Andreas Gemsa · Ubung Algorithmische Geometrie
Andreas Gemsa
Ubung Algorithmische Geometrie
LEHRSTUHL FUR ALGORITHMIK I · INSTITUT FUR THEORETISCHE INFORMATIK · FAKULTAT FUR INFORMATIK
Delaunay Triangulierungen
16.06.2011
Andreas Gemsa · Ubung Algorithmische Geometrie
Ubersicht
Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen
Evaluation
Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen
Andreas Gemsa · Ubung Algorithmische Geometrie
Aufgabe 1
Sei P ⊂ R2 eine Menge von n Punkten.Problem:
a) Maximale Anzahl an verschiedenen Triangulierungen fur P
beschrankt durch 2(n2).
b) Beispielmenge P bei der fur jede Triangulierung ein Knotenex. der Grad n− 1 hat?
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Aufgabe 1
Sei P ⊂ R2 eine Menge von n Punkten.Problem:
a) Maximale Anzahl an verschiedenen Triangulierungen fur P
beschrankt durch 2(n2).
b) Beispielmenge P bei der fur jede Triangulierung ein Knotenex. der Grad n− 1 hat?
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Aufgabe 2
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
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Aufgabe 2
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q
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Aufgabe 2
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q Gehoren zur DelaunayTriangulierung von P ∪ {q}
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Charakterisierung
Satz uber Voronoi-Diagramme:
Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.
Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.
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Charakterisierung
Satz uber Voronoi-Diagramme:
Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.
Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.
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Aufgabe 2
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q
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Aufgabe 2
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q
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Aufgabe 2
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q
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Aufgabe 2
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q
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Aufgabe 2
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q
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Aufgabe 2
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q
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Aufgabe 2
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.
Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .
pi
pj
pk
q
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Ubersicht
Evaluation
Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen
Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen
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Evaluation
Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen
Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen
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Aufgabe 3
Euklidischer Minimaler Spannbaum
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Aufgabe 3
Euklidischer Minimaler Spannbaum
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Aufgabe 3
Euklidischer Minimaler Spannbaum
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Aufgabe 3
Euklidischer Minimaler Spannbaum
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Aufgabe 3
Euklidischer Minimaler Spannbaum
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Aufgabe 3
Euklidischer Minimaler Spannbaum
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Aufgabe 3
Euklidischer Minimaler Spannbaum
Zeige, dass Kanten aus EMST Teilmenge der Kanten aus Delaunay-Graph
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Charakterisierung
Satz uber Voronoi-Diagramme:
Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.
Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.
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Aufgabe 3
uv
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
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Aufgabe 3
uv
w
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
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Aufgabe 3
uv
w
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
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Aufgabe 3
uv
w
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
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Aufgabe 3
uv
w
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
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Aufgabe 3
uv
w
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
|uw| < |uv|
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Aufgabe 3
uv
w
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
|uw| < |uv|
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Aufgabe 3
Euklidischer Minimaler Spannbaum
Berechnung von EMST in O(n log n)?
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p q
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p q
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p qp q`
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p qp q`
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p qp q`
a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.
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Charakterisierung
Satz uber Voronoi-Diagramme:
Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.
Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.
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Charakterisierung
Satz uber Voronoi-Diagramme:
Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.
Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p qp q`
a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p qp q`
a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
b) Zeige, dass p und q genau dann im Gabriel-Graph von P adjazent sind,wenn die Delaunay Kante zwischen p und q die zu ihr dualeVoronoi-Kante schneidet.
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p qp q`
a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.
Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q
b) Zeige, dass p und q genau dann im Gabriel-Graph von P adjazent sind,wenn die Delaunay Kante zwischen p und q die zu ihr dualeVoronoi-Kante schneidet.
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Aufgabe 4
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Aufgabe 4
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Aufgabe 4
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Aufgabe 4
u
v
uv im Gabriel Graph
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Aufgabe 4
u
v
uv im Gabriel Graph
o
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Aufgabe 4
u
v
uv im Gabriel Graph
o
o naher zu u, v als zu den anderen Punkten aus P
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Aufgabe 4
u
v
uv im Gabriel Graph
o
o naher zu u, v als zu den anderen Punkten aus P⇒ o liegt auf Voronoi-Kante welche Voronoi-Zellen von q und p begrenzt
u
vo
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Aufgabe 4
uv schneidet duale Voronoi-Kante
u
v
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Aufgabe 4
uv schneidet duale Voronoi-Kante
u
v
o
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Aufgabe 4
uv schneidet duale Voronoi-Kante
u
vo
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Aufgabe 4
uv schneidet duale Voronoi-Kante
u
vo
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Aufgabe 4
uv schneidet duale Voronoi-Kante
u
vo
Angenommen Punkt r in C.
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Aufgabe 4
uv schneidet duale Voronoi-Kante
u
vo
Angenommen Punkt r in C.
r
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Aufgabe 4
uv schneidet duale Voronoi-Kante
u
vo
Angenommen Punkt r in C.
r
⇒ Distanz zw. o und r kleiner als |ou| (|ov|)⇒ Widerspruch zur Annahme, dass o auf Voronoi-Kante
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p qp q`
a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.
b) Zeige, dass p und q genau dann im Gabriel-Graph von P adjazent sind,wenn die Delaunay Kante zwischen p und q die zu ihr dualeVoronoi-Kante schneidet.
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Aufgabe 4
Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.
p qp q`
a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.
b) Zeige, dass p und q genau dann im Gabriel-Graph von P adjazent sind,wenn die Delaunay Kante zwischen p und q die zu ihr dualeVoronoi-Kante schneidet.
c) O(n log n) Algorithmus der Gabriel-Graph berechnet?
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Das war’s!
Nachster Termin:Donnertag, 30.06, 09:45 Uhr
Raum 131, Gebaude 50.34
Achtung!