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Anualidades diferidas

Sandra,abre un* eixent¿ T¿ndaharre coa $450. Elige,un plaao de 12

rneres..y,:depqsitará ea,la euerrt¿'$250,.ced+, rnes.,Si la t¿s* dd:ieteréses el 3S% de la tas¿ de rendimier,*o,delosCetes *.28,díae, vigeate enetr rnomento de la apertura de la cuenta, y suponiendc que esta tasa

:',-::, p€fr{rdn6se..¿¡¡sxi1ggdq:meáe:.caniste-nte,tcd+ el plazo de.la inver*''- l'siér:;'enerle&tre'el raonüo',*fcab+.,fu 12 meses. S-upgnga qrre.'la:tasa',:'':' de'rendimieátüdelos,getes¿s:-fu7'35%ánual-, :-r':''¡'j::.:.a.:::::':': : ..,a,:.

'.3.'.'Aridrésinvirtié:$trQ.00 e*,ún,3ono de la'Sue:rte 34, en,el solteo'lle¡ado

" ."bo, resulta ser uno de los ganadores, con un premio de $ 1000.- .. 8:rcueritrela-tasde,int&fo aaualqueganó,,:,

@t Anualidades difenidas

Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza hasta después de trans-

currido un intervalo de tiempo desde el momento en que la operación quedó

formalizada. El momento en que la operación queda formalizada recibe el nombrede momento inicial o de convenio.

En esta sección se estudiarán las anualidades ciertas, simples y diferidas, co-

nocidas simplemente como anualidades diferidas, las cuales pueden ser vencidas

o anticipadas.El intervalo de tiempo que transcurre entre el momento inicial y el inicio

del plazo de la anualidad se llama periodo de gracia o periodo de diferimiento.El periodo de gracia se mide utilizando como unidad de tiempo el correspondientea los periodos de pago. Por ejemplo, si dentro de 4 meses se hará el primer pago

de una anualidad vencida de $ 1000 mensuales, y cuyo plazo es de 6 meses, se

tendrá el siguiente diagrama de tiempo:

1000 1000 1000 1000 1000 1000

789' meses

23456meses

Plazo de la anualidad ------------>lK- Periodo de gracia *>l<-0 Comienzo del plazo de

la anualidad vencide

Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

En este ejemplo el periodo de gracia es de 3 meses, ya que el final del tercer mescoincide con el comienzo del plazo de la anualidad vencida, el cual es de 6 meses.

Si la anualidad del ejemplo anterior se considerara anticipada, entonces eldiagrama de tiempo sería el siguiente:

' :,'.::.:...,.1(EO,:' ::1 000:r.:,:1.r000.:.:,l geQ,: lOOO 1 000l

5 -...', . , :$,: .'. ., 7, :,:R,:.,9meses.,: .4

5- : meses

1

f<- Período dergracia Plazo de la anualidad :--*.¡Comienzo del plazo de

la anualidad vencida

En este caso, el periodo de gracia es de 4 meses, ya que el final del cuartomes coincide con el comienzo del plazo de la anualidad anticipada.

Para resolver problemas de anualidades diferidas no es necesario deducirnuevas formulas ya que éstas, como se acaba de ver, pueden tratarse como anua-lidades vencidas o anticipadas, utilizando las formulas vistas en las secciones [6.2)y [6.3). En este libro, al resolver problemas de anualidades diferidas, éstas setratarán como anualidades vencidas, ya que esto es lo más usual.

Mientras transcurre el periodo de gracia, ocurre una de las siguientessituaciones:

# Q"" al final de cada periodo de pago se liquiden los intereses que generael capital original en el periodo. En este caso se dice que hay servicio deintereses. Al llevarse a cabo esta situación, el capital original perma-nece constante todo el periodo de graoia; de tal manera que el valorpresente de la anualidad es igual al capital original.

# Q". los intereses generados dentro del periodo de gracia se capitalicen.En este caso, el valor presente de la anualidad será igual al capital originalmás los intereses capitalizados.

En la mayor parte de las situaciones reales se lleva a cabo la segunda opción,raz6n por la que los problemas de este libro se resolverán de esta forma, exceptoque se indique lo contrario.

eiemuo#

Antonio compra una computadora laptop mediante el pago de 6 mensualidadessucesivas de $4100 cada una, pagando la primera 3 meses después de la compra.


)@'o'u''un,A continuación se muestra el diagrama de tiempo, considerando una anuali-dad vencida:

P ':r ¡: ' ::., :':i i:::plazo de anuelidad

En este caso, se tiene una anualidad diferida con periodo de gracia de dos

meses. Si P representa el precio de contado de la computadora, y se toma comofecha focal el momento actual del plazo de la anualidad, entonces se tiene la si-guiente ecuación de valor:

p (t *0.33)'z : 4loot. 12lI

22r.05575625 P:

- [, * o'¡¡\ 12

(r)395.70379

P : $21 213

El interés pagado por el uso del crédito fue:

I: (4100) (6) - Zl2l3: $3 387

ZCuál es el precio de contado de la computadora, si se está cobrando una tasa deinterés de 33%o capitalizable cada mes? ZCuánto se pagó de interés?

elemoro SDurante este mes, Mueblería EI Portal ofrece la promoción "Compre ahora ypague después', que consiste en pagar el precio de todas las mercancías en 8 me-ses, empezando 4 meses después de la compra. ZCuál será la mensualidad que

deberá pagar la señora Arrieta, si compró un mueble en $4780 y le carganun interés de7.45% mensual capitalizable cada mes?


La anualidad diferida tiene un periodo de gracia de 3 meses y se consideravencida. Si á representa el abono mensual y se toma como fecha focal el mo.mento actual del plazo de la anualidad, se tiene la siguiente ecuación de valor:

ts Sotución:

l:: :: I ..:¡i.,i: t

::ri.'f ;i.:.:

47soir + o.o24s)3:, [r=q,i#:#ü]A: 5715.34

eiemoo@

Resuelva el problema anterior si durante el periodo de gracia hay servicio de intereses.

)@ sotucion,

En este caso, los intereses generados en el periodo de gracia no se capitalizan,sino que se van pagando cada mes, haciendo que el capital original se mantengaconstante. Esto es:

I: (4780) (0.0245) [l) : $tiZ.tt

Se deben pagar intereses mensuales de $1i7.11, durante tres meses. Al fina-lizar el periodo de gracia se tendrá que el valor presente de la deuda es de $4780,y el abono mensual necesario para amortizar dicha deuda será:

47Bo :, [l - rr + o.oz+sl-t']

L o.o24s Iz{ : $665.23

El lector puede verificar que, el interés total pagado cuando los intereses se

capitalizan en el periodo de gracia es mayor que cuando hay servicio de intereses.

l*:*=A ' ,4' A: I A ,r'ii

--l


€j€mpb@

El.precio de contado de una casa es de $400000. Se puede comprar a créditomediante un enganche de l0% del precio de contado y el resto mediante pagos

mensuales vencidos de $7 000. Si se da un periodo de gracia de 3 meses y la tasa

de interés es de 1.757o mensual capitalizable cada mes, calcule el número depagos mensuales que deben hacerse. En caso necesario, ajuste la mensualidad ala parte entera del resultado obtenido.

)@'o'u''un'El enganche es de $40000 y el saldo a financiar es de $360000. El diagrama de

tiempo es:

1230.:_ r;i :- ¡j ,;¡ 6 "]-

1 - ..1 ! i J :,;!

Tomando el final del periodo de gracia como fecha focal, se tiene la siguienteecuación de valor:

Ii)

7 000

.0175

- [1.0175)-"360000 (1.0175)3 :

(360000)0.017s)3(0 I - [1.0175)-"7000

0.94808i698 : 1 - [1.0175)-'

(1.0175)-' : ] - 0.948081698 : 0.051918301

-nlog i.0175 : log 0.051918301

n : 170.5081322 pagos mensuales

Debido a la imposibilidad de pagar 170.5081322pagos mensuales, se ajusta lamensualidad tomando la parte entera del resultado. Esto es, si n : I7O, entonces:

'l _ (r .o r z s)-"0 -l

360000 t1.017513 : ,4,1-L 0.017s I

A: S7 003.40

La casa se paga mediante 170 abonos mensuales de $7 003.40.

o.0175

Cap. ó Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

eiemnro @El señor Go¡záleztiene actualmente 50 años de edad y una compañía de segurosle presenta un plan de jubilación personal. Éste consiste en que, mediante un pagoinmediato de $87690, la compañía ofrece pagar, transcurridos 15 años, una rentade $10000 al final de cada mes,2 durante 15 años. Determine la tasa de interésanual capitalizable cada mes que paga la compañía

)@ =o,u.,un,

Tomando el comienzo del plazo de la anualidad como fecha focal, se tiene:

roooo[t:"fr]1_(1+i)-180

i [l + i)180

87690 (1 + i)180 :

87690

-=10000

8.769= 1-(l+i)-t8oi (l + i)180

Procediendo por prueba y errot o bien, utilizando una calculadora finan-ciera o una computadora, el valor de I que satisface a la igualdad anterior es

1.1916977765% mensual. Por tanto:

i: 14.3o/o anual capitalizable cada mes.

e¡empto @Una escuela compró mobiliario y equipo a crédito el 26 de diciembre y acuerda sal-dar la deuda mediante 12 pagos mensuales de $10830, haciendo el primerpago el 26 de ¡ulio del siguiente año. Si después de realizar el octavo pago se

€b- -' ' Esta cantidad se ajustaría en la práctica de conformidad con la inflación, con el fin de que se

mantenga el poder adquisitivo de la renta mensual.


dejan de rcalizar los siguientes tres, Zqué pago único se deberá hacer al vencer elúltimo pago pactado originalmente para saldar completamente la deuda? Latasa de interés es de 30% compuesto en forma mensual.

ts sotución:

Si se

se puede

10 830

1n1C10

ión deil eluac

:l

ecu

foca

te ec

lzl

del plazo de lavalor:

f'-('.ryL-el-

anua

!lidad [26 de junio),

I0830

111091.5906 : 77 652.58552 +

x: 4497I.75

('.T)"

1.344888824

I


3. ,una' fábrica d*, dulces.,,obtj€ñ€ : un¡,pr€stanr+, banca{io,: de, $53 WO, l .

dólares para la cor¡lprá de un* máqrrinaSrse 1* qqilcedeun.pcridode,gracia de lÜ meses, que es el tiempo qlre se tard¿ en instalar y operaradecr-radamelrte l¿ máqlriqa. La arnortia¿ción dei prést*mo s€ ya...{

,..,

efrctuar en l8 pagos mensaales vencidos. Si la tesa de i¡rtere+es'de 19ó

mensual, calcule el valor del pago mensual y el total de intereses *i,a) hay servicio de intereses.,b]'1as:interese¡:seea¡t*llzan drranté d,p*o*o,de graci*.''.,üan ei,fin:,de eonstruii un,*diffcio destiflado a renta de oiicin¿s.d '

' señor. S{ueeds-, nlrtierre- sn' prestamo 'por ' $15ü CI0ü,ü00;,,q¡¡é, se '!Á.á.. &, ,:

'liquídar.mediante -108 pqges: nnrnsu*le* teneidos,,.dé*Fiós &, un pqriodo de gracia de un año y medio en el cual-lo's intereses serán ca-,pitolAáos..ealc*1e el paga'rae*ual'*b¡,endo que la tasa de int*r*, ,

,esdel69éeon'capitalírieisn**ouáf;'.,',,: :' ]i: : : :

Un rancho valuado en $S 800000 se r¡ende mediante un enganche de

$ l'm0,Om. : El. comprador'acuerda ¡,f*gar. cl iald¡',fte¡liane' iQ- pqgo$,

bimestrales iguales, el primero con r¡er¡cimientq en 6 r*e*es. Encuen-i.re,el.salor,d*l pago bitnest¡*1.,si 1a.t¿sá,de'int€dá es.de l:E$%,eáii-talizable cada bimestre.

Raimundo tieni: aetdalménle 15 ¿ños de e.dad,y esel beneffciária deua seguro devida'pqr $600000: Segun la¡:csndieicnes estipuladae en

, la poliá él diném ls, Íecibirá e* 6 pagos sernidtiales igr¡al¡i, el gimeiode e11,*s euando cumpla l8 años. Si el'dinero se encuentla invertido a

' lZYo capitalizable cada semestre, cal&rle el valor de1 pago'seme*tra1. : :

[1 millonaric señor Rosales acaba de t¿llecer y en su testamento se,es-

tipula que- . el .Cen tro. d e Inuesügacíonu Blffi gtnas' recibirá, despuesde transcurridos 2 años, l¿ cantid¿d de $500ü0O al inieio de crda eu¿-tlirnestre dur¿nte 2Oaflos. Si el dinero está invertido a 14.22% ¿nualcapitalizable cada 4 meses, halle el valor actu¿l de este legado.

El dia en que Marisela cumpla 15 años, su padre depositará una c¿n-tidad de dinero en üna irn¡ersión bancaria de tal ¡¡r¿ner4.que.elkrgcib¿,,.,$IO0O0S cada año, durantr 5 años consequtivtx:,,L*prirn*a:anu*J!dad la recibirá Marisela cuando cumpla 2l años, la segunda cuandotunrpla 22.años,ya*í,sücesi\¿afnente.,Si la,tasa de interes es de 11.5%

capitali¿¡blerc*da..año¡,c¿leutre la:santid*d de dinso que se deberáde.positar en la iuent¿;,. ,, , :. . ,.. .,, . ,, ' ,'. ,. .. " i .

.H,.Banealntsarner-ianrndeüe;ar"rolle,otc1gqá,h{6xícounp¡qstqg}apor

250,,rni11ones,de dóJares, p4r{.apoyar.ol rectgr,agrlspeg¡ariq' EI présta-mo será, a,, r¡n;plazo, de l0: *ño$,,fenr 4' de gracia' ¡Si'la:,t¿sa de interés

8.

9¡


, : , será de 6% ,anual capitalizable cada rnes en el periodo de gracia y de 8%

anual capitalizable cada mes el resto del tiempq encuentre el valor delpago mensual que amortice el capital.

10,,Res rehael prpblema anteriorsú$oniendo quedurantegl periodode gra-:

: 'cia la tasa de interés s€rá de 7% 'capitali?able cada sernestre, ¡t al:arnor-

tirar el capital" la ta$a de',inte¡és será de 7.5% capitalizabl€ cada rrle-s'

11. A Jorge le depositan en un banco que paga l0% capitalizable en formaquincenal lá caraidad de $500000, para que,'dbntió de S'añob, reciba

una rentavencid¿de $l|000 quincenales. Calquie el número depago-s

que recibirá Jorge.

12. El señor Ford deposito 100 000 dólares en un banco, estipulando que ai

cabo de lo añot,és1e errrpgzaríag,pagar!.f,,4rd:¡,a,.p1x,9. hgp49{e,t4009dólares imensuales. iDurante cuántos meses lecibir*,el'beñor Foid'esta

. .,, rentá? Elibanco atbna 8':5% a napitalizab,le g::::::::::::::::ada mes. ' ,

1'''si*t:i.r*t udorrn*ueoe i¿u .r¡Já*¿*r¿i ¡"13:.

:Esieban pidió prestados,$18000:a kblo y para saldar esta deuddcoi{r,I los i*tereses.correspondienteE cünvielle en qluerdéspués de transcu-'rrido un año pagará a Pablq ¿l final de cada mes, $916.60 durante 3

años. iCuáles la tasa de interés pagada por Esteban?

14. Un banco financió un equipo de bombeo mediante el pago de 32

abonos trimestrales vencidos de $11?O48'52 cada uno. Si el precio de

contado del e+ripo es de $ I 250 000 y se dio un periodo de graeia de unaño, Zcuálf*r"l"lar" de interés anu¿l nominal aplicada?

15. El valor de contado de una copiadora es de $ 12 000. Se puede comprar

a crédito mediante 6 pagos bimestrales de $2 810, el primero de los cua-

les debe realizarse 6 meses después de la compra. Calcule la tasa de in-terés anual nominal.

1ó. Obtenga el periodo de gracia otorgado al comprar una máquina, cuyo

precio de contado es de $473700, y que se liquidará mediante 9 pagos

bimestrales de $83193.61 cada uno. La tasa de interés es de 2.38%

;;;"i.;pit"1l"bl" cada 2-"r"r.

17. Por un depósito inmediato de $200 000, una compañia de segurot oft:ce pagaq, transcurridos 10 años, una renta de $ll 500 al final de cada

mes. Si la tasa de interés es de 13.4% capitalizable en forma mensual,

Zcuántos pagos va a efectuar la compañía?

18. Si se depositan hoy $100000 en una cuerita de inversiones que paga

I1.16% iapitalizable cada mes, pasado cierto tiempo se pueden efectuar

Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diféridas