'
La función variable real "F" es UNA antiderivada de la función "f", si
Dom(f) f coincide con F, e
n f
LA
orma
ANTIDERIV
simbólica : ( ) (
AD
A
)x F′∀ ∈ = ∀ ∈
0 03 2
' 2
Dom(f). Además si f es continua en x Dom(f) entonces F es derivable en x
1.- ( ) es UNA antiderivada de ( ) 3 puesto que ( ) 3 ( ) 2.- ( ) sec(5
Ejemplo 1
)
: F x x f x xF x x f x
F x x
∈
= =
= =
= +
x f x x
'
3 4
4
55 es UNA antiderivada de ( ) 5sec(5 ) (5 ) porque ( ) 5sec(5 ) (5 ) ( ) 3.- UNA antiderivada de ( ) ( ) es
1 ( ) cos( ) (compruebe este resu4
f x x tg x F x x tg x f xf x x sen x
F x x
= = ⋅ =
=
= −
'
2 '2
2'3 23 3
'
ltado derivando F(x))
Recordemos, 1 ( ( )) = x
1 2 (ln(x )) 2x
1 (6 3) ln(2x 3 1) (6 3)(2 3 1) (2 3 1)
1 1 ln(ln(ln(x)))
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Ejemplo 5( ( )
:)
ln x
xx
xx xx x x x
ln ln x ln
= ⋅ =
+⎡ ⎤+ + = ⋅ + =⎣ ⎦ + + + +
= ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
'' '
1( )
Si , con 0, 1, 0 tenemos = aplicamos ln,
1 1 1 ( ) ( ) ( ) = ( ) =ln
Ej
( ) ( ) l
emplo 6:
Ejemplo
n(a) x
l e 7: (
ay
a
a
x xy log x a a x
y log x a x
y ln a ln x y ln x y ln x ya ln a
og
⋅
= > ≠ >
= ⇔
⎛ ⎞⋅ = ⇔ = ⋅ ⇔ ⋅ ⇔ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2 2
'
2 ' 2 ' 2
1 ' 1
1 1'
1) ( ) 1 luego ( ) (e)
( ) ( ) de Derivadas exponenciales: i) ( ) ( ) (2 ) ( ) 2
ii) ( ) ( ) (2 1)
1 iii) ( )
Ejemplo 8:
(
Ej mplos
)
e
a a
x x
x x x
x x x x
x x
ln a log x logx
a a ln a
a a ln a x a ln aa a ln a x
a a ln a
+ + + +
⋅ = = ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅' 1
21( ) xa ln a
x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
'
3
21
'2
2
de logaritmos:5 Encuentre: ?
(2 7)
( ) 5 1 5 apliquemos 2 2 7( ) 2 (2 7) 2
Encuentre: ?(10 )
( ) 1 2 1 apliquemos 10(
Solución:
Ej
) 2 (
emplo
10 )
S
s
oluc ón:
2
i
dxx
f x dx dx ln x Cf x x
x dxx
f x xdx dx ln xf x x
−
=+
= ⋅ = + ++
=−
− ⎡ ⎤= − = − −⎢− ⎣
∫
∫ ∫
∫
∫3
13 3
' ' ' ' 2 '
' '
1 1 1(1) (9) (9)2 2 2
Ejemplo: Encuentre la derivada Solución:
de ( ) ( )
1 (3 ( )) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) 3 ( ( )) ( ( ))
ln ln ln
y ln x ln x
y ln x lnx lnx lnx lnx lnx lnx lnx lnxx
ln x ln xy ln x ln x lx x
−
= − + =⎥⎦
= +
⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅= ⋅ + + ⋅ ⋅
∫
'
'
' 2
( ) ( ) ( ( ))
3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 ( ) ( ) 3 3 (1 ( ) ( ) (1 )
n x ln x ln x
ln x ln x ln x ln x ln x ln xyx x x x
ln x ln xy ln x ln x ln xx x x x
⎡ ⎤+ ⋅⎣ ⎦
⋅ ⋅ ⋅= + + +
⋅= + = + ⋅ = +
3 42 4
4
3 3 3' 4 4
4 4
Sigamos con antiderivadas :(1 ) 1 Una antiderivada de ( ) es ( ) (1 ), compruebe:
Solu(1 ) 8
1 4 4 2 4( ) ( ) (1 ) (1 )
La Antideri
Ejemplo 1 :
va
ción:
8
d
(1 ) (1 ) 8
a
(1
x ln xf x F x ln xx
x x xf x F x ln x ln xx x
+= = +
+
⎡ ⎤ ⋅= = ⋅ + + + ⋅ =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
44
34
4
22
'2 2
(1 ))
( ) (1 )(1 )
La antiderivada de ( ) es ( ) 1, compruebe:1
1 2( ) ( )2 1 1
La antiderivada de la función nula es lNOTA
Solución
a función const
Ejemplo
:
:
2:
ln xx
xf x ln xx
xf x F x xx
x xF x f xx x
⎡ ⎤⋅ +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= ⋅ ++
= = −−
= = ⋅ =− −
' '
Ejemplo
ante, es decir, si ( ) 0 ( )
( ) 0 ( ) 3comprobemos, ( )
3: ( ) (3) 0
f x F x Cf x F x
F x f x
= ⇒ =
= ⇒ =
= = =
[ ][ ]
La noción de la suma de Riemann "Una función definida en a,b , continua e integrableen a,b y sea F una antiderivada cualquiera de f en él, entonces:
( )
La Integral Definid
Ejemplo
( ) ( )
1: D m
a
e
b
a
f x dx F b F a= −∫
'
uestre que ( ), cte.
( ) , es una antiderivada de ( ) , aplicando el teorema fundamental del cálculo se tiene que:
( ) ( ) ( )
Ejemplo 2
Solució
Demuestre que :
n:
b
a
b
ab
a
kdx k b a k
F x kx f x k
kdx F b F a kb ka k b a
xdx
= − =
= =
= − = − = −
∫
∫2 2
2
2 2
55 32
2 22
22 2 31
1
41/3 3
2 2
( ) es una antiderivada de ( )2
( ) (
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Ejemp
)2 2
125 8 393 3 3
(4 6 ) 2 2 (8 16) (2
l
2) 12
( )o 5
Solución:
:
b
a
b a
xF x f x x
b axdx F b F a
xx dx
x x dx x x
x x
−−
= −
= =
∴ = − = −
⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− = − = − − + = −⎣ ⎦
+
∫
∫
∫
∫88 4 7
3 3
11
2 2
3 3 3 3(16 1) (128 1)4 7 4 7
3 3 1839
Ejemplo 6:
(15) (127)4 7 28
1 Verificar que: , es un( )
dx x x
dx xarctg Ca aa x
⎡ ⎤= + = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
= + =
⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
∫
∫
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
a primitiva dada
1 1 1 1 1 1 1 10(
Soluc :
1
n
)
ió
d x aarctg Cdx a a a a a ax a x a a x a x
a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ + = ⋅ + = ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + +⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1+
2
Verificar que sec(t) sec( ) ( ) , es una primitiva dada
( sec( ) ( ) 1 (sec( ) ( ) sec ( )) sec( )(sec( ) ( ))
AHORA: Determinar una primitiva para una
Ejemplo
función
S
7
oluci
d
ón
d
:
a a
:
dt ln t tg t C
d ln t tg tt tg t t t
dx t tg t
= + +
+= ⋅ ⋅ + =
+
∫
3
43 3 1 4
32
'
:2 Determine F(x) para una función 3
2 2 2
Ejemplo 1:
Ejemplo
Como F'(x) F(x) F(x)3 3 (3 1) 12 6
Determine F(x) para una función 2
Soluci
x
Solución:
Como F (x) F(x) 3
ó
2
n
:
:
x dx
xx dx x C x C C
dx
xx C
+= → = + = + = + =⋅ +
= → = +
∫
∫
∫
3 2
3 2 3 2
4 3
Solución:
Determine F(X) para la siguiente función:25 3
2 1'( ) 5 3 5
La An
3 2
( ) 5 3 24 3
Determine F(x)
tiderivaEjemplo 3:
Ejemplo 4: para la
da
x x dxx
F x x x dx x dx x dx dxx x
x xF x lnx C
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
→ = ⋅ − ⋅ + ⋅ +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
2
2'
2 2
2
'
siguiente función:
1
Desarrollando el binomio:2 1 1( ) 2 ( ) 4
2 Determine F(x) para la siguiente función:
sen ( )
Ejemplo 5:
Solución
(
:
So ci n:
)
lu ó
x dxx
dx dx xF x x dx xdx F x x Cxx xx x
x dx
F x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤= + + = + + → = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
'
2
' 2
Sol
1 cos 2 1 1sen ( ) cos 22 2 2
1 1 1( ) cos 2 (2 )2 2 2
1 1( ) 2 cos2 4 2 Determine F(x) para la siguiente funEjemplo 6: ción:
sec (
u
)
( ) sec ( ) S
ció
l
n:
o
xx dx dx dx x dx
F x dx x d x
xF x sen x C x senx x C
x dx
F x x dx
−⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − ⋅
→ = − ⋅ + = − ⋅ +
= →
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ( )
( )
2
' 2 2 2
ución inmediata, F(x)
Determine F(x) para la siguiente funció
Solución:
Ejemp n:
( )
( ) ( ) sec ( ) 1
lo
sec ( )
:
)
7
(
tg x C
tg x dx
F x tg x dx x dx x dx dxF x tgx x C
= +
= = − = −
→ = − +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
2
Área en Coordenadas Cartesianas: La integral definida surge de un límite
de sumas de áreas de rectangulos ( )
Hallar el área que está baEjem jo l
Área Entre Curvas
a curva , sobre el eje p o 1: xl
b
a
f x dx
y x=
∫
[ ]
55 3 3 32
2 2
2
en el intervalo 2,5
5 2 117 393 3 3 3
Hallar el área de la región comprendida entre las cur
Solución:
Solución
vas :2( ) 6 5 , ( ) 25
Lo primero
Ejempl
e :
s
o 2:
x
xA x dx
f x y x x g x y x
∈
⎡ ⎤= = = − = =⎢ ⎥
⎣ ⎦
= = − + − = = −
∫
( )
2 2
1 2
5 3 22
0,6
buscar los puntos de intersección entre las dos curvas, se tiene entonces que:
26 5 - 2 0 5 28 15 05
Luego: 0,6 5
2 14 21Entonces: 6 5 25 3 5 5
x x x x x
x x
x x xArea x x x dx
⎛ ⎞− + − − = ⇔ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
⎡⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − − = − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫5
0,6
92,25⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 2
Soluci
Hallar el área de la región comprendida entre:( ) (2 ), ( )
Determinar primero los puntos de intersección entre las dos curvas:
(2 )Luego: 0
Ejemplo 3
ón
3
E
:
:x f y y y x g y y
y y yy y
= = − = = −
− = −
= =3
0
9ntonces: ( ) ( )2
Area f y g y dy= − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫
22
2 2
Dibujar un esbozo de la región acotada por las gráficas de:4( ) , ( ) 6 9
y dSol
eterminar el área de la región ución
para 0
( ) 6 9 ( 3)Cálculo de los puntos de
E
interse
jemplo 4:
:
f x g x x xx
x
g x x x x
= = − +
>
= − + = −
2 4 3 22
1 24 3 2
3 4
cción de curvas:4 ( 3) 6 9 4 0
Donde: 1 y 2 satisfacen la ecuación, por lo tanto:6 9 4 0 posee 4 raíces. Las otras 2 son:
3- 17 3+ 17= y = 2 2
En definitiva los puntos de in
x x x xx
x xx x x
x x
= − ⇔ − + − =
= =
− + − =
⇒
3
3+ 172 2
1 2
3+ 12
2 22 2
1 2
3+ 17 8tersección son: (1,4);(2,1); , ; 2 13+3 17
nótese que está fuera del rango para 0
Cálculo de Área:
( ) ( ) ( ) ( )
4 46 9 6 9
x x
Area g x f x dx f x g x dx
A x x dx x xx x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
>
= − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫7
2
3+ 1723 3 22 2
1 2
4 4 25 173 9 3 9 173 3 2 6
dx
x xA x x x xx x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + + − − + − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫
2
33 22 3
3 23 2
Calcular el área encerrada por la curva:24 y el eje 9
Gráfico e intersecciones:0 3 20 4
Cálculo de Área
Área Entre Cur
:
2 24 49
Soluc
Ejemplo 1:v
ión:
a
2
s
7
y x OX
y xx y
A x dx x x++
−−
= −
= → = ±
= → =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ( ) ( )2
3 3
3
2 212 2 3 2 12 2 3 227 27
424 2 (3 2) 16 227
A
⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − =
2
2
1 2
Solució
Calcular el área encerrada entre la parábola:2 9 36 y la recta: 2 3 0
Gráfico e intersecciones :2 249 3
Los punt
Ejemplo 2:
os son: 6 y 3Cálculo del área:
4
n:x y x y
y x y x
x x
Area
+ = + =
= − ∩ = −
= = −
=66 2
2 3
3 3
2 2 24 29 3 3 27
xx x dx x x− −
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ 7
2
Encontrar el área encerrada por las curvas:4 , 2 1 0
Gráfico e intersección:La figura induce a considerar los elementos fundamentales de área
S
(franjas) en forma horizo
ol
n
E
ta
je
ució
mpl :
n:
o 3y x x y= + − + =
( ) ( )
( ) ( )
2
21
2
33 32 2
1 1
l.4 2 1
2 3 0 3( 3) ( 1) 0 1Cálculo de área:
1 12 1 4 3 9 1 3 53 3
x y x yy y yy y y
yArea y y dy y y−
= − ∩ = −
− − = ⇒ =
− ⋅ + = ⇒ = −
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − − − = − + = − − + = + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫
163 3
( )
2 4
2
11 3 52 4
0 0
Calcular el área encerrada por: y el eje
Gráfico de una función p
Ejemplo 4:
ar que corta al eje x en: 0 11 0 1 1
Solución:
2 2 2 2 423 5 3 5 15
y x x OX
x xx x x
x xArea x x dx
= −
= ∧ = ±
− < ⇔ > ∨ < −
⎡ ⎤= − = − = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫
Calcular el área acotada por las curvas de ecuaciones:1( ) , ( ) , ( ) 2
Grafiquemos luego lo
Áreas E
s punto
ntre Curv
s de inteSolució
rsecció
Ejempl
nn formados por las cur
o 1
:
:
s:
,
as
va
f x y g x y x h y xx
y x
= = = = = =
=
( ) ( )22 2
2 3
1
2
1 2
1
1 elevando al cuadrado se tiene: 1 1
1 1 1Aclaremos: Si A es el área bajo la curva , entre 1 2
1y A es el área bajo la curva , entre 1 2
Área Pedida ,
yx
x x x x xx
x x x xy x x x
y x xx
A A
=
= ⇔ = ⇔ =
⇔ ⋅ = ⇔ = ⇒ =
= = ∧ =
= = ∧ =
= −
( ) ( )1 2
22 2 2 2 21 1 12 2 2
1 21 1 1
tal que
1 2 1 32 2 2 1 22 2 2 2P
A A
xA A A xdx dx xx
>
⎡ ⎤= − = − = − = − − − = − −⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫ 2 1
4
0
2
4 1 2 42
0 0 1 2
Calcular ( ) donde f es la función definida por:
, si 0 1( ) 2, si 1 2
4 , si 2 4Notamos que f es discontinua en 1
( )
E
2
jemplo
(4 )
2: f x dx
x xf x x
x xx
xf x dx x dx dx x dx
⎧ ⎫≤ ≤⎪ ⎪
= ≤ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪− ≤ ≤⎩ ⎭
=
= + + − =
∫
∫ ∫ ∫ ∫ [ ]1 43 2
21
0 24
0
2 43 2
1 13( ) 2 2 2 1 4 4 4 2 8 23 3
xx x
f x dx
⎡ ⎤ ⎡+ + −
⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
⇔ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + =∫
⎦