UniversidadeFederal DoReconcavodaBahia-UFRBCentrodeCienciasExataseTecnologicas-CETECNotasdaTeoriadeEquacoesDiferenciaisAdsonMotaRochaMarcode2009Conte udo1 ConceitosIniciais 51.1 Equa coesDiferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Classica cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 QuantoaClasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Quantoaordemeograu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 QuantoaLinearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Solu coesdeumaEqua caoDiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Problemasdevalorinicial. Problemasdevaloresdecontorno. . . . . . . . . . . 82 EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdem 102.1 AsFormasNormaleDiferencialdePrimeiraOrdem. . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Equa coesSeparaveisdePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Equa caoDiferencialLineardePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 ConstantedeIntegra caoeaCondi caoInicial . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 1aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Aplica coesdeEqua coesDiferenciaisdePrimeiraOrdem. . . . . . . . . . . . . . 222.5.1 ModelagemMatematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.2 DecaimentodeMateriaisRadioativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3 LeideResfriamentodeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.4 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 2aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Equa coesExatasdePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7.1 Metodo de Resolu cao para Equa coes Diferenciais Exatas de Primeira Ordem3322.7.2 FatoresIntegrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Equa coesHomogeneasdePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.8.1 Equa coesHomogeneasdePrimeiraOrdem. . . . . . . . . . . . . . . . . 372.9 Equa coesdeBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9.1 MetododeResolu cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.10 3aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.11 MaisAplica coes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.11.1 QuedadeumCorponumMeiocomAtrito . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.11.2 VelocidadedeEscape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.12 Introdu caoaoEstudoQualitativodeEqua coesDiferenciais . . . . . . . . . . . . 452.12.1 Equa coesLogstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.13 4aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 EquacoesDiferenciaisLinearesdeSegundaOrdem 543.1 TeoriaGeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 MetodosdeResolu caoparaEqua coesHomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.1 Redu caodeOrdem-MetododedAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.2 Equa caoLineardeSegundaOrdemcomCoecienteConstantes . . . . . 593.3 OProblemadaNaoHomogenealidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 MetodosdeResolu caodeEqua coesNao-Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.1 Varia caodeParametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.2 MetodosdoCoecientesaDeterminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5 5aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.6 Aplica coesdeEqua coesDiferenciaisOrdinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.1 Oscila coes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.2 Oscila coesLivres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.3 Oscila coesFor cadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6.4 CircuitosEletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.7 6aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8034 SistemasdeEquacoesDiferenciaisLinearesdePrimeiraOrdem 824.1 Equa coesDiferenciaisdeOrdemn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 SistemadeEqua coesDiferenciaisLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3 MatrizFundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.4 SistemasLinearesHomogeneoscomCoecientesConstantes . . . . . . . . . . . 884.5 7aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Bibliograa 90Bibliograa 914Captulo1ConceitosIniciais1.1 EquacoesDiferenciaisDenicao 1.1.1Umaequacaodiferenciavel eumaequacaodaformaF(x, y, y, y, , y(n)) = 0 (1.1)ondexeumavariavelindependenteey= y(x)umafuncaoincognitanavariavelx.Pode acontecer da fun cao incognita y depender de duas variaveis, possuindo derivadasparciais.Exemplo1.1.1.1. y = y2+ x2. uxx + uyy= 2u u23.d2ydx2+ 3dydx+ 2y = cos x4. xy + y= 35.2zxy+2zx2= x2+ y1.2 Classicacao1.2.1 QuantoaClasseAmdefazerumestudomaisdetalhadodaequa coesdiferenciais, lheclassicamosemduasclasses:51. equacoes diferenciais ordinarias EDO: se afun caoincognitadepende apenas de umavariavelindependente,comoem1,3e4;2. equacoes diferenciais parciais EDP: se a fun cao incognita depende de mais de uma variavelindependente,comoem2e5.Nestecurso,ocupar-nos-emosunicamentedeequa coesdiferenciaisordinarias.1.2.2 QuantoaordemeograuDenicao 1.2.1Aordemdeumaequacaodiferencial eaordemdamaisaltaderivadaquenelacomparece.Denicao 1.2.2Ograu deumaequacao diferencial, quepode ser escritacomo umpolinomionafuncaoincognitaesuasderivadas,eapotenciaaqueseachaelevadaaderivadadeordemmaisalta.Exemplo1.2.1.1. y5xy = ex+ 1temordem3egrau1;2. t y + t2 y (sent)y= t2t + 1temordem2egrau1;3. 5(d4bdp4)5+ 7(dbdp)10+ b7b5= ptemordem4egrau5;4. (y)3/2+ y= xtemordem2egrau3/2;5.2zxy+2zx2= x2+ ytemordem2egrau1.1.2.3 QuantoaLinearidadeDenicao 1.2.3Umaequacaodiferencial ordinariaouparcial sedizlinearseelinearnasincognitasy, dydx, d2ydx2, etc. Assim, emgeral,umaequacaodiferencial ordinaria linear deordemntemaforman(x)dnydxn+ n1(x)dn1ydxn1+ + 1(x)dydx+ 0(x)y= g(x).Onde as fun coes j(x) (j= 0, 1, 2, , n) e g(x) sao fun coes conhecidas e dependem apenas davariavel x. Asequa coesdiferenciaisquenaosaolinearessaoditasnaolineares. Emvirtudedasinforma coesdase caoanterior, epossveldenirooperadordiferenciallinearL = n(x)Dn+ n1(x)Dn1+ + 1(x)D + 0(x)Ieassimaequa caodiferencialordinarialinearteraaformasimplicadaL(y) = b(x).6Exemplo1.2.2.1. x2ux+ z2uy2= ezxyelinearconsiderandou = u(x, y, z)2.d3ydx3+ x2dydx+ y2= 1,nestecasoy= y(x)masnao elinearporcausadotermoy2.1.3 SolucoesdeumaEquacaoDiferencialDenicao 1.3.1Umasolucaodeumaequacaodiferencial(ordinaria)F(x, y, y, y, , y(n)) = 0sobreumintervalo[a, b]eumafuncaoy= tal que, , , (n)existaparatodox [a, b]esatisfacaaequacaodiferencialF(x, , , , , (n)) = 0paratodox [a, b].Exemplo1.3.1. Umasolu caodedydx= ysobreoinvervaloaberto(, +) eafun cao = AexA = const.Exemplo1.3.2. Umasolu caoded2ydx2+ 2y= 0e1= Asenx.Masnotemosque2= Bcos xetambemumasolu cao.Exemplo1.3.3. Mostrequey= x2esolu caodaequa caodiferencial14_d2ydx2_2xdydx+ y= 1 x2.Exemplo1.3.4. Mostrequeu(x, y, z) =1_x2+ y2+ z2esolu caodaequa caodiferencial2ux2+2uy2+2uz2= 0.71.4 Problemasdevalorinicial. ProblemasdevaloresdecontornoDenicao 1.4.1Umproblemadevalorinicial consisteemumaequacaodiferencial, junta-mentecomcondicoessubsidiariasrelativasayesuaderivadas. Ascondicoessubdisiariassaocondicoesiniciaisseascondicoessubsidiariassereferemamaisdeumvalordavariavel x,oproblemaeumaproblemadevaloresdecontorno.Exemplo1.4.1. Oproblemay + 2y = exy() = 1y() = 2eumproblemadevalorinicial,comcondi coesiniciaisemx = . Oproblemay + 2y = exy(0) = 1y(1) = 1eumproblemadevalores nocontorno, comcondi coes dadas emdiferentes pontos x=0ex = 1.Exemplo1.4.2. Determineumasolu caodoproblemadevalorinicialy + 4y= 0y(0) = 0y(0) = 1sabendoquey(x) = c1sen2x + c2 cos 2x eumasolu caodaequa caodiferencial.E facil vericar que y(x) = c1sen2x+c2 cos 2x e uma solu cao da equa cao diferencial y+4y=0. Daprimeiracondi caodoproblemadevalorinicial,y(0) = 0,temosc1.0 +c2= 0 =c2= 0.Comoy(x) = 2c1 cos 2x 2c2sen2x,pelasegundacondi cao,y(0) = 1,obtemos2c1= 1 =c1=12.Portantoa unicasolu caodoPVI edadapelaequa caoy(x) =12sen2x.Exemplo1.4.3. a) Verique se as fun coes y1(x) = exe y2(x) = e2xsao solu coes da equa caoy + 3y + 2y= 0.8b) Mostre que a combina cao linear de y1 e y2 tambem e solu cao , isto e, que y(x) = c1ex+c2e2xesolu cao.c)Determineumasolu caodoPVIy + 3y + y= 0y(0) = 0y(0) = 1.9Captulo2EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdemNestecaptulotrataremosdasequa coesdiferenciaisdeprimeiraordem,F(x, y, y) = 0.Consideraremosque epossvelescreveraequa caodiferencialacimadaformay= f(x, y). (2.1)Existemtresquestionamentosbasicosquenosperguntamossobreumaequa caodiferencial.1. OProblemadaExistencia. Existe uma solu cao?Quando podemos dizer uma solu caoexiste?2. OProblemadaUnicidade. Seasolu caoexiste, elae? Existemoutras solu coes?Podemosparametrizartodasassolu coesdeumadaequa caodiferencial?3. OProblemadaSolucao. Comodeterminar(calcular)umasolu caodeumaequa caodiferencial?Aosdoisprimeiros, aquestaodaexistenciaeunicidade, paraasolu caodeumaequa caodiferencial de primeira ordem e respondida pelo seguinte teorema fundamental (conhecido comoTeoremadaexistenciaeunicidadeouTeoremadePicard):Teorema2.0.1Suponhaquef(x, y)efysaofuncoescontnuasnumavizinhancadoponto(x0, y0). Entaoexisteumaesomenteumasolucao(x)doproblemadevalorinicialy = f(x, y)y(x0) = y0(2.2)denidanumavizinhancaaberta(x0h, x0 + h)dopontox0.Observandooteorematemos,101. Se queremos conhecer se existe umasolu caode problemade valor inicial (2.2) bastachecarmos se as fun coes f(x, y) efysao contnuas dentro de alguma vizinhan ca contendooponto(x0, y0).2. Setemosumasolu caodoproblema(2.1)eambasf(x, y)efysaocontnuaspertode(x0, y0),entaotemostodasassolu coes.Quantoaoterceiroquestionamento, aquestaodasolu cao, alertamos que descobrir umasolu caopara umaequa cao diferencial e algo similarao calculode uma integral e nos sabemosqueexistemintegraisquenaopossuemprimitivas,como e ocasodasintegraiselpticas. Dessaforma,nao edeseesperarquetodasasequa coesdiferenciaispossuamsolu coes.Exemplo2.0.4. Sobrequeintervalospodemosesperarsolu cao unicaparadydx=y21 x2Nesteexemplo,temosf(x, y) =y21 x2fy=2y1 x2Estassaoambasfun coescontnuasemIR {1}. OTeoremadaExistenciaeUnicidadedizquepodemosesperaruma unicasolu caodey=y21 x2y(x0) = y0somentequandox0 = 1;isto e,x0 (, 1) (1, +1) (+1, +).Exemplo2.0.5. Consideremososeguinteproblemadevalorinicialnao-linear.y=12(x +_x2+ 4y),y(2) = 1.Veriquemosqueasfun coesy1(x) = 1 x,y2(x) = x2411saoambassolu copesdesteproblemadevalorinicialnaolinear(i)12(x +_x2+ 4y1) =12(x +_x2+ 4(1 x))=12(x +_(x 2)2)=12(x + x 2)= 1= y1(ii)12(x +_x2+ 4y2) =12_x +_x24x24_=12(x)=x2=2x4= y2EsteexemplonaocontradizoTeoremadaExistenciaeUnicidade,vistoquef(x, y) =12(x +_x2+ 4y)naotemaderivadaparcialcontnuafynoponto(x0, y0) = (2, 1),defato,fy(x, y) =1_x2+ 4yquenao edenidaquandox = 2ey = 1.Agora voltemos nossa aten cao para o problema da determinacao e/ou construcaoanalticadassolucoesdeumaequa coesdiferencial,isto e, solu coesquepodemserexpressasemtermosdefun coeselementares.2.1 AsFormasNormaleDiferencial dePrimeiraOrdemUmagrande quantidadede equa coesdiferenciaisordinarias de primeiraordem pode ser escritanasuaformanormal,dadapor:y = f(x, y)ouquandoafun caof =f(x, y)podeser escritacomooquociente deduas outras fun coesM= M(x, y)eN= N(x, y),temos:y = M(x, y)N(x, y).Evantajosomanterosinal negativoantesdafra cao, poisusandoodiferencial dy=y(x)dx,podemosescreverM(x, y)dx + N(x, y)dy = 012enestecasodiremosqueaequa caoestaescritanaformadiferencial.Exemplo2.1.1:1. A equa cao diferencial y = cos(x+y) esta na sua forma normal, mas podemos escrever naforma diferencial cos(x+y)dx+dy = 0, neste caso M(x, y) = cos(x+y) e N(x, y) = 1.2. Aequa caodiferencial y=xyestanasuaformanormal, maspodeserreescritanasuaformadiferencialxdx ydy = 0.2.2 EquacoesSeparaveisdePrimeiraOrdemSuponhaqueaequa caodiferencial deprimeiraordemy=f(x, y), ondeafun caof tenhaaformaf(x, y) = M(x)N(y)Notemos que o numerador Mdepende somente de x e o denominador Nsomente de y e podemosescreveaequa caonaformaM(x) + N(y)y = 0.Nestecaso,dizemosqueaequa caodiferencial eSeparavel.Aformadiferencialdeumaequa caoseparaveledadaporM(x)dx + N(y)dy = 0. (2.3)A determina cao de uma solu cao desta equa cao e bem facil. Observemos que e possvel separar asfun coesde modo que cada membroda igualdade possua umafun cao com apenas uma variavel.Dessemodo,podemosrealizaraintegra caodecadamembroporumprocessosimples.Exemplo2.2.1:Sejay =y2x .Reescrevendoaequa caonaformadiferencial,temosdxxdyy2= 0separandoasvariaveis,temosdxx=dyy2.Integrandooladodireitocomrespeitoaxeoladoesquerdocomrespeitoay,teremosln |x| =_xdxx=_ydyy2= 1y+ Clogoy=1c ln |x|Aequa caoacimarepresentaumasolu caogeraldaequa c aoy =y2x .13Exerccio2.2.1. Determineassolu coesdasseguintesequa coesa)dydx= eyxb)x(2y 3)dx + (x2+ 1)dy = 0 c) xyy = 1.2.3 EquacaoDiferencialLineardePrimeiraOrdemNestase caovamos admitir queafun caof(x, y) dependalinearmente devariavel y. Dessaforma,podemosescrever(2.1)naformay + p(x)y= g(x) (2.4)queconforme classica cao e uma equacaodiferenciallineardeprimeiraordem. Vamos admitirqueasfun coespegsaofun coescontnuasnointervalo 0(g) x3y + 4x2y= ex, y(1) = 0RESPOSTASA1(a) ordinaria de 1aordem e nao linear. y(t) = t nao e solu cao. (b) Ordinaria de 2aordemlinear. y(x) = 14x2e solu cao. (c) parcial de segunda ordem linear. u(x, y) = arctan_yx_esolu cao.A2(a)solu cao unicanavizinhan cade(0, 3); (b)solu cao unicanavizinhan cade(0, 0); (c)naotemsolu cao unicanavizinhan cade(1, 0).A3A4(a)y2=21 +x2; (b)y2=23 ln |1 + x3| + 1; (c)y=arcsin_2(t2+ 1)12_; (d)y=_x22+ e_e2x; (e)y=x24 x3+12+x212; (f)y =senxx2; (g)y=ex(1x)x4212.5 Aplicacoes de Equacoes Diferenciais de Primeira Or-demMuitosproblemaspraticos, podemsermodeladospelaMatematica, deacordocomasetapasabaixo(naomuitobemdenidas):1. Constru caodeumproblemaparadescreveralgumfenomenofsico;2. Estabelecimento de um procedimento matematico, Modelagem Matematica, adequado aomodelofsico;3. Realiza caodecalculos numericos aproximados comousodoModeloMatematicopre-estabelecido;4. Compara cao das quantidades numericas obtidas atraves do Modelo Matematico com aque-las que se esperava obter a partir da formula cao do modelo criado para resolver o problema.Aposestasetapas, costuma-seanalisarosresultadosenaverica caodaadequa caodosmes-mos, aceita-seomodeloenainadequa caodosresultados, reformula-seomodelo, geralmenteintroduzindomaiorescontrolessobreasvariaveisimportantes, retirando-seoscontrolessobreasvariaveisquenaomostraramimportancia.2.5.1 ModelagemMatematicaProblemas, fenomenos, processosetc. quedependem(saofun coes)deumavariavel contnua(independente) podemsempre ser representados (modelados) por uma equa cao diferencial.Geralmenteavariavel (contnua)independenteetempo, distancia, tamanho, velocidade, vol-ume, etc. Avariaveldependente(fun cao)deveseraquelaquemelhorcaracteriza(descreve)ofenomenoouprocessoquesedesejamodelar.A modelagem,representa cao matematica de um enunciado em palavras, de um fenomeno,processoetc. efacilitadaseforemlevadasemconsidera caoasseguintessugestoes:a noenunciadodoproblemareconhe caavariaveldependenteerepresente-aporumafun cao(f)davariavelindependente(x);b Representeumataxadevaria caopeladerivadadafun c aoemrela cao`avariavelindepen-dentedf(x)dx;c Representea frase proporcional a ...por = kg(x)onde g(x) pode ser a propria f(x) ou oxouumaoutrafun cao(g)defe/oudex,conformeespecicadonoenunciado;d Aconstante de proporcionalidadek pode ser positivaounegativa, dependendose f(x)cresceoudecresce,deacordocomoenunciado.Aposamontagemdaequa caodiferencial estadeveserresolvida. Osvaloresdaconstanteke daconstante arbitraria (provenienteda solu caoda equa caodiferencial)seraodeterminadospelascondi coesiniciaisdadasnoenunciadodoproblema.22Exemplo2.5.1. Ataxadecrescimentodeuminvestimentonabolsadevaloresepropor-cionalaoinvestimentoacadainstante. Determineaequa c ao(modelomatematico)queregeoinvestimentocomotempo.Sol.: Sejat-tempo(variavelindependente)f(t)-valordoinvestimentonoinstantet(variaveldependente)df(t)dt-taxadecrescimentodoinvestimentocomotempo= kf(t)-representandooproporcionalaoinvestimentoLogo,doenunciadotemosaequa caodiferencialquemodelaoproblema:df(t)dt= kf(t)ondek> 0porserataxadeinvestimentocrescente(peloenunciadodoproblema)Sabendo-sequeuminvestimentodeR$100rendeuR$44apos6anos. Determinequalfoiorendimentodesteinvestimentonos3primeirosanos. Resposta: R$20.Exemplo2.5.2. Experienciasmostramqueumasubstanciaradioativasedecompoeaumataxaproporcional `aquantidadedematerial radioativopresenteacadainstante. Obtenhaaequa caodiferencialquemodelaofenomeno.Sol.: Sejat-tempo(variavelindependente)f(t)-quantidade(massa)desubstanciapresentenoinstantetdf(t)dt-taxadevaria caodaquantidadedesubstancia= kf(t)-representandooproporcional`aquantidadedesubstanciaLogo,doenunciadotemosaequa caodiferencialquemodelaoproblema:df(t)dt= kf(t)ondek< 0porhaverdecaimento(peloenunciadodoproblema)Exemplo2.5.3. Qualaequa caodiferencialquevaipermitirdeterminaravelocidadeinicialmnimadeumcorpooqual edisparadonadire caoradial daterraequeesupostoescapardesta. Desprezar a resistenciado ar e a atra cao gravitacional de outros corpos celestes. Depoisdetermineavelocidadeinicial mnimanecessariaparaocorpoescapardagravita caoterrestreenuncamaisretornar. Resposta: 4027km/hSol.: Sejat-tempo(variavelindependente)v(t)-velocidadedocorponoinstantetAquioproblema emaiscomplexopor naoenunciaraproporcionalidade. Mas,sabemosdaFsicaClassica(Lei deNewton)queaacelera caoradial aumadistanciardocentrodaterra(a(r)) einversamenteproporcionalaoquadradodadistancia(r)docorpoaocentrodaterra.23Assim,temosa(r) = k1r2ondek< 0porseraacelera caodirigidaparaocentrodaterra.Aconstantekefacilmentedeterminadalembrandoquea(R) =g =9, 81m2,ondeR eoraiodaterra(R = 6, 38.106m).Assim,g= k1R2dondek =gR2.Poroutrolado,sabemosquea(r)dvdtondev(t) =drdt-taxadevaria caodadistanciaradialcomotempo.Logo,juntandotudoenotandoquedesejamosavaria caodevcomr(enaocomt)a(r) =dvdt=dvdrdrdt=dvdrv == k1r2= gR21r2Assim,nalmente,aequa caoprocuradaseradvdrv= gR21r2.Exemplo2.5.4. Sabendoqueovolumedeumagota, supostaesferica, decresceporevap-ora caoaumataxaproporcional`aareadesuasuperfcie,determineaequa caodoraiodagotaemfun caodotempo.Sol.: Sejat-tempo(variavelindependente)V (t)-volumedagotanoinstantetS(t)-superfciedagotanoinstantetEntaodoenunciadotemosdVdt= kSondek< 0poisV decrescecomotempo.Comoagota eesferica,V=43r3eS= 4r2onder(t) =raiodagotanoinstantet.SubstituindoV eSnaequa caodiferencialteremosddt_43r3_= k(4r2), k< 024Derivando433r2drdt= k4r2.Simplicando,temosnalmentedrdt= k, k< 0.Agoradetermineotemponecessarioparaagotaevaporarpor completo, sabendoqueagotainicialmentetinha1mmdediametroequeotempoemqueumaoutragotade0,5mmdiametroevaporoufoide10minutos. Resposta: 20minutosExemplo2.5.5. Umtanquevertical temumapequenafendanofundo. Supondoqueaguaescapedotanqueaumataxaproporcional`apressaodaaguasobreofundoesabendoque5%deaguaescapounoprimeirodia, determineotemponecessarioparaqueonvel daaguanotanquechegueametade. Resposta: 13,5horasExemplo2.5.6. DeacordocomaLei deNewton, ataxaaqueumasubstanciaseresfriaeproporcional`adiferen cadastemperaturasdasubstanciaedoar. Seatemperaturadoar ede20Ceasubstanciaseresfriade100Cpara60Cem30minutos, quandoatemperaturadasubstanciaatingira40C?Resposta: 60,2minutos2.5.2 DecaimentodeMateriaisRadioativosEmproblemasdedecaimentodemateriaisradioativos, assume-sequeataxadevaria caodamassadematerialemcadainstantesejaproporcional`amassapresentenaquelemomento. Seadicionarmosmaterial`aumataxag(t),entao,ataxadevaria caodamassam(t),seraasomadeduasparcelas: umadevidoaodecaimento, k.m, outradevidoaomaterial queestamoscolocando,g(t),portanto,temosaseguinteequa caodiferencialm + km = g(t),ondekeumaconstantepositiva. Nocasoemqueg(t) eidenticamentenula,asolu caode em(t) = m(0)ekt.Notemosqueaposumcertotempot,amassaseraametadedamassainicialm(0),portanto,12=m(t)m(0)= ektouseja,k =ln 2t.Aquantidadet echamadadetempodemeia-vidadomaterialradioativo.Exemplo2.5.7. Emumterrenodescobreumresduodeum peixetem 1/500 daquantidadeoriginal de carbono 14. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 e de 5600 anos, ou seja, que em255600anosmetadedocarbonoc14presentetransformou-seemcarbono12. Determineaidadedessepeixe.Sol.: Nestecaso,t-tempodevida;m-quantidadedecarbono14notempot.Assim,m= kmm(0) = m0Resolvendoaequa caotemosm = m0ektSubstituindot = 5600(tempodemeia-vida)em =m02,obtemosk=Agorasubstituindoaquantidadeencontradam =m0500obtemost 5020anos.2.5.3 Lei deResfriamentodeNewtonSuponhaqueumcorpoestejanummeioondeatemperaturasejaTA. SejaT(t) atemperaturadocorponoinstantet. DeacordocomaLei deResfriamentodeNewton, ataxadevaria caodatemperaturado corpo e proporcional `adiferen caentre as temperaturasdo meioe do corpo,ouseja,dTdt= k(TAT),ondekeumaconstantepositiva,aqualpodeserre-escritacomodTdt+ kT= kTA,que edelineardeprimeiraordem,cujasolu caogeral eT(t) = TA + Cekt.Notequeindependentementedas condi coesiniciais,ocorpoentraraemequilbriotermicocomomeio,ouseja,T(t)tendeaTA,quandot .SuponhaqueinicialmenteatemperaturadocorposejaT0equeapost1minutoselasejaT1. Entao,temosT0= T(0) = TA +C,portanto, C= T0TA,logo, asolu caodoproblemadevalorinicialseraT(t) = TA + (T0TA)ekt.Resta-noscalculark. ComoT(t1) = T1,temos,T1= T(t1) = TA + (T0TA)ekt1=T1TAT0TA= ekt1=k= t1ln_T1TAT0TA_.Exemplo2.5.8. Umcafeestaa90oClogodepoisdecoadoe,umminutodepois,passapara85oC, em uma cozinha a 25oC. Determine a temperatura do cafe em fun cao do tempo e o tempoqueocafelevaraparachegara60oC. Resposta: T(t) = 25 + 65eln(6065)tet =ln 35/65ln 60/65 8min.26Exemplo2.5.9. Um termometro e levadode umasalaondea temperatura e 20oCparaforaondeatemperatura ede5oC. Apos1/2minotermometromarca15oC. Determineaequa caodatemperaturanotermometroemfun caodotempo. Qual seraatemperaturaapos1min?Emquantotempomarcara10oC?2.5.4 MisturasNo que se segue nos referiremos `a Figura acima (2.13). Temos o seguinte problema: suponhaque inicialmente haja Q0gramas de sal num recipiente contendo V0litros de solu cao. Sabendo-sequeumasolu caodeconcentra caodee(t)gramasporlitroentranorecipienteaumataxadeve(t) litrospor minutoe queestaumavezmisturadasaiadorecipienteaumataxades(t)litrosporminuto,calculeaquantidadedesal,Q(t),presentenorecipientenoinstantet.Ataxadevaria caodosal comtempo, Q(t), eigual `ataxanaqual osal estaentrandonorecipiente, e(t)ve(t), menosataxanaqual osal estasaindo,Q(t)V (t)vs(t), ondeovolumedesolu caonoinstantet edadoporV (t) = V0 +_t0(ve(w) vs(w))dw.Portanto,paraencontrarmosQ(t),temosqueresolveroseguinteproblemadevalorinicial:Q(t) +vs(t)V (t)Q(t) = e(t)ve(t),Q(0) = Q0Exerccio2.5.1: Namontagemacimasuponhaquevs=ve=1litroporminuto, e=1gramaporlitro,Q(0) = 0eV0= 20litros. Semresolveroproblema,oquevoceesperariaqueacontecessecomaquantidadedesaldentrodorecipientequandot ?Resolvaaequa caoeencontreaquantidadedesalnorecipientenuminstantequalquert.Exemplo2.5.10: Um lago, com 460 km3de volume, recebe agua numa taxa de 310 km3/ano,comumaconcentra caodeckgdepoluenteindustrialpor km3. Aagua,bemmisturada,escoa27dolagocomamesmataxadeentrada. Noinstanteinicial, olagotemumaconcentra caodepoluentes5vezesmaiordoqueaconcentra caoencontradanaaguaqueentranele. (a)Deaequa caodaquantidadedepoluentenolagoemfun caodotempo. (b)Quantotempolevaraparaqueaconcentra caodepoluentecaiaparametadedaconcentra caoinicial? (c)Esboceogracoquantidadedepoluenteemfun caodotempo.Resolucao. Foramdadosve= 310km3/anoe= CKg/km3vs= ve= 310km3/anos=Q(t)V, V= 460km3(0) =Q(0)V=Q(0) = 5cV.Portantoaequa caoquedescreveaquantidadedesalQ(t)noinstantet e:dQdt+vsVQ = vevs,Q(0) = 5cV,queeumaequa caolineardeprimeiraordem. Seufatorintegrantee(t)=evsVt. Asolu caogeral eQ(t) = cV+ KevsVt,onde Ke umaconstante arbitraria. Comoqueremos que Q(0) =5cV , temos que tomarK= 4cV .Logo,asolu caoseraQ(t) = cV (1 + 4evsVt).Queremosque(t)(0)=12,ouseja,Q(t)Q(0)=12,portanto,cV (1+4evsVt)5cV=12,logo,1 + 4evsVt=52,isto e,t =Vvsln 83=4631 ln 83queeaproximadamente1, 46anos. Deixamosoesbo codogracopedidonoitem(c)acargodoaluno.282.6 2aListadeExercciosB1Suponhaqueapopula caodaTerratemaumentadoaumataxaproporcional`apopula caoinstantaneaP(t). Aconstantedeproporcionalidadenaoeconhecidaaprincpio, massabe-sequenoanode1650apopula caoerade600milhoeseem2000erade6bilhoes.Estima-sequeamaiorpopula caoqueaTerraecapazdesustentarsejade30bilhoesdehabitantes. Seaconstantedeproporcionalidadenaosealterar, quandoesselimiteseraatingido?B2Umasubstanciasedecompoecomumataxatemporalproporcional`aquantidadeQ(t)desubstancia. Aprincpio, naoseconheceaconstantedeproporcionalidade, massabe-seque100gramasdessasubstanciasereduzempelametadeem1hora. Emquantotempo100gramassereduzema20gramas?B3Considereas situa coeslistadas nos itens a seguir. Em todos os casos, determinea equa caodiferencialqueregeosistemaemquestao.(a) UmaesferademassaMcai verticalmente, sobacelera caodagravidadeconstante,com um movimento que e afetado pelo atrito com o ar. Supoe-se que a for ca de atritodoarsejaproporcional `avelocidadedaesfera. Deseja-sedeterminaravelocidadev(t)eaposi caox(t)daesferaaolongodotempo.(b) UmcorpodemassaMsemovenumplanohorizontal, comvelocidadeinicial v0,estandoseumovimentosujeitoaumatritoproporcional `asuavelocidadeemcadainstante. Deseja-sedescreveravelocidadev(t)eaposi caox(t)docorpoemfun caodotempo.(c) Umacoloniade bacterias encontra-se nummeiode culturaemque os nutrientessaofornecidos constantemente, emquantidade constante por unidade de tempo.Evidentemente, haumn umeromaximodebacteriasquepodeexistirnacoloniaaomesmotempo, limitadopelaquantidadedenutrientesdisponvel. Enquantoexisteumn umerodebacteriasmenorqueessemaximo,acoloniacrescecomumataxadecrescimentoqueeproporcional `adiferen caentreon umeroatual debacteriaseon umeromaximopossvel. Deseja-sedescreveron umeron(t)debacteriaspresentesacadainstantedetempo.(d) Suponha que emumreservatorio exista umvolume V de agua, que se mantemconstantecomopassardotempo. Acadahora, entranoreservatorioumvolumev deagua, que vemmisturadacomumaquantidadeq de determinadoreagente,sendoquenomesmoperodoomesmovolumevdeagua eretiradodoreservatorio.Supondoque aconcentra cao do reagente seja sempre homogenea nointerior doreservatorio,deseja-sesaberavaria caodaquantidadeQ(t)dereagentepresentenointeriordoreservatorio.(e) EmumacaixaestacontidaumaquantidadeinicialQ0dedeterminadomaterial ra-dioativo. Essematerial sofredecaimento(ouseja, setransformaemummaterialnao-radioativo) segundo umataxaque e proporcional `aquantidade presente emcadainstante, sendoaconstantedeproporcionalidadeiguala. Deseja-sesaberaexpressao Q(t) que representa a quantidade de material radioativo em cada instante.(f) Forma-seumlagoquandoaaguae recolhidanumadepressaoconicade raioaeprofundidadeh. Suponhamosqueaaguaaua`avazaoconstantekequeolagosofraevaporiza caoaumataxaproporcional`aareasupercialdaagua. Determinaraequa caodiferencialquedeterminaaaltural(t)emfun caodotempot.29B4Datacaopeloradiocarbono. Uma importante tecnica na determina cao da idade demadeiraederemanescentes deplantas, etambemdeossosdeanimaisoudehomens,oudeartefatos, consideravelmenteusadonapesquisaarqueologicaeadata caopelora-diocarbono. Adata caopeloradiocarbonosebaseianofato dealgunsrestosdemateriaisconteremtra cosresiduaisdecarbono14, queeumisotoporadiotivodocarbono. Esteisotoposeacumuladuranteavidadaplantaedecai apartirdesuamorte. Emvirtudedameia-vidadocarbono14serlonga(aproximadamente5568anos), remanescentesdonucledopermanecempresentes naamostraemtra cos mensuraveis depois milhares deanos. A tecnica se baseia em medi coes apropriadas de laboratorio da propor cao da quan-tidadedocarbono14remanescente. Emoutraspalavras, seQ(t)foraquantidadedecarbono14noinstanteteQ0aquantidadeoriginal,pode-semediragrandezaQ(t)/Q0amenosqueelasejamuitssimopequena.(a) AdmitindoqueQobede ca`aequa caodiferencial, Q= rQ, determinaaconstantededesintegra caodocarbono14;(b) AcharaexpressaodeQ(t)paraqualquerinstante,comQ(0) = Q0;(c) Vamos admitir que se analisa uma amostra de madeira na qual a quantidade residualdecarbono14seja20%daquantidadeoriginal. Determinaraidadedestaamostra.B5Suponhamos100mgdetorio234estejamnumrecipientefechadoequeseadicionemaorecipientedestenucledoamostrasdetorio`ataxaconstantede1mg/dia.(a) AcharaquantidadeQ(t)detorio234presentenorecipienteemqualquerinstante;(b) AcharaquantidadelimiteQldetorio234norecipiente,quandot ;(c) Qual deveserointervalodetempodecorridoatequeaquantidadedetorio234norecipientequea0, 5mgdoseuvalorlimiteQl?(d) Seotorio234foradicionadoaorecipiente`ataxaconstantedekmg/dia, acharovalordeknecessarioparamanternumnvelconstantede100mg,aquantidadedetorio234.B6Imaginemosumlago,devolumeconstanteV,quecontem,noinstantet,umaquantidadeQ(t)depoluente,distribudauniformementeemtodaamassalquidadolago,comumaconcentra caoc(t), ondec(t)=Q(t)/V . Vamosadmitirqueumacorrentedeagua, comuma concentra cao k de poluente, entre no lago a uma vazao r e que a agua saia do lago comestamesmavazao. Suponhamosqueopoluentesejalan cadodiretamentenolago, aumataxaconstanteP. Observequeashipotesesfeitasnaolevamemcontamuitosfatoresque, emalgunscasos, podemser importantes, comoporexemplo: aaguaadicionada.ouperdida, porprecipita caoatmosferica, absor caoeevapora cao; oefeitoestraticantedatemperaturanumlagoprofundo; atendenciadeasirregularidadenalinhadacostaconstiturem baas abrigadas; e o fato de os poluentes nao serem injetados uniformementenolagomas (usualmente) empontos isolados das margens. Os resultados daanaliseseguintedevemserinterpretados`aluzdodesprezodosfatoresmencionados.(a) Senoinstantet = 0aconcentra caodopoluenteforc0,acharaexpressaodaconcen-tra caoc(t)emqualquerinstante. Qualaconcentra caolimitequandot ?(b) Se a inje cao de poluente no lago for suspensa(k = 0 e P= 0 para t > 0), determinarointervalodetempoTquesedevepassaratequeaconcentra caodopoluentesereduzade50%doseuvalorinicial;a10%doseuvalorinicial.30RESPOSTASB1t =ln 5k+ 2000 =350 ln 5ln10+ 2000 2244, 64B2t =ln 5ln 2 2horase20minutos.B3a)vdvdx+Mv=g; (b)_dvdt= kvv(0) = v0e_dxdt= v0ektx(0) = 0; (c)dndt=k(n N); (d)dQdt+vV Q(t)=qv; (e)_dQdt= kQQ(0) = Q0; (f)l2dldt=kh2a2 l2ondeeaconstantedeproporcionalidade.B4(a)r = 0, 00012448 anos1; (b)Q(t) = Q0e0,00012448t; (c)12928, 49anosB5a)Q(t) =1r+ (100 1r)ert,ondereaconstantedeproporcionalidade; b)Ql=1r; c)t = ln(100,5.r)r; d)100rB6a)c(t) =kr+Pr+_cokr+PrerVtecl= k +Pr ; b)Vrln 2;Vrln 10312.7 EquacoesExatasdePrimeiraOrdemMostraremos,agora,algumastecnicaspararesolverEDOsnao-linearesdeprimeiraordem.Utilizaremosanota caoMx=Mxparaaaderivadaparcial dafun caoM=M(x, y)emrela cao`avariavelx.Denicao 2.7.1Umaequacaonaformadiferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy=0(2.3)seraexata, seexistirumafuncaoF=F(x, y)cujadiferencial exatadF=Fxdx + FydycoincidecomMdx + Ndy= 0,istoe,dF= M(x)dx + N(y)dy. (2.11)Problemas: Dadaumaequa caodiferencial(2.3) comovericarse e exata?Ecomodeter-minarafun caoFquesatisfaz(2.11)?As respostasdestasperguntasrecaisobre aspropriedadesde diferenciabilidadedas fun coesMeNalemdocriteriodadopeloteoremaabaixo:Teorema2.7.1SuponhaqueasfuncoesM, N,MyeNxsaocontnuasnumavizinhan cadoponto(x, y). EntaoM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0eexatase,esomentese,My=Nx(2.12)emcadapontodavizinhanca.Exemplo2.7.1:1. Aformadiferencial3x2y2dx + 2x3ydy = 0 eexatapoisexisteumafun caodiferenciavelF(x, y) = x3y2cuja diferencial exata coincide com o membro da esquerda da equa cao dada, isto e, dF= 0.Outraformadevericar eutilizandooteoremaacima. Nestecaso,comoMy= 6x2y= Nxtemosqueaequa caodiferencial eexata.2. Aformadiferencialxdx + ydy = 0 eexata;3. Todaequa caoque eseparavelM(x)dx + N(y)dy = 0 etambemexata;4. Aformadiferencialydx-xdy=0nao eexata.322.7.1 MetododeResolucaoparaEquacoes Diferenciais Exatas dePrimeiraOrdemPararesolverumaEDOdaformadiferencial devemosvericasseestaEDOeextaeemcasopositivo,nosgaranteaexistenciadeumafun caoF= F(x, y) talqueFx= M(x, y) eFy= F(x, y).Na sequencia, tomamos a rela cao Fx= M(x, y) e integramos em rela cao `a variavel x para obterF(x, y) =_M(x, y)dx + g(y) (2.13)ondeg= g(y) eumafun caoapenasdavariavely.Agora,derivamosparcialmente(2.13)emrela cao`avari avely, obtemosFy=y__M(x, y)dx_+ g(y) (2.14)eidenticamosestaderivadacomafun caoN=N(x, y),paraobteraexpressaodeg=g(y).Asolu caodaEDOexataseradadaporF(x, y) = C.Exemplo2.7.2: ResolveraEDO(3x2+ 2y)dx + (2x + 2y)dy = 0.Temos,M(x, y) = 3x2+ 2y e N(x, y) = 2x + 2yassim,My= 2 = Nx,logoaequa cao eexata. Daexisteumafun caoFtalqueFx= M(x, y) = 3x2+ 2y eFy N(x, y) = 2x + 2y.Integrandoaprimeirarela caocomrespeitoax,obtemosF(x, y) =_(3x2+ 2y)dx = x3+ 2xy + g(y)ondeg=g(y)dependeapenasdey. Derivandoesta ultimafun caoF=F(x, y)emrela caoay,teremosFy=y[x3+ 2xy + g(y)]=y(x3+ 2xy) + g(y)= 2x + g(y)33Identicandoagoracomafun caoN= N(x, y),temos2x + g(y) = 2x + 2y =g(y) = 2y =g(y) = y2+ K.Assim,F(x, y) = x3+ 2xy + y2+ K. Portantoasolu caodaEDOseradadaporx3+ 2xy + y2= CExerccio2.7.1. Resolverasseguintesequa coesdiferenciais:a) (x +_y2+ 1)dx (y xy_y2+ 1)dy= 0b) ex+ ln y +yx+ (xy+ ln x + seny)y = 0Respostas: a)x22+ x_y21 y22= C b)ex+ xln y + y ln x cos y= C2.7.2 FatoresIntegrantesSuponhaaequa caodiferencialM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.15)nao eexata.Suponhamosquepodemosacharumafun cao(x, y)tal quemultiplicando-anaequa caodiferencial(2.15)(x, y)M(x, y)dx + (x, y)N(x, y)dy = 0 (2.16)sejaexata. Tal fun caoe chamadade fator integrante. Se tal fator integrante pode serencontrado, entaoasolu caodaequa caodiferencial (2.15)eobtidasimplesmente obtendoasolu caodaequa caodiferencial(2.16).Exemplo2.7.3: Considereaequa caodiferencialx2y3+ x(1 +y2)dydx= 0.Estaequa caonao eexata,poisMy=y(x2y3) = 3x2y2Nx=x(x(1 +y2)) = 1 +y2eassim,My=Nx .34Noentanto,semultiplicarmosambososladosdaequa caodiferencialpor(x, y) =1xy3obtemosaequa caoxdx +1 +y2y3dy = 0que eseparavel,logoexata. Resolvendoseparandoasvariaveis,temosxdx = 1 +y2y3dy =_xxdx = _y1 +y2y3dy =12x2=12y2 ln |y| + C =12x212y2+ ln |y| = CEm geral o problema de achar um fator integrante (x, y) para uma dada equa cao diferencialemuitodifcil. Emcertoscasoserasoavelmentefacil acharumfatorintegrante. Vejamosascondi coesparaqueequa coespossuafator integrantedependendosomentedex.Nestecasoteremos = (x),eaequa cao(x)M(x, y)dx + (x)N(x, y)dy = 0eexata. LogopeloTeorema(2.7.1)temosy((x)M(x, y)) =x((x)N(x, y)).Calculandoasdiferenciais,considerandoque(x)dependesomentedex,obtemosMy=ddxN+ Nxouddx=1N_Nx My_.Como depende somente de x, temos necessariamentequeddxdependera somente de x. SesupormosqueF1(x) =1N_MyNx_dependesomentedex,teremosumaequa caodiferenciallineardeprimeiraordem,ddx+ p(x) = 035Resolvendo-autilizandoosmetodosdaSe cao2.3.1,asolu caogeral edadapor(x) = Ae_ F1(x)dx= Ae_ _ 1N_Nx My__dx.Resumidamente,supondoqueaequa caoM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0nao eexata. SeF1=1N_MyNx_dependesomentedex,entaoofatorintegrante e(x) = e_ _ 1N_Nx My__dx= e_F1(x)dx.Analogamente,seF2=1M_Nx My_dependesomentedey, entaoofator integrante e(y) = e_F2(y)dx.Exemplo2.7.4:(3x2y + 2xy + y3)dx + (x2+ y2)dy= 0.AquiM(x, y) = 3x2y + 2xy + y3=My= 3x2+ 2x + 3y2N(x, y) = x2+ y2=Nx= 2x.LogoMy=Nxeaequa caonao eexata. ComoF1=MyNxN=3x2+ 2x + 3y22xx2+ y2=3(x2+ y2)x2+ y2= 3F2=Nx MyM=2x 3x2ex 3y23x2y + 2xy + y3=3(x2+ y2)3x2y + 2xy + y3.Observamos que F1nao depende de y, logo podemos considerar que dependesomentede x,portantoofator integrante edadopor(x) = e_F1(x)dx= e_3dx= e3x.36Defato,aequa caoe3x(3x2y + 2xy + y3)dx + e3x(x2+ y2)dy = 0eexata.2.8 EquacoesHomogeneasdePrimeiraOrdemVejamos nesta se cao mais uma tecnica para resolver equa coes diferenciais nao-lineares deprimeiraordem. Aocontrariodocasodeequa coes separaveis eexatasestatecnicaeusadasomenteemcasosespeciais. Trata-senadamaisdeumasimplesmudan cadevariavel.2.8.1 EquacoesHomogeneasdePrimeiraOrdemDenicao 2.8.1Umafuncaof =f(x, y)edenominadahomogeneadegraukse, paratodot IR,valearelacaof(tx, ty) = tkf(x, y).Umafun caof= f(x, y) ehomogeneadegrau0se,paratodot IR,valearela caof(tx, ty) = f(x, y).Exemplo2.8.1:1. Afun caof(x, y) = x2+ y2ehomogeneadegrau2;2. f(x, y) =y2+ 2xyx2, g(x, y) =x2y2e h(x, y) = arctan_yx_ sao fun coes homogeneas de grau0.Denicao 2.8.2Umaequacaodiferencialdeprimeiraordemnaformanormaly = f(x, y) editahomogeneasef= f(x, y) eumafuncaodegrauzero.Pode-se resolver umaequa caodiferencial homogenea, transformando-aemumaequa caodiferencial de variaveis separaveis introduzindo uma nova variavel que denotaremos por v, pararepresentarorazaoentreyex,v=yxou y = vx.Temos,dvdx= yx2+1xdydx,oudydx= x_yx2+dvdx_= v + xdvdx.37Substituindonaequa caonaformanormaly = f(x, y)teremosaequa caoxdvdx+ v = f(x, xv) = f(1, v)logo,naformadiferencialteremosxdv (f(1, v) v)dx = 0 =dxx=dvf(1, v) vque eumaequa caodiferencialcomvariaveisseparaveis.Exemplo2.8.2: Resolveraequa caodiferencialy =x2+ y2xy.Estaequa caoehomogenea,poisf(tx, ty) =(tx)2+ (ty)2(tx)(ty)=t2x2+ t2y2t2xy=x2+ y2xy= f(x, y).Tomamosy = xv,y = xv + vesubstitumosnaequa caohomogeneaparaobterxv + v=1 +v2v, ondev=dvdx,Separandoasvariaveis,temosvdv =dxx,integrandoambososmembros,teremosv2= 2 ln |x| + Ccomov =yx,temosarela caosolu caodaequa caodiferencialy2= x2[2 ln |x| + C].Exemplo2.8.3: Resolveraequa caodiferencial:dydx=2y 4x2x y.2.9 EquacoesdeBernoulliDenicao 2.9.1Sejapeqfuncoescontnuasen ZZ. UmaEquacaoDiferencialOrdinariadePrimeiraOrdemquepodeserescritanaformadydx+ p(x)y= q(x)yn(2.17)echamadaumaEquacaodeBernoulli.Comentario2.9.1Quandoem(2.17)on umerointeiron = 0oun = 1tem-sequeaequa caodeBernoullitrata-sedeumaequacaolinear382.9.1 MetododeResolucaoNaverdade, comotambemnas equa coes homogeneas trata-se de umaresolu caoutilizandomudan cadevariaveis.Fa camosamudan cadevariavelv= y1n(2.18)ederivandoemrela caoax,usandoderiva caoimplcita,obtemosdvdx= (1 n)yndydx(2.19)Multiplicandoaequa caodeBernoulli(2.17)por(1 n)yn,reescrevemo-anaforma(1 n)yndydx+ (1 n)p(x)y1n= (1 n)q(x) (2.20)logo,substituindo(2.18)e(2.19) em(2.20),chegamosaequa caodvdx+ (1, n)p(x)v = (1 n)q(x)que eumaequa caolinear,quesabemosresolver.Exemplo2.9.1. Resolveraequa caoy +1xy= xy2.Fazemosamudan cadevariaveisv= y1. Entaodvdx= y2dydx.Multiplicando-seaequa caodiferencialpory2obtemosy2dydx+1xy1= x.Fazendoassubstitui coesy2dydx= dvdxey1= vobtemosdvdx+1xv= x.Multiplicandoestaequa caopor 1obtemosv1xv= xque eumaequa caolinearetemsolu caov(x) = x2+ Cx.Assimasolu caodaequa caodada ey(x) =1x2+ Cx.Exemplo2.9.2. Resolveraequa cao2xydydx= 4x2+ 3y2.Solucao: y2= 4x2+ Cx3392.10 3aListadeExercciosC1Resolvaasequa coes:(a) 2xy senx + (x2+ ey)dydx= 0(b) 2xy2+ cos x + (2x2y +1y)dydx= 0.(c) x + y + xln xdydx= 0.(Dica: multipliqueantespor1x)(d) 2_xy21x3_+_2x2y 1y2_dydx= 0.C2(a)Encontreumfatordeintegra cao(y) paraaequa caoxy + (2x2+ 3y220)dydx= 0deformaatransforma-lanumaequa caoexata.(b) Veriquequeafun cao(y) encontradaerealmenteumfator integrante.C3Considereaseguinteequa caodiferencial:2y2+2yx+ (2xy + 2)y = 0. (1)(a) Mostre quea equa caodiferencial(1) nao e exatae determineum fator integrante damesma.(b) Encontreasolu caogeralde(1).(c) Encontreasolu caode(1)quesatisfazy(1) = 1.C4Considereaseguinteequa caodiferencial:2y + (x +y3x )y = 0. (2)(a) Mostre que aequa caodiferencial (2) naoe exatae que (x, y) =xy2e umfatorintegrantedamesma.(b) Encontreasolu caogeralde(2).(c) Encontreasolu caode(2)quesatisfazy(1) = 1.C5Mostrequetodaequa caodiferencialseparavel:g(y)dydx= f(x)etambemexata.C6Veriquequeasequa coesabaixosaohomogeneasedeterminesuasolu caogeral.(a) 3(xdydx y) = x ydydx(b)dydx=2x2+ 5y22xy40C7Resolvaasequa coesfazendoasmudan casdevariaveissugeridas:(a) y = (y x)2, v = y x(b) xy= exyy, v = xy(c) eyy = x(x + ey) 1, v = x + ey(d) y= 4x2 1xy + y2, v = x1+ uC8Resolvasasseguintesequa coesdeRicatti:(a) x2y + 2xy=y3x ;(b) xy + 4y= x4exy2;(c)dydx=2x2+ 5y22xyRESPOSTASC1(a)x2y+ cos x + ey=C; (b)x2y2+ senx + ln |y| =C; (c)x + y ln x=C; (d)x2y2+1x2+1y+ C= 0C2(a)(y) = y3C3(a)(x) = x; (b)x2y2+ 2yx = C; (c)x2y2+ 2yx = 3C4(b) x2y+y22= C; (c) x2y+y22=12C5C6(a)(y x)2= C(y + x); (b)3y2+ 2x2= Cx5C7(a)yx1yx+1= Ce2x; (b)exy= x + C; (c)x + ey= Cex22; (d)1y2x=x4+Cx3C8(a)y2=13x2+ Cx4; (b)y =1x5exx4ex+Cx4; (c)3y2+ 2x2= Cx52.11 MaisAplicacoes2.11.1 QuedadeumCorponumMeiocomAtritoMuitas equa coes diferenciais de segunda ordem aparecem em problemas de mecanica e resultamdaSegundaLeideNewton, aqualdizquearesultantedetodasasfor cas,f,queatuamnumcorpo, eigualaoprodutodamassadomesmo,m,pelasuaacelera cao. Comoaacelera cao eaderivadasegundada posi cao, x, em rela cao ao tempo, t. A for ca em geral depende de t, x e davelocidade,x. PortantoaSegundaLeideNewtonpodesercolocadanaseguinteformax=f(t; x; x)m.41Sefnaodependerexplicitamentedet;ouseja,f=f(x; v),podemosassumirquev= v(x)ex = x(t). Entaodaregradacadeia,dvdt=dvdxdxdt=dvdxvequepodeserre-escritacomovdvdx=f(x; v)mque eumaequa caodiferencialdeprimeiraordememv.Suponhaqueumcorpoestejacaindonoarequeafor cadeatritodestesejaproporcionalaoquadradodavelocidadecomqueocorposemovenomesmo, entao, afor caresultanteemg v2,(eumaconstantepositiva),dadvdx+mv = gv1,que eumaequa caodeBernoulli.Exerccio2.11.1: Suponhaquev(0) = v0,mostrequev(x) =mg+_v20mg_e2mx.Fa camosu = v2,logodudx= 2vdvdxreescrevendoaequa caodeBernoulli(multiplicando-apor2v),temos2vdvdx+ 2 mv2= 2gefazendoassubstitui coes,obtemosdudx+ 2 mu = 2gque eumaequa caolinear.Resolvendo-a,temos(x) = e_2m dx= e2mxlogo,u(x) = e2mx_e2mx2gdx + Ce2mx= e2mxe2mx2gm2+ Ce2mxu(x) =gm+ Ce2mxComou = v2,temosv2(x) =gm+ Ce2mx42Ascondi coesiniciais,v(0) = v0implicamC= v20gm. Portantov(x) =gm+_v20gm_e2mxExemplo2.11.1. Umcorpocai numudorelativamentedenso, numoleo, porexemplo,sofreaa caodetresfor cao(ver guraabaixo) afor caresistivaR, oempuxoBeopesowdevidoagravidade. Oempuxoeigual aopesodouidodeslocadopelocorpo(Arquimedes).Nocasodeumcorpoesfericoderaioa,comvelocidadebaixa,afor caresistivaedadapelaleideStokesR=6a|v|, ondeveavelocidadedocorpoeeocoecientedeviscosidadedouido.aR Bw(a) Achar a velocidade limite de uma esfera maci ca, de raio a e densidade , que cai livrementenummeiodedensidadeeviscosidade.;(b) Em 1910, o fsico norte-americano R. A. Millikan (1868-1953) determinou a carga do eletronpeloestudodomovimentodegotculasdeoleoquecaamnumcameletrico. UmcampodeintensidadeEexerceumafor caEesobreumagotculadecargae. VamosadmitirqueEfoi ajustado de modo que a gotcula permane ca estacionaria (v= 0) e que we Bsejamdadocomonaparte(a). Achaaformulaquedae. Millikanfoi capazdeidenticaracargaedeumeletronedeterminouoseuvalorcome=4, 803 1010unidades cgseletrostaticasdecarga= 1, 602 1019C.2.11.2 VelocidadedeEscapeUmdos problemas comuns emmecanicaeaquele que consiste emdeterminar avelocidadeinicialnecessariaparacolocarumprojetilforadaorbitadaTerra.Admitiremosquea unicafor caqueatuanocorposejaoseupeso,w(x),dadoporw(x) = k(R + x)2;ondekeumaconstante, RoraiodaTerraexeadistanciadocorpo`asuperfciedamesma.EstaexpressaoparawseguedaLeideAtra caoGravitacional,vistoqueopesodeumcorpo eafor cadeatra caoentreesteeaTerraeelacaicomoquadradodesuasdistancias.43Por deni caodaacelera caodagravidade, g, opesode umcorpode massam, sobre asuperfciedaterra ew(0) = mg,logo,mg= w(0) =k(R + x)2;econcluimosquek= mgR2. Portanto,w(x) = mgR2(R + x)2;DaSegundaLeideNewton,temosma = mdvdt= w(x) = mgR2(R + x)2,ouseja,dvdt= gR2(R + x)2.Podemossuporquev=v(x), ondex=x(t), portanto, daRegradaCadeia, temosdvdt=dvdxdxdt=dvdxveteremososeguinteproblemadevalorinicial, ondeaequa caoedevariaveisseparaveisvdvdx= gR2(R + x)2,v(0) = v0Estamossupondoqueoprojetil estasendolan cadoverticalmenteparacima, apartirdasuperfcie da Terra, x0= 0, com velocidade inicial v0. A equa cao acima e de variaveis separaveiseasuasolu caogeral ev22=gR2R + x+ C.Comox0= 0,segue-sequeC=v022gR. Portanto,v(x) = v022gR +gR2R + x.ondeescolheremososinal+,paraindicarqueoprojetilestasubindo,ousejaxestacrescendocomtempo. Quandooprojetil atingiraalturamaxima, xmax, asuavelocidadeserazero, ouseja,0 = v022gR +gR2R + xmax;oquenosdaxmax=v02R2gR v02portanto,avelocidadeinicialnecessariaparaelevarocorpoateaalturamaxima,xmax, ev0=_2gRxmaxR+ xmax,velocidadedeescape,ve, eencontradafazendo-sexmax naexpressaoacima,ouseja,ve=_2gR 11, 1Km/s.Se considerassemos o atrito, a velocidade de escape seria maior do que o valor encontrado acima.442.12 Introducao ao Estudo Qualitativo de Equacoes Difer-enciaisUma classe importante de equa coes de primeira ordem e aquela em que a variavel independentenaoapareceexplicitamente. Estasequa coessaochamadasdeequacoesautonomasetemaseguinteformadydt= f(y). (2.21)Paraasequa coesautonomaspodemosesbo carvariassolu coessemterqueresolveraequa cao,poisaequa caodiferencial forneceainclina caodaretatangente`assolu coes,dydt, comofun caodeyeassimpodemossabercomovariacomyocrescimentoeodecrescimentodassolu coes.Alemdisso, podemossaberosvaloresdeyparaosquaisassolu coestempontosdeinexaoecomovariaaconcavidadedassolu coescomy,poisd2ydt2=ddtdydt=ddtf(y)epelaregradacadeiaddtf(y) = f(y)dydt= f(y)f(y).Assim,d2ydx2= f(y)f(y).Denicao 2.12.1(a) Sejamy1, . . . , ykzeros dafuncaof(y). Os pontos yisaochamadospontos crticos ou de equilbrio da equacao (2.21) e as solucoes y(t) = yisao chamadas solu coesdeequilbrioouestacionariasdaequacao(2.21).(b)Umpontodeequilbrioyiechamadoestavel separay(t0)umpoucodiferentedeyi, y(t)seaproximadeyi,quandotcresce.(c)Umpontodeequilbrioyiechamadoinstavel separay(t0)umpoucodiferentedeyi, y(t)seafastadeyi,quandotcresce.Opontodeequilbrioyieestavel sef(y) < 0parayproximodeyicomy> yief(y) > 0paraparayproximodeyicomy< yi. PoisnestecasoSey(t0) = yi,entaoy(t) = yi,paratodot.Sey(t0) eumpoucomaiordoqueyi,entaoaderivadadydt= f(y) enegativaeportantoasolu caoy(t) edecrescenteeassimy(t)seaproximadeyi,quandotcresce.Sey(t0) eumpoucomenordoqueyi,entaoaderivadadydt= f(y) epositivaeportantoasolu caoy(t) ecrescenteeassimy(t) seaproximadeyi,quandotcresce.Opontodeequilbrioyieinstavelsef(y) > 0parayproximodeyicomy> yief(y) < 0paraparayproximodeyicomy< yi. PoisnestecasoSey(t0) = yi,entaoy(t) = yi,paratodot.45Sey(t0) e umpoucomaior doqueyi,entaoaderivadadydt= f(y) e positivaeportanto asolu caoy(t) ecrescenteeassimy(t)seafastadeyi,quandotcresce.Sey(t0) eumpoucomenordoqueyi,entaoaderivadadydt= f(y) enegativaeportantoasolu caoy(t) edecrescenteeassimy(t)seafastadeyi,quandotcresce.Exemplo2.12.1: Considereaequa caodiferencial:dydt= y2yVamos esbo car varias solu coes da equa cao. Para isto vamos determinar os pontos de equilbrio.Depoisvamosdeterminarcomovariaocrescimentoeodecrescimentodassolu coescomy. Enalmenteparaquaisvaloresdeyassolu coestempontodeinexao.Ospontosdeequilbriosaoasrazesdey2y = 0,ouseja,y1 = 0ey2= 1.Comodydt= y2y< 0,para0 < y< 1,entaoassolu coessaodecrescentespara0 < y< 1.Comodydt= y2y> 0, para y< 0 e para y> 1, entao as solu coes sao crescentes para y< 0eparay> 1.Vamosdeterminarparaquaisvaloresdeyassolu coestempontosdeinexaoecomovariaaconcavidadedassolu coescomycalculandoasegundaderivada.d2ydt2=ddtdydt=ddt(y2y).Maspelaregradacadeiaddt(y2y) = (2y 1)dydt= (2y 1)(y2y).Assimd2ydt2= (2y 1)(y2y).Logoassolu coes tempontosdeinexaoparay =1/2, y =0ey =1. Observamos queopontodeequilbrioy1=0eestavel poisparavaloresdeyproximosdey1=0assolu coescorrespondentesy(t)estaoseaproximandodey1=0, quandotcresce. Opontodeequilbrioy2=1einstavel poisparavaloresdeyproximosdey2=1assolu coescorrespondentesy(t)estaoseafastandodey2=1, quandotcresce. Comasinforma coessobreospontoscrticos,regioes de crescimento e decrescimento, pontos de inexao podemos fazer um esbo co dos gracosdealgumassolu coes.Exemplo2.12.2: Considereoseguinteproblemadevalorinicial:y = f(y) = y(y2+ 3y + 2),y(0) = y0.46(a) Fa caumesbo codef(y), determineospontosdeequilbrioeclassiquecadadelescomoassintoticamenteestavelouinstavel.(b) Esboce algumas solu coes paradiferentes valores de y0, semnecessariamente resolver aequa caoacima.Solucao: Os pontos crticos sao os zeros de f(y), ou seja, as solu coes constantes y1(t) 2,y2(t) 1ey3(t) 0.Figura2.1: Ogracodef(y)=y(y2+ 3y + 2), oquenosdaasregioesdecrescimentoededecrescimentodassolu coes.Como para valores de y> 0 a fun cao fe positiva e para 1 < y < 0, fe negativa, segue-sequeasolu caoy3eassintoticamenteinstavel.Comopara 1 K,comof(y) < 0,entaoy> 0,ouseja,nelaasolu caoedecrescente.Emparticular, seconsiderarmos umasolu caotal quey(0) =y0>K, eladecresceapartirdestevalorsemtocararetay=K. Ofatodestasolu caonuncatocararetay=Kseguedounicidadedesolu coesde(2.22). Omesmoacontecenaregi aoy 0, segue-se que y > 0 e a solu caoecrescente. Emparticular,seconsiderarmosumasolu caotalquey(0) = y0,com0 < y0< K,elacresceapartirdestevalorsemtocararetay = K.Se quisermos uma informa cao mais detalhada da solu cao, podemos considerar a concavidadedamesma,ouseja,osinaldey(t) =d (f(y))dt=d (f(y))dydydtd (f(y))dyy = r2_1 yK_y_1 2yK_.48Notequeospontosdeinexaodey(t)saoy=0, y=Key=K2eosinal dey(t)epositivosey>Kou0 1 =y(t) = c1etcos( 1t)+c2etsen( 1t); =1 = y(t) =c1et+c2tet; 1. Resposta: yp(t) = t[(A0+A1t)etsen( 1t)+(B0+B1t)etcos( 1t)](b) Paraquaisvaloresdetodasassolu coestendemazeroquandot +. Re-sposta: Paratodososvaloresreaisde.E8Nesteproblema,esquematizamosumaoutradedu caodaformuladeEuler.(a) Mostrarquey1(x) =cos xey2(x) =senxconstituemumconjuntofundamental desolu coesdey + y = 0.(b) Mostrar(formalmente)quey= eixtambem esolu caodey + y= 0. Portanto,eix= c1 cos x + c2senx.(c) Fa cax = 0,paramostrarquec1= 1.(d) Derivaraequa caoedepoisfazerx = 0,paraconcluirquec2= i. Usarosvaloresdec1ec2parachegar`aformuladeEuler.713.6 AplicacoesdeEquacoesDiferenciaisOrdinarias3.6.1 OscilacoesConsidereumsistemamassa-molanavertical. SejaLoalongamentoprovocadonamolapelacoloca caodamassam. Entaomg= kL. (3.27)Sejay(t)oalongamentodamolaemuminstantet. Denaanovafun caou(t) = y(t) L.Sobreamassaagemoseupeso,P= mg,afor cadamolaque eproporcionalaoseualongamentoetemsentidoopostoaele,Fe= ky(t) = k(u(t) + L),umafor caderesistenciaproporcionalavelocidade,Fr= y(t) = u(t)e uma for ca externa Fext. Aqui k e chamada constante damola e constantede amortec-imento.PelasegundaleideNewton,temosquemy(t) = mg ky(t) y(t) + Fextouescrevendoemtermosdeu(t) = y(t) L:mu(t) = mg k(L + u(t)) u(t) + Fext(3.28)Assim,por(3.27) e(3.28),u(t)satisfazaseguinteequa caodiferencialmu(t) + u(t) + ku(t) = Fext. (3.29)que e a mesma equa cao que satisfaz x(t) no caso da mola estar na posi cao horizontal. Verique!3.6.2 OscilacoesLivresSemAmortecimentoComo as oscila coes sao livres, Fext= 0 e como sao nao amortecidas, = 0. Assim a equa cao(3.29)paraomovimentodamassaemu + ku = 0Aequa caocaractersticaem2+ k= 0 = _km72Assimasolu caogeraldaequa cao eu(t) = c1 cos__kmt_+ c2sen__kmt_Seja0=_km. Entaoaequa caoacimapodeserescritaemtermosde0comou(t) = c1 cos(0t) + c2sen(0t). (3.30)Escrevendoopar(c1, c2)emcoordenadaspolarestemosque_c1= Rcos ,c2= Rsen.Substituindo-seosvaloresdec1ec2naequa cao(3.30)obtemosu(t) = R(cos cos(0t) + sensen(0t)) = Rcos(0t ),emqueR =_c21 + c22e= arccos_c1R_. Aqui,0echamadafrequencianaturaldosistema,afaseeRaamplitude.Neste caso a solu cao da equa cao e periodica de perodo T=20. Este movimento oscilatoroechamadomovimentoharmonicosimples.Exemplo3.6.1. Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreveum sistemamassa-mola edadopory + 5y = 0, y(0) = 1, y(0) = 0.Encontre a solu cao geral da equa cao diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determineaamplitude,afrequencia,afaseeoperodo.Solucao: Aequa caocaractersticaer2+ 5 = 0quetemcomorazesr = 5i. Assimasolu caogeraldaequa caoey(t) = c1 cos(5t) + c2sen(5t).Pararesolveroproblemadevalorinicialprecisamoscalcularaderivadadasolu caogeraly(t) = 5c1sen(5t) +5c2 cos(5t).Substituindo-set = 0, y= 1 ey = 0obtemos c1= 1e c2= 0e asolu caodoproblemade valorinicial ey(t) = cos(5t).Aamplitude eiguala1,afrequenciaeiguala5,afase eigualazeroeoperodo eiguala2/5.73ComAmortecimentoComo as oscila coes sao livres, Fext= 0. Assim a equa cao (3.29) para o movimento da massaemu + u + ku = 0A equa cao caracterstica e mr2+r+k= 0 e = 24km. Aqui temos tres casos a considerar:(a) Se = 24km > 0ou> 2km,nestecasou(t) = c1er1t+ c2er2t,emquer1,2= 2m= _24km2m.Estecaso echamadosuperamortecimentoeasolu caou(t) 0quandot .(b) Se = 24km = 0ou= 2km,nestecasou(t) = c1et2m+ c2tet2m.Estecaso echamadoamortecimentocrtico easolu caou(t) 0quandot +.(c) Se = 24km < 0ou< 2km,nestecasou(t) = et2m(c1 cos t + c2sent)emque =_4km22m=_2024m2< 0Aqui, e chamado quase-frequencia. Escrevendo novamente o par (c1, c2) em coordenadaspolaresesubstituindo-seosvaloresdec1ec2naequa caoobtemosu(t) = et2m(Rcos cos(t) + Rsensen(t)) = Ret2mcos(t ).Estecasoechamadosub-amortecimentoeasolu caou(t) 0quandot +. EsteeummovimentooscilatorocomamplitudeRet2m.Observequenostrescasosasolu caotendeazeroquandottendea+.3.6.3 OscilacoesForcadasVamossuporqueumafor caexternaperiodicadaformaFext= F0 cos(t) eaplicada`amassa.Entaoaequa cao(3.29)paraomovimentodamassa emu + u + ku = F0 cos(t)Oscilacoes Forcadas sem Amortecimento Neste caso a equa cao diferencial para o movi-mentodamassaemu + ku = F0 cos(t).Temosdoiscasosaconsiderar:74(a) Se = 0. Asolu caoparticularpelometododoscoecientesadeterminar edaformaup(t) = A0 cos(t) + B0sen(t)easolu caogeraldaequa caoedaformau(t) = c1 cos(0t) + c2sen(0t) + A0 cos(t) + B0sen(t)PelometododasconstantesadeterminarencontramosA0=F0m(202)eB0= 0. Assimu(t) = c1 cos(0t) + c2sen(0t) +F0m(202) cos(t).Nestecasoasolu caou(t) eoscilatoraelimitada.(b) Se= 0. Asolu caoparticularpelometododoscoecientesadeterminar edaformaup(t) = t[A0 cos(t) + B0sen(t)]easolu caogeraldaequa caoedaformau(t) = c1 cos(0t) + c2sen(0t) + A0t cos(0t) + B0tsen(0t)PelometododasconstantesadeterminarencontramosA0= 0eB0=F02m0. Assimu(t) = c1 cos(0t) + c2sen(0t) +F02m0tsen(0t).Nestecasou(t) eoscilatora,mascailimitadaquandottendea+. Estefenomenoeconhecidocomoressonancia.Exemplo3.6.2. Vamosconsideraroproblemadevalorinicial_mu + ku = F0 cos(t),u(0) = 0, u(0) = 0Temosdoiscasosaconsiderar: (a)Se = 0. Asolu caogeraldaequa caoeu(t) = c1 cos(0t) + c2sen(0t) +F0m(202) cos(t)Derivandoesubstituindo-set = 0,u= 0eu = 0obtemosquec1= F0m(202), c2= 0.Assimasolu caodoproblemadevalorinicial eu(t) =F0m(202)(cos(t) cos(0t)).Comocos(AB) cos(A+ B) = 2senAsenB75entaou(t) =2F0m(202)sen(1t)sen(2t)emque1=02, 2=0 + 2.Como1emenordoque2, entaoomovimentoeumaoscila caodefrequencia2comumaamplitudetambemoscilatoraR(t) =2F0m(202)sen(1t)defrequencia1. Estemovimentoechamadobatimento.(b)Se= 0. Asolu caogeraldaequa caoeu(t) = c1 cos(0t) + c2sen(0t) +F02m0tsen(0t).Javimos quenestecasou(t) cailimitadaquandot tendea+queeofenomenodaressonancia. Derivandoesubstituindo-set = 0, u = 0eu= 0obtemosquec1= 0, c2= 0.Assimasolu caodoproblemadevalorinicial eu(t) =F02m0tsen(0t).Este movimentoeumaoscila caode frequencia0comumaamplitude R(t) =F02m0t queaumentaproporcionalmenteat.OscilacoesForcadascomAmortecimentomu + u + ku = F0 cos(t)Seja u(t) = c1u1(t) +c2u2(t) a solu cao da equa caohomogenea correspondente. Ent ao a solu caogeraldestaequa caoeu(t) = c1u1(t) + c2u2(t) + up(t)emqueup(t) eumasolu caoparticular. Pelometododasconstantesadeterminarup(t) = A0 cos(t) + B0sen(t).Substituindo-seup(t)esuaderivadanaequa caoencontramosA0=F0m(20), B0= F0,emque = m2(202)2+ 22. Podemosescreverup(t) = A0 cos(t) + B0sen(t) = Rcos(t )emqueR =_A20 + B20e = arccosRA0. NestecasoR =F0, = arccos m(20).76Assimasolu caogeraldaequa cao eu(t) = c1u1(t) + c2u2(t) + Rcos(t ).A solu cao geral da equa cao homogenea correspondente, c1u1(t)+c2u2(t), e a solu cao do problemade oscila cao livre amortecida e ja mostramos que tende a zero quando t tende a +, por isso echamadasolucaotransiente,enquantoasolu caoparticular,Rcos(t ),permaneceeporissoechamadasolucaoestacionaria.u(t) = c1u1(t) + c2u2(t) + Rcos(t ) Rcos(t ), paratgrande.Vamosanalisarcomovariaaamplitudedasolu caoestacionaraRcomafrequenciadafor caexterna.R() = 0 () = 0 202=22m2,ouseja,R() = 0se,esomentese,2= 2022m2.Assimse2022m2 0ou =2km,entaoaamplitudedasolu caoestacionaraemaximapara=_2022m2.Se>2km, entaoa amplitudedasolu caoestacionara e decrescentee portanto seu maximoocorrepara= 0.3.6.4 CircuitosEletricosConsidereum circuitoeletrcoformadopor um capacitor,um resistore um indutor ligados emsereaumgerador.Aquedadepotencial numresistorderesistenciaReigual aRI , numcapacitordeca-pacitanciaCeigualaQCeemumindutordeindutanciaLeigualaLdIdt. PelasegundaleideKirchhotemosentaoqueLdIdt+ RI +1Q= V (t) (3.31)Substituindo-se I=dQdtobtemos uma equa cao diferencial de 2aordem para a carga eletrcanocapacitor.Ld2Qdt2+ RdQdt+1CQ = V (t) (3.32)comcondi coesiniciaisQ(0)=Q0eQ(0)=I0. Umaequa caodiferencial de2aordemparaacorrenteeletrcanocircuitopodeserobtidaderivando-seaequa cao(3.31),ouseja,Ld2Idt2+ RdIdt+1CdQdt=dVdt (t)77esubstituindo-seI=dQdtLd2Idt2+ RdIdt+1CI=dVdt(t)comcondi coesiniciaisI(0)=I0eI(0)=V (t0) RI0(IC)Q0L. A ultimacondi caoeobtidausandoaequa cao(3.32).Exemplo3.6.3. Um circuito possui um capacitor de 0, 5 101F, um resistor de 25 e umindutorde5H,emsere. Ocapacitorseencontradescarregado. Noinstantet = 0conecta-seessecircuitoaumabateriacujatensao ede10et/4V ,eocircuito efechado.Vamosdeterminaracarganocapacitoremqualquerinstantet > 0. Aequa caodiferencialparaacarganocapacitor e5Q + 25Q +10, 5 101Q = 10et/4.Dividindo-sepor5obtemosaequa caoQ + 5Q + 4Q = 4et/4.Equa caocaractersticaer2+ 5r + 4 = 0cujasrazessaor = 1, 4. Assimasolu caogeraldaequa caohomogenea eQ(t) = c1et+ c2e4t.Vamos procurar uma solu cao particular daequa cao naohomogenea daforma Qp(t) =A0et/4.Qp(t) = 14A0et/4, Qp(t) =A016et/4.Substituindo-senaequa caoQp(t), Qp(t)eQp(t)obtemosA016et/454A0et/44A0et/4= 2et/44516A0= 2 = A0=3245Portantoasolu caogeraldaequa caodiferencial eQ(t) = c1et+ c2e4t+3245et/4Derivadadasolu caogeral: Q(t) = c1et4c2e4845et/4Substituindo-set = 0,Q = 0,Q= 0obtemos_c1 + c2 +3245= 0c14c2845= 0, =_c1= 8/9c2= 8/4578Portantoasolu caodoPVIformadopelaequa caodiferencialeQ(0) = 0,Q(0) = 0 eQ(t) = 89et+845e4t+3245et/4.ObservequelimtQ(t) = 0.793.7 6aListadeExerccios3.8 ExercciosF1Sabendo-sequeoproblemadevalorinicial quedescreveumsistemamassa-molaedadopory + 2y= 0, y(0) = 0, y(0) = 1(a) Encontre a solu cao geral da equa caodiferencial e resolvao problema de valor inicial.Determineaamplitude,afrequencia,afaseeoperodo.(b) Esboceogracodasolu caoobtida.Resp. a)y(t) =22sen_2t_. Aamplitudeeiguala22,afrequenciaeiguala2,afase eiguala/2eoperodo e/2.F2Sabendo-sequeoproblemadevalorinicial quedescreveumsistemamassa-molaedadopor2y + 3y = 0, y(0) = 1, y(0) = 0(a) Encontre a solu cao geral da equa cao e resolva o problema de valor inicial. Determineaamplitude,afrequencia,afaseeoperodo.(b) Esboceogracodasolu caoobtida.Resp. a)y(t) = cos__32t_. Aamplitudeeiguala1,afrequenciaeiguala_32,afaseeigualazeroeoperodo e22/3.F3Umamola,deumsistemamassa-molasemamortecimento,temconstanteiguala3N/m.Pendura-sena molaumamassade 2 kge o sistemasofre a a cao deumafor ca externade3 cos(3t). Determineafun caoquedescreveomovimentodamassaemqualquerinstantet,considerandoaposi caoinicialigualu0eavelocidadeinicialu0.Resp. u(t) = 15 cos(3t) + (u0 +15) cos__3/2t_+_2/3u0sen__3/2t_.F4Seumsistemamassa-molacomumamassade2kgeumamolacomconstantedeelasti-cidadeigual0, 5N/mecolocadoemmovimento, noinstantet = 0,nummeioemqueaconstante de amortecimento e igual a 1 N.s/m, determine a posi cao da massa em qualquerinstantet,considerandoaposi caoinicialigualu0eavelocidadeinicialu0.Resp. u(t) = u0et/4cos_34t_+4u0+u03et/4sen_34t_F5Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 centmetros. Suponha que nao haja amortec-imento e que a acelera cao da gravidade seja de 103centmetros por segundo ao quadrado.Encontreafrequencia, operodoeaamplitudedomovimento. Determineaposi caouemfun caodotempotefa caumesbo codoseugraco.(a) Seamassa ecolocadaemmovimentoapartir dasuaposi caodeequilbriocomumavelocidadeapontadaparacimade4centmetrosporsegundo.80(b) Seamassaepuxadaparabaixocontraindoamola1centmetroedepoiscolocadaemmovimentocomumavelocidadeparabaixode10centmetrosporsegundo.(c) Seamassaepuxadaparabaixocontraindoamola2centmetrosedepois esolta.Resp. a)u(t) = 25sen(10t); b)u(t) =25 cos (10t /4); c)u(t) = 2 cos (10t)F6Umamassade100gramas esticaumamola10centmetros. Amassaestapresaaumamortecedor viscoso. Suponhaque a acelera caoda gravidade sejade 103centmetrosporsegundoaoquadrado.(a) Paraquaisvaloresdaconstantedeamortecimentoosistemaesuper-amortecido,temumamortecimentocrticoe esub-amortecido.(b) Suponhaqueoamortecedorexerceumafor cade104dinas(=gramascentmetrosporsegundos2)quandoavelocidade ede10centmetrosporsegundo. Seamassaepuxadaparabaixo2centmetrosedepois esolta,determineaposi caouemfun caodotempotefa caumesbo codoseugraco. Qualovalordoquase-perodo?F7Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 centmetros. Suponha que nao haja amortec-imento e que a acelera cao da gravidade seja de 103centmetros por segundo ao quadrado.Seosistemaecolocadoemmovimentocomumafor caexternade9600 cos(6t) dinas,determineaposi caodamassacomofun caodotempoefa caumesbo codoseugraco.F8Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 centmetros. Suponha que nao haja amortec-imento e que a acelera cao da gravidade seja de 103centmetros por segundo ao quadrado.Se o sistema e colocado em movimento com uma for ca externa de 1000 cos(t) dinas, paraigual a frequencia de ressonancia, determine a posi cao da massa como fun cao do tempoefa caumesbo codoseugraco.F9Umamassade100gramas esticaumamola10centmetros. Amassaestapresaaumamortecedor viscoso. Suponhaqueaacelera caodagravidadesejade103centmetrosporsegundoaoquadrado. Suponhaqueoamortecedorexerceumafor cade4200dinasquandoavelocidadeede1centmetroporsegundo. Seamassaestasobaa caodeumafor caexternade26000 cos(6t)dinas,determineaposi caouemfun caodotempotefa caumesbo codoseugraco,considerandosomenteasolu caoestacionara.F10Umcircuitopossui umcapacitorde0, 125 101F, umresistorde60eumindutorde10H, emsere. Acargainicial nocapacitorezero. Noinstantet=0conecta-seocircuitoaumabateriacujatensao ede12V eocircuitoefechado.(a) Determineacarganocapacitoremqualquerinstantet > 0.(b) Determineacarganocapacitorquandot +.(c) Esboceogracodasolu caoobtida.Resp. a)Q(t) = 310e2t+320e4t+320; b)320C81Captulo4SistemasdeEquacoesDiferenciaisLinearesdePrimeiraOrdemConsideremosasseguintesfun coesF1, F2, , Fn: IRn+1IR.Exemplo4.0.1.Denicao 4.0.1Oseguintesistemax1= F1(t, x1, x2, , xn)x2= F2(t, x1, x2, , xn)...xn= Fn(t, x1, x2, , xn)(4.1)eumsistemadeequacoesdiferenciais.Exemplo4.0.2.Osistemadeequa coesdiferenciais(4.1)temumasolucaonointervaloI :