Dreptul de copyright: Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt
site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului
,
2
Refereni tiinifici: Profesor metodist Apostol Constantin Colegiul Naional Alexandru Vlahu, Rmnicu Srat Profesor grad I Stanciu Neculai director Grupul colar TehnicSf. Mc. SAVA,Berca
3
Dedic aceast carte elevilor mei de la Grupul colar Tehnic Sfntul Mucenic Sava, Berca.
4
A(a+ib)
A(a-ib)
O x
y
c b
a
5
Aplicaii ale numerelor complexe
n geometrie
n geometria plan, se poate utiliza ca metod de rezolvare a unor probleme sau teoreme numerele complexe fie sub forma algebric z=x+iy, fie sub forma trigonometric z=r ie unde r= z iar =arg z ntruct fiecrui punct din plan i corespunde un numr complex z=x+iy numit afixul punctului respectiv. De asemenea, fiecrui segment orientat i putem asocia numrul complex corespunztor. Dac 1M , 2M , 3M ,.. nM sunt puncte n plan iar
nOMOMOMOM ,,.........,, 321 sunt vectorii de poziie
corespunztori, atunci vectorul OM se scrie ca o combinaie liniar de aceti vectori astfel: OM = nn OMkOMkOMkOMk .........332211 +++ . Pentru a transcrie aceast relaie n complex, considerm
nzzzz ,....,,, 321 afixele punctelor 1M , 2M , 3M ,.. nM iar z afixul lui M atunci: z= nn zkzkzkzk ++++ ....332211 .
6
1.Raportul n care un punct mparte un segment Fie 1M , 2M puncte n plan de afixe 21, zz iar punctul M de afix z mparte segmentul orientat 1M 2M n raportul k>0 astfel:
kkzzzk
MMMM
++==
121
2
1 .Din
kkzzz
kzkzzzzzkzzkzz
zzkMM
MM
++=
+====
1
)(
21
21212
1
2
1
Dac M este mijlocul lui 1M 2M atunci k=1 221 zzz += .
Dac G este centrul de greutate al triunghiului ABC situat pe mediana AM,
atunci 2=GMAG k=2 .
3212 CBAMA
Gzzzzzz
++=++=
2.Msura unui unghi. Fie )(),( 2211 zMzM . Atunci
1
2121212 argargarg)()()( z
zzzxOMmxOMmMOMm === Pentru punctele )(),( 2211 zMzM , )( 33 zM ,
12
13213 arg)( zz
zzMMMm = .
3.Puncte coliniare.
Punctele )(),( 2211 zMzM , )( 33 zM sunt coliniare Rzzzz
12
13 .
7
)(),( 2211 zMzM , )( 33 zM sunt coliniare { },0)( 213 MMMm { }
,0arg12
13
zzzz
Rzzzz
12
13 .
)(),(),( 332211 zMzMzM sunt coliniare n aceast ordine
Rkkkzz
z ++= ,
131
2
4.Drepte perpendiculare. Dou drepte M1M2, M3M4 perpendiculare:
0Re,43
21
43
214321 =
zzzziR
zzzzMMMM
Dac dreptele 4321 MMsiMM sunt perpendiculare atunci unghiul dintre ele este
0Re2
3,2
arg2
3,2 43
21
43
21 =
=
zzzz
zzzzsau .
5.Patrulater inscriptibil. Fie )(),(),(),( 4321 zDzCzBzA . Patrulaterul ABCD este inscriptibil
Rzzzz
zzzz
24
14
23
13 : .
ABCD este inscriptibil = )()( ADBmACBm
=
42
41
32
31 argargzzzz
zzzz
Rzzzz
zzzz
24
14
23
13 : .
=
42
41
32
31 argargzzzz
zzzz
Rzzzz
zzzz
24
14
23
13 : .
8
Patru puncte A,B,C,D sunt conciclice dac i numai dac patrulaterul ABCD este inscriptibil. 6.Triunghiuri asemenea. Dou triunghiuri ABC i ABC cu vrfurile de afixe
',',',, 321321 zzzrespectivzzz sunt asemenea dac i numai dac:
13
12
13
12
''''
zzzz
zzzz
=
.
Relaia se obine din scrierea asemnrii triunghiurilor:
=
=
=
13
12
13
12
13
12
13
12
''''
''''argarg)'''()(
zzzz
zzzz
si
zzzz
zzzzCABmBACm
ABC ~ ''' CBA ''''
CABA
ACAB = i
13
12
13
12
''''
zzzz
zzzz
=
.
Relaia se mai poate scrie i astfel:
321
321
'''
111
zzz
zzz =0.
Astfel putem arta c un triunghi ABC este echilateral ,02 =++ CBA zzz unde este rdcina de ordinul trei a unitii, diferit de 1.
9
TEOREME I PROBLEME REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE
1. a) S se arate c mijloacele laturilor unui patrulater sunt vrfurile unui paralelogram. b) S se arate c se poate construi un patrulater cu distanele de la un punct T la mijloacele patrulaterului dat . Rezolvare: a) Fie DCBA zzzz ,,, afixele vrfurilor A,B,C,D ale patrulaterului respectiv.
Atunci: afixul mijlocului lui AB este: 2
BAM
zzz += ;
afixul mijlocului lui BC este: 2
CBN
zzz
+= ;
afixul mijlocului lui CD este: 2
DCP
zzz += ;
afixul mijlocului lui DA este: 2AD
Qzzz += :
Pentru a fi paralelogram, trebuie artat c mijloacele diagonalelor patrulaterului MNPQ coincid,
ceea ce este echivalent cu a arta c: 22
QNPM zzzz +=+ , relaie care este adevrat dac nlocuim relaiile de mai sus. b) Din punctul a) rezult c MNPQ este paralelogram
+=+ QNPM zzzz 0=+ QPNM zzzz . Fie Tz afixul punctului T
=+++ 0)()()()( QTTPNTTM zzzzzzzz=+++ 0TQPTTNMT c se poate forma un patrulater cu
lungimile vectorilor
QTPTNTTM zzTQzzTPzzTNzzTM ==== ,,, .
10
2. Fie O punctul de intersecie a diagonalelor unui patrulater ABCD. S se arate c ABCD este paralelogram dac i numai dac
4DCBA
Ozzzzz +++= .
Rezolvare: Dac ABCD este paralelogram atunci diagonalele AC i BD au acelai mijloc , aadar relaia dat este adevrat. Reciproc, fie M respectiv N mijloacele diagonalelor BD respectiv AC. Atunci
2CA
Mzz
z+= i
2DB
Nzzz += . Cum
4DCBA
Ozzzz
z+++=
ONM zzz =+2 O este mijlocul segmentului MN ceea ce se ntmpl numai dac M , N, O sunt identice ABCD este paralelogram. 3. Fie triunghiul ABC cu vrfurile de afixe CBA zzz ,, , i laturile BC, CA, AB, de lungime a, b respectiv c. Dac Iz este afixul centrului cercului nscris n triunghiul ABC atunci s se arate c are loc relaia:
cba
zczbzaz CBAI ++
++= . Rezolvare: Fie D BC astfel nct AD este bisectoarea unghiului A i E AC astfel nct BE este bisectoarea unghiului B . Notm cu I intersecia dintre AD i BE. Aplicnd Teorema bisectoarei n triunghiul ABC
Rezult: bc
DCBD = i de aici rezult
cbcaBD += .
Din Teorema bisectoarei n triunghiul ABD
acb
cbca
cIDAI
BDAB
IDAI +=
+== .
Cum D mparte segmentul orientat BC n raportul bc
cbzczb
bc
zbcz
z CBCB
D ++=
++
=1
.(*)
11
Punctul I mparte segmentul orientat AD n raportul
cbazcbza
acb
za
cbzz
acb DADA
I ++++=++
++=+ )(
1
Din (*) cba
zczbzaz CBAI ++++= .
A
B C
E
D
I
A
B C
D
A
HO
4. a) Dac CBA zzz ,, respectiv Hz sunt afixele vrfurilor respectiv ortocentrului triunghiului ABC s se arate c : CBAH zzzz ++= . b) Dac )(),(),( 332211 zGzGzG sunt centrele de greutate ale triunghiurilor BHC, CHA, AHB, i O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC , s se arate c centrul de greutate al triunghiului
321 GGG este situat pe dreapta OH. Rezolvare: a) Se consider O centrul cercului circumscris triunghiului ABC i D un
punct n plan astfel nct OCOBOD += . Cum OB =OC rezult c patrulaterul OBCD este romb BCOD .
OBOCOAODOAOH ++=+= (*) Cum HAAHBCAAsiAAOD ''' se afl i pe nlimile BB, CC.
12
Dac ntr-un sistem de axe ortogonale lum punctul O drept originea sistemului , atunci din (*) CBAH zzzz ++= . Mai mult
GH zz 3= adic OH= 3OG b) Fie G( Gz ) centrul de greutate al triunghiului 321 GGG : Gz =
=++3
321 zzz
=+++=++++++++
HHCBA
BHACHAHCB
zzzzz
zzzzzzzzz
95
93)(2
9
G aparine lui OH. 5. Fie CBA zzz ,, afixele vrfurilor triunghiului ABC, cu
0++ CBA zzz . S se arate c dac punctele M,N,P au afixele CABAAM zzzzzz ++= 2 , CBABBN zzzzzz ++= 2 , BCACCP zzzzzz ++= 2
atunci triunghiurile MNP i ABC sunt asemenea. Rezolvare: Cum ))(( CBABANM zzzzzzz ++= , ))(( CBACBPN zzzzzzz ++= , ++= ))(( CBAACMP zzzzzzz
++==
=
0CBAAC
MP
CB
PN
BA
NM zzzzzzz
zzzz
zzzz
MNP ~ ABC . 6. Dac ABC i MNP sunt dou triunghiuri echilaterale din acelai plan la fel orientate, s se arate c se poate forma un triunghi cu segmentele AM, BN, CP.
13
Rezolvare:
ABC ~ =
PM
CA
NM
BA
zzzz
zzzzMNP
= ))(())(( CANMPMBA zzzzzzzz
ozzzzzzzzz ABPCANBCM =++ )()()( . Cum ozzzzzzzzz ABCCABBCA =++ )()()( , prin scderea
celor dou egaliti
ozzzzzzzzzzzz
ABCP
CABNBCAM
=++
))(())(())((
(*)
iar prin trecere la modul
+
)()(
)()()()(
ABCP
CABNBCAM
zzzz
zzzzzzzz
ABCPACBNBCAM + . Triunghiul ABC este echilateral (AB=AC=BC) CPBNAM + . Din relaia (*) pot fi scrise i celelalte dou inegaliti ceea ce implic faptul c AM, BN i CP pot fi laturile unui triunghi. 7. Fie P un punct situat pe cercul circumscris unui triunghi ABC. S se arate c ortocentrele triunghiurilor PAB, PBC, PCA formeaz un triunghi congruent cu triunghiul dat. Rezolvare: Fie P de afix z i punctul O centrul cercului circumscris triunghiului ABC astfel nct 0=Oz . Fie 1H ortocentrul triunghiului MAB de afix : BA zzzz ++=1 Fie 2H ortocentrul triunghiului MAC de afix :
zzzz CA ++=2 Fie 3H ortocentrul triunghiului MBC de afix :
++= CB zzzz3
14
BCzzzzHH BC === 1221 ACzzzzHH AC === 1331
....2332 dtccABzzzzHH AB === 8. Fie ABC i ABC dou triunghiuri cu centrele de greutate G respectiv G i punctele M, N, P situate pe segmentele AA, BB, CC care le mpart n raportul k. S se arate c centrul de greutate al triunghiului MNP este situat pe segmentul GG i l mparte pe acesta tot n raportul k. Rezolvare: Fie ),(),(),( 321 zCzBzA
).(),(),(),'('),'('),'(' 321 PNM zPzNzMzCzBzA astfel nct
kPCCP
NBBN
MAAM ===
'''
Atunci : kkzzzM +
+=1
'11 , kkzzzN +
+=1
'22 , kkzz
zP ++=
1'33 .
Centrul de greutate al triunghiului ABC este G( Gz )
.3
321 zzzzG++=
Centrul de greutate al triunghiului ABC este G( Gz' )
.3
'''' 321
zzzz G
++= Dac notm cu G(g) centrul de greutate al triunghiului MNP
atunci =++=3
PNM zzzg
++=++++
++++=++++++=
kzkzzzz
kk
zzzkk
zzzkzzz
GG
1'
3'''
1
311
)1(3)'''(
321
321321321
G,G,G sunt coliniare i punctul G mparte segmentul GG n raportul k.
15
9. (Teorema lui Pappus). Fie triunghiul ABC i punctele A,B,C situate pe laturile BC, AC respectiv AB le mpart pe acestea n acelai raport k. S se arate c triunghiurile ABC i ABC au acelai centru de greutate. Rezolvare: Fie punctele
),(),(),( 321 zCzBzA )'('),'('),'(' 321 zCzBzA i
=== kBC
ACAB
CBCA
BA'
''
''
'
,1
' 321 kkzz
z ++= ,
1' 132 k
kzzz +
+= ,1
' 213 kkzzz +
+= centrul de greutate al triunghiului ABC este G(g) cu g=
gzzzk
zzzkzzzzzz =++=++++++=++
3)1(3)(
3''' 321321321321 ,
unde G(g) este centrul de greutate al triunghiului ABC.
A
B C
A
B
C G=G
10. S se arate c n orice triunghi are loc relaia
9
22222 CABCABROG ++= . (Teorema lui Euler)
unde O este centrul cercului circumscris triunghiului, G centrul su de greutate iar R este raza cercului circumscris. Rezolvare: Fie O originea sistemului de axe.
9
22222 CABCABROG ++=
2222222 3339 CABCABRRROG ++=
16
( ) ( )( )
++=
++
2
222222
3333
9
CA
BCABCBACBA
zz
zzzzzzzzzz
)(2222
333)(2222
222222
ACCBBACBA
CBAACCBBACBA
zzzzzzzzz
zzzzzzzzzzzz
+++++=+++++
ceea ce este adevrat, rezult c teorema este demonstrat. 11. Fie A, B, C, D patru puncte oarecare, distincte din plan. S se arate c exist un unic punct G astfel nct ,0=+++ DCBA zzzz unde
DCBA zzzz ,,, sunt afixele punctelor A,B,C,D. Rezolvare. Fie O originea sistemului cartezian i M,N,P,Q mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA . Cum mijloacele laturilor unui patrulater sunt vrfurile unui paralelogram rezult c intersecia diagonalelor MP i NQ pe care o notm cu G este un punct de afix
4222
2DCBA
DCBA
PMG
zzzzzzzz
zzz +++=+++
=+= . = 0Gz OG zz = adic G coincide cu originea sistemului
cartezian exist i este unic punctul G astfel nct 0=+++ DCBA zzzz .
12. Fie ABCD i ABCD paralelograme astfel nct punctele M,N,P,Q mpart segmentele AA, BB, CC, DD n acelai raport k. S se arate c MNPQ este paralelogram. Rezolvare: Fie )(),(),(),( 4321 zDzCzBzA ,
)'('),'('),'('),'(' 4321 zDzCzBzA vrfurile paralelogramelor de
17
afixe corespunztoare 4231 zzzz +=+ , 4231 '''' zzzz +=+ . (*)
Fie )(),(),(),( QPNM zQzPzNzM punctele care mpart segmentele AA,BB,CC,DD n raportul k.
kQDDQ
PCCP
NBBN
MAAM ====
''''
Atunci rezult: kkzzzM +
+=1
'11 , kkzzzN +
+=1
'22 , kkzz
zP ++=
1'33 ,
kkzzzQ +
+=1
'44 . Rezult:
kzzkzz
zz PM ++++=+
1)''( 3131 ,
kzzkzzzz QN +
+++=+1
)''( 4242 . Din relaiile (*) rezult
QNPM zzzz +=+ ceea ce este echivalent cu faptul c MNPQ este paralelogram. 13. Fie ABCD un patrulater convex i punctele M, P (BD), iar N, Q (AC) mpart segmentele orientate n raportul k astfel : k
QCQA
NANC
PBPD
MDMB ==== .
a) S se arate c centrul de greutate al patrulaterului ABCD coincide cu centrul de greutate al patrulaterului MNPQ. b) Fie E mijlocul lui (BD) i F mijlocul lui (AC). S se arate c mijlocul segmentului EF este centrul de greutate al patrulaterului MNPQ. Rezolvare: a) S presupunem c G este centrul de greutate al patrulaterului ABCD i s artm c G este i centrul de greutate al patrulaterului MNPQ =+++ DCBA zzzz
QPNM zzzz +++ Din
kzkzzk
MDMB DB
M ==
1,
18
k
zkzzkQCQA CA
Q ==
1 ,
k
zkzzkPBPD BD
P ==
1,
k
zkzzk
NANC AC
N ==
1.
+++=
++++++=+++DCBA
DCBADCBAQPNM
zzzzk
zzzzkzzzzzzzz1
)(
c.c.t.d. b) Fie G mijlocul segmentului EF. A arta c G este centrul de greutate al patrulaterului MNPQ revine la a arta c G este
centrul de greutate al lui ABCD .4
DCBAG
zzzzz +++= G este mijlocul lui EF
....42
222
dtcc
zzzzzzzz
zzz DCBACADB
FEG
+++=+++
=+=
A
B
C
D
M
P
Q
NE
FG
O
B C
DA M
N
19
14. Fie ABCD un trapez cu AD BC i punctele M (AD) , N(BC) astfel nct
NCNB
MDMA = . Notnd cu O punctul de
intersecie a dreptelor AB cu CD s se demonstreze c punctele O, M, N, sunt coliniare. Rezolvare: Fie punctele
)(),(),(),(),(),(),( ONMDCBA zOzNzMzDzCzBzA cu afixele corespunztoare.
Din k
zkzzk
zkzzkNCNB
MDMA CB
NDA
M =
===1
,1
0 .
Cum AD BC == 0tDCOD
ABOA
tztzz
tztzz COD
BOA +
+=++=
1,
1
Pentru a arta c O, M, N sunt coliniare este suficient s
artm c tztzzt
MNOM NO
M ++==
1.
Aadar , punctele O, M, N sunt coliniare.
tztzz
tt
tz
ktzk
ktzt
ktk
ktz
kt
ztzkt
ztz
kzkzz
NONO
CB
O
COBO
DAM
++=+++=
=
+
++
+
++=
=+++
+=
=
1111
)1)(1()1)(1(
)1)(1()1)(1(1
111
1
20
15. S se demonstreze c dac ABCD este un patrulater inscriptibil atunci centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, BCD, CDA, DAB sunt puncte conciclice. Rezolvare: Fie punctele )(),(),(),( DCBA zDzCzBzA - vrfurile patrulaterului ABCD . ABCD este inscriptibil
( ) ( ) == CA CBDA DB zz zzzz zzBCAmBDAm argarg
Rzzzz
zzzz
CA
CB
DA
DB
: . (*)
Fie )( 11 zG - centrul de greutate al triunghiului ABC de afix 1z
31CBA zzzz ++= ;
)( 22 zG - centrul de greutate al triunghiului BCD de afix 2z
32DCB zzzz ++= ;
)( 33 zG - centrul de greutate al triunghiului CDA de afix 3z
33ADC zzzz ++= ;
)( 44 zG - centrul de greutate al triunghiului ABD de afix 4z
34DBA zzzz ++= .
4321 GGGG este inscriptibil
( ) ( ) == 42 4312 13243213 argarg zz zzzz zzGGGmGGGm R
zzzz
zzzzR
zzzz
zzzz
AC
BC
AD
BD
::
42
43
12
13 relaie
adevrat din (*). Rezult c patrulaterul
21
4321 GGGG este inscriptibil adic vrfurile sale sunt patru puncte conciclice. 16. Fie ABC un triunghi, M un punct n planul triunghiului, G centrul su de greutate iar A , B respectiv C mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. S se arate c are loc relaia:
).'''(49 2222222 MCMBMAMGMCMBMA ++=+++ Rezolvare:
M
G
A
CBA
BC
Fie M un punct n exteriorul triunghiului ABC i CBA zzz ,, afixele punctelor A,B,C , atunci relaia
)'''(49 2222222 MCMBMAMGMCMBMA ++=+++ devine:
++
++
+
=
+++++222
2222
2224
39
BACACB
CBACBA
zzzzzz
zzzzzz
, unde punctul M
este originea sistemului ortogonal de axe. Mai departe rezult ( )( ) ( )ACCBBACBA ACCBBACBACBA zzzzzzzzz
zzzzzzzzzzzz
+++++==++++++++
22
2222
222222
ceea ce este adevrat , rezult de aici c relaia dat este adevrat.
22
17. Pe laturile AB i BC ale triunghiului ABC se construiesc ptrate avnd centrele D i E , astfel nct punctele C i D sunt situate de aceeai parte a dreptei AB, iar punctele A i E sunt separate de dreapta BC. S se arate c dreptele AC i DE se intersecteaz dup un unghi de 45. Rezolvare: Fie EDCBA zzzzz ,,,, afixele punctelor A, B, C, D, E. Cum segmentul BD se obine din rotaia lui AD cu un unghi de 90
( )DADB zzizz
+=2
sin2
cos =i ( )DA zz
1=
izizz BAD .
De asemenea BE se obine din rotaia lui CE cu un unghi de
90 1=
izizz BCE .
+=
=+==
+=
4sin
4cos2
11
1 i
ii
i
izizziz
zzzzzz
BCBA
CA
ED
CA
AC i DE formeaz ntre ele un unghi de 45.
23
A
B C
*E
*D
A
B
M
N
P
D
E
C
F
18. Fie ABCD i CMNP dou ptrate care nu au puncte interioare comune. S se arate c mijlocul lui BM, C i piciorul perpendicularei din C pe DP sunt trei puncte coliniare. Rezolvare: Fie E mijlocul lui BM i se prelungete EC pn se intersecteaz cu DP n F. Aadar a arta c punctele E, C, F sunt coliniare este suficient s artm c EF este perpendicular pe DP echivalent cu
.iRzzzz
PD
FE
Rotind pe DC cu 90 se obine BC astfel:
( )BC
BCD
CDCDCB
izzii
zziz
zzizzizz
+=+=
=
+=
)1()1(
)(2
sin2
cos .
Analog CP se obine din CM printr-o rotaie de unghi 90
24
( ) .)1(2
sin2
cos MCPCMCP izzizzzizz +=
+= E, C, F coliniare EC se obine din CF printr-o rotaie de 180
( ) ).sin(cos iCFCEzzzz CFCE += Notm cu r raportul
CFCE . Cum
2MB
Ezzz +=
rzzrzz
zrzrzrzzz
MBCF
FCFCMB
2)1(2
2+=
++=+
19. Se consider patrulaterul convex ABCD, iar E respectiv F mijloacele diagonalelor AC respectiv BD . S se arate c are loc relaia:
2222222 4EFBDACDACDBCAB ++=+++ (Relaia lui Euler) . Rezolvare. Fie FEDCBA zzzzzz ,,,,, afixele punctelor A, B, C, D, E, F. Avem de artat urmtoarea relaie:
.4 222
2222
EFBDAC
DACDBCAB
zzzzzz
zzzzzzzz
++=+++
Cum E respectiv F sunt mijloacele diagonalelor AC respectiv BD
.2
1)2(2)2)(1(
DPEFiRir
rzzzrizzzr
zzzz
CMB
CMB
PD
FE +=+++=
25
( )+++++
++=+=
42
222
422
22
22222
DDBBDBCA
CCAAFFEEFE
zzzzzzzz
zzzzzzzzzz
( )+++
++=22
222
22
22224
DDBBDC
BCDABACCAAFE
zzzzzz
zzzzzzzzzzzz
( )
)2()2(
)2()2(
)2()2(4
2222
2222
22222
DDBBDCAA
ADADDDCC
BCBCBBAAFE
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzzzz
+++++
++++=
Am adunat i am sczut suma +++ 2222 DCBA zzzz ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
+++=22
222224
DBCA
ADDCCBBAFE
zzzz
zzzzzzzzzz
+++=
22
222224
DBCA
ADDCCBBAFE
zzzz
zzzzzzzzzz
22222224 BDACDACDBCABEF +++= c.c.t.d. 20. S se arate c ntr-un patrulater convex exist relaia:
BCADCDABBDAC + . (Inegalitatea lui Ptolemeu) Rezolvare: Fie DCBA zzzz ,,, afixele punctelor A, B, C, D. Atunci
=+++
0)()()()()()(
CBAD
DCABBDAC
zzzzzzzzzzzz
)()(
)()()()(
BCAD
CDABBDAC
zzzzzzzzzzzz
++=
Prin trecere la modul + BCADCDABBDAC zzzzzzzzzzzz
BCADCDABBDAC + .
26
21. Fie )(),(),( CBA zCzBzA vrfurile unui patrulater iar D este un
punct de afix CBA
CBCABAD zzz
zzzzzzz ++
++= . S se arate c patrulaterul ABCD este inscriptibil. Rezolvare: Dac punctele A, B, C sunt pe un cerc de raz r atunci
=== 0rzzz CBA 2rzzzzzz CCBBAA === , mai rmne s artm c i D se
afl pe cerc rzD = 2rzz DD =
ilinscriptibesteABCDrzz
zzzzzzzzzr
zzzzzzzzzz
DD
CACBBA
CBA
CBA
ACCBBAD
=++++=++
++=
2
2 )(
22. Fie triunghiul ABC cu BM AB , BM=AB, CP AC, CP=AC, EBC, EB=EC astfel nct NE BC, NE=
2BC
. S se arate c
punctele M, N, P sunt coliniare. Rezolvare:
2222
)()()()(
BCCBN
BCCBN
CACPCACP
BABMBABM
zzizzzzzizzz
izzzzizzzzizzzzizzzz
++==+==+==
= R
zzzz
NP
MP 2 M, N, P sunt coliniare
27
A
B CE
NP
M
23. S se determine mulimea punctelor M de afix z astfel nct punctele A(1), M(z), B( 21 zz ++ ) s fie coliniare. Rezolvare: Fie z=x+iy afixul punctului M.
iyxiyxzz AM +=+= 11 )2()(11 2222 xyyiyxxiyxiyxzzzz AB +++=+++=++=
Punctele A, M, B sunt coliniare vectorii
)2,(),,1( 22 xyyyxxABsiyxAM ++ s fie coliniari (x-1)(y+2xy)-y( 22 yxx + )=0
0)12( 22 =+ xyxy locul geometric cutat este cercul de centru A(1,0) i de raz 2 . 24. Fie ABC un triunghi iar pe laturile sale se construiesc n exterior triunghiurile echilaterale ABP, BMC, CNA. S se arate c centrele lor de greutate formeaz un triunghi echilateral. Rezolvare:
MBC echilateral 00 222 =++=++ CMBCMB zzzzzz (1)
ACN echilateral 02 =++ ANC zzz (2)
28
APB echilateral =++ 02 BPA zzz 02 =++ BPA zzz (3)
Adunnd cele trei relaii
0
3:0)()(2
2
321=++
=++++++++
GGG
BAPCNAMCB
zzz
zzzzzzzzz
321 GGG este echilateral.
A
B C
M
NP
G1
G2G3A
B
C
D
M
N
P
Q
25. Pe laturile patrulaterului ABCD se construiesc n exterior triunghiurile dreptunghice isoscele AMB, BNC, CPD, DQA. S se arate c MP este perpendicular pe NQ. Rezolvare.
izzizizzzz ABMMAMB == )1()( izzizizzzz BCNNBNC == )1()( izzizizzzz CDPPCPD == )1()( == izzizizzzz DAQQDQA )1()(
29
izzzzizz CABDMP += )()1)((
=+=
izzzzizzzzizz
NQMP
DBCANQ
)()()1)((
NQMP = i MP NQ. 26. Fie paralelogramul ABCD i P (BD), M(AD), N(AB) astfel nct PM AB i PN AD. S se arate c triunghiul MNC i triunghiul ale cror vrfuri sunt centrele de greutate ale triunghiurilor DMP, BNP, BCD au acelai centru de greutate. Rezolvare: Este suficient s artm c 321 zzzzzz CNM ++=++ , unde
321 ,, zzz sunt afixele centrelor de greutate ale triunghiurilor DMP, BNP, BCD. Avem: PMD zzzz ++=13 PNB zzzz ++=23 ++= DCB zzzz33
).(2)(3 321 BDPCNM zzzzzzzzz +++++=++ Cum ABCD este paralelogram
.PDBPCAPDBCA zzzzzzzzzzz ++=++++=+ Din AMNP paralelogram
+=+ NMPA zzzz++=++=++ PDBCNMPCA zzzzzzzzz
....3:)(3)(2)(3 321
dtcczzzzzzzzzzzz
CNM
BDPCNM
++==+++++=++
30
C
DA
B
M P
N A
B CE
a
b c
27. Fie E un punct situat arbitrar pe latura BC a triunghiului ABC. S se arate c are loc relaia:
BCAEBCECBEBEACECAB =+ 222 (Teorema lui Stewart). Rezolvare: Dac asociem vectorilor AE, BE, EC numerele complexe corespunztoare a,b,c atunci lui AC i corespunde numrul a+c, lui AB numrul a-b, iar lui BC numrul b+c. Plecnd de la identitatea:
)()()()( 222 cbbccbacabbac +++=++ pe care trecnd-o la module, vom obine tocmai relaia din teorema lui Stewart. 28. Fie ABCD un patrulater convex cu E(AD), F (BC) astfel nct
FCBF
EDAE = i M (AB), N(EF), P(CD)
astfel nct PCDP
NFEN
MBAM == . S se arate c M, N, P sunt coliniare.
Rezolvare:
Fie FCBF
EDAE = =k
kkzzz DAE +
+=1
kkzzz CBF +
+=1
31
i PCDP
NFEN
MBAM == =t ;
1 ttzzz BAM +
+= ;1 t
tzzz FEN ++=
;1 t
tzzz CDP +
+= Prin nlocuirea lui zE i a lui zF n zN rezult:
kkzz
kttzzk
ttzz
ktktzkztzz
tkkzzt
kkzz
z
PM
CDBA
CDBA
CBDA
N
++=+
++++
+=
=+++++=+
++++
+=
1111
)1)(1(111
M, N, P sunt coliniare.
32
BIBLIOGRAFIE
- Culegere de probleme de matematic - Mihai Cocuz, Editura Academiei, Bucureti 1984;
- Culegere de probleme de matematic pentru clasa a X-a , - Maria Batineu-Giurgiu i colaboratori, Editura Porto-Franco, 1993:
- Culegere de probleme pentru concursurile de matematic- D. Acu i colaboratori, Editura Societii de tiine Matematice din Romnia, Bucureti, 1997;
- Exercices et problemes de mathematiques- Joseph Gibert;
- Matematica n concursurile colare2001,2004-Dan Brnzei i colaboratori, Editura Paralela 45;
- Numere complexe, Virgil Nicula; - Probleme din Gazeta Matematic, N. Teodorescu i
colaboratori, Editura Tehnic, Bucureti 1984. - Probleme de geometrie i de trigonometrie - Stere
Ianu, Nicolae Soare i colab. Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti ,1991
- Probleme practice de geometrie - Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff, Editura tehnic, Bucureti,1990;
- Probleme de geometrie - I.C.Drghicescu, Editura Tehnic,1987
- Manual de matematic pentru clasa a X-a, Costel Chite, Editura Sigma 2000;
- Manual de matematic pentru clasa a X-a, Mircea Ganga, Editura Mathpress 2005;
33
34
Dreptul de copyright: Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt
site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului
35
1. Mulimea numerelor reale 1.. Scrierea n baza zece:
dcbaabcd +++= 101010 23 a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;
001.001.01.01010101010, 321
+++==+++=
gfeagfeaefga
e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor. 2. Fracii
-Fracii zecimale finite: ;100
,;10
, abcbcaabba == -Fracii zecimale periodice:-
simple: ;99
)(,;9
)(, aabcbcaaabba ==
mixte: ;990
)(,;90
)(, ababcdcdbaababccba == 3.. Rapoarte i proporii
,,;0 *Qnknbna
babraportnumestese
ba =
= k se numete coeficient de proporionalitate ; Proprietatea fundamental a proporiilor:
cbdadc
ba ==
4. Proporii derivate:
==+
+=
==
===
=
.22
2
2
dc
basau
dbca
basau
dbca
ba
ddc
bbasau
dcc
baa
db
casau
ac
bdsau
cd
ab
dc
ba
36
5. Sir de rapoarte egale:
n
n
n
n
bbbbaaaa
ba
ba
ba
++++++++====
.........
.........321
321
2
2
1
1 ;
( ) ( )nn bbbbiaaaa ,....,,,......,, 321321 sunt direct proporionale k
ba
ba
ba
n
n ==== ..2
2
1
1 .
( ) ( )nn bbbbiaaaa ,....,,,......,, 321321 sunt invers proporionale nn bababa === ..2211 6. Modulul numerelor reale Proprieti:
=
0,
0,0
0,
aa
a
aa
defa
1. Raa ,0 ; 2. 0,0 == aa ; 3. Raaa = , ; 4. baba == , ; 5. baba = ; 6.
ba
ba = ;
7. bababa + ; 8. 0,, == aaxax ; 9. 0],,[, aaaxax ; 10. 0],,[],[, + aaaxax . 7. Reguli de calcul n R 1. ( ) ;2 222 bababa ++=+ 2. ( ) ;2 222 bababa += 3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;
37
4. ( ) cabcabcbacba 2222222 +++++=++ 5. ( ) 32233 33 babbaaba +++=+ ; 6. ( ) 32233 33 babbaaba += ; 7. ))(( 2233 babababa ++= ; 8. ))(( 2233 babababa ++=+ . 8. Puteri cu exponent ntreg
factorin
n aaaadefa ......
..80;.4
0,.7)(.3
0,1.6.2
)(.5;00;;1.1 1
nmaaaaaa
bba
bababa
aa
aaaa
aaaaa
nmnmn
m
n
nnnnn
nnnmnm
nmnmno
===
=
=
======
+
9. Proprietile radicalilor de ordinul doi
1. Raaa = ,02 2. baba = 3. 0, = b
ba
ba
4. 2)(n
nn aaa == ,
5. 22
22 baabaaba += unde a-b=k .
38
10. Medii
Media aritmetic 2
yxma+=
Media geometric yxmg = Media ponderat ponderileqp
qpyqxpmp ++= ,;
Media armonic yx
xy
yx
m h +=+= 2
112 .
Inegalitatea mediilor
22 yxxy
yxxy ++
11. Ecuaii
0,0 ==+ aabxbxa
0,2 == aaxax ;
aacbbxcxbxa
240
2
2,12 ==++ .
.04,0 2 acba .0, axaax ==
20, axaax == [ ] )1,[1 ++= aaxaxaax . 12. Procente
p % din N = Np 100
39
D =12100 npS
. Dobnda obinut prin depunerea la banc a unei
sume S de bani pe o perioad de n luni cu procentul p al dobndei anuale acordate de banc . Ct la sut reprezint numrul a din N.
x % din N =a N
ax 100= . 13. Partea ntreag 1. [ ] { }xxx += , Rx , [ ] Zx i { } )1,0[x 2. [ ]
40
2. Inegaliti 1. 1>a kk aa ba
7. cabcabcba ++++ 222 Rcba ,, 8. )( ( )22223 cbacba ++++ cba ,, R 9. ( )cba
cbacba ++++
++31222
Rcba ,,
10. ( ) 0,,33 ++++ cbacbacba
11. ( )( ) ( )nnnn aaaaaaaaaan 132121221 ......2...1 ++++++ 12. ( ) ( )21221 ...... nn aaaan ++++ , Nn 13. .0,,,
22
2
>
++ baNnbabann
14. .0,20 >++< r
rbra
ba
ba
41
15. x a ( )0>a .axa 16. baba + , Rba , sauC . 17. nn aaaaa ++ ...... 121 , in R sau C . 18. baba in R sau C . 19. ( ) nnnnnnn
11
11
1112 ==
( ) nnnnn1
11
11
!1 =<
20. Zba , , Znm , , Qnm .122 nbma
21. Numerele pozitive cba ,, pot fi lungimile laturilor unui triunghi dac i numai dac *,, + Rzyx ia.
,zya += ,zxb += .yxc += 22. 1
ba
ba
ba 0, >ba ,
23. .6,, * +++++ + bac
acb
cbaRcba
24. Dac 0,...,1 nxx si kxx n =++ ...1 constant atunci produsul nxxx ...22 e maxim cnd ....1 n
kxx n ===
25. Dac. 0,...,1
42
27. Teorema lui Jensen:
Dac :f ,R ( interval) si ( ) ( ) ( )22 2121xfxfxxf +
+
21, xx ( ) ( ) ( )nxfxf
nxxf nn ++
++ ...... 12 ix , .,1 ni =
28. Inegalitatea mediilor ....
...1...1
11
1
naaaa
aa
n nnn
n
++++
29. ( ) .1...1... 21
21 naaaaa
nn
+++++ .,1,0 niai =
egalitate cnd .,1,, njiajai == 30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz. ( )( ) ( )211221221 ......... nnnn bababbaa ++++++ ., Rba ii 31. Inegalitatea mediilor generalizate: .""
bjaj
biai ==
1
1
1
1 ......
++
++
naa
naa nn ,,,, +Rba ii
., R
32.n
aan
aa nn ++
++ ...... 12
122
1
33.Inegalitatea lui Bernoulli: ( ) .,1,11 Nnanaa n ++
43
3.Mulimi. Operaii cu mulimi. 1. Asociativitatea reuniunii si a interseciei: A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 2. Comutativitatea reuniunii si a interseciei: A B=B A A B=B A 3. Idempotena reuniunii si interseciei: A A=A A A=A 4. A =A A = 5. Distributivitatea reuniunii fa de intersecie: A (B C)=(A B) (A C) 6. Distributivitatea interseciei fa de reuniune: A (B C)=(A B) (A C)
7. A,B E, (A B)= A B
(A B)= A B
8. A E, ( A)=A
9. A\B= (A B) 10. A\(B C)=(A\B)\C A\(B C)=(A\B) (A\C) (A B)\C=(A\C) (B\C) (A B)\C=A (B\C)=(A\C) B 11. A(B C)=(AB) (AC) A(B C)=(AB) (AC) A(B\C)=(AB)\ (AC) ABBA A B ( x) (xA=>xB) A B ( x)((xA) (x B)) xA B (xA) (xB) xA B (xA) (xB) xC EA (xE) (x A) xA\B (xA) (x B)
44
12. Relaiile lui de Morgan
1. (p q)=p q, (p q)= p q . 2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r). 3. p p=A, p p = F. 4. p q p q. 5. p q (pq) (qp) (p q) ( q p). 6. p A = p , p A=A 7. p q = q p , p q = q p 8. (p)=p 9. p p =F , p p =A 10. (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 11. p F = p p F = F
45
4. Progresii
1. iruri Se cunosc deja irul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,irul numerelor pare 2,4,6, Din observaiile directe asupra acestor iruri, un ir de numere reale este dat n forma ,.....,, 321 aaa unde
321 ,, aaa sunt termenii irului iar indicii 1,2,3, reprezint poziia pe care i ocup termenii n ir. Definiie: Se numete ir de numere reale o funcie f: N*R , definit prin f(n)=a n Notm ( ) *Nnna irul de termen general , a n Observaie: Numerotarea termenilor unui ir se mai poate face ncepnd cu zero: ,.....,, 210 aaa
ia , i 1 se numete termenul de rang i. Un ir poate fi definit prin : a) descrierea elementelor mulimii de termeni. 2,4,6,8,.. b) cu ajutorul unei formule a n =2n c) printr-o relaie de recuren. 21 +=+ nn aa Un ir constant este un ir n care toi termenii irului sunt constani : 5,5,5,5,.. Dou iruri nnnn ba )(,)( sunt egale dac Nnba nn = , Orice ir are o infinitate de termeni.
46
2. Progresii aritmetice
Definiie: Se numete progresie aritmetic un ir n care diferena oricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia progresiei aritmetice. 1. Relaia de recuren ntre doi termeni consecutivi:
1,1 +=+ nraa nn 2. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice
211 + += nnn aaa
3. Termenul general este dat de :
( )rnaan 11 += 4. Suma oricror doi termeni egal departai de extremi este egal cu suma termenilor extremi :
nknk aaaa +=+ + 11 5. Suma primilor n termeni :
( )
21 naaS nn
+= 6. irul termenilor unei progresii aritmetice: rararaa 3,2,, 1111 +++ ,. ( )rnmaa nm = 7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie aritmetic de forma : x1 = u v x2 = u x3 = u + v u,v . 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie aritmetic astfel: x1 = u 3v, x2 = u v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, u,v . 9. Dac
2
1
1 ++
+
k
k
k
ki a
aaaa
47
4. Progresii geometrice Definiie : Se numete progresie geometric un ir n care raportul oricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numit raia progresiei geometrice. 1. Relaia de recuren : 1,1 =+ nqbb nn 2. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu termeni pozitivi 11 + = nnn bbb 3. Termenul general este dat de :
11
= nn qbb 4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu produsul extremilor
nknk bbbb = + 11 5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :
qqbS
n
n =
11
1
6. irul termenilor unei progresii geometrice : ,....,...,, 1
2111
nqbqbqbb
7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie geometric de forma :
x1 = vu
x2 = u x3 = vu , + *, Rvu 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie geometric astfel :
x1 = 3vu
x2 = vu
x3 = vu x4 = 3vu + *, Rvu
48
5. Funcii I. Fie : AB.
1) Funcia este injectiv,dac x,y A, x y=>(x) (y).
2) Funcia este injectiv,dac din (x)=(y) =>x=y. 3) Funcia f este injectiv, dac orice paralel la axa 0x intersecteaz graficul funciei n cel mult un punct. II. 1)Funcia este surjectiv, dac y B, exist cel puin un punct x A, a.. (x)=y. 2) Funcia este surjectiv, daca (A) =B. 3) Funcia este surjectiv, dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n cel puin un punct. III. 1) Funcia este bijectiv dac este injectiv i surjectiv. 2) Funcia este bijectiv dac pentru orice y B exist un singur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singur soluie,pentru orice y din B) 3) Funcia este bijectiv dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei ntr-un punct i numai unul. IV. 1A: AA prin 1A(x) =x, x A. 1) Funcia : AB este inversabil , dac exist o funcie g:BA astfel nct g o = 1A si o g =1B, funcia g este inversa funciei i se noteaz cu -1. 2) (x) = y x= -1(y) 3) este bijectiv este inversabil.
49
V. Fie :AB si g: BC, dou funcii. 1) Dac si g sunt injective, atunci g o este injectiv. 2) Dac si g sunt surjective,atunci g o este surjectiv. 3) Dac si g sunt bijective, atunci g o este bijectiv. 4) Dac si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o este (strict) crescatoare. 5) Dac si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o este (strict) descrescatoare. 6) Dac si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci g o este descrescatoare. 7) Dac este periodic, atunci g o este periodic. 8) Dac este par, atunci g o este par. 9) Dac si g sunt impare, atunci g o este impar, 10) Dac este impar si g par, atunci g o este par. VI. Fie : A B si g:BC, dou funcii. Dac g o este injectiv, atunci este injectiv. Dac g o este surjectiv, atunci g este surjectiv.
Dac g o este bijectiv, atunci este injectiv si g surjectiv. Dac ,g: A B iar h: B C bijectiv si h o = h o , atunci = g.
VII. Fie : AB si X,Y mulimi oarecare.
Funcia este bijectiv, dac i numai dac oricare ar fi funciile
u,v: XA,din o u = o v, rezult u=v. Funcia este surjectiv, daca i numai dac oricare ar fi funciile u,v :BY, din u o = v o , rezult u=v
50
VIII. 1)Dac :AB este strict monoton,atunci este injectiv. 2) Daca : RR este periodic i monoton, atunci este constant. 3) Daca : RR este bijectiv i impar,atunci -1 este impar. 4) Fie A finit i :AA. Atunci este injectiv este surjectiv. IX. Fie : E F, atunci 1) injectiv () g : F E (surjectiv) a.i. g o =1E. 2) surjectiv () g : EF (injectiv) a.i. o g =1F 3) bijectiv inversabil. X. Fie : E F. 1)Funcia este injectiv dac i numai dac () A,B E (A B) = (A) (B). 2) Funcia este surjectiv dac i numai dac () B F exist A E, astfel nct (A)=B. 3) Funcia este injectiv dac (A B)=(A) (B), A, B E. XI. Fie : E F si A E, B E, atunci (A) ={y F x A a.i. (x)=y} -1 (B) = {x E (x) B}. 1.Fie : E F si A,B E, atunci
a) A B => (A) (B), b) (A B)= (A) (B), c) (A B) (A) (B), d) (A) (B) (A B).
51
2.Fie : E F si A,B F atunci a) A B => -1 (A) -1 (B), b)-1 (A) -1 (B) --1 (A B), c)-1 (A) -1 (B) = -1 ( A B),
d) -1 (A) -1 (B) = -1 (A B), e) -1 (F) = E.
Funcia de gradul al doilea Forma canonic a funciei f:RR,
0,,,,)( 2 ++= aRcbacbxaxxf este
Rxaa
bxaxf
+= ,42
)(2
;
Graficul funciei este o parabol de vrf
aa
bV4
,2
, unde
acb 42 = 0a f este convex;
0 ; x1,x2 C f(x) >0, Rx ;
aa
bV4
,2
- punct
de minim;
52
0= , x1=x2R f(x) 0, Rx ; f(x)=0
abx2
=
Rxx 21,0 f(x) 0, ),[],( 21 + xxx ;
f(x)
53
a
54
Pentru
a
bx2
, funcia este strict cresctoare;
Pentru ),,2
[ +a
bx funcia este strict descresctoare.
6. NUMERE COMPLEXE 1. NUMERE COMPLEXE SUB FORM ALGEBRIC
=+== 1,,, 2iRbaibazzC
- mulimea numerelor complexe. z=a+ib=Re z+Im z OPERAII CU NUMERE COMPLEXE
Fie idczibaz +=+= 21 , . Atunci: 1. dbsicazz === 21 . 2. ).()(21 dbicazz +++=+ 3. ).()(21 cbdaidbcazz ++=
4. ,1 ibaz = conjugatul lui 1z 5. 2222
2
1
dcdacbi
dcdbca
zz
+++
+=
6. 22221
1ba
biba
az ++= .
55
PUTERILE LUI i 1. 14 =ki ; 2. ii k =+14 ; 3. 124 =+ki ; 4. ii k =+34 ; 5. i
ii
ii n
n === 1,1 1 ;
6.
===
imparni
parniiii
n
n
nnnn
,
,)1()(
PROPRIETILE MODULULUI
22 baz += - modulul nr. complexe 1. 00,0 == zzz 2. 2zzz = 3. zz = 4. 2121 zzzz = 5. 0, 2
2
1
2
1 = zzz
zz
6. 212121 zzzzzz + 7. nn zz = 8. zzzRzCz == 0Im; ECUAII:
++++=
+=+=
22
2222
2,1
2,12
baaibaaz
ibazibaz
+ dac b pozitiv; - dac b negativ
56
02
04
240
2,1
2
2
2,12
=
=
==++
dacaaibx
sauacbdaca
aacbbxcbxax
NUMERE COMPLEXE SUB FORM GEOMETRIC
Forma trigonometric a numerelor complexe:
z= )sin(cos i+ ,
=+=IVba
IIIIIba
Iba
kkabarctg
),(,2
,),(,1
),(,0
,
= 22 baz += se numete raza polar a lui z Fie z1= )sin(cos 111 i+ i z2= )sin(cos 222 i+ ;
z1=z2 kiaZkexistasi +== 2121 ., )sin()[cos( 21212121 +++= izz
)sin(cos 1111 iz =
57
)]sin()[cos(11 1111
+= iz
[ ])sin()cos( 12121
2
1
2 += i
zz
Rnninz nn += ),sin(cos 1111 1,0),
2sin
2(cos 1111 +++= nkn
ki
nk
z nn
7. FUNCTIA EXPONENTIAL
Def. f: R (0,), f(x)= 1,0, aaa x
Dac a 1 f este strict cresctoare 2121
xx aaxx Dac a ( ) 1,0 f este strict descresctoare 2121
xx aaxx Proprieti: Fie a,b ( ) Ryxba ,,1,,,0
58
( )( )
x
xx
x
xx
yxy
x
yxyx
yxx
yxyx
adefinestesenuapentru
aa
a
a
bba
ba
aaaa
aa
aaba
aaa
,0
0,11
0,
0,
0
==
=
=
==
=
+
Tipuri de ecuaii: 1. a bxfbaab a
xf log)(0,1,0,)( == 2. a )()(1,0,)()( xgxfaaa xgxf == 3. a bxgxfbabab a
xgxf log)()(1,,0,,)()( == 4. ecuaii exponeniale reductibile la ecuaii algebrice printr-o substituie. 5. ecuaii ce se rezolv utiliznd monotonia funciei exponeniale. Inecuaii a>1, )()()()( xgxfaa xgxf a )()()1,0( )()( xgxfaa xgxf
59
FUNCTIA LOGARITMIC
Def: f:(0,) R, f(x)= xalog , 1,0 aa ,x>0
Dac a 1 f este strict cresctoare 2121 loglog xxxx aa Dac a ( ) 1,0 f este strict descresctoare 2121 loglog xxxx aa Proprieti: Fie a,b ( ) Rmyxcbac ),,0(,,1,,,,0
yxyx
yxyxxyxa
aaa
aaa
ay
logloglog
loglogloglog0
=+=
==
60
.1log,01log
,
loglog
1,loglog
log
loglog,log
logloglog
====
====
a
axca
aba
bb
bmbma
aa
xac
bac
ca
am
am
a
abb
Tipuri de ecuaii: 1. bxf xfxgfgfbxg )()(1,0,,)(log )( == 2. )()()(log)(log xgxfxgxf aa == 3. )(log)()(log)(log xgba baxfxgxf == 4. ecuaii logaritmice reductibile la ecuaii algebrice printr-o substituie. 5. ecuaii ce se rezolv utiliznd monotonia funciei logaritmice. Inecuaii a>1, )()()(log)(log xgxfxgxf aa a )()()(log)(log)1,0( xgxfxgxf aa
61
8. BINOMUL LUI NEWTON n 1664 Isaac Newton (1643-1727) a gsit urmtoarea formul pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Dei formula era cunoscut nc din antichitate de ctre matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123), Newton a extins-o i pentru coeficieni raionali. TEOREM: Pentru orice numr natural n i a i b numere reale exist relaia:
( ) nnnkknknnnnnnnn bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ ...............222110 (1) Numerele nnnn CCC ,....,,
10 se numesc coeficienii binomiali ai dezvoltrii; Este necesar s se fac distincie ntre coeficientul unui termen al dezvoltrii i coeficientul binomial al acelui termen. Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+.. Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar coeficientul binomial este C41 =4; Pentru (a-b)n avem urmtoarea form a binomului lui Newton:
( ) nnnnkknknknnnnnnn bCbaCbaCbaCaCba )1(.....)1(...........222110 ++++= (1) Proprieti: 1. Numrul termenilor dezvoltrii binomului (a+b)n este n+1; Dac n=2k coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltrii este Cnk i este cel mai mare. Dac n=2k+1 Cnk i Cnk+1 sunt egali i sunt cei mai mari; CnoCnn daca n este par, n=2k
62
Cno
63
9. Vectori i operaii cu vectori
Definiie: Se numete segment orientat, o pereche ordonat de puncte din plan; Se numete vector, mulimea tuturor segmentelor orientate care au aceeai direcie, aceeai lungime i acelai sens cu ale unui segment orientat. Observaii: Orice vector AB se caracterizeaz prin:
- modul(lungime,norm), dat de lungimea segmentului AB;
- direcie, dat de dreapta AB sau orice dreapt paralel cu aceasta;
- sens, indicat printr-o sgeat de la originea A la extremitatea B.
Notaii: AB vectorul cu originea A i extremitatea B; 2
02
0 )()( yyxxAB += - modulul vectorului AB unde A(x0,y0), B(x.y). Definiie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direcie, acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dac au aceeai direcie, acelai modul i sensuri contrare: - AB = BA . Adunarea vectorilor se poate face dup regula triunghiului sau dup regula paralelogramului:
64
Rvsauv === ,000 vvvvDaca = ,0,0 are direcia i sensul
vectorului v dac 0 i sens opus lui v dac 0 . Definiie: Doi vectori se numesc coliniari dac cel puin unul este nul sau dac amndoi sunt nenuli i au aceeai direcie. n caz contrar se numesc necoliniari.
vectori coliniari vectori necoliniari Teorem: Fie 0u i v un vector oarecare. Vectorii u i v sunt coliniari uviaR = .. .
65
Punctele A, B, C sunt coliniare
ACABiRacoliniarisuntACsiAB = .. . CDsiABCDAB sunt coliniari;
Dac u i v sunt vectori necoliniari atunci
00.., ===+ yxvyuxiaRyx . Teorem: Fie a i b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , exist )(, uniceR astfel nct bav += . Vectorii a i b formeaz o baz.
, se numesc coordonatele vectorului v n baza ( )ba, . Definiie: Fie XOY un reper cartezian. Considerm punctele A(1,0),
B(0,1). Vectorii OBjsiOAi == se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direciile axelor i sensurile semiaxelor pozitive cu OX i OY. Baza ( )ji, se numete baz ortonormat.
66
jyixBABAv +=+= '''''' x=xB- xA, y=yB- yA
jvprivprv OYOX += 22 )()( ABAB yyxxAB += Teorem: Fie )','(),,( yxvyxu . Atunci:
1) u + v are coordonatele (x+x.y+y); 2) vR , are coordonatele ( x, y); 3) )','(),,( yxvyxu sunt coliniari
.0''.0',',''
=== yxxyyxkyy
xx
4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.
].,0[,),(cos == vumundevuvu
2222 )'()'(''cos
yxyxyyxx++
+=
0],2
(;0]2
,0[ vuvu Fie )','(),,( yxvyxu nenuli. Atunci:
.0''0 =+= yyxxvuvu
.0;1
.00
.,02
======
jijjii
uuu
uuuu
Vectori de poziie. Dac BA rr ,
sunt vectori de poziie, atunci: AB rrAB =
67
10. Funcii trigonometrice
Semnul funciilor trigonometrice:
Sin: [ ]1,12
,2
arcsin:[-1,1]
2
,2
Cos: [ ] [ ]1,1,0 arccos:[-1,1] [ ],0
68
Tg: R
2
,2
arctg:R
2
,2
Reducerea la un unghi ascuit
Fie u )2
,0( Notm sgn f= semnul funciei f; cof = cofuncia lui f
=
==
imparkuukf
parkuukfuk
,cos)2
(sgn
,sin)2
(sgn
2sin
Analog pentru
celelalte;
n general,
=
==
imparkucofukf
parkufukfukf
),()2
(sgn
),()2
(sgn)
2(
69
Ecuaii trigonometrice Fie x un unghi, a un numr real i k Z .
]1,0[,arcsin)1(1,sin +== adackaxaax k = ]0,1[,arcsin)1( 1 + + adackak
]1,0[,2arccos1,cos +== adackaxaax = ]0,1[,)12(arccos ++ adacka
karctgaxRaatgx +== ,
kaxax k +== )1()arcsin(sin kaxax 2)arccos(cos +==
kaxatgxarctg +==)(
kxgxfxgxf k +== )()1()()(sin)(sin kxgxfxgxf 2)()()(cos)(cos +== Zkkxgxfxtggxtgf +== ,)()()()(
Ecuaii trigonometrice reductibile la ecuaii care conin aceeai funcie a aceluiai unghi; Ecuaii omogene n sin x i cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2 x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0 Ecuaii trigonometrice care se rezolv prin descompuneri n factori; Ecuaii simetrice n sin x i cos x; Ecuaii de forma:
=+=++acxtgxacxbxa cossin:0cossin
kacx k +=+ )cosarcsin()1(
22cossin baxbxa ++ Observaie important: Prin ridicarea la putere a unei ecuaii trigonometrice pot aprea soluii strine iar prin mprirea unei ecuaii trigonometrice se pot pierde soluii;
70
FORMULE TRIGONOMETRICE
1.
2
222
cos1sin
;sin1cos1cossin
===+
R 2.
;cos
11cos
cos1sin1
sin2
22
2
=+=
= tgtg
3. ;1
sin;1
1cos22
tgtg
tg +=
+=
4. sinsincoscos)cos( =+ ; 5. sinsincoscos)cos( += ; 6. cossincossin)sin( +=+ ; 7. cossincossin)sin( = ; 8. ;
1)(;
1)(
tgtgtgtgtg
tgtgtgtgtg +
=+=+
9.
;1)(;1)(
ctgctg
ctgctgctgctgctg
ctgctgctg +=+
=+
10. ;cossin22sin = 11. 2222 sin211cos2sincos2cos === 12.
22cos1sin;
22cos1cos 22 =+= ;
13. ;2cos1
2sin;
2cos1
2cos =+=
14.
cos1cos1
2;
cos1cos1
2 +=+
= ctgtg
15. ;2
12;1
222
2
ctg
ctgctgtgtgtg ==
71
16. ;
22
21
;
21
22 2
2
tg
tgctg
tg
tgtg
=
=
17.
;13
33;cos3cos43cos
3133;sin4sin33sin
2
33
2
33
==
==
ctgctgctgctg
tgtgtgtg
18. ;
2
1sin
cos1cos1
sin2
ctg
tg ==+=
19. ;
21
21
cos;
21
22
sin2
2
2
tg
tg
tg
tg
+
=+
=
2cos
2sin2sinsin bababa +=+
2cos
2sin2sinsin bababa +=
2sin
2sin2coscos bababa +=
2cos
2sin2coscos bababa +=+
babatgbtga
coscos)sin(
=
babactgbctga
sinsin)sin(
+=+
baabctgbctga
sinsin)sin(
=
babatgbtga
coscos)sin(
+=+
72
2)cos()cos(coscos bababa ++=
)11arcsin(arcsinarcsin 22 xyyxyx +=+ arcsin x+arccos x=
2 arctg x +arcctg x=
2
arctg x+arctg2
1 =x
arccos(-x)= -arccos x
2)sin()sin(cossin bababa ++=
2)cos()cos(sinsin bababa +=
73
11. ECUAIILE DREPTEI N PLAN 1. Ecuaia cartezian general a dreptei: ax+by+c=0 (d) Punctul M(x0,y0) 000 =++ cybxad 2. Ecuaia dreptei determinat de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):
12
1
12
1
xxxx
yyyy
=
3. Ecuaia dreptei determinat de un punct M(x0,y0) i o direcie dat( are panta m) y-y0=m(x-x0) 4. Ecuaia explicit a dreptei (ecuaia normal):
y=mx+n, unde 12
12
xxyytgm
== este panta dreptei i n este ordonata la origine.
5. Ecuaia dreptei prin tieturi: .0,,1 =+ baby
ax
6. Fie (d): y=mx+n i (d): y=mx+n
Dreptele d i d sunt paralele m=mi n n. Dreptele d i d coincid m=mi n=n. Dreptele d i d sunt perpendiculare mm= -1.
Tangenta unghiului a celor dou drepte este
'1'
mmmmtg +
= 7. Fie d: ax+by+c=0 i d: ax+by+c=0 cu a,b,c .0 i
)',( ddm = Dreptele d i d sunt paralele
''' cc
bb
aa =
74
Dreptele d i d coincid ''' c
cbb
aa ==
Dreptele d i d sunt concurente '' b
baa
ab-ba .0
2222 ''
''
'
'cos
baba
bbaa
vv
vv
+++=
= unde
)','('),,( abvabv sunt vectorii directori ai dreptelor d i d. Dreptele d i d sunt perpendiculare,
0''' =+ bbaadd 8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) n plan.
Dreptele AB i CD sunt paralele, AB|| CD CDABaR = .*, sau mAB=mCD. Dreptele AB i CD sunt perpendiculare,
0= CDABCDAB Condiia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fie coliniare este:
12
13
12
13
xxxx
yyyy
=
9. Distana dintre punctele A(x1,y1) i B(x2,y2) este
( ) ( )212212 yyxxAB += Distana de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecuaie (h): ax+by+c=0 este dat de:
22
000 ),(
ba
cbyaxhMd
+++= .
75
12. CONICE 1.CERCUL Definiie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal deprtate de un punct fix, numit centru se numete cerc.
}|),({),( rOMyxMrOC ==
1. Ecuaia general a cercului A(x + y) + Bx + Cy + D = 0 2. Ecuaia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza r (x - a) + (y + b) = r ; x + y = r 3. Ecuaia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2) (x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0 4. Ecuaia tangentei dup o direcie O(0,0) : y = mx r m1+ O(a,b) : y-b = m(x-a) r m1+ 5. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0) (x x0) + (y y0) = r respectiv (x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r 6. Ecuatia normala a cercului
76
x + y + 2mx + 2ny + p = 0 cu O(-m; -n) i r = m + n - p 7. Ecuaia tangentei n punctul M(x0,y0) x x0 + y y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 0 8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaie y = mx + n este
d(0,d) = 1
||++
mnbma
sau (
|| 00ba
cbyaxd ++= + )
9. Ecuaiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0) I. Se scrie ecuaia 4 i se pune condiia ca M s aparin cercului de ecuaie 4. II. y - y0 = m(x - x0) x + y = r , =0 2. ELIPSA
Definiie: Locul geometric al punctelor din plan care au suma distanelor la dou puncte fixe, constant, se numete elips.
F,F- focare, FF distana focal E={ }aMFMFyxM 2'),( =+ MF,MF- raze focale 1. Ecuaia elipsei
77
1
=+
by
ax , b = a - c
2. Ecuaia tangentei la elips y = mx bma + 3. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0) la elips
1
00 =+b
yya
xx , 0
0
yx
abm =
4. Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) la elips VAR I Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M s aparin elipsei de ecuaie 2 de unde rezult m VAR II Se rezolv sistemul y y0 = m(x-x0)
, cu conditia = 0
3. HIPERBOLA Definiie: Locul geometric al punctelor din plan a cror diferen la dou puncte fixe este constant, se numete hiperbol
1
=+
by
ax
78
H: = { M(x,y) | |MF MF| = 2a }
y = xab
--ecuaia asimptotelor
1. Ecuaia hiperbolei
1
=
by
ax
, b = c - a ;
Daca a = b => hiperbola echilateral 2.Ecuaia tangentei la hiperbol
y = mx bma 3. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0)
1
00 =b
yya
xx ,
0
0
yx
abm =
4. Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecuaia 2 si se pune condiia ca M s aparin hiperbolei de ecuaie 2, de unde rezult m. VAR II. Se rezolva sistemul y - y0 = m(x - x0)
1
=
by
ax
, cu = 0
4. PARABOLA
Definiie: Locul geometric al punctelor egal deprtate de un punct fix, (numit focar) i o dreapt fix (numit directoare), se numete parabol.
79
P: = { M(x, y) | MF = MN }
(d): x = 2p ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem
duce tangente la o parabol). 1. Ecuaia parabolei y = 2px 2. Ecuaia tangentei la parabol
y = mx + mP
2
3. Ecuaia tangentei n M (x0, y0) yy0 = p(x + x0) 4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M (ecuatia 2) => m VAR II. Se rezolv sistemul y - y0 = m(x - x0) y = 2px cu = 0
80
13. ALGEBRA LINIAR
1. MATRICE.
Adunarea matricelor
++++=
+
tdzcybxa
tzyx
dcba
=
tazayaxa
tzyx
a
nmulirea matricelor
++++=
tdyczdxctbyazbxa
tzyx
dcba
Transpusa unei matrice
=
dbca
dcba T
2. DETERMINANI.
cbdadcba = ;
dbiahfgecfbgchdieaihgfedcba
++=
Proprieti: 1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse; 2. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul; 3. Dac ntr-o matrice schimbm dou linii(sau coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniiale. 4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice atunci determinantul su este nul;
81
5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt nmulite cu un element a, obinem o matrice al crei determinant este egal cu a nmulit cu determinantul matricei iniiale. 6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proporionale atunci determinantul matricei este nul; 7. Dac la o matrice ptratic A de ordin n presupunem c
elementele unei linii i sunt de forma '''
ijijij aaa += atunci det A = det A +det A; 8. Dac o linie (sau coloan) a unei matrice ptratice este o combinaie liniar de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul. 9. Dac la o linie (sau coloan) a matricei A adunm elementele altei linii (sau coloane) nmulite cu acelai element se obine o matrice al crei determinant este egal cu determinantul matricei iniiale; 10. Determinantul Vandermonde:
))()((111
222
bcacabcbacba = ;
11. Dac ntr-un determinant toate elementele de deasupra diagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu fca ;
fcafed
cba
=000
12. Factor comun
rvupnmzyx
barvu
pbnbmbzayaxa
=
82
3. Rangul unei matrice Fie A )(, CM nm , rN, ),min(1 nmr . Definiie: Se numete minor de ordinul r al matricei A, determinantul format cu elementele matricei A situate la intersecia celor r linii i r coloane. Definiie: Fie A nmO , o matrice . Numrul natural r este rangul matricei A exist un minor de ordinul r al lui A, nenul iar toi minorii de ordin mai mare dect r+1 (dac exist) sunt nuli. Teorema: Matricea A are rangul r exist un minor de ordin r al lui A iar toi minorii de ordin r+1 sunt zero. Teorema: Fie A )(),( ,, CMBCM snnm . Atunci orice minor de ordinul k , ),min(1 smk al lui AB se poate scrie ca o combinaie liniar de minorii de ordinul k al lui A (sau B). Teorema: Rangul produsului a dou matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecrei matrice. Definiie: )(CM n . A este inversabil det A 0.( A este nesingular). Teorema: Inversa unei matrice dac exist este unic. Observaii: 1) det (AB) =det A det B.
2) *det
11 AA
A =
(1
,))1((*+ = AdAAA jiijji )
3) A-1 )(ZM n det A = 1 . Stabilirea rangului unei matrice: Se ia determinantul de ordinul k-1 i se bordeaz cu o linie (respectiv cu o coloan). Dac noul determinant este nul rezult c ultima linie(respectiv coloan )este combinaie liniar de celelalte linii (respectiv coloane).
83
Teorema: Un determinant este nul una din coloanele (respectiv linii) este o combinaie liniar de celelalte coloane(respectiv linii). Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numrul maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv liniile) lui A astfel nct nici una dintre ele s nu fie combinaie liniar a celorlalte. 4. Sisteme de ecuaii liniare Forma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscute este:
(1
=+++
=+++
mnmnmm
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
.......................................................
...........
2211
11212111
sau
==
n
jjij xa
1 ib
Unde A (aij) mi 1 , nj 1 - matricea coeficienilor necunoscutelor.
Matricea
=
mmnm
n
baa
baaA
..........
1
1111
se numete matricea extins
a sistemului. Definiie: Un sistem de numere n ,......., 21 se numete soluie a sistemului (1)
miba in
jjij ,1,
1==
= .
Definiie: - Un sistem se numete incompatibil nu are soluie; - Un sistem se numete compatibil are cel puin o soluie; - Un sistem se numete compatibil determinat are o singur soluie;
84
- Un sistem se numete compatibil nedeterminat are o infinitate de soluii; Rezolvarea matriceal a unui sistem Fie A, )(CMB n .
njbaA
XBAXBXAA in
iijj ,1,det
11
11 ==== =
.
Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Teorema lui Cramer: Dac det A 0not , atunci sistemul AX=B are o soluie unic Xi=
i . Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaii liniare este compatibil rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaii liniare este compatibil toi minorii caracteristici sunt nuli. Notm cu m-numrul de ecuaii; n- numrul de necunoscute; r -rangul matricei coeficienilor.
I m=n=r Sistem compatibil determinat
0 II m=r n Sistem compatibil
nedeterminat Minorul principal este nenul
III
n=r m
Sistem compatibil determinat sau
Dac toi minorii caracteristici sunt nuli
85
Sistem incompatibil
Exist cel puin un minor caracteristic nenul
IV mrnr , Sistem compatibil nedeterminat sau
Dac toi minorii caracteristici sunt nuli
Sistem incompatibil
Exist cel puin un minor caracteristic nenul
Teorema: Un sistem liniar i omogen admite numai soluia banal 0
86
14. SIRURI DE NUMERE REALE 1. Vecinti. Puncte de acumulare. Definiia 1 : Se numete ir , o funcie f : N R definit prin f(n) = a n .
Notm ( ) ..,.........,,....,.........,,: 321210 aaasauaaaa Nnn Orice ir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al irului ( ) Nnna . Definiia 2 : Dou iruri ( ) Nnna , ( ) Nnnb sunt egale
Nknba nn = , Definiia 3: Fie a R. Se numete vecintate a punctului aR, o mulime V pentru care >0 i un interval deschis centrat n a de forma (a- , a+ ) V. Definiia 4: Fie D R. Un punct R se numete punct de acumulare pentru D dac n orice vecintate a lui exist cel puin un punct din D-{ } V (D-{ } ) . Un punct xD care nu e punct de acumulare se numete punct izolat. 2. iruri convergente Definiia 5 : Un ir ( ) Nnna este convergent ctre un numr a R dac n orice vecintate a lui a se afl toi termenii irului cu excepia
unui numr finit i scriem a n an sau =
naanlim
a se numete limita irului . Teorema 1: Dac un ir e convergent , atunci limita sa este unic. Teorema 2: Fie ( ) Nnna un ir de numere reale. Atunci: ( ) Nnna este monoton cresctor a n Nnan + ,1 sau
1,0 11 ++n
nnn a
asauaa ;
87
( ) Nnna este stict cresctor a n Nnan + ,1 sau 1,0 11 ++
n
nnn a
asauaa ;
( ) Nnna este monoton descresctor a n Nnan + ,1 sau 1,0 11 ++
n
nnn a
asauaa ;
( ) Nnna este strict descresctor a n Nnan + ,1 sau 1,0 11 ++
n
nnn a
asauaa .
Definiia 6. Un ir ( ) Nnna este mrginit M R astfel nct Man sau
nanctastfelR, . Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice ir monoton i mrginit este convergent. Definiia 7: Dac un ir are limit finit irul este convergent. Dac un ir are limit infinit + sau irul este divergent. Teorema 4: Orice ir convergent are limit finit i este mrginit dar nu neaprat monoton. Teorema 5: Lema lui Cesaro: Orice ir mrginit are cel puin un subir convergent. Definiia 8: Un ir e divergent fie dac nu are limit, fie dac are o limit sau dac admite dou subiruri care au limite diferite. OBS: Orice ir cresctor are limit finit sau infinit. Teorema 6: Dac ( ) Nnna *+R este un ir strict cresctor i nemrginit atunci
=+=
na
an
n 01limlim
. Un ir
descresctor cu termenii pozitivi este mrginit de primul termen i de 0.
88
3. Operaii cu iruri care au limit Teorema 7: Fie ( ) Nnna , ( ) Nnnb iruri care au limit: a n an , b n bn . Dac operaiile a+b,ab
itauababaababa
irurileatuncisensauaba
nbn
n
nnnnnnnn
b
lim,,,,,
,
+ .
lim( nn ba + )= lim na +lim nb ; lim( nn ba )=lim na .lim nb ; n n n lim( na )=lim na ; lim
n
n
n
n
ba
ba
limlim=
lim nn bnb
n aalim)(lim=
( ) ( )nana aa limlogloglim = k
nk
n aa limlim = Prin convenie s-a stabilit: += ; a+=,aR; a+(-)=-; -+(-)=-; a= ,a>0; a=-,a
89
Dac nnnnn abiba Dac aaaa nnnn . Dac 00 nnnn aa . Teorema 9: Dac irul ( ) Nnna este convergent la zero, iar ( ) Nnnb este un ir mrginit, atunci irul produs nn ba este convergent la zero. 4. Limitele unor iruri tip
N
=
=
1,
1,
1,1
)1,1(,0
lim
qdacexist nu
qdac
qdac
qdac
q nn
N ( )
=+++
0,
0,....lim
0
0110
a
aanana ppp
n
N
=
=++++++
.0,
0,
,
,0
............
lim
0
0
0
0
0
0
110
110
ba
iqpdac
ba
iqpdac
qpdacba
qpdac
bnbnbanana
qqq
ppp
n
90
lim ......71,211 =
+ en
n
lim ex
nx
n
=
+ 11
n x n
lim ( ) ex nxn =+ 11 lim 1sin =n
n
xx
x n 0 x n 0
lim 1arcsin =
n
n
xx
lim 1=n
n
xtgx
x n 0 x n 0
lim 1=n
n
xarctgx
lim 11ln( ) =+
n
n
xx
x n 0 x n 0
lim ax
a
n
xnln1 = lim ( ) r
xx
n
rn =+ 11
x n 0 x n 0
lim =pn
x
xe n
lim 0ln =p
n
n
xx
x n x n
91
15. LIMITE DE FUNCII
Definiie: O funcie f:D RR are limit lateral la stnga ( respectiv la dreapta) n punctul de acumulare
slexistx0 R (respectiv dl R) a. . lim f(x)= sl , (respectiv lim f(x) = dl ).
0
0
xxxx
0
0
xxxx
Definiie: Fie f:D RR , Dx 0 un punct de acumulare. Funcia f are limit n )()( 000 xlxlx ds = Proprieti: 1. Dac lim f(x) exist, atunci aceast limit este unic.
0xx 2. Dac lim f(x) =l atunci
0
.)(limxx
lxf
=
0xx Reciproc nu. 3. Dac
0
0)(lim0)(lim
xx
xfxf
==
4. Fie f,g:D RR , U o vecintate a lui Dx 0 astfel nct f(x) g(x) { }0xUDx i dac exist
00 ,
)(lim),(lim
xxxx
xgxf
00
)(lim)(lim
xxxx
xgxf
92
5. Dac { }.)(lim)(lim)(lim
)()()( 0
lxglxhxf
ixUDxxhxgxf
===
xx0 xx0 xx0
6.
Dac
{ }lxfxg
ixUDxxglxf
==
)(lim0)(lim
)()( 0
7.
0)()(lim
)(..00)(lim
==
xgxf
MxgaMixfDac .
8.
.)(lim
(lim)()(
.)(lim
)(lim)()(
==
+=+=
xf
xgixgxfDac
xf
xgixgxfDac
OPERAII CU FUNCII
112
1212121
21
,,,,,
)(lim,)(lim
2 lllllllllloperatiilesens
auilxglxfexistDacl+
==
atunci: 1. lim(f(x) g(x))= 21 ll . 2. limf(x)g(x)= 21 ll
93
3.lim2
1
)()(
ll
xgxf =
4.lim 21)()( lxg lxf =
5.lim 1)( lxf = P(X)=a0xn + a1xn-1 + ..+an ,a0 0 limx
naxP )()( 0 =
0, dac q ( )1,1 limx q
x = 1, dac q=1
, dac q>1 nu
exist, dac q 1
94
N
=
=++++++
.0,
0,
,
,0
............
lim
0
0
0
0
0
0
110
110
ba
iqpdac
ba
iqpdac
qpdacba
qpdac
bxbxbaxaxa
qqq
ppp
x
a>1 =
x
xalim 0lim =
x
xa
a )1,0( 0lim =x
xa =
x
xalim
a>1 =
xax
loglim = xax loglim0 a )1,0( =
xa
xloglim = xax loglim0
lim0x
1sin =x
x ( )
( )( ) 1
sinlim0
= xu
xuxu
lim0x
1=x
tgx ( )
( )( ) 1lim 0 = xu
xtguxu
lim0x
1arcsin =x
x ( )
( )( ) 1
arcsinlim0
= xu
xuxu
lim0x
1=x
arctgx ( )
( )( ) 1lim 0 = xu
xarctguxu
lim0x( ) ex x =+ 11
( )( )( ) ( ) exu xu
xu=+
1
01lim
95
ex
x
x=
+
11lim ( ) ( )( )
011lim =
+
xu
xu xu
lim0x
( ) 11ln =+x
x ( )
( )( )( ) 1
1lnlim0
=+ xu
xuxu
lim0x
ax
a x ln1 = ( ) ( ) axu
a xu
xuln1
)(
0lim =
lim0x
( ) rxx r =+ 11
( )( )( )( ) rxuxu r
xu=+
11lim0
0lim = xk
x ax
( )( )( ) 0lim = xu
k
xu axu
limx 0ln =kx
x ( )
( )( ) 0
lnlim = kxu xuxu
96
16. FUNCII CONTINUE
DEFINIIE. O funcie f : D R R se numete continu n punctul de acumulare x0 D oricare ar fi vecintatea V a lui f(x0) , exist o vecintate U a lui x0, astfel nct pentru orice
x U D f(x) V.
DEFINIIE. f : D R R este continu n x0 D f are limit n x0 i lim f(x) = f(x0) sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0). x0 se numete punct de continuitate. Dac funcia nu este continu n x0 f.se numete discontinu n x0 i x0 se numete punct de discontinuitate. Acesta poate fi:
- punct de discontinuitate de prima spe dac ls (x0 ), ld (x0 ) finite, dar f(x0);
- punct de discontinuitate de a doua spe dac cel puin o limit lateral e infinit sau nu exist.
DEFINIIE. f este continu pe o mulime ( interval) este continu n fiecare punct a mulimii ( intervalului).
Funciile elementare sunt continue pe domeniile lor de definiie.
Exemple de funcii elementare: funcia constant c, funcia identic x, funcia polinomial f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , funcia raional f(x)/g(x), funcia radical n xf )( , funcia logaritmic log f(x), funcia putere xa, funcia exponenial ax, funciile trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x.
PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCII NTR-UN PUNCT DE ACUMULARE
DEFINIIE. Fie f : D R R. Dac f are limita l R n punctul de acumulare x0 D
f: D { x0} R, f(x) =
=
0,),(
xxlDxxf
97
este o funcie continu n x0 i se numete prelungirea prin continuitate a lui f n x0.
OPERAII CU FUNCII CONTINUE
T1. Dac f,g:DR sunt continue n x0 ( respectiv pe D) atunci f+g, f, fg,f/g, fg, f sunt continue n x0 ( respectiv pe D); R, g 0.
T2. Dac f:DR e continu n x0 D ( respectiv pe D) )(xf e continu n x0 ( respectiv pe D). Reciproca nu e valabil.
T3. Fie f:DR continu n n x0 A i g:B A continu n x0 B, atunci gf e continu n x0 A.
lim f( g (x) = f( lim g(x)) xx0 xx0
Orice funcie continu comut cu limita.
PROPRIETILE FUNCIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL
LEM. Dac f este o funcie continu pe un interval [ a,b] i dac are valori de semne contrare la extremitile intervalului ( f(a) ( f(b)
98
STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCII PROP. O funcie continu pe un interval, care nu se anuleaz pe acest interval pstreaz semn constant pe el. DEFINIIE. Fie f : I R R ( I = interval) f are proprietatea lui Darboux. a,b I cu a < b i ( f(a), f(b)) sau ( f(b), f(a)) c ( a,b), a.. f(c) = . TEOREM. Orice funcie continu pe un interval are P.D. Dac f :I R are P.D. atunci f( I) e interval. ( Reciproca e n general fals). CONTINUITATEA FUNCIILOR INVERSE T1. Fie f : I R R o funcie monoton a.. f( I) e interval. Atunci f este continu. T2. Orice funcie continu i injectiv pe un interval este strict monoton pe acest interval. T3. Fie f : I R, I, J R intervale. Dac f e bijectiv i continu atunci inversa sa f-1 e continu i strict monoton.
99
17. DERIVATE
FUNCIA DERIVATA C 0 x 1 xn nxn-1
xa axa-1
ax a x lna
ex e x
x1 - 2
1x
nx1 - 1+nx
n
x x2
1
n x n nxn 1
1
sin x cosx cos x -sinx tg x
x2cos1
ctg x -x2sin
1
arcsin x 21
1x
100
arccos x -21
1x
arctg x 211x+
arcctg x - 211x+
lnx x1
log a x ax ln1
(uv) = v. uv-1.u + uv.v.lnu
f(x)= dcxbax
++
f(x)= 2)( dcxdcba
+
REGULI DE DERIVARE
(f.g)=fg+fg
( )'f = 'f '
gf = 2
''
gfggf
( ) ( ))(
1)(0
'0'1
xfxff =
101
18. STUDIUL FUNCIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR
Proprieti generale ale funciilor derivabile . 1.Punctele de extrem ale unei funcii. Fie un interval i f:R. Definiie. Se numete punct de maxim (respectiv de minim)(local) al funciei f , un punct a pentru care exist o vecintate V a lui a astfel nct ( ) ( ) ( )( ) ( ) afxfrespectivafxf . x V. Un punct de maxim sau de minim se numete punct de extrem. a se numete punct de maxim(respectiv de minim) global dac ( ) ( ) ( ) ( )( )afxfrespafxf . . x . Obs.1.O funcie poate avea ntr-un interval mai multe puncte de extrem.(vezi desenul). Obs.2.O funcie poate avea ntr-un punct a un maxim (local), fr a avea n a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul ( ) ( )cfaf < ).
-puncte de maxim
-puncte de minim
( )( ) ( )( )cfcafa ,,,
( )( ) ( )( )dfdbfb ,,,
102
TEOREMA LUI FERMAT
Dac f este o funcie derivabil pe un interval si 0
0 Ix un punct de extrem,atunci ( ) 00' =xf . Interpretare geometric: Deoarece ( ) = 00' xf tangenta la grafic n punctul ( )( )00 , xfx este paralel cu OX. Obs.1. Teorema este adevrat i dac funcia este derivabil numai n punctele de extrem. Obs.2. Condiia ca punctul de extrem 0x s fie interior intervalului este esenial. (dac ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca ( ) 00' xf ). Ex. ( ) .xxf = Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevrat.(se pot gsi funcii astfel nct ( ) 00' =xf dar 0x s nu fie punct de extrem).
Soluiile ecuaiei ( ) 0' =xf se numesc puncte critice . Punctele de extrem se gsesc printre acestea. Teorema lui Fermat d condiii suficiente (dar nu si necesare) pentru ca derivata ntr-un punct s fie nul. O alt teorem care d condiii suficiente pentru ca derivata s se anuleze este :
103
TEOREMA LUI ROLLE. Fie :f IR, ba, I, .ba < Dac: 1. f este continu pe [ ];,ba 2. f este derivabil pe ( )ba, ; 3. ( ) ( ),bfaf = atunci cel puin un punct ( )bac , a. ( ) .0' =cf INTEPRETAREA GEOMETRICA Dac funcia f are valori egale la extremitile unui interval [ ],,ba atunci exist cel puin un punct n care tangenta este paralel cu axa ox .
Consecina 1. ntre dou rdcini ale unei funcii derivabile se afl cel puin o rdcin a derivatei. Consecina 2. ntre dou rdcini consecutive ale derivatei se afl cel mult o rdcin a funciei. TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creterilor finite) Fie :f I R,I (interval, ba, I, .ba < Dac: 1. f este continu pe [ ]ba,
104
2. f este derivabil pe ( ),,ba atunci exist cel puin un punct ( )bac , a. s avem
( ) ( ) ( ).' cfab
afbf =
INTERPRETAREA GEOMETRIC Dac graficul funciei f admite tangent n fiecare punct(cu excepia eventual,a extremitilor) exist cel puin un punct de pe grafic(care nu coincide cu extremitile), n care tangenta este paralel cu coarda care unete extremitile. ( ) ( )
abafbftg
= tangenta la grafic n M are coeficientul. unghiular ( )cf ' dar
( ) ( ) ( )ab
afbfcf ='
Obs.1. Daca ( ) ( )= bfaf Teorema lui Rolle.
Consecina 1. Dac o funcie are derivata nula pe un interval,atunci ea este constanta pe acest interval. Dac o funcie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de intervale proprietate nu mai rmne adevrat n general.
Expl. ( ) ( )3,21,0: f ( ) ( )( )
=
3,2,21,0,1
xx
xf
105
Consecina 2. Dac f si g sunt dou funcii derivabile pe un interval I i dac au derivatele egale '' gf = atunci ele difer printr-o constant. .cgf = Rc Dac f si g sunt definite pe o reuniune disjunct de intervale, proprietatea e fals n general. Expl. ( ) tgxxf =
( )
+=
2,1
2,0,1
,xtgx
xtgxxg
Consecina 3. Daca ( ) 0' >xf pe I f e strict cresctoare pe I. Daca ( ) 0'
106
Dac funcia este definit pe R se studiaz limita funciei la iar dac este definit pe un interval se studiaz limita la
capetele intervalului. 4.Studiul primei derivate : a. Calculul lui f. b. Rezolvarea ecuaiei f(x)=0.Rdcinile acestei ecuaii vor fi eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ; c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f. 5.Studiul derivatei a doua : a.Se calculeaz f b.Se rezolva ecuatia f(x)=0. Rdcinile acestei ecuaii vor fi eventuale puncte de inflexiune ale graficului c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pe care f>0 functia este convex i pe cele pe care f
107
19. PRIMITIVE Primitive. Proprieti. Fie I un interval din R. Definiia 1. Fie f: I R. Se spune c f admite primitive pe I dac F : I R astfel nct a) F este derivabil pe I; b) F(x) =f(x), x I. F se numete primitiva lui f. ( I poate fi i o reuniune finit disjunct de intervale). Teorema 1.1 Fie f : I R. Dac RIFF :, 21 sunt dou primitive ale funciei f, atunci exist o constant c R astfel nct += ,)()( 21 cxx FF xI. Demonstraie : Dac FF 21, sunt primitive atunci FF 21, sunt derivabile )()(')(
2
'1 xfxx FF == x I
0)(')()()(2
'1
'21 == xxx FFFF , x I.
cxx FF = )()( 21 , c= constant OBS 1. Fiind dat o primitiv F 0 a unei funcii, atunci orice primitiv F a lui f are forma F = 0F + c , c= constant f admite o infinitate de primitive. OBS 2. Teorema nu mai rmne adevrat dac I este o reuniune disjunct de intervale Expl: f: R- }{0 , f(x) = x
F = 3
3x , G=
+
+
23
13
3
3
x
x
F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constant . Contradicie cu T 1.1 OBS 3. Orice funcie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux. Se tie c derivata oricrei funcii are Proprietatea lui Darboux , rezult c f are Proprietatea lui Darboux. F =f.
108
OBS 4. Dac I este interval i f(I) { }Ixxfdef /)( nu este interval atunci f nu admite primitive. Dac presupunem c f admite primitive atunci din OBS 3 rezult c f are P lui Darboux, rezult f(I) este interval ceea ce este o contradicie. OBS 5. Orice funcie continu definit pe un interval admite primitive. Definiia 2. Fie f: I R o funcie care admite primitive. Mulimea tuturor primitivelor lui f se numete integrala
nedefinit a funciei f i se noteaz prin simbolul )(xf dx. Operaia de calculare a primitivelor unei funcii(care admite primitive ) se numete integrare.
Simbolul a fost propus pentru prima dat de Leibniz, n 1675. Fie F(I)= { }RIf : Pe aceast mulime se introduc operaiile : (f+g)(x) =f(x)+ g(x) , (f)(x)=.f(x) Rx , constant C= { }RfRIf /: )(xf dx ={ }fluiaprimitivFIFF /)( .
F P.D
Recommended
