Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
ANALISIS KECEP ATAN KONVERGENSI PADA TEKNIK PENYELESAIANGAUSS-SEIDEL DIKOMBINASI DENGAN EKSTRAPOLASI AITKEN
DAN PENERAP ANNY A PADA RANG KAlAN RESISTIF
Oleh:
Entjie Mochamad SobbichPuslit KIM-LIPI
ABSTRAK
Salah satu kriteria yang sering digunakan untuk menyatakan 'baik-buruk' dari teknik
teknik penyelesaian yang iteratif adalah kecepatan konvergensi, yaitu kesegeraan dalam
mencapai (atau mendekati) jawaban eksak. Jadi, suatu teknik penyelesaian akan dianggap
tidak baik jika untuk mencapai nilai solusi eksaknya diperlukan (misalnya) 300 iterasi
padahal teknik lainnya mampu mencapainya hanya setelah (anggaplah) 20 iterasi. Didalam
makalah ini, sebuah contoh rangkaian resistif dicari penyelesaian untuk tegangan simpul
simpulnya secara analitis iteratif menggunakan teknik penyelesaian Gauss-Seidel, dan
kombinasinya dengan teknik ekstrapolasi Aitken untuk percepatan pencapaian solusi
eksak. Hasilnya, sebuah proses iterasi yang konvergenitasnya dicapai setelah 300 iterasi
dapat disegerakan menjadi hanya 20 iterasi.
Kata-kunci : teknik Gauss-Seidel, esktrapolasi Aitken. konvergensi, tegangan simpul.
ABSTRACT
One of criteria that is frequently used to define 'good-bad' of an iterative solution method
is the convergence SPEED, i.e. the speed on achieving (or closes) the exact solution. So, a
solution method should assumed as not good when it reaches the exact solution after (for
instance) 300 iterations, if the other method capable to reach it just after (let say it) 20
iteration. In this paper, an example of resistive circuit was found for the solution of their
nodal voltages by iterative analytic using Gauss-Seidel solution method, and the
combination with Aitken's extrapolation technique in order to make short in reaching the
exact solution. The result, the problem of which can be solved at 300 iteration can be make
short just in 20 iteration.
Keywords: Gauss-Seidel technique, Aitken extrapolation, convergence, nodal voltage.
273
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
PENDAHULUAN
ISSN 1693-3346
Di dunia nyata, kita sering menghadapi perosalan-persoalan dengan ukuran besar dan
dalam kerumitan tertentu. Solusi menggunakan cara manual dan analitis perlu mendapat
perhatian. Kekeliruan akan mudah terjadi, keraguan terhadap hasil-akhirpun dapat timbul,
bahkan yang lebih penting dan pasti terjadi adalah waktu eksekusi yang pasti sangat lama
sekali sebanding dengan ukuran serta kerumitan persoalan yang sedang dihadapi.
Jaman sudah berubah, komputer sudah hadir. Kita manfaatkan komputer agar mampu
melakukan pencarian solusi dari persoalan kita. Masalahnya : mesin hitung tersebut tidak
dapat dengan sendirinya melakukan suatu proses, ia harus dijalankan dengan
'memasukkan' suatu jalan-pemikiran yang umum dikenal dengan algoritma atau teknik
penyelesaian.
Didalam makalah ini diuraikan teknik numerik untuk menyelesaikan rangkaian yang
bersifat resistif.
TEORIDASAR
Apabila terdapat sebuah rangkaian yang hanya berisi sumber pembangkit arus listrik serta
resistor-resistor didalamnya maka analisis simpul-simpul akan menghasilkan persamaan
simultan yang linier dengan koefisien-koefisien yang berharga konstan. Secara umum
dapat dituliskan hasil analisisnya sebagai berikut :
II = gllV1 + gl2 V2 + gu V3 + .
h = g21VI + g22 V2 + g23 V3 + .
h = g31VI + g32V2 + g33V3 + .
(1)
274
Prosiding Pertemuan I1miah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
Yang mana bila direpresentasikan dalam bentuk matrik akan menjadi :
ISSN 1693-3346
gll g12gl3...gill VI11
g21
g22g23...g211V2I,g31
g32g33...g3n•V,=1: I(2)
• >
..
............ .....
gnl
gn2gll3...gill/ VII111
dengan
gij
koefisien konstan (konduktansi)
Vijbe saran yang dicari (tegangan pada satu simpul)
Iijbesaran yang diketahui (arus dari sumber tegangan).
Persamaan simultan diatas akan sulit diselesaikan bila harus dilakukan secara analitis
ataupun manual. Oleh karena itu, satu-satunya cara yang dapat ditempuh adalah dengan
memanfaatkan metoda numerik (umumnya berupa sebuah cara iteratit), dalam kasus ini
akan ditempuh cara penyelesaian menggunakan algoritma Gauss-Siedel. Algoritma ini
dipilih sebagai teknik penyelesaian karena berbagai kelebihan, yaitu :
1. Mudah untuk di-kode-kan
2. Bersifat sangat robust
3. Kesalahan dapat direduksi sekecil mungkin berdasarkan kemampuan mesin penghitung
(komputer)
4. Banyaknya iterasi tidak bergantung pada dimensi (ukuran) jaringan.
Algoritma ini memerlukan penduga-mula terhadap solusi vektor V (missal: Vj = untukj =
1, 2, ... ,n). Dengan penduga- awal tersebut dilakukan penyelesaian untuk persamaan
pertama, lalu solusi vektor V I diperbarui (updating) menggunakan nilailharga barunya.
Selanjutnya lakukan penyelesaian V2 dari persamaan kedua, V3 dari persamaan ketiga
demikian seterusnya. Lakukan proses iterasi (pengulangan yang terus-menerus) yang
akhimya didapatkan harga vektor V yang konvergen menuju solusi sistem linier tersebut.
V(k) = _I [~ ..V (k) ~ V (k-IJ;I L., g '/' I + L., g If' I
gll .1=1 /=1+1
275
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
dirnana :y(O) =0i= 1,2, ... , nk = 1,2, 3, ...
ISSN 1693-3346
Pertarna kali rnembicarakan konvergensi berarti kita perlu memperbincangkan bagairnana
cara mernbangun matrik koefisien. Dengan memperhatikan pada konduktansi gik
(konduktansi an tara simpul i dan k) maka diagonal gii dapat diberikan [ormulasinya
sebagai :
n
gji = Lg,kk=O
k:;t i.
dirnana
giO konduktansi antara simpul i dan tanah (simpul 0).
CONTOH : Untuk rangkaian seperti pada Gambar-I, elemen diagonal gl I adalah sarna
dengan surnasi konduktansi-konduktansi bermula dari simpul I .
• 4il'.S 91~.>
ql" 1 91"'- - I •·~Vo/' ...I\.------~/Vv---~) I ! ')L t.. •....•c"
:~ g·o.;:.,.l. [I
Gambar-I : Contoh rangkaian resistip.
Jadi :
Catat bahwajika dua simpul tidak ada brunch, maka konduktansi mutual-nya berharga nol.
Pada contoh tersebut : g13 = g34 = g24 di O.
Matrik konduktansi dari rangkaian riil
n I' "
gj; ~ Lg,k ==:> Lg'k ~ Lg'kk=1 k=O k=1k,,; k", k",
1/ II
==:> g,o + Lg'k ~ Lg,kk=1 k=1k 1'-1 k'#.i
276
Prosiding Pertemuan Ilmiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
Sederhananya adalah, kita dapatkan relasi giO 2: 0 yang selalu benar untuk bentuk
rangkaian apapun. Setidaknya, satu simpul harus terdapat konduktansi "tentu" ke tanah,
setidaknya, satu relasi dipenuhi dengan lam bang ">". Ini menunjukkan bahwasanya
matrik adalah dominant diagonal
sehingga algoritma Gauss-Seidel bersifat konvergen. Berikut adalah cara kerja dengan
menggunakan sebuah contoh.
Pada rangkaian seperti ditunjukkan pada Gambar-2, diasumsikan terdapat rangkaian
dengan 4 simpul yang hendak dicari tegangannya VI, V2, V3, V4• Resistor dalam Ohm.
Pembangkit arus mengalirkan arus listrik ke simpul I sebesar 1 Amp. Tahanan R
sebenarnya adalah sebuah nilai yang bisa parametris tetapi untuk keperluan memudahkan
analisis secara manual, disini diambil bernilai 100 Ohm.
4
50
Gambar-2 : Rangkaian resistif yang hendak dicari tegangan simpul-simpulnya
Untuk sistem linier ini berlaku :
[G].V = 1
dengan[G]VI
matrik konduktansi
vektor teganganvektor arus
Matrik Kondukstansi [G]0,03
-0,01-0,0 I0
-0,011,025-1-0.0 I
-0,01
-11,025-0,0 I0
-0,01-0,0 I0,04
277
Arus (I)1
ooo
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
k VI V2V3V4
0
0 000I 33,3339,523812,2455,4422
240,5916,6517,9096,399
344,85320,40121,11310,378
447,17122,47522,86411,335
548,44623,61323,82711,86
1049,99224,93124,94\12,468
1549,996,24,99724,99712,498
2050252512,5
ISSN 1693-3346
Berawal dengan vektor (0, 0, O. 0), algoritma konvergen secara cepat menghasilkan solusi
(50, 25, 25, 12,5). Dengan mengamati hasil seperti ditunjukkan pada Gambar-3 berikut
terlihat bahwa sesudah hanya dalam 20 kali iterasi kesalahannya mencapai dibawah 0,1 %,
mencapai sekitar I E-09 setelah 14 iterasi dan menjadi kurang dari 1*E-14 hanya setelah
iterasi 60.
I} '1
0.G01
1E-O:':·
1E-[l7
1 E-09
20 JC 60 80
1E-11
1E-'!
iE-1!5Error
I1
........_. ._.3
Gambar-3 : Kecepatan penurunan deviasi terhadap nilai eksak pad a bertambahnya iterasi
Pada contoh diatas, konvergensi 'kebetulan' didapatkan dalam iterasi yang sangat cepat.
Namun kondisi ini tidak berlaku umum untuk setiap jaringan. Untuk penghitungan dengan
parameter R = I Ohm hasilnya adalah : Vektor solusi memang tidak berubah tetapi
kecepatan konvergensi jauh lebih singkat dibandingkan yang sebelumnya.
278
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
Matrik Kondukstansi [G]0,03
-0,01-0,010
-0,011,025-I-0,0 I
-0,01
-I1,025-0,010
-0,01-0,01~:~~ Arus (I)1
ooo
k VI V2V3V40
0 0001
33,3330,32520,64250,24192
33,6560,95751,26490,55563
34.0741,57191,87140,86084
34,4812,17052,46241,15825
34,8782,75393,03831,44816
35,2643,32243,59951,73057
35,6413,87634,14642,00578
36,0084,41614,67922,27389
36,3654,94215,19852,535110
36,7145,45465,70452,789812
37,3846,44086,6783,279714
38,027,37727,60243,744916
38,6258,26638,48024,186618
39,1999,11069,31374,606120
39,7449,912310,1055,0043...
'0 • .0.•• 0...300
49,992724,989324,989412,4947
Berawal dengan vektor (0, 0, 0, 0), algoritma mencapai keadaan konvergen dengan arnat
larnban untuk mencapai soilisi (50, 25, 25,12,5).
Setelah 20 iterasi hasilnya masih jallh dari solusi eksak, hasilnya baru (39,774; 9,9123;
10,105; 5,0043), sekitar separllh dari nilai eksaknya. Ternyata, dibutuhkan sekitar 300
iterasi untuk mencapai kesalahan sebesar kllrang dari I %.
Matrik Hill conditioned
Alasan terjadinya begitu ban yak perbedaan kecepatan konvergensi pada algoritma yang
sarna adalah bahwa matrik dalam contoh ini tetap dominan tetapi lebih kecil dari yang
pertarna. Pada kenyataannya. bahwa elemen yang sama yang diluar diagonal dekat dalam
rnodul dengan elemen diagonal pada baris yang sama. Jadi :
dan
279
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
Sebaliknya, untuk yang konvergensi cepat terjadi keadaan :
la231«1a22
dan a]21 « IQ33
Situasi dengan konvergensi ini (matrik "hill-conditioned') dapat dideteksi dengan mudah
dengan cara melakukan inspeksi langsung pad a jaringan itu sendiri. Apabila rasio antara
resistor tertinggi dan terendah adalah tinggi maka berarti matrik terkait berada pada hill
conditioned. Semakin tinggi rasionya, semakin lamban fitur konvergensinya.
Pada rangkaian listrik umumnya terjadi nilai rasio sebesar 1000 atau bahkan lebih besar
dan ini menunjukkan bahwa algoritma ini tak dapat dipergunakan (useless). Untungnya
masih ada metoda yang efisien dan mudah untuk meningkatkan kecepatan konvergensi,
disebut : metoda ekstrapolasi kuadrat delta (delta square extrapolation)(Aitken's
extrapolation).
Definisikan: ~i = Xi - Xi-I
Formula ekstrapolasinya adalah :
2 ( )"~ x -x -X'= x _ n = ,. - 11 11-1n ..-\./1
~11 - ~n-I xn - 2x"_1 + X,,_2
dimana
X' aproksimasi terbaik dari tiga nilai terakhir Xn. x n-h X n-2
Pad a contoh yang terakhir, ambillah iterasi terakhir 18, 19,20 dari VI diperoleh :
k VI18
39,19874959698319
39,47475815364520
39,743713756203
I ekstrpl I 49,999999999979
280
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
Terjadi percepatan yang sangat cepat menggunakan tiga iterasi terakhir dari 20 iterasi,
dengan formula ekstrapolasi ini telah dapat dicapai kesalahan lebih kecil dari IE-IO.
Metoda ini dapat diterapkan pula untuk V2 , V3 and V4 dan akan didapatkan hasi\ dengan
percepatan dengan kecepatan yang sama.
Formula ekstrapolasi bekerja sangat halus pada saat jaringan berkondisi hill-conditional.
Penting untuk melakukan kajian agak lebih mendalam. Disini akan diperoleh bentuk yang
agak sedikit berbeda (tetapi ekivalen) untuk ekstrapolasi Aitken. Diasumsikan bahwa
formula iterasi mempunyai bentuk linier sebagai berikut (paling sederhana)
(3)
Jadi, berawal dari V 0 didapatkan :
VI = a + fJYo
V2 = a + fJY1 = a + fJ(a + fJYo) = a + a.fJ + fJ2 Yo
V3 = a + fJY2 = a + fJ(a + afJ + fJ2 Y(J) = a + a.fJ + afJ2. + fJ3 Yo
V fJV fJ fJ2 fJ3 fJ"-1 fJnVn = a + . ,,_I= a + a. + a . + a . + ...+ a + 0
= a(1 + fJ + fJ2 + /I' + ...+ fJ"'I)+ fJ".vo
yang dapat dituliskan menjadi
Vn = aIfJk + fJ".vo == a[ I - fJ" ) + fJ" Yok=O I - fJ
Agar deret konvergen menuju suatu harga tertentu (finite) maka dalam kasus ini diperlukan
agar 113\ < I, mengingat bahwa lim fJ" = a jika ~ berupa pecahan sejati dibawah +1 atau-,,~a)
I, dengan demikian :
Urnv" ~ lirn[ a[ 1- (3" ) + (3"YoI= -"'11-><>0 n->'" J - fJ ) I - j3
281
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
Solusi dapat diketahui jika kita mengetahui koefisien a dan ~. Keduaya dapat diperoleh
melalui tiga iterasi berurutan Vn-2, Vn-!, Vn dengan cara menyelesaikan sistem linier
berikut :
=> 13 = V" - V,,_IV I'n-I - I 11-2
Substitusikan, solusi untuk V akan menjadi :
a = V" - j3.V,,_1
v = ~ _ V" - j3'vII_1
1-13- 1-13dimana V -V"_I"
13 = V - Vn_20-1(4)
Eliminasi ~ dengan cara substitusi, diperoleh :
v = Vn'vn_2 - Vn_1 2 = V _ (V" - V"_IYV ,V +V "V,V +Vn-2 n-I n-2 11-2 II-I 11-2
Jadi, formula (4) adalah bentuk lain yang berbeda untuk ekstrapolasi kuadrat delta.
Pada kenyataannya, oleh karena asumsi awal (3) tidak eksak, berakibat nilai "V"
merupakan nilai perkiraan dari solusi eksak. Pengulangan formula dari setiap tiga (atau
lebih) iterasi memungkinkan kita untuk mendapatkan solusi dengan perkiraan tertinggi
yang bisa terjadi.
Untuk sistem dengan hill-conditioned, parameter ~ :::::1 atau I I - ~ I < 1>. (Biasanya E
sekitar 0, I -:-0,01). In i merupakan uj i yang tidak sekedar cuap-cuap (cheep) belaka
dan praktis untuk dideteksi untuk meningkatkan kecepatan konvergensi dengan formula
ekstrapo las i.
Untuk contoh ke-l dengan konvergensi cepat. didapatkan :
V(IO) _ V(9)
13 = (9) 10' ~ 0,543 => I - 13~ 0,456V -V
Sedangkan untuk contoh ke-2 yang konvergensinya lamban, didapatkan :
V(IO) _ V(9)
fJ = (9) (8) ~ 0,977 => 1- 13 ~ 0,022V -V
282
Prosiding Pertemuan I1miah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
CATATAN. Parameter ~ dapat dihitung dengan mengambil 3 iterasi berurutan yang
manapun, dalam contoh diatas dilakukan pengambilan dari iterasi (8, 9, 10). Kita dapatkan
hasil serupa bila mengambil dari iterasi (5,6. 7) ataupun (18, 19,20).
Penggunaan algoritma Gauss-Seidel bersama dengan ekstrapolasi formula Aitken telah
mampu merealisasikan metoda yang efisien untuk menyelesaikan suatu rangkaian resistif.
KESIMPULAN
Obyektif dari teknik iterasi adalah kecepatan konvergensi untuk mencapai sedekat
dekatnya dengan nilai eksak, yang juga berarti : tingkat efisiensi iterasi itu sendiri.
Didalam makalah ini, telah dilakukan analisis terhadap implementasi metoda iterasi Gauss
Seidel terhadap jaringan resistif seperti diberikan pada Gambar-I. Dengan mengambil
contoh numerik seperti Gambar-I, algoritma Gauss-Seidel ansich menghasilkan nilai eksak
(dengan kesalahan didalam I %) setelah terjadi 300-an iterasi. Dengan mencoba
melakukan kombinasi antara algoritma Gauss-Seidel dan Aitken banyaknya iterasi untuk
kasus yang sarna hanya memerlukan 20-an iterasi. suatu percepatan konvergensi yang
dapat dipandang sebagai sangat siknifikan.
DAFT AR PUST AKA
1. Floyd T.L., Electric CirclIit Fundamentals, Merrill Pub!. Co., Columbus, Ohio, 1987.
2. Van Valkenberg M.£., Nasution S.H .. Analisis Jaringan Listrik,
Penerbit Erlangga, 1988.
3. James M.L., and Smith G.M., Applied Numerical Methodsfor Digital Computers,
3rd Ed., Herfer & Rows Pub!., New York. 1985.
4. Gerald C.F., Wheatley P.O., Applied Numerical Analysis, 6th Ed.,
Addison Wesley. 1999.
5. Kreyszig E.,Advanced Engineering Mathematics. 8th Ed.. Chapters I, 5, 8, 9,
John Willey & Sons Inc., New York, 1999.
283