6/15/2015
1
Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi Optimal pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala
Dhimas Satria Teknik Mesin
UNTIRTA
PENDAHULUAN
Secara umum masalah pemrograman nonlinear dapat dinyatakan sebagai berikut:
Tentukan nilai variabel keputusan untuk permasalahan
max (atau min) dengan kendala
di mana f dan g adalah fungsi nonlinear
nxxxfz ,...,, 21
nxxx ,...,, 21
1211 ,,,...,, bxxxg n
2212 ,,,...,, bxxxg n
mnm bxxxg ,,,...,, 21
PENDAHULUAN
Pemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu peubah :
max (atau min)
1.Tentukan semua maksimum (minimum) lokal
2.Tentukan nilai f(x) untuk semua maksimum (minimum) lokal.
3.Nilai f(x) terbesar (terkecil) merupakan solusi optimal
xf
bax ,
Mencari Ekstremum (Maksimum atau Minimum) Lokal Terdapat tiga kasus di mana calon titik
optimal dapat ditemukan, yaitu
1. Titik x* yang terletak pada [a,b] bila f’(x*) = 0
2. Titik x* ketika f’(x*) tidak didefinisikan.
3. Titik batas a dan b.
• Masalah akan muncul bila f’(x*) = 0 sulit dievaluasi
Algoritma Golden Section Search (kasus maksimisasi)
Syarat : f(x) harus bersifat unimodal pada [a,b], artinya jika x* adalah titik optimal pada [a,b] maka
• f(x) adalah fungsi monoton naik pada interval [a,x*]
• f(x) adalah fungsi monoton turun pada interval [x*,b]
Algoritma Golden Section Search
Konsep Dasar :
Penyempitan selang
a x1 x3 x* x4 x2 b
6/15/2015
2
Algoritma Golden Section Search
Panduan mempersempit selang
• Jika ,persempit selang menjadi
• Jika ,persempit selang menjadi [ ]
• Jika ,persempit selang menjadi [ ]
Selang [ ] atau di mana x* mungkin berada dinamakan selang ketidakpastian (SK)
)()( 21 xfxf
],[ 1 bx)()( 21 xfxf
2, xa
)()( 21 xfxf
2, xa
2, xa ],[ 1 bx
Algoritma Golden Section Search Algoritma : 1. Tetapkan = Interval (selang ketidakpastian) pada iterasi k.
selang ketidakpastian untuk iterasi 0 adalah [a,b]. Kemudian evaluasi dan di mana :
Dengan = panjang selang ketidakpastian pada iterasi
k. Untuk iterasi 0 , = |a – b|. r adalah akar dari persamaan atau r = 0.618. a = batas bawah selang ketidakpastian b = batas atas selang ketidakpastian.
kI
)( 1xf )( 2xf
krLbabrbx )(1
krLaabrax )(2
kL
0L12 rr
Algoritma Golden Section Search
2. Tentukan Selang Ketidakpastian baru berdasar panduan yang telah dijelaskan sebelumnya.
3. Kembali ke langkah 1 sampai didapat yang cukup kecil
)(1kI
kL
Algoritma Golden Section Search
Alasan dipilihnya r yang merupakan akar dari persamaan adalah masalah efisiensi.
Bukti
• Jika , selang dipersempit menjadi
sehingga x3 dan x4 dapat diperoleh dari
)( 13 xbrbx )()]([ 2 abrbabrrb
rarbabbabrb ))(1(
2)( xabra )(14 abrxx
12 rr
)()( 21 xfxf
],[ 1 bx
Algoritma Golden Section Search
• Jika , selang dipersempit menjadi sehingga x3 dan x4 dapat diperoleh dari
)()( 21 xfxf ],[ 2xa
axrxx 223
)]([)( 24 abrraaxrax
))(1()(2 abraabra
)( abrbrarbaba
1x
Algoritma Golden Section Search
• keistimewaan lainnya adalah dapat diketahuinya banyak iterasi yang akan dilakukan bila diketahui nilai yang dikehendaki
6/15/2015
3
Algoritma Golden Section Search
Iterasi akan berhenti bila
karena nilai ln r adalah negatif maka didapat
0LrabrL kk
k
0LrabrL kk
k
0/ Lr k
0/lnln Lr k
0/lnln Lrk
r
Lk
ln
)/ln( 0
Contoh aplikasi Max
s.t -1 x 3
Iterasi 0
= [-1,3]
= |-1 – 3 | = 4
= 3 – 0.618 (4) = 0.528
= -1 + 0.618(4) = 1.472
xexxf )(
0I0L
01 )( rLbabrbx
02 )( rLaabrax
1675.1528.0)( 528.0
111 eexxf
x
886.2472.1)( 472.1
222 eexxf
x
)()( 21 xfxf = [-1, 1.472] ],[ 2xa1I 1I
Contoh aplikasi
Iterasi 1
= [-1, 1.472]
=| -1 – 1.472 | = 2.472
= 1.472- 0.618(2.472) = -0.0557
= -1 + 0.618(2.472) = 0.5277
1I
1L
11 )( rLbabrbx
12 )( rLaabrax
00152.10557.0)( 0557.0
111 eexxf
x
1673.15277.0)( 5277.0
222 eexxf
x
)()( 21 xfxf 1I ]5277.0,1[],[ 2 xa
Penutup
• Algoritma Golden Section Search dapat digunakan untuk mencari solusi optimal pada Pemrograman Nonlinear Tanpa Kendala dengan Satu Peubah.
• Algoritma ini efisien
TERIMA KASIH