Download pdf - Aplicações de recursividade - ime.usp.brslago/pl-08.pdf · Aplicações de recursividade Nesta aula, veremos algumas aplicações de recursividade em: Ordenação de dados Ordenação

Aplicações de recursividade

Prof. Dr. Silvio do Lago PereiraDepartamento de Tecnologia da Informação

Faculdade de Tecnologia de São Paulo

Aplicações de recursividade

Nesta aula, veremos algumas

aplicações de recursividade em:

Ordenação de dados

Ordenação topológica

Árvores de busca binária

72 51 65 88 90 46 29 15 37

72 65 90 29 37 51 88 46 15

72 90 37 65 29 51 46 88 15

72 37 90 65 29 51 46 88 15

72 37

37 72

46 51 15 88

72 37

90 65 29 51 46 88 15

29 6537 72 90

lg n

n

Prof. Dr. Silvio do Lago Pereira – DTI / FATEC-SP 2

Código de Huffman46 51 15 88

15 46 51 88

15 29 37 46 51 65 72 88 90

29 6537 72 90

29 37 65 72 90

1 2 3

4 5 6

7 8 9

62

1 3 5 7

4

1

DDDD

1

EEEE

1

LLLL

1

RRRR

2

MMMM

3

AAAA

2 2 5

4

90

0

0 0 0

1

1

1 11

Ordenação de dados

ordenação por geração e testeordenação por trocas

ordenação por inserçãoordenação por intercalação

ordenação por partição

Ordenação por geração e teste (permutation sort)

A operação de geração (ou permutação)A operação de geração (ou permutação)

Constrói uma permutação PPPP de uma lista LLLL.Constrói uma permutação PPPP de uma lista LLLL.

A operação de testeA operação de teste

Verifica se uma permutação PPPP está ordenada.Verifica se uma permutação PPPP está ordenada.


Para ordenar LLLL por tentativa e erro:

Gere uma permutação PPPP de LLLL.

Teste se PPPP está ordenada.

Complexidade de tempo: O(n.n!)

Muito ineficiente para ser usada em aplicações práticas!

3 1 2L :

3 1 2P1 :

3 2 1

1 3 2

1 2 3

P2 :

P3 :

P4 :

Ordenação por geração e teste: implementação

Exemplo 1. Ordenação por geração e testeExemplo 1. Ordenação por geração e teste

pspspsps(L,P) :(L,P) :(L,P) :(L,P) :---- permuta(L,P), ordenada(P).permuta(L,P), ordenada(P).permuta(L,P), ordenada(P).permuta(L,P), ordenada(P).

permutapermutapermutapermuta([],[]).([],[]).([],[]).([],[]).

permutapermutapermutapermuta(L,[(L,[(L,[(L,[X|PX|PX|PX|P]) :]) :]) :]) :---- exclui(X,L,R), permuta(R,P).exclui(X,L,R), permuta(R,P).exclui(X,L,R), permuta(R,P).exclui(X,L,R), permuta(R,P).

excluiexcluiexcluiexclui(X,L,R) :(X,L,R) :(X,L,R) :(X,L,R) :---- concatena(A,[concatena(A,[concatena(A,[concatena(A,[X|BX|BX|BX|B],L), concatena(A,B,R).],L), concatena(A,B,R).],L), concatena(A,B,R).],L), concatena(A,B,R).

concatenaconcatenaconcatenaconcatena([],B,B).([],B,B).([],B,B).([],B,B).

pspspsps(L,P) :(L,P) :(L,P) :(L,P) :---- permuta(L,P), ordenada(P).permuta(L,P), ordenada(P).permuta(L,P), ordenada(P).permuta(L,P), ordenada(P).

permutapermutapermutapermuta([],[]).([],[]).([],[]).([],[]).

permutapermutapermutapermuta(L,[(L,[(L,[(L,[X|PX|PX|PX|P]) :]) :]) :]) :---- exclui(X,L,R), permuta(R,P).exclui(X,L,R), permuta(R,P).exclui(X,L,R), permuta(R,P).exclui(X,L,R), permuta(R,P).

excluiexcluiexcluiexclui(X,L,R) :(X,L,R) :(X,L,R) :(X,L,R) :---- concatena(A,[concatena(A,[concatena(A,[concatena(A,[X|BX|BX|BX|B],L), concatena(A,B,R).],L), concatena(A,B,R).],L), concatena(A,B,R).],L), concatena(A,B,R).




concatenaconcatenaconcatenaconcatena([([([([X|AX|AX|AX|A],B,[],B,[],B,[],B,[X|CX|CX|CX|C]) :]) :]) :]) :---- concatena(A,B,C).concatena(A,B,C).concatena(A,B,C).concatena(A,B,C).

ordenadaordenadaordenadaordenada([]).([]).([]).([]).

ordenadaordenadaordenadaordenada([_]).([_]).([_]).([_]).

ordenadaordenadaordenadaordenada([X,([X,([X,([X,Y|RY|RY|RY|R]) :]) :]) :]) :---- X=<Y, ordenada([X=<Y, ordenada([X=<Y, ordenada([X=<Y, ordenada([Y|RY|RY|RY|R]). ]). ]). ]).



ordenadaordenadaordenadaordenada([]).([]).([]).([]).

ordenadaordenadaordenadaordenada([_]).([_]).([_]).([_]).

ordenadaordenadaordenadaordenada([X,([X,([X,([X,Y|RY|RY|RY|R]) :]) :]) :]) :---- X=<Y, ordenada([X=<Y, ordenada([X=<Y, ordenada([X=<Y, ordenada([Y|RY|RY|RY|R]). ]). ]). ]).

Exercício 1. Ordenação por geração e testeExercício 1. Ordenação por geração e teste

Digite e teste os predicados definidos no Exemplo 1.Digite e teste os predicados definidos no Exemplo 1.

Ordenação por trocas (bubble sort)

A operação de trocaA operação de troca

Troca as posições de dois elementos consecutivos que estejam fora de ordem.Troca as posições de dois elementos consecutivos que estejam fora de ordem.

Para ordenar recursivamente uma lista LLLL usando trocas:

Encontre um par de elementos 46 51 39 17 25L :


Encontre um par de elementos consecutivos XXXX e YYYY em LLLL que estejam fora de ordem.

Construa uma nova lista NNNN, idêntica a LLLL, exceto pelo fato de que em NNNN o elemento YYYY ocorre antes de XXXX.

Ordene recursivamente a lista NNNN, obtendo a lista ordenada LoLoLoLo.

46 51 39 17 25

46 39 51 17 25

17 25 39 46 51

toque

ordene

N :

Lo :

Ordenação por trocas: funcionamento/complexidade

46 17 51 39 25

17 46 51 39 25

toque

17 46 39 51 25

toque

toque


17 39 46 51 25

17 39 46 25 51

toque

17 39 25 46 51

toque

17 25 39 46 51

toque

O(n2)

Ordenação por trocas: implementação

Exemplo 2. Ordenação por trocasExemplo 2. Ordenação por trocas

bsbsbsbs(L,(L,(L,(L,LoLoLoLo) :) :) :) :----

concatena(A,[X,concatena(A,[X,concatena(A,[X,concatena(A,[X,Y|BY|BY|BY|B],L),],L),],L),],L),

X>Y, !,X>Y, !,X>Y, !,X>Y, !,

concatena(A,[Y,concatena(A,[Y,concatena(A,[Y,concatena(A,[Y,X|BX|BX|BX|B],N),],N),],N),],N),

bsbsbsbs(N,(N,(N,(N,LoLoLoLo).).).).

bsbsbsbs(L,L).(L,L).(L,L).(L,L).

bsbsbsbs(L,(L,(L,(L,LoLoLoLo) :) :) :) :----

concatena(A,[X,concatena(A,[X,concatena(A,[X,concatena(A,[X,Y|BY|BY|BY|B],L),],L),],L),],L),

X>Y, !,X>Y, !,X>Y, !,X>Y, !,

concatena(A,[Y,concatena(A,[Y,concatena(A,[Y,concatena(A,[Y,X|BX|BX|BX|B],N),],N),],N),],N),

bsbsbsbs(N,(N,(N,(N,LoLoLoLo).).).).

bsbsbsbs(L,L).(L,L).(L,L).(L,L).






Exercício 2. Ordenação por trocasExercício 2. Ordenação por trocas

Digite e teste os predicados definidos no Exemplo 2.

Modifique o predicado bs/2bs/2bs/2bs/2 para que os estados da lista sejam exibidos no vídeo.

Digite e teste os predicados definidos no Exemplo 2.

Modifique o predicado bs/2bs/2bs/2bs/2 para que os estados da lista sejam exibidos no vídeo.

Ordenação por inserção (insertion sort)

A operação de inserçãoA operação de inserção

Insere um elemento XXXX numa lista ordenada LLLL, obtendo uma nova lista ordenada NNNN.Insere um elemento XXXX numa lista ordenada LLLL, obtendo uma nova lista ordenada NNNN.

Para ordenar recursivamente uma lista LLLL usando inserção:

Comece com uma lista auxiliar AAAA

46 51 39 17 25

insere

L : A :

4651 39 17 25L : A :

insere


Comece com uma lista auxiliar AAAAvazia.Insira o primeiro elemento de LLLLem AAAA, obtendo uma nova lista NNNN.Insira recursivamente os demais elementos de LLLL em NNNN, obtendo a lista ordenada LoLoLoLo.

Complexidade: O(n2)

insere

46 5139 17 25L : A :

insere

46 513917 25L : A :

insere

46 51391725L : A :

insere

46 513917 25L : A :

Ordenação por inserção: implementação

Exemplo 3. Ordenação por inserçãoExemplo 3. Ordenação por inserção

isisisis([],A,A).([],A,A).([],A,A).([],A,A).

isisisis([([([([X|RX|RX|RX|R],A,],A,],A,],A,LoLoLoLo) :) :) :) :---- insere(X,A,N), is(R,N,insere(X,A,N), is(R,N,insere(X,A,N), is(R,N,insere(X,A,N), is(R,N,LoLoLoLo).).).).

insereinsereinsereinsere(X,[],[X]).(X,[],[X]).(X,[],[X]).(X,[],[X]).

insereinsereinsereinsere(X,[(X,[(X,[(X,[Y|AY|AY|AY|A],[X,],[X,],[X,],[X,Y|AY|AY|AY|A]) :]) :]) :]) :---- X=<Y, !.X=<Y, !.X=<Y, !.X=<Y, !.

insereinsereinsereinsere(X,[(X,[(X,[(X,[Y|AY|AY|AY|A],[],[],[],[Y|BY|BY|BY|B]) :]) :]) :]) :---- insere(X,A,B).insere(X,A,B).insere(X,A,B).insere(X,A,B).

isisisis([],A,A).([],A,A).([],A,A).([],A,A).

isisisis([([([([X|RX|RX|RX|R],A,],A,],A,],A,LoLoLoLo) :) :) :) :---- insere(X,A,N), is(R,N,insere(X,A,N), is(R,N,insere(X,A,N), is(R,N,insere(X,A,N), is(R,N,LoLoLoLo).).).).

insereinsereinsereinsere(X,[],[X]).(X,[],[X]).(X,[],[X]).(X,[],[X]).

insereinsereinsereinsere(X,[(X,[(X,[(X,[Y|AY|AY|AY|A],[X,],[X,],[X,],[X,Y|AY|AY|AY|A]) :]) :]) :]) :---- X=<Y, !.X=<Y, !.X=<Y, !.X=<Y, !.

insereinsereinsereinsere(X,[(X,[(X,[(X,[Y|AY|AY|AY|A],[],[],[],[Y|BY|BY|BY|B]) :]) :]) :]) :---- insere(X,A,B).insere(X,A,B).insere(X,A,B).insere(X,A,B).


Exercício 3. Ordenação por inserçãoExercício 3. Ordenação por inserção

Digite os predicados definidos no Exemplo 2 e teste com a consulta:

????---- is([46,51,39,17,25],[],Lo).is([46,51,39,17,25],[],Lo).is([46,51,39,17,25],[],Lo).is([46,51,39,17,25],[],Lo).

Modifique o predicado is/2is/2is/2is/2 de modo que os estados da lista AAAA sejam exibidos.

Digite os predicados definidos no Exemplo 2 e teste com a consulta:

????---- is([46,51,39,17,25],[],Lo).is([46,51,39,17,25],[],Lo).is([46,51,39,17,25],[],Lo).is([46,51,39,17,25],[],Lo).

Modifique o predicado is/2is/2is/2is/2 de modo que os estados da lista AAAA sejam exibidos.

Ordenação por intercalação (merge sort)

A operação de intercalaçãoA operação de intercalação

Dadas duas listas ordenadas AoAoAoAo e BoBoBoBo, a operação de intercalação constrói uma lista ordenada LoLoLoLo, com elementos de AoAoAoAo e BoBoBoBo, em tempo proporcional ao tamanho de LoLoLoLo.Dadas duas listas ordenadas AoAoAoAo e BoBoBoBo, a operação de intercalação constrói uma lista ordenada LoLoLoLo, com elementos de AoAoAoAo e BoBoBoBo, em tempo proporcional ao tamanho de LoLoLoLo.

Para ordenar recursivamente uma lista LLLL usando intercalação:

72 51 65 88 90 46 29 15 37

separe

L :


lista usando intercalação:Separe os elementos de LLLL em duas listas AAAA e BBBB; com aproximadamente o mesmo número de elementos.

Ordene recursivamente as listas AAAAe BBBB, obtendo as respectivas listas ordenadas AoAoAoAo e BoBoBoBo.

Intercale as listas ordenadas AoAoAoAo e BoBoBoBo, obtendo a lista ordenada LoLoLoLo.

72 65 90 29 37 51 88 46 15

29 37 65 72 90 15 46 51 88

15 29 37 46 51 65 72 88 90

separe

ordene

intercale

A : B :

Ao : Bo :

Lo :

Ordenação por intercalação: funcionamento/complexidade

72 51 65 88 90 46 29 15 37

72 65 90 29 37 51 88 46 15

72 90 37 65 29 51 46 88 15

72 37 90 65 29 51 46 88 15

72 37

lg n


72 37

37 72

46 51 15 88

15 46 51 88

15 29 37 46 51 65 72 88 90

72 37

90 65 29 51 46 88 15

29 6537 72 90

29 37 65 72 90

n

O(n lg n)

Ordenação por intercalação: implementação

Exercício 4. Separação dos elementosExercício 4. Separação dos elementos

Defina o predicado separa(L,A,B)separa(L,A,B)separa(L,A,B)separa(L,A,B), que separa os elementos da lista LLLL em duas listas AAAA e BBBB, cada uma delas com aproximadamente o mesmo número de elementos.Teste com a consulta: ????---- separa([72,51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).separa([72,51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).separa([72,51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).separa([72,51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).

Defina o predicado separa(L,A,B)separa(L,A,B)separa(L,A,B)separa(L,A,B), que separa os elementos da lista LLLL em duas listas AAAA e BBBB, cada uma delas com aproximadamente o mesmo número de elementos.Teste com a consulta: ????---- separa([72,51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).separa([72,51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).separa([72,51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).separa([72,51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).

Exercício 5. Intercalação dos elementosExercício 5. Intercalação dos elementos


Defina o predicado intercala(Ao,Bo,Lo)intercala(Ao,Bo,Lo)intercala(Ao,Bo,Lo)intercala(Ao,Bo,Lo), que intercala os elementos das listas ordenadas AoAoAoAo e BoBoBoBo para construir uma única lista ordenada LoLoLoLo.Teste com a consulta: ????---- intercala([29,37,65,72,90],[15,46,51,88],Lo).intercala([29,37,65,72,90],[15,46,51,88],Lo).intercala([29,37,65,72,90],[15,46,51,88],Lo).intercala([29,37,65,72,90],[15,46,51,88],Lo).

Defina o predicado intercala(Ao,Bo,Lo)intercala(Ao,Bo,Lo)intercala(Ao,Bo,Lo)intercala(Ao,Bo,Lo), que intercala os elementos das listas ordenadas AoAoAoAo e BoBoBoBo para construir uma única lista ordenada LoLoLoLo.Teste com a consulta: ????---- intercala([29,37,65,72,90],[15,46,51,88],Lo).intercala([29,37,65,72,90],[15,46,51,88],Lo).intercala([29,37,65,72,90],[15,46,51,88],Lo).intercala([29,37,65,72,90],[15,46,51,88],Lo).

Exercício 6. Ordenação por intercalação (merge sort)Exercício 6. Ordenação por intercalação (merge sort)

Defina o predicado ms(L,Lo)ms(L,Lo)ms(L,Lo)ms(L,Lo), que transforma a lista LLLL em uma lista ordenada correspondente LoLoLoLo, usando o método de ordenação por intercalação.Teste com a consulta: ????---- ms([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).ms([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).ms([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).ms([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).

Defina o predicado ms(L,Lo)ms(L,Lo)ms(L,Lo)ms(L,Lo), que transforma a lista LLLL em uma lista ordenada correspondente LoLoLoLo, usando o método de ordenação por intercalação.Teste com a consulta: ????---- ms([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).ms([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).ms([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).ms([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).

Ordenação por partição (quick sort)

A operação de partiçãoA operação de partição

Dada uma lista L=[L=[L=[L=[P|RP|RP|RP|R]]]], a operação de partição distribui os elementos de RRRR em duas listas AAAA e BBBB tais que os elementos de AAAA sejam menores ou iguais a PPPP e os elementos de BBBB sejam maiores que PPPP.

Dada uma lista L=[L=[L=[L=[P|RP|RP|RP|R]]]], a operação de partição distribui os elementos de RRRR em duas listas AAAA e BBBB tais que os elementos de AAAA sejam menores ou iguais a PPPP e os elementos de BBBB sejam maiores que PPPP.

Para ordenar recursivamente uma lista L=[P|R]L=[P|R]L=[P|R]L=[P|R] usando partição:

L : 72 51 65 88 90 46 29 15 37


lista L=[P|R]L=[P|R]L=[P|R]L=[P|R] usando partição:Particione os elementos de RRRRem duas listas AAAA e BBBB.Ordene recursivamente as listas AAAA e BBBB, obtendo as respectivas listas ordenadas AoAoAoAo e BoBoBoBo.Concatene as listas ordenadas AoAoAoAo e [P|Bo][P|Bo][P|Bo][P|Bo], obtendo a lista ordenada LoLoLoLo.

Bo :Ao :

B :51 65 46 29 15 88 9037

15 29 37 46 51 88 9065

15 29 37 46 51 65 72 88 90

particione

ordene

concatene

A :

Lo :

Ordenação por partição: funcionamento/complexidade

72 51 65 88 90 46 29 15 37

51 65 46 29 15 37 88 90

46 29 15 37 65 90

15 37

29 15 37

n


15 37

88 90

15 29 37 46 51 65 72 88 90

15 37

65

15 29 37

15 29 37 46

15 29 37 46 51 65

90

n

Pior caso: O(n2)

Melhor caso: O(n lg n)

Ordenação por partição: implementação

Exercício 7. Partição dos elementosExercício 7. Partição dos elementos

Defina particionaparticionaparticionaparticiona(P,L,A,B)(P,L,A,B)(P,L,A,B)(P,L,A,B), que particiona a lista LLLL em duas listas AAAA e BBBB tal que os elementos de A sejam menores ou iguais a PPPP e os de BBBB sejam maiores que PPPP.Teste com a consulta: ????---- particionaparticionaparticionaparticiona(72,[51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).(72,[51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).(72,[51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).(72,[51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).

Defina particionaparticionaparticionaparticiona(P,L,A,B)(P,L,A,B)(P,L,A,B)(P,L,A,B), que particiona a lista LLLL em duas listas AAAA e BBBB tal que os elementos de A sejam menores ou iguais a PPPP e os de BBBB sejam maiores que PPPP.Teste com a consulta: ????---- particionaparticionaparticionaparticiona(72,[51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).(72,[51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).(72,[51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).(72,[51,65,88,90,46,29,15,37],A,B).

Exercício 8. Concatenação de listasExercício 8. Concatenação de listas


Defina concatena(A,B,L)concatena(A,B,L)concatena(A,B,L)concatena(A,B,L), que concatena as listas AAAA e BBBB para construir a lista LLLL.Teste com a consulta: ????---- concatena([15,29,37,46,51,65],[72,88,90],L).concatena([15,29,37,46,51,65],[72,88,90],L).concatena([15,29,37,46,51,65],[72,88,90],L).concatena([15,29,37,46,51,65],[72,88,90],L).

Defina concatena(A,B,L)concatena(A,B,L)concatena(A,B,L)concatena(A,B,L), que concatena as listas AAAA e BBBB para construir a lista LLLL.Teste com a consulta: ????---- concatena([15,29,37,46,51,65],[72,88,90],L).concatena([15,29,37,46,51,65],[72,88,90],L).concatena([15,29,37,46,51,65],[72,88,90],L).concatena([15,29,37,46,51,65],[72,88,90],L).

Exercício 9. Ordenação por partição (quick sort)Exercício 9. Ordenação por partição (quick sort)

Defina o predicado qs(L,Lo)qs(L,Lo)qs(L,Lo)qs(L,Lo), que transforma a lista LLLL em uma lista ordenada correspondente LoLoLoLo, usando o método de ordenação por partição.Teste com a consulta: ????---- qs([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).qs([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).qs([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).qs([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).

Defina o predicado qs(L,Lo)qs(L,Lo)qs(L,Lo)qs(L,Lo), que transforma a lista LLLL em uma lista ordenada correspondente LoLoLoLo, usando o método de ordenação por partição.Teste com a consulta: ????---- qs([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).qs([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).qs([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).qs([72,51,65,88,90,46,29,15,37],Lo).


definiçãoimplementação


Ordenação topológicaOrdenação topológica

Uma ordenação topológica de um grafo acíclico G=(V,A) é uma ordem total S dos elementos de V tal que se (vi,vj) ∈ A, então vi precede vj em S.Uma ordenação topológica de um grafo acíclico G=(V,A) é uma ordem total S dos elementos de V tal que se (vi,vj) ∈ A, então vi precede vj em S.

Se G representa uma rede de tarefas, isto é:Os elementos de V denotam tarefas

gravata paletó cueca


Os elementos de V denotam tarefas

Os elementos de A denotam dependências entre tarefas (restrições de ordem)

Então:

Uma ordenação topológica de G indica uma ordem em que as tarefas podem ser realizadas, sem que as restrições de ordem entre elas sejam violadas

camisa cinto calça

relógio meias sapatos

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Ordenação topológica: funcionamento

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6


7 8 97 8 97 8 97 8 97 8 97 8 97 8 97 8 97 8 97 8 9

Ordenação topológica: [3, 4, 1, 6, 5, 2, 7, 8, 9]Ordenação topológica: [3, 4, 1, 6, 5, 2, 7, 8, 9]Ordenação topológica: [3, 4, 1, 6, 5, 2, 7, 8, 9]Ordenação topológica: [3, 4, 1, 6, 5, 2, 7, 8, 9]

Ordenação topológica: implementação

Exemplo 4. Ordenação topológicaExemplo 4. Ordenação topológica

grafografografografo(1,[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],(1,[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],(1,[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],(1,[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],[1<2, 3<6, 4<1, 4<5, 5<2, 6<5, 6<9, 8<9]).[1<2, 3<6, 4<1, 4<5, 5<2, 6<5, 6<9, 8<9]).[1<2, 3<6, 4<1, 4<5, 5<2, 6<5, 6<9, 8<9]).[1<2, 3<6, 4<1, 4<5, 5<2, 6<5, 6<9, 8<9]).

ordtopordtopordtopordtop(G,S) :(G,S) :(G,S) :(G,S) :----grafo(G,grafo(G,grafo(G,grafo(G,VsVsVsVs,As),,As),,As),,As),ordtopordtopordtopordtop((((VsVsVsVs,As,S).,As,S).,As,S).,As,S).

ordtopordtopordtopordtop([],_,[]).([],_,[]).([],_,[]).([],_,[]).ordtopordtopordtopordtop((((VsVsVsVs,As,[,As,[,As,[,As,[V|SV|SV|SV|S]) :]) :]) :]) :----

grafografografografo(1,[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],(1,[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],(1,[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],(1,[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],[1<2, 3<6, 4<1, 4<5, 5<2, 6<5, 6<9, 8<9]).[1<2, 3<6, 4<1, 4<5, 5<2, 6<5, 6<9, 8<9]).[1<2, 3<6, 4<1, 4<5, 5<2, 6<5, 6<9, 8<9]).[1<2, 3<6, 4<1, 4<5, 5<2, 6<5, 6<9, 8<9]).

ordtopordtopordtopordtop(G,S) :(G,S) :(G,S) :(G,S) :----grafo(G,grafo(G,grafo(G,grafo(G,VsVsVsVs,As),,As),,As),,As),ordtopordtopordtopordtop((((VsVsVsVs,As,S).,As,S).,As,S).,As,S).

ordtopordtopordtopordtop([],_,[]).([],_,[]).([],_,[]).([],_,[]).ordtopordtopordtopordtop((((VsVsVsVs,As,[,As,[,As,[,As,[V|SV|SV|SV|S]) :]) :]) :]) :----


ordtopordtopordtopordtop((((VsVsVsVs,As,[,As,[,As,[,As,[V|SV|SV|SV|S]) :]) :]) :]) :----appendappendappendappend(E,[(E,[(E,[(E,[V|DV|DV|DV|D],],],],VsVsVsVs),),),),notnotnotnot((((membermembermembermember(_<V,As)),(_<V,As)),(_<V,As)),(_<V,As)),appendappendappendappend(E,D,(E,D,(E,D,(E,D,NVsNVsNVsNVs),),),),findallfindallfindallfindall(X<Y,(X<Y,(X<Y,(X<Y,((((membermembermembermember(X<Y,As),X(X<Y,As),X(X<Y,As),X(X<Y,As),X\\\\=V)=V)=V)=V),,,,NAsNAsNAsNAs),),),),ordtopordtopordtopordtop((((NVsNVsNVsNVs,,,,NAsNAsNAsNAs,S).,S).,S).,S).

ordtopordtopordtopordtop((((VsVsVsVs,As,[,As,[,As,[,As,[V|SV|SV|SV|S]) :]) :]) :]) :----appendappendappendappend(E,[(E,[(E,[(E,[V|DV|DV|DV|D],],],],VsVsVsVs),),),),notnotnotnot((((membermembermembermember(_<V,As)),(_<V,As)),(_<V,As)),(_<V,As)),appendappendappendappend(E,D,(E,D,(E,D,(E,D,NVsNVsNVsNVs),),),),findallfindallfindallfindall(X<Y,(X<Y,(X<Y,(X<Y,((((membermembermembermember(X<Y,As),X(X<Y,As),X(X<Y,As),X(X<Y,As),X\\\\=V)=V)=V)=V),,,,NAsNAsNAsNAs),),),),ordtopordtopordtopordtop((((NVsNVsNVsNVs,,,,NAsNAsNAsNAs,S).,S).,S).,S).

Exercício 10. Ordenação topológicaExercício 10. Ordenação topológica

Digite o programa do Exemplo 4 e faça a consulta:????---- ordtop(1,S).ordtop(1,S).ordtop(1,S).ordtop(1,S).

Digite o programa do Exemplo 4 e faça a consulta:????---- ordtop(1,S).ordtop(1,S).ordtop(1,S).ordtop(1,S).


Exercício 11. Exibição de todas as soluçõesExercício 11. Exibição de todas as soluções

Represente o grafo a seguir e faça a consulta indicada.

????---- forall(forall(forall(forall(ordtop(2,S)ordtop(2,S)ordtop(2,S)ordtop(2,S), , , , writeln(S)writeln(S)writeln(S)writeln(S)))))....

Represente o grafo a seguir e faça a consulta indicada.


1 2 3 4


Exercício 12. Ordenação topológica versus permutaçãoExercício 12. Ordenação topológica versus permutação

Quando não há restrições de ordem entre os vértices do grafo, a ordenação topológica funciona como permutação. Para verificar este fato, represente o grafo a seguir e faça a consulta indicada:


Quando não há restrições de ordem entre os vértices do grafo, a ordenação topológica funciona como permutação. Para verificar este fato, represente o grafo a seguir e faça a consulta indicada:


1 2 3


definição

manipulação


Uma árvore binária AAAAUma árvore binária AAAA

é uma estrutura composta por n nós tal que se n=0, dizemos que A é vazia (representada por ####); caso contrário:

existe um nó especial em AAAA denominado raizos demais nós de AAAA são organizados em estruturas disjuntas:

uma subárvore binária esquerda Euma subárvore binária direita D

é uma estrutura composta por n nós tal que se n=0, dizemos que A é vazia (representada por ####); caso contrário:

existe um nó especial em AAAA denominado raizos demais nós de AAAA são organizados em estruturas disjuntas:

uma subárvore binária esquerda Euma subárvore binária direita D

RRRR

EEEE DDDD


uma subárvore binária direita Duma subárvore binária direita D

Uma árvore de busca binária AAAAUma árvore de busca binária AAAA

é uma árvore binária vazia ou uma estrutura nó(R,E,D)nó(R,E,D)nó(R,E,D)nó(R,E,D) tal que:• todo elemento em EEEE é menor ou igual a RRRR• todo elemento em DDDD é maior que RRRR

é uma árvore binária vazia ou uma estrutura nó(R,E,D)nó(R,E,D)nó(R,E,D)nó(R,E,D) tal que:• todo elemento em EEEE é menor ou igual a RRRR• todo elemento em DDDD é maior que RRRR

62

1 3 5 7

4

Árvore de busca binária

Exemplo 5. Criação de árvore de busca bináriaExemplo 5. Criação de árvore de busca binária

abbabbabbabb([],A,A).([],A,A).([],A,A).([],A,A).abbabbabbabb([([([([X|XsX|XsX|XsX|Xs],A,A2) :],A,A2) :],A,A2) :],A,A2) :---- insinsinsins(X,A,A1), (X,A,A1), (X,A,A1), (X,A,A1), abbabbabbabb((((XsXsXsXs,A1,A2).,A1,A2).,A1,A2).,A1,A2).

insinsinsins(X,#,nó(X,#,#)).(X,#,nó(X,#,#)).(X,#,nó(X,#,#)).(X,#,nó(X,#,#)).insinsinsins(X,nó(R,E,D),nó(R,N,D)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,N,D)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,N,D)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,N,D)) :---- X=<R, !, X=<R, !, X=<R, !, X=<R, !, insinsinsins(X,E,N).(X,E,N).(X,E,N).(X,E,N).insinsinsins(X,nó(R,E,D),nó(R,E,N)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,E,N)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,E,N)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,E,N)) :---- insinsinsins(X,D,N).(X,D,N).(X,D,N).(X,D,N).

abbabbabbabb([],A,A).([],A,A).([],A,A).([],A,A).abbabbabbabb([([([([X|XsX|XsX|XsX|Xs],A,A2) :],A,A2) :],A,A2) :],A,A2) :---- insinsinsins(X,A,A1), (X,A,A1), (X,A,A1), (X,A,A1), abbabbabbabb((((XsXsXsXs,A1,A2).,A1,A2).,A1,A2).,A1,A2).

insinsinsins(X,#,nó(X,#,#)).(X,#,nó(X,#,#)).(X,#,nó(X,#,#)).(X,#,nó(X,#,#)).insinsinsins(X,nó(R,E,D),nó(R,N,D)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,N,D)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,N,D)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,N,D)) :---- X=<R, !, X=<R, !, X=<R, !, X=<R, !, insinsinsins(X,E,N).(X,E,N).(X,E,N).(X,E,N).insinsinsins(X,nó(R,E,D),nó(R,E,N)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,E,N)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,E,N)) :(X,nó(R,E,D),nó(R,E,N)) :---- insinsinsins(X,D,N).(X,D,N).(X,D,N).(X,D,N).


Exercício 13. Criação de árvore de busca bináriaExercício 13. Criação de árvore de busca binária

Digite o programa do Exemplo 5, faça a consulta a seguir e desenhe a árvore obtida:????---- abbabbabbabb([3,5,1,0,4,2],#,A).([3,5,1,0,4,2],#,A).([3,5,1,0,4,2],#,A).([3,5,1,0,4,2],#,A).

Digite o programa do Exemplo 5, faça a consulta a seguir e desenhe a árvore obtida:????---- abbabbabbabb([3,5,1,0,4,2],#,A).([3,5,1,0,4,2],#,A).([3,5,1,0,4,2],#,A).([3,5,1,0,4,2],#,A).

Exercício 14. Exibição de árvore de busca bináriaExercício 14. Exibição de árvore de busca binária

Complete o programa do Exemplo 5 com um predicado para exibir os elementos de uma árvore de busca binária em ordem crescente.Complete o programa do Exemplo 5 com um predicado para exibir os elementos de uma árvore de busca binária em ordem crescente.

Código de Huffman

definiçãoimplementação

Exemplo 6. Códigos de HuffmanExemplo 6. Códigos de Huffman

Texto: MARMELADATexto: MARMELADA

Código de Huffman

O código de HuffmanO código de Huffman

para um texto TTTT é uma atribuição de códigos binários aos caracteres de TTTT que minimiza o número médio de bits por caractere.para um texto TTTT é uma atribuição de códigos binários aos caracteres de TTTT que minimiza o número médio de bits por caractere.

Para obter os códigos de Huffman para os caracteres de um texto TTTT:

Obtenha as frequências dos caracteres em .


Texto: MARMELADATexto: MARMELADAObtenha as frequências dos caracteres em TTTT .Crie uma floresta contendo uma árvore unitária com a frequência de cada um dos caracteres.Juntes as árvores de menores frequências, duas a duas, até que seja obtida uma única árvore.Associe um bit 0000 às subárvores esquerdas e um bit 1 às subárvores direitas. 1

DDDD

1

EEEE

1

LLLL

1

RRRR

2

MMMM

3

AAAA

2 2 5

4

90

0

0 0 0

1

1

1 11

Código de Huffman

Exemplo 6. Frequência dos caracteresExemplo 6. Frequência dos caracteres

freqfreqfreqfreq([],F1,F2) :([],F1,F2) :([],F1,F2) :([],F1,F2) :---- !, !, !, !, sortsortsortsort(F1,F2).(F1,F2).(F1,F2).(F1,F2).

freqfreqfreqfreq([([([([S|SsS|SsS|SsS|Ss],F1,F3) :],F1,F3) :],F1,F3) :],F1,F3) :---- insfinsfinsfinsf(S,F1,F2), (S,F1,F2), (S,F1,F2), (S,F1,F2), freqfreqfreqfreq((((SsSsSsSs,F2,F3).,F2,F3).,F2,F3).,F2,F3).

insfinsfinsfinsf(X,[],[nó(1,X,#,#)]) :(X,[],[nó(1,X,#,#)]) :(X,[],[nó(1,X,#,#)]) :(X,[],[nó(1,X,#,#)]) :---- !.!.!.!.

insfinsfinsfinsf(X,[nó(F,X,#,#)|R],[nó(G,X,#,#)|R]) :(X,[nó(F,X,#,#)|R],[nó(G,X,#,#)|R]) :(X,[nó(F,X,#,#)|R],[nó(G,X,#,#)|R]) :(X,[nó(F,X,#,#)|R],[nó(G,X,#,#)|R]) :---- !, G is F+1.!, G is F+1.!, G is F+1.!, G is F+1.

insfinsfinsfinsf(X,[nó(F,Y,#,#)|R],[nó(F,Y,#,#)|N]) :(X,[nó(F,Y,#,#)|R],[nó(F,Y,#,#)|N]) :(X,[nó(F,Y,#,#)|R],[nó(F,Y,#,#)|N]) :(X,[nó(F,Y,#,#)|R],[nó(F,Y,#,#)|N]) :---- insfinsfinsfinsf(X,R,N).(X,R,N).(X,R,N).(X,R,N).

freqfreqfreqfreq([],F1,F2) :([],F1,F2) :([],F1,F2) :([],F1,F2) :---- !, !, !, !, sortsortsortsort(F1,F2).(F1,F2).(F1,F2).(F1,F2).

freqfreqfreqfreq([([([([S|SsS|SsS|SsS|Ss],F1,F3) :],F1,F3) :],F1,F3) :],F1,F3) :---- insfinsfinsfinsf(S,F1,F2), (S,F1,F2), (S,F1,F2), (S,F1,F2), freqfreqfreqfreq((((SsSsSsSs,F2,F3).,F2,F3).,F2,F3).,F2,F3).

insfinsfinsfinsf(X,[],[nó(1,X,#,#)]) :(X,[],[nó(1,X,#,#)]) :(X,[],[nó(1,X,#,#)]) :(X,[],[nó(1,X,#,#)]) :---- !.!.!.!.

insfinsfinsfinsf(X,[nó(F,X,#,#)|R],[nó(G,X,#,#)|R]) :(X,[nó(F,X,#,#)|R],[nó(G,X,#,#)|R]) :(X,[nó(F,X,#,#)|R],[nó(G,X,#,#)|R]) :(X,[nó(F,X,#,#)|R],[nó(G,X,#,#)|R]) :---- !, G is F+1.!, G is F+1.!, G is F+1.!, G is F+1.

insfinsfinsfinsf(X,[nó(F,Y,#,#)|R],[nó(F,Y,#,#)|N]) :(X,[nó(F,Y,#,#)|R],[nó(F,Y,#,#)|N]) :(X,[nó(F,Y,#,#)|R],[nó(F,Y,#,#)|N]) :(X,[nó(F,Y,#,#)|R],[nó(F,Y,#,#)|N]) :---- insfinsfinsfinsf(X,R,N).(X,R,N).(X,R,N).(X,R,N).


Exercício 15. Frequência dos caracteresExercício 15. Frequência dos caracteres

Digite o programa do Exemplo 6 e faça as consultas a seguir:????---- atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(marmelada,S).(marmelada,S).(marmelada,S).(marmelada,S).

????---- atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), freqfreqfreqfreq(S,[],F).(S,[],F).(S,[],F).(S,[],F).

Digite o programa do Exemplo 6 e faça as consultas a seguir:????---- atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(marmelada,S).(marmelada,S).(marmelada,S).(marmelada,S).

????---- atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), freqfreqfreqfreq(S,[],F).(S,[],F).(S,[],F).(S,[],F).

Note que a lista de frequências dos caracteres FFFF é uma floresta!Note que a lista de frequências dos caracteres FFFF é uma floresta!

Código de Huffman

Exemplo 7. Construção da árvore de HuffmanExemplo 7. Construção da árvore de Huffman

arvhufarvhufarvhufarvhuf([A],A) :([A],A) :([A],A) :([A],A) :----

!!!!....

arvhufarvhufarvhufarvhuf([A1,A2|A],B) :([A1,A2|A],B) :([A1,A2|A],B) :([A1,A2|A],B) :----

A1 = nó(F1,_,_,_),A1 = nó(F1,_,_,_),A1 = nó(F1,_,_,_),A1 = nó(F1,_,_,_),


F3 is F1 + F2,F3 is F1 + F2,F3 is F1 + F2,F3 is F1 + F2,

sortsortsortsort([nó(F3,([nó(F3,([nó(F3,([nó(F3,----,A1,A2)|A],As),,A1,A2)|A],As),,A1,A2)|A],As),,A1,A2)|A],As),

arvhufarvhufarvhufarvhuf([A],A) :([A],A) :([A],A) :([A],A) :----

!!!!....




F3 is F1 + F2,F3 is F1 + F2,F3 is F1 + F2,F3 is F1 + F2,




arvhufarvhufarvhufarvhuf(As,B).(As,B).(As,B).(As,B).


arvhufarvhufarvhufarvhuf(As,B).(As,B).(As,B).(As,B).

Exercício 15. Construção da árvore de HuffmanExercício 15. Construção da árvore de Huffman

Digite o programa do Exemplo 7 e faça as consultas a seguir:????---- atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), freqfreqfreqfreq(S,[],F), (S,[],F), (S,[],F), (S,[],F), arvhufarvhufarvhufarvhuf(F,A).(F,A).(F,A).(F,A).

Digite o programa do Exemplo 7 e faça as consultas a seguir:????---- atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), freqfreqfreqfreq(S,[],F), (S,[],F), (S,[],F), (S,[],F), arvhufarvhufarvhufarvhuf(F,A).(F,A).(F,A).(F,A).

Código de Huffman

Exemplo 8. Exibição dos códigosExemplo 8. Exibição dos códigos

códigoscódigoscódigoscódigos(nó(_,S,#,#),C) :(nó(_,S,#,#),C) :(nó(_,S,#,#),C) :(nó(_,S,#,#),C) :----

!!!!, , , , reversereversereversereverse(C,R), (C,R), (C,R), (C,R), atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(A,R), (A,R), (A,R), (A,R), writelnwritelnwritelnwriteln(S : A).(S : A).(S : A).(S : A).

códigoscódigoscódigoscódigos(nó(_,_,E,D),C) :(nó(_,_,E,D),C) :(nó(_,_,E,D),C) :(nó(_,_,E,D),C) :----

códigos(E,['0'|C]), códigos(D,['1'|C]).códigos(E,['0'|C]), códigos(D,['1'|C]).códigos(E,['0'|C]), códigos(D,['1'|C]).códigos(E,['0'|C]), códigos(D,['1'|C]).

códigoscódigoscódigoscódigos(nó(_,S,#,#),C) :(nó(_,S,#,#),C) :(nó(_,S,#,#),C) :(nó(_,S,#,#),C) :----

!!!!, , , , reversereversereversereverse(C,R), (C,R), (C,R), (C,R), atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(A,R), (A,R), (A,R), (A,R), writelnwritelnwritelnwriteln(S : A).(S : A).(S : A).(S : A).

códigoscódigoscódigoscódigos(nó(_,_,E,D),C) :(nó(_,_,E,D),C) :(nó(_,_,E,D),C) :(nó(_,_,E,D),C) :----

códigos(E,['0'|C]), códigos(D,['1'|C]).códigos(E,['0'|C]), códigos(D,['1'|C]).códigos(E,['0'|C]), códigos(D,['1'|C]).códigos(E,['0'|C]), códigos(D,['1'|C]).

Exercício 16. Exibição dos códigosExercício 16. Exibição dos códigos


Exercício 16. Exibição dos códigosExercício 16. Exibição dos códigos

Digite o programa do Exemplo 8 e faça as consultas a seguir:????---- atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), freqfreqfreqfreq(S,[],F), (S,[],F), (S,[],F), (S,[],F), arvhufarvhufarvhufarvhuf(F,A), códigos(A,[]).(F,A), códigos(A,[]).(F,A), códigos(A,[]).(F,A), códigos(A,[]).

Digite o programa do Exemplo 8 e faça as consultas a seguir:????---- atom_charsatom_charsatom_charsatom_chars(marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), (marmelada,S), freqfreqfreqfreq(S,[],F), (S,[],F), (S,[],F), (S,[],F), arvhufarvhufarvhufarvhuf(F,A), códigos(A,[]).(F,A), códigos(A,[]).(F,A), códigos(A,[]).(F,A), códigos(A,[]).

Exercício 17. Programa principalExercício 17. Programa principal

Defina o predicado huffmanhuffmanhuffmanhuffman(T)(T)(T)(T), que exibe os códigos de Huffman para o texto TTTT:

????---- huffmanhuffmanhuffmanhuffman((((''''MARMELADAMARMELADAMARMELADAMARMELADA'''').).).).

Defina o predicado huffmanhuffmanhuffmanhuffman(T)(T)(T)(T), que exibe os códigos de Huffman para o texto TTTT:

????---- huffmanhuffmanhuffmanhuffman((((''''MARMELADAMARMELADAMARMELADAMARMELADA'''').).).).

Bônus: interface gráfica

::::---- use_module(library(tabular)).use_module(library(tabular)).use_module(library(tabular)).use_module(library(tabular)).

hufhufhufhuf ::::----

newnewnewnew(F,frame('Códigos de Huffman')),(F,frame('Códigos de Huffman')),(F,frame('Códigos de Huffman')),(F,frame('Códigos de Huffman')),

sendsendsendsend(F,append,(F,append,(F,append,(F,append,newnewnewnew(D,(D,(D,(D,dialogdialogdialogdialog)),)),)),)),

sendsendsendsend(D,above,(D,above,(D,above,(D,above,newnewnewnew(P,(P,(P,(P,picturepicturepicturepicture)),)),)),)),

sendsendsendsend(P,size,(P,size,(P,size,(P,size,sizesizesizesize(210,100)),(210,100)),(210,100)),(210,100)),

sendsendsendsend(P,display,(P,display,(P,display,(P,display,newnewnewnew(T,tabular)), (T,tabular)), (T,tabular)), (T,tabular)),


sendsendsendsend(P,display,(P,display,(P,display,(P,display,newnewnewnew(T,tabular)), (T,tabular)), (T,tabular)), (T,tabular)),

sendsendsendsend(T,border,1),(T,border,1),(T,border,1),(T,border,1),

sendsendsendsend(T,rules,all),(T,rules,all),(T,rules,all),(T,rules,all),

sendsendsendsend(D,append,(D,append,(D,append,(D,append,newnewnewnew(I,(I,(I,(I,text_itemtext_itemtext_itemtext_item(texto))),(texto))),(texto))),(texto))),

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arvhufarvhufarvhufarvhuf([A],A) :([A],A) :([A],A) :([A],A) :---- !.!.!.!.




F3 F3 F3 F3 isisisis F1+F2,F1+F2,F1+F2,F1+F2,


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reversereversereversereverse(C,CR), (C,CR), (C,CR), (C,CR),

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Fim