ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
WYKŁAD 04 k-ty co do wielkości. Stosy
Grażyna Mirkowska
PJWSTK, ITN semestr letni 2002
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 2
Plan wykładu
Wyszukiwanie 2-go co do wielkości elementu
– Algorytm naiwny
– Jak poprawić algorytm naiwny
– Struktura danych - stos k-ty co do wielkości
– Algorytm Hoare
– Rekursja czy stos?
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 3
Drugi największy element
Problem Dany jest ciąg e elementów e[1],...,e[n] pewnej przestrzeni liniowo uporządkowanej < E, >. Znaleźć drugi co do wielkości element tego ciągu.
WP = { e[i] e[j] dla i j , n>0},
WK = {1 wynik n, e[j] e[wynik] < e[max] dla j=1,2,...,n }
e[wynik] = maximum({e[1]...,e[n]} - maximum{e[1],...,e[n]})
Algorytm naiwny : 1. Znaleźć element maksymalny. 2. Usunąć go z rozważań . 3. Znaleźć element maksymalny w pozostałym zbiorze.
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 4
Algorytm naiwny
{ i := 2; max :=1; while i n do if e[i] > e[max] then max := i fi; i := i+1; od;
pom := e[1]; e[1] := e[max]; e[max] := pom;
i:=3; wynik := 2; while i n do if e[i] > e[wynik] then wynik := i fi; i := i+1; od;}
Swap(e[1], e[max]);
T(n) = 2n -3
Max: = 1;for ( i =2; i<= n; i++){ if (e[i]>e[max]){max:=i;}}
wynik := 2;for ( i =3; i<= n; i++){ if (e[i]>e[wynik]){wynik:=i;}}
Max := maximum(1,n);
Wynik := maximum(2,n);
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 5
Czy to można zrobić lepiej?
Metoda polega na porównywaniu sąsiednich elementów ciągu. Elementy większe (wygrywające) przechodzą do następnej ‘rundy’.
2 34 61875
4 5 8 6
5 8
8
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 6
Analiza metody
Każdy element, z wyjątkiem maksymalnego przegrał co najwyżej raz.
Element drugi co do wielkości przegrał jedynie z elementem maksymalnym.
Wśród elementów, które grały z największym!
Por. przykład
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 7
Koszt algorytmu „Turniej”
Krok1. Zbudowanie drzewa turnieju.
Załóżmy, że n= 2k.
Krok 2. Wybranie elementu drugiego największego. lg n -1
A ile elementów przegrało z największym?
Tyle, ile było ‘rund’!
n -1 porównań
T(n)= n + lg n -2
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 8
Podstawowe struktury danych
Algorytmy + struktury Danych = Programy
e1, e2, e3, ..., en
początek koniec
Operacje na listach
Pobranie elementu z listy.Wstawianie elementu na listę.Usuwanie elementu z listy.
toppushpop
rearinjecteject
Operacje na lewym końcu listy
Operacje na prawym końcu listy
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 9
Stos i jego własności
< S E, push, pop, top, empty>
push(s, e) = (e, e1,e2,..., en)pop(s) = (e2,..., en) o ile n>1top(s) = e1
empty(s) wttw n=0
s = (e1,e2,..., en)
top(push(s,e)) = epop(push(s,e))= snot empty(s) => push(pop(s),top(s))=sIstnieje i takie że empty(popi(s))
element3
next
element1
next
element2
next
ogniwo
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 10
Struktura danych dla algorytmu ‘Turniej’
Następny element głównej listy
Lista elementów, które przegrały z e (kandydaci do drugiego miejsca)e’
e”
w nextstospOGNIWO listy
a nextstosp
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 11
Algorytm ‘Turniej’
for i := 1 to n div 2 do if e[i] < e[i+1] then L:=push(i,L); L.stosp := push(i+1, L.stosp); else L:= push(i+1, L); L.stosp := push(i, L.stosp); fi;
od;
Tworzenie wyników pierwszej rundy
i+3
i+2
i
i+1L
e[i] e[i+1]e[i+2]e[i+3]...
k
l
...
Wkładam na stos element, który przegrał.
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 12
Budowa drzewa turnieju
while not empty(L) do x := L; while not empty(x) do y := x.next; if e[x.w] > e[y.w] then x.stosp := push (x.stosp, y.w) else y.stosp := push(y.stosp, x.w); x.w := y.w; x.stosp := y.stosp fi; x.next := y.next; x := x.next odod;
Dołącz y do elementów, które przegrały z x
Dołącz x do elementów, które przegrały z y
Rozważmy pierwszy element następnej pary
x y
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 13
III etap - przeszukiwanie stosu
{ Pom := L.stos; drugi := pom.w; pom :=pop(pom); while not empty(pom) do if e[drugi ] < e[top(pom)] then drugi := top(pom) fi; pom := pop(pom);
od}
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 14
Twierdzenie
Algorytm Turniej jest optymalnym algorytmem
pozwalającym znaleźć drugi co do wielkości
element ciągu.
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 15
K-ty największy
Problem: Dany jest ciąg n-elementów pewnej przestrzeni liniowo uporządkowanej <E, >. Znaleźć k-ty największy element tego ciągu..
2, 4, 6, 12, 78, 45, 3, 33, 17, 22
Element największy = 78element drugi co do wielkości = 453-ci największy = 334-ty największy = 22
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 16
Pierwsze rozwiązanie
Krok1. Wyszukaj element e[max] największy wśród elementów e[i],...,e[n];
Krok 2. Zamień elementy na pozycjach i-tej i max .
Krok 3. Powtórz postępowanie dla następnego i.
T(n) = (n-1) + (n-2) +... +(n-k) =k*n - k*(k+1)/2
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 17
Algorytm naiwny
Zakładam, że elementy w ciągu e nie powtarzają się.
{ x := 1; while x k do max := x; for i := x+1 to n do if e[i] > e[max] then max := i fi od; swap(e[x], e[max]); x := x+1; od; wynik := e[k]}
e[1]>...>e[x-1] >{e[x],...,e[n] }
e[max] {e[x],...,e[n]}
e[1]>...>e[x-1] >{e[x],...,e[n] }
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 18
Czy można zrobić to taniej?
Rozdziel wszystkie elementy na większe od pewnego elementu M(część starsza) i na mniejsze od M (część młodsza).
M = mediana
Umieść medianę tak by oddzielała cześć młodszą od starszej.
Wynikiem jest mediana, jeśli w części starszej jest tylko k-1 elementów.
W przeciwnym przypadku: jeśli elementów starszych jest >k-1, to szukaj k-tego elementu w części starszej. Jeśli elementów starszych jest mniej niż k-1, to szukaj elementu k-(liczba elementów starszych+1) wśród elementów młodszych.
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 19
Przykład
10 5 7 9 11 4 3 2 12 8 6 1
W podanym ciągu szukamy 7tego co do wielkości elementu
mediana
Część młodsza5 7 9 4 3 2 6 1
Część starsza11 1210
5 7 9 4 3 2 6 1
mediana
Część młodsza4 3 2 1
Część starsza7 9 65
Szukam 4-go największego
Wynikiem jest element 5
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 20
Algorytm Hoare
function Hoare(l, p, k){ j := SPLIT(l, p); if ( p-j = k-1) then wynik := e[j] else if p-j>k-1 then Hoare(j+1, p, k) else Hoare(l,j-1, k-(p-j+1)) fi fi}
{e[1]...,e[j-1]}< e[j]<{e[j+1],...,e[n]}
K-ty największy znajduje się wśród elementów e[j+1],... e[p]
K-ty największy znajduje się wśród elementów e[l],... e[j-1]
Zakładam, że elementy w ciągu nie powtarzają się i, że algorytm zwraca jako wynik wartość k-tego największego elementu.
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 21
Algorytm rozdzielania
int function SPLIT(l,p){ mediana := e[l]; i := l+1; j := p; while (j > i ) do while (e[j]> mediana ) do j := j-1 od; while (e[i] < mediana) do i := i+1 od; If (i<j) then swap(e[i], e[j]); i := i+1; j := j-1; fi od; swap(e[l],e[j]); return j; }
(i, l< i <j) e[i] < e[j] (i, j < i p) e[j] e[i]
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 22
Jak to działa?
10, 5, 9, 8, 14, 7, 12, 3, 11
i j
mediana
143
10, 5, 9, 8, 3, 7, 12, 14, 11
i jmediana
10, 5, 9, 8, 3, 7, 12, 14, 11
ij
7 10
i < j
i > j
27 marca 2002 G. Mirkowska, ASD_04 k-ty co do wielkości 23
Koszt algorytmu Hoare
Każdy element jest co najwyżej raz porównywany z medianą.
Koszt algorytmu SPLIT
Czyli T(SPLIT, n ) = n-1 = (n)
W( n,k) = n-1 +W( n-1,k) Czyli W(n,k)= k*n – k(k+1)/2
A(n,k) = (n-1) + 1/n[ j=1...n-k A(n-j, k) + j=n-k+2... n A(j-1,k – (n-j+1)]
Szukanie w części starszej Szukanie w części młodszej
A(n,k) = O(n)