Teorema 1.5 Multimea (Mmn(K),+) formeaza n raport cu operatia de adunare un grupaditiv abelian.

    Demonstratie. Adunarea este- asociativa, adica oricare ar fi matricele A,B,C Mmn(K) : (A + B) + C = A +

    (B + C),- admite element neutru care este matricea ale carei elemente sunt toate egale cu 0,

    notata 0Mmn(K) si se numeste matricea nula. Pentru orice A Mmn(K) avem A +0Mmn(K) = 0Mmn(K) +A = A- orice element dinMmn(K) are un simetric, adica oricare ar fi A Mmn(K), exista

    o matrice notata A, numita opusa matricei A, A+ (A) = (A) +A = 0Mmn(K).- comutativa, adica oricare ar fi matricele A,B Mmn(K) avem A+B = B +A.Fie A Mmn(K) si B Mnp(K).

    Definitia 1.20 Numim produs al matricei A cu matricea B matricea

    A B =

    nXj=1

    aijbjk

    !i=1,m,k=1,p

    Mmp(K). (1.5)

    Teorema 1.6 (Mn(K), ) are structura de monoid.

    Demonstratie.Produsul astfel definit are proprietatile:-este o lege de compozitie interna asociativa:A,B,C Mn(K) (A B) C = A (B C).Folosind relatia (1.5) avem:

    (A B) C =

    nPk=1

    nP

    j=1aijbjk

    !ckh

    !i=1,n,h=1,n

    =

    nP

    k=1

    nPj=1

    aijbjkckh

    !i=1,n,h=1,n

    A (B C) =

    nPj=1

    aij

    nP

    k=1bjkckh

    !i=1,n,h=1,n

    =

    nP

    j=1aij

    nPk=1

    bjkckh

    !i=1,n,h=1,n

    =

    =

    nP

    j=1

    nPk=1

    aijbjkckh

    !i=1,n,h=1,n

    =

    nP

    k=1

    nPj=1

    aijbjkckh

    !i=1,n,h=1,n

    .

  • 1.2. MATRICE SI DETERMINANTI 7

    de unde rezulta asociativitatea deoarece ordinea de nsumare n sume duble finite poate fischimbata.-admite element neutru si anume matricea

    In =

    1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

    ,

    sau In = (ij)i=1,n,j=1,n, unde

    ij =1, daca i = j0, daca i 6= j

    sunt simbolurile lui Kronecker. Matricea In are proprietatea ca oricare ar fi A Mn(K),A In = In A = A.

    In se numeste matricea unitate de ordinul n.Sa mai observam ca daca A Mn(K) si B Mn(K), desi au sens produsele A B si

    B A, n general, A B 6= B A, adica nmultirea matricelor nu este comutativa.

    Teorema 1.7 Inmultirea matricelor este distributiva n raport cu adunarea lor, adica

    A,B,C Mn(K) : A (B + C) = A B +A C,A,B,C Mn(K) : (B + C) A = B A+ C A.

    Demonstratie.Demonstram distributivitatea la stanga:Fie A,B,C Mn(K) A (B + C) = A B +A C.Folosim relatiile (1.4) si (1.5) obtinem:

    A (B + C) =

    nPj=1

    aij (bjk + cjk)

    !i=1,n,k=1,n

    =

    nP

    j=1aijbjk +

    nPj=1

    aijcjk

    !i=1,n,k=1,n

    =

    =

    nP

    j=1aijbjk

    !i=1,n,k=1,n

    +

    nP

    j=1aijcjk

    !i=1,n,k=1,n

    = A B +A C

    Teorema 1.8 Multimea (Mn(K),+, ) este inel cu element unitate.

    Demonstratie.Demonstratia afirmatiei rezulta din Teoremele 1.5, 1.6 si 1.7.Fie A = (aij)i=1,m,j=1,n Mmn(K) si K.

    Definitia 1.21 Numim produs al matricei A cu scalarul matricea

    A = (aij)i=1,m,j=1,n Mmn(K).

  • 8 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    Inmultirea cu scalari are urmatoarele proprietati:

    1. (A+B) = A+ B, K, A,B Mmn(K);2. (+ )A = A+ A, , K, A Mmn(K);3. ()A = (A), , K, A Mmn(K);4. 1A = A, A Mmn(K).

    Fie A = (aij)i=1,m,j=1,n Mmn(K).

    Definitia 1.22 Numim transpusa a matricei A Mmn(K) matricea notataAT = (aji)j=1,m,i=1,n Mnm(K), care are drept linii, respectiv coloane, coloanele, respectivliniile matricei A.

    Operatia de transpunere a unei matrice are urmatoarele proprietati:

    1. (A+B)T = AT +BT , A,B Mmn(K);2. (AB)T = BTAT , A Mmn(K), B Mnp(K);3. (A)T = AT , K, A Mmn(K).

    1.2.3 Determinantul unei matrice

    Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n Mn(K) o matrice patratica.

    Definitia 1.23 1. Fie M = {1, 2, ..., n} . Orice bijectie : M M se numeste per-mutare. Multimea tuturor permutarilor lui M formeaza un grup notat prin Sn.2. Spunem ca permutarea are o inversiune daca exista i < j pentru care avem

    (i) > (j).3. O permutare se numeste para (respectiv impara) daca are un numar par (respectiv

    impar) de inversiuni.

    4. Aplicatia : Sn {1, 1} , () =1 daca este para1 daca este impara , se numeste sig-

    natura, iar () este signatura permutarii .

    Definitia 1.24 Numim determinant al matricei A Mn(K) elementul det(A) K datde

    det(A) =XSn

    ()a1(1)a2(2) . . . an(n),

    unde Sn este multimea permutarilor multimii {1, 2, . . . , n}, iar () este signatura per-mutarii .

  • 1.2. MATRICE SI DETERMINANTI 9

    Determinantul matricei A se noteaza

    detA =

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

    ......

    ...an1 an2 . . . ann

    .

    Proprietatile determinantilor

    1. Determinantul transpusei unei matrice este egal cu determinantul acelei matrice:det(tA) = det(A).

    Rezulta ca orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adevarata sipentru coloane.

    2. Daca elementele unei linii i sunt sume de cate doi termeni, aij = a0ij + a00ij, j = 1, n siA0 (respectiv A00) este matricea care se obtine din A nlocuind elementele liniei i cua0ij (respectiv a00ij), atunci det(A) = det(A0) + det(A00).

    3. Daca elementele unei linii se nmultesc cu un scalar , atunci determinantul se nmul-teste cu .

    4. Daca ntr-un determinant se schimba ntre ele doua linii, atunci se schimba semnuldeterminantului.

    Consecinte:

    (i) Un determinant este nul daca:

    - toate elementele unei linii sunt nule, sau

    - are doua linii proportionale (deci si daca aredoua linii egale), sau

    - una dintre linii este o combinatie liniara de alte linii.

    (ii) Valoarea unui determinant nu se schimba daca la elementele unei linii adaugamcombinatii liniare formate cu elementele altor doua sau mai multe linii.

    Calculul determinantilor

    In cazul determinantilor de ordin doi calculul se face conform relatiei:a11 a12a21 a22

    = a11a22 a12a21.

    In cazul determinantilor de ordin trei calculul se face conform relatiei:

  • 10 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a32a23.

    Pentru determinanti de ordin mai mare sau egal cu patru aceste reguli nu sunt valabilesi se aplica pentru calculul lor regula lui Laplace.Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n Mn(K) o matrice patratica si p n, un numar natural.

    Definitia 1.25 Numim minor de ordinul p al matricei A determinantul matricei deordinul p format cu elementele situate la intersectia a p linii si p coloane ale matricei A.

    Daca i1 < i2 < . . . < ip si j1 < j2 < . . . < jp sunt p linii si respectiv p coloane alematricei A, atunci minorul corespunzator este

    M =

    ai1j1 ai1j2 . . . ai1jpai2j1 ai2j2 . . . ai2jp. . . . . . . . . . . .aipj1 aipj2 . . . aipjp

    .

    Definitia 1.26 Numim minor complementar al minorului M de ordin p al matricei Adeterminantul Mc de ordinul n p al matricei extrase din A prin prin suprimarea celor plinii si p coloane corespunzatoare lui M.

    Minorii de ordinul 1 ai matricii A sunt elementele sale, aij. Minorii complementari aiacestora sunt determinanti de ordinul n 1.

    Definitia 1.27 Numim complement algebric al minorului M al matricei A elementuldin K definit de C = (1)sMc, unde s = (i1 + i2 + . . . + ip) + ( j1 + j2 + . . . + jp), adicasuma indicilor liniilor si coloanelor matricei A utilizate n M .

    Determinantul matricei patratice de ordinul n 1 care se obtine din A prin suprimarealiniei i si coloanei j se numeste minorul complementar al elementului aij si se noteazacu Mij. Numarul Cij = (1)i+jMij se numeste complementul algebric al elementuluiaij.

    Teorema 1.9 (Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cu suma pro-duselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cu elementele a p linii (coloane) fixate alematricei A prin complementii lor algebrici.

    In particular, pentru p = 1, rezulta ca oricare ar fi i {1, 2, . . . , n} fixat, are locegalitatea

    det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + + ainCin, (1.6)numita regula de dezvoltare a determinantului matricei A dupa linia i. In modasemanator, pentru orice j {1, 2, . . . , n} fixat, are loc egalitatea

    det(A) = a1jC1j + a2jC2j + + anjCnj, (1.7)numita regula de dezvoltare a determinantului matricei A dupa coloana j.

  • 1.2. MATRICE SI DETERMINANTI 11

    Exemplul 1.2 Sa se calculeze valoarea determinantului

    D =

    1 1 2 31 1 3 42 5 1 11 2 2 4

    .

    folosind regula lui Laplace si dezvoltandu-l dupa primele doua linii.

    D =1 11 1

    (1)1+2+1+2

    1 12 4

    +

    1 21 3

    (1)1+3+1+2

    5 12 4

    +

    1 31 4

    (1)1+1+2+4

    5 12 2

    +

    1 21 3

    (1)1+2+2+3

    2 11 4

    +

    1 31 4

    (1)2+1+2+4

    2 11 2

    +

    2 33 4

    (1)1+2+3+4

    2 51 2

    = 5

    Determinantul produsului a doua matrice

    Teorema 1.10 Determinantul produsului a doua matrice A si B este egal cu produsul de-terminantilor celor doua matrice, adica det(AB) = det(A) det(B).

    Demonstratie.Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n, B = (bij)i=1,n,j=1,n, C = AB = (cij)i=1,n,j=1,n Mn(K), cu

    cik =nX

    j=1

    aijbjk, i, k = 1, n. (1.8)

    Construim matricea patratica de ordinul 2n

    P =

    a11 a12 . . . a1n 0 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 01 0 . . . 0 b11 b12 . . . b1n0 1 . . . 0 b21 b22 . . . b2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 bn1 bn2 . . . bnn

    .

    Dezvoltand determinantul matricei P , folosind Teorema lui Laplace, dupa primele n linii,obtinem det(P ) = det(A) det(B).Pe de alta parte, matricea P poate fi transformata, fara a modifica valoarea determi-

    nantului ei, folosind proprietatile determinantilor, ncat la intersectia ultimelor n linii si ncoloane sa obtinem zerouri. Pentru aceasta este suficient ca la elementele coloanei n+ k saadunam elementele corespunzatoare ale primelor n coloane nmultite respectiv cu b1k, b2k,

  • 12 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    . . . , bnk, pentru k = 1, n. Tinand seama de (1.8), matricea P devine

    Q =

    a11 a12 . . . a1n c11 c12 . . . c1na21 a22 . . . a2n c21 c22 . . . c2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann cn1 cn2 . . . cnn1 0 . . . 0 0 0 . . . 00 1 . . . 0 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 0 0 . . . 0

    .

    Dezvoltand determinantul matricei Q, folosind Teorema lui Laplace, dupa ultimele n linii,obtinem det(Q) = (1)2n(n+1) det(C) = det(C). Cum det(P ) = det(Q), deducem cadet(AB) = det(A) det(B).

    1.2.4 Tipuri speciale de matrice.

    Orice matrice patratica de tipul

    1 0 . . . 00 2 . . . 0...

    ... . . ....

    0 0 . . . n

    se numeste matrice diagonala.Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n Mn(K).

    Definitia 1.28 Spunem ca matricea patratica A este simetrica daca AT = A si antisi-metrica daca AT = A.

    Definitia 1.29 Spunem ca matricea patratica A este ortogonala daca AT A = A AT =In.

    Matrice inversabila

    Definitia 1.30 O matrice patratica A al carei determinant este diferit de zero se numestenesingulara, iar daca det(A) = 0 matricea se numeste singulara.

    Definitia 1.31 Spunem ca matricea A Mn(K) este inversabila daca exista o matricenotata A1 Mn(K) astfel ncat

    A A1 = A1 A = In. (1.9)

    Observatia 1.6 Matricea A Mn(K) este inversabila daca si numai daca este nesingu-lara, adica det(A) 6= 0.

  • 1.2. MATRICE SI DETERMINANTI 13

    Definitia 1.32 Matricea A1 se numeste inversa matricei A.

    Pentru calculul inversei matricei A se obtine mai ntai matricea A numita adjunctasau reciproca matricei A, nlocuind fiecare element al matricei tA prin complementul saualgebric. Adica, A =

    aiji=1,n,j=1,n

    , cu aij = Cji. Atunci

    A1 =1

    det(A)A.

    Faptul ca matricea A1 astfel obtinuta verifica (1.9) rezulta imediat din (??). Operatia deinversare a matricelor are urmatoarele proprietati

    (AT )1 = (A1)T , (A1)1 = A,

    (A)1 =1

    A1, 6= 0, (AB)1 = B1A1.

    Rangul unei matrice

    Definitia 1.33 Matricea A are rangul r daca exista n A cel putin un minor de ordinul rdiferit de zero si toti minorii de ordin mai mare decat r, daca exista, sunt egali cu zero.

    Transformari elementare ale liniilor unei matrice

    Orice matrice A Mmn(K) se poate scrie n una din formele:

    A =

    L1...Lm

    , cu ajutorul liniilor Li =

    ai1 . . . ain

    , i = 1,m sau

    A =C1 . . . Cn

    , cu ajutorul coloanelor, unde Cj =

    a1j...amj

    , j = 1, n.

    Definitia 1.34 Numim transformari elementare asupra liniilor matricei A:

    (1) T1 transformarea prin care se nmulteste o linie cu un scalar nenul;

    (2) T2 transformarea prin care se schimba doua linii ntre ele;

    (3) T3 transformarea prin care se aduna la elementele unei linii elementele corespunzatoarealtei linii nmultite cu un scalar.

    Flosind scrierea matricei cu ajutorul liniilor, cele trei transformari elementare se reprezintaprin schemele:

  • 14 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    A =

    L1...Li...Lm

    T1

    L1...Li...Lm

    , 6= 0,

    A =

    L1...Li...Lj...Lm

    T2

    L1...Lj...Li...Lm

    ,

    A =

    L1...Li...Lj...Lm

    T3

    L1...Li + Lj...Lj...Lm

    .

    Definitia 1.35 Doua matrice de acelasi tip se numesc echivalente pe linii daca una seobtine din cealalta printr-un numar finit de transformari elementare ale liniilor.

    Definitia 1.36 O matrice A Mmn(K) se numeste matrice esalon daca ndeplinesteurmatoarele conditii:a) primul element diferit de zero din fiecare linie cu elemente diferite de zero este 1,b) coloana care contine numarul 1 al unei linii este situata la dreapta coloanelor care

    contin 1 de pe liniile precedente,c) numarul 1 din conditia a) este singurul element diferit de zero din coloana n care

    acest numar se afla,d) liniile cu elementele diferite de zero sunt naintea liniilor care au toate elementele

    egale cu zero.

    Teorema 1.11 Orice matrice este echivalenta pe linii cu o matrice esalon.

    Demonstratie.Presupunem ca A Mmn(K) si ca prima coloana a lui A care contine un element

    diferit de zero este coloana de ordin j. Daca elementul de pe linia i si coloana j este diferitde zero, atunci facem transformarea Li 1aijLi urmata de L1 Li si astfel matricea A setransforma n

  • 1.2. MATRICE SI DETERMINANTI 15

    B =

    0 0 1 b1,j+1 b1n0 0 b2j b2,j+1 b2n 0 0 bmj bm+1,j bmn

    .

    n continuare se aplica matricei B transformarile Li Li bijL1, i = 2,m si se obtinematricea

    C =

    0 0 1 c1,j+1 c1n0 0 0 c2,j+1 c2n 0 0 0 cm+1,j cmn

    .

    Daca dupa aceste trnsformari se obtin linii formate numai din elemente egale cu zeroatunci ele vor ocupa ultimele locuri n matricea C. Procedeul se repeta acum pentru sub-matricea formata din liniile 2, 3, ...,m si coloanele j + 1, ..., n.In acest fel dupa un numar finit de asemenea transformari elementare se obtine o matrice

    esalon cu care matricea A de la care am plecat este echivalenta pe linii.Urmatoarea observatie este utila pentru realizarea unui program pe calculator care sa

    realizeze aceste transformari.

    Observatia 1.7 Transformarile elementare asupra liniilor se realizeaza nmultind la stangamatricea A cu una din matricele:T1. Transformarea prin care se nmulteste o linie a unei matrice cu un scalar diferit

    de zero se realizeaza nmultind la stanga matricea A cu matricea

    Mi() = i

    1 0 . . 0 . 0. . . . . . .0 0 . . . 0. . . . . . .0 0 . . 0 . 1

    det(Mi()) = 6= 0T2. Transformarea prin care se schimba ntre ele doua linii se realizeaza nmultind la

    stanga matricea A cu matricea

    Mij =

    1 . 0 . 0 . 0. . . . . . .0 . 0 . 1 . 0. . . . . . .0 . 1 . 0 . 0. . . . . . .0 . 0 . 0 . 1

    det(Mij) = 1 6= 0T3. Transformarea prin care se aduna la o linie o alta linie (coloana) nmultita cu un

    scalar 6= 0 se realizeaza nmultind la stanga matricea A cu matricea

  • 16 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    Mij() =

    1 . 0 . 0 . 0. . . . . . .0 . 1 . . 0. . . . . . .0 . 0 . 1 . 0. . . . . . .0 . 0 . 0 . 1

    det(Mij()) = 1 6= 0.

    Matricele obtinute din matricea A prin transformari elementare au acelasi rang ca simatricea A.Matricele introduse mai sus Mi(),Mij,Mij() poarta denumirea de matrice ele-

    mentare.

    Teorema 1.12 Daca matricea B se obtine prin aplicarea a k transformari elementare lini-ilor lui A, atunci exista k matrici elementare E1, E2, ..., Ek astfel ncat sa avem

    B = E1E2...EkA. (1.10)

    Observatia 1.8 Daca matricea A este inversabila si consideram n (1.10) B = In atunciA1 = E1E2...Ek.

    Ca o aplicatie a acestei observatii prezentam de a calcula inversa unei matrice.

    Exemplul 1.3 Sa se calculeze inversa matricei A =

    2 1 32 3 45 1 1

    .

    Deoarece det(A) = 31, matricea este inversabila.Scriem matricea A si alaturi matricea unitate si aplicam transformarile elementare pana

    ce obtinem n locul matricei A matricea unitate iar n locul matricei unitate vom obtineinversa matricei A.

    2 1 32 3 45 1 1

    1 0 00 1 00 0 1

    1

    2L1 L1

    1 12

    32

    2 3 45 1 1

    120 0

    0 1 00 0 1

    2L1 + L2 L25L1 + L3 L3

    1 1

    232

    0 4 70 3

    213

    2

    12

    0 01 1 0520 1

    14L2 L2

    1 1

    232

    0 1 74

    0 3213

    2

    12

    0 014

    140

    520 1

    12L2 + L1 L1

    32L2 + L3 L3

    1 0 5

    8

    0 1 74

    0 0 318

    38

    180

    14

    14

    017

    838

    1

    31

    8L3 L3

  • 1.3. SISTEME DE ECUATII ALGEBRICE LINIARE 17

    1 0 5

    8

    0 1 74

    0 0 1

    38

    18

    014

    14

    01731

    331

    831

    58L3 + L1 L1

    74L3 + L2 L2

    1 0 00 1 00 0 1

    131

    231

    58

    2231

    1331

    1431

    1731

    331

    831

    .

    Rezulta ca

    A1 =

    131

    231

    531

    2231

    1331

    1431

    1731

    331

    831

    .

    Verificare:

    131

    231

    531

    2231

    1331

    1431

    1731

    331

    831

    2 1 32 3 45 1 1

    =

    1 0 00 1 00 0 1

    ,

    2 1 32 3 45 1 1

    131

    231

    531

    2231

    1331

    1431

    1731

    331

    831

    =

    1 0 00 1 00 0 1

    1.3 Sisteme de ecuatii algebrice liniare

    1.3.1 Sisteme de m ecuatii cu n necunoscute

    Definitia 1.37 Prin sistem algebric liniar de m ecuatii cu n necunoscute ntelegem unansamblu de m relatii de forma

    a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2, am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm,

    (1.11)

    saunX

    j=1

    aijxj = bi, i = 1,m

    n care aij, bi K, i = 1,m, j = 1, n, sunt date, iar xj, i = 1, n sunt necunoscutelesistemului.

    Definitia 1.38 Matricea A = (aij)i=1,m,j=1,n Mmn(K) se numestematricea coeficientilor,iar

    B =

    b1b2. . .bm

    K

    m

    matricea coloana a termenilor liberi.

  • 18 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    Fie X = t(x1, x2, . . . , xn) Kn matricea coloana a necunoscutelor, atunci sistemul sescrie sub forma matriceala

    AX = B. (1.12)

    Matricea (A,B) se numeste matricea extinsa a sistemului.

    Definitia 1.39 Prin solutie a sistemului (1.11) ntelegem orice n-uplu (1, 2, . . . , n)T Kn care verifica toate cele m ecuatii ale sistemului, deci pentru care avem

    nXj=1

    aijj = bi, i = 1,m.

    Sistemul (1.11) se numeste compatibil daca are cel putin o solutie si incompatibil ncaz contrar. Daca sistemul, compatibil fiind, are o singura solutie se numeste compatibildeterminat, iar daca are mai multe solutii se numeste compatibil nedeterminat.Doua sisteme care au aceleasi solutii se numesc echivalente.

    Teorema 1.13 Daca aplicam transformari elementare liniilor matricei extinse a sistemului(1.11), se obtin matrice extinse ale unor sisteme echivalente cu sistemul (1.11).

    Demonstratie.Aratam ca daca se aplica pe rand o transformare elementara Ti, i = 1, 2, 3 liniilor lui

    (A,B) , orice solutie a lui (1.11) este si solutie a sistemului transformat.Prin transformarea T1 se nmulteste o linie a matricei (A,B) cu K, 6= 0. Deci noul

    sistem este de forma

    a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

    care este evident verificat de o solutie (1, 2, . . . , n) a sistemului (1.11).Prin transformarea T2 nu se face altceva decat se schimba doua ecuatii ntre ele, deci

    solutiile celor doua sisteme coincid.Daca aplicam transformarea T3 matricei (A,B) , obtinem sistemul

    a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 (ai1 + aj1)x1 + (ai2 + aj2)x2 + + (ain + ajm)xn = bi + bj am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

    .(1.13)

    Este usor de vazut ca orice solutie a lui (1.11) este si solutie a sistemului (1.13).

  • 1.3. SISTEME DE ECUATII ALGEBRICE LINIARE 19

    Fie r = rgA. Presupunem ca det (aij)i,j=1,r 6= 0. Prin transformari elementare asupraliniilor, matricea (A,B) poate fi adusa la forma

    (P,Q) =

    1 0 . . . 0 p1,r+1 . . . p1,n | q10 1 . . . 0 p2,r+1 . . . p2,n | q2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . .0 0 . . . 1 pr,r+1 . . . pr,n | qr0 0 . . . 0 0 . . . 0 | qr+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . .0 0 . . . 0 0 . . . 0 | qm

    , (1.14)

    Sistemul care are drept matrice extinsa matricea (P,Q) este echivalent cu sistemul (1.11).Daca r = m sistemul este compatibil. Pentru r < m din (1.14) deducem urmatoarea

    teorema de compatibilitate.

    Teorema 1.14 Sistemul (1.11) este compatibil daca si numai daca toti

    qr+1 = qr+2 = . . . = qm = 0.

    Daca sistemul este compatibil si r = n el are o singura solutie, adica este compatibildeterminat, iar daca r < n el admitenr solutii, adica este compatibil nedeterminat.

    Teorema 1.15 (Teorema lui Kronecker-Cappelli) Sistemul (1.11) este compatibil dacasi numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, adica

    rgA = rg (A,B) .

    Un minor nenul de ordinul r al matricei A se numeste minor principal. Ecuatiilesi necunoscutele ale caror coeficienti intra n formarea acestui minor se numesc princi-pale. Minorii de ordinul r + 1 obtinuti prin bordarea minorului principal cu elementelecorespunzatoare ale coloanei termenilor liberi, precum si cu cele ale uneia dintre liniile core-spunzatoare unei ecuatii secundare se numesc minori caracteristici. Pentru un sistem dem ecuatii, cu rangul matricei sistemului egal cu r, exista minori caracteristici numai dacam > r, iar numarul lor este m r. Putem atunci formula teorema precedenta si astfel:

    Teorema 1.16 (Teorema lui Rouche-Frobenius) Sistemul (1.11), cu r < m, este com-patibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt egali cu zero.

    In caz de compatibilitate, rezolvarea sistemului se face plecand de la matricea extinsasub forma (1.14). Metoda aceasta se numeste metoda eliminarii (Gauss-Jordan).

  • 20 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    1.3.2 Sisteme Cramer

    Definitia 1.40 Un sistem liniar n care r = m = n se numeste sistem Cramer. Unastfel de sistem se scrie:

    nXj=1

    aijxj = bi, i = 1, n,

    cu det(A) 6= 0.

    Un sistem Cramer este totdeauna compatibil determinat. Solutia sa se poate obtine cuformulele lui Cramer:

    xj =det(Aj)det(A)

    , j = 1, n,

    n care matricea Aj se obtine din matricea A prin nlocuirea coloanei j cu coloana termenilorliberi.Intr-adevar, deoarece detA 6= 0, matricea A este inversabila. Din (??), nmultind la

    stanga cu A1, gasim

    X = A1B =1

    det(A)AB.

    De unde, cu (1.7) pentru Aj, rezulta:

    xj =1

    det(A)(b1C1j + b2C2j + + bnCnj) = 1

    det(A)det(Aj), j = 1, n.

    Exercitiul 1.1 Sa se discute si, n caz de compatibilitate, sa se rezolve sistemul:

    mx+ y + z = 1x+my + z = mx+ y +mz = m2

    , unde m R.

    Folosind transformari elementare, matricea extinsa a sistemului se transforma astfel:

    (A | B) =

    m 1 11 m 11 1 m

    1mm2

    L1 L2

    1 m 1m 1 11 1 m

    m1m2

    L2 L2 mL1L3 L3 L1

    1 m 10 1m2 1m0 1m m 1

    m1m2m2 m

    .

    Consideram doua cazuri:1. m = 1 n acest caz obtinem:1 1 10 0 00 0 0

    100

    ,

    adica sistemul este compatibil nedeterminat. Solutiile sistemului sunt:

  • 1.3. SISTEME DE ECUATII ALGEBRICE LINIARE 21

    x = 1 y = z =

    , , R. (1.15)

    2. m 6= 1 n acest caz avem:1 m 10 1m2 1m0 1m m 1

    m1m2m2 m

    L2

    11mL2

    L3 11mL3

    1 m 10 1 +m 10 1 1

    m1 +mm

    L2 L3

    1 m 10 1 10 1 +m 1

    mm1 +m

    L1 mL2 L1

    L3 (1 +m)L2 L31 0 1 +m0 1 10 0 2 +m

    m+m2

    m(m+ 1)2

    Avem doua posibilitati:

    2a) m = 2, deci1 0 1 +m0 1 10 0 2 +m

    m+m2

    m(m+ 1)2

    1 0 10 1 10 0 0

    221

    n acest caz sistemul este incompatibil.

    2b) m 6= 2 n acest caz continuam aplicarea transformarilor elementare si obtinem:1 0 1 +m0 1 10 0 2 +m

    m+m2

    m(m+ 1)2

    L3 12+mL3

    1 0 1 +m0 1 10 0 1

    m+m2

    m(m+1)2

    m+2

    L1 L1 (m+ 1)L3L2 L2 + L3

    1 0 00 1 10 0 1

    m+1m+21

    m+2(m+1)2

    m+2

    adica sisteml este compatibil determinat a carui solutie este:

    x = m+1m+2y = 1m+2z = (m+1)

    2

    m+2

    . (1.16)

    n concluzie pentru sistemul dat avem urmatoarea discutie:

    a) daca m R \ {2, 1} sistemul are solutie unica data de (1.16),b) daca m = 2 sistemul este incompatibil,c) daca m = 1 sistemul este compatibil nedeterminat cu solutiile date de (1.15).

  • 22 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL

    Sisteme omogene

    Definitia 1.41 Un sistem liniar cu toti bi = 0, i = 1,m, se numeste omogen. El are deciforma

    nXj=1

    aijxj = 0, i = 1,m.

    Un sistem omogen este totdeauna compatibil. El admite cel putin solutia banala:x1 = x2 = . . . = xn = 0.Un sistem omogen cu n necunoscute si rangul r admite si solutii diferite de solutia

    banala daca si numai daca r < n.Un sistem omogen de n ecuatii cu n necunoscute admite si solutii diferite de solutia

    banala daca si numai daca det(A) = 0.

    Exercitiul 1.2 Sa se stabileasca daca sistemul de ecuatii de mai jos admite solutii diferitede solutia banala si n caz afirmativ sa se afle aceste solutii:

    x+ y 2z = 02x y z 3u = 0x+ 2y 3z + u = 0

    .

    Calculam matricea esalon a matricei sistemului. Obtinem:1 1 2 02 1 1 31 2 3 1

    L2 2L1 L2

    L3 L1 L3

    1 1 2 00 3 3 30 1 1 1

    1

    3L2 L2

    1 1 2 00 1 1 10 1 1 1

    L1 L2 L1

    L3 L2 L3

    1 0 1 10 1 1 10 0 0 0

    Sistemul admite solutii diferite de solutia banala si anumex = z + uy = z u .

  • Capitolul 2

    SPATII LINIARE

    2.1 Spatii liniare

    an univ. 2006/2007In acest capitol sunt studiate proprietati matematice ale unei multimi de elemente care

    formeaza un spatiu liniar sau vectorial. Elementele acestui spatiu pot fi entitati de naturacu totul diferita: forte, viteze, semnale electrice, vectori geometrici, solutii ale unor ecuatiidiferentiale etc. In ciuda acestei diversitati vom descrie spatiul vectorial n mod abstract,adica printr-o multime de elemente lipsita de orice atribut fizic.O componenta importanta a notiunii de spatiu liniar este notiunea de corp. Vom utiliza

    corpurile numerelor reale R si numerelor complexe C. Fie K un corp comutativ (care poatefi R sau C) ale carui elemente sunt numite scalari.

    Definitia 2.1 Fie (K,+, ) un corp comutativ cu elementul unitate notat 1 si elementulnul notat 0. Se numeste spatiu liniar cuaterna ordonata (X,,,K), unde X 6= este omultime, + o lege interna aditiva,

    : XX X : (x,y) X2, (x, y) x y X, o lege externa multiplicativa de compozitie,

    : KX X : (,x) KX, (,x) x Xse numeste spatiu liniar (vectorial) peste campul K (sau Kspatiu liniar) daca (X,+)este grup comutativ adica

    G1. x,y, z X : x (y z) = (x y) z,G2. Exista n X un vector notat , astfel ncat oricare ar fi x X :x X = Xx = x,G3. x X exista un vector notat cu x :x (x) = (x) x = X, (vectorul X se numeste vectorul nul al lui X)G4. x,y Xx y = y x, (vectorul x se numeste opusul vectorului x)si sunt satisfacute axiomele

    23

  • 24 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE

    SL1. (, ,x) K2 X : ( x) = ( ) xSL2. (, ,x) K2 X : (+ ) x = ( x) ( x)SL3. (,x,y) KX2 : (x y) = ( x) ( y)SL4. x X : 1 x = x, unde 1 este elementul neutru pentru operatia din K.

    Elementele multimii X se numesc vectori (vom nota vectorii cu litere mici bold).

    Exemplul 2.1 X = {X} , constand dintr-un singur vector, vectorul nul, este un Kspatiuliniar, peste orice camp K, numit spatiu vectorial nul.

    Exemplul 2.2 Spatiul liniar aritmetic Kn. Fie (K,+, ) un corp comutativ si n N, n 1. Consideram produsul cartezianKn = K K, Kn = {x|x = (x1, . . . , xn), xi K, i = 1, n}.Pe Kn definim operatiile(x,y) KnKn,x+y = (x1, . . . , xn)+(y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn) (adunarea

    pe componente)si

    (,x) K Kn, x = ( x1, . . . , xn) (nmultirea cu un scalar a fiecareicomponente).Folosind cele doua operatii si proprietatile campului K se verifica axiomele spatiului

    liniar. (Kn,+, ,K) se numeste spatiu liniar aritmetic.In particular, daca consideram K = R atunci (Rn,+, ,R) se numeste spatiu liniar

    aritmetic real, iar daca consideram K = C atunci (Cn,+, ,C) se numeste spatiu liniararitmetic complex.Pentru n = 1 obtinem (K,+, K) spatiu liniar. Putem vorbi deci despre spatiul liniar

    real al numerelor reale si de spatiu liniar complex al numerelor complexe.

    Exemplul 2.3 Analog definim spatiul Kn = {x|x =

    x1...xn

    , xi K, i = 1, n}.

    Teorema 2.1 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar) Daca (X,+, ,K) este unspatiu liniar, atuncia) x X : 0x = X;b) K : X = X;c) x X : (1)x = x;d) (,x) KX : x = X = 0 sau x = X;e) (, , x) K2 (X \ {X}) : x = x = f) (,x,y) (K \ {0}) X2 : x = y x = y

    Demonstratie.a) x X : 0x = (0 + 0)x = 0x 0x 0x = X.b) K, X = (X X) = X X X = X.

  • 2.2. SUBSPATII LINIARE 25

    c) x X : x (1)x = 1x (1)x = ((1 + (1))x = 0x = X (1)x = xd) daca 6= 0 1 K x = X 1(x) = 1X (1 )x =X 1x = X x = Xe) (, , x) K2 (X \ {X}) : x = x (+ ())x = X, x 6= X = f) (, x, y) (K \ {0})X2 : x = y x ()y = X x (y) =X (x ( y)) = X, 6= 0 x = y.Consecinta 2.1 a) (, x) KX : x = ()x = (x),()x+ x = (+ )x = 0x = X ()x = x;b)(, , x) K2 X : ( )x = x ()x = x ( )x;c) (, x, y) KX2 : (xy) = (x (y)) = x(y) = xy.

    Observatia 2.1 In cele ce urmeaza nu vom mai face n scriere distinctie ntre + si , lafel ntre si , dar vom tine seama de semnificatia lor pe multimile K si X.

    2.2 Subspatii liniare

    Definitia 2.2 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar. O submultime V,V 6= , a multimii X senumeste subspatiu liniar al spatiului X daca (V,+, ,K) este un spatiu liniar.Teorema 2.2 (Teorema de caracterizare a subspatiilor liniare) Fie (X,+, ,K) unspatiu liniar. Conditia necesara si suficienta ca o submultime V a multimii X sa fie unsubspatiu liniar a spatiului X este:a)

    (x,y) V2 : x+ y V, (2.1)

    b)

    (,x) KV : x V. (2.2)Demonstratie.Necesitatea. Presupunem ca V este un spatiu liniar. Rezulta ca este nchis n raport cu

    operatia aditiva definita pe X, deci are loc relatia a); nmultirea cu scalari este o operatieexterna n raport cu K, peste tot definita pe X, deci are loc relatia b).Suficienta. Presupunem a) si b) ndeplinite, ceea ce nseamna ca V este nchis n raport

    cu operatiile de adunare a elementelor lui si de multiplicare la stanga cu elemente din corpulde scalari. Proprietatile de asociativitate si axiomele SL1, SL2, SL3, SL4 sunt satisfacutepe X, deci cu atat mai mult sunt satisfacute pe V X. Demonstram ca x V x Vsi X V. Pentru x V, considerand n b) = 1 rezulta x = x V; utilizand a)cu y = x obtinem x+ (x) = X V.

    Observatia 2.2 Relatiile (2.1) si (2.2) pot fi nlocuite printr-o singura relatie de forma

    (,x,y) KV2 : x+ y V. (2.3)

  • 26 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE

    Exemplul 2.4 Fie (X,+, ,K) este un spatiu liniar. Multimile V = {X} si X suntsubspatii liniare ale lui X. Ele se numesc subspatii improprii. Orice alt subspatiu alui X se numeste subspatiu propriu.

    Exemplul 2.5 Consideram spatiul liniar aritmetic Kn si fie multimeaV = {(0, x2, . . . , xn), xi K, i = 2, n} Kn.

    Observam ca (, (0, x2, . . . , xn), (0, y2, . . . , yn)) KV2 : (0, x2, . . . , xn)+(0, y2, . . . , yn) =(0, x2+y2, . . . , xn+yn) V. Rezulta ca V este un subspatiu liniar coform relatiei (2.3).

    Exemplul 2.6 Consideram submultimea W = {(1, x2, . . . , xn), xi K, i = 2, n} Kn.Observam ca ((1, x2, . . . , xn), (1, y2, . . . , yn)) W2 : (1, x2, . . . , xn) + (1, y2, . . . , yn) =(2, x2 + y2, . . . , xn + yn) /W, deci W nu este subspatiu liniar al spatiului Kn.

    2.2.1 Operatii cu subspatii liniare

    Definitia 2.3 Fie V1,V2 doua subspatii ale spatiului liniar (X,+, ,K). DefinimV1\V2 = {v | v V1 si v V2}

    V1[V2 = {v | i {1, 2} : v Vi}

    Teorema 2.3 Fie Fie V1,V2 doua subspatii ale spatiului liniar (X,+, ,K). IntersectiaV1TV2 este un subspatiu liniar al spatiului liniar X.

    Demonstratie.Observam ca V1

    TV2 6= deoarece X Vi, i {1, 2} X V1

    TV2. Pentru

    K si (x,y) (V1TV2)2, rezulta x + y Vi, i {1, 2} si deci x + y V1

    TV2.

    De asemenea x Vi,i {1, 2} si deci x V1TV2.Rezulta, conform Teoremei 2.2 de

    caracterizare a subspatiilor liniare, ca V1TV2 este un subspatiu liniar.

    Observatia 2.3 Reuniunea unui sistem de subspatii liniare nu este, n general, un subspatiuliniar. Ca exemplu consideram V1 = {(x1, 0) | (x1, 0) R2} , V2 = {(0, x2) | (0, x2) R2} .Daca consideram u = (1, 0) V1 si v = (0, 1) V2, u,v V1 V2, dar u+ v / V1 V2.

    Definitia 2.4 Fie V1 si V2 doua subspatii ale spatiului liniar (X,+, ,K). Se numeste sumasubspatiilor V1 si V2 multimea definita prin

    V = V1 +V2 = {v X | v1 V1,v2 V2 : v = v1 + v2} .Teorema 2.4 Suma subspatiilor V1 si V2 ale spatiului liniar (X,+, ,K), notata V, este unsubspatiu liniar al lui X.

    Demonstratie.Observam ca V 6= deoarece X + X V.Fie K si (u,v) V2 astfel ncat u = u1+u2,v = v1+ v2,u1,v1 V1, u2,v2 V2,

    u+ v = (u1 + u2) + (v1 + v2) = ( u1 + v1) + ( u2 + v2).Dar V1, V2 sunt subspatii liniare rezulta u1+v1 V1, u2+v2 V2 u+v V

    si deci, conform relatiei (2.3),V este subspatiu liniar.

  • 2.3. DEPENDENTA SI INDEPENDENTA LINIARA 27

    2.3 Dependenta si independenta liniara

    Definitia 2.5 Fie (X,+, ,K) este un spatiu liniar S = (vi)i=1,n un sistem de vectori dinX. Spunem ca un vector v X este o combinatie liniara de vectorii sistemului Sdaca exista (1, . . . , n) Kn astfel ncat

    v = 1 v1 + . . .+ n vn =nX

    i=1

    i vi.

    Definitia 2.6 Un sistem de vectori din X, S = (vi)i=1,n se numeste sistem liniar depen-dent (vectorii v1, . . . ,vn se numesc liniar dependenti) daca exista (1, 2, . . . , n) Kn, (1, . . . , n) 6= Kn astfel ncat

    1 v1 + 2 v2 + . . .+ n vn = X.

    In caz contrar sistemul de vectori S se numeste sistem liniar independent (vectoriiv1, . . . ,vn se numesc liniar independenti).

    Observatia 2.4 Din definitie rezulta ca sistemul de vectori S este liniar independent dacasi numai daca (1, . . . , n) Kn : 1 v1+2 v2+. . .+n vn = X (1, . . . , n) = Kn.

    Observatia 2.4 este utilizata n practica pentru a verifica daca un sistem de vectori esteliniar independent.

    Exercitiul 2.1 Vectorii v1 = (1, 0, 0),v2 = (0, 1, 0),v3 = (0, 0, 1) din R3 sunt liniar inde-pendenti deoarece

    1v1+2v2+3v3 = R3 1(1, 0, 0)+2(0, 1, 0)+3(0, 0, 1) = R3 (1, 2, 3) =(0, 0, 0) 1 = 2 = 3 = 0.

    Exercitiul 2.2 Vectorii v1 = (1, 2,1),v2 = (2,1, 0),v3 = (4, 3,2) din R3 sunt liniardependenti deoarece

    1v1 + 2v2 + 3v3 = R3 1(1, 2,1) + 2(2,1, 0) + 3(4, 3,2) = R3 ( 1 + 22 + 43, 2 1 2 + 33, 1 23) = (0, 0, 0)

    1 + 22 + 43 = 021 2 + 33 = 01 23 = 0

    . (2.4)

    Sistemul (2.4), care este un sistem liniar omogen, are solutii diferite de solutiabanala daca si numai daca determinantul sistemului este zero. Se verifica prin

    calcul ca

    1 2 42 1 31 0 2

    = 0, deci vectorii sunt liniar dependenti.

  • 28 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE

    Exemplul 2.7 Sistemul format numai din vectorul nul, (X) este liniar dependent deoare-ce avem 1 X = X, iar sistemul format dintr-un singur vector nenul, v 6= X esteliniar independent deoarece v = X, 6= 0 v = X.

    Teorema 2.5 (Teorema de caracterizare a dependentei liniare) Conditia nece-sara si suficienta ca un sistem de vectori din X, S = (vi)i=1,n sa fie liniar dependent esteca cel putin unul din vectori sa se poata exprima ca o combinatie liniara de ceilalti vectori.

    Demonatratie.Necesitatea. Presupunem ca sistemul de vectori S = (vi)i=1,n este liniar dependent.

    Rezulta ca exista (1, 2, . . . , n) Kn, (1, 2, . . . , n) 6= Kn, astfel ncat 1 v1 + 2 v2 + . . .+ n vn = X .Presupunem, de exemplu, j 6= 0, j {1, 2, . . . , n} . Atuncij vj = 1 v1 . . . j1 vj1 j+1 vj+1 . . . n vn, j 6= 0 1j vj = 1j 1 v1 . . . 1j j1 vj1 1j j+1 vj+1 . . . 1j n vn

    adica vj este o combinatie liniara de ceilalti vectori ai sistemului.Suficienta. Daca vj este o combinatie liniara de ceilalti vectori ai sistemului S atunci

    exista (1, . . . j1, j+1, . . . , n) Kn1vj = 1 v1 + . . .+ j1 vj1 + j+1 vj+1 + . . .+ n vn 1 v1 + . . .+ j1 vj1 vj + j+1 vj+1 + . . .+ n vn = X.Notam k = k, k = 1, n, k 6= j, j = 1 6= 0, (1, 2, . . . , n) 6= Kn, rezulta ca vectorii

    sistemului S sunt liniar dependenti.

    Consecinta 2.2 Orice sistem de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent.

    2.4 Baza si dimensiune

    Definitia 2.7 Daca n X exista n vectori liniar independenti, dar orice sistem de m vectoricu m > n este liniar dependent, spunem ca X este finit dimensional si are dimensiunea n.Se noteaza n = dimK X.. In acest caz, se poate scrie Xn n loc de X.

    Exemple de spatii n-dimensionale sunt Rn si Rn.Daca X = {X} dimK X = 0.

    Definitia 2.8 Intr-un spatiu Xn, orice sistem de n vectori liniar independenti se numestebaza.

    Teorema 2.6 Fie B = (v1,v2, . . . ,vn) este o baza n spatiul vectorial Xn. Orice vectorv Xn se scrie n mod unic ca o combinatie liniara de vectorii bazei.Demonstratie. Deoarece dimK X = n, orice n+ 1 vectori sunt liniar dependenti, deci si

    vectorii (v1,v2, . . . ,vn,v) sunt liniar dependenti. Rezulta ca exista (c1,c2, . . . ,cn, c) 6= Kn+1astfel ncat c1v1 + c2v2 + + cnvn + cv = X si demonstram ca c 6= 0. Daca c = 0atunci rezulta ca c1v1 + c2v2 + + cnvn = X si deoarece (v1,v2, . . . ,vn) sunt vectoriliniar independenti, rezulta toti ci = 0, ceea ce ar contrazice faptul ca numarul maxim de

  • 2.5. SCHIMBAREA COORDONATELOR VECTORULUI LA SCHIMBAREA BAZEI29

    vectori liniar independenti este n. Deci c 6= 0. Daca notam i = cic , i = 1, n gasim v =1v1+2v2+ +nvn si demonstram ca aceasta scriere este unica. In adevar, daca am aveasi v = 1v1+2v2+ +nvn ar rezulta (1 1)v1+(2 2)v2+ +(n n)vn = ,care implica i = i, i = 1, n.Definitia 2.9 Scalarii 1, 2, . . . , n se numesc coordonatele lui v n raport cu bazaaleasa.

    Daca se alege o alta baza, coordonatele unui vector se vor schimba (vor fi diferite decele din prima baza).

    Exercitiul 2.3 In spatiul liniar Rn consideram vectorii (e1, ..., en) unde

    e1 = (1, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) . (2.5)

    Din orice relatie de forma 1e1 + 2e2 + . . . + nen = X rezulta i = 0,i = 1, n decisistemul de vectorii (e1, ..., en) sunt liniar independenti. Pe de alta parte, pentru orice x =(x1, x2, . . . , xn) Kn avem x = x1 (1, 0, . . . , 0)+x2 (0, 1, 0, . . . , 0)+. . .+xn (0, 0, . . . , 0, 1) =x1e1+x2e2+. . .+xnen, adica vectorii (x, e1, ..., en) sunt liniar dependenti. Rezulta ca vectoriidefiniti de (2.5) formeaza o baza numita baza canonic a (baza naturala) din Rn.

    Teorema 2.7 (Teorema de completare a unui sistem de vectori liniar indepen-dent pana la o baza) Daca (ei)i=1,n este o baza n Xn, sistemul liniar independent (wi)i=1,pse poate completa pana la o baza Xn adaugand n p vectori din baza (ei)i=1,n astfel ncatnoul sistem obtinut sa fie liniar independent. Completarea nu este unica.

    2.5 Schimbarea coordonatelor vectorului la schimba-

    rea bazei

    Consideram X un K-spatiu liniar de dimensiune n si doua baze apartinand acestui spatiu,B = (ei)i=1,n si B0 = (e0i)i=1,n. Un vector oarecare u X se poate descompune n raport cucele doua baze sub forma: (1, 2, . . . , n) Kn astfel ncat n baza B vectorul u se poatescrie sub forma

    u =nX

    i=1

    iei = (1 2 . . . n)

    e1e2...en

    , (2.6)

    Fie (1, 2, . . . , n) Kn astfel ncat n baza B0 vectorul u se poate scrie sub forma

    u =nX

    j=1

    je0j = (1 2 . . . n)

    e01e02...e0n

    . (2.7)

  • 30 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE

    Vectorii bazei B0 = (e0i)i=1,n se pot descompune n raport cu vectorii bazei B dupa relatiile:

    e0j = (a1j a2j . . . anj)

    e1e2...en

    , j = 1, n. (2.8)

    Inlocuind relatia (2.8) n (2.7) rezulta

    u = (1 2 . . . n)

    a11 a21 an1a12 a22 an2...

    ......

    ...a1n a2n ann

    e1e2...en

    .

    Din unicitatea descompunerii unui vector dupa vectorii bazei (Teorema 2.6) rezulta

    (1 2 . . . n) = (1 2 . . . n)

    a11 a21 an1a12 a22 an2...

    ......

    ...a1n a2n ann

    sau, transpus,

    12...n

    =

    a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann

    12...n

    .

    Daca notam matricea de trecere de la baza B la baza B0

    A =

    a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann

    ,

    obtinem scrierea matriceala

    12...n

    = A

    12...n

    (2.9)

    Relatia (2.9) se numeste formula matriceala de schimbare a coordonatelor unuivector la o schimbare de baze.

  • 2.5. SCHIMBAREA COORDONATELOR VECTORULUI LA SCHIMBAREA BAZEI31

    Exercitiul 2.4 In R3 consideram baza canonica e1 =

    100

    , e2 =

    010

    , e3 =

    001

    si alta baza u1 =

    100

    ,u2 =

    110

    ,u3 =

    111

    . Un vector oarecare x, dat prin x =

    123

    se scrie n prima baza x = 1e1+2e2+3e3, iar n a doua x = 1u1+2u2+3u3.

    Deoarece u1 = e1, u2 = e1+ e2 si u3 = e1+ e2+ e3, matricea de trecere de baza de la baza

    (e1, e2, e3) la baza (u1,u2,u3) este

    1 1 10 1 10 0 1

    iar coordonatele vectorului x n raport cu

    baza (e1, e2, e3) n functie de coordonatele vectorului n raport cu baza (u1,u2,u3) suntdate de relatia

    123

    =

    1 1 10 1 10 0 1

    123

    Definitia 2.10 Se numeste matricea schimbarii de baza sau matricea de trecerede la baza B la baza B0 matricea A a carei coloana j este formata din coordonatelevectorului e0j al bazei B0 n raport cu vectorii bazei B, j = 1, n.

    Teorema 2.8 Matricea A de trecere de la baza B la baza B0 este inversabila.

    Demonstratie. Fie X un K-spatiu liniar de dimensiune n si doua baze B = (ei)i=1,n siB0 = (e0i)i=1,n. Exprimam vectorii bazei B cu ajutorul vectorilor bazei B0 :

    ei = (b1i b2i . . . bni)

    e01e02...e0n

    , i = 1, n. (2.10)

    Tinand seama de relatiile (2.6), (2.10) si (2.7) obtinem

    u = (1 2 . . . n)

    b11 b21 bn1b12 b22 bn2...

    ......

    ...b1n b2n bnn

    e01e02...e0n

    = (12 . . . n)

    e01e02...e0n

    de unde rezulta, daca notam cu B = (bij)i,j=1,n ,

    (12 . . . n) = (1 2 . . . n)BT B

    12...n

    =

    12...n

  • 32 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE

    Inlocuind n relatia (2.9)

    12...n

    = A

    12...n

    = A B

    12...n

    B A = In

    unde In = (ij)i,j=1,n , reprezenta matricea unitate de ordin n.Printr-un rationament analog, folosind relatiile (2.7),(2.8) si (2.6), obtinem A B = In,

    deci matricea A este inversabila.

    Definitia 2.11 Doua baze B = {e1, e2, ..., en} si B0 = {e01, e02, ..., e0n} din spatiul vectorialXn, se numesc baze la fel orientate daca determinantul matricei schimbarii de baza de labaza B la B0 este pozitiv. Daca acest determinant este negativ, cele doua baze se numesccontrar orientate.

  • Capitolul 4

    SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    an univ 2006/2007

    Definitia 4.1 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar. O functie:h, i : X X R se numeste produs scalar real n X daca satisface conditiile:SP1) (u,v,w) X3 : hu+ v,wi = hu,wi+ hv,wi,SP2) (,u,v) R X2 : h u,vi = hu,vi,SP3) u X : hu,vi = hv,ui ,SP4) u X :: hu,ui 0 si hu,ui = 0 u = X.

    Definitia 4.2 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar. Perechea ordonata (X, h, i) se numestespatiu liniar cu produs scalar real sau spatiu liniar euclidian.

    Teorema 4.1 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar euclidian)Daca (X, h, i) este un spatiu liniar euclidian atunci au loc relatiile:SP5) (u,v,w) X3 : hu,v +wi = hu,vi+ hu,wi,SP6) (,u,v) R X2 : hu, vi = hu, vi,SP7) u X : hu,Xi = hX,ui = 0,

    Demonstratie.

    S6) (u,v,w) X3 : hu,v +wi SP3= hv +w,ui SP1= hv,ui+ hw,ui SP3= hu,vi+ hu,wi,S7) (,u,v) RX2 : hu, vi SP3= hv,ui SP2= hv,ui,S8) n relatia SP2 consideram = 0 si obtinem: (u,v) X2, h0 v,ui = 0 hv,ui = 0

    dar h0 v,ui = hX,ui de unde rezulta h0 v,ui = hX,ui. Analog se obtine cealaltarelatie.

    Exemplul 4.1 Fie (Rn,+, ,R), n 1 spatiul liniar aritmetic ndimensional si aplicatiah, i : Rn Rn R definita prin

    (x,y) Rn Rn,x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nXi=1

    xiyi.(4.1)

    43

  • 44 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    Demonstram ca aplicatia astfel definita satisface axiomele produsului scalar real.SP1) (x,y, z) (Rn)3 , x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) : hx+ y, zi =

    nPi=1(xi + yi)zi =

    nPi=1

    xiyi +nPi=1

    xizi = hx, zi+ hy, zi.

    SP2)(,x,y) R (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nPi=1(xi)yi =

    nPi=1

    xiyi = hx,yi.

    SP3) (x,y) (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nPi=1

    xiyi =nPi=1

    yixi =

    hy,xi.SP4) x Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi =

    nPi=1

    x2i 0.

    x Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi = 0nPi=1

    x2i = 0 xi = 0, i = 1, n x = Rn .

    Produsul scalar definit prin (4.1) se numeste produs scalar standard (sau canonic)iar (Rn, h, i) este numit spatiul euclidian aritmetic canonic ndimensional. Analogse defineste produsul scalar standard n (Rn,+, ,R).

    Exemplul 4.2 Fie (C ([a, b] ,R) ,+, ,R) spatiul liniar al functiilor reale continue pe inter-valul nchis [a, b] R, unde a < b. Aplicatia h, i : C ([a, b] ,R)C ([a, b] ,R) R definitaprin

    (f, g) (C ([a, b] ,R))2 : hf, gi =bZa

    f(x)g(x)dx (4.2)

    este un produs scalar real, numit produs scalar canonic (standard) definit pe C ([a, b] ,R) ,iar (C ([a, b] ,R) , h, i) are structura de spatiu liniar euclidian.

    Definitia 4.3 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Pentru orice vector v X definimlungimea (norma) vectorului v, numarul real nenegativ:

    kvk =phv,vi. (4.3)

    Vectorul v cu proprietatea ca kvk = 1 se numeste versor sau vector unitar.

    Observatia 4.1 Daca v 6= X atunci vectorul v = 1kvkv este versor si se numeste versorulvectorului nenul v. Remarcam ca pentru orice v X,v 6= X are loc relatia v = kvk v.

    Exemplul 4.3 (Particularizari ale lungimii (normei) unui vector)In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i), cu produsul

    scalar definit prin relatia (4.1), lungimea unui vector x este:

  • 45

    kxk=vuut nX

    i=1

    x2i .

    In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit prinrelatia (4.2), lungimea unui vector f este:

    kfk=

    vuuut bZa

    f2(x)dx.

    Teorema 4.2 (Proprietati ale lungimii (normei) unui vector)Daca (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, atunci au loc relatiile:i)

    u X : kuk = 0 u = X,ii)

    (,u) RX : kuk =| | kuk ,iii)

    (u,v) X2 :| hu,vi | kuk kvk , (4.4)numita inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowski,Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii (u,v) X2 sunt liniar dependenti.iv)

    (u,v) X2 :k u+ v kk u k + k v k, (4.5)numita inegalitatea triunghiulara sau inegalitatea lui Minkowski.

    Demonstratie. i) u X, k u k= 0 hu,ui = 0 SP4 u = X.ii) (,u) KX : k u k= phu, ui = phu,ui = p2hu,ui =

    = | |k u k .iii) Inegalitatea este evident adevarata pentru u = X sau v = X. Presupunem u 6= X

    si v 6= X. Atunci k u + v k2= hu + v,u + vi = hu,ui + hu,vi + hv,ui +2hv,vi, utilizand definitia si proprietatile produsului scalar. Deoarece k u + v k2 0, R, rezulta 2hv,vi + 2hu,vi + hu,ui 0, R, care poate fi privita cao ecuatie de gradul doi care pastreaza semn constant oricare ar fi real. Deci =4 (hu,vi2 hv,vihu,ui) 0 si obtinem |hu,vi| phu,uiphv,vi, adica inegalitateaCauchy-Schwarz-Buniakowski.Egaliatea are loc n cazurile:a) cel putin unul din vectori este X, deci sistemul de vectori (u,v) este liniar dependent,b) u + v = X, relatie care nseamna dependenta liniara. Reciproc, daca sistemul de

    vectori (u,v) este liniar dependent, atunci exista R : v = u si obtinem | hu,vi |=| |k u k2=k u kk v k .

  • 46 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    iv) (u,v) X2 : k u+ v k2= hu+ v,u+ vi = hu,ui + hu,vi + hv,ui + hv,vi =k u k2 +2hu,vi+ k v k2 k u k2 +2 | hu,vi | + k v k2 k u k2 +2 k u kk v k ++ k v k2 (k u k + k v k)2 , adica inegalitatea triunghiulara. Am avut n vedere inegalita-tea hu,vi | hu,vi |.

    Exemplul 4.4 Particularizari ale inegalitatii Cauchy-Schwarz-Buniakowski.In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i) cu produsul

    scalar definit prin relatia (4.1), inegalitatea (4.4) este de forma:

    |nXi=1

    xiyi |vuut nX

    i=1

    x2i

    vuut nXi=1

    y2i .

    In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit prinrelatia (4.2), inegalitatea (4.4) este de forma:

    |bZa

    f(x)g(x)dx |

    vuuut bZa

    f2(x)dx

    vuuut bZa

    g2(x)dx.

    Observatia 4.2 Daca (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, atunci functia k k: X Rdefinta de u X, k u k= phu,ui, care reprezinta lungimea vectorului u, relatia (4.3),este o norma pe X (satisface axiomele normei ( i, ii, iv ). Aceasta norma se numeste normaindusa n X de produsul scalar definit n spatiul liniar X.

    Definitia 4.4 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar n care este definita o norma. Perecheaordonata (X, k k) se numeste spatiu liniar normat.

    Definitia 4.5 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar euclidian. Daca (X, k k) este un spatiuliniar normat cu norma k k indusa de produsul scalar h, i, atunci perechea ordonata(X, k k) se numeste spatiu prehilbertian.

    Definitia 4.6 Daca (X, k k) este un spatiu prehilbertian complet (n sensul ca orice sirCauchy de elemente din X este un sir convergent) atunci (X, k k) se numeste spatiuHilbert.

    Exemplul 4.5 Spatiul (Rn,+, ,R), n 1 este evident un spatiu Hilbert relativ la produsulscalar canonic definit n Exemplul 4.1.

    Observatia 4.3 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Pentru orice pereche ordonata devectori (u,v) (X \ {X})2 inegalitatea Cauchy - Schwarz - Buniakowski poate fi scrisa deforma:| hu,vi |

    k u kk v k 1 1 hu,vi

    k u kk v k 1.

  • 4.1. BAZE ORTONORMATE 47

    Definitia 4.7 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Solutia unica n intervalul [0, ],notata \(u,v), a ecuatiei

    cos\(u,v) =hu,vi

    k u kk v kse numeste unghiul neorientat al perechii ordonate (u,v) (X \ {X})2.

    Definitia 4.8 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Daca (u,v) X2 si hu,vi = 0atunci u se numeste vector ortogonal cu vectorul v. Folosim notatia u v.

    In plan sau n spatiu aceasta notiune coincide cu cea de perpendicularitate.

    Definitia 4.9 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Aplicatia

    d : XX R

    definita prin

    u,v X : d(u,v) = ku vkse numestemetrica sau distanta pe X. Numarul real d(u,v) se numeste distanta dintrevectorii u si v, iar perechea ordonata (X, d) se numeste spatiu metric.

    Exemplul 4.6 In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i)cu produsul scalar definit prin relatia (4.1), distanta dintre vectorii x,y Rn, x =(x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) este data de

    d(x,y) =

    vuut nXi=1

    (xi yi)2.

    4.1 Baze ortonormate

    Definitia 4.10 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Un sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortogonal daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi, adica

    i, j = 1,m, i 6= j : vi vj.

    Definitia 4.11 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Un sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortonormat daca este ortogonal si format numai din vectori unitari (versori).

    Observatia 4.4 Din orice sistem de vectori ortogonal se poate obtine un sistem ortonormatnmultind fiecare vector vi,vi 6= X, i = 1,m, al sistemului cu k vi k1, obtinandu-se astfelvectori unitari.

  • 48 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    Exemplul 4.7 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = 12(3x2 1)) este

    un sistem ortogonal n (C ([1, 1] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit n Exemplul 4.2.Intr-adevar,

    hf0, f1i =1R

    1xdx = 0, hf1, f2i =

    1R1

    x12(3x2 1)dx = 0, hf0, f2i =

    1R1

    12(3x2 1)dx = 0.

    Teorema 4.3 Orice sistem de vectori ortogonal, format din vectori nenuli, este liniar in-dependent.

    Demonstratie. Fie un sistem de vectori S = (vi)i=1,m ortogonal, format din vectorinenuli. Sa presupunem ca avem: 1v1 + . . .+ nvn = X. Obtinem: k = 1, n : h1v1 + . . .+ nvn, vki = ik k vik k2= 0, k vik k6= 0 ik = 0, k = 1, p,

    deci sistemul S este liniar independent.

    Consecinta 4.1 Daca dimK X =n, utilizand Teorema 4.3 rezulta ca orice sistem de n vec-tori ortogonal (sau ortonormat), format din vectori nenuli, formeaza o baza n X.

    Definitia 4.12 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Un sistem de vectoriS = (ei)i=1,n se numeste baza ortonormata daca S = (ei)i=1,n este un sistem ortonormatde vectori.

    Observatia 4.5 Un sistem de vectori S = (ei)i=1,n este o baza ortonormata daca

    i, j =1, n: hei,eji = ij, unde ij =1, daca i = j0, daca i 6= j este simbolul lui Kronecker.

    Exemplul 4.8 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = sinx, f2(x) = cosx, . . . ,f2n1(x) = sinnx, f2n(x) = cosnx) este un sistem ortogonal n (C ([, ] ,R) , h, i) cuprodusul scalar definit n Exemplul 4.2.

    Ortonormam sistemul. Pentru aceasta calculam norma fiecarui vector din sistem.

    k f0 k2=R

    dx = 2,

    k f2k1 k2=R

    sin2 kxdx = ,

    k f2k k2=R

    cos2 kxdx = .

    Sistemul S0 = (g0(x) =12

    , g1(x) =1sinx, f2(x) =

    1cosx, . . . , f2n1(x) =

    1sinnx, f2n(x) =

    1cosnx) este un sistem ortonormat. Acest sistem va fi utilizat la

    construirea seriei Fourier atasata unei functii periodice.

  • 4.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 49

    4.2 Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

    Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Evident ca acest spatiu trebuie sacontina o baza. Nu este evident ca acest spatiu contine o baza ortonormata. Urmatoareateorema asigura existenta unei asemenea baze si totodata ne da un procedeu de constructiea acesteia, pornind de la o baza oarecare.

    Teorema 4.4 (Procedeul de ortonormare Gram-Schmidt) In orice spatiu liniareuclidian (X, h, i) exista cel putin o baza ortonormata.

    Demonstratie. Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Pornind de la obaza arbitrara S = (v1,v2, . . . ,vn) Construim o baza ortonormata S0 folosind procedeulGram-Schmidt. Consideram vectorii:

    u1 = v1u2 = v2 + 21u1u3 = v3 + 31u1 + 32u2 un = vn + n1u1 + + n,n1un1

    (4.6)

    si vom determina scalarii ij care apar n (4.6) impunand conditia ca fiecare vector ui sa fieortogonal pe vectorii (u1,u2, . . . ,ui1). u1 u2 hu2,u1i = 0 si folosind a doua relatiedin (4.6) obtinem: 21 =

    hv2,u1ik u1 k2 .

    In general hui,uki = 0 pentru k < i, hvi + i1u1 + + i,i1ui1,uki = 0 ik =hvi,ukik uk k2 , pentru i = 2, n si k < i.Ramane de demonstrat ca vectorii din sistemului (u1,u2, . . . ,un) construiti conform

    procedeului descris sunt diferiti de zero, n caz contrar mpartirea cu k uk k2 nu ar aveasens. Observam ca uj este o combinatie liniara formata din v1,v2, . . . ,vj1, deci nlocuindpe u1,u2, . . . ,uk1 prin aceste combinatii liniare n uk = vk + k1u1 + + k,k1uk1obtinem uk = vk+1v1+ +k1vk1. uk = 0 (v1,v2, . . . ,vk) liniar dependenti, ceeace este fals deoarece ei formeaza un subsistem al unui sistem liniar independent.Astfel am construit sistemul ortogonal S = (ui)i=1,n care nu contine vectorul nul. Con-

    form Teoremei 4.3 sistemul S = (ui)i=1,n este liniar independent, rezulta ca formeaza o baza.

    Sistemul S0 = (e1, . . . , en), e1 =1

    k u1 ku1, . . . , en =1

    k un kun, este baza ortonormata .

    Exercitiul 4.1 Fie spatiul liniar (R3,+, ,R) pe care este definit produsul scalar standard(vezi Exemplul 4.1). Sa se afle o baza ortonormata n R3, plecand de la baza

    v1 =

    122

    ,v2 =

    135

    ,v3 =

    402

    . (4.7)

  • 50 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    Rezolvare. Fie u1 = v1 si u2 = v2 + 21v1, hu2,u1i = 0 21 = hv2,u1i / hu1,u1i =

    5/3. Va rezulta ca u2 este dat prin u2 =

    8/31/35/3

    . Cautam pe u3 de forma u3 =

    v3+31u1+32u2 si gasim 31 = 0, 32 = 7/5. Va rezulta ca u3 =

    4/157/155/15

    . Calculam

    lungimile vectorilor u1, u2 si u3.ku1k =

    12 + 22 + 22 = 3,

    ku2k =q(8/3)2 + (1/3)2 + (5/3)2 =

    10,

    ku3k =q(4/15)2 + (7/15)2 + (5/15)2 = 1

    5

    10

    Impartind u1, u2 si u3 cu lungimea lor, am gasit trei vectori ortonormati si anume

    132323

    ,

    8310

    1310

    5310

    ,

    4310

    7310

    5310

    (4.8)

    formand o baza ortonormata.

    Exercitiul 4.2 Se considera spatiul liniar (R2 [x] ,+, ,R) al polinoamelor de grad cel mult

    doi pe care se defineste produsul scalar: (p,q) (R2 [x])2 : hp,qi =1Z1

    p(x)q(x)dx.

    Consideram baza B = (1, x, x2) . Aplicand procedeul Gram-Schmidt sa se obtina din bazadata o baza ortonormata.

    Rezolvare. Fie r1(x) = 1,

    r2(x) = x

    1Z1

    x1dx

    1Z1

    11dx

    1 = x 02 1 = x,

    r3(x) = x2

    1Z1

    x21dx

    1Z1

    11dx

    1

    1Z1

    x2xdx

    1Z1

    xxdx

    x = x2 2/32 1 0

    2/3 x = x2 13 .

    Sistemul de vectori1, x, x2 1

    3

    este ortogonal. Il ortonormam, mpartind vectorii la

    lungimea lor.

  • 4.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 51

    s1(x) = 1yxxxxxw

    1Z1

    11dx

    1 = 12,

    s2(x) = 1yxxxxxw

    1Z1

    xxdx

    x =q

    32 x,

    s3(x) = 1yxxxxxw

    1Z1

    (x2 13)(x2 13)dx

    x2 13

    = 1

    2

    q52

    x2 1

    3

    .

    4.2.1 Expresia produsului scalar ntr-o baza ortonormata

    Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimR X =n si S = (ei)i=1,n o baza ortonormatan X. Fie (u,v) X2, (1, . . . , n) Rn, (1, . . . , n) Rn : u =

    nXi=1

    iei,v =

    nXj=1

    jej. si S = (ei)i=1,n o baza ortonormata n X. Atunci expresia produsului scalar n

    baza ortonormata data va fi:

    hu,vi = (1 . . . n)

    1...n

    =

    nXi=1

    ii. (4.9)

    Observam ca daca (X, h, i) este un spatiu liniar euclidian, expresia produsului scalarntr-o baza ortonormata se reduce la produsul scalar standard din Rn. In acest caz expresialungimii unui vector ntr-o baza ortonormata este:

    u X,u =nXi=1

    iei :k u k= (1 . . . n)

    1...n

    =

    vuut nXi=1

    2i .

    Definitia 4.13 Matricea A Mn(R) se numeste ortogonala daca ATA = AAT= In.

    Observatia 4.6 Din definitie rezulta ca dacaA Mn(R) este o matrice ortogonala, atunciavem det(A) = 1, A este inversabila si inversa sa este A1 = AT .

    Teorema 4.5 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian si dimR X =n si S = (ei)i=1,n, S1 =(e0i)i=1,n doua baze ortonormate n X. Daca S

    A S1, unde A = (aij)i,j=1,n, atunci matriceaA este ortogonala. Reciproc, daca baza S este ortonormata, iar matricea A este ortogonala,atunci baza S1 este ortonormata.

  • 52 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    Demonstratie. Neesitatea. Vectorii (e0i)i=1,n se pot descompune n raport cu vectoriibazei S dupa relatiile:

    e0j = (a1j, a2j, . . . , anj)

    e1e2...en

    =

    nXi=1

    aijei, j = 1, n.

    Atunci he0i, e0ji = hnX

    k=1

    akiek,nX

    h=1

    ahjehi =nX

    k=1

    nXh=1

    akiahjhek, ehi =nX

    k=1

    nXh=1

    akiahjkh =

    nXk=1

    akiakj ij =nX

    k=1

    akiakj In = AtA, adica A este o matrice ortogonala.

    Suficienta. Daca A este o matrice ortogonala, atunci din he0i, e0ji =nX

    k=1

    nXh=1

    akiahjkh =

    nXk=1

    akiakj = ij rezulta ca S1 este o baza ortonormata.

  • Capitolul 4

    SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    an univ 2006/2007

    Definitia 4.1 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar. O functie:h, i : X X R se numeste produs scalar real n X daca satisface conditiile:SP1) (u,v,w) X3 : hu+ v,wi = hu,wi+ hv,wi,SP2) (,u,v) R X2 : h u,vi = hu,vi,SP3) u X : hu,vi = hv,ui ,SP4) u X :: hu,ui 0 si hu,ui = 0 u = X.

    Definitia 4.2 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar. Perechea ordonata (X, h, i) se numestespatiu liniar cu produs scalar real sau spatiu liniar euclidian.

    Teorema 4.1 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar euclidian)Daca (X, h, i) este un spatiu liniar euclidian atunci au loc relatiile:SP5) (u,v,w) X3 : hu,v +wi = hu,vi+ hu,wi,SP6) (,u,v) R X2 : hu, vi = hu, vi,SP7) u X : hu,Xi = hX,ui = 0,

    Demonstratie.

    S6) (u,v,w) X3 : hu,v +wi SP3= hv +w,ui SP1= hv,ui+ hw,ui SP3= hu,vi+ hu,wi,S7) (,u,v) RX2 : hu, vi SP3= hv,ui SP2= hv,ui,S8) n relatia SP2 consideram = 0 si obtinem: (u,v) X2, h0 v,ui = 0 hv,ui = 0

    dar h0 v,ui = hX,ui de unde rezulta h0 v,ui = hX,ui. Analog se obtine cealaltarelatie.

    Exemplul 4.1 Fie (Rn,+, ,R), n 1 spatiul liniar aritmetic ndimensional si aplicatiah, i : Rn Rn R definita prin

    (x,y) Rn Rn,x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nXi=1

    xiyi.(4.1)

    43

  • 44 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    Demonstram ca aplicatia astfel definita satisface axiomele produsului scalar real.SP1) (x,y, z) (Rn)3 , x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) : hx+ y, zi =

    nPi=1(xi + yi)zi =

    nPi=1

    xiyi +nPi=1

    xizi = hx, zi+ hy, zi.

    SP2)(,x,y) R (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nPi=1(xi)yi =

    nPi=1

    xiyi = hx,yi.

    SP3) (x,y) (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nPi=1

    xiyi =nPi=1

    yixi =

    hy,xi.SP4) x Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi =

    nPi=1

    x2i 0.

    x Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi = 0nPi=1

    x2i = 0 xi = 0, i = 1, n x = Rn .

    Produsul scalar definit prin (4.1) se numeste produs scalar standard (sau canonic)iar (Rn, h, i) este numit spatiul euclidian aritmetic canonic ndimensional. Analogse defineste produsul scalar standard n (Rn,+, ,R).

    Exemplul 4.2 Fie (C ([a, b] ,R) ,+, ,R) spatiul liniar al functiilor reale continue pe inter-valul nchis [a, b] R, unde a < b. Aplicatia h, i : C ([a, b] ,R)C ([a, b] ,R) R definitaprin

    (f, g) (C ([a, b] ,R))2 : hf, gi =bZa

    f(x)g(x)dx (4.2)

    este un produs scalar real, numit produs scalar canonic (standard) definit pe C ([a, b] ,R) ,iar (C ([a, b] ,R) , h, i) are structura de spatiu liniar euclidian.

    Definitia 4.3 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Pentru orice vector v X definimlungimea (norma) vectorului v, numarul real nenegativ:

    kvk =phv,vi. (4.3)

    Vectorul v cu proprietatea ca kvk = 1 se numeste versor sau vector unitar.

    Observatia 4.1 Daca v 6= X atunci vectorul v = 1kvkv este versor si se numeste versorulvectorului nenul v. Remarcam ca pentru orice v X,v 6= X are loc relatia v = kvk v.

    Exemplul 4.3 (Particularizari ale lungimii (normei) unui vector)In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i), cu produsul

    scalar definit prin relatia (4.1), lungimea unui vector x este:

  • 45

    kxk=vuut nX

    i=1

    x2i .

    In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit prinrelatia (4.2), lungimea unui vector f este:

    kfk=

    vuuut bZa

    f2(x)dx.

    Teorema 4.2 (Proprietati ale lungimii (normei) unui vector)Daca (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, atunci au loc relatiile:i)

    u X : kuk = 0 u = X,ii)

    (,u) RX : kuk =| | kuk ,iii)

    (u,v) X2 :| hu,vi | kuk kvk , (4.4)numita inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowski,Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii (u,v) X2 sunt liniar dependenti.iv)

    (u,v) X2 :k u+ v kk u k + k v k, (4.5)numita inegalitatea triunghiulara sau inegalitatea lui Minkowski.

    Demonstratie. i) u X, k u k= 0 hu,ui = 0 SP4 u = X.ii) (,u) KX : k u k= phu, ui = phu,ui = p2hu,ui =

    = | |k u k .iii) Inegalitatea este evident adevarata pentru u = X sau v = X. Presupunem u 6= X

    si v 6= X. Atunci k u + v k2= hu + v,u + vi = hu,ui + hu,vi + hv,ui +2hv,vi, utilizand definitia si proprietatile produsului scalar. Deoarece k u + v k2 0, R, rezulta 2hv,vi + 2hu,vi + hu,ui 0, R, care poate fi privita cao ecuatie de gradul doi care pastreaza semn constant oricare ar fi real. Deci =4 (hu,vi2 hv,vihu,ui) 0 si obtinem |hu,vi| phu,uiphv,vi, adica inegalitateaCauchy-Schwarz-Buniakowski.Egaliatea are loc n cazurile:a) cel putin unul din vectori este X, deci sistemul de vectori (u,v) este liniar dependent,b) u + v = X, relatie care nseamna dependenta liniara. Reciproc, daca sistemul de

    vectori (u,v) este liniar dependent, atunci exista R : v = u si obtinem | hu,vi |=| |k u k2=k u kk v k .

  • 46 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    iv) (u,v) X2 : k u+ v k2= hu+ v,u+ vi = hu,ui + hu,vi + hv,ui + hv,vi =k u k2 +2hu,vi+ k v k2 k u k2 +2 | hu,vi | + k v k2 k u k2 +2 k u kk v k ++ k v k2 (k u k + k v k)2 , adica inegalitatea triunghiulara. Am avut n vedere inegalita-tea hu,vi | hu,vi |.

    Exemplul 4.4 Particularizari ale inegalitatii Cauchy-Schwarz-Buniakowski.In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i) cu produsul

    scalar definit prin relatia (4.1), inegalitatea (4.4) este de forma:

    |nXi=1

    xiyi |vuut nX

    i=1

    x2i

    vuut nXi=1

    y2i .

    In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit prinrelatia (4.2), inegalitatea (4.4) este de forma:

    |bZa

    f(x)g(x)dx |

    vuuut bZa

    f2(x)dx

    vuuut bZa

    g2(x)dx.

    Observatia 4.2 Daca (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, atunci functia k k: X Rdefinta de u X, k u k= phu,ui, care reprezinta lungimea vectorului u, relatia (4.3),este o norma pe X (satisface axiomele normei ( i, ii, iv ). Aceasta norma se numeste normaindusa n X de produsul scalar definit n spatiul liniar X.

    Definitia 4.4 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar n care este definita o norma. Perecheaordonata (X, k k) se numeste spatiu liniar normat.

    Definitia 4.5 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar euclidian. Daca (X, k k) este un spatiuliniar normat cu norma k k indusa de produsul scalar h, i, atunci perechea ordonata(X, k k) se numeste spatiu prehilbertian.

    Definitia 4.6 Daca (X, k k) este un spatiu prehilbertian complet (n sensul ca orice sirCauchy de elemente din X este un sir convergent) atunci (X, k k) se numeste spatiuHilbert.

    Exemplul 4.5 Spatiul (Rn,+, ,R), n 1 este evident un spatiu Hilbert relativ la produsulscalar canonic definit n Exemplul 4.1.

    Observatia 4.3 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Pentru orice pereche ordonata devectori (u,v) (X \ {X})2 inegalitatea Cauchy - Schwarz - Buniakowski poate fi scrisa deforma:| hu,vi |

    k u kk v k 1 1 hu,vi

    k u kk v k 1.

  • 4.1. BAZE ORTONORMATE 47

    Definitia 4.7 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Solutia unica n intervalul [0, ],notata \(u,v), a ecuatiei

    cos\(u,v) =hu,vi

    k u kk v kse numeste unghiul neorientat al perechii ordonate (u,v) (X \ {X})2.

    Definitia 4.8 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Daca (u,v) X2 si hu,vi = 0atunci u se numeste vector ortogonal cu vectorul v. Folosim notatia u v.

    In plan sau n spatiu aceasta notiune coincide cu cea de perpendicularitate.

    Definitia 4.9 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Aplicatia

    d : XX R

    definita prin

    u,v X : d(u,v) = ku vkse numestemetrica sau distanta pe X. Numarul real d(u,v) se numeste distanta dintrevectorii u si v, iar perechea ordonata (X, d) se numeste spatiu metric.

    Exemplul 4.6 In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i)cu produsul scalar definit prin relatia (4.1), distanta dintre vectorii x,y Rn, x =(x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) este data de

    d(x,y) =

    vuut nXi=1

    (xi yi)2.

    4.1 Baze ortonormate

    Definitia 4.10 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Un sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortogonal daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi, adica

    i, j = 1,m, i 6= j : vi vj.

    Definitia 4.11 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Un sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortonormat daca este ortogonal si format numai din vectori unitari (versori).

    Observatia 4.4 Din orice sistem de vectori ortogonal se poate obtine un sistem ortonormatnmultind fiecare vector vi,vi 6= X, i = 1,m, al sistemului cu k vi k1, obtinandu-se astfelvectori unitari.

  • 48 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    Exemplul 4.7 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = 12(3x2 1)) este

    un sistem ortogonal n (C ([1, 1] ,R) , h, i) cu produsul scalar definit n Exemplul 4.2.Intr-adevar,

    hf0, f1i =1R

    1xdx = 0, hf1, f2i =

    1R1

    x12(3x2 1)dx = 0, hf0, f2i =

    1R1

    12(3x2 1)dx = 0.

    Teorema 4.3 Orice sistem de vectori ortogonal, format din vectori nenuli, este liniar in-dependent.

    Demonstratie. Fie un sistem de vectori S = (vi)i=1,m ortogonal, format din vectorinenuli. Sa presupunem ca avem: 1v1 + . . .+ nvn = X. Obtinem: k = 1, n : h1v1 + . . .+ nvn, vki = ik k vik k2= 0, k vik k6= 0 ik = 0, k = 1, p,

    deci sistemul S este liniar independent.

    Consecinta 4.1 Daca dimK X =n, utilizand Teorema 4.3 rezulta ca orice sistem de n vec-tori ortogonal (sau ortonormat), format din vectori nenuli, formeaza o baza n X.

    Definitia 4.12 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Un sistem de vectoriS = (ei)i=1,n se numeste baza ortonormata daca S = (ei)i=1,n este un sistem ortonormatde vectori.

    Observatia 4.5 Un sistem de vectori S = (ei)i=1,n este o baza ortonormata daca

    i, j =1, n: hei,eji = ij, unde ij =1, daca i = j0, daca i 6= j este simbolul lui Kronecker.

    Exemplul 4.8 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = sinx, f2(x) = cosx, . . . ,f2n1(x) = sinnx, f2n(x) = cosnx) este un sistem ortogonal n (C ([, ] ,R) , h, i) cuprodusul scalar definit n Exemplul 4.2.

    Ortonormam sistemul. Pentru aceasta calculam norma fiecarui vector din sistem.

    k f0 k2=R

    dx = 2,

    k f2k1 k2=R

    sin2 kxdx = ,

    k f2k k2=R

    cos2 kxdx = .

    Sistemul S0 = (g0(x) =12

    , g1(x) =1sinx, f2(x) =

    1cosx, . . . , f2n1(x) =

    1sinnx, f2n(x) =

    1cosnx) este un sistem ortonormat. Acest sistem va fi utilizat la

    construirea seriei Fourier atasata unei functii periodice.

  • 4.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 49

    4.2 Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

    Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Evident ca acest spatiu trebuie sacontina o baza. Nu este evident ca acest spatiu contine o baza ortonormata. Urmatoareateorema asigura existenta unei asemenea baze si totodata ne da un procedeu de constructiea acesteia, pornind de la o baza oarecare.

    Teorema 4.4 (Procedeul de ortonormare Gram-Schmidt) In orice spatiu liniareuclidian (X, h, i) exista cel putin o baza ortonormata.

    Demonstratie. Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Pornind de la obaza arbitrara S = (v1,v2, . . . ,vn) Construim o baza ortonormata S0 folosind procedeulGram-Schmidt. Consideram vectorii:

    u1 = v1u2 = v2 + 21u1u3 = v3 + 31u1 + 32u2 un = vn + n1u1 + + n,n1un1

    (4.6)

    si vom determina scalarii ij care apar n (4.6) impunand conditia ca fiecare vector ui sa fieortogonal pe vectorii (u1,u2, . . . ,ui1). u1 u2 hu2,u1i = 0 si folosind a doua relatiedin (4.6) obtinem: 21 =

    hv2,u1ik u1 k2 .

    In general hui,uki = 0 pentru k < i, hvi + i1u1 + + i,i1ui1,uki = 0 ik =hvi,ukik uk k2 , pentru i = 2, n si k < i.Ramane de demonstrat ca vectorii din sistemului (u1,u2, . . . ,un) construiti conform

    procedeului descris sunt diferiti de zero, n caz contrar mpartirea cu k uk k2 nu ar aveasens. Observam ca uj este o combinatie liniara formata din v1,v2, . . . ,vj1, deci nlocuindpe u1,u2, . . . ,uk1 prin aceste combinatii liniare n uk = vk + k1u1 + + k,k1uk1obtinem uk = vk+1v1+ +k1vk1. uk = 0 (v1,v2, . . . ,vk) liniar dependenti, ceeace este fals deoarece ei formeaza un subsistem al unui sistem liniar independent.Astfel am construit sistemul ortogonal S = (ui)i=1,n care nu contine vectorul nul. Con-

    form Teoremei 4.3 sistemul S = (ui)i=1,n este liniar independent, rezulta ca formeaza o baza.

    Sistemul S0 = (e1, . . . , en), e1 =1

    k u1 ku1, . . . , en =1

    k un kun, este baza ortonormata .

    Exercitiul 4.1 Fie spatiul liniar (R3,+, ,R) pe care este definit produsul scalar standard(vezi Exemplul 4.1). Sa se afle o baza ortonormata n R3, plecand de la baza

    v1 =

    122

    ,v2 =

    135

    ,v3 =

    402

    . (4.7)

  • 50 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    Rezolvare. Fie u1 = v1 si u2 = v2 + 21v1, hu2,u1i = 0 21 = hv2,u1i / hu1,u1i =

    5/3. Va rezulta ca u2 este dat prin u2 =

    8/31/35/3

    . Cautam pe u3 de forma u3 =

    v3+31u1+32u2 si gasim 31 = 0, 32 = 7/5. Va rezulta ca u3 =

    4/157/155/15

    . Calculam

    lungimile vectorilor u1, u2 si u3.ku1k =

    12 + 22 + 22 = 3,

    ku2k =q(8/3)2 + (1/3)2 + (5/3)2 =

    10,

    ku3k =q(4/15)2 + (7/15)2 + (5/15)2 = 1

    5

    10

    Impartind u1, u2 si u3 cu lungimea lor, am gasit trei vectori ortonormati si anume

    132323

    ,

    8310

    1310

    5310

    ,

    4310

    7310

    5310

    (4.8)

    formand o baza ortonormata.

    Exercitiul 4.2 Se considera spatiul liniar (R2 [x] ,+, ,R) al polinoamelor de grad cel mult

    doi pe care se defineste produsul scalar: (p,q) (R2 [x])2 : hp,qi =1Z1

    p(x)q(x)dx.

    Consideram baza B = (1, x, x2) . Aplicand procedeul Gram-Schmidt sa se obtina din bazadata o baza ortonormata.

    Rezolvare. Fie r1(x) = 1,

    r2(x) = x

    1Z1

    x1dx

    1Z1

    11dx

    1 = x 02 1 = x,

    r3(x) = x2

    1Z1

    x21dx

    1Z1

    11dx

    1

    1Z1

    x2xdx

    1Z1

    xxdx

    x = x2 2/32 1 0

    2/3 x = x2 13 .

    Sistemul de vectori1, x, x2 1

    3

    este ortogonal. Il ortonormam, mpartind vectorii la

    lungimea lor.

  • 4.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 51

    s1(x) = 1yxxxxxw

    1Z1

    11dx

    1 = 12,

    s2(x) = 1yxxxxxw

    1Z1

    xxdx

    x =q

    32 x,

    s3(x) = 1yxxxxxw

    1Z1

    (x2 13)(x2 13)dx

    x2 13

    = 1

    2

    q52

    x2 1

    3

    .

    4.2.1 Expresia produsului scalar ntr-o baza ortonormata

    Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimR X =n si S = (ei)i=1,n o baza ortonormatan X. Fie (u,v) X2, (1, . . . , n) Rn, (1, . . . , n) Rn : u =

    nXi=1

    iei,v =

    nXj=1

    jej. si S = (ei)i=1,n o baza ortonormata n X. Atunci expresia produsului scalar n

    baza ortonormata data va fi:

    hu,vi = (1 . . . n)

    1...n

    =

    nXi=1

    ii. (4.9)

    Observam ca daca (X, h, i) este un spatiu liniar euclidian, expresia produsului scalarntr-o baza ortonormata se reduce la produsul scalar standard din Rn. In acest caz expresialungimii unui vector ntr-o baza ortonormata este:

    u X,u =nXi=1

    iei :k u k= (1 . . . n)

    1...n

    =

    vuut nXi=1

    2i .

    Definitia 4.13 Matricea A Mn(R) se numeste ortogonala daca ATA = AAT= In.

    Observatia 4.6 Din definitie rezulta ca dacaA Mn(R) este o matrice ortogonala, atunciavem det(A) = 1, A este inversabila si inversa sa este A1 = AT .

    Teorema 4.5 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian si dimR X =n si S = (ei)i=1,n, S1 =(e0i)i=1,n doua baze ortonormate n X. Daca S

    A S1, unde A = (aij)i,j=1,n, atunci matriceaA este ortogonala. Reciproc, daca baza S este ortonormata, iar matricea A este ortogonala,atunci baza S1 este ortonormata.

  • 52 CAPITOLUL 4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

    Demonstratie. Neesitatea. Vectorii (e0i)i=1,n se pot descompune n raport cu vectoriibazei S dupa relatiile:

    e0j = (a1j, a2j, . . . , anj)

    e1e2...en

    =

    nXi=1

    aijei, j = 1, n.

    Atunci he0i, e0ji = hnX

    k=1

    akiek,nX

    h=1

    ahjehi =nX

    k=1

    nXh=1

    akiahjhek, ehi =nX

    k=1

    nXh=1

    akiahjkh =

    nXk=1

    akiakj ij =nX

    k=1

    akiakj In = AtA, adica A este o matrice ortogonala.

    Suficienta. Daca A este o matrice ortogonala, atunci din he0i, e0ji =nX

    k=1

    nXh=1

    akiahjkh =

    nXk=1

    akiakj = ij rezulta ca S1 este o baza ortonormata.

  • Capitolul 5

    VALORI SI VECTORI PROPRII

    an universitar 2006/2007Problema: data matricea A Mn(K), sa se determine o matrice nesingulara P

    Mn(K) astfel ncat matricea B = P1 A P sa aiba o forma cat mai simpla. Pentru arezolva aceasta problema introducem notiunile: valoare proprie, vector propriu, polinomcaracteristic etc.

    Definitia 5.1 Fie matricea A = (aij)i,j=1,n Mn(K). Vectorul coloana x =

    x1...xn

    Mn1(K) pentru care exista K astfel ncat: Ax = x,x 6= Mn1(K) se numeste vectorpropriu al matricei A, iar valoare proprie a matricei A.

    Observatia 5.1 Daca x este vector propriu a matricei A, atunci K \ {0}, vectorulx este tot vector propriu deoarece Ax = x Ax = x A(x) = (x).

    Multimea valorilor K care sunt valori proprii ale matricei A se numeste spectrullui A si se noteaza (A). Raza spectrala a matricei A este numarul real pozitiv (A) =max {|| , (A)} .Notam cu S(A) = {x|x Mn1(K) : K : Ax = x} multimea vectorilor

    proprii ai matricei A corespunzatori valorii proprii la care este adaugat si vectorulnul.

    Teorema 5.1 Fie matricea A Mn(K).a) Multimea S(A) are structura de subspatiu liniar al spatiului liniarMn1(K).b) Subspatiile proprii corespunzatoare valorilor proprii distincte nu au n comun decat

    vect