dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 1
TOTOÁÁN CAO CN CAO CẤẤP A3P A3 Đ ĐẠẠI HI HỌỌC C PHÂN PHPHÂN PHỐỐI CHƯƠNG TRÌNHI CHƯƠNG TRÌNH
SSốố titiếết: 45t: 45----------
Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 2. Tích phân bội Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt Chương 4. Phương trình vi phân
Tài li ệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A3
– ĐHCN TP. HCM.2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều biến
(tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM.
Download Slide bDownload Slide b àài gii gi ảảng Tong To áán A3n A3 ĐH t ĐH tạạiidvntailieu.wordpress.comdvntailieu.wordpress.com
Biên soBiên so ạạn:n: ThS.ThS. Đo Đoààn Vương Nguyênn Vương Nguyên
3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – NXB Giáo dục.
4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) – NXB Giáo dục.
5. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2) – NXB ĐHQG Hà Nội.
6. Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2) – NXB Giáo dục.
7. James Stewart – Calculus concepts and contexts.
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
§1. KHÁI NI ỆM CƠ BẢN
1.1. Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các
đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký hiệu D∂ hay Γ. Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với biên ở vô cùng.
§1. Khái niệm cơ bản §2. Đạo hàm riêng – Vi phân §3. Khai tri ển Taylor của hàm hai biến số §4. Cực tr ị của hàm hai biến số
…………………………………………………………..
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• Miền phẳng D kể cả biên D∂ được gọi là miền đóng, miền phẳng D không kể biên D∂ là miền mở.
• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D .Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b).
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
b) Lân cận của một điểm
• Khoảng cách giữa 2 điểm 1 1 1( , )M x y ,
2 2 2( , )M x y là:
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2,d M M M M x x y y= = − + − .
• Hình tròn ( , )S M ε mở có tâm
( , )M x y , bán kính 0ε > được
gọi là một lân cận của điểm M . Nghĩa là:
2 20 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( )M x y S M x x y y∈ ε ⇔ − + − < ε.
M
ε•
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số ( , )f x y mà không nói gì
thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm2( , )M x y ∈ ℝ sao cho ( , )f x y có nghĩa.
c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập 2D ⊂ ℝ . Tương ứng :f D → ℝ cho tương ứng mỗi ( , )x y D∈
với một giá trị ( , )z f x y= ∈ ℝ duy nhất được gọi là
hàm số hai biến số ,x y . • Tập 2D ⊂ ℝ được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm
số ( , )f x y , ký hiệu là f
D . Miền giá trị của hàm ( , )f x y là:
( , ) ( , )f
G z f x y x y D= = ∈ ∈ℝ .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 2
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.
VD 1. • Hàm số 2( , ) 3 cosf x y x y xy= − có 2
fD = ℝ .
• Hàm số 2 24z x y= − − có MXĐ là hình tròn đóng tâm (0; 0)O , bán kính 2R = .
• Hàm số 2 2ln(4 )z x y= − − có MXĐ là hình tròn mở tâm (0; 0)O , bán kính 2R = .
• Hàm số ( , ) ln(2 3)z f x y x y= = + − có MXĐ là nửamp mở có biên : 2 3 0d x y+ − = , không chứa O .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số a) Điểm tụ • Trong mpOxy cho dãy điểm ( , ), 1, 2, ...
n n nM x y n =
Điểm 0 0 0( , )M x y được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu
mọi lân cận của 0
M đều chứa vô số phần tử của dãy.
• Điểm 0 0 0( , )M x y được gọi là điểm tụ của tập 2D ⊂ ℝ
nếu mọi lân cận của điểm 0
M đều chứa vô số điểm thuộc D .
b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) • Điểm
0 0 0( , )M x y được gọi là giới hạn của dãy điểm
( , ), 1, 2, ...n n n
M x y n = nếu 0 0 0( , )M x y là điểm tụ duy
nhất của dãy.
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• Hàm số ( , )f x y có giới hạn là L ∈ ±∞ℝ ∪ khi n
M
dần đến 0
M nếu lim ( , )n n
nf x y L
→∞= . Ký hiệu:
0 0 0 0
0
( , ) ( , )lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) .x x x y x y M My y
f x y f x y f M L→ → →→
= = =
VD 2. 2
2( , ) (1, 1)
2 3 1 3lim
23x y
x y x
xy→ −
− −=−
+.
VD 3. Tìm ( , ) (0,0)
lim ( , )x y
f x y→
, với 2 2
( , )xy
f x y
x y
=+
.
Ký hiệu là: 0
limn
nM M
→∞= hay
0n
nM M
→∞→ .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Vậy ( , ) (0,0)
lim ( , ) 0x y
f x y→
= .
Nhận xét • Nếu đặt
0 0cos , sinx x r y y r= + ϕ = + ϕ thì:
0 0( , ) ( , ) 0x y x y r→ ⇔ → .
VD 4. Tìm 2 2
2 2( , ) (0,0)
sin( )lim
x y
x y
x y→
+
+.
Giải. 00
2 2 20 ( , ) 0
xyxy xy
f x y x
x y y
→→
≤ = ≤ = →+
.
Giải. Đặt cos , sinx r y r= ϕ = ϕ , ta có:
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 5. Cho hàm số 2 2
2( , )
xyf x y
x y=
+.
Chứng tỏ rằng ( , ) (0,0)
lim ( , )x y
f x y→
không tồn tại.
Giải. Đặt cos , sinx r y r= ϕ = ϕ , ta có: 2
2( , ) (0,0) 0
sin 2lim ( , ) lim sin 2 .
x y r
rf x y
r→ →
ϕ= = ϕ
Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không duy nhất. Vậy
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
→ không tồn tại.
2 2 2
2 2 2( , ) (0,0) 0
sin( ) sinlim lim 1
x y r
x y r
x y r→ →
+= =
+.
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
c) Giới hạn lặp • Giới hạn theo từng biến khi
nM dần đến
0M của hàm số
( , )f x y được gọi là giới hạn lặp.
Khi 0
x x→ trước, 0
y y→ sau thì ta viết:
0 0
lim lim ( , )y y x x
f x y→ →
.
Khi 0
y y→ trước, 0
x x→ sau thì ta viết:
0 0
lim lim ( , )x x y y
f x y→ →
.
VD 6. Xét hàm số 2 2
2 2
sin sin( , )
x yf x y
x y
−=
+. Ta có:
2
20 0 0
sinlim lim ( , ) lim 1y x y
yf x y
y→ → →
−= =− ,
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 3
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• Định lý Trong 2
ℝ cho hình vuông H có 1 đỉnh là 0 0 0( , )M x y
và hàm số ( , )f x y xác định trong H .
Nếu tồn tại 0 0
( , ) ( , )lim ( , )
x y x yf x y L
→= ∈ ℝ và mỗi y Y∈
tồn tại 0
( ) lim ( , )x x
y f x y→
ϕ = ∈ ℝ thì:
0 0 0
lim lim ( , ) lim ( )y y x x y y
f x y y L→ → →
= ϕ = .
2
20 0 0
sinlim lim ( , ) lim 1x y x
xf x y
x→ → →= = .
Vậy 0 0 0 0
lim lim ( , ) lim lim ( , )y x x y
f x y f x y→ → → →
≠ .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Nhận xét • Nếu
0 0 0 0
lim lim ( , ) lim lim ( , )y y x x x x y y
f x y f x y→ → → →
≠ thì không tồn
tại 0 0
( , ) ( , )lim ( , )
x y x yf x y
→.
• Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại giới hạn bội và ngược lại.
1.3. Hàm số liên tục • Hàm số ( , )f x y liên tục tại 2
0 0 0( , )M x y D∈ ⊂ ℝ nếu
0 00 0
( , ) ( , )lim ( , ) ( , ).
x y x yf x y f x y
→=
• Hàm số ( , )f x y liên tục trên tập 2D ⊂ ℝ nếu nó liên tục
tại mọi điểm thuộc D .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 7. Xét sự liên tục của 2 2
2 2
sin sin( , )
x yf x y
x y
−=
+.
Giải. Với ( , ) (0, 0)x y ≠ thì hàm số ( , )f x y xác định nên
liên tục.
Tại (0, 0) thì ( , ) (0,0)
lim ( , )x y
f x y→
không tồn tại (VD 6).
Vậy hàm số ( , )f x y liên tục trên 2 \ (0, 0)ℝ .
Chú ý
Hàm số ( , )f x y liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó
đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D .
……………………………………………………………
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
§2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền mở 2D ⊂ ℝ
chứa điểm 0 0 0( , )M x y . Cố định
0y , nếu hàm số
0( , )f x y
có đạo hàm tại 0
x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng
theo biến x của hàm số ( , )f x y tại 0 0
( , )x y .
Ký hiệu: 0 0
( , )xf x y hay /
0 0( , )
xf x y hay
0 0( , ).
fx y
x
∂∂
Vậy 0
/ 0 0 00 0
0
( , ) ( , )( , ) lim .
xx x
f x y f x yf x y
x x→
−=
−
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại 0 0
( , )x y là:
0
/ 0 0 00 0
0
( , ) ( , )( , ) lim .
yy y
f x y f x yf x y
y y→
−=
−
Chú ý
• Nếu ( )f x là hàm số một biến x thì /x
f dff
x dx
∂= =∂
.
• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự.
VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: 4 3 2 3( , ) 3 2 3f x y x x y y xy= − + − tại ( 1; 2)− .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của cosx
zy
= tại ( ; 4)π .
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của 2
( , , ) sinx yf x y z e z= .
b) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số /( , )
xf x y , /( , )
yf x y
được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của ( , )f x y .
VD 2. Tính các đạo hàm riêng của 2
2 2
1ln
1
xz
x y
+=
+ +.
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 4
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Ký hiệu:
( )2
2//
2xx x xx
f ff f f
x x x
∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂,
( )2
2//
2yy yy y
f ff f f
y y y
∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂,
( )2
//xy xy x y
f ff f f
y x y x
∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ,
( )2
//yx yx y x
f ff f f
x y x y
∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂ ∂ .
• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 có định nghĩa tương tự.
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 6. Cho hàm số 5 4 4 5( , )f x y x y x y= + − .
Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm 3 2
(5) (1; 1)x yf − là:
A. 3 2
(5) (1; 1) 480x yf − = ; B.
3 2
(5) (1; 1) 480x yf − =− ;
C. 3 2
(5) (1; 1) 120x yf − = ; D.
3 2
(5) (1; 1) 120x yf − =− .
VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: 3 2 3 4( , ) yf x y x e x y y= + − tại ( 1; 1)− .
• Định lý Schwarz Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng // //,
xy yxf f liên
tục trong miền mở 2D ⊂ ℝ thì // //.xy yxf f=
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 7. Đạo hàm riêng 2 2
( ) ( 2)m n
m n
x y xz m−+ ≥ của 2x yz e −= là:
A. 2( 1) 2n m n x ye+ −− ; B. 2( 1) 2m m n x ye+ −− ;
C. 2( 1) 2m m x ye −− ; D. 2( 1) 2n m x ye −− .
2.2. Vi phân
2.2.1. Vi phân cấp 1 a) Số gia của hàm số • Cho hàm số ( , )f x y xác định trong lân cận
0( , )S M ε
của điểm 0 0 0( , )M x y . Cho x một số gia x∆ và y một
số gia y∆ , khi đó hàm ( , )f x y có tương ứng số gia:
0 0 0 0( , ) ( , ).f f x x y y f x y∆ = +∆ +∆ −
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
b) Định nghĩa • Nếu trong lân cận
0( , )S M ε với số gia x∆ , y∆ mà số
gia f∆ tương ứng có thể viết được dưới dạng:
( ) 2 2. . , ( ) ( )f A x B y O r r x y∆ = ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ ,
trong đó ,A B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm
0 0 0( , )M x y và hàm ( , )f x y , không phụ thuộc , x y∆ ∆
thì đại lượng . .A x B y∆ + ∆ được gọi là vi phân của hàm số ( , )f x y tại điểm
0 0 0( , )M x y .
• Khi đó, ( , )f x y được gọi là khả vi tại điểm 0 0 0( , )M x y .
Ký hiệu là: 0 0( , ) . . .df x y A x B y= ∆ + ∆
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốốNhận xét • Xét những điểm
0 0( , )M x x y y+ ∆ + ∆ dịch chuyển
trên đường đi qua 0
M song song Ox . Khi đó 0y∆ = :
0 0 0 0( , ) ( , ) . ( )f f x x y f x y A x O x∆ = + ∆ − = ∆ + ∆
/0 0
0lim ( , )
xx
fA A f x y
x∆ →
∆⇒ = ⇒ =
∆.
Tương tự, /0 0
0lim ( , )
yy
fB B f x y
y∆ →
∆= ⇒ =
∆.
Suy ra / /( , ) ( , ). ( , ).x y
df x y f x y x f x y y= ∆ + ∆ .
• Xét ( , ) ( , )f x y x df x y x dx x= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ .
Tương tự, dy y= ∆ . Vậy: / /( , ) ( , ) ( , ) .x y
df x y f x y dx f x y dy= +
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
c) Định lý • Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận
nào đó của 0 0
( , )x y và các đạo hàm riêng này liên tục
tại 0 0
( , )x y thì ( , )f x y khả vi tại 0 0
( , )x y .
VD 8. Cho hàm 2 5( , ) x yf x y x e y−= − . Tính (1; 1)df − .
VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm 2 2sin( )x yz e xy−= .
2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cấp 2 • Giả sử ( , )f x y là hàm khả vi với ,x y là các biến độc
lập. Các số gia ,dx x dy y= ∆ = ∆ tùy ý độc lập với
,x y nên được xem là hằng số đối với ,x y .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 5
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Chú ý • Nếu ,x y là các biến không độc lập (biến trung gian)
( , )x x= ϕ ψ , ( , )y y= ϕ ψ thì công thức trên không còn
đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp ,x y độc lập.
• Vi phân của ( , )df x y được gọi là vi phân cấp 2 của
( , )f x y . Ký hiệu và công thức:
( ) 2 2
2 2 22 .xyx y
d f d df f dx f dxdy f dy′′ ′′ ′′= = + +
VD 10. Cho hàm số 2 3 2 3 5( , ) 3f x y x y xy x y= + − .
Tính vi phân cấp hai 2(2; 1)df − .
VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm 2( , ) ln( )f x y xy= .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
b) Vi phân cấp n
( ) ( )1
0
.k n k
nnn n k k n k
n x yk
d f d d f C f dx dy−− −
=
= =∑
Trong đó 0
( ) ( )n n
n n
x y xf f= ,
0
( ) ( )n n
n n
x y yf f= ,
0n ndx dy dx= , 0 n ndx dy dy= .
VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm số 3 2( , )f x y x y= .
VD 13. Tính vi phân 3d z của hàm số 2 cos 3xz e y= .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp a) Hàm hợp với một biến độc lập • Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với ,x y và ,x y là những
hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của biến t là ( ) ( ( ), ( ))t f x t y tω = khả vi. Ta có:
/ /( ) .x y
dx dyt f f
dt dt′ω = +
VD 14. Tính ( )t′ω với hàm số 2( , )f x y x y= và 23 , sinx t t y t= − = .
Giải. / /( ) . .x y
dx dyt f f
dt dt′ω = +
2 / 2 / 22 (3 ) (sin ) 2 (6 1) cost t
xy t t x t xy t x t= − + = − + .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Tính trực tiếp như sau:
2 2( ) (3 ) sint t t tω = − 2 2 2( ) 2(3 )(6 1)sin (3 ) cost t t t t t t t′⇒ ω = − − + −
22 (6 1) cosxy t x t= − + .
VD 15. Cho 2 2 2( , ) ln( ), sinf x y x y y x= + = . Tính df
dx.
Giải / /
2 2 2 2 2 /ln( ) ln( ) (sin )x
x y
dfx y x y x
dx
= + + +
2 2 2 2 2 2
2 2 sin 2 2 2 sin 2x y x x y x
x y x y x y
+= + =
+ + +.
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
b) Hàm hợp với hai biến độc lập • Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với ,x y và ,x y là những
hàm khả vi đối với hai biến độc lập ,ϕ ψ. Khi đó, hàm
hợp của 2 biến ,ϕ ψ là ( , ) ( ( , ), ( , ))f x yω ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ
khả vi. Ta có: / / / / / / / / / /. . , . . .
x y x yf x f y f x f yϕ ϕ ϕ ψ ψ ψω = + ω = +
2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) • Hàm ( , )z x y xác định trên 2
zD ⊂ ℝ thỏa phương trình
( , , ( , )) 0, ( , )z
F x y z x y x y D D= ∀ ∈ ⊂ (*) được gọi là
hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*) .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: / / / / / /. 0, . 0x z x y z y
F F z F F z+ = + = .
Vậy ( )//
/ / /
/ /, 0 .
yxx y z
z z
FFz z F
F F= − =− ≠
VD 16. Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình:
cos( )xyz x y z= + + . Tính / /, x yz z .
VD 17. Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình mặt cầu: 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − = . Tính /
yz .
……………………………………………………
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 6
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
§3. KHAI TRI ỂN TAYLOR HÀM HAI BI ẾN 3.1. Công thức Taylor
Cho hàm số ( , )f x y có đạo hàm riêng đến cấp 1n +trong miền mở D chứa điểm
0 0 0( ; )M x y .
Giả sử 0 0
( ; )N x x y y D+∆ +∆ ∈ và MN D⊂ .
Đặt 0 0,dx x x x dy y y y= ∆ = − = ∆ = − .
Trong đó, 2 2
0 0( ) ( )x x y yρ = − + − .
Khai triển Taylor hàm ( , )f x y ở lân cận điểm 0
M là:
0 0
0
( ) ( )( , ) ( ) ... ( ).
1! !
n
ndf M d f M
f x y f M On
ρ= + + + +
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Khai tri ển Maclaurin
Trong đó, ,dx x dy y= = , 2 2x yρ = + .
Tại lân cận (0; 0)O , khai triển Maclaurin ( , )f x y là:
(0;0) (0;0)( , ) (0;0) ... ( ).
1! !
nndf d f
f x y f On
ρ= + + + +
Các khai triển Maclaurin hàm 1 biến cần nhớ
1) 211 ... ( )
1n nx x x O x
x= + + + + +
−.
2) 2
1 ... ( )1! 2! !
nx nx x x
e O xn
= + + + + + .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
3) 2 3 4
ln(1 ) ... ( )1 2 3 4
nx x x xx O x+ = − + − + + .
4) 2 4 6
cos 1 ... ( )2! 4 ! 6!
nx x xx O x= − + − + + .
5) 3 5 7
sin ... ( )1! 3! 5! 7 !
nx x x xx O x= − + − + + .
3.2. Các ví dụ
VD 1. Khai triển Taylor ở lân cận điểm (1; 1) của hàm số ( , ) xf x y y= đến số hạng bậc hai.
Giải. Ta có: • (1;1) 1f = ;
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• ( , ) ( , ) ( , )x y
df x y f x y dx f x y dy′ ′= +
1ln (1;1) 1x xy ydx xy dy df dy y−= + ⇒ = = − ;
• 2 2
2 2 2( , ) 2xyx y
d f x y f dx f dxdy f dy′′ ′′ ′′= + +
2 2 1 2 2ln 2 ( ln +1) ( 1)x x xy ydx y x y dxdy x x y dy− −= + + −
2 (1;1) 2 2( 1)( 1)d f dxdy x y⇒ = = − − .
Vậy 21 ( 1) ( 1)( 1) ( )xy y x y O ρ= + − + − − + , 2 2( 1) ( 1)x yρ = − + − .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 2. Khai triển Maclaurin của hàm số 2 2( , ) cos( )f x y x y= + đến số hạng bậc 4.
VD 3. Khai triển Maclaurin của hàm số 2
sinxz e y= đến số hạng bậc 5.
VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số 2
(1 )xz y= + đến số hạng bậc 6.
……………………………………………………………
VD 5. Cho hàm
3
1( , )x
yf x y e += . Tính vi phân 7 (0;0)d f ?
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 1. Hàm số 2 2
2 2 3( , )
2 4
y yf x y x y xy x
= + − = − +
2( , ) 0, ( , )f x y x y⇒ ≥ ∀ ∈ ℝ nên đạt cực tiểu tại (0; 0)O .
§4. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BI ẾN SỐ 4.1. Định nghĩa (cực trị địa phương) • Hàm số ( , )z f x y= đạt cực trị địa phương (gọi tắt là
cực trị) tại 0 0 0( , )M x y nếu với mọi điểm ( , )M x y khá
gần nhưng khác 0
M thì hiệu 0 0
( , ) ( , )f f x y f x y∆ = −
có dấu không đổi. • Nếu 0f∆ > thì
0 0( , )f x y được gọi là giá trị cực tiểu
và 0
M là điểm cực tiểu của ( , )z f x y= .
• Nếu 0f∆ < thì 0 0
( , )f x y được gọi là giá trị cực đại và
0M là điểm cực đại của ( , )z f x y= .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 7
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
b) Điều kiện đủ Giả sử ( , )z f x y= có điểm dừng là
0M và có đạo hàm
riêng cấp hai tại lân cận của điểm 0
M .
Đặt 2 2
// ////0 0 0
( ), ( ), ( )xyx y
A f M B f M C f M= = = .
4.2. ĐỊNH LÝ a) Điều kiện cần • Nếu hàm số ( , )z f x y= đạt cực trị tại
0 0 0( , )M x y và
tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:
0 0 0 0( , ) ( , ) 0.
x yf x y f x y′ ′= =
• Điểm 0 0 0( , )M x y thỏa
0 0 0 0( , ) ( , ) 0
x yf x y f x y′ ′= = được
gọi là điểm dừng, 0
M có thể không là điểm cực trị.
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố Khi đó:
• Nếu 2 0
( , )0
AC Bf x y
A
− > ⇒ > đạt cực tiểu tại
0M .
• Nếu 2 0
( , )0
AC Bf x y
A
− > ⇒ < đạt cực đại tại
0M .
• Nếu 2 0 ( , )AC B f x y− < ⇒ không đạt cực trị tại 0
M .
• Nếu 2 0AC B− = thì ta không thể kết luận.
4.3. Phân loại cực trị • Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường
cong ( )C . Chiếu S lên mpOxy ta được miền 2D ⊂ ℝ và đường cong phẳng ( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = (xem hình vẽ).
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
Khi đó, điểm 1
P S∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu
1M D∈ là
được gọi là điểm cực trị tự do của hàm ( , )f x y
xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( )γ ). Tương tự, điểm
2( )P C∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so
với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu
2( )M ∈ γ là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi
( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = của hàm ( , )f x y .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• Bước 1. Tìm điểm dừng 0 0 0( , )M x y bằng cách giải hệ:
/0 0
/0 0
( , ) 0
( , ) 0.
x
y
f x y
f x y
= =
• Bước 2. Tính 2
// //0 0 0 0
( , ), ( , )xyx
A f x y B f x y= = ,
2
// 20 0
( , )y
C f x y AC B= ⇒ ∆ = − .
• Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận.
4.4. Cực trị tự do Cho hàm số ( , )f x y xác định trên D .
Để tìm cực trị của ( , )f x y , ta thực hiện các bước sau:
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số (1 )z xy x y= − − .
VD 3. Tìm cực trị của hàm 2 2 4 2 8z x y x y= + + − + .
VD 4. Tìm cực trị của hàm số 3 3 3 2z x y xy= + − − .
VD 5. Tìm cực trị của 2 3 2 23 3 3 2z x y y x y= + − − + .
VD 6. Cho hàm số 50 20
( 0, 0)z xy x yx y
= + + > > .
Khẳng định đúng là: A. z đạt cực tiểu tại (2; 5)M và giá trị cực tiểu 39z = .
B. z đạt cực tiểu tại (5; 2)M và giá trị cực tiểu 30z = . C. z đạt cực đại tại (2; 5)M và giá trị cực đại 39z = .
D. z đạt cực đại tại (5; 2)M và giá trị cực đại 30z = .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
a) Phương pháp khử • Từ phương trình ( , ) 0x yϕ = ta rút x hoặc y thế vào
( , )f x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến.
4.5. Cực tr ị có điều kiện (cực trị vướng) • Cho hàm số ( , )f x y xác định trên lân cận của điểm
0 0 0( , )M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = .
Nếu tại điểm 0
M , hàm ( , )f x y đạt cực trị thì ta nói 0
M
là điểm cực trị có điều kiện của ( , )f x y với điều kiện
( , ) 0x yϕ = .
• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số ( , )f x y ta dùng
phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange.
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 8
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm 2z x y= thỏa điều kiện: 3 0x y− + = .
b) Phương pháp nhân tử Lagrange
Tại điểm cực trị ( , )x y của f , gọi //
/ /
yx
x y
ffλ = − =−
ϕ ϕ là
nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:
• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): ( , , ) ( , ) ( , ).L x y f x y x yλ = + λϕ
• Bước 2. Giải hệ: 0, 0, 0x y
L L Lλ′ ′ ′= = =
Suy ra điểm dừng 0 0 0( , )M x y ứng với
0λ .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:
Nếu 20
( ) 0d L M > thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại 0
M .
Nếu 20
( ) 0d L M < thì ( , )f x y đạt cực đại tại 0
M .
Nếu 20
( ) 0d L M = thì 0
M không là điểm cực trị.
• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại 0 0 0( , )M x y ứng với
0λ :
2 2
2 2 20
( ) 2 .xyx y
d L M L dx L dxdy L dy′′ ′′ ′′= + +
Các vi phân ,dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:
0 0 0 0 0 02 2
( , ) ( , ) ( , ) 0 (1)
( ) ( ) 0 (2).
x yd x y x y dx x y dy
dx dy
′ ′ ϕ = ϕ + ϕ = + >
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 11. Tìm cực trị của hàm số ( , ) 10 40f x y x y= + thỏa
điều kiện 20xy = và , 0x y > .
VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số ( , ) 2f x y x y= +
với điều kiện 2 2 5x y+ = .
VD 9. Tìm giá trị cực trị của hàm số 2 2z x y= + thỏa
điều kiện 2 2 3 4x y x y+ = + .
VD 10. Tìm điểm cực trị của hàm z xy= thỏa điều kiện: 2 2
18 2
x y+ = .
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
• Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do 1, ...,
nN N trong D
(chỉ cần tìm điểm dừng).
4.6. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục) Cho miền 2D ⊂ ℝ đóng có biên : ( , ) 0D x y∂ ϕ = và
( , )f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có
thể không khả vi tại m điểm 1, ...,
mM M ). Giả sử biên
D∂ trơn, nghĩa là hàm ϕ khả vi. Để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của f trên D , ta thực hiện các bước sau:
• Bước 2. Tìm các điểm cực trị 1, ...,
pP P trên biên D∂
thỏa điều kiện ( , ) 0x yϕ = (chỉ cần tìm điểm dừng).
Chương Chương 1. H1. Hààm sm s ốố nhinhi ềều biu bi ếến sn s ốố
VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2 2( , )f x y x y= + trong miền 2 2 3:
4D x x y− + ≤ .
• Bước 3. Giá trị max ( , ), min ( , )D D
f x y f x y tương ứng là
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau:
1( ), ..., ( )
mf M f M ,
1( ), ..., ( )
nf N f N ,
1( ), ..., ( )
pf P f P .
VD 13. Cho hàm số 2 2( , )f x y x y xy x y= + − + + . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( , )f x y trong miền
: 0, 0, 3D x y x y≤ ≤ + ≥− . VD 14. Tìm max, min của =sin +sin +sin( + )z x y x y
trong miền : 0 , 02 2
D x yπ π
≤ ≤ ≤ ≤ . ………………………………………………………
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii§1. Tích phân bội hai (tích phân kép) §2. Tích phân bội ba §3. Ứng dụng của tích phân bội
…………………………..
§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối tr ụ cong) • Xét hàm số ( , )z f x y=
liên tục, không âm và một mặt trụ có các đường sinh song song với Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mpOxy .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 9
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
• Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần
không dẫm lên nhau i
S∆ , 1;i n= . Diện tích mỗi phần
cũng ký hiệu là i
S∆ . Khi đó, khối trụ cong được chia
thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần i
S∆ ta lấy điểm
( ; )i i i
M x y tùy ý và thể tích V của khối trụ là:
1
( ; )n
i i ii
V f x y S=
≈ ∆∑ .
• Gọi max ( , ) ,i i
d d A B A B S= ∈ ∆ là đường kính của
iS∆ . Ta có:
max 01
lim ( ; ) .i
n
i i id
i
V f x y S→ =
= ∆∑
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
1.2. Tích phân bội hai a) Định nghĩa • Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền D đóng và bị
chặn trong mặt phẳng Oxy . Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm
lên nhau, diện tích mỗi phần là i
S∆ , 1;i n= .
Lấy n điểm tùy ý ( ; )i i i i
M x y S∈ ∆ , 1;i n= . Khi đó,
1
( ; )n
n i i ii
I f x y S=
= ∆∑ được gọi là tổng tích phân của
( , )f x y trên D (ứng với phân hoạch i
S∆ và các điểm
chọn i
M ).
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
• Nếu giới hạn max 0
1
lim ( , )i
n
i i id
i
I f x y S→ =
= ∆∑ tồn tại hữu
hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch i
S∆ và cách chọn
điểm i
M thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số ( , )f x y trên miền D .
Ký hiệu là: ( , )
D
I f x y dS= ∫∫ .
• Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox , Oy ta được .
i i iS x y∆ = ∆ ∆ hay dS dxdy= .
Vậy ( , ) ( , ) .
D D
I f x y dS f x y dxdy= =∫∫ ∫∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
• Nếu tồn tại tích phân ( , )
D
f x y dxdy∫∫ , ta nói hàm số
( , )f x y khả tích trên miền D ; ( , )f x y là hàm dưới dấu
tích phân; x và y là các biến tích phân. Nhận xét ( )
D
S D dxdy= ∫∫ (diện tích của miền D ).
Nếu ( , ) 0f x y > , liên tục trên D thì thể tích hình trụ có
các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi
các mặt 0z = , ( , )z f x y= là ( , )
D
V f x y dxdy= ∫∫ .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
b) Định lý Hàm ( , )f x y liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì
khả tích trong D .
1.3. Tính chất của tích phân bội hai Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại.
• Tính chất 1. ( , ) ( , )
D D
f x y dxdy f u v dudv=∫∫ ∫∫ .
• Tính chất 2
[ ( , ) ( , )]
D D D
f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy± = ±∫∫ ∫∫ ∫∫ ;
( , ) ( , ) ,
D D
kf x y dxdy k f x y dxdy k= ∈∫∫ ∫∫ ℝ.
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
• Tính chất 3 Nếu chia miền D thành
1 2,D D bởi đường cong có diện
tích bằng 0 thì:
1 2
( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫ .
1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1. Đưa về tích phân lặp a) Định lý (Fubini ) Giả sử tích phân ( , )
D
I f x y dxdy= ∫∫ tồn tại, trong đó
1 2( , ) : , ( ) ( )D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ ,
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 10
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
và với mỗi [ ; ]x a b∈ cố định, 2
1
( )
( )
( , )
y x
y x
f x y dy∫ tồn tại.
Khi đó: 2
1
( )
( )
( , ) .
y xb
a y x
I dx f x y dy= ∫ ∫
Tương tự, nếu miền D là:
1 2( , ) : ( ) ( ), D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤
thì 2
1
( )
( )
( , ) .
x yd
c x y
I dy f x y dx= ∫ ∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
Chú ý
1) Nếu miền D là hình chữ nhật, ( , ) : , [ ; ] [ ; ]D x y a x b c y d a b c d= ≤ ≤ ≤ ≤ = × thì:
( , ) ( , ) = ( , ) .
b d d b
D a c c a
f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx=∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2) Nếu 1 2
( , ) : , ( ) ( )D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và ( , ) ( ). ( )f x y u x v y= thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( ) .
y xb
D a y x
f x y dxdy u x dx v y dy=∫∫ ∫ ∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
3) Nếu 1 2
( , ) : ( ) ( ), D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤
và ( , ) ( ). ( )f x y u x v y= thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( ) .
x yd
D c x y
f x y dxdy v y dy u x dx=∫∫ ∫ ∫
4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền đơn giản.
VD 1. Cho ( , )
D
I f x y dxdy= ∫∫ . Xác định cận tích phân
lặp với miền D giới hạn bởi 0, 2 , 0y y x x a= = = > .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 2. Tính tích phân 26
D
I xy dxdy= ∫∫ .
Trong đó, [0; 2] [ 1; 1]D = × − .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 3. Tính tích phân (2 )
D
I x y dxdy= +∫∫ .
Trong đó, 1 , 2 0D y x y y= ≤ ≤ − − ≤ ≤ .
VD 4. Tính tích phân
D
I ydxdy= ∫∫ ,
trong đó miền D giới hạn bởi các đường
22,y x y x= + = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 5. Tính tích phân D
I ydxdy= ∫∫ , trong đó miền D
giới hạn bởi các đường 24, 2y x y x= − = .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 11
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
b) Đổi thứ tự lấy tích phân
2
1
( )
( )
( , )
y xb
a y x
I dx f x y dy= ∫ ∫2
1
( )
( )
( , )
x yd
c x y
I dy f x y dx= ∫ ∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 6. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: 23
1 0
( , )
y
I dy f x y dx= ∫ ∫ .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 7. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: 21 2
0
( , )
x
x
I dx f x y dy
−
= ∫ ∫ .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 8. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:
2 2
1 3 1
0 1
9 9
( , ) ( , )
x
x x
I dx f x y dy dx f x y dy= +∫ ∫ ∫ ∫ .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
1.4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN a) Công thức đổi biến tổng quát Giả sử ( , )x x u v= , ( , )y y u v= là hai hàm số có các đạo
hàm riêng liên tục trên miền đóng bị chặn uv
D trong
mpOuv . Gọi xy
D là miền xác định bởi:
( , ) : ( , ), ( , ), ( , ) xy uv
D x y x x u v y y u v u v D= = = ∈ .
Nếu hàm ( , )f x y khả tích trên xy
D và Jacobien
( , )0
( , )u v
u v
x xx yJ
y yu v
′ ′∂= = ≠′ ′∂
trong uv
D
thì ( , ) ( ( , ), ( , )). .
xy uvD D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv=∫∫ ∫∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
Chú ý. ( , ) 1 1
( , ) ( , )
( , )
u v
u v x y
x y
x xx yJ
y yu v u v u u
x y v v
′ ′∂= = = =
′ ′ ′ ′∂ ∂∂ ′ ′
.
VD 9. Tính 2 2( )
D
I x y dxdy= −∫∫ , với miền D là hình
chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng: 1, 3, 2, 5x y x y x y x y+ = + = − = − = .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 12
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 parapol: 2 2, 2 ,y x y x= = 2 2, 3x y x y= = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
b) Đổi biến trong tọa độ cực
Trong mpOxy , xét miền D . Vẽ 2 tia ,OA OB tiếp xúc với
miền D và
( ) ( ), , ,Ox OA Ox OB= α = β
.
Khi đó:
( )1 2
, .
OM OM OMM D
Ox OM
≤ ≤∈ ⇔ α ≤ ≤ β
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
Đặt cos
sin
x r
y r
= ϕ = ϕ với ( ), ,r OM Ox OM= ϕ =
.
Khi đó, miền D trở thành:
1 2( , ) : ( ) ( ),
rD r r r rϕ = ϕ ϕ ≤ ≤ ϕ α ≤ ϕ ≤ β .
Ta có cos sin( , )
sin cos( , )r
r
rx xx yJ r
y y rr
ϕ
ϕ
′ ′ ϕ − ϕ∂= = = =
′ ′ ϕ ϕ∂ ϕ.
Vậy: 2
1
( )
( )
( , ) ( cos , sin ). .
xy
r
D r
f x y dxdy d f r r rdr
ϕβ
α ϕ
= ϕ ϕ ϕ∫∫ ∫ ∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
Chú ý
1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của Dlà đường tròn hoặc elip.
2) Để tìm 1 2( ), ( )r rϕ ϕ ta thay cos , sinx r y r= ϕ = ϕ
vào phương trình của biên D .
3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biênD tại 1 điểm thì:
( )2
0 0
( cos , sin )
r
I d f r r rdr
ϕπ
= ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
4) Nếu cực O nằm trên biên của D thì: ( )
0
( cos , sin )
r
I d f r r rdr
ϕβ
α
= ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .
5) Nếu biên của D là elip 2 2
2 21
x y
a b+ = thì ta đặt:
cos , sinx ra y rb= ϕ = ϕ . Khi đó, D trở thành hình tròn:
( , ) : 0 2 , 0 1r
D r rϕ = ϕ ≤ ϕ ≤ π ≤ ≤ .
Ta có Jacobien J abr= và: 2 1
0 0
( cos , sin )I ab d f ra rb rdr
π
= ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 11. Hãy biểu diễn tích phân ( , )
D
I f x y dxdy= ∫∫
trong tọa độ cực. Biết miền D nằm ngoài đường tròn 2 2
1( ) : 2C x y x+ = và nằm trong 2 2
2( ) : 4C x y x+ = .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 13
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 12. Tính tích phân 2 2( )x y
D
I e dxdy− += ∫∫ , trong đó
D là hình tròn 2 2 2x y R+ ≤ .
VD 13. Tính tích phân 2 2
4
D
x yI dxdy
a b
= − − ∫∫ ,
D giới hạn bởi 2 elip nằm trong góc phần tư thứ nhất: 2 2 2 2
1 2( ) : 1, ( ) : 1
2 2
x y x yE E
a b a b
+ = + = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 14. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy ) giới hạn bởi:
y x=− , 0y = và 2 2 2 23 3x y x y x+ = + − .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
Công thức Walliss
1) 2 2
0 0
( 1)!!,
!!sin cos
( 1)!!. ,
2 !!
n n
nn
nxdx xdx
nn
n
π π −= = −π
∫ ∫leû
chaün.
Trong đó, !!n đọc là n Walliss, định nghĩa như sau:
0!! 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4;= = = = =
5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8;...= = = =
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
2) 0
( 1)!!2. ,
!!sin
( 1)!!. ,
!!
n
nn
nxdx
nn
n
π
−= −π
∫leû
chaün.
0
0,
( 1)!!cos. ,
!!
n
n
nxdxn
n
π −= π
∫leû
chaün.
3) 2 2
0 0
0,
( 1)!!sin cos2 . ,
!!
n n
n
nxdx xdxn
n
π π −= = π
∫ ∫leû
chaün.
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD. 2
2
0
1!!sin .
2 2!! 4xdx
π
π π= =∫ ,
25
0
4 !! 8cos
5!! 15xdx
π
= =∫ ,
5
0
cos 0xdx
π
=∫ , 6
0
5!! 15sin .
6!! 48xdx
ππ
= π =∫ ,
2
7
0
sin 0xdx
π
=∫ , 2
6
0
5!! 15cos 2 .
6!! 24xdx
ππ
= π =∫ .
………………………………………………………………………
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
§2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể) • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại điểm ( , , )P x y z là
( ) ( , , )P x y zρ ρ ρ= = .
• Ta chia V thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể
tích mỗi phần là i
V∆ , 1,i n= . Trong mỗi i
V∆ ta lấy
điểm ( , , )i i i i
P x y z và ký hiệu đường kính của i
V∆ là i
d .
Khi đó, khối lượng của V xấp xỉ: 1
( ).n
i ii
m P Vρ=
≈ ∆∑ .
• Vậy max 0
1
lim ( ).i
n
i idi
m P Vρ→
=
= ∆∑ (nếu giới hạn hữu hạn).
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 14
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
2.2. Định nghĩa tích phân bội ba • Cho hàm số ( , , )f x y z xác định trong miền đo được Vtrong không gian Oxyz . Chia miền V như bài toán
mở đầu và lập tổng tích phân 1
: ( , , )n
n i i i ii
I f x y z V=
= ∆∑ .
• Nếu max 0
1
lim ( , , )i
n
i i i id
i
I f x y z V→ =
= ∆∑ tồn tại hữu hạn,
không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm
iP thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của
hàm số ( , , )f x y z trên V .
Ký hiệu: ( , , ) .
V
I f x y z dxdydz= ∫∫∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
• Nếu tồn tại tích phân, ta nói ( , , )f x y z khả tích; ( , , )f x y z
là hàm dưới dấu tích phân; , ,x y z là các biến tích phân.
• Hàm số ( , , )f x y z liên tục trong miền V bị chặn và đóng thì khả tích trong V .
Nhận xét
Nếu 0f ≥ trên V thì ( , , )
V
I f x y z dxdydz= ∫∫∫ là khối
lượng vật thể V , với khối lượng riêng vật chất chiếm thể tích V là ( , , )f x y z .
Đặc biệt, nếu ( , , ) 1f x y z ≡ thì I là thể tích của V .
Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép.
Chương Chương 2. M2. Mộột st s ốố mmặặt bt b ậậc haic hai
MMẶẶT CT CẦẦUU
2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
Chương Chương 2. M2. Mộột st s ốố mmặặt bt b ậậc haic hai
MMẶẶT TRT TRỤỤ TRÒNTRÒN
2 2 2( ) ( )x a y b R− + − =
Chương Chương 2. M2. Mộột st s ốố mmặặt bt b ậậc haic hai
MMẶẶT TRT TRỤỤ ELIPELIP
2 2
2 21
x y
a b+ =
Chương Chương 2. M2. Mộột st s ốố mmặặt bt b ậậc haic hai
MMẶẶT TRT TRỤỤ PARABOLPARABOL
2y ax=
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 15
Chương Chương 2. M2. Mộột st s ốố mmặặt bt b ậậc haic hai
MMẶẶT NT NÓÓNN
2 2z x y= +
Chương Chương 2. M2. Mộột st s ốố mmặặt bt b ậậc haic hai
MMẶẶT PARABOLICT PARABOLIC
2 2z x y= +
Chương Chương 2. M2. Mộột st s ốố mmặặt bt b ậậc haic hai
MMẶẶT PARABOLICT PARABOLIC
2 2z a x y= − −
Chương Chương 2. M2. Mộột st s ốố mmặặt bt b ậậc haic hai
MMẶẶT ELIPSOIDT ELIPSOID
2 2 2
2 2 21
x y z
a b c+ + =
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
2.3.1. Đưa về tích phân lặp a) Chiếu miền V lên mpOxy Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt
2( , )z z x y= ,
giới hạn dưới bởi 1( , )z z x y= , giới hạn xung quanh bởi
mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz . Gọi
xyD là hình chiếu của V trên mpOxy .
Khi đó: 2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , ) .
xy
z x y
V D z x y
f x y z dxdydz dxdy f x y z dz=∫∫∫ ∫∫ ∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
Đặc biệt
• Nếu 1 2
( , ) : , ( ) ( )xy
D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) .
y x z x yb
V a y x z x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
• Nếu
1 2( , ) : ( ) ( ),
xyD x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) .
x y z x yd
V c x y z x y
f x y z dxdydz dy dx f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 16
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
b) Chiếu miền V lên mpOxz
Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy )bởi hai mặt
2( , )y y x z= và
1( , )y y x z= , giới hạn xung
quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy .
Gọi xz
D là hình chiếu của V trên mpOxz . Khi đó:
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , ) .
xz
y x z
V D y x z
f x y z dxdydz dxdz f x y z dy=∫∫∫ ∫∫ ∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
c) Chiếu miền V lên mpOyz Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox )bởi hai mặt
2( , )x x y z= và
1( , )x x y z= , giới hạn xung
quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox .
Gọi yz
D là hình chiếu của V trên mpOyz . Khi đó:
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , ) .
yz
x y z
V D x y z
f x y z dxdydz dydz f x y z dx=∫∫∫ ∫∫ ∫
Đặc biệt. Nếu miền [ ; ] [ ; ] [ ; ]V a b c d e f= × ×
thì ( , , ) ( , , ) .
fb d
V a c e
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 1. Tính tích phân 8
V
I xyzdxdydz= ∫∫∫ với miền V
là hình hộp chữ nhật [1; 2] [ 1; 3] [0; 2]V = × − × .
A. 12I = ; B. 24I = ; C. 48I = ; D. 96I = .
VD 2. Tính tích phân lặp
2
1 1 2
1 0
(1 2 )
x
I dx dy z dz
−
= +∫ ∫ ∫
và dựng miền lấy tích phân V .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 3. Tính tích phân V
I ydxdydz= ∫∫∫ với miền V
giới hạn bởi 1x y z+ + = và 3 mặt phẳng tọa độ.
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
2.3.2. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT Giả sử ( , , )x x u v w= , ( , , )y y u v w= , ( , , )z z u v w= có đạo hàm riêng liên tục trong miền
uvwV đóng bị chặn
trong không gian Ouvw .
Nếu Jacobien ( , , )
0( , , )
u v w
u v w
u v w
x x xx y z
J y y yu v w
z z z
′ ′ ′∂ ′ ′ ′= = ≠∂
′ ′ ′ thì
( , , )
( ( , , ), ( , , ), ( , , )). . .
uvw
V
V
f x y z dxdydz
f x u v w y u v w z u v w J dudvdw=
∫∫∫
∫∫∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 4. Tính tích phân ( )
V
I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với
: 2V x y z x y z x y z− + + + − + + + − ≤ .
VD 5. Tính thể tích của khối elipsoid
2 2 2
2
2 2 2:x y z
V Ra b c+ + ≤
( , , , 0)a b c R > .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 17
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ
Đặt
cos
sin
x r
y r
z z
= ϕ = ϕ =
, 0r ≥ ,
[0; 2 ]ϕ ∈ π hoặc [ ; ]ϕ ∈ −π π .
ϕ
Jacobien r z
r z
r z
x x x
J y y y r
z z z
ϕ
ϕ
ϕ
′ ′ ′
′ ′ ′= =′ ′ ′
.
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộiiKhi đó ta có:
( , , )
( cos , sin , ). . .
r z
V
V
f x y z dxdydz
f r r z r drd dz
ϕ
= ϕ ϕ ϕ
∫∫∫
∫∫∫
VD 6. Tính tích phân:
2 2
V
I z x y dxdydz= +∫∫∫ ,
với V là khối hình trụ giới hạn bởi:
2 2 2x y y+ = , 0z = và 1z = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 7. Tính 2 2 2( )
V
I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với V là
khối hình nón giới hạn bởi 2 2 2x y z+ = và 1z = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu
Đặt
sin cos ,
sin sin ,
cos ,
x r
y r
z r
= θ ϕ = θ ϕ = θ
0, [0; 2 ], [0; ]r ≥ ϕ ∈ π θ ∈ π
ϕ
θ
Jacobien ( , , )
( , , )
x y zJ
r
∂=∂ ϕ θ
2 sin .r
r
r
x x x
y y y r
z z z
ϕ θ
ϕ θ
ϕ θ
′ ′ ′′ ′ ′= = θ′ ′ ′
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộiiKhi đó ta có:
2( , , ) . sin . .
rV V
f x y z dxdydz f r drd d
ϕθ
= θ ϕ θ∫∫∫ ∫∫∫
Với ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos )f f x y z f r r r≡ = θ ϕ θ ϕ θ .
VD 8. Tính tích phân:
2 2 2
V
dxdydzI
x y z
=+ +
∫∫∫ .
Trong đó
V : 2 2 21 4x y z≤ + + ≤ .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 9. Tính tích phân 2 2( )
V
I x y dxdydz= +∫∫∫ với V
là miền giới hạn bởi: 2 2 2 4, 0x y z y+ + ≤ ≥ và 0z ≥ .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 18
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
……………………………………………………………
VD 10. Tính tích phân 2 2 2
V
I x y z dxdydz= + +∫∫∫ ,
trong đó V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 0x y z z+ + − ≤ .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN B ỘI
3.1. Tính thể tích V của vật thể
Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với Oz
và hình chiếu trên Oxy là D , hai đáy giới hạn bởi các mặt
1 2( , ) ( , )z f x y z f x y= ≤ = là:
2 1( , ) ( , ) .
D
V f x y f x y dxdy = − ∫∫
Thể tích của vật thể Ω là:
( ) .V dxdydz
Ω
Ω = ∫∫∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 1. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi
phần hình trụ 2 2 1x y+ = và hai mặt phẳng 5 0x y z+ + − = , 2z = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 2. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi
phần hình trụ 2 2 2 0x y y+ − = nằm trong
hình cầu 2 2 2 4x y z+ + = ứng với 0z ≥ .
V
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 3. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt: 2 2 4x y z+ = − , 2 2 2x y+ ≥ và 0z = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
3.2. Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng Giá trị trung bình của hàm ( , )f x y trên miền 2D ⊂ ℝ
đóng và bị chặn là: 1
( , ) .( )
D
f f x y dxdyS D
= ∫∫
Giá trị trung bình của hàm ( , , )f x y z trên miền 3Ω ⊂ ℝđóng và bị chặn là:
1( , , ) .
( )f f x y z dxdydz
VΩ
=Ω ∫∫∫
VD 4. Tính giá trị trung bình của ( , ) cosf x y x xy= trong hình chữ nhật :D 0 x≤ ≤ π, 0 1y≤ ≤ .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 19
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii VD 5. Tính giá trị trung bình của ( , , )f x y z xyz= trong
hình lập phương Ω = [0; 2]×[0; 2]×[0; 2].
3.3. Khối lượng m của vật thể Xét bản phẳng chiếm miền 2D ⊂ ℝ (đóng và bị chặn)
có khối lượng riêng (mật độ khối lượng hay tỉ khối) tại điểm ( , )M x y D∈ là hàm ( , )x yρ liên tục trên D .
Khi đó, khối lượng của bản phẳng là:
( , ) .D
m x y dxdyρ= ∫∫
VD 6. Tính khối lượng của bản phẳng chiếm miền D
giới hạn bởi 2 2 4x y+ ≤ , 0x ≥ và 0y ≥ . Biết tỉ khối phẳng là hàm ( , )x y xyρ = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
Xét vật thể chiếm miền 3V ⊂ ℝ (đóng và bị chặn) có khối lượng riêng là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V .
Khi đó, khối lượng của vật thể là:
( , , ) .V
m x y z dxdydzρ= ∫∫∫
VD 7. Tính khối lượng của vật thể chiếm miền V giới hạn bởi các mặt:
z x y= + , 1x y+ = và 3 mặt phẳng tọa độ. Biết khối lượng riêng là hàm ( , , )x y z xρ = .
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
3.4. Trọng tâm của vật thể Tọa độ trọng tâm G của bản phẳng D có khối lượng
riêng ( , )x yρ liên tục trên D là:
1 1( , ) , ( , ) .
G G
D D
x x x y dxdy y y x y dxdym m
ρ ρ= =∫∫ ∫∫
Tương tự, tọa độ trọng tâm G của vật thể V là: 1
( , , ) ,
1( , , ) ,
1( , , ) .
G
V
G
V
G
V
x x x y z dxdyzm
y y x y z dxdyzm
z z x y z dxdyzm
ρ
ρ
ρ
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Chương Chương 2. T2. Tíích phân bch phân b ộộii
VD 8. Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi 0, 0, 1x y x y≥ ≥ + ≤ . Biết ( , ) 2x y x yρ = + .
VD 9. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất V
giới hạn bởi 0z = , 2 22z x y= − − và 2 2 1x y+ = . Giải. Vật thể đồng chất nên ( , , )x y z kρ = ∈ ℝ .
• Ta có: V
m k dxdydz m kV= ⇒ =∫∫∫
1G
V V
kx xdxdyz xdxdyz
m V⇒ = =∫∫∫ ∫∫∫ .
…………………………………………………………..
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
§1. Tích phân đường loại 1 §2. Tích phân đường loại 2 §3. Tích phân mặt loại 1 §4. Tích phân mặt loại 2 ………………………………………………………
§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I
1.1. Định nghĩa
• Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương trình tham số ( ),x x t= ( )y y t= với [ ; ]t a b∈ và ( , )f x y
là hàm số xác định trên L.
Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các điểm chia ứng với
0 1...
na t t t b= < < < = .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
•
•
•
•
O x
y
0tx
1it
x− i
tx
nt
x
L• Gọi độ dài cung thứ i là
is∆ .
Trên cung thứ i lấy điểm ( ( ), ( ))
i i iM x t y t tùy ý.
isƥ
iM
Tổng 1
( )n
n i ii
I f M s=
= ∆∑
được gọi là tổng tích phân đường loại 1 của hàm số( , )f x y trên đường cong L .
• Giới hạn 0
1
lim ( )i
n
i imax s
i
f M s∆ → =
∆∑ tồn tại hữu hạn
được gọi là tích phân đường loại 1 của ( , )f x y trên L .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 20
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
được định nghĩa tương tự.
Nhận xét Tích phân đường loại 1 có tất cả các tính chất của tích
phân xác định.
Ký hiệu là ( , )
L
f x y ds∫ hay ( , )
L
f x y dl∫ .
• Tích phân đường loại 1 của hàm số ( , , )f x y z trên đường
cong L trong không gian, ký hiệu là ( , , )
L
f x y z ds∫ ,
Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của
cung AB , nghĩa là:
.
AB BA
fds fds=∫ ∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
1.2. Sự tồn tại tích phân đường loại 1 a) Khái niệm đường cong trơn Đường cong L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= được gọi là trơn nếu các đạo hàm ( )x t′ , ( )y t′ tồn tại và không
đồng thời bằng 0. Nói cách khác, đường cong L được gọi là trơn nếu tại mọi điểm M L∈ đều vẽ được tiếp tuyến với L .
b) Định lý
Nếu đường cong L trơn từng khúc (hay từng đoạn) và
hàm số f liên tục trên L thì tích phân L
fds∫ tồn tại.
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
1.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số • Nếu đường cong L trong mặt phẳng có phương trình
( )x x t= , ( )y y t= , với a t b≤ ≤ thì:
( ) ( )2 2( , ) ( ( ), ( )) .
b
t t
L a
f x y ds f x t y t x y dt′ ′= +∫ ∫
• Nếu đường cong L trong không gian có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= với a t b≤ ≤ thì:
( ) ( ) ( )2 2 2( , , ) . .
b
t t t
L a
f x y z ds f x y z dt′ ′ ′= + +∫ ∫
Trong đó, ( ( ), ( ), ( ))f f x t y t z t≡ .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 1. Tính tích phân L
I xds= ∫ .
Trong đó, L là cung tròn có phương trình tham số:
cosx t= , siny t= , 6 3
tπ π≤ ≤ .
VD 2. Tính tích phân ( )
L
I x y dl= −∫ . Trong đó, L là
đoạn thẳng nối điểm (0; 2)A và điểm ( 2; 3)B − − .
VD 3. Tính tích phân 2(1 2 )2
L
I x ydl= −∫ . Trong đó, L
là đoạn thẳng nối điểm (1; 3)A − và điểm (1; 7)B − .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 4. Tính tích phân (2 )
L
I xy z ds= +∫ . Trong đó, L là
đường xoắn ốc trụ tròn xoay có phương trình tham số: cosx a t= , siny a t= , z bt= , 0 2t≤ ≤ π.
VD 5*. Tính tích phân 2 41 4 4L
ydsI
x x
=+ −
∫ .
Trong đó, L là phần giao tuyến giữa 2 mặt: 2 22 2z x y= − − , 2z x=
và nằm trong góc phần 8 thứ nhất nối từ điểm (0; 1; 0)A
đến điểm (1; 0; 1)B .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
b) Đường cong L có phương trình tổng quát
• Nếu L có phương trình ( )y y x= với a x b≤ ≤ thì:
( )2( , ) ( , ( )). 1 .
b
x
L a
f x y ds f x y x y dx′= +∫ ∫
• Nếu L có phương trình ( )x x y= với a y b≤ ≤ thì:
( )2( , ) ( ( ), ). 1 .
b
y
L a
f x y ds f x y y x dy′= +∫ ∫
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 21
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
Đặc biệt • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a x b≤ ≤ thì:
( , ) ( , ) .
b
L a
f x y ds f x dx= α∫ ∫
• Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a y b≤ ≤ thì:
( , ) ( , ) .
b
L a
f x y ds f y dy= α∫ ∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 6. Tính tích phân ( )
L
I x y ds= +∫ với L là OAB∆
có các đỉnh (0; 0), (1; 0), (1; 2)O A B .
VD 7. Tính tích phân
2
2
81 92
81 8C
xI x ds
x
−=
−∫ .
Trong đó, C là cung
2
2 19
xy+ =
nằm trong góc phần tư thứ ba.
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
c) Đường cong L trong tọa độ cực
• Nếu phương trình của đường cong L được cho trong tọa độ cực ( )r r= ϕ với α ≤ ϕ ≤ β thì ta xem ϕ là tham số.
Khi đó, phương trình của L là:
( )cos ,x r= ϕ ϕ ( )sin ,y r= ϕ ϕ .α ≤ ϕ ≤ β
• Đặt ( ( )cos , ( )sin )f f r r≡ ϕ ϕ ϕ ϕ , ta có công thức:
( )22( , ) . .
L
f x y ds f r r d
β
ϕα
′= + ϕ∫ ∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 8. Tính tích phân 2 2
L
I x y ds= +∫ . Trong đó, L
là đường tròn có phương trình 2 2( ) : 4 0C x y y+ − = .
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
= =
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
1.4. Ứng dụng của tích phân đường loại 1 a) Tính độ dài của cung
VD 9. Tính độ dài l của cung 2
2
1: , 1; 3
ln 1
x tL t
y t t
= + ∈ = + +
.
Độ dài l của cung L là .
L
l ds= ∫
VD 10. Tính độ dài l của cung : (1 cos ), [0; ]L r a= + ϕ ϕ ∈ π .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
b) Tính khối lượng m và trọng tâm G của cung Nếu cung L có hàm mật độ khối lượng ρ phụ thuộc vào
điểm M L∈ thì khối lượng của cung là:
.L
m dsρ= ∫
VD 11. Tính độ dài cung tròn 2 2( ) : 2 0C x y x+ − = nối
từ điểm 3 3;
2 2A
đến
1 3;
2 2B −
và không đi qua O .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 22
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
Trọng tâm G của cung L ứng với ( , )x yρ ρ= là:
1 1( , ) , ( , ) .
G G
L L
x x x y ds y y x y dsm m
ρ ρ= =∫ ∫
Trọng tâm G của cung L ứng với ( , , )x y zρ ρ= là:
1 1 1, , .
G G G
L L L
x x ds y y ds z z dsm m m
ρ ρ ρ= = =∫ ∫ ∫
VD 12. Cho một dây thép có dạng nửa đường tròn trong mpOyz với phương trình 2 2 1y z+ = , 0z ≥ .
Biết hàm mật độ khối lượng ( , , ) 2x y z zρ = . Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép.
………………………………………………………………
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 2.1. Bài toán mở đầu
Tính công sinh ra do lực ( )F F M=
tác dụng lên chất điểm ( , )M x y di chuyển dọc theo đường cong L .
• Nếu L là đoạn thẳng AB thì công sinh ra là:
( ). cos ,W F AB F AB F AB= =
.
Chiếu ( )i
F M
, 1i i
A A−
lần lượt lên trục ,Ox Oy ta được:
• Nếu L là cung AB thì ta chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia
0 1, , ...,
nA A A A B= = . Trên mỗi cung
1i i
A A− ta lấy điểm ( , )i i i
M x y tùy ý.
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
( ) ( ). ( ).i i i
F M P M i Q M j= +
và 1
. .i i i i
A A x i y j− = ∆ +∆
.
Khi đó, công W sinh ra là:
11 1
( )n n
i i i ii i
W W F M A A−= =
≈ =∑ ∑
1
= ( ) ( ) .n
i i i ii
P M x Q M y=
∆ + ∆ ∑
Vậy 1
0 1
lim ( ) ( )i i
n
i i i imax A A i
W P M x Q M y
− → =
= ∆ + ∆ ∑ .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
2.2. Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ)
• Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y xác định trên đường
cong L . Chia L như bài toán mở đầu. Khi đó:
1
( ) ( )n
n i i i ii
I P M x Q M y=
= ∆ + ∆ ∑ được gọi là tổng tích
phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y trên L .
• Giới hạn 1
0
limi i
nmax A A
I
− → tồn tại hữu hạn được gọi là
tích phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y trên L .
Ký hiệu là: ( , ) ( , ) .
L
P x y dx Q x y dy+∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
• Định nghĩa tương tự trong không gian Oxyz :
( , , ) ( , , ) ( , , )
L
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz+ +∫ .
Nhận xét
Tích phân đường loại 2 có tất cả các tính chất như tích phân xác định.
Từ định nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết:
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
AB AB AB
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ = +∫ ∫ ∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
• Định lý Nếu hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y liên tục trong miền mở
chứa đường cong L trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y dọc theo L .
Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L . Do đó, khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối:
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
AB BA
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ =− +∫ ∫
Chú ý Nếu L là đường cong phẳng và kín lấy theo chiều dương
thì ta dùng ký hiệu: ( , ) ( , ) .
L
P x y dx Q x y dy+∫
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 23
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số Xét đường cong L chứa cung AB .
• Nếu L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= thì:
( ( ), ( )) ( ( ), ( )) .B
A
t
t t
tAB
Pdx Qdy P x t y t x Q x t y t y dt ′ ′+ = + ∫ ∫
• Nếu L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= thì:
( ). . . .B
A
t
t t t
tAB
Pdx Qdy Rdz P x Q y R z dt′ ′ ′+ + = + +∫ ∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
b) Đường cong L có phương trình tổng quát Xét đường cong L chứa cung AB .
• Nếu L có phương trình ( )y y x= thì:
( , ( )) ( , ( )). .B
A
x
x
xAB
Pdx Qdy P x y x Q x y x y dx ′+ = + ∫ ∫
• Nếu L có phương trình ( )x x y= thì:
( ( ), ). ( ( ), ) .B
A
y
y
yAB
Pdx Qdy P x y y x Q x y y dy ′+ = + ∫ ∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
Đặc biệt
• Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ thì:
( , ) ( , ) ( , ) .B
A
x
xAB
P x y dx Q x y dy P x dx+ = α∫ ∫
• Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ thì:
( , ) ( , ) ( , ) .B
A
y
yAB
P x y dx Q x y dy Q y dy+ = α∫ ∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 1. Tính tích phân AB
I dx xdy= +∫ . Trong đó AB có
phương trình 22 , 2 3x t y t= = − với (0; 2)A và (2; 5)B .
VD 2. Tính tích phân 2
L
I xdx dy= −∫ . Trong đó, L là
elip 2 2
2 21
x y
a b+ = lấy theo chiều dương.
VD 3. Tính tích phân ( ) ( )
L
I x y dx x y dy= − + +∫ , với
L là đường nối điểm (0; 0)O với điểm (1; 1)A trong các
trường hợp:
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
1) L là đường thẳng y x= ;
2) L là đường cong 2y x= .
VD 4. Tính tích phân
4
BA
I dx xydy= +∫ , với BA có
phương trình y x= và điểm (1; 1)A , (4; 2)B .
VD 5. Tính tích phân L
I dx ydy dz= − +∫ .
Trong đó, L là đường cong trong Oxyz có phương trình: cosx t= , siny t= , 2z t=
nối từ điểm (0; 1; )A π đến (1; 0; 0)B .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép) a) Xác định chiều trên biên của miền đa liên Đường cong L được gọi là
Jordan nếu nó không tự cắt.
Cho miền D là miền đa liên, liên thông, bị chặn có biên D∂ Jordan kín trơn từng
khúc. Chiều dương của D∂ là chiều
mà khi di chuyển dọc theo biên ta thấy miền D nằm về phía bên tay trái.
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 24
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
b) Công thức Green Cho miền D (xác định như mục a). Nếu ( , )P x y , ( , )Q x y và các đạo hàm riêng liên tục trên miền mở chứa D thì:
( )( , ) ( , ) .x y
D D
P x y dx Q x y dy Q P dxdy
∂
′ ′+ = −∫ ∫∫
Hệ quả
Diện tích của miền D được tính theo công thức:
21 1( ) ( ) ( ) .
2 2D D
S D xdy ydx hay S D r d
∂ ∂
= − = ϕ ϕ∫ ∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 6. Tính diện tích hình elip 2 2
2 21
x y
a b+ ≤ .
VD 7. Tính diện tích hình tròn 2 2 2 0x y y+ − ≤ .
VD 8. Tính tích phân: 2 2( arctan ) ( 2 )y
C
I x x y dx x xy y e dy−= + + + +∫ .
Trong đó, C là đường tròn 2 2 2 0x y y+ − = .
VD 9. Tính 2 2
L
xdy ydxI
x y
−=
+∫ trong các trường hợp:
1) L là đường cong kín không bao quanh gốc tọa độ O ; 2) L là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ O .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặttGiải
1) Do 2 2
yP
x y
−=
+,
2 2
xQ
x y=
+ và các đạo hàm riêng
liên tục trên 2 \ (0; 0)ℝ nên áp dụng Green, ta có:
( )2 20
x y
L D
xdy ydxI Q P dxdy
x y
− ′ ′= = − =+
∫ ∫∫ .
2) Hàm 2 2
yP
x y
−=
+ và
2 2
xQ
x y=
+ không liên tục tại
(0; 0)O nên ta không áp dụng được công thức Green.
Giả sử L có phương trình trong tọa độ cực là ( )r r= ϕ .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
Khi đó, phương trình tham số của L là: ( )cos , ( )sin , 0 2x r y r= ϕ ϕ = ϕ ϕ ≤ ϕ ≤ π.
Do cos sin
sin cosr
r
dx x dr x d dr r d
dy y dr y d dr r dϕ
ϕ
′ ′ = + ϕ = ϕ − ϕ ϕ ′ ′ = + ϕ = ϕ + ϕ ϕ nên:
2 2 2 2 2cos sinxdy ydx r d r d r d− = ϕ ϕ + ϕ ϕ = ϕ
2 2
L
xdy ydxI
x y
−⇒ =
+∫
2 2
20
2r d
r
πϕ
= = π∫ .
Cách khác
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
2.5. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân
a) Định lý Giả sử các hàm số ,P Q và các đạo hàm riêng cấp một
của chúng liên tục trong miền mở đơn liên D .
Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương:
1) , ( , )y x
P Q x y D′ ′= ∀ ∈ .
2) ( , ) ( , ) 0
L
P x y dx Q x y dy+ =∫ dọc theo mọi đường
cong kín L nằm trong D .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
3) Tích phân
( , ) ( , ) ,
AB
P x y dx Q x y dy AB D+ ⊂∫ , chỉ phụ
thuộc vào hai đầu mút ,A B mà không phụ thuộc vào
đường nối giữa A với B . 4) Biểu thức ( , ) ( , )P x y dx Q x y dy+ là vi phân toàn phần
của hàm ( , )u x y nào đó trong miền D . Nghĩa là: ( , ) : ( , ) ( , ) ( , )u x y du x y P x y dx Q x y dy∃ = + .
b) Hệ quả Nếu ( , ) ( , )P x y dx Q x y dy+ là vi phân toàn phần của hàm
( , )u x y nào đó trong miền mở đơn liên D thì:
( , ) ( , ) ( ) ( ).
AB
P x y dx Q x y dy u B u A+ = −∫
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 25
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 10. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối hai điểm ,A B ?
A.
3 4(4 2 ) ( 2 )
AB
I xy x dx y y x dy= + + + −∫ .
B.
3 4 2 2(4 2 1) ( 6 1)
AB
I xy x dx y x y dy= + − + + −∫ .
C.
3 4(4 2 ) ( 2 )
AB
I xy x dx y y x dy= + − + −∫ .
D.
3 4 2 2(4 2 1) ( 6 1)
AB
I xy x dx y x y dy= + − − + −∫ .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 11. Tính 2 2 2 2
L
x y x yI dx dy
x y x y
− += +
+ +∫ . Biết L là
đường trơn từng khúc nối điểm ( 1; 1)A − − và ( 2; 2)B − −nằm trong miền D không chứa gốc tọa độ O .
VD 13. Tính tích phân
(5; 12)
2 2(3; 4)
xdx ydyI
x y
+=
+∫ .
VD 12. Cho biết hàm ( , ) 2 1y xu x y xe ye x= − + + có vi
phân toàn phần: ( 2) ( )y x y xdu e ye dx xe e dy= − + + − .
Hãy tính
(1; 0)
(1; 1)
( 2) ( )y x y xI e ye dx xe e dy= − + + −∫ ?
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
Chú ý Giả sử hai hàm số ,P Q thỏa định lý. Khi tính tích phân
2 2
1 1
( ; )
( ; )
x y
x y
I Pdx Qdy= +∫ , người ta
thường tính theo đường gấp khúc song song với các trục tọa độ.
VD 14. Tính tích phân
(3; 2)
2(1; 1)
( 2 )
( )
x y dx ydyI
x y
+ +=
+∫ theo
một đường trơn từng khúc không cắt ( ) : 0d x y+ = . …………………………………………………………….
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
§3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 3.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( , , )f x y z xác định trên mặt S . Chia mặt S
một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ( 1, 2,..., )
iS i n∆ = . Trong mỗi
iS∆ ta
lấy điểm i
M và lập tổng tích phân 1
( )n
n i ii
I f M S=
= ∆∑ .
• Nếu giới hạn max ( ) 0
1
lim ( )i
n
i id S
i
I f M S∆ → =
= ∆∑ tồn tại hữu
hạn, không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm
iM thì số thực I được gọi là tích phân mặt loại 1
của hàm ( , , )f x y z trên S .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
Ký hiệu là: ( , , ) .
S
I f x y z dS= ∫∫
3.2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
a) Chiếu S lên mpOxy
Nếu S có phương trình ( , )z z x y= và S có hình chiếu trên mpOxy là D thì:
( ) ( )22( , , ( , )) 1 .
x y
D
I f x y z x y z z dxdy′ ′= + +∫∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
b) Chiếu S lên mpOxz Nếu S có phương trình ( , )y y x z= và S có hình chiếu
trên mpOxz là D thì:
( ) ( )2 2( , ( , ), ) 1 .
x z
D
I f x y x z z y y dxdz′ ′= + +∫∫
c) Chiếu S lên mpOyz Nếu S có phương trình ( , )x x y z= và S có hình chiếu
trên mpOyz là D thì:
( ) ( )2 2
( ( , ), , ) 1 .y z
D
I f x y z y z x x dydz′ ′= + +∫∫
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 26
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 2. Tính tích phân S
I zdS= ∫∫ , trong đó S là phần
mặt cầu 2 2 2 4x y z+ + = với 0x ≥ , 0y ≥ .
VD 1. Tính tích phân 2 2( )
S
I x y dS= +∫∫ .
Trong đó S là phần mặt nón 2 2 2z x y= + , 0 1z≤ ≤ .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 3. Tính tích phân S
I xyzdS= ∫∫ .
Trong đó S là 6 mặt của hình hộp chữ nhật 0 1x≤ ≤ , 0 2y≤ ≤ , 0 3z≤ ≤ .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
Diện tích mặt S là .
S
dS∫∫
Khối lượng của mặt S có hàm mật độ ( , , )x y zρ là
( , , ) .S
m x y z dSρ= ∫∫
Khi đó, tọa độ trọng tâm G của mặt S là: 1 1
( , , ) , ( , , ) ,
1( , , ) .
G G
S S
G
S
x x x y z dS y y x y z dSm m
z z x y z dSm
ρ ρ
ρ
= =
=
∫∫ ∫∫
∫∫
………………………………………………………………….
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
§4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
4.1. Các định nghĩa
4.1.1. Mặt định hướng
• Mặt trơn S được gọi là mặt định hướng nếu pháp vector đơn vị n
xác định tại mọi điểm M S∈ (có thể trừ biên
S ) biến đổi liên tục khi M chạy trên S .
S.M
n
• Mặt định hướng có hai phía, phía mà nếu đứng trên đó thì n hướng từ chân lên đầu là
phía dương, ngược lại là phía âm.
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
S.M
n
• Hướng của biên S là hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ ngọn của n
.
• Khi mặt S không kín, ta gọi phía trên là phía mà n
lập
với tia Oz góc nhọn, ngược là là phía dưới.
z
• Khi mặt S kín ta gọi phía trong và phía ngoài.
• Mặt trơn từng khúc S được gọi là định hướng được nếu hai phần trơn bất kỳ của S nối với nhau bởi đường biên C có định hướng ngược nhau.
n n
S
C
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
4.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2 • Cho hàm số ( , , )f x y z xác định trên mặt định hướng, trơn từng khúc S . Chia mặt S thành n phần không dẫm
lên nhau, diện tích mỗi phần là i
S∆ ( )1,i n= . Trong
mỗi i
S∆ ta lấy điểm i i
M S∈ ∆ tùy ý. Gọi i
D là hình
chiếu của i
S∆ lên Oxy kèm theo dấu dương nếu i
S∆ có định hướng trên, ngược lại là dấu âm.
• Lập tổng tích phân ( )1
( ).n
n i ii
I f M S D=
=∑ .
Nếu giới hạn max ( ) 0
limi
nd S
I I∆ →
= tồn tại hữu hạn, không
phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm i
M thì số
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 27
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
I được gọi là tích phân mặt loại 2 của ( , , )f x y z trên mặt định hướng S .
Ký hiệu ( , , ) .
S
f x y z dxdy∫∫
• Tương tự, khi chiếu S lần lượt lên Ozx và Oyz ta có:
( , , )
S
f x y z dzdx∫∫ và ( , , )
S
f x y z dydz∫∫ .
• Kết hợp cả 3 dạng trên ta được tích phân mặt loại 2 của các hàm ( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z trên mặt S :
( , , ) ( , , ) ( , , ) .
S
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy+ +∫∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
Chú ý
Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu.
Khi tính tích phân S
I Pdydz Qdzdx Rdxdy= + +∫∫ ,
người ta thường tách riêng thành 3 tích phân như sau:
.
S S S
I Pdydz Qdzdx Rdxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫
Nếu mặt S kín, hướng lấy tích phân ra phía ngoài S , thì tích phân được ký hiệu:
.
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy+ +∫∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 Cho mặt định hướng trơn từng khúc S . Gọi , , α β γ lần
lượt là góc hợp bởi n với các tia Ox , ,Oy Oz . Khi đó:
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy+ +∫∫
( cos cos cos )
S
P Q R dS= α + β+ γ∫∫ .
Trong đó: 2 2
1cos
1 ( ) ( )y z
x x
α =′ ′+ +
,
2 2
1cos
1 ( ) ( )x z
y y
β =′ ′+ +
, 2 2
1cos
1 ( ) ( )x yz z
γ =′ ′+ +
.
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt Đặc biệt: Nếu mặt S có pháp vector đơn vị ( ; ; )n a b c=
thì:
= ( . . . ) .S
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
P a Qb Rc dS
+ +
+ +
∫∫
∫∫
VD 1. Tính tích phân
S
I dydz dzdx dxdy= + +∫∫ .
Trong đó, S là tam giác giao của mặt phẳng 1x y z+ + = với 3 mặt phẳng tọa độ (lấy phía trên).
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
4.3. Phương pháp tính tích phân mặt loại 2 Nếu S có hình chiếu đơn trị (không trùng lắp) lên Oxy
là miền xy
D và có phương trình ( , )z z x y= thì:
( , , ) ( , , ( , )) .
xyS D
R x y z dxdy R x y z x y dxdy= ±∫∫ ∫∫
(dấu “+” hay “–” tùy thuộc vào S ở phía trên hay dưới).
Nếu S có hình chiếu đơn trị lên Oxz là miền xz
D và có
phương trình ( , )y y x z= thì:
( , , ) ( , ( , ), ) .
xzS D
Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx= ±∫∫ ∫∫
(dấu “+” khi S hướng về phía ngọn của tia Oy ).
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
Nếu S có hình chiếu đơn trị lên Oyz là miền yz
D và có
phương trình ( , )x x y z= thì:
( , , ) ( ( , ), , ) .
yzS D
P x y z dydz P x y z y z dydz= ±∫∫ ∫∫
(dấu “+” khi S hướng về phía ngọn của tia Ox ).
VD 2. Tính tích phân
S
I zdxdy= ∫∫ ,
với S là phía ngoài của
mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 28
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt 4.4. Công thức Stokes (mối liên hệ giữa tích phân đường và mặt loại 2)
Cho S là mặt định hướng, trơn từng khúc có biên S∂Jordan trơn từng khúc. Giả sử , ,P Q R là các hàm số
có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S . Khi đó:
( )( )
( ) .
y z
S S
z x
S
x y
S
Pdx Qdy Rdz R Q dydz
P R dzdx
Q P dxdy
∂
′ ′+ + = −
′ ′+ −
′ ′+ −
∫ ∫∫
∫∫
∫∫
(Hướng S∂ là hướng dương phù hợp với hướng của S ).
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
x
y
z
O
R
S
C
n
VD 3. Tính tích phân C
ydx zdy xdz+ +∫ . Trong đó C là
đường tròn giao của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = và mặt phẳng 0x y z+ + = , hướng tích phân trên C là hướng dương khi nhìn từ ngọn của tia Oz .
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 4. Tính 3 3 3
S
I x dydz y dzdx z dxdy= + +∫∫ , với S là
mặt phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = .
4.5. Công thức Gauss – Ostrogradski (mối liên hệ giữa tích phân mặt và bội ba) Cho V là một khối bị chặn với biên S kín, trơn từng
khúc hướng ra phía ngoài. Giả sử , ,P Q R là các hàm
có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V . Khi đó:
( ) .S
x y z
V
Pdydz Qdzdx Rdxdy
P Q R dxdydz
+ +
′ ′ ′= + +
∫∫
∫∫∫
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
4.6. Các ví dụ tr ắc nghiệm tích phân mặt loại 2
VD 5. Tính tích phân S
I dxdy= ∫∫ , với S là mặt dưới
của mặt 2
2 1, 29
yx z+ ≤ = .
A. 3I =− π. B. 3I = π. C. 9I =− π. D. 9I = π.
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 6. Tính S
I zdxdy= ∫∫ , với S là mặt trên của mặt
2z = được giới hạn bởi 1, 0, 0 1x y x y+ ≤ ≥ ≤ ≤ . A. 1I = ; B. 2I = ; C. 3I = ; D. 4I = .
VD 7. Tính tích phân
3 2
S
I xdxdy xdydz ydzdx= + −∫∫ ,
với S là mặt biên ngoài của elipsoid
2 2
2: 14 9
y zxΩ + + ≤ .
A. 144I = π; B. 32I = π; C. 8I = π; D. 36I = π.
x
y
z
O
1
2
3
Ω
Chương Chương 3. T3. Tíích phân đưch phân đườờng ng –– TTíích phân mch phân m ặặtt
VD 8. Tính 2
S
I xdydz zdzdx dxdy= + +∫∫ với S là
mặt ngoài của mặt cầu 2 2 2 2 0, 1x y z z z+ + − = ≤ .
A. 2
3I
π= − .
B. 2
3I
π= − .
C. 3
Iπ
= .
D. 3
Iπ
= − .
…………………………………………………………………
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 29
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân§1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân §2. Phương trình vi phân cấp 1 §3. Phương trình vi phân cấp cao
……………………………
§1. KHÁI NI ỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1. Bài toán mở đầu a) Bài toán 1 • Tìm phương trình đường cong ( ) : ( )C y f x= đi qua điểm (2; 3)M sao cho mọi
đoạn của tiếp tuyến với ( )C nằm giữa hai trục tọa độ đều bị tiếp điểm chia thành hai phần bằng nhau ?
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Nhận thấy hàm , C
y Cx
= ∈ ℝ thỏa (*).
Thay tọa độ của M vào C
yx
= ta được 6
yx
= .
b) Bài toán 2
Tìm vận tốc nhỏ nhất để khi phóng một vật theo phương thẳng đứng sao cho vật không rơi trở lại trái đất ? Chobiết lực cản của không khí là không đáng kể.
Giải. Giả sử ( , ) ( )I x y C∈ , hệ số góc tiếp tuyến tại I là:
( ) tan ( )PI PI y
y x y xPA OP x
′ ′= α = − =− ⇒ =− (*).
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Giải. Gọi khối lượng của trái đất và vật phóng là ,M m .
Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm của vật phónglà r , R là bán kính của trái đất.
Theo định luật hấp dẫn Newton, lực hút tác dụng lên vật
là 2
.Mm
f kr
= (k là hằng số hấp dẫn).
Phương trình chuyển động của vật là: 2 2
2 2 2 2. . .d r Mm d r M
m k kdt r dt r=− ⇔ =− (1).
Mặt khác 2
2.
d r dv dv dr dvv
dt dr dt drdt= = = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
2 2(1) .
dv M kMv k vdv drdr r r
⇔ =− ⇔ =−
2
12 2
kM v kMvdv dr C
rr⇒ =− ⇒ = +∫ ∫ (2).
Tại thời điểm 0t = thì r R= và 0
v v= nên: 2 220 0
1(2)
2 2 2
v vkM v kM kMC
R r R
⇒ = − ⇒ = + − (3).
Khi r →+∞ thì 2 20 02 2
v kM v
R− = ≥
0
2kMv
R⇒ ≥ .
Thay các giá trị , ,k M R ta được 0
11,2 /v km s≈ .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
• Cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó.
• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là: ( )( , , , ..., ) 0nF x y y y′ = (*).
Nếu từ (*) ta giải được theo ( )ny thì ptvp có dạng: ( ) ( 1)( , , , ..., )n ny f x y y y −′= .
1.2. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân (ptvp)
• Phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của một hoặcvài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
• Nghiệm của (*) trên khoảng D nào đó là hàm ( )y x= ϕxác định trên D sao cho khi thay ( )y x= ϕ vào (*) ta được đồng nhất thức trên D .
• Phương trình vi phân nếu có nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm sai khác nhau một hằng số C .
• Giải phương trình vi phân là đi tìm tất cả các nghiệmcủa phương trình vi phân đó.
• Đồ thị nghiệm ( )y x= ϕ của một phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân.
Chú ý • Nghiệm của một phương trình vi phân thường được
biểu diễn dưới dạng hàm ẩn.
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 30
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP I 2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng
tổng quát ( , , ) 0F x y y ′ = (*). Nếu từ (*) ta giải đượctheo y ′ thì (*) trở thành ( , )y f x y′ = .
• Nghiệm của (*) có dạng ( )y y x= chứa hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện
0 0( )y y x=
cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta được giá trị
0C cụ thể và nghiệm lúc này
được gọi là nghiệm riêng của (*).
• Nghiệm thu được trực tiếp từ (*) và không thỏa nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị của (*).
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Giải. Ta có: 2
02
xy x y x y C′ ′− = ⇔ = ⇒ = + (1).
Thế (2; 1)M vào (1) ta được 2
1 12
xC y= − ⇒ = − .
VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp 21y y′ = − .
VD 1. Tìm hàm ( )y y x= thỏa 0y x′ − = . Biết đường cong tích phân đi qua điểm (2; 1)M .
Giải. Với điều kiện 1 1y− ≤ ≤ , ta có:
2 21 1dy
y y ydx
′ = − ⇒ = −
21
dydx
y
⇒ =−
∫ ∫ , 1 1y− < < .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Nhận thấy 1y = ± thỏa ptvp nhưng không thỏa (2). Vậy 1y = ± là nghiệm kỳ dị.
Từ đây về sau, ta không xét đến nghiệm kỳ dị.
arcsin sin( )y x C y x C⇒ = + ⇒ = + (2).
VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong 2y Cx= .
Giải. Ta có:
2 2y Cx y Cx′= ⇒ = 2
2 2
y yC y x
x x
′ ′⇒ = ⇒ =
Vậy 2
, 0y
y xx
′ = ≠ .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:
( ) ( ) 0 (1).f x dx g y dy+ =
Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:
( ) ( ) .f x dx g y dy C+ =∫ ∫
VD 4. Giải phương trình vi phân 2 2
01 1
xdx ydy
x y+ =
+ +.
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
VD 6. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy+ + − − = .
VD 5. Giải phương trình vi phân ( 2)y xy y′ = + .
VD 7. Giải ptvp 2xy y y′ + = thỏa điều kiện 1
(1)2
y = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Chẳng hạn, hàm số:
( , )2 3
x yf x y
x y
−=
+ là đẳng cấp bậc 0,
24 3( , )
5
x xyf x y
x y
+=
− là đẳng cấp bậc 1,
2( , ) 3 2f x y x xy= − là đẳng cấp bậc 2.
2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến ( , )f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu
với mọi 0k > thì ( , ) ( , )nf kx ky k f x y= .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 31
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
b) Phương trình vi phân đẳng cấp
• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: ( , ) (2).y f x y′ =
Trong đó, ( , )f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0.
Phương pháp giải
Bước 1. Biến đổi (2)y
yx
′⇔ = ϕ .
Bước 2. Đặt y
u y u xux
′ ′= ⇒ = + .
Bước 3. (2) ( )( )
du dxu xu u
u u x′⇒ + = ϕ ⇒ =
ϕ −
( )( ) 0u u xϕ − ≠ ≠ (đây là ptvp có biến phân ly).
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
VD 8. Giải phương trình vi phân 2 2x xy y
yxy
− +′ = .
VD 9. Giải phương trình vi phân x y
yx y
+′ =−
với điều kiện đầu (1) 0y = .
VD 10. Giải phương trình vi phân:
ln lny y
xy y xx x
′ = + ( , 0)x y > .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y và các đạo hàm riêng
của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện , ( , )
x yQ P x y D′ ′= ∀ ∈ . Nếu tồn tại hàm ( , )u x y sao cho
( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy= + thì phương trình vi phân có dạng:
( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy+ =
được gọi là phương trình vi phân toàn phần.
• Nghiệm tổng quát của (3) là ( , )u x y C= .
Nhận xét ( , ) ( , ), ( , ) ( , )
x yu x y P x y u x y Q x y′ ′= = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Phương pháp giải
Bước 1. Từ (3) ta có x
u P′ = (3a) và y
u Q′ = (3b).
Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được:
( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C y= = ϕ +∫ (3c).
Trong đó, ( )C y là hàm theo biến y .
Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: ( )
y yu C y′ ′ ′= ϕ + (3d).
Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được ( )C y . Thay ( )C y vào (3c) ta được ( , )u x y .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
VD 11. Cho phương trình vi phân: 2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy+ + + + + = (*).
1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 2) Giải phương trình (*).
VD 12. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy+ − + + = .
VD 13. Giải phương trình vi phân:
[( 1) ] ( ) 0x y x yx y e e dx e xe dy+ + + + + = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
( ) ( ) (4).y p x y q x′ + =
• Khi ( ) 0q x = thì (4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)
Bước 1. Tìm biểu thức ( )
( )p x dx
A x e−∫= .
Bước 2. Tìm biểu thức ( )
( ) ( ).p x dx
B x q x e dx∫= ∫ .
Bước 3. Nghiệm tổng quát là ( ) ( )y A x B x C = + .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 32
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm
tổng quát của (4) dưới dạng: ( )
( ) .p x dx
y C x e−∫=
Nhận xét. ( ) ( )
( ) ( ). .( )
p x dx q xB x q x e dx dx
A x
∫= =∫ ∫
VD 14. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm
nghiệm tổng quát của 2 4 lny
y x xx
′ + = dưới dạng:
A. 2
( )C xy
x= ; B.
3
( )C xy
x= ;
C. ( )C x
yx
= ; D. ( )C x
yx
= − .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
VD 15. Giải phương trình vi phân 2 0y x y′ − =
thỏa điều kiện đầu 9
3xy e== − .
VD 16. Giải phương trình sincos xy y x e−′ + = .
VD 17. Giải phương trình 2 tan2 sin 4y y x x′ − = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
( ) ( ) (5).y p x y q x yα′ + =
• Khi 0α = hoặc 1α = thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi ( ) ( ) 1p x q x= = thì (5) là pt có biến phân ly.
Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) Bước 1. Với 0y ≠ , ta chia hai vế cho yα:
(5) ( ) ( )y y
p x q xy yα α
′⇒ + =
1( ) ( )y y p x y q x−α −α′⇒ + = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Bước 2. Đặt 1 (1 )z y z y y−α −α′ ′= ⇒ = −α , ta được: (5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x′⇒ + −α = −α (đây là phương trình tuyến tính cấp 1).
VD 18. Giải phương trình vi phân 2yy xy
x′ + =
với điều kiện đầu 1, 1x y= = .
VD 19. Giải phương trình vi phân 3 42y xy x y′ − = .
……………………………………………………………………
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP CAO 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng:
( ) (1).y f x′′ = Phương pháp giải
• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:
1( ) ( ) ( )y f x y f x dx x C′′ ′= ⇒ = = ϕ +∫
1 1 2
( ) ( )y x dx C x x C x C⇒ = ϕ + = ψ + +∫ .
VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x′′ = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
VD 2. Giải ptvp 2xy e′′ = với 7 3
(0) , (0)4 2
y y ′= − = .
3.1.2. Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng:
( , ) (2).y f x y′′ ′=
Phương pháp giải • Đặt z y ′= đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.
VD 3. Giải phương trình vi phân y
y xx
′′′ = − .
VD 4. Giải pt vi phân ( 1) 01
yy x x
x
′′′ − − − =
−
với điều kiện (2) 1, (2) 1y y ′= = − .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 33
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
3.1.3. Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng:
( , ) (3).y f y y′′ ′=
VD 5. Giải phương trình vi phân ( )22 1yy y′′ ′= + .
VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0y y y′′ ′+ − =
với điều kiện 1
(0) 0, (0)2
y y ′= = .
Phương pháp giải
• Đặt z y ′= ta có: .dz dz dy dz
y z zdx dy dx dy
′′ ′= = = = .
• Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly.
VD 7. Giải phương trình vi phân 2(1 ) 2( ) 0y y y′′ ′− + = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 3.2.1. Phương trình thuần nhất • Phương trình thuần nhất có dạng:
( )1 2 1 20, , (4).y a y a y a a′′ ′+ + = ∈ ℝ
Trường hợp 1 Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt
1 2, k k .
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2
1 2,
k x k xy e y e= =
và nghiệm tổng quát là 1 2
1 2.
k x k xy C e C e= +
Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): 2
1 20 (5).k a k a+ + =
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Trường hợp 2 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k .
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2
, kx kxy e y xe= =
và nghiệm tổng quát là 1 2.kx kxy C e C xe= +
Trường hợp 3 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp
k i= α ± β. Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:
1 2cos , sinx xy e x y e xα α= β = β
và nghiệm tổng quát là:
( )1 2cos sin .xy e C x C xα= β + β
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
VD 8. Giải phương trình vi phân 2 3 0y y y′′ ′+ − = .
VD 9. Giải phương trình vi phân 6 9 0y y y′′ ′− + = .
VD 10. Giải phương trình vi phân 16 0y y′′ + = .
VD 11. Giải phương trình vi phân 2 7 0y y y′′ ′+ + = .
VD 12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0y y y′′ ′− + = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
3.2.2. Phương trình không thuần nhất
• Phương trình không thuần nhất có dạng:
( )1 2 1 2( ), , (6).y a y a y f x a a′′ ′+ + = ∈ ℝ
a) Phương pháp giải tổng quát
• Nếu (4) có hai nghiệm riêng 1 2( ), ( )y x y x thì (6) có
nghiệm tổng quát là 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).y C x y x C x y x= +
• Để tìm 1( )C x và
2( )C x , ta giải hệ Wronsky:
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
C x y x C x y x
C x y x C x y x f x
′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + =
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
VD 13. Giải phương trình vi phân 2y y y x′′ ′− + = (a).
Giải. Xét phương trình thuần nhất: 2 0y y y′′ ′− + = (b).
Ta có: 2 2 1 0 1k k k− + = ⇔ =
1 2,x xy e y xe⇒ = = là 2 nghiệm riêng của (b).
Suy ra, nghiệm tổng quát của (a) có dạng:
1 2( ). ( ).x xy C x e C x xe= + .
Ta có hệ Wronsky:
1 2
1 2
. ( ) . ( ) 0
. ( ) ( 1) . ( )
x x
x x
e C x xe C x
e C x x e C x x
′ ′+ = ′ ′+ + =
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 34
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Giải hệ bằng định thức Crammer, ta được: 2
1
2
( )
( )
x
x
C x x e
C x xe
−
−
′ = − ′ =
2
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( 2 2)
( ) ( ) ( 1) .
x
x
C x C x dx e x x C
C x C x dx e x C
−
−
′= = + + +⇒ ′= = − + +
∫∫
Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:
1 2
2x xy C e C xe x= + + + .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT Phương pháp cộng nghiệm
• Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).
VD 14. Cho phương trình vi phân: 22 2 (2 ) xy y y x e′′ ′− + = + (*).
1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là 2 xy x e= . 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*).
VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 sin 2 4 cos2y y x x′′ ′+ = + ,
biết 1 nghiệm riêng là cos2y x= − .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình
1 2 1 2( ) ( ) (7)y a y a y f x f x′′ ′+ + = + .
Nếu 1( )y x và
2( )y x lần lượt là nghiệm riêng của
1 2 1( )y a y a y f x′′ ′+ + = ,
1 2 2( )y a y a y f x′′ ′+ + =
thì nghiệm riêng của (7) là:
1 2( ) ( ).y y x y x= +
VD 16. Tìm nghiệm tổng quát của 22cosy y x′′ ′− = (*). Cho biết 1y y′′ ′− = và cos2y y x′′ ′− = lần lượt có
nghiệm riêng 1
y x=− , 2
2 1cos2 sin 2
10 10y x x=− − .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
Xét phương trình 1 2
( ) (6)y a y a y f x′′ ′+ + =
và 1 2
0 (4).y a y a y′′ ′+ + =
• Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) ( ( )
nP x là đa thức bậc n ).
Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng:
. ( )m x
ny x e Q xα=
( ( )n
Q x là đa thức đầy đủ bậc n ).
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Bước 2. Xác định m : 1) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng
của (4) thì 0m = . 2) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
của (4) thì 1m = . 3) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng
của (4) thì 2m = .
Bước 3. Thế . ( )m x
ny x e Q xα= vào (6) và đồng nhất thức
ta được nghiệm riêng cần tìm.
VD 17. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 3 22 3 ( 1)xy y y e x′′ ′− − = + .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Giải. Ta có 3 2( ) ( 1)xf x e x= + , 2
23, ( ) 1P x xα = = + .
Suy ra nghiệm riêng có dạng: 3 2( )m xy x e Ax Bx C= + + .
Do 3α = là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 2 3 0k k− − = nên 1m = .
Suy ra nghiệm riêng có dạng 3 2( )xy xe Ax Bx C= + + .
Thế 3 2( )xy xe Ax Bx C= + + vào phương trình đã cho,
đồng nhất thức ta được:
1 1 9, ,
12 16 32A B C= = − = .
dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010
Toán cao cấp A3 Đại học 35
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Vậy nghiệm riêng là 3 21 1 9
12 16 32xy xe x x = − +
.
• Trường hợp 2 f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx]
( ( )n
P x là đa thức bậc n , ( )m
Q x là đa thức bậc m ).
Bước 1. Nghiệm riêng có dạng: [ ( )cos ( )sin ]s x
k ky x e R x x H x xα β β= +
( ( ), ( )k k
R x H x là đa thức đầy đủ bậc max , k n m= ).
VD 18. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:
2 2x xy y y xe e−′′ ′+ + = + .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Bước 2. Xác định s : 1) Nếu iα β± không là nghiệm của phương trình đặc
trưng của (4) thì 0s = . 2) Nếu iα β± là nghiệm của phương trình đặc trưng
của (4) thì 1s = . Bước 3. Thế [ ( )cos ( )sin ]s x
k ky x e R x x H x xα β β= +
vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng.
VD 19. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:
2 3 cos 3 sinx xy y y e x xe x′′ ′+ − = + .
Giải. Ta có ( ) (cos 3 sin )xf x e x x x= +
1, 1, 0, 1, 1n m kα β⇒ = = = = = .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Suy ra nghiệm riêng có dạng:
[( )cos ( )sin ]s xy x e Ax B x Cx D x= + + + .
Do 1i iα β± = ± không là nghiệm của phương trình
đặc trưng 2 2 3 0k k+ − = nên 0s = . Vậy dạng nghiệm riêng là:
[( )cos ( )sin ]xy e Ax B x Cx D x= + + + .
Giải. Ta có 1, 1, 2kα β= = = .
1 i± là nghiệm của 2 2 2 0 1k k s− + = ⇒ = .
VD 20. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 22 2 [( 1)cos sin ]xy y y e x x x x′′ ′− + = + + .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
Vậy dạng nghiệm riêng cần tìm là: 2 2[( )cos ( )sin ]xy xe Ax Bx C x Dx Ex F x= + + + + + .
VD 21. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 3 siny y x′′ + = (*).
3.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP CAO tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng • Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n có dạng:
( ) ( 1) ( 2)1 2 1
+ + +...+ + 0 (8).n n n
n ny a y a y a y a y− −
−′ =
Trong đó, , 1,2,...,i
a i n∈ =ℝ .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
• Định lý Nếu phương trình đặc trưng của (8)
1 21 2 1
... 0n n n
n nk a k a k a k a− −
−+ + + + + =
có n nghiệm thực đơn 1 2 1, , ..., ,
n nk k k k−
thì phương trình (8) có n nghiệm riêng 1 2 1
1 2 1, , ..., , n n
k x k x k x k x
n ny e y e y e y e−
−= = = =
và nghiệm tổng quát là:
1 2 1
1 2 1... .n n
k x k x k x k x
n ny C e C e C e C e−
−= + + + +
Trong đó, , 1,2,...,i
C i n∈ =ℝ .
Chương Chương 4. 4. Phương trPhương tr ìình vi phânnh vi phân
VD 22. Giải phương trình 2 2 0y y y y′′′ ′′ ′− − + = .
Giải. Phương trình đặc trưng: 3 22 2 0 1, 2k k k k k− − + = ⇔ = ± = .
Vậy phương trình có 3 nghiệm riêng: 2
1 2 3, , x x xy e y e y e−= = =
và nghiệm tổng quát là 21 2 3
x x xy C e C e C e−= + + .
VD 23. Giải phương trình vi phân (4) 5 4 0y y y′′− + = .
………………Hết………………