i
ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL
INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA MENGGUNAKAN
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
TESIS
diajukan untuk memenuhi salah satu syarat
memperoleh gelar Magister Pendidikan
Disusun oleh:
Yulius Wahyu Putranto
NIM: 151442001
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN MOTTO
Tesis yang baik adalah tesis yang selesai.
(Yulius Wahyu Putranto, 2017)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tesis ini kupersembahkan untuk:
Ibuku Emiliana Yuniasih,
Bapaku Ignatius Bowo Hariyanto,
dan segenap keluarga yang mendukung dengan perhatiandan Doa.
Terima kasih.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Yulius Wahyu Putranto, 2017. Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model InteraksiPemangsa-Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
Tesis.
Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematikadan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, UniversitasSanata Dharma, Yogyakarta.
Tesis ini bertujuan untuk meneliti tentang sistem dinamika dua populasi dengansatu populasi memangsa populasi yang lain. Populasi disebut populasi pemangsa danpopulasi disebut populasi mangsa. Setiap spesies dari diasumsikan hanya mendapatmakanan dari sedangkan bertumbuh secara alami. Dengan demikian terjadi suatusistem dinamika pemangsa- mangsa. Aspek pemanenan ditambahkan pada kedua populasitersebut untuk mengetahui dampak yang terjadi pada titik ekuilibrium ketika keduapopulasi atau salah satu dilakukan pemanenan. Model yang dimodifikasi ada tiga macamyaitu model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada mangsa, model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan model pemangsa-mangsa denganaspek pemanenan pada keduanya. Masing-masing model telah dianalisis kestabilan titikekuilibriumnya. Peneliti mencari solusi sistem dinamika dua populasi secara umum denganmetode dekomposisi Adomian. Pada analisis solusi sistem, dilakukan perhitungan dengantiga parameter yang berbeda, sehingga menghasilkan tiga macam interaksi yang berbeda.Interaksi yang muncul dengan parameter yang telah ditentukan adalah mutualisme,parasitisme dan kompetisi.
Kata Kunci: Sistem dinamis, model pemangsa-mangsa, titik ekuilibrium, DekomposisiAdomian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Yulius Wahyu Putranto, 2017. Analysis of Equilibrium Points and Solution ofPredator-Prey Interaction Model Using Adomian Decomposition Method.
Thesis.
Study Program of Master of Mathematics Education, Department of Mathematicsand Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata DharmaUniversity, Yogyakarta.
This thesis aims to examine the dynamical system of two populations with onepopulation prey on other populations. Population is called predator population andpopulation is called prey population. Each species of is assumed to only get food from
while grows naturally. Thus there is dynamical systems of predaror-prey. Harvestingaspects are added to both populations to determine the impacts that occur at the equilibriumpoint when the two populations or one is harvested. There were three kinds pf models thatwere modified: predator-prey models with harvesting aspects of prey, predator-prey modelswith harvesting aspects of predators and predatory models with harvesting aspects in both.Each model has analyzed the stability of the equilibrium point. We seek a general solutionfor dynamical systems in general with Adomian decomposition method. In the analysis ofsystem solutions have been calculated with three different parameters, so as to producethree kinds of different interactions. Interactions that arise with predetermined parametersare mutualism, parasitism and competition.
Keywords: Dynamical Systems, predator-prey models, equilibrium point, AdomianDecomposition
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi
internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:
Y.W. Putranto dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method for
solving the population dynamics model of two species”, Journal of Physics:
Conference Series, Volume 795, Nomor 1, Artikel 012045, Tahun 2017
(terideks Scopus), Link Artikel:
http://doi.org/10.1088/1742-6596/795/1/012045
Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan
menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis
(Yulius Wahyu Putranto).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
KATA PENGANTAR
Sungguh sebuah mimpi yang menjadi kenyataan bagi penulis ketika tesis
yang berjudul Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi Pemangsa-
Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian telah selesai dengan baik
dan tepat waktu. Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha
Kuasa, karena telah mengabulkan doa penulis selama menyusun tesis ini dan
senantiasa mendampingi dalam setiap tulisan yang dibuat oleh penulis.
Menjadi bagian dari keluarga Magister Pendidikan Matematika Sanata
dharma memang tidak terbayangkan oleh penulis mengingat sulitnya kerja keras
ketika menulis skripsi pada jenjang S1. Rencana Tuhan memang luar biasa karena
penulis diberi kesempatan untuk mengikuti kembali dunia kampus yang telah
ditinggalkan biarpun belum lama. Penulis berterima kasih kepada Suster Vianney,
S.SpS karena telah mendorong penulis untuk menempuh kembali kuliah S2
Pendidikan Matematika demi bekal di masa depan. Semangat itulah yang penulis
pegang selama mengikuti perkuliahan di S2 Pendidikan Matematika ini. Tentunya
keberhasilan menulis Tesis ini tidak luput dari para dosen dan teman-teman yang
penulis temui ketika menjadi bagian kembali di Kampus Sanata Dharma ini. Pada
kesempatan ini penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis,
sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu.
2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi
Magister Pendidikan Matematika. Terima kasih sudah menjadi motivator
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
dan memfasilitasi mahasiswa dalam berkonsultasi baik tentang perkuliahan
maupun tentang dunia luar perkuliahan sejak pertama kali masuk kuliah.
3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan yang telah membimbing
pada awal penulisan tesis ini. Terima kasih sudah membimbing kami untuk
memulai masuk ke dalam dunia sistem dinamika.
4. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan
selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat
menyelesaikan tesis dengan baik dan tepat waktu dan segenap staf
Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus
selama penulis melaksanakan studi di sini.
5. Teman seperjuangan tesis yaitu Meta, Mas Beni dan Mas Tatak yang telah
mau saling memberi semangat dan meluangkan waktu untuk bersama-sama
untuk menyelesaikan tesis serta teman-teman dari Program Studi Magister
Pendidikan Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan
kepada penulis selama studi di S2 pendidikan matematika.
6. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah
membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.
Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, tetapi penulis
meyakini bahwa penulisan tesis ini memiliki kontribusi yang cukup bagi kampus
dan para pembaca yang ingin mengembangkan tesis ini. Terima kasih.
Penulis,
Yulius Wahyu Putranto
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
Halaman Judul ................................................................................................... i
Halaman Persetujuan Pembimbing .................................................................... ii
Halaman Pengesahan ......................................................................................... iii
Halaman Motto .................................................................................................. iv
Halaman Persembahan....................................................................................... v
Pernyataan Keaslian Karya ................................................................................ vi
Abstrak ............................................................................................................... vii
Abstract .............................................................................................................. viii
Pernyataan Persetujuan Publikasi Karya Ilmiah ................................................ ix
Daftar Publikasi Karya Ilmiah ........................................................................... x
Kata Pengantar ................................................................................................... xi
Daftar Isi ............................................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN.................................................................................. 1
A. Latar Belakang ....................................................................................... 1
B. Tinjauan Pustaka .................................................................................... 2
C. Perumusan Masalah ............................................................................... 4
D. Batasan Masalah .................................................................................... 4
E. Tujuan Penelitian ................................................................................... 5
F. Kebaruan Penelitian ............................................................................... 5
G. Manfaat Penelitian ................................................................................. 6
H. Sistematika Penulisan ............................................................................ 6
I. Metode Penelitian .................................................................................. 9
BAB II LANDASAN TEORI............................................................................ 10
A. Pemodelan Matematika.......................................................................... 10
B. Model Pertumbuhan Populasi ................................................................ 11
C. Aspek Pemanenan .................................................................................. 15
D. Aspek Kompetisi.................................................................................... 16
E. Sistem Persamaan Diferensial................................................................ 17
F. Metode Dekomposisi Adomian ............................................................. 34
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
G. Kerangka Berpikir.................................................................................. 38
BAB III ANALISIS KESTABILAN MODEL SISTEM DINAMIKA ............. 39
A. Model Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada mangsa ..... 40
B. Model Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada pemangsa . 47
C. Model dengan Aspek Pemanenan pada mangsa dan pemangsa ............ 54
BAB IV SOLUSI SISTEM DINAMIKA DENGAN METODE DEKOMPOSISI
ADOMIAN ........................................................................................................ 62
A. Mutualisme ............................................................................................ 63
B. Parasitisme ............................................................................................. 67
C. Kompetisi ............................................................................................... 70
BAB V ASPEK KEPENDIDIKAN................................................................... 75
A. Pembelajaran di Sekolah Menengah ...................................................... 75
B. Pembelajaran di S1 ................................................................................ 79
C. Refleksi .................................................................................................. 80
BAB VI PENUTUP ........................................................................................... 86
A. Kesimpulan ............................................................................................ 86
B. Saran ...................................................................................................... 87
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 88
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Model dinamika populasi sudah banyak dikembangkan dalam bidang
matematika biologi. Banyaknya individu akan selalu bertambah atau pun berkurang
setiap waktu tergantung pada laju pertumbuhan individu tersebut, sehingga dari
data jumlah individu pada suatu populasi tiap waktu dapat ditentukan pola atau
model matematika. Pada awal diperkenalkan, model pertumbuhan populasi berupa
model eksponensial. Model eksponensial memperlihatkan bahwa populasi suatu
individu bertumbuh menurut grafik fungsi eksponen. Seiring berjalannya waktu,
model pertumbuhan populasi diperbaiki dengan memperhatikan beberapa faktor
seperti tempat tinggal, ketersediaan makanan, ancaman bahaya, dan lain
sebagainya. Model baru yang diberikan dapat dikembangkan lebih realistis sesuai
kondisi suatu populasi berasal. Suatu populasi pastinya berinteraksi dengan
populasi yang lain sehingga menimbulkan suatu sistem dinamika.
Hubungan antara populasi memiliki berbagai macam sifat dan perilaku
antara lain pemangsa-mangsa, kompetisi, mutualisme, parasitisme, dan lain-lain.
Salah satu hubungan antara dua populasi yang akan dibahas adalah hubungan
pemangsa-mangsa. Hubungan tersebut dapat dibuat model dalam matematika yang
biasa disebut model pemangsa-mangsa. Model pemangsa-mangsa merupakan
sistem dinamika antara dua populasi dengan satu populasi memangsa populasi yang
lain. Dalam tesis ini, diteliti bahwa pada pihak yang dimangsa maupun pemangsa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
terdapat aspek pemanenan. Solusi dari sistem secara umum akan dicari
menggunakan metode dekomposisi Adomian.
B. Tinjauan Pustaka
Sistem dinamika sudah banyak dibahas dalam berbagai buku dan jurnal
yang telah diterbitkan. Pada tesis ini beberapa artikel dan jurnal yang dijadikan
acuan adalah sebagai berikut:
1. Penelitian yang dilakukan oleh Rao (2011). A study on series solution of two
species lotka volterra equations by adomian decomposition and homotopy
pertubation methods. Pada penelitian tersebut Rao membandingkan dua metode
untuk menyelesaikan persamaan Lotka Voltera dua spesies.
2. Penelitian yang dilakukan oleh Zhou (2003) dengan judul The stability of
predator-prey systems subject to the Allee effects. Pada penelitian tersebut
diberikan model interaksi pemangsa-mangsa dengan dikenai efek Allee pada
pemangsa maupun mangsa. Allee effects adalah suatu batas bawah dari populasi
dengan batas tersebut membuat populasi tidak akan punah. Analisis grafik serta
titik ekuilibrium dilakukan untuk mengetahui efek yang ditimbulkan jika
dibandingkan dengan model yang aslinya.
Dari beberapa tinjauan pustaka di atas menunjukan bahwa model yang
semakin mendekati realita di dunia nyata maka modelnya semakin rumit, tetapi
tetap ada beberapa asumsi-asumsi untuk membatasi sebuah model. Model yang
terlalu kompleks akan sulit untuk dicari penyelesaiannya. Perbedaan penelitian
pada tesis ini terletak pada model dasar yang digunakan. Peneliti menggunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
model pertumbuhan logistik pada interaksi pemangsa-mangsa. Pada sistem ini
peneliti menambahkan aspek pemanenan baik pada mangsa maupun pemangsa.
Solusi secara umum model sistem dinamika akan dicari menggunakan pendekatan
Metode Dekomposisi Adomian.
Berdasarkan tinjauan pustaka, letak penelitian ini dapat digambarkan
dengan diagram berikut berikut:
Keterangan diagram:
: Hal yang dibahas pada penelitian ini.
: Hubungan antara penelitian yang sudah dilakukan.
: Penelitian yang telah dilakukan sebelumnya.
Diagram 1.1. Letak penulisan tesis ditinjau dari beberapa penelitian yang telah
dilakukan.
ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSIMODEL INTERAKSI PEMANGSA-MANGSAMENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI
ADOMIAN
Zhou (2003). The stability ofpredator-prey systems
subject to the Alle effects
Rao (2011). A study on Series Solution oftwo Species Lotka Volterra Equations byAdomian Decomposition and Homotopy
Pertubation Methods.
Putranto dan Mungkasi (2017). Adomiandecomposition method for solving the population
dynamics model of two species.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan maka rumusan
masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana modifikasi model sistem dinamika interaksi dua populasi
pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa?
2. Bagaimana analisis sifat-sifat kestabilan titik ekuilibrium model sistem
dinamika interaksi dua populasi dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan
mangsa?
3. Bagaimana solusi secara umum sistem dinamika dengan metode dekomposisi
Adomian?
D. Batasan Masalah
Pada penelitian ini, masalah yang dibahas adalah sistem dinamika populasi
dua spesies dengan interaksi pemangsa-mangsa. Kedua populasi berinteraksi di
dalam ekosistem yang tertutup, artinya tidak ada laju pertumbuhan populasi yang
diakibatkan oleh faktor migrasi. Aspek lain seperti bencana alam, pemangsa lain
dan penyakit tidak diperhitungkan. Peneliti hanya memberi aspek pemanenan pada
interaksi dua populasi pemangsa-mangsa. Metode yang digunakan untuk mencari
solusi secara umum adalah metode dekomposisi Adomian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
E. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah:
1. Untuk modifikasi model sistem dinamika interaksi dua populasi pemangsa-
mangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa.
2. Untuk analisis sifat-sifat kestabilan titik ekuilibrium model sistem dinamika
interaksi dua populasi dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa.
3. Untuk mengetahui solusi secara umum sistem dinamika dengan metode
dekomposisi Adomian.
F. Kebaruan Penelitian
Dalam penelitian ini dilakukan modifikasi model dengan aspek pemanenan
yang terjadi pada dua populasi yang berinteraksi. Salah satu model diberi aspek
pemanenan terjadi pada pihak mangsa saja dan model yang lain hanya terjadi pada
pihak pemangsa saja. Kombinasi dari kedua model tersebut menghasilkan model
ketiga sehingga terdapat aspek pemanenan pada pemangsa maupun mangsa. Solusi
umum dari sistem dinamika juga dicari dengan pendekatan menggunakan metode
dekomposisi adomian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
G. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:
1. Menambah pengetahuan dalam analisis kestabilan model sistem dinamika
populasi pemangsa-mangsa dengan pemanenan pada pemangsa dan mangsa.
2. Mengetahui yang terjadi pada kedua populasi jika berinteraksi dalam jangka
panjang.
3. mengetahui salah satu metode untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan
diferensial
4. Memberikan informasi bagi peneliti selanjutnya untuk menganalisis kasus yang
lebih kompleks.
5. Memberi pengetahuan kepada guru dan siswa Sekolah Menengah Atas tentang
kegunaan persamaan diferensial.
H. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan akan dibagi menjadi lima bagian, yaitu:
BAB I: Pendahuluan
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, tinjauan pustaka,
perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan
sistematika penulisan. Permasalahan pada bab ini diawali dari sebuah masalah pada
bidang biologi tentang pertumbuhan populasi. Suatu populasi yang bertumbuh
dapat dibuat model matematika sehingga dapat dianalisis perilaku jangka populasi
tersebut dalam jangka panjang. Model populasi dapat dikembangkan ketika suatu
populasi saling berinteraksi satu sama lain sedemikian hingga membentuk sebuah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
sistem yang mengakibatkan setiap populasi akan mempengaruhi populasi yang lain.
Solusi dari sebuah sistem tersebut sulit untuk didapatkan secara eksak tetapi dapat
dilakuan dengan metode pendekatan salah satunya Metode Dekomposisi Adomian.
BAB II: Landasan Teori
Pada bab ini dijelaskan mengenai teori-teori yang terkait dengan penelitian
antara lain: pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan
diferensial nonlinear, model pertumbuhan logistik, model pertumbuhan logistik
populasi dua spesies dengan interaksi pemangsa-mangsa, dan analisis titik
ekuilibrium.
BAB III: Analisis Kestabilan Sistem Dinamika
Bab ini membahas tentang analisis kestabilan tiap titik ekuilibrium dari
model sistem dinamika pemangsa-mangsa yang telah dimodifikasi. Model
dimodifikasi dengan menambahkan aspek pemanenan baik pada pemangsa
saja,atau mangsa saja maupun keduanya. Hal ini mengacu pada rumusan masalah
pada Bab I di mana peneliti membuat modifikasi model dengan aspek pemanenan
dan analisis kestabilan titik ekuilibriumnya.
BAB IV: Solusi Model dengan Metode Dekomposisi Adomian
Pada bab ini akan dipaparkan hasil serta pembahasan mengenai solusi dari
model pertumbuhan logistik populasi dua spesies secara umum. Nilai parameter
yang diberikan ada tiga jenis sehinga mengakibatkan tiga macam interaksi yaitu
interaksi mutualisme, parasitisme dan kompetisi. Masing-masing model dicari
solusinya dengan mengitung menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
Software Maple dan Matlab digunakan untuk menghitung solusi dari sistem
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
persamaan diferensial dan menggambar grafik dari perilaku model populasi yang
dapat dianalisis perilaku jangka panjang.
BAB V : Aspek Kependidikan
Pada bab ini akan dibahas tentang berbagai aspek kependidikan yang terkait
dengan materi tesis. Aspek kependidikan yang dibahas adalah kependidikan adalah
aplikasi tentang sistem dinamika pada pada jenjang Sekolah Menengah dan tingkat
S1. Pada jenang sekolah menengah dibuat dengan membuat soal cerita dengan
sistem dinamika, sedangkan untuk jenjang S1 sudah ada mata kuliah tentang
pemodelan matematika yang membahas masalah sistem dinamika populasi secara
lebih detail. Selain itu terdapat refleksi dari peneliti tentang penulisan tesis
matematika murni.
BAB VI: Penutup
Pada bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah
diuraikan pada bab sebelumnya. Kesimpulan meliputi modifikasi model, analisis
kestabilan titik ekuilibrium dan solusi dengan Metode Dekomposisi Adomian serta
beberapa saran yang berkaitan dengan hal yang dibahas pada tesis ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
I. Metode Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian pustaka (Studi Literatur) dengan pendekatan
secara mendalam mengenai analisis titik ekuilibrium. Metode Dekomposisi
Adomian digunakan untuk mencari solusi dari hal yang dibahas dengan pendekatan
secara analitik. Selain perhitungan manual tersebut, simulasi komputer
menggunakan program Maple dan Matlab juga dilakukan untuk membantu
pertihungan dan menggambar grafik. Tercapainya tujuan dari penelitian ini
dilakukan dengan beberapa langkah kerja. Langkah pertama adalah melakukan
kajian terhadap buku-buku, jurnal, artikel, atau makalah yang terkait dengan topik
penelitian. Langkah kedua adalah menganalisa titik ekuilibrium model matematika
yang diperoleh yaitu model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-mangsa
dengan aspek pemanenan dan menggambarkan perilaku dari modifikasi model
yang telah didapat menggunakan program Matlab. Langkah ketiga adalah
mencari solusi model secara umum dengan Metode Dekomposisi Adomian.
Langkah terakhir adalah memberi penjelasan mengenai arti dari grafik yang
diperoleh baik pada analisis titik ekuilibrium maupun pada solusi dengan Metode
Dekomposisi Adomian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika merupakan suatu proses matematisasi dari dunia
nyata menuju dunia matematika, artinya permasalahan yang ada pada dunia nyata
diterjemahkan ke dalam bahasa matematika. Pertumbuhan populasi merupakan
salah satu dari berbagai permasalahan di dunia nyata yang dapat dibawa ke dalam
dunia matematika menggunakan teori-teori yang sesuai. Pada perkembangannya,
model yang sudah dibentuk dapat dikembangkan lagi dengan menambah aspek-
aspek yang lain yang sekiranya mempengaruhi. Menurut Lovitt (1991) pemodelan
matematika ditandai oleh dua ciri utama, yaitu:
1. Pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata
2. Pemodelan membentuk suatu siklus
Pada prosesnya pemodelan memiliki beberapa tahap yang saling berhubungan satu
dengan yang lainnya. Proses pemodelan dapat digambarkan seperti sebuah siklus
yang terus mengalami perbaikan. Berikut ini merupakan gambar dari siklus
pemodelan matematika:
Perumusan
Perbaikan
Interpretasi
Gambar 2.1. Pemodelan matematika menurut Lovitt
Dunia nyataModel
matematika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
B. Model Pertumbuhan Populasi
Model pertumbuhan populasi pertama kali diperkenalkan oleh Malthus
dengan model pertumbuhan eksponensial. Model ini memperlihatkan bahwa
pertumbuhan individu pada populasi mengikuti grafik eksponensial, sehingga
model awal dari pertumbuhan eksponensial yang diperlihatkan dalam Murray
(2001:2) adalah: = ,dengan konstanta > 0 merupakan laju pertumbuhan populasi dan (0) = .
Dengan demikian menurut Murray (2001:2), laju pertumbuhan eksponen dapat
dicari solusinya. Shonkwiler (2009:15) mengemukakan hal yang sama sehingga
nilai setiap waktu dapat dicari dengan fungsi sebagai berikut:= ,= ,= ,
ln = + ,( ) = ,( ) = .substitusikan (0) = , sehingga diperoleh persamaan:
(0) = ,= ,( ) = ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
dengan
: jumlah populasi,
: laju pertumbuhan populasi,
: waktu.
Model Malthus masih memiliki banyak kekurangan. Pada tahun 1838
Verhulst mengemukakan sebuah model pertumbuhan populasi baru yang
merupakan perbaikan dari model Malthus. Model tersebut biasa disebut model
logistik. Model ini memperhatikan berbagai aspek-aspek yang tidak ada pada model
sebelumnya seperti daya dukung alam. Daya dukung alam merupakan kemampuan
alam sekitar dalam mendukung kelangsungan hidup suatu populasi baik dari segi
makanan, lahan untuk tinggal dan sebagainya. Model logistik dirumuskan sebagai
berikut seperti dalam Murray (2001:3):
= 1 − .Model pertumbuhan logistik tersebut bertumbuh dengan laju dan memiliki
daya dukung alam . Konstanta dan merupakan konstanta positif dari model
tersebut. Model ini memiliki solusi yang berasal dari model yang diberikan. Model
logistik yang diberikan dilakukan pengintegralan untuk mendapatkan solusi.
Murray (2001:3) menuliskan solusi dari model logistik sebagai berikut:
= 1 − ,1 − = .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Kedua ruas diintegralkan sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut:
1 − = + .Dengan menggunakan teknik pengintegralan fungsi rasional, maka dapat dicari
hasil integral pada ruas kiri sebagai berikut:
1 − = + 1 − ,1 − = 1 − +1 − ,1 − = − +1 − ,
(0 + 1 )1 − = − +1 − ,= 1, atau − = 0, = .
Hasil integral tersebut membentuk persamaan menjadi:
+ 1 − = + ,1 + 1/1 − = + ,1 + 1( − ) = + ,ln| | + ln| − | = + ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
ln − = + ,− = .
Misalkan = maka persamaan di atas akan menjadi:
= − 1.Populasi awal untuk (0) = , sehingga dengan mensubstitusi ke
variabel maka didapat:
(0) = − 1,= − 1,
= − .Dengan demikian solusi dari model pertumbuhan logistik adalah sebagai
berikut:
( ) = − 1,( ) = −− − 1,( ) = − + ,
( ) = [ + ( − 1)],
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
dengan
: jumlah populasi,
: laju pertumbuhan populasi,
: daya dukung alam terhadap populasi,
: waktu.
Secara umum model pertumbuhan populasi tunggal dalam Murray (2001:5)
memiliki model sebagai berikut:
= ( ),dengan ( ) merupakan fungsi nonlinear dari kemudian solusi ekuilibrium ∗merupakan solusi dari ( ) = 0 dan secara umum stabil untuk gangguan kecil
jika ’( ∗) < 0 dan tidak stabil jika ’( ∗) > 0.
C. Aspek Pemanenan
Model pertumbuhan dengan aspek pemanenan diperkenalkan pertama kali
oleh Rotenberg tahun 1987 dalam Murray (2001:31). Pada model ini, aspek
pemanenan ditambahkan pada model pertumbuhan logistik. Model yang baru
dalam Murray (2001:31) adalah:
= 1 − − ,dengan
: jumlah populasi,
: laju pertumbuhan populasi,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
: daya dukung alam terhadap populasi,
: laju pemanenan.
Konstanta , dan adalah konstanta positif dan merupakan banyaknya
pemanenan tiap satu waktu dengan adalah besaran dari pemanenan.
D. Aspek Kompetisi
Kompetisi pada individu merupakan hal yang biasa terjadi. Setiap populasi
yang hidup bersama tentunya akan saling berkompetisi satu sama lain karena yang
diinginkan adalah hal yang sama. Murray (2001:94) menuliskan model dengan
aspek kompetisi dari masing-masing individu. Model berikut berdasarkan model
kompetisi dua spesies Lotka-Volterra dengan spesies dan yang bertumbuh
secara logistik dan berinteraksi satu sama lain. Model tersebut adalah:
= 1 − − ,= 1 − − ,
dengan
: jumlah populasi pertama,
: jumlah populasi kedua,
: laju pertumbuhan populasi,
: daya dukung alam terhadap populasi,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
: laju pertumbuhan populasi pertama ketika berkompetisi dengan populasi
kedua,
: laju pertumbuhan populasi kedua ketika berkompetisi dengan populasi
pertama.
E. Sistem Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang menghubungkan nilai
fungsi tersebut dengan turunannya. Bentuk dari persamaan diferensial biasanya
berupa laju perubahan. Dalam penelitian ini laju perubahan atau pertumbuhan
sebuah populasi digambarkan dalam bentuk persamaan diferensial. Setiap populasi
yang ada akan berkumpul dan hidup membentuk ekosistem. Interaksi antar populasi
ini yang akan menjadi interpretasi dari sebuah sistem persamaan diferensial.
Salah satu interaksi antar populasi yang ada adalah hubungan predasi. Dua
populasi yang hidup akan hidup bersama tetapi salah satu populasi akan menjadi
makanan bagi populasi yang lain. Hubungan ini biasa disebut interaksi dua spesies
pemangsa-mangsa. Pada awalnya populasi pertama bertumbuh secara eksponen
dan populasi kedua pun demikian. Kedua populasi berinteraksi, hal ini
mengakibatkan populasi kedua bertambah banyak karena populasi pertama
diasumsikan merupakan satu-satunya makanan dari populasi kedua dan populasi
pertama akan semakin berkurang karena dimakan oleh populasi kedua. Beberapa
model interaksi berikut menunjukan dua populasi pemangsa-mangsa dengan cara
bertumbuh secara eksponensial dan secara logistik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
1. Model dasar interaksi pemangsa-mangsa
Model dasar yang diperkenalkan adalah model yang pertumbuhan
populasi secara eksponensial. Kedua populasi bertumbuh secara eksponen
dan saling berinteraksi satu sama lain. Populasi yang bertumbuh akan
berkurang ketika berinteraksi dengan P dikarenakan merupakan makanan
dari . Populasi akan semakin bertambah ketika berinteraksi dengan
dikarenakan tersedianya makanan. Dengan demikian, model interaksi dua
populasi dapat dirumuskan sebagai berikut:
= − ,= − + ,
dengan , , , > 0 dan
: jumlah populasi mangsa,
: laju pertumbuhan populasi mangsa,
: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,
: jumlah populasi pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa.
a. Titik ekuilibrium
Menurut Waltman (1983:12) syarat untuk mencapai titik
ekuilibrium dapat terjadi ketika sistem persamaan disubtitusikan titik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
ekulibrium maka fungsi tersebut akan bernilai 0 (nol) sedemikian
hingga mengakibatkan = = 0. Selanjutnya akan diperoleh dua
persamaan nonlinear sebagai berikut:
− = 0,− + = 0.
Dari sistem persamaan nonlinear tersebut diperoleh titik
ekuilibrium yaitu (0,0) dan , .
b. Linearisasi
Linearisasi merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear
menjadi sistem linear. Menurut Perko (2001:102) Linearisasi bertujuan
untuk memperoleh aproksimasi sederhana dengan menggunakan deret
Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium.
= = − −− + .
Dengan mensubstitusikan titik dan pada matriks Jacobi
tersebut maka diperoleh:
= 00 − dan = 0 0 .
Matriks jacobi yang diperoleh dari hasil subtitusi masing-masing
titik ekuilibrium akan digunakan untuk mencari nilai eigen. Nilai eigen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
yang didapatkan akan digunakan untuk menentukan jenis titik
ekuilibrium tersebut dan jenis kestabilan.
c. Analisis Kestabilan Titik Ekuillibrium
Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis
kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai
eigen dari masing-masing matriks jacobi. Nilai eigen dapat dicari ketika
memenuhi persamaan det( − ) = 0, dimana merupakan nilai
eigen dari matriks Jacobi. Adapun kriteria kestabilan menurut Boyce
dan DiPrima (2012 : 504) adalah sebagai berikut:
Tabel 2.1. Kriteria jenis titik kritis dan kestabilan
No Nilai Eigen Jenis titik kritis Kestabilan1 > > 0 Simpul Tidak stabil2 < < 0 Simpul Stabil Asimtotik3 < 0 < Titik Sadel Tidak stabil
4 = > 0 Simpul sejatiatau tidak sejati
Tidak stabil
5 = < 0 Simpul sejatiatau tidak sejati
Stabil asimtotik
6 , = ± Titik Spiral> 0 Tidak stabil7 < 0 Stabil asimtotik8 = ,= − Pusat Stabil
Dengan demikian kestabilan dari interaksi dari populasi
tersebut dapat dicari dengan mensubstitusi titik ekuilibrium ke dalam
matriks Jacobi berdasarkan uraian di atas. Berikut merupakan nilai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
eigen yang telah dicari setelah mensubtitusi masing-masing titik
ekuilibrium pada matriks jacobi:
1) Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 00 − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:== −Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan
titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil.
2) Titik ekuilibrium , dengan matriks = 0 0 .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:= − √= √Dikarenakan = , = − maka titik tersebut
merupakan titik pusat sehingga titik ekuilibrium pada bersifat
stabil.
Jenis-jenis titik ekuilibrium dapat terjadi dalam berbagai
kasus yang melibatkan sistem persamaan diferensial. Berikut
merupakan penjelasan dari masing-masing titik ekuilibrium yang
dicari menggunakan contoh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
1) Titik simpul.
Titik simpul akan terjadi ketika nilai eigen dan
seluruhnya bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem
persamaan diferensial linear sebagai berikut:⁄⁄ = −2 11 −2Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det −2 11 −2 − 1 00 1 = 0, sehingga dengan menggunakan
Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:
Gambar 2.2. Grafik jenis titik simpul
Pada Gambar 2.2 tersebut digambarkan bentuk dari titik
simpul. Jika diambil nilai dari arah mana pun akan menuju titik
tersebut dengan sedikit membelok sehingga akan terlihat seperti
sebuah simpul.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
2) Titik simpul sejati.
Titik simpul sejati atau tidak sejati akan terjadi ketika nilai
eigen dan bernilai sama baik seluruhnya berupa bilangan
positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial
linear sebagai berikut: ⁄⁄ = 4 00 4Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det 4 00 4 − 1 00 1 = 0, sehingga dengan menggunakan
Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:
Gambar 2.3. Grafik jenis titik simpul sejati
Titik simpul sejati tersebut akan membuat berapapun nilai
yang diambil maka akan menuju titik tersebut tanpa ada yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
membelok sehingga terlihat seperti garis lurus yang langsung
menuju ke suatu titik.
3) Titik sadel.
Titik sadel akan terjadi ketika nilai eigen dan salah satu
bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan
diferensial linear sebagai berikut:⁄⁄ = −2 46 −2Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det −2 46 −2 − 1 00 1 = 0, sehingga dengan menggunakan
Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:
.
Gambar 2.4. Grafik jenis titik sadel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Pada titik sadel tersebut garis-garis yang berasal dari
berbagai titik akan dibelokan menjauhi titik tersebut. Pada awalnya
garis tersebut akan mendekati titik sadel tersebut, tetapi setelah
mendekati akan dibelokkan menjauhi titik tersebut.
4) Spiral.
Titik spiral akan terjadi ketika nilai bagian real dari eigen
dan yang merupakan bilangan kompleks seluruhnya bernilai
positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial
linear sebagai berikut: ⁄⁄ = −2 32 −2Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det −2 32 −2 − 1 00 1 = 0, sehingga dengan menggunakan
program Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Gambar 2.5. Grafik jenis titik spiral
Nilai yang diambil dari berbagai arah akan menuju ke suatu
titik seolah-olah akan mengelilingi titik tersebut.
5) Titik Pusat.
Titik pusat akan terjadi ketika nilai bagian imajiner dari
eigen dan yang merupakan bilangan kompleks salah satu
bernilai positif atau negatif.. Diberikan contoh sistem persamaan
diferensial linear sebagai berikut:⁄⁄ = 0 −88 0Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det 0 −88 0 − 1 00 1 = 0, sehingga dengan menggunakan
Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Gambar 2.6. Grafik jenis titik pusat
Grafik pada titik pusat membuat nilai yang diambil dari
berbagai arah hanya mengelilingi titik tersebut tanpa adanya upaya
untuk mendekati maupun menjauhi.
d. Grafik interaksi pemangsa-mangsa
Pada sistem persamaan pemangsa-mangsa diberikan nilai untuk
tiap parameter yang ada yaitu = 0.4, = 0.3, = 0.01, dan =0.005. Gambar yang dihasilkan dengan bantuan Matlab adalah
sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Gambar 2.2. Grafik interaksi pemangsa-mangsa
Pada Gambar 2.2 tersebut jumlah pemangsa dan mangsa akan
saling bertambah dan berkurang secara terus menerus. Pemangsa akan
bertambah seiring dengan berkurangnya mangsa. Sedangkan dari sisi
mangsa, populasi akan bertambah ketika jumlah pemangsa mulai
berkurang.
2. Model Logistik interaksi Pemangsa-Mangsa
Model yang bertumbuh secara eksponensial dinilai kurang realistis
dikarenakan tidak ada sesuatu yang membatasi model eksponensial
sehingga populasi akan bertumbuh menuju tak hingga. Populasi yang hidup
di suatu tempat pastinya memiliki daya dukung alam yang mampu
menghidupi makhluk hidup di daerah tersebut. Model interaksi populasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
pertama ( ) dan populasi kedua ( ) dibentuk ulang menjadi bertumbuh
secara logistik dengan memperhatikan aspek daya dukung alam, sehingga
tidak akan mungkin populasi tumbuh terus menerus sampai tak hingga.
Dengan demikian model yang baru yang dibentuk menjadi:
= 1 − − ,= − 1 − + ,
dengan , , , , , > 0 dan
: jumlah populasi mangsa,
: laju pertumbuhan populasi mangsa,
: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa,
: jumlah populasi pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa.
a. Titik Ekuilibrium
Syarat untuk mencapai titik ekuilibrium dapat terjadi ketika
kedua sistem persamaan bernilai 0 (nol) yaitu = = 0. Sehingga
akan diperoleh sistem persamaan nonlinear dua variabel sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
1 − − = 0,− 1 − + = 0,
Berdasarkan sistem persamaan nonlinear tersebut diperoleh titik
ekuilibrium (0,0), ( , 0), (0, ) dan , ( ).
b. Konstruksi Matriks Jacobi
Perko (2001:63) menuliskan cara untuk mengkonstruksi
matriks Jacobi. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara berikut dalam
linearisasi dari sistem persamaan nonlinear:
= = − 2 / − ) −− + 2 / + .Dengan mensubstitusikan titik , , dan pada matriks
Jacobi tersebut maka diperoleh:= 00 − , = − 2 −0 − + , = − 0 dan
= ( − )− − ( − )−( − )− ( − )− .c. Analisis Kestabilan Titik Ekuillibrium
Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis
kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
eigen. Boyce dan DiPrima (2012:504) menuliskan syarat untuk menjaci
nilai eigen adalah dengan memenuhi persamaan det( − ) = 0,
dimana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel
2.1, maka kriteria kestabilan Model Logistik pemangsa-mangsa adalah:
1) Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 00 − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:== −Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan titik sadel
sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil.
2) Titik ekuilibrium ( , 0) dengan matriks= − 2 −0 − + .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
= − (negatif)
= − +a) jika =− + bernilai positif, < maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
b) jika =− + bernilai negatif, > maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.
3) Titik ekuilibrium (0, ) dengan matriks = − 0 .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
= −= (positif)
a) jika = − bernilai positif, > maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.
b) jika = − bernilai negatif, < maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
4) Titik ekuilibrium , ( )dengan matriks
= ( − )− − ( − )−( − )− ( − )− .Andaikan nilai dari masing-masing elemen dimisalkan menjadi, , dan , maka matriks Jacobi akan menjadi sebagai berikut:
= ( − )− = − ( − )− =( − )− = ( − )− = ,= .
Diperoleh nilai eigen ( ) dengan kemungkinan sebagai berikut:
, = ( + ) ± ( − ) + 42 .Di sini , , dan merupakan bilangan hasil pencarian nilai eigen
yang berasal dari elemen matriks . Nilai , , dan sangat
menentukan jenis dan kestabilan dari titik ekuilibrium . Berikut
adalah kemungkinan secara umum dari nilai , , dan :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
a) Jika + dan ( − ) + 4 bernilai positif, maka titik
tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat
tak stabil.
b) Jika + bernilai negatif, ( − ) + 4 bernilai positif, dan
| + | < ( − ) + 4 maka titik tersebut berupa titik sadel
sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
c) Jika A bernilai negatif, ( − ) + 4 bernilai positif, dan
| + | > ( − ) + 4 maka titik tersebut berupa titik
simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.
d) Jika ( − ) + 4 bernilai negatif dan + bernilai positif
maka titik tersebut berupa titik spiral dengan sifat tak stabil.
e) Jika ( − ) + 4 bernilai negatif dan + bernilai negatif
maka titik tersebut berupa titik spiral dengan sifat stabil
asimtotik.
d. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang bertumbuh secara
Logistik
Pada sistem persamaan pemangsa-mangsa logistik diberikan
nilai untuk tiap parameter yang ada yaitu = 0.4, = 0.3, =0.01, = 0.005, = 1000 dan = 200. Gambar yang dihasilkan
dengan bantuan Matlab adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Gambar 2.3. Grafik interaksi pemangsa-mangsa yang bertumbuh secara
logistik
Pada Gambar 2.3. terlihat bahwa ketika pemangsa dan mangsa
berinteraksi terus menerus dalam jangka waktu panjang maka perilaku
kedua populasi akan berada disekitar suatu titik kesetimbangan.
F. Metode Dekomposisi Adomian
Salah satu cara untuk mencari solusi dari sebuah sistem persamaan
nonlinear adalah menggunakan metode dekomposisi Adomian. Metode ini banyak
menarik perhatian di dunia matematika terapan beberapa tahun ini. Banyak peneliti
yang menggunakan metode dekomposisi Adomian baik untuk menyelesaikan suatu
sistem ataupun membandingkan dengan metode lain. Metode dekomposisi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Adomian memang bukan yang paling sempurna tetapi metode ini cukup mudah dan
efektif ketika digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial.
Metode dekomposisi Adomian dapat digunakan untuk menyelesaikan
sebuah persamaan diferensial maupun suatu sistem persamaan diferensial. Berikut
ini merupakan contoh penggunaan metode dekomposisi Adomian pada sebuah
sistem persamaan nonlinear. Persamaan diambil dari Batiha dkk (2016:903):
= + + ,= + + . (2.1)
Dengan mengubah = sesuai dengan Wazwaz (2009:22), maka bentuk dari
sistem (2.1) menjadi:
= + + ,= + + , (2.2)
dan mengoperasikan = ∫ (. ) pada kedua ruas dari sistem nonlinear tersebut
sedemikian hingga sistem dari persamaan nonlinear menjadi:= + + ,= + + . (3.2)
Metode dekomposisi Adomian mengubah dekomposisi dan menjadi komponen
jumlahan yang tak terbatas sehingga komponen dan dapat diubah menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
( ) = , ( ) = ,(4.2)
dan untuk komponen yang nonlinear seperti , dan y akan diubah menjadi
= , = , = .(5.2)
Jumlahan dari komponen nonlinear dapat dilihat sebagai berikut:
= , = , = ,(6.2)
sehingga dapat ditentukan polinomial Adomian untuk , dan :
== += + += + + +...
(7.2)
== += + += + + +(8.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
... == += + += + + +
...
(9.2)
Sistem persamaan diferensial nonlinear dari (3.2) dapat ditulis dengan
mensubstitusikan (4.2), (5.2) dan (6.2) seperti pada Rao (2011), sehingga
persamaan tersebut akan menjadi:
⎩⎪⎨⎪⎧ ( ) − (0) = − +
( ) − (0) = − + (10.2)
⎩⎪⎨⎪⎧ = (0) + − +
= (0) + − + (11.2)
Nilai awal (0) = , (0) = , sehingga solusi dari sistem dapat dicari.
Iterasi yang dilakukan yaitu mensubstitusikan (7.2), (7.3) dan (7.4) pada (11.2)
sedemikian hingga iterasi dapat ditentukan sebagai berikut:= (0) == + + (12.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
= (0) == + + (13.2)
Secara umum solusi dari sistem adalah jumlahan dari seluruh iterasi yang
didapat sampai tak hingga, tetapi peneliti dapat menentukan banyaknya iterasi
sesuai kebutuhan. Contoh ketika solusi dicari dengan jumlahan sampai iterasi
ketujuh adalah sebagai berikut:
= + + + + + + + , (14.2)= + + + + + + + . (15.2)
G. Kerangka Berpikir
Sejauh ini telah dipelajari beberapa teori dan definisi mengenai pemodelan
matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial nonlinear, model
pertumbuhan populasi, model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-
mangsa, titik ekuilibrium, linearisasi dan analisis kestabilan titik ekuilibrium.
Berdasarkan apa yang telah dipelajari, akan dilakukan analisa kestabilan dari model
pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-mangsa dan disusun program untuk
menunjukkan grafik dari pemodelan yang diperoleh serta menganalisis perilaku
kedua populasi dalam jangka panjang. Solusi secara umum dari persamaan
diferensial tersebut akan dicari menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
BAB III
ANALISIS KESTABILAN MODEL SISTEM DINAMIKA
Model pertumbuhan logistik dinilai lebih realistis dari pada model
eksponensial yang merupakan model terdahulu dikarenakan model pertumbuhan
logistik mempertimbangkan aspek daya dukung alam. Pada interaksi spesies
pertama ( ) dan spesies kedua ( ) di suatu ekosistem akan diterapkan beberapa
kondisi tambahan seperti pemanenan pada salah satu spesies maupun keduanya.
Sebelum membuat model-model matematika, ada beberapa asumsi yang perlu
diperhatikan dalam pengembangan model ini.
Beberapa asumsi yang diberikan oleh peneliti adalah sebagai berikut:
1. Interaksi dua spesies berada pada sistem yang tertutup.
2. Spesies pertama merupakan satu-satunya makanan dari spesies kedua.
3. Spesies pertama akan bertumbuh meski tidak ada spesies kedua.
4. Spesies kedua akan mengalami penurunan jumlah populasi jika tidak ada
spesies pertama.
5. Tidak ada migrasi.
6. Hanya ada aspek pemanenan pada populasi mangsa dan pemangsa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
A. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada
Mangsa
Pada model ini, aspek pemanenan diterapkan pada populasi spesies
pertama, sehingga dapat dianalisis perilaku spesies kedua ketika spesies pertama
mengalami pemanenan. Dengan demikian model akan menjadi:
= 1 − − − ,= − 1 − + ,dengan , , , , , , merupakan konstanta positif dan
: jumlah populasi mangsa,
: laju pertumbuhan populasi mangsa,
: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa,
: jumlah populasi pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa,
: laju pemanenan mangsa.
1. Titik Ekuilibrium
Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi pemangsa-mangsa dengan
aspek pemanenan pada mangsa dapat dimulai dengan syarat titik ekuilibrium
yaitu = = 0, sehingga diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
1 − − − 1 = 0,− 1 − + = 0, atau( − + − 1 ) = 0,( − + ) = 0.
Dengan demikian, sistem persamaan tersebut memiliki empat titik
ekuilibrium, yakni (0,0), (0, ), ( ) , 0 , dan
( ) , ( ).
2. Konstruksi Matriks Jacobi
Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara linearisasi dari
sistem persamaan nonlinear:
= = − − − 1 −− + + .
Dengan mensubstitusikan titik , , dan pada matriks Jacobi
tersebut maka diperoleh:
= − 1 00 − ,= − − 1 0 ,
= −3 1 + 3 − ( 1 − )0 − + ( 1 − ) ,
= ( 1 − + )− − ( − 1 − )−( 1 − + )− ( 1 − + )− .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan
pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Nilai eigen
dapat dicari ketika memenuhi det( − ) = 0, di mana merupakan nilai
eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel 2.1 maka kriteria kestabilannya
adalah:
a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = − 00 − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
= − ,= − .
Dikarenakan < 0 < dan > maka titik tersebut merupakan titik
sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil. Titik
ekuilibrium pada merupakan titik simpul dan akan bersifat stabil
asimtotik ketika < , sehingga < < 0.b. Titik ekuilibrium (0, ) dengan matriks = − − 0 .
Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
= (positif),
= + − .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
1) Jika = − − bernilai positif, + < maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
2) Jika = − − bernilai negatif, + > maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.
c. Titik ekuilibrium( ) , 0 dengan matriks =
−3 1 + 3 ( 1 )0 − + ( 1 ) .
Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
= 3( − ),
= − + ( − ).1) Jika < maka bernilai positif dan bernilai negatif, sehingga titik
tersebut berupa titik sadel dan titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
2) Jika > dan,
a) > ( 1 )maka dan bernilai negatif, sehingga titik tersebut
berupa titik simpul dan titik ekuilibrium bersifat stabil.
b) < ( 1 )maka bernilai negatif dan bernilai positif, sehingga
titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat
tak stabil.
d. Titik ekuilibrium( ) , ( )
dengan matriks =( ) ( )( ) ( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Misalkan matriks = , maka diperoleh nilai eigen ( ) sebagai
berikut:
= −( + ) + + − 6 − 42 ,= −( + ) − + − 6 − 42 .
1) Jika + − 6 − 4 bernilai positif, maka ada beberapa
kemungkinan sebagai berikut:
a) Jika bernilai positif dan bernilai positif maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
b) Jika bernilai positif dan bernilai negatif maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
c) Jika bernilai negatif dan bernilai positif maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
d) Jika bernilai negatif dan bernilai negatif maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil
asimtotik.
2) Jika + − 6 − 4 bernilai negatif dan:
a) + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga
titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.
b) + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga
titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh secara Logistik
Dengan Aspek Pemanenan pada Mangsa
Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10,= = 0.1, = - = -0.08, = = 0.0014, = = 0.001, = - = -0.0012,
= = 0.0009, = 0.03.
Gambar 3.1 Solusi model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa
untuk nilai awal = 4 dan = 10.Dengan menggunakan program Pplane8, grafik pemangsa mangsa
dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti pada Gambar 3.1 dan Gambar 3.2:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Gambar 3.2 Lapangan arah untuk model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan
pada mangsa.
Pada Gambar 3.2 merupakan lapangan arah yang menunjukan letak titik
ekuilibrium dari model interaksi yang dibuat. Berdasarkan nilai yang telah
ditentukan grafik lapangan arah menunjukan sifat-sifat dari masing-masing titik
ekuilibrium. Secara umum grafik akan selalu menjauhi titik (0,0) dan menuju
ke titik ekulibrium yang lain yang cenderung ke titik sekitar (70,0) ketika
populasi masih di batas-batas tertentu. Pada Gambar 3.1 diperlihatkan ketika
populasi dan diberi nilai awal. Populasi mangsa justru cenderung berkurang
dan populasi pemangsanya cenderung naik naik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
B. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada
Pemangsa
Pada model ini pemangsa akan diberi aspek kompetisi dikarenakan spesies
kedua sebagai pemangsa memakan makanan yang sama dan hanya ada satu-
satunya. Dalam model ini pada spesies pertama tidak ada pemanenan. Sehingga
dapat disimpulkan bahwa spesies pertama hanya bertumbuh saja. Dengan demikian
model yang dibuat menjadi:
= 1 − − ,= − 1 − + − ,
dengan , , , , , , , > 0 dan
: jumlah populasi mangsa,
: laju pertumbuhan populasi mangsa,
: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa,
: jumlah populasi pemangsa,
s : laju pertumbuhan pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa,
: laju pemanenan pemangsa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
1. Titik Ekuilibrium
Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi pemangsa-mangsa dengan
aspek kompetisi pada pemangsa dapat dimulai dengan syarat titik ekuilibrium
yaitu = = 0, sehingga diperoleh:
1 − − = 0,− 1 − + − = 0,
atau( − − ) = 0,( − + − 2 ) = 0.
Sedemikian hingga terdapat empat titik ekuilibrium, yakni (0,0),0, ( ) , ( , 0) dan( ) , ( )
.
2. Konstruksi Matriks Jacobi
Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara berikut dalam
linearisasi dari sistem persamaan nonlinear:
= = − 2 − −+ 2 + − 2 .Dengan mensubstitusikan titik , , dan pada matriks Jacobi
tersebut maka diperoleh:
= 00 − − 2 ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
= − ( 2 + ) 0( 2 + ) + 2 ,= − −0 − + ,
= (− + + )− − ( − − )−( + − )− ( + − )− .
3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan
pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Nilai eigen
dapat dicari ketika memenuhi det( − ) = 0, di mana merupakan nilai
eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel 2.1 maka kriteria kestabilannya
adalah:
a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 00 − − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:= ,= − − .Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan titik sadel
sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
b. Titik ekuilibrium 0, ( )dengan matriks
= − ( + ) 0( + ) + .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
= − ( + ),= + .
1) Jika = − ( + ) bernilai positif, > ( + ) maka titik
tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak
stabil.
2) Jika = − ( 2 + ) bernilai negatif, < ( + ) maka titik
tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.
c. Titik ekuilibrium ( , 0) dengan matriks = − −0 − + .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
= − (negatif),
= − + .1) Jika =− + bernilai positif, < maka titik tersebut berupa
titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
2) Jika =− + bernilai negatif, > maka titik tersebut berupa
titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
d. Titik ekuilibrium( ) , ( )
dengan matriks =( ) − ( )( ) ( ) .
Misalkan matriks = , maka diperoleh nilai eigen ( )
sebagai berikut:
= −( + ) + + − 6 − 42 ,= −( + ) − + − 6 − 42 .
1) Jika + − 6 − 4 bernilai positif, maka ada beberapa
kemungkinan sebagai berikut:
a) Jika bernilai positif dan bernilai positif maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
b) Jika bernilai positif dan bernilai negatif maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
c) Jika bernilai negatif dan bernilai positif maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
d) Jika bernilai negatif dan bernilai negatif maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil
asimtotik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
2) Jika + − 6 − 4 bernilai negatif, maka beberapa
kemungkinan yang muncul adalah:
a) Jika + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel
sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.
b) Jika + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel
sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.
4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh secara Logistik
dengan Pemanenan pada Pemangsa
Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10,= = 0.1, = − = −0.08, = = 0.0014, = = 0.001, = − =−0.0012, = = 0.0009, = 0.005.
Gambar 3.3 Solusi model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa
untuk nilai awal = 4 dan = 10.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Dengan menggunakan program Pplane8, grafik mangsa pemangsa
dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti pada Gambar 3.3 dan Gambar 3.4:
Gambar 3.4 Lapangan arah untuk model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan
pada pemangsa.
Pada Gambar 3.3 dan 3.4 tidak ada perilaku yang berubah secara
signifikan ketika laju pemanenan terjadi pada pemangsa saja. Hanya
pertumbuhan pemangsa yang cenderung lebih lambat jika dibandingkan dengan
perilaku ketika pemanenan dilakukan pada mangsa saja. Lapangan arah pada
Gambar 3.4 hanya bergeser sedikit dan tidak terlalu signifikan dengan model
yang sebelumnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
C. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada
Mangsa dan Pemangsa
Model terakhir yang dibentuk adalah model pertumbuhan logistik dengan
pemanenan pada spesies pertama dan kedua. Model ini merupakan gabungan dari
model sebelumnya. Sehingga analisis yang dibuat menggambarkan perilaku spesies
kedua yang dipanen dan makanan mereka (spesies pertama) juga mengalami
pemanenan. Model yang diberikan sebagai berikut:
= 1 − − − ,= − 1 − + − ,
dengan , , , , , , , > 0 dan
: jumlah populasi mangsa,
: laju pertumbuhan populasi mangsa,
: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa,
: jumlah populasi pemangsa,
s : laju pertumbuhan pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa,
: laju pemanenan mangsa,
: laju pemanenan pemangsa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
1. Titik Ekuilibrium
Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi pemangsa-mangsa dengan
aspek pemanenan pada mangsa dan kompetisi pada pemangsa dapat dimulai
dengan syarat titik ekuilibrium yaitu = = 0, sehingga diperoleh:
1 − − − 1 = 0,− 1 − + − 2 = 0, atau( − + − 1 ) = 0,( − + − 2 ) = 0.
Terdapat empat titik ekuilibrium, yakni (0,0),0, ( ) , ( ) , 0 , dan
( ) , ( ).
2. Konstruksi Matriks Jacobi
Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara berikut dalam
linearisasi dari sistem persamaan nonlinear:
= = − 2 − − 1 −− + 2 + − 2 .Dengan mensubstitusikan titik , , dan pada matriks Jacobi
tersebut maka diperoleh:
= − 1 00 − − 2 ,= − 2 + ( + 2) 0− ( + 2) − − 2 ( + 2) − 2 ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
= − 2 − 2 1 − 1 − ( − 1)0 − + ( − 1) − 2 ,
= (− + + 2 + 1)− − ( − − 2 − 1)−( + 1 − + 2)− ( − + 1 + 2 2 − 1)− .
3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan
pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Dengan
mencari det( − ) = 0, di mana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi,
maka kestabilan dapat ditentukan berdasarkan Tabel 2.1, maka kriteria
kestabilannya adalah:
a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = − 00 − − .
Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:= − ,= − − .
Dikarenakan < 0 < , ketika > 1 maka titik tersebut merupakan
titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil. < <0 ketika < 1, sedemikian hingga titik tersebut merupakan titik simpul
sehingga titik ekuilibrium pada bersifat stabil asimtotik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
b. Titik ekuilibrium 0, ( )dengan matriks
= − + ( + ) 0− ( + ) − − 2 ( + ) − .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
= − + ( + ),= − − 2 ( + ) − .
1) Jika = − + ( + )bernilai positif dan = − − 2 ( + ) −
bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik
ekuilibrium bersifat tak stabil.
2) Jika = − + ( + )bernilai negatif dan = − − 2 ( + ) −
bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik
ekuilibrium bersifat stabil asimotik.
c. Titik ekuilibrium( ) , 0 dengan matriks =
− 2 − 2 1 − 1 ( 1)0 − + ( 1) − 2 .Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut := − 2 − 2 − ,
= − + ( − ) − .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
1) Jika = − 2 − 2 − bernilai positif dan = − + ( − ) −bernilai positif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik
ekuilibrium bersifat tak stabil.
2) Jika = − 2 − 2 − bernilai positif dan = − + ( − ) −bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik
ekuilibrium bersifat tak stabil.
3) Jika = − 2 − 2 1 − 1 bernilai negatif dan = − + ( − ) −bernilai positif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik
ekuilibrium bersifat tak stabil.
4) Jika = − 2 − 2 − bernilai negatif dan =− + ( 1) −2 bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik
ekuilibrium bersifat stabil asimotik.
d. Titik ekuilibrium( ) , ( )
dengan
matriks = (− + + 2+ 1)− − ( − − 2− 1)−( + 1− + 2)− ( − + 1+2 2− 1)− .Misalkan matriks = , maka diperoleh nilai eigen ( )
sebagai berikut:
= −( + ) + + − 6 − 42 ,= −( + ) + + − 6 − 42 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
1) Jika + − 6 − 4 bernilai positif, maka ada beberapa
kemungkinan sebagai berikut:
a) Jika bernilai positif dan bernilai positif maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
b) Jika bernilai positif dan bernilai negatif maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
c) Jika bernilai negatif dan bernilai positif maka titik tersebut
berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil.
d) Jika bernilai negatif dan bernilai negatif maka titik tersebut
berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil
asimtotik.
2) Jika + − 6 − 4 bernilai negatif, maka beberapa
kemungkinan yang muncul adalah:
a) Jika + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel
sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.
b) Jika + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel
sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.
4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh Secara Logistik
dengan Aspek Pemanenan pada Mangsa dan Pemangsa
Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10,= = 0.1, = -s = -0.08, = = 0.0014, = = 0.001, =− = -0.0012,
= b = 0.0009, = 0.003, = 0.005.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 3.5 Solusi model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa
dan mangsa untuk nilai awal = 4 dan = 10.Dengan menggunakan program Pplane8, grafik mangsa pemangsa
dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti tampak pada Gambar 3.5 dan Gambar
3.6:
Gambar 3.6 Lapangan arah untuk model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan
pada pemangsa dan mangsa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Pada model yang terakhir tidak terlihat perubahan yang berarti ketika
model interaksi dibandingkan dengan model-model sebelumnya. Hal ini
tentunya akibat dari pemanenan pada pemangsa dan mangsa sedemikian hingga
hanya akan menghambat laju pertumbuhan dari pemangsa maupun mangsa.
Laju pertumbuhan yang melambat karena faktor pemanenan akan mengurangi
setiap jumlah populasi yang bertumbuh baik itu pemangsa maupun dari pihak
mangsa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
BAB IV
SOLUSI SISTEM DINAMIKA DUA SPESIES DENGAN
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Pada bab ini akan dibahas tentang solusi dari sistem dinamika dua populasi
dengan metode dekomposisi Adomian. Model sistem dinamika populasi dibuat
lebih sederhana berdasarkan Batiha dkk (2016:903), sehingga model sistem
menjadi:
= ( + + )= ( + + ) (4.1)
dimana dan adalah populasi pada waktu , , , , , , adalah konstanta
positif dan
: populasi pertama,
: laju pertumbuhan populasi pertama,
: kapasitas batas populasi pertama,
: laju pertumbuhan populasi pertama ketika berinteraksi dengan populasi
kedua,
: populasi kedua,
: laju pertubuhan populasi kedua,
: kapasitas batas populasi kedua,
: laju pertumbuhan populasi kedua ketika berinteraksi dengan populasi
pertama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Nilai awal dari masing-masing populasi didapat dari Batiha dkk (2016:903)
yaitu untuk nilai = 4 dan = 10. Jenis-jenis interaksi dari kedua populasi
dapat ditentukan dengan memanipulasi nilai parameter. Nilai parameter
berdasarkan Batiha dkk (2016:903) yaitu = 0.1, = 0.08, = 0.0014, = 0.001,
= 0.0012, = 0.0009. Dengan demikian, jika nilai parameter diubah, maka akan
mendapat tiga macam jenis interaksi yang berasal dari sebuah model secara umum.
Untuk setiap nilai awal yang berbeda, jenis interaksi pada sistem dinamika tersebut
berubah menjadi mutualisme, parasitisme dan kompetisi.
A. Mutualisme
Subtitusikan nilai = 0.1, = 0.08, =−0.0014, = −0.001, =0.0012, = 0.0009, = 4 dan = 10 pada sistem persamaan (4.1) sehingga
sistem akan menjadi:
= (0.1 − 0.0014 + 0.0012 ),= (0.08 − 0.001 + 0.0009 ). (4.2)
Perhitungan solusi dari sistem (4.2) dengan Metode Dekomposisi Adomian
dilakukan seperti pada Biazar (2006) menggunakan program maple dan
memperoleh hasil sebagai berikut:= 0.4256000000= 0.7360000000= 0.02321664000= 0.02532000000= 0.0008613579093(4.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
= 0.0005198410667= 0.00002377241892= 0.00000715508705= 4.762365706 ∗ 10^(−7)= 1.122902100 ∗ 10^(−7)= 4.92081361 ∗ 10^(−9)= 3.924828700 ∗ 10^(−9)= −9.99735783 ∗ 10^(−11)= 1.355344556 ∗ 10^(−10)Solusi sistem persamaan (4.2) merupakan jumlahan dari hasil iterasi pada
(4.3). Misalkan jumlahan adalah 1 dan jumlahan adalah 1, maka solusi dari
sistem persamaan (4.2) adalah:1 = 4 + 0.4256000000 ∗ + 0.02321664000 ∗ ^2 + 0.0008613579093∗ ^3 + 0.00002377241892 ∗ ^4 + 4.762365706∗ 10^(−7) ∗ ^5 + 4.92081361 ∗ 10^(−9) ∗ ^6− 9.99735783 ∗ 10^(−11) ∗ ^7,1 = 10 + 0.7360000000 ∗ + 0.02532000000 ∗ ^2+ 0.0005198410667 ∗ ^3 + 0.00000715508705 ∗ ^4+ 1.122902100 ∗ 10^(−7) ∗ ^5 + 3.924828700 ∗ 10^(−9)∗ ^6 + 1.355344556 ∗ 10^(−10) ∗ ^7.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Dengan menggunakan program Maple, grafik solusi dari sistem persamaan
(4.2) telah ditunjukan pada gambar berikut:
4.1a. Grafik populasi 4.1b.Grafik populasi
Gambar 4.1. Solusi dari sistem persamaan dengan interaksi secara mutualisme.
Grafik gambar 4.1 dapat digambarkan pada sebuah diagram cartesius
sehingga perilaku keduanya dapat terlihat. Berikut gambar grafik dinamika dua
populasi dengan interaksi Mutualisme ketika digambarkan dalam satu diagram
cartesius.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Merupakan grafik populasi
Merupakan grafik populasi
Gambar 4.2. Grafik populasi yang berinteraksi secara Mutualisme
Pada Gambar 4.2 ditambilkan interaksi dua populasi yang berinteraksi
secara mutualisme. Populasi akan mengalami keuntungan berupa percepatan
pertumbuhan ketika berinteraksi dengan populasi begitu pun sebaliknya. Pada
awal mula jumlah populasi lebih sedikit dari pada populasi , akan tetapi dalam
jangka waktu panjang jumlah populasi akan lebih besar dari populasi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
B. Parasitisme
Subtitusikan nilai = 0.1, = 0.08, =−0.0014, =−0.001, =0.0012, = −0.0009, = 4 dan = 10 pada sistem persamaan (4.1) sehingga
sistem akan menjadi:
= (0.1 − 0.0014 + 0.0012 ),= (0.08 − 0.001 − 0.0009 ). (4.4)
Perhitungan solusi dari sistem (4.4) dengan metode dekomposisi Adomian
dilakukan menggunakan program maple dan memperoleh hasil sebagai berikut:= 0.4256000000= 0.6640000000= 0.02304384000= 0.01680960000= 0.0008296779093= 0.0000151441067= 0.00002079741808= −0.00001228646758= 2.877838352 ∗ 10^(−7)= −4.066091675 ∗ 10^(−7)= −3.968167659 ∗ 10^(−9)= −5.050637136 ∗ 10^(−9)= −4.223308270 ∗ 10^(−10)= 8.804344521 ∗ 10^(−11)
(4.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Solusi sistem persamaan (4.4) merupakan jumlahan dari hasil iterasi pada
(4.5). Misalkan jumlahan adalah 2 dan jumlahan adalah 2, maka solusi dari
sistem persamaan (4.5) adalah:2 = 4 + 0.4256000000 ∗ + 0.02304384000 ∗ ^2 + 0.0008296779093∗ ^3 + 0.00002079741808 ∗ ^4 + 2.877838352∗ 10^(−7) ∗ ^5 − 3.968167659 ∗ 10^(−9) ∗ ^6− 4.223308270 ∗ 10^(−10) ∗ ^72 = 10 + 0.6640000000 ∗ + 0.01680960000 ∗ ^2+ 0.0000151441067 ∗ ^3 − 0.00001228646758 ∗ ^4− 4.066091675 ∗ 10^(−7) ∗ ^5 − 5.050637136 ∗ 10^(−9)∗ ^6 + 8.804344521 ∗ 10^(−11) ∗ ^7Dengan menggunakan program Maple, grafik solusi dari sistem
persamaan (4.4) telah diilustrasikan pada gambar berikut:
4.3a. Grafik populasi 4.3b. Grafik populasi
Gambar 4.3. Solusi dari sistem persamaan dengan interaksi secara parasitisme.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Grafik gambar 4.3 dapat digambarkan pada sebuah diagram cartesius
sehingga perilaku keduanya dapat terlihat. Berikut gambar grafik populasi dengan
interaksi Parasitisme ketika digambarkan dalam satu diagram cartesius.
Merupakan grafik populasi
Merupakan grafik populasi
Gambar 4.4. Grafik populasi yang berinteraksi secara Parasitisme
Pada Gambar 4.4 ditampilkan pergerakan dari populasi yang berinteraksi
secara parasitisme yang mana populasi merupakan parasit dan populasi
merupakan populasi yang terkena parasit. Populasi dan akan sama-sama
bertumbuh tetapi ketika keduanya berinteraksi populasi menyebabkan penurunan
laju pertumbuhan pada populasi sehingga populasi akan terus menurun
sementara populasi akan terus bertumbuh.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
C. Kompetisi
Subtitusikan nilai = 0.1, = 0.08, = −0.0014, = −0.001, =−0.0012, = −0.0009, = 4 dan = 10 pada sistem persamaan (4.1)
sehingga sistem akan menjadi:
= (0.1 − 0.0014 + 0.0012 ),= (0.08 − 0.0014 − 0.0009 ). (4.6)
Perhitungan solusi dari sistem (4.6) dengan metode dekomposisi Adomian
dilakukan menggunakan program maple dan memperoleh hasil sebagai berikut:= 0.3296000000= 0.6640000000= 0.01106304000= 0.01724160000= 0.0001173886293= 0.0000783313067= −0.000004301207450= −0.000007815319423= −1.851824568 ∗ 10= −2.136855195 ∗ 10^(−7)= −1.635576185 ∗ 10^(−9)= −7.0058057 ∗ 10^(−9)= 8.190722735 ∗ 10^(−11)= 1.240343622 ∗ 10^(−10)
(4.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Solusi sistem persamaan (4.6) merupakan jumlahan dari hasil iterasi pada
(4.7). Misalkan jumlahan adalah 3 dan jumlahan adalah 3, maka solusi dari
sistem persamaan (4.6) adalah:3 = 4 + 0.3296000000 ∗ + 0.01106304000 ∗ ^2 +0.0001173886293 ∗ ^3 − 0.000004301207450 ∗ ^4 − 1.851824568 ∗10^(−7) ∗ ^5 − 1.635576185 ∗ 10^(−9) ∗ ^6 + 8.190722735 ∗10^(−11) ∗ ^7,3 = 10 + 0.6640000000 ∗ + 0.01724160000 ∗ ^2 +0.0000783313067 ∗ ^3 − 0.000007815319423 ∗ ^4 − 2.136855195 ∗10^(−7) ∗ ^5 − 7.0058057 ∗ 10^(−11) ∗ ^6 + 1.240343622 ∗10^(−10) ∗ ^7.Dengan menggunakan program Maple, grafik solusi dari sistem
persamaan (4.6) telah diilustrasikan pada gambar berikut:
4.5a. Grafik populasi 4.5b. Grafik populasiGambar 4.5. Solusi dari sistem persamaan dengan interaksi secara kompetisi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Grafik gambar 4.5 dapat digambarkan pada sebuah diagram cartesius
sehingga perilaku keduanya dapat terlihat. Berikut gambar grafik sistem dinamika
populasi dengan jenis interaksi Kompetisi ketika digambarkan dalam satu diagram
cartesius.
Merupakan grafik populasi
Merupakan grafik populasi
Gambar 4.6. Grafik populasi yang berinteraksi secara Kompetisi
Populasi dan akan sama-sama betumbuh tetapi lebih lambat dari
pertumbuhan normal karena keduanya akan mengalami penurunan leju
pertumbuhan ketika saling berinteraksi. Dua populasi yang saling berkompetisi
tentunya dalam jangka waktu panjang akan ada populasi yang mendominasi. Pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
gambar 4.6 populasi akan mendominasi sedangkan populasi cenderung turun
dan bahkan akan habis karena berkompetisi dengan populasi .
Perbedaan dari ketiga macam sistem yaitu pada sistem persamaan (4.2),
(4.4) dan (4.6) dapat dilihat pada Tabel 4.1 berikut:
Tabel 4.1. Perbandingan berhitungan dengan metode dekomposisi Adomian pada tiga
interaksi berbeda.
tMutualisme Parasitisme kompetisi
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y30 4 10 4 10 4 10
0.1 4.04279 10.07385 4.042791 10.06657 4.033071 10.066570.2 4.08606 10.14822 4.086048 10.13347 4.066363 10.133490.3 4.12979 10.22309 4.129777 10.20071 4.099879 10.200750.4 4.17401 10.29848 4.173981 10.26829 4.133617 10.268360.5 4.21871 10.37440 4.218666 10.33620 4.167580 10.336320.6 4.26391 10.45083 4.263838 10.40445 4.201767 10.404620.7 4.30960 10.52779 4.309501 10.47304 4.236180 10.473270.8 4.35579 10.60527 4.355661 10.54196 4.270819 10.542270.9 4.40249 10.68329 4.402324 10.61122 4.305684 10.61162
1 4.44970 10.76185 4.449495 10.68081 4.340776 10.68131
Pada tabel tersebut digambarkan nilai untuk mulai 0 sampai 1 dimana
metode dekomposisi adomian akan tepat untuk nilai yang kecil. Sebagai
perbandingan, perhitungan pendekatan analitik untuk ketiga kasus tersebut
(mutualisme, parasitisme, dan kompetisi) telah dilakulan juga oleh Yuliyanto dan
Mungkasi (2017) dengan Metode Iterasi Variasional. Hasil dari perhitungan yang
dilakukan peneliti tersebut dengan metode tersebut tidak jauh berbeda dengan hasil
yang diperoleh pada tesis ini. Pada Tabel 4.2 berikut menunjukan hasil perhitungan
dengan Metode Iterasi Variasional:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Tabel 4.2. Hasil numerik dari metode iterasi variasional berdasarkan contoh yang
diberikan.
Model Mutualisme Model Parasitisme Model Kompetisi( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.0 4 10 4 10 4 100.1 4.04279 10.07385 4.04279 10.06657 4.03307 10.066570.2 4.08606 10.14822 4.08605 10.13347 4.06636 10.133490.3 4.12979 10.22309 4.12978 10.20071 4.09988 10.200750.4 4.17401 10.29848 4.17398 10.26829 4.13362 10.268360.5 4.21871 10.37440 4.21867 10.33621 4.16758 10.336320.6 4.26391 10.45083 4.26384 10.40446 4.20177 10.404630.7 4.30960 10.52779 4.30950 10.47304 4.23618 10.473280.8 4.35579 10.60528 4.35566 10.54197 4.27083 10.542280.9 4.40249 10.68330 4.40232 10.61123 4.30569 10.611631.0 4.44970 10.76185 4.44949 10.68083 4.34079 10.68133
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
BAB V
ASPEK KEPENDIDIKAN
A. Aspek Kependidikan di Sekolah Menengah
Sekolah Menengah di Indonesia terbagi menjadi dua yaitu Sekolah
Menengah Pertama (SMP) dan Sekolah Menengah Atas (SMA). Pada materi SMP
tentunya sudah diajari materi tentang menghitung kecepatan benda yang bergerak.
Konsep matematika diajarkan langsung kepada kegunaan dan tuntutan materi yang
harus diselesaikan sehingga mengabaikan asal usul dari materi yang dipelajari. Pada
materi matematika sendiri, konsep turunan belum diajarkan pada Sekolah
Menengah Pertama. Materi turunan baru diajarkan pada kelas XI Sekolah
Menengah Atas. Pada buku-buku terbaru sudah mulai digambarkan tentang
penerapan turunan didunia nyata, bahkan untuk memulai pembelajaran tentang
materi turunan tersebut. Bahasa yang digunakan tidaklah formal dan harus
sederhana agar siswa-siswa sekolah menengah atas dapat menerima dengan baik.
Selain pengantar yang menggunakan cerita, soal-soal awal juga sebaiknya diawali
dengan alur cerita yang logis dan mengarah pada konsep turunan.
Pada Sekolah Menengah Pertama dapat dikenalkan tentang sistem dinamika
populasi dengan menggunakan soal cerita untuk menggambar sebuah grafik. Pada
tingkat Sekolah Menengah Atas, siswa cenderung dapat lebih bisa diajak untuk
memikirkan tentang konsep yang mereka pelajari. Buku kurikulum 2013 hampir
selalu mengawali materi dengan sebuah cerita di dunia nyata yang kemudian
dibawa pada konsep matematika yang ingin dipelajari. Cerita yang disajikan pun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
terkadang terkesan unik jika harus dikaitkan langsung dengan aplikasi materi yang
dipelajari, namun jika hal tersebut dapat menjadi gambaran bagi para siswa
tentunya tidak masalah. Sebagai contoh, terdapat permasalahan yang disajikan dari
buku SMA kelas XI kurikulum 2013. Sebelum memasuki konsep turunan, siswa
terlebih dahulu mendalami konsep garis secan dan garis tangen dengan
permasalahan berikut:
Masalah 11.1
Seorang pemain ski meluncur kencang di permukaan es yang
bergelombang. Dia meluncur turun kemudian naik mengikuti lekukan permukaan
es sehingga disuatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali ke permukaan.
Setelah disajikan cerita tersebut siswa diberi permasalahan yaitu secara
analitik, misalkan bahwa bukit es disketsa pada bidang (dimensi dua) dengan sudut
pandang tegak lurus ke depan sehingga terdapat garis dan papan ski adalah sebuah
garis lurus. Kemudian siswa diberi pertanyaan dapatkah kamu tunjukan hubungan
kedua garis tersebut? Permasalahan selanjutnya tidak pernah menyinggung lagi
tentang orang yang bermain ski tersebut karena cerita tersebut hanya sebagai
awalan dan memberikan gambaran bagi siswa.
Berbagai macam permasalahan lain dapat dikemukanan dengan tujuan agar
siswa dapat menggambar grafik. Misalkan ada permasalahan terdapat populasi
kambing yang bertumbuh dengan laju pertumbuhan 1,2% setiap tahun. Populasi
awal kambing mula-mula ada 100, dengan menggunakan Program excel tentukan
populasi kambing setelah 10 tahun dan gambarlah grafiknya. Berikut gambaran
pekerjaan yang dilakukan oleh siswa menggunakan excel:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Tabel 5.1. Prakiraan Tabel yang dibuat oleh siswa
Waktu Populasi1 1002 1123 1254 1405 1576 1767 1978 2219 24810 277
Pada Tabel 5.1 tersebut siswa mencari jumlah populasi dari waktu ke waktu
berdasarkan laju pertumbuhan yang ada. Siswa tentu saja dapat memahami hal
tersebut dan menggambarkan grafik pertumbuhan kambing tiap waktu dengan
excel.
Gambar 5.1. Gambar grafik pertumbuhan populasi berdasarkan Tabel 5.1
0
50
100
150
200
250
300
0 2 4 6 8 10 12
Populasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Siswa SMP dan SMA pun dapat melihat bahwa tabel yang dihasilkan dari
pertumbuhan kambing tersebut ada akan menghasilkan suatu grafik yang teratur.
Dengan menggunakan grafik tersebut siswa dapat dibawa untuk melangkah lebih
jauh lagi pada materi yang akan dipelajari.
Buku matematika elektronik lain kelas XI karya Djumanta dan Sudrajat
(2008) menjelaskan konsep turunan langsung dengan diagram seperti beberapa
penjelasan aplikasi turunan yaitu untuk menentukan laju perubahan fungsi,
menentukan gradien, menentukan titik balik dan titik belok, dan lain-lain. Pada
pembahasan fungsi dari turunan sebagai laju perubahan, cerita yang disajikan masih
seputar kecepatan pada bidang fisika seperti laju kendaraan bermotor. Laju
perubahan tidak hanya pada jarak saja tetapi dapat juga terhadap waktu. Laju
pertumbuhan populasi juga dapat dijadikan contoh untuk konsep turunan sehingga
siswa tidak terfokus konsep turunan hanya untuk bidang-bidang fisika saja.
Djumanta dan Sudrajat (2008:203) memulai menjelaskan konsep turunan
dengan memperlihatkan dua masalah yang terlihat berbeda tetapi identik. Hal
tersebut bertujuan agar siswa dapat memahami betul konsep dari turunan. Masalah
yang pertama berkaitan dengan garis singgung dan masalah yang berkaitan dengan
kecepatan sesaat. Setelah penjelasan tersebut barulah masuk pada materi
menentukan turunan suatu fungsi. Cara tersebut tidaklah salah tetapi untuk siswa
tertentu mungkin akan sulit dibayangkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
B. Aspek Kependidikan di Strata 1
Pada bangku kuliah tentunya mahasiswa sudah dapat lebih mendalami
tentang konsep turunan dan aplikasinya. Mata kuliah khusus untuk mendalami
pemodelan sempat dialami peneliti sewaktu kuliah S1. Mata kuliah Pemodelan
Matematika pada waktu S1 membahas tentang pertumbuhan populasi dan analisis
kesetimbangannya. Pada tingkat kuliah tentu materi yang dipelajari lebih mendalam
dari pada saat masih di bangku Sekolah Menengah Atas di mana materi yang
dipelajari sangat banyak dan dapat dibilang cukup luas.
Mata kuliah Pemodelan Matematika merupakan salah satu mata kuliah yang
membahas secara khusus tentang penerapan salah satu konsep turunan. Konsep
turunan sendiri dibahas pada mata kuliah Kalkulus Diferensial yang berbicara
turunan secara umum dan beberapa aplikasinya. Pemodelan Matematika sendiri
juga mencakup berbagai bidang seperti fisika dan biologi. Pada waktu peneliti
mengambil mata kuliah pemodelan ini, hal yang dibahas adalah bidang biologi
dengan materi tentang pertumbuhan populasi dengan buku Mathematical models in
biology: An introduction karya Allman dan Rhodes. Allman dan Rhodes (2004)
menuliskan tentang model pertumbuhan populasi beserta cara-cara untuk
menganalisis kestabilannya. Model yang dipakai dalam buku tersebut merumakan
model populasi yang bersifat diskrit. Materi pada buku sangat banyak sehingga
tidak semua bagian dari buku dipelajari semua dalam satu semester.
Aplikasi langsung dari persamaan diferensial dapat dipelajari secara
langsung menuju permasalahan yang terjadi di dunia nyata. Berbagai cara juga
dilakukan untuk menganalisis perilaku baik dari persamaan diferensial maupun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
ketika menjadi sebuah sistem persamaan diferensial salah satunya dengan cara
linearisasi yang dilakukan pada penelitian ini. Pada mata kuliah lain pun dapat
langsung dikaitkan dengan materi ini seperti mata kuliah kalkulus diferensial. Mata
kuliah tersebut merupakan dasar teori dari mata kuliah Pemodelan Matematika
sehingga penting untuk mengetahui masalah-masalah di dunia nyata yang dapat
diselesaikan menggunakan persamaan diferensial atau pun ketika membentuk
sistem.
Jika ditelusuri lebih jauh lagi setiap teori dari limit hingga metode
penyelesaian persamaan diferensial memang saling berhubungan. Hal tersebut
dapat dibuat peta konsep bagi mahasiswa untuk mempelajari setiap materi yang
ada. Peta konsep yang berhubungan akan membantu mahasiswa dalam melihat
hubungan dari masing-masing konsep yang dipelajari sehingga apa yang dipelajari
tidak terkesan saling beridiri sendiri-sendiri. Mahasiswa juga akan lebih melihat
tujuan dari teori yang dipelajari akan mengarakan mereka ke bidang apa dan salah
satunya adalah bidang pemodelan matematika biologi.
C. Refleksi
Peneliti baru pertama membuat tugas akhir berupa penelitian matematika
murni, sehingga pada awalnya merasa tidak punya bayangan. Perjuangan untuk
lebih membaca buku tentang konsep memang terasa lebih sulit ketika menulis
penelitian tentang matematika murni. Dalam benak peneliti tidak pernah terpikir
akan membuat penelitian seperti ini, sehingga hal ini merupakan kesempatan yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
langka. Pengalaman ini merupakan hal yang sangat berharga dan sangat tidak
mungkin untuk terulang kembali.
Pada awal perkuliahan tidak pernah terlintas di pikiran peneliti bahwa
semester pertama terdapat mata kuliah kajian topik penelitian. Mata kuliah tersebut
bertujuan agar mahasiswa dapat menentukan topik untuk penelitian tesis.
Perkuliahan mendekati tengah semester. Berbagai acara seperti mengundang dosen
baik dari dalam maupun luar kampus untuk memberikan kuliah kepada mahasiswa
telah dilakukan. Perkuliahan dengan dosen tamu bertujuan agar mahasiswa
mendapat inspirasi ketika menyusun topik penelitian. Pak Andy selaku pengampu
mata kuliah tersebut akhirnya meminta mahasiswa untuk menentukan dosen
pembimbing dan topik untuk tesis masing-masing. Saya pada awalnya ingin
mengambil topik tentang kajian di bidang soal-soal olimpiade tingkat sekolah dasar
dan menengah mengingat hal tersebut penting untuk pembelajaran di tingkat
sekolah. Mas beni ikut bergabung dengan saya untuk mengerjakan topik yang
serupa dan memilik Pak Herry sebagai dosen pembimbing karena bidangnya yang
sesuai dan sebagai pengampu mata kuliah pemecahan masalah matematika.
Waktu berlalu hingga semester kedua terdapat mata kuliah metode
penelitian. Harapan dari kuliah tersebut adalah melanjutkan topik yang telah dibuat
pada semester sebelumnya sehingga di akhir perkuliahan para mahasiswa selesai
hingga BAB III. Pak Herry selaku pembimbing awal memberi tawaran kepada saya
dan Mas Beni untuk mengerjakan sebuah proyek sehingga kami diberi kesempatan
untuk mengubah bidang yang sebelumnya kami pilih. Kami tertarik untuk
bergabung dengan penelitian yang akan diberikan oleh Pak Herry dan kami pun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
bertemu untuk mendengarkan hal yang akan dibahas lebih detail. Bidang yang
ditawarkan tidak lepas dari penelitian yang saya lakukan saat ini yaitu tentang
sistem dinamika. Penelitian yang ditawarkan memang dapat dibilang bukan
sembarangan yaitu menambahkan unsur stokastik pada model persamaan
diferensial.
Penjelasan Pak Herry membuat saya kagum saat itu dan meminta kami
untuk memikirkan sekali lagi. Beberapa hari kemudian Pak Herry memutuskan
untuk tidak menambahkan unsur stokastik sehingga hanya analisis tentang sistem
dinamika populasi saja. Kalau dipikirkan ulang memang sulit apalagi dengan
pengalaman saya yang belum pernah melakukan penelitian matematika sebelumnya
dan mungkin Pak Herry juga melihat kalau saya belum mampu untuk melakukan
penelitian seperti itu. Dalam hati saya tetap mengikuti akan dibawa kemana saya
oleh Pak Herry dalam penelitian tersebut walaupun belum mengetahui apa yang
akan dilakukan. Pak Herry menjelaskan topik penelitian hanya sampai analisis
kestabilan dari model sistem persamaan diferensial. Awal-awal penelitan kami
diminta membahas beberapa buku tentang pertumbuhan populasi sehingga kelak
dapat digunakan sebagai dasar teori. Presentasi-presentasi kecil mulai dilakukan
sehingga paham maksud dari teori yang dipelajari. Semester kedua hampir berakhir
dan saya belum sepenuhnya memperoleh apa yang seharusnya diperoleh hingga
mendengar kabar bahwa Pak Herry akan melaksanakan pendidikan Paska Doktor
selama satu tahun.
Saya seakan tidak percaya tetapi memang itulah kenyataan yang terjadi. Pak
Andy memberikan pilihan kepada saya dan mas beni untuk kelangsungan tesis yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
kami buat. Pilihan yang diberikan adalah pindah topik penelitian atau melanjutkan
tesis tetapi harus realistis. Kami memilih untuk tetap dengan topik kami dan tetap
melanjutkan topik dengan Pak Herry hingga saat-saat terakhir. Harapan kami tesis
akan selesai dalam waktu dua bulan yaitu dari bulan juni hingga juli tetapi dalam
hati saya pun itu tidak mungkin karena saya pun tidak memiliki semangat yang kuat
ditambah materi yang belum pernah saya lakukan sebelumnya yaitu menulis di
bidang penelitian matematika murni. Ibarat kata dan hati tidak menyatu memang
dalam memilih pilihan tersebut hati saya berkata tidak mampu tetapi hitung-
hitungan realita masih memungkinkan. Selama masa itu saya hanya punya satu
harapan yaitu siapapun yang akan membimbing saya berikutnya pasti akan
berusaha yang terbaik. Hal yang saya prediksikan memang terjadi dan bulan
Agustus kami diberi kabar bahwa Pak Sudi menjadi pembimbing kami.
Pak Sudi menjadi dosen pembimbing saya selanjutnya karena memang
bidang Pak Sudi tentang pemodelan matematika dan sejalan dengan apa yang saya
dan mas beni lakukan. Awal bersama Pak Sudi saya masih belum tahu apa yang
akan saya lakukan selanjutnya dan mengalami kebuntuan. Pak Sudi menawarkan
hal yang baru kepada saya dan Mas Beni yaitu dengan menyelesaikan permasalahan
dari model yang kami kerjakan. Ada dua metode yang ditawarkan yaitu metode
dekomposisi adomian dan variasi iterasional. Saya memilih metode dekomposisi
adomian karena saya menilai metode tersebut dapat saya pelajari langkah-
langkahnya. Waktu berlalu hingga saya diberi tawaran oleh Pak Sudi untuk
mengikuti seminar internasional dengan topik yang baru saja dipelajari. Saya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
berusaha semaksimal mungkin dengan segala keterbatasan saya serta bimbingan
dari Pak Sudi untuk menyelesaikan tulisan yang akan diseminarkan.
Awal tahun 2017 datang dan saya belum menemukan semangat yang tepat
untuk menuliskan kata-kata yang harus saya tuliskan pada penyelesaian tesis ini.
Saya bimbang dengan hal-hal yang harus saya lakukan sehingga membuat saya
tidak dapat berpikir jernih. Berbagai kegiatan lain saya lakukan demi dapat
menjernihkan pikiran dan berharap menemukan semangat untuk menyelesaikan
tesis ini. Saya melupakan tujuan saya berada kembali di kampus ini. Hal tersebut
tentunya membuat jalan saya menjadi kabur untuk melangkah kedepan. Tujuan
awal saya melanjutkan kuliah di sini memang untuk tabungan masa depan sehingga
kelak akan menjadi bekal ilmu ketika menjadi seorang guru.
Jika mengingat beberapa tahun lalu di mana saya tidak pernah meliliki niat
apalagi bermimpi untuk melanjutkan kuliah. Saya teringat kembali kata-kata saya
kepada teman saya sewaktu masih di S1 yaitu saya akan kuliah lagi kalau Sanata
Dharma membuka Prodi S2. Pada waktu itu tidak ada tanda-tanda sama sekali
Sanata Dharma akan membuka Prodi S2 Pendidikan Matematika sehingga dalam
benak saya mungkin beberapa tahun lagi saya akan melanjutkan kuliah ataupun
hanya sekerdar bercanda dengan teman saya. Saya menjadi percaya bahwa setiap
kata-kata yang terucap dari mulut kita adalah doa dan tanpa sadar doa saya
dikabulkan walaupun tidak dengan sengaja saya memintanya.
Bulan-bulan terakhir saya menyelesaikan tesis ini merupakan hal yang
sangat sulit bagi saya karena semangat yang kuat tidak hadir. Tesis ini hanya saya
pandangi dan saya tidak tahu apa yang harus saya lakukan selanjutnya. Berpikir
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
sekeras apapun seperti tidak ada gunanya dan bertanya pun tidak tahu apa yang
harus saya tanyakan. Di pikiran saya banyak pertanyaan yang muncul tetapi saya
tidak tahu harus dengan apa saya mengungkapkannya. Akhirnya saya
menyelesaikan tesis ini dengan segala pikiran saya yang paksakan dan segala sisa
semangat yang ada dalam diri saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
BAB VI
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Pada penelitian ini membahas dua hal tentang sistem dinamika populasi
yaitu analisis titik ekuilibrium dan solusi menggunakan metode dekomposisi
Adomian. Kriteria kestabilan titik ekuilibrium ditentukan oleh nilai eigen ( ),dimana nilai tersebut diperoleh dengan mengkonstruksi matriks Jacobi dari sistem
persamaan yang ada. Nilai eigen yang muncul secara umum merupakan bilangan
kompleks. Jika bagian real dari nilai eigen tersebut bernilai negatif, maka titik
tersebut bersifat stabil asimtotik begitu sebaliknya. Terdapat empat titik ekuilibrium
pada masing masing model yang dimodifikasi dengan aspek pemanenan. Masing-
masing titik telah dianalisis kestabilannya.
Model yang telah dianalisis ada tiga macam yaitu model pemangsa-mangsa
dengan aspek pemanenan pada pemangsa, model pemangsa-mangsa dengan aspek
pemanenan pada mangsa dan model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan
pada keduanya. Masing-masing titik ekuilibrium telah dianalisis kestabilannya.
Perilaku yang ditunjukan masing-masing model pertumbuhan populasi yang telah
dimodifikasi tidak jauh berbeda. Hal tersebut dikarenakan nilai parameter yang
ditentukan tidak begitu besar sehingga hanya mengakibatkan penurunan laju
pertumbuhan. Perilaku model ketika populasi berinteraksi dalam jangka panjang
akan cenderung sama yaitu populasi pemangsa yang cenderung naik dan populasi
mangsa yang cenderung turun dengan nilai awal yang ditentukan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Metode dekomposisi Adomian digunakan untuk menyelesaikan sistem
dinamika populasi secara umum dengan tiga nilai awal yang berbeda. Populasi
kedua spesies selalu bertumbuh walaupun berbeda kondisi awal masing-masing
parameter yang ditentukan. Populasi pertama tetap bertumbuh ketika berinteraksi
dengan populasi kedua begitu juga sebaliknya. Metode dekomposisi adomian
memberikan pendekatan pada setiap waktu tanpa adanya diskritisasi, sehingga hal
ini merupakan suatu keuntungan menggunakan metode ini.
B. SARAN
Pada penelitian ini masih terbatas pada model dua populasi sehingga pada
penelitian selanjutnya jumlah populasi yang berinteraksi dapat ditambah. Dinamika
populasi tersebut juga dapat dibawa ke dunia Stokastik dengan menambahkan unsur
stokastik pada Model Dinamika Popuasi. Metode Dekomposisi Adomian tidak
hanya untuk dinamika populasi saja tetapi dapat digunakan untuk berbagai sistem
yang mengandung unsur persamaan diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
DAFTAR PUSTAKA
Allman, E. S & Rhodes, J. A. 2004. Mathematical Models In Biology: An Introduction.
New York: Cambridge University Press.
Batiha B., Noorani M.S.M., Hashim I. 2007. Variational iteration method for solving
multispecies Lotka-Voltera equations. Computers and Mathematics with
Aplications, volume 54, 903.
Biazar, J. 2006. Solution of the epidemic model by Adomian decomposition method.
Applied Mathematics and Computation, volume 173, 1101.
Boyce, W. E & DiPrima, R. C. 2012. Elementary Differential Equations And Boundary
Value Problems. Chennai: MPS Limited.
Djumanta, W. E & Sudrajat, R. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan matematika
2: untuk kelas XI Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat
Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Lovett, J.V. 1991. Changing perceptions of allelopathy and biological control. Biol.
Agric. and Hort., volume 8, 89-110.
Murray, J.D. 2001. Mathematical Biology: An Introduction. New York: Springer.
Perko, L. 2000. Differential Equations And Dynamical Systems. New York: Springer.
Putranto, Y. W. & Mungkasi, S. 2017. Adomian decomposition method for solving the
population dynamics model of two species, Journal of Physics: Conference Series,
volume 795, Nomor 1, Artikel 012045 (terideks Scopus).
Rao, D. V. G. 2011. A study on series solutions of two species Lotka-Volterra equations
by adomian decomposition and homotopy pertubation method. Gen. Math. Notes,
volume 3, 13.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Shonkwiler, R. W. 2009. Mathematical Biology: An Introduction With Maple And
Matlab. New York: Springer.
Waltman, Paul. 1983. Competition Models in Population Biology. Philadelphia: SIAM.
Wazwaz, A. M. 2009. Partial differential Equations and Solitary Waves Theory. New
York: Springer.
Yuliyanto, B. D. & Mungkasi, S. 2017. Variational iteration method for solving the
population dynamics model of two species. Journal of Physics: Conference Series,
volume 795, Nomor 1, Artikel 012044 (terideks Scopus).
Zhou, S-R. 2005. The Stability of Predator-Prey Systems Subject to The Alle Effects.
Theoretical population biology, volume 67, 23-31.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI