Análise Numérica da Transição à Turbulência em
Jatos Circulares Livres
Universidade Federal de Uberlândia
Pós Graduação em Engenharia Mecânica
Faculdade de Engenharia Mecânica
Ana Marta de Souza
Orientador: Aristeu da Silveira Neto
Co-orientador: Francisco José de Souza
Introdução• Jatos cisalhantes livres
• Transição à Turbulência
• Importância dos escoamento do tipo jato:– Aplicações industriais;
– Sistemas de propulsão de aviões e aeronaves;
– Sistemas de geração de ruídos.
• A compreensão da dinâmica do escoamento permite:– Controle ativo ou passivo do jato;
– Análises importantes para escoamentos complexos;
– Refinamento de teorias e modelos existentes para descrição dos escoamentos turbulentos.
• Métodos Experimentais X Métodos Teóricos
• Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD):
-Simulação Numérica Direta (SND)
-Simulação de Grandes Escalas (SGE)
OBJETIVOS
• Analisar fisicamente os escoamentos de jatos circulares livres através de simulações numéricas tridimensionais, incluindo:– análises da influência de diferentes tipos de perturbação
sobre a formação e evolução das estruturas turbilhonares;
– avaliação da importância do refinamento da malha e precisão do esquema numérico utilizado;
– prática e uso de experimentação numérica, com amostragem de informações e tratamento estatístico adequado.
• Foram utilizados 2 códigos computacionais, previamente desenvolvidos:
- LAYER2 (Chernousov, 2001),
- CIL3D (Souza, 2003).
• Foi desenvolvido o código SPECTRAL.
MODELO MATEMÁTICO E METODOLOGIA
• Modelagem Matemática
onde,
0,jj
ut x
,ij i ij
j i j
u pu u
t x x x
,j j j i ijj j j
Eu E pu q u
t x x x
2
3ji k
ij ef ijj i k
uu u
x x x
j efj
Tq
x
- Os coeficientes de transporte escalar efetivos são representados simplesmente como:
onde Prt é assumido ser constante 0,8 e é modelado Smagorinsky:
ef mol sgs ,Pr Pr
mol p sgs pef mol sgs
mol t
c c
2 22 2 ij ijt sC S S
t
• Os cálculos avançam no tempo através de um esquema de Runge-Kutta;
• Os fluxos viscosos são calculados a partir de diferenças finitas centradas de 2a ordem no espaço;
• Os fluxos convectivos são calculados usando uma aproximação parabólica “piecewise” uniforme e o solver de Riemann baseado em características linearizadas.
• O solver de Riemann tem se mostrado extremamente rápido, sendo essencialmente não-iterativo e não requerendo multiplicação de vetor/matriz.
• Foi simulado um jato circular livre tridimensional. O domínio de cálculo foi definido em função das dimensões L e H.
Figura 3: Representação bidimensional do Domínio de Cálculo
• Condições de Contorno para a entrada
Uma perturbação aleatória do tipo “ruído branco”:
sendo = a*Ua e = a*Va, onde a é um número entre 0 e 1 aletoriamente gerado e Ua=Va=0,1W.
2 2( , , 0) / 2w x y z W para x y D
2 2( , , 0) 0,0 / 2w x y z para x y D
2 2( , , 0) / 2v x y z V para x y D
2 2( , , 0) / 2u x y z U para x y D
VU
• Condições de Contorno para a saída
( , , )0,0
u x y z L
z
( , , )0,0
w x y z L
z
( , , )0,0
v x y z L
z
( , , )0,0
p x y z L
z
SIMULAÇÕES COM O CÓDIGO LAYER2:
• 1LAYER2:– Dimensões do domínio: L= 16D e H= 10D – Re = 25000;– Ma 0,3;– Malha cartesiana, tridimensional, não-uniforme,
com 900.000 células; t= 0,0004 s;– C = 0,1.
RESULTADOS DA SIMULAÇÃO 1LAYER2
Visualização das Estruturas do Escoamento• Isosuperfícies de velocidade axial
Figura 4. Isosuperfícies da componente axial u da velocidade: (a) u= 98m/s; (b) u= 99 m/s
• Isosuperfícies de velocidade axial
• Visualização Bidimensional da Vorticidade
• Isosuperfícies do Módulo de Vorticidade
Figura 5. Isosuperfícies do módulo de vorticidade: (a) W=500 s-1; (b) W=1000 s-1.
• Isosuperfícies do Módulo de Vorticidade
AMOSTRAGEM DE INFORMAÇÕES SIMULAÇÃO 1LAYER2
• Variações temporais da flutuação de velocidade axial w’ em diferentes posições do domínio:
10 15 20 25 30
-40
-20
0
20
40
tempo (s)
u’ (m/s)
10 15 20 25 30
-40
-20
0
20
40
tempo (s)
u’ (m/s)
10 15 20 25 30
-40
-20
0
20
40
tempo (s)
u’ (m/s)
10 15 20 25 30
-40
-20
0
20
40
tempo (s)
u’ (m/s)
(a) (b)
(c) (d)
TRATAMENTO ESTATÍSTICO
• Espectro de Potência
• Comparação entre resultados numéricos e dados experimentais: Velocidade axial média
• Raiz da média quadrática (r.m.s ) da flutuação de velocidade axial
• Comparação entre o perfil de velocidade média axial resultante da simulação e o experimental
SIMULAÇÕES COM O CÓDIGO LAYER2
2LAYER2, 3LAYER2 e 4LAYER2:
– Dimensões do domínio: L= 30D e H= 15D – Re = 100000;– Ma 0,3;– Malhas cartesianas, tridimensionais, não-
uniformes, com 112000 (2LAYER2), 490000 (3LAYER2) e 2050000 (4LAYER2) células;
t= 0,0007 s;– C = 0,1.
Visualização do Módulo de vorticidade no plano yz (x=0)
z
y
z
y
z
y
(a) 2LAYER2 (a) 3LAYER2
(a) 4LAYER2
CÓDIGO CIL3D
• Equações na forma incompressível e isotérmica:
• Algoritmo de passo fracionário, o qual utiliza o esquema de Adams-Bashforth de 2a ordem para os termos advectivo e difusivo;
0j
j
u
x
1 ji ii
i j j i
uu upH
t x x x x
• Solução da equação de Poisson é obtida via FFT .
• Os termos advectivos e difusivos são discretizados via diferenças finitas centradas de 2a ordem.
• Malha em coordenadas cilíndricas.
• Condições de Contorno
a) Condições de contorno para a entrada:
b) Condições de contorno para a saída:
( , , 0) 0u r z 0)0,,( zrv
1 1( , , 0) 1 tanh
2 4
R r Rw r z
R r
0)0,,(
zrz
p
0,0),,(
z
Lzru 0,0
),,(
z
Lzrv
0,0),,(
z
Lzrw 0),,( Lzrp
SIMULAÇÕES UTILIZANDO O CÓDIGO CIL3D:
1CIL3D E 2CIL3D
- malha de 340.000 pontos (100x34x100);
- passo de tempo 0,001s.
- 1CIL3D: domínio de dimensões L=16D e R=5,5D e número de Reynolds 1600.
- 2CIL3D: domínio de dimensões L= 24D e R=5,5D e número de Reynolds 11000 .
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
• Campos de velocidade do escoamento para a simulação 1CIL3D (Re=1600).
(a) t = 40,0 s. (b) t = 100,0 s.
- Campos de Vorticidade para a simulação 1CIL3D (Re=1600).
(a) t = 40,0 s. (b) t = 100,0 s.
Campos de Velocidade para a simulação 2CIL3D (Re=11000).
(a) t = 11,0 s. (b) t = 40,0 s.
-Campos de Vorticidade para a simulação 2CIL3D (Re=11000).
(a) t = 11,0 s. (b) t = 40,0 s.
• Tratamento Estatístico: Simulações 1CIL3D e 2CIL3D
-Perfis de velocidade axial média
0 0.1 0.2 0.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1 z = 8 Dz = 11.2 Dz = 12.8 Dz = 14.4 DHussein et al. (1994)
0 0.1 0.2 0.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1 x = 12 Dx = 16.8 Dx = 19.2 Dx = 21.6 DHussein et al. (1994)
Frame 001 24 Feb 2005
máx
w
Wmáx
w
W
r /z-z0 r /z-z0
(c) 2CIL3D(a) 1CIL3D
• Estruturas típicas do escoamento não foram capturadas;
• Não houve boa concordância entre resultados simulados e dados experimentais para os tensores de Reynolds.
- Estruturas de vórtices instantâneas obtidas por Glaze e Frankel (2003).
- Comparação da Velocidade e Intensidade turbulenta (Glaze e Frankel, 2003).
• Trabalhos recentes que apresentam boa concordância entre resultados simulados e dados experimentais utilizam esquemas de alta ordem (Uzun, 2003 e Freund, 2001).
• Diante deste contexto, decidiu-se utilizar um método pseudo-espectral para atingir os objetivos propostos.
CÓDIGO SPECTRAL:
MÉTODO PSEUDO-SPECTRAL
• Equações de Navier-Stokes no espaço espectral:
2 2 2ˆ ˆ ˆu x y z
uH k k k u
t
2 2 2ˆ ˆ ˆv x y z
vH k k k v
t
2 2 2ˆ ˆ ˆu x y z
wH k k k w
t
• Tratamento do termo não-linear:
- Forma “skew”-simétrica:
-Alternância entre:
Forma advectiva:
Forma divergente:
uu
u u
( )uu
uuuu
2
1
2
1
• Evolução temporal
Os dois passos de tempo iniciais são obtidos pelo esquema de Runge Kutta de 3a ordem (RK3):
O avanço temporal segue o esquema de Adams Bashforth de 3a ordem (AB3):
22
11
1 ,5,16,2312
nn
nn
nn
nn tftftft
111 ,,
nnin
ninn tftft
i i
i i
VALIDAÇÃO DO CÓDIGO SPECTRAL
• Equação de Burgers
Solução (Whitiam, 1974) é:
sendo:
com a constante c= 8.
2
2
x
uv
x
uu
t
u
1,
1,2,
tctx
tctxxtxu
n
tnxetx 4/))12(( 2
),(
- Foram realizadas simulações do instante t=0 até t =/8 s, utilizando um passo de tempo de /12800 s e malhas de 16, 32, 64 e 128 nós.
- Comparação gráfica dos resultados simulados e analítico
- Erros Máximos para Equação Periódica de Burgers.
N Código SPECTRAL Solução Método Espectral
(Canuto, 1986)16 1,29 x 10-1 2,1 x 10-1
32 9,74 x 10-3 2,5 x 10-2
64 3,26 x 10-5 3,6 x 10-4
128 1,99 x 10-9 6,1 x10-8
• Vórtices de Green Taylor
- Em um domínio retangular Lx x Ly com condições
periódicas nos contornos e partindo das condições iniciais:
a solução analítica das equações incompressíveis de Navier-Stokes é dada por:
yx L
y
L
xUyxu
2cos
2sen0,,
yx L
y
L
xUyxv
2cos
2sen0,,
t
LL
yx
yxeL
y
L
xUtyxu
2
224
11
2cos
2sen,,
t
LL
yx
yxeL
y
L
xUtyxv
2
224
11
2sen
2cos,,
- Foram utilizadas malhas com 82, 162, 322, 642 e 1282
pontos;
- O passo de tempo foi de 0,0005 s;
- O número de Reynolds foi igual a 1000.
- Campo de velocidade e linhas de corrente resultantes da simulação dos Vórtices de Green-Taylor
- Os erros foram da ordem de 10-15.
ANÁLISE DO JATO CIRCULAR TRIDIMENSIONAL EM DECAIMENTO TEMPORAL
• Condições de contorno periódicas;
• As simulações foram conduzidas com em um domínio cúbico.
x
z y
8R
8R
8R
W
2R
• Perfil inicial da componente axial de velocidade
sendo e =2,5/16 m.
0
1
1( , , ) 1 tanh
2 2
0
r R
r Rw r z R r R
r R
2 2r x y
2 2r x y
R
r (m)
W0 (m/s)
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
CASO 1: JATO NATURAL
• Perturbação randômica tipo “ruído branco”:
sendo a um número aleatoriamente gerado entre 0 e 1.
• A simulação foi realizada utilizando precisão simples, uma malha 1203 pontos, número de Reynolds 1600 e um passo de tempo de 0,0025 s .
0
0,5( , , ) ( , , )
100,0
aw x y z w x y z
• Visualização das estruturas do escoamentoEvolução Temporal de Isosuperficies pelo critério Q
Evolução Temporal de Isosuperficies pelo critério Q
Esquema do arranjo de anéis de vórtice conduzindo à ocorrência de emparelhamento alternado. (Silva e Métais, 2002).
Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)
Módulo de vorticidade no plano xy (z=0)
• Espectro de Energia
Log
Log k
• Resultados do Tratamento Estatístico
Tempo (s) Tempo (s)
1/ w2b
3/ 2w
3b
• Comparação Qualitativa com Dados Experimentais
(a) (b)
Visualizações da vorticidade no jato natural: (a) Isosuperfície de vorticidade=1,3s-1 (presente trabalho),(b) Visualização experimental via PIV (Sakakibara, 2004).
CASO 2: JATO FORÇADO 1
• Perturbação:
• Foi utilizado um número de Reynolds 1600 e um passo de tempo de 0,0025 s .
• Foram realizadas análises da influência do refinamento da malha e da precisão simples e dupla.
0,01 2 0,02 2 0,03 24,0 2,0 1,0r
z z zU sen sen sen
2
2,02
cos
r R
ru U e
2
2,02
sin
r R
rv U e
Evolução Temporal de Isosuperficies pelo critério Q
(a) Malha 643
(b) Malha 963
(b) Malha 1203
a) Análise da influência do refinamento da malha
• Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)
• Módulo de vorticidade no plano xy (z=0)
• Espectros de Energia
(a) malha 643
Log k
Log k
Log k
Log k
Log
Log
Log
Log
(a) (b)
(c)
(b) malha 963
(c) malha 1203
b) Análise da influência da simples e dupla precisão
• Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)
• Módulo de vorticidade no plano xy (z=0)
• Espectros de Energia
Log kLog k
Log Log
(a) precisão simples
(a) (b)
(b) precisão dupla
CASO 3: JATO FORÇADO 2
• Perturbação aleatória:
• Perturbação na componente radial de velocidade:
• Foram realizadas três simulações utilizando precisão simples, uma malha 1203 células, passo de tempo de 0,0025 s e três diferentes números de Reynolds 1600, 5000 e 10000.
• Foram realizadas análises da influência do refinamento da malha e da precisão utilizada no código.
2
22
0
0,5( , , ) ( , , )
100,0
r Ra
w x y z w x y z e
0,01 2 0,02 2 0,03 24,0 2,0 1,0r
z z zU sen sen sen
2
2,02
cos
r R
ru U e
2
2,02
sin
r R
rv U e
a) Jato simulado a número de Reynolds 1600• Evolução temporal de isosuperfícies pelo critério Q
• Evolução temporal de isosuperfícies pelo critério Q
• Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)
• Módulo de vorticidade no plan xy (z=0)
b) Jato simulado a número de Reynolds 5000• Evolução temporal através de isosuperfícies pelo
critério Q
• Evolução temporal através de isosuperfícies pelo critério Q
• Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)
• Módulo de vorticidade no plano xy (z=0)
c) Comparação entre as simulações realizadas a números de Reynolds 1600, 5000 e 10000
• Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)
• Módulo de vorticidade no plano xy (z=0)
• Espectro de Energia
Log
Log
Log
Log
Log k
Log k
Log k
(a) Re=1600 (b) Re=5000
(c) Re=10000
CASO 4: JATO BIFURCADO
• Perturbação aleatória
• Perturbação na componente radial de velocidade:
• Foi realizada uma simulação com precisão simples, malha de 1203 células, passo de tempo de 0,0025s e número de Reynolds 1600.
• Foram realizadas análises da influência do refinamento da malha e da precisão utilizada no código.
2
22
0
0,5( , , ) ( , , )
100,0
r Ra
w x y z w x y z e
0,01 2 0,02 2 0,03 2 (cos )4,0 2,0 1,0r
z z zU sen sen sen signal
2
2,02
cos
r R
ru U e
2
2,02
sin
r R
rv U e
• Evolução temporal através de isosuperfícies pelo critério Q
• Evolução temporal através de isosuperfícies pelo critério Q
• Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)
• Módulo de vorticidade no plnao xy (z=0)
• Espectro de Energia
Log k
Log
COMPARAÇÃO ENTRE OS JATOS NATURAL E BIFURCADO
ANALOGIA ENTRE AS EVOLUÇÕES TEMPORAL E ESPACIAL
CONCLUSÕES
• Através das primeiras simulações (códigos LAYER2 e CIL3D) constatou-se que esquemas de 2a ordem não são suficientes para SGE de jatos livres.
• A análise temporal dos jatos livres através do método pseudo-espectral permitiu a comparação qualitativa com um jato experimental e a identificação das fases de evolução em jatos espaciais.
CONCLUSÕES
• Estruturas e fenômenos típicos do escoamento do jato foram evidenciadas e os espectros de energia demonstraram a proximidade da região inercial do jato à inclinação de -5/3 e a região de decaimento do jato.
• Comprovou-se a relevância da resolução da malha para obtenção de resultados satisfatórios.
• A possibilidade de controle do jato, de grande interesse prático, foi constatada.