1
Exemple
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite:
– La serrure est ouverte si au moins deux clés sont utilisées.
– La serrure reste fermée dans les autres cas
عع أ على اللقل لقفل ذو ةثلةثة مفاتيح، يفتح بمفتاحين م
2
Algèbre de Boole
Taha Zerrouki
Module: Structure Machine
1ère MI S2
Fonctions logiquesالدوال المنطقية
4
Étude d’une fonction logique
دراسة دالة منطقية
5
Tableau de Karnaugh
Solution de l'exercice 5 de l'examen
00 01 11 10
00 1 1
01 1
11 1 1
10 1 1 1 1
CDAB
00 01 11 10
00 1 1
01 1
11 1 1
10 1 1 1 1
CDAB
AB' + C'D + AD + B'C'
7
Étude d’une fonction logique
• Définition textuelle d’une fonction logique
• Les entrées et les sorties
• Table de vérité
• Formes algébriques
• Simplification:– Algébrique
– Table de Karnaugh
• Logigramme
منطقية دالة دراسة
تعريف، -
والمخارج - المداخل
الحقيقة، - جدول
جبري، - شكل
تبسيط،-
المخطط - رسم
8
Définition textuelle d’une fonction
• Généralement la définition du fonctionnement d’un système est donnée sous un format textuelle .
• Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).
• Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de la description textuelle.
صص�ي عادة تعطى تعريف عمل النظام بوصف ندالة منطقية• )لدراسة هذا النظام علينا وضع نموذج رياض�ي )صص�ي• ييتستنتج من الوصف الن
9
Exemple
10
Les entrées/sorties
● Trois entrées : ● chaque entrée représente une clé.
● Une seule sortie :● l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).
11
Les entrées/sorties
● Trois entrées :
– Clé A : utilisé 1 non utilisé 0
– Clé B : utilisé 1 non utilisé 0
– Clé C : utilisé 1 non utilisé 0● Une seule sortie :
● l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).
S : Ouverte 1 Fermé 0
12
Fonction logique
S=F(A,B,C)
F(A,B,C)= 1 si au mois deux clés sont introduites
F(A,B,C)=0 si non .
Circuit
AS=F(A,B,C)
B
C
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2. Table de vérité ( Exemple )
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A+B+C : max termeA+B+C : max termeA+B+C : max termeA. B . C : min termeA+B+C : max termeA .B . C : min termeA . B .C : min termeA . B . C : min terme
14
Formes canoniques
● La 1ère forme : forme disjonctive● La 2ème forme : conjonctive
15
Formes numériques
• Il existe une autre représentation des formes canoniques d’une fonction , cette représentation est appelée forme numérique.
• R : pour indiquer la forme disjonctive
• P : pour indiquer la forme conjonctive.
R( 2,4,6 )=∑ (2,4,6 )=R( 010,100,110 )=ABC+ ABC+ABC
P (0,1,3,5,7 )=∏ (0,1,3,5,7 )=P (000,001,011,101,111 )
=(A+B+C )( A+B+C )(A +B+C )(A+B+C ) (A+B+C )
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Formes numériques R
• R : pour indiquer la forme disjonctive
• R(2, 4, 6) =
= ∑(2,4,6)
– = R(010, 100, 110)
– = A'BC' +AB'C' + ABC'
Formes numériques P
• P : pour indiquer la forme conjonctive.
• P(0,1,3,5,7)
– = ∏(0,1,3,5,7)
– = P(000,001,011,101,111)
– = (A+B+C)(A+B+C')(A+B'+C')(A'+B+C')(A'+B'+C')
Exercice
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Donner les formes canoniques numériques
Exercice
A B C S
0 0 0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 03 0 1 1 14 1 0 0 05 1 0 1 16 1 1 0 17 1 1 1 1
Donner les formes canoniques numériques
∑(3,5,6,7)R(3,5,6,7)∏(0,1٫2٫4)P(0,1,2,4)
20
Fonction non totalement définie
دالة تعريفها ناقص
21
Exemple
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés A, B, C
Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
S(A,B,C)= 1 si au moins deux clés sont utilisées
S(A,B,C)= 0 sinon
Les clés A et C ne peuvent pas être utilisées en même temps.
، يفتح بمفتاحين معا على القل،A,B,Cقفل بثلةثة مفاتيح
ععاC, و Aالمفتاحان ل يمكن استعمالهما م
Remarque
On remarque que si la clé A et C sont utilisées en même temps l’état du système n’est pas déterminé.
Ces cas sont appelés cas impossibles ou interdites comment représenter ces cas dans la table de vérité ?.
ف�ي ولقت واحدC و Aيمكن استعمال المفتاحين ل هذه الحال ت تتسمى حال ت متستحيلة أو ممنوعة، كيف نمثلها ف�ي جدول
الحقيقة
Table de vérité
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 X
1 1 0 1
1 1 1 X
Les cas interdits notés par x
TV => Karnaugh
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 X
1 1 0 1
1 1 1 X
00 01 11 10
0 11 X X 1
BC
A
Tableau de Karnaugh
00 01 11 10
0 11 1 X X 1
BC
A
F(A, B, C) = AB + BC
26
Exercice
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de quatre clés A, B, C, D
Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
S(A,B,C, D)= 1 si au moins deux clés sont utilisées
S(A,B,C, D)= 0 sinon
Les clés A et D ne peuvent pas être utilisées en même temps.
، يفتح بمفتاحين معا على القل،A,B,C,Dقفل بأربعة مفاتيح
ععاD, و Aالمفتاحان ل يمكن استعمالهما م
27
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 X
1 0 1 0 1
1 0 1 1 X
1 1 0 0 1
1 1 0 1 X
1 1 1 0 1
1 1 1 1 X
•Pour les cas impossibles ou interdites
il faut mettre un X dans la T.V .
•Les cas impossibles sont représentées
aussi par des X dans la table de karnaugh
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
CD
AB
28
• Il est possible d’utiliser les X dans des regroupements :– Soit les prendre comme étant des 1– Ou les prendre comme étant des 0
• Il ne faut pas former des regroupement qui contient uniquement des X
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
CDAB
CD
29
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
AB
CD
CD+ AB
30
AB + CD + BD
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
AB
CD
31
AC BD CD AB
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
AB
CD
32
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
BC AC BD CD AB
AB
CD
33
Exercice 1
Trouver la fonction logique simplifiée à partir de la table suivante ?
00 01 11 10
00 1 X
01 1 X 1
11 1 X 1
10 X 1 X
CD
Ab
34