Analise
Matemática I
Aula 10
Limite de Funções. Exercícios
Ano académico 2017
Tema 1. Cálculo Diferencial
Limites infinitos e limites no infinito.
Indeterminações.
Limite Trigonométrico Fundamental.
Limite Exponencial Fundamental.
Cálculo de limites.
Bibliografia Básica
Autor Título Editorial Data
Stewart, James Cálculo, Volume 1
5ta. Edição,
Pioneira
Thompson
Learning
2006
Zuma Medeiros ,
Valéria
Pré-Cálculo
2ª edição revista actualizada
CENGAGE
Learning 2012
Demana,
Franklin... (et al.) Pré-Cálculo
Pearson
Education do
Brasil
2011
Larson, Ron Cálculo Aplicado
1 Edição,
Pioneira
Thomson
Learning
2011
Limites
• Infinito e Limite (Sutil e profundo)
– O conceito de limite está intimamente conectado ao conceito
de infinito. Trata-se de um dos conceitos mais fecundos da
matemática e o principal para o desenvolvimento do Cálculo
Diferencial e Integral.
– Ele primeiro surgiu sob a forma de processos convergentes
ilimitados.
– O primeiro testemunho literário encontra-se nos paradoxos
de Zenão de Eléa, matemático e discípulo de Parmênides.
Limites
• O Paradoxo da Dicotomia
– O argumento desse paradoxo consiste basicamente na ideia de que aquilo que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao fim.
– O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o percurso, o objeto que se move deve percorrer metade do percurso. Antes de percorrer a metade que falta, deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da metade (um quarto do percurso inicial), e assim sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto infinito de intervalos.
M1 M2 M3 2
1
4
1
8
1 ...
Limites O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo argumento que o paradoxo da dicotomia, porém em vez de um objeto, temos dois objetos em movimento com velocidades diferentes.
Ele é assim enunciado: Numa corrida entre Aquiles e a Tartaruga em que a Tartaruga sai com uma certa vantagem, mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este jamais a alcança; pois aquele que persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento começou, e o mais lento tem necessariamente de já estar a alguma distância à frente.
Limites
...100
1
10
1110100
O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
Suponha que Aquiles é 10 vezes mais rápido que a Tartaruga e que esta parte com uma vantagem de 1000 m. Quando Aquiles percorre os 1000 m, a Tartaruga já está 100 m a sua frente. Aquiles percorre os 100 m que o separa da Tartaruga, mas, nesse tempo, a Tartaruga já percorreu 10 m, mantendo a vantagem. Aquiles percorre os 10 m, mas, nesse tempo, a Tartaruga está 1 m a sua frente e assim sucessivamente. Isto quer dizer que Aquiles nunca alcança a Tartaruga?
Limites • Infinito e Limite
– Considere que o intervalo AB do primeiro paradoxo é igual a
1. O ponto M1 divide o intervalo ao meio, portanto a primeira
metade equivale a ½. O segundo ponto, M2, divide a metade
restante ao meio, portanto equivale a ¼ do comprimento
original. Logo, o intervalo pode ser expresso como uma soma
de intervalos que cresce ilimitadamente por partes que
sempre são menores que a imediatamente anterior:
– O paradoxo está no fato de a série não crescer até ao infinito,
pois a sua soma sempre permanece menor que 1, por mais
intervalos que por ventura viermos a adicionar.
1...16
1
8
1
4
1
2
1
Limites
• A solução dos paradoxos
– A solução dos paradoxos têm a ver com o conceito de limite e convergência de séries numéricas.
– Para o pensamento ingênuo da Antiguidade, o entendimento puramente quantitativo segundo o qual quando alguma coisa sempre aumenta acabará por ultrapassar todos os limites é que conduz ao erro.
– O erro está em supor, intuitivamente, que a soma de infinitos intervalos deve ser necessariamente infinita.
– Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no de Aquiles a soma da série tende a convergir para um valor finito. É nesse ponto que Aquiles encontra a Tartaruga!
Limites
• Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito”
Considere, por exemplo, a função
• Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce
indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se
aproximar cada vez mais de 0.
xxf
1)(
01
lim xx
Limites
• Limite de f(x) quando x tende a “menos infinito”
Considere, por exemplo, a função
• Perceba que, quando x tende a -, isto é, quando x decresce
indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se
aproximar cada vez mais de 0.
xxf
1)(
01
lim xx
Limites
• Os símbolos + e - , não representam números reais, não
podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de
cálculo algébrico.
• Dado b IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas: b + (+ ) = + b + ( - ) = - (+ ) + (+ ) = + (- ) + (- ) = - (+ ) + (- ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo - , é dito um símbolo de indeterminação. (+ ) . (+ ) = + (+ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação. / = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
Limites
• No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a
expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o
valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as
técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:
-
. 0
0
0 0
1
1-
Limites
• Exemplo:
Calcule o limite, se existir, de:
Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, teria
uma indeterminação do tipo
14
13lim
x
x
x
Limites
Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o
denominador por x:
• Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito,
o raciocínio é análogo.
4
3
04
03
1lim4lim
1lim3lim
)1
4(lim
)1
3(lim
14
13
lim14
13lim
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
x
x
xx
Limites Intuitivos
<
1)(lim)(
0)(lim)(
1)(lim)(
0)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a
)(d
)(c
=
0)(lim)(
0)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a
)(d
)(c
>
]1,1[)(lim)(
0)(lim)(
]1,1[)(lim)(
0)(lim)(
0
0
entrexfd
xfc
entrexfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a )(d
)(c
Limites Intuitivos
)(lim)(
0)(lim)(1
xfb
xfa
x
x
)(b
)(a
Limites Infinitos
2 2x 1 x 1
2x 1
2 2lim e lim
(x 1) (x 1)
2lim
(x 1)
2
2y
(x 1)
Limites Infinitos
xtg
xtgextg
x
xx
2
22
lim
limlim
existenão
y = tg x
Limites no Infinito
x xlim f(x) 1 e lim f(x) 1
Limites Infinitos
Limites nos extremos do domínio da
função exponencial
Limites Infinitos
Limites nos extremos do domínio da
função logarítmica
Limite Trigonométrico Fundamental
x 0
senxlim 1
x
Limites Trigonométricos Notáveis
0x
1cosxlim
x
cosx1lim
1(Kx)
sen(Kx)lim
1x
senxlim
1cosxlim0senxlim
0x0x
0x
0x
0x0x
Cálculo de limites. Exercicios
Avalie os seguintes limites utilizando propriedades e
limites notáveis:
2x
sen3xlimc)
x
π)sen(xlimb)
x
tanxlima)
0x
0x
0x
Cálculo de limites. Exercicios
Avalie os seguintes limites utilizando propriedades e
limites notáveis. Solução linha a:
11
1.1
cosx lim
lim1.1
cosx
1lim.
x
senxlim
cosx.x
senxlim
x
tanxlima)
0x
0x
0x0x0x0x
1x
senxlim 1cosxlim
0x0x
Cálculo de limites. Exercicios
1x
1senx-lim
x
.cosx)01-(senx.lim
-1cosπ e 0π
x
π.cosx)(senx.cosπlim
x
π)sen(xlimb)
0x0x
0x0x
sen
sen
Avalie os seguintes limites utilizando propriedades e
limites notáveis. Solução linha b:
Cálculo de limites. Exercicios
2
3
3x
sen3x2
3
lim
2x2
3
sen3x2
3
lim2x
sen3xlimc)
0x0x0x
Avalie os seguintes limites utilizando propriedades e
limites notáveis. Solução linha c:
1(Kx)
sen(Kx)lim
0x
Limite Exponencial Fundamental
x
x
1lim 1 e
x
Limite Exponencial Fundamental
x
x
1lim 1 e
x
x y
1 2
10 5937,2
100 7048,2
1000 7169,2
10000 7181,2
x 7182818,2e
Limites fundamentais
os três limites são denominados limites fundamentais e podem ser utilizados no cálculo de outros limites, quando necessário.
Cálculo de limites com Indeterminação
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o
valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na
expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem
sempre) para funções racionais. Isto acontece
quando se faz a substituição direta de x por seu
valor de tendência e encontra-se indeterminação
(0/0 ou b/0 ou / ou /0). Veja os casos nas
janelas seguintes.
Regras adicionais • 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e
denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de
tendência). Neste caso, tanto o polinómio do numerador quanto
o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta
simplificação, faz-se a substituição de x por a. FACTORIZAR
422)2(lim2
)2)(2(lim
2
4lim
0
0
22
42
2
4lim
22
2
2
22
2
xx
xx
x
x
x
x
xxx
x
Indeterminação
Cálculo de limites
• EXPRESSÕES INDETERMINADAS
Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
3
27lim
3
3
x
x
x
0
0
33
273
3
27lim
33
3
x
x
x
Cálculo de limites
• Expressões indeterminadas
Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L
Cálculo de limites
• Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando
nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
• Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar
a este valor?
273
27lim
3
3
x
x
x
Cálculo de limites
• Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!
• Neste exemplo,
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
Basta então calcular:
)93)(3(27 23 xxxx
93)3(
)93)(3()( 2
2
xx
x
xxxxf
27)93(lim 2
3
xx
x
Cálculo de limites
• Produtos Notáveis!!!
• Diferença de quadrados
• Trinômio quadrado perfeito
)).((22 bababa
Cálculo de limites
22222 2)).(()( bababbaababababa
22222 2)).(()( bababbaababababa
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença
de quadrados a2 - b2.
• Soma e Diferença de Cubos
• Cubo perfeito
)).(( 2233 babababa
)).(( 2233 babababa
32233 33)( babbaaba
32233 33)( babbaaba
Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3;
Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.
Cálculo de limites
Regras adicionais • 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição
direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente
se os limites laterais forem iguais. LIMITES LATERAIS
.2
1lim..........
2
1lim
0
1
22
1
2
1lim
22
2
xe
x
x
xx
x
Logo o limite não existe
Indeterminação
Cálculo de limites
Regras adicionais • 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma
função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.
222
22323
).(5)5(lim)125(lim
).(22lim2
lim2
352lim
xxx
xx
x
x
xxx
xx
xxx
1o exemplo (função racional):
2o exemplo (função polinomial):
Cálculo de limites
REGRA DE LEIBNIZ
No caso em que p < n, podemos dizer que o limite é:
+ ∞ quando an e bn têm o mesmo sinal.
- ∞, quando an e bn têm sinais opostos.
npsemou
npsemb
a
npsem
bxbxb
axaxap
p
p
p
n
n
n
n
x
)(
0
...
...lim
0
1.
1
0
1.
1
Regra de Leibniz. Exemplos
4
3
9) lim
3 5 2x
xa
x x
4
4
9) lim
3 5 2x
xb
x x