Introdução à Análise de SEP Clever Pereira
1
UNIDADE I
INTRODUÇÃO À ANALISE DOS SEP
1. FONTES PRIMÁRIAS DE ENERGIA
FÓSSEIS
PETRÓLEO ⇒ oleodutos, navios, ferrovias,
rodovias. GÁS NATURAL ⇒ gasodutos CARVÃO MINERAL ⇒ ferrovias e navios
Convertidas em ENERGIA ELÉTRICA nas CENTRAIS TERMÉLETRICAS, em geral próximas
aos GRANDES CENTROS CONSUMIDORES
HIDRÁULICA
Quedas d’água de reservatórios Usinas a fio d’água
Convertida em ENERGIA ELÉTRICA nas CENTRAIS HIDRELÉTRICAS, em geral distantes
dos GRANDES CENTROS CONSUMIDORES
ALTERNATIVAS
GEOTÉRMICA: vapores internos da terra SOLAR, EÓLICA MARÉS, ÁLCOOL, GÁS DO LIXO, ETC.
Introdução à Análise de SEP Clever Pereira
2
2. INTRODUÇÃO
CONSUMO PER CAPTA ⇒ DESENVOLVIMENTO DE UMA NAÇÃO
3. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
SISTEMA ELÉTRICO DE
POTÊNCIA =
GERAÇÃO, TRANSMISSÃO E DISTRIBUIÇÃO
GERAÇÃO
Geradores Síncronos (2 kV a 20 kV)
TRANSMISSÃO
LT’s aéreas e subterrâneas. Níveis de 69 kV a 765 kV (AC) 1200 kV (DC) - bipolo de Itaipú
DISTRIBUIÇÃO
LD’s e RD’s aéreas e subterrâneas. Níveis até 34,5 kV Sudeste Brasileiro - 13,8 / 7,967 kV
Introdução à Análise de SEP Clever Pereira
3
4. BREVE HISTÓRICO
• 1878 → Thomas A. Edson começa os trabalhos com iluminação elétrica e propõe os primeiros conceitos de uma estação de potência central para distribuição de energia elétrica.
• 10/1879 → lançamento comercial da lâmpada elétrica.
• 09/1882 → inauguração da Usina de Pearl Street em Nova York com o início de fornecimento de energia elétrica a níveis comerciais: CARGA: 30 kW, 110 VDC USUÁRIOS: 59 usuários em 2,5 km2 (somente
iluminação)
• 1882 → 1a linha de transmissão de energia elétrica do mundo (USA; 2400 VDC; 59 km)
• 1883 → 1a linha de transmissão de energia elétrica do Brasil (Diamantina; MG; 2400 VDC; 2 km)
• 1885 → WILLIAM STANLEY desenvolve a níveis comerciais o atual TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA.
BENEFÍCIOS: DC → AC
Introdução à Análise de SEP Clever Pereira
4
• 1888 → NICOLA TESLA apresenta no AIEE artigo técnico sobre motores síncronos e de indução BIFÁSICOS. BENEFÍCIOS: evolução para sistemas polifásicos
• 1891 → 1a linha de transmissão trifásica de energia elétrica do mundo (ALEMANHA; 12 kV; 179 km)
• 1893 → 1a linha de transmissão trifásica de energia elétrica nos USA (2,3 kV; 12 km)
• 1901 → Centrais Hidrelétricas do Santana do Parnaíba no interior paulista (LT’s de 40 kV; AC; trifásicas)
Introdução à Análise de SEP Clever Pereira
5
5. ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
SISTEMA COMPLEXO composto de um elevado número de COMPONENTES
⇓ COMPLEXIDADE
de cada componente + DIVERSIDADE dos fenômenos existentes
⇓ Processos de DECOMPOSIÇÃO e HIERARQUIZAÇÃO
⇓ SIMPLIFICAÇÃO DO PROBLEMA
Introdução à Análise de SEP Clever Pereira
6
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
REGIME PERMANENTE
SENOIDAL (60 Hz)
REGIME DINÂMICO
(0,1 Hz a 100 Hz)
REGIME TRANSITÓRIO
(1 Hz a 100 MHz)
Análise no domínio da FREQUÊNCIA
Análise no domínio do
TEMPO e APROXIMAÇÕES
Análise no domínio do TEMPO e/ou da FREQUÊNCIA
• CURTO-CIRCUITO
• FLUXO DE
CARGA • ESTABILIDADE
ESTÁTICA
• ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
• TRANSITÓRIOS ELETROMECÂNICOS
FALTAS
1 Hz a
10 kHz
MANOBRAS
100 Hz a
100 kHz
SOBRETENSÕES ATMOSFÉRICAS
100 kHz a 1 MHz
CORONA
1 MHz a
100 MHz
Componentes Simétricas Clever Pereira
1
UNIDADE II
COMPONENTES SIMÉTRICAS
1- TEOREMA DE FORTESCUE Um conjunto de n fasores não balanceados pode ser
representado por um conjunto de n fasores de seqüência zero
mais n-1 conjuntos de n fasores balanceados da seguinte forma:
Sejam
ncπθ 2
=
: ângulo característico do sistema
)n(n)b(n)a(n
nba
nba
nba
nba
V,,V,V
V,,V,VV,,V,VV,,V,V
V,,V,V
111
222
111
000
−−− L
MOMM
L
L
L
L
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒
conjunto de n fasores não balanceados conjunto de n fasores de seqüência zero (defasados de 0.θc → em fase) conjunto de n fasores de seqüência 1 ou positiva (defasados de 1.θc ) conjunto de n fasores de seqüência 2 (defasados de 2.θc ) conjunto de n fasores de seqüência (n-1) ou negativa (defasados de [n-1].θc )
Componentes Simétricas Clever Pereira
2
então
)1(210
)1(210
)1(210
)1(210
−
−
−
−
++++=
++++=
++++=
++++=
nnnnnn
nccccc
nbbbbb
naaaaa
VVVVV
VVVVVVVVVVVVVVV
L
MOMMMM
L
L
L
→
→
→
→
n fasores n2 fasores
Faso
res
Não
B
alan
cead
os
Seq
üênc
ia
Zero
Seq
üênc
ia
Pos
itiva
Seq
üênc
ia
Neg
ativ
a
Componentes Simétricas Clever Pereira
3
EXEMPLO QUALITATIVO
SISTEMA PENTAFÁSICO ⇒ θc = 2π/5 = 72°
⇑
Conjunto de
n fasores desbalanceados
⇑
Conjunto de n fasores de seqüência
zero
⇑
Conjunto de n fasores de seqüência 1 ou positiva
⇑
Conjunto de n fasores de seqüência 2
⇑
Conjunto de n fasores de seqüência 3
⇑
Conjunto de n fasores de seqüência 4 ou negativa
Componentes Simétricas Clever Pereira
4
O OPERADOR “ a ”
cnjea θπ ∠== 12
rotação de θc no sentido positivo ou anti-horário
Algumas propriedades
cn
jea θ
π
−∠==−− 1
21
rotação de θc no sentido negativo ou
horário
) (
1 022
inteiro k
aeea kj
kn
njkn ===
= ±
±
± ππ
rotação de ±
2kπ, voltando ao mesmo lugar
mnmnmm aaaaa −−−− =⋅=⋅= 1 rotação de -m.θc , ou
de (n-m).θc
)(1 mnmnmm aaaaa −−− =⋅=⋅= rotação de m.θc , ou
de -(n-m).θc
Componentes Simétricas Clever Pereira
5
Com a ajuda do operador “a” pode-se expressar de maneira clara e concisa cada um dos n fasores não balanceados utilizando-se, por exemplo, apenas o primeiro fasor de cada uma das seqüências
1)1)(1(
2)1(2
1)1(
0
1)1(2
24
12
0
1)1(
22
11
0
1210
−−−−−−−−
−−−−−
−−−−−
−
++++=
++++=
++++=
++++=
annn
an
an
an
ann
aaac
ann
aaab
anaaaa
VaVaVaVV
VaVaVaVVVaVaVaVV
VVVVV
L
MOMMMM
L
L
L
ou seja não se necessita trabalhar (e conhecer) todos os n2 fasores, mas apenas n fasores.
Componentes Simétricas Clever Pereira
6
Na forma matricial a equação anterior pode ser escrito como
=
−−−−−−−−
−−−−
−−−−
1
2
1
0
)1)(1()1(2)1(
)1(242
)1(21
1
11
1111
an
a
a
a
nnnn
n
n
n
c
b
a
V
VVV
aaa
aaaaaa
V
VVV
M
L
MOMMM
L
L
L
M
que de maneira condensada toma a seguinte forma
SF VQV ⋅=~
~Q é denominada de Matriz de Transformação de FORTESCUE
Pode-se mostrar que ~Q admite inversa e então
FS VQV ⋅= −1~
que na forma não condensada é
=
−−−−
−
−
− n
c
b
a
nnnn
n
n
an
a
a
a
V
VVV
aaa
aaaaaa
n
V
VVV
M
L
MOMMM
L
L
L
M)1)(1()1(21
)1(242
)1(21
1
2
1
0
1
11
1111
1
Componentes Simétricas Clever Pereira
7
Exemplo: Sistemas Trifásicos ⇒ n=3 Quando n=3 tem-se a transformação de FORTESCUE para sistemas trifásicos também conhecida como transformação de COMPONENTES SIMÉTRICAS, onde
ojoc ea 1201120
32 3
2
∠==∴==ππθ
Assim
=
⇒
=
−−
−−
c
b
a
a
a
a
a
a
a
c
b
a
VVV
aaaa
VVV
VVV
aaaa
VVV
42
2
2
1
0
2
1
0
42
21
11
111
31
11
111
Utilizando-se as propriedades do operador “a” tem-se que
=
=
−−
−−
2
2
42
21
11
111
11
111~
aaaa
aaaaQ
e
=
=−
aaaa
aaaaQ
2
2
42
21
11
111
31
11
111
31~
então
=
⇒
=
c
b
a
a
a
a
a
a
a
c
b
a
VVV
aaaa
VVV
VVV
aaaa
VVV
42
2
2
1
0
2
1
0
2
2
11
111
31
11
111
Componentes Simétricas Clever Pereira
8
2- PROPRIEDADES ÚTEIS DAS COMPONENTES SIMÉTRICAS
Seja a transformação de Fortescue para sistemas trifásicos dada por :
⋅=⋅=
⇒
⋅=⋅=
−
−
FS
FS
SF
SF
IQIVQV
IQIVQV
1
1
~~
~~
onde
=
= −
aaaaQe
aaaaQ
2
21
2
2
11
111
31~
11
111~
Um elemento trifásico passivo de rede, na sua forma mais geral, pode ser modelado pelo seguinte circuito elétrico:
Componentes Simétricas Clever Pereira
9
Para este elemento são observadas as seguintes propriedades: (a) A corrente de neutro é formada apenas por corrente de
seqüência zero.
( )( )( ) 02
210
212
0
210
3 aaaa
aaa
aaacban
IIaIaIIaIaI
IIIIIII
=++++++++=++=
Isto vem caracterizar a seqüência zero como uma seqüência intimamente ligada à terra, fato que não ocorre para as seqüências positiva e negativa, que possuem caráter apenas aéreo, visto que não estão presentes no retorno pela terra. (b) Em sistemas elétricos onde tanto as impedâncias próprias
quanto as impedâncias mútuas são iguais entre si, a matriz das impedâncias de seqüência é diagonal.
nnaycacbabaaaax IZVIZIZIZV ++++= ou seja
( )( ) ( ) ( ) cnacbnabanaa
cbancacbabaaaayax
IZZIZZIZZIIIZIZIZIZVV
+++++=
+++++=−
Componentes Simétricas Clever Pereira
10
Para as três fases pode-se escrever
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+++++==−
+++++==−
+++++==−
cnccbncbancaccycx
cnbcbnbbanbabbybx
cnacbnabanaaaayax
IZZIZZIZZVVVIZZIZZIZZVVVIZZIZZIZZVVV
Utilizando notação matricial fica
+++++++++
=
c
b
a
nccncbnca
nbcnbbnba
nacnabnaa
c
b
a
III
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
VVV
.
Em notação comprimida, tem-se que
FFF IZV ⋅= ~
onde ~ZF é a matriz das impedâncias de fase ou em componentes de fase. Esta equação é denominada equação primitiva de circuito em componentes de fase e possui solução da forma
FFF VZI ⋅= −1~
Nos SEE onde a matriz ~ZF é geralmente cheia, a solução acima se torna muito complexa, uma vez que envolve a inversão de uma matriz de ordem 3n (onde n é o número de elementos modelados). No entanto, aplicando-se a transformação de componentes simétricas tem-se que
SFS IQZVQ ⋅⋅=⋅~~~
Componentes Simétricas Clever Pereira
11
ou seja
SSS IZV .~= onde
QZQZ FS~.~.~~ 1−=
Nesta equação, ~ZS é denominada de matriz das impedâncias de seqüência ou em componentes simétricas. A solução, ainda em componentes simétricas, é da forma
SSS VZI .~ 1−=
Esta solução será particularmente simples se ~ZS for diagonal. Na unidade 3 será mostrado que para que isto aconteça é necessário que se verifique as seguintes relações:
===
===
mcabcab
pccbbaa
ZZZZZZZZ
ou seja, que a matriz ~ZF seja da seguinte forma
=
+++++++++
=
PMM
MPM
MMP
npnmnm
nmnpnm
nmnmnp
F
ZZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
Z~
Componentes Simétricas Clever Pereira
12
Quando isto acontece diz-se que o sistema é equilibrado em relação às suas impedâncias, caso muito comum nos SEE. Deste modo, a matriz ~ZS vai ser diagonal e terá a seguinte forma
−−
+=
MP
MP
MP
S
ZZZZ
ZZZ
2~
ou ainda
−−
++=
mp
mp
nmp
S
ZZZZ
ZZZZ
32~
cuja inversa é de fácil computação e dada por
−
−
++
=−
mp
mp
nmp
S
ZZ
ZZ
ZZZ
Z
1
132
1
~ 1
Componentes Simétricas Clever Pereira
13
Rescrevendo a equação primitiva do circuito em componentes simétricas de maneira não comprimida tem-se
−−
+=
2
1
0
2
1
0 2
a
a
a
MP
MP
MP
a
a
a
III
ZZZZ
ZZ
VVV
ou seja
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
=−=−=
=−=−=
=++=+=
22222
11111
00000 322
aampaMPa
aampaMPa
aanmpaMPa
IZIZZIZZVIZIZZIZZV
IZIZZZIZZV
Pode-se ver que a transformação de componentes simétricas desacoplou as seqüências umas das outras, ou seja, a queda de tensão referente à uma das seqüências só depende da corrente daquela seqüência. Isto sugere o conceito de circuitos equivalentes (ou diagramas) de seqüência, vistos abaixo
Nota-se nestes diagramas que a impedância Zn já vem incorporada dentro de Z0, multiplicada por três, uma vez que a corrente de retorno é igual a “3” Iao.
Componentes Simétricas Clever Pereira
14
Cada um dos elementos da matriz das impedâncias de seqüência podem ser interpretados como as impedâncias próprias de cada seqüência, dadas por
−=−=
−=−=
++=+=
mpMP
mpMP
nmpMP
ZZZZZZZZZZ
ZZZZZZ
2
1
0 322
Caso o circuito não fosse equilibrado com relação às suas impedâncias (próprias e mútuas, cada uma delas iguais entre si) iriam aparecer mútuas entre os diagramas de seqüência, e o método sugerido não mais seria efetivo. (c) A transformação de componentes simétricas não é invariante
em potência. A potência complexa trifásica pode ser calculada através da seguinte expressão em componentes de fase:
[ ] *
*
*
*
***3
. FF
c
b
a
cba
ccbbaa
IVIII
VVV
IVIVIVS
T=
=
=++=Φ
Mas
( )( )
==
==⇒
==
****
TTTT
SSF
SSF
SF
SF
IQIQIQVVQV
IQIVQV
.~.~~..~
.~
.~
Componentes Simétricas Clever Pereira
15
e como
=
=
=
=
⇒
=
1
2
2
2
2
2
2
~311
111~
~
11
111~
11
111~
-*
T
QaaaaQ
QaaaaQ
aaaaQ
então
⋅=⋅=⋅=⋅=
*-***
TTTT
SSF
SSF
IQIQIQVQVV
1~3~~~
Assim
( )*22
*11
*00
1*3
33
~3~
aaaaaaSS
SSFF
IVIVIVIV
IQQVIVS
++=⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅=⋅=Φ
*T
*-TT
ou seja, vai aparecer um coeficiente 3, mostrando que a transformação de componentes simétricas não é invariante em potência.
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
1
UNIDADE III
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE SISTEMAS TRIFÁSICOS
1- INTRODUÇÃO
SEP ⇒ Circuitos
CA 3φ
CA 1φ
CC
⇒ em Regime Permanente Senoidal (RPS)
2- FASORES Seja v(t) senoidal da forma
( )δω += tVtv m cos)(
⇒ω freqüência angular
⇒mV valor de pico
⇒δ ângulo de fase (a) Valor Eficaz O valor eficaz de uma onda periódica v(t), de período T, é definido por :
∫==T
ef dttvT
VV0
2)(1
(1)
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
2
Deste modo, para uma onda cosenoidal tem-se
222
2
22cos1)(
2
0
2
0
2
0
22
0
2
TVtsentV
dttVdttsenVdttv
m
T
m
T
m
T
m
T
⋅=
−=
=
−
== ∫∫∫
ωω
ωω
(2)
E desta forma o valor eficaz de v(t) vai ser
22..1 2
mmef
VTVT
VV =/
/==
(3)
(b) Representação Fasorial Chama-se fasor A& o vetor de módulo |A| que gira com uma velocidade angular ω no plano complexo, ou seja
FASOR
+=
=⇒
teAA j
ωθθ
θ
0
&
Utilizando a fórmula de Euler tem-se que
( ) ( )[ ]δωδω +ℜ=+= tjmm eVetVtv cos)( (4)
Pode-se então associar v(t) à projeção sobre o eixo real de um fasor onde
+→+=
→
ttVA m
ωδωθθ 0
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
3
(c) Representação na forma POLAR e CARTESIANA
Pode-se ainda associar v(t) à projeção sobre o eixo real de um fasor RMS ou EFICAZ onde utiliza-se seu valor eficaz ao contrário do seu valor máximo, ou seja
FASOR “RMS”
+=
=⇒
t
eAA jefef
ωθθ
θ
0
&
Desta forma, para a onda v(t) em questão tem-se
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]δωδω
δωδω
++
+
ℜ=
ℜ=
ℜ=+=
tjtjm
tjmm
eVeeVe
eVetVtv
22
2
cos
(5)
onde ( )δtωjVeV +=& é o fasor RMS associado à v(t). Assim
( ) ( ) ( ) tjjtj eeVeVtv ωδδω =⇒ + (6)
Desta forma, a onda v(t) pode ser representada por um fasor RMS através de três notações distintas, a saber:
( )43421444 3444 2143421
⇓⇓⇓
∠=+= δδδδ VsenjVeV j cos
NOTAÇÃO EXPONENCIAL
NOTAÇÃO CARTESIANA
NOTAÇÃO POLAR
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
4
2. POTÊNCIA EM CIRCUITOS MONOFÁSICOS CA Seja o par de grandezas elétricas senoidais dadas por
( )( ) ( )
−==
θωωtItitVtv
m
m
coscos
(a) Potência Instantânea
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
[ ]=+=
=+=
=−==
θωωθω
θωθωω
θωω
sentsenttIV
sentsenttIV
ttIVtitvts
mm
mm
mm
coscoscos..
coscoscos..
coscos...
2
( ) ( )[ ]=++=
=
+
+
=
tsensentIV
tsensentIV
mm
mm
ωθωθ
ωθωθ
2.2cos1.cos2.
22.
22cos1.cos.
(7)
( ) ( )[ ]
( ) ( )
)()(
22cos1cos
2.2cos1.cos22
)()(
tqtp
tsensenIVtIV
tsensentIV
tqtp
mm
+=
=++=
=++=
444 3444 214444 34444 21ωθωθ
ωθωθ
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
5
Vê-se que a potência instantânea s(t) é formada por dois termos: o primeiro termo p(t) possui freqüência angular 2ω e valor médio P dado por
θcosIVP = (8)
Este termo recebe o nome de potência ativa e retrata uma potência efetivamente entregue (ou absorvida). Em geral é representado apenas pela letra P. O segundo termo também possui freqüência angular 2ω, mas valor médio nulo. Isto indica que nada é efetivamente entregue (ou absorvido). Em razão de possuir valor médio nulo, sua identificação é feita pelo seu valor de pico, dado por
θsenIVQm = (9)
Este segundo termo recebe o nome de potência reativa e é representada geralmente pela letra Q. Pode-se associar a estes dois termos uma potência complexa S dada por
( )( ) ( ) *0 .
coscos
IVeIeVeIVsenjIVsenIVjIVQjPS
jj
j
&&==
=+=
+=+=
θ
θθθ
θθ
(10)
A potência complexa S pode ser representada no plano polar através do conhecido triângulo de potências abaixo (notar que o ângulo θ que antes tinha sentido negativo passou a ter sentido positivo, em razão do conjugado aplicado à corrente).
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
6
(b) Potência Instantânea entregue a um resistor ideal
Para um resistor ideal tem-se as seguintes equações de circuito:
Domínio do Tempo (Ondas no Tempo)
Domínio da Freqüência (Fasores)
( ) tVtv m ωcos= 0∠=VV&
e e
( ) ( )tiRtv = IRV && ⋅=
⇓ ⇓
( ) ( ) tRV
Rtvti m ωcos== 0∠==
RV
RVI&
&
⇓ ⇓ °= 0θ °= 0θ
⇓ ⇓
======
0sencos
θθ
IVQQIVIVPP
m
====
⇒=0sen
cos. *
θθ
IVQIVIVP
IVS &&&
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
7
(c) Potência Instantânea entregue a um indutor ideal
Para um indutor ideal tem-se as seguintes equações de circuito:
Domínio do Tempo (Ondas no Tempo)
Domínio da Freqüência (Fasores)
( ) tVtv m ωcos= 0∠=VV&
e e
( ) ( )dttidLtv = ILjV && ω=
⇓ ⇓
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )°−==
==
=
∫∫
90cossen
cos1
1
tLVt
LVti
dttLVdttv
Lti
dttvL
tid
mm
m
ωω
ωω
ω °−∠== 90LV
LjVI
ωω
&&
⇓ ⇓
°= 90θ °= 90θ
⇓ ⇓
======
IVIVQQIVPP
m θθ
sen0cos
====
⇒=IVIVQ
IVPIVS
θθ
sen0cos
. *&&&
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
8
(d) Potência Instantânea entregue a um capacitor ideal
Para um capacitor ideal tem-se as seguintes equações de circuito:
Domínio do Tempo (Ondas no Tempo)
Domínio da Freqüência (Fasores)
( ) tVtv m ωcos= 0∠=VV&
e e
( ) ( )dttvdCti = VCjI && ω=
⇓ ⇓
( ) ( )
( )
( ) ( )°+=−=
−=
=
90cossensen
cos
tVCtitVCtVC
dttVdCti
m
m
m
m
ωωωωωω
ω
°∠= 90VCI ω&
⇓ ⇓
°−= 90θ °−= 90θ
⇓ ⇓
−======
IVIVQQIVPP
m θθ
sen0cos
−====
⇒=IVIVQ
IVPIVS
θθ
sen0cos
. *&&&
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
9
3. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (a) Sem mútuas
EQUAÇÕES DE CIRCUITO
++=
++=
++=
cCLPgc
bCLPgb
aCLPga
IZZZE
IZZZE
IZZZE
)(
)(
)(
SISTEMA É EQUILIBRADO
⇒
TENSÕES DE CORRENTES SÃO EQUILIBRADAS
==
==
ac
ab
ac
ab
IaIIaI
VaVVaV 22
e
Substituindo estas relações nas equações de circuito vê-se na verdade que existe apenas uma única equação. Surge daí o conceito de circuito equivalente por fase, mostrado abaixo.
/++=/
/++=/
++=
aCLPga
aCLPga
aCLPga
IaZZZEa
IaZZZEa
IZZZE
)(
)(
)(22
Cuja solução é da forma
==
++=
acab
CLPg
aa
IaIIaI
ZZZEI
;2
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
10
(b) com mútuas
EQUAÇÕES DE CIRCUITO
++++=
++++=
++++=
cCLPgbLMaLMc
cLMbCLPgaLMb
cLMbLMaCLPga
IZZZIZIZE
IZIZZZIZE
IZIZIZZZE
)()(
)(
SISTEMA É EQUILIBRADO
⇒
TENSÕES E CORRENTES SÃO EQUILIBRADAS
==
==
ac
ab
ac
ab
IaIIaI
VaVVaV 22
e
Substituindo estas relações nas equações de circuito vê-se novamente que tem-se apenas uma única equação.
[ ][ ][ ]
/−++=/
/−++=/
−++=
aLMCLPga
aLMCLPga
aLMCLPga
IaZZZZEa
IaZZZZEa
IZZZZE
)(
)(
)(22
ou
( )[ ]( )[ ]( )[ ]
/+−+=/
/+−+=/
+−+=
aCLMLPga
aCLMLPga
aCLMLPga
IaZZZZEa
IaZZZZEa
IZZZZE22
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
11
Novamente pode-se pensar num circuito equivalente por fase, mostrado abaixo
Cuja solução é da forma:
( )
==
+−+=
acab
CLMLPg
aa
IaIIaI
ZZZZEI
;2
4. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
O circuito acima possui a seguinte equação:
+++++++++
=
c
b
a
NccNcbNca
NbcNbbNba
NacNabNaa
c
b
a
III
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
EEE
(11)
onde
+==
≠===
=++==
′∑∑∑
nnnN
LijMijij
CiLiigiPiii
ZZZZ
jicbajisendoZZZ
cbaisendoZZZZZ
;,,,
,,
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
12
Chamando
≠=+=
=+=
JICBAJIsendoZZZ
CBAIsendoZZZ
NijJI
NiiII
;,,,
,,
a equação do circuito trifásico desequilibrado pode ser escrita finalmente como
⋅
=
c
b
a
CCCBCA
BCBBBA
ACABAA
c
b
a
III
ZZZZZZZZZ
EEE
(12)
ou de maneira condensada
FFF IZE ⋅= ~ (13)
Uma vez que o sistema não é equilibrado, não se pode resolvê-lo utilizando-se os circuitos equivalentes por fase. Uma possível solução é a inversão direta de FZ
~ , ou seja
FFF EZI ⋅= −1~ (14)
A solução acima é obtida através de um processo longo e trabalhoso que envolve a inversão de uma matriz de ordem N, onde neste caso, N é o número de malhas do sistema de potência, geralmente muito elevado. Outra possível solução é obtida utilizando-se a teoria dos modos de propagação ou dos componentes modais. (a) Caso Geral Para o caso geral onde
≠≠≠≠
BCACAB
CCBBAA
ZZZZZZ
(15)
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
13
admite-se que os vetores das tensões e das correntes de fase possam ser expressos em função de vetores de tensões e correntes modais da seguinte forma:
⋅=
⋅=
MF
MF
IQI
EQE~
~
(16)
onde a matriz Q~
é denominada matriz de transformação modal. Substituindo na equação do circuito vem
MFMFFF IQZEQIZE ⋅⋅=⋅⇒⋅=~~~~
~ (17)
ou seja
MMM IZE ⋅= ~ (18)
onde MZ~
é a matriz das impedâncias em componentes modais dada por
QZQZ FM~~~~ 1 ⋅⋅= − (19)
Aparentemente tem-se a mesma equação em componentes modais que em componentes de fase. No entanto, se Q
~ for
escolhida adequadamente, de tal maneira que MZ~
seja diagonal, então a solução se torna simples, uma vez que sua inversão é dada pela inversão de cada um de seus termos. A solução pode então ser obtida seguindo-se o esquema abaixo
FFF IZE ⋅= ~ → MF IQI ⋅=
~
↓ ↑
⋅⋅=
⋅=−
−
QZQZ
EQE
FM
FM~~~~
~
1
1
→ MMM EZI ⋅= −1~
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
14
O fato da matriz das impedâncias modais ser diagonal pode ser interpretado como a inexistência de acoplamento entre os modos de propagação, como mostra o diagrama abaixo
O novo problema que se apresenta é a determinação da matriz Q~
que vai diagonalizar a matriz FZ
~ através da transformação de
similaridade. QZQZ FM
~~~~ 1 ⋅⋅= − (20)
Este é um problema clássico de álgebra linear e consiste na determinação da matriz dos autovetores associados aos autovalores da matriz FZ
~. Parece a princípio que o problema ficou
ainda maior pois, se inicialmente envolvia uma inversão, agora torna-se necessário a determinação da matriz Q
~, sua inversa 1~−Q
(ou seja uma inversão) e diversas multiplicações matriciais, tornando o método ainda mais complexo e trabalhoso. Será mostrado a seguir que para alguns casos particulares este método vai simplificar bastante a solução da rede.
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
15
(b) Impedâncias Equilibradas Trata-se de uma situação muito comum em sistemas de potência, onde
======
MBCACAB
PCCBBAA
ZZZZZZZZ
(21)
A matriz das impedâncias de fase FZ~ assume a seguinte forma
=
PMM
MPM
MMP
F
ZZZZZZZZZ
Z~ (22)
Deseja-se que a matriz QZQZ FM~~~~ 1 ⋅⋅= − seja diagonal. Chamando
=Λ=
3
2
1~~
λλ
λ
MZ (23)
vem que QZQQQQZQ FF
~~~~~~~~~~ 11 ⋅⋅⋅=Λ⋅⇒⋅⋅=Λ −− (24)
ou seja 0
~~~~~~~~~~=Λ⋅−⋅⇒⋅⋅=Λ⋅ QQZQZQ FFI (25)
onde I
~ e 0
~ são respectivamente a matriz identidade e a matriz de zeros de ordem 3. Uma vez que Λ= ~~
MZ é diagonal, pode-se escrever a equação (25) coluna por coluna, ou seja
=
−
⋅
000000000
3
2
1
333231
232221
131211
333231
232221
131211
λλ
λ
qqqqqqqqq
qqqqqqqqq
ZZZZZZZZZ
pmm
mpm
mmp
(26)
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
16
Escrevendo a equação (26) para a primeira coluna fica
=
⋅−
⋅
000
31
21
11
1
31
21
11
qqq
qqq
ZZZZZZZZZ
pmm
mpm
mmp
λ (27)
Ou de forma condensada
1313
1111
131
33
~
×××××
=⋅−⋅ 0qqZF λ (28)
Para uma coluna genérica k (k = 1,3), tem-se que
0=⋅−⋅ kkkF qqZ λ~ (29)
A equação (29) pode ser colocada na forma
( ) 00 =⋅ℑ⋅−⇒=⋅ℑ⋅−⋅ kkFkkkF qZqqZ ~~~~ λλ (30)
Na forma expandida a equação (30) fica da forma
=
⋅
⋅−
000
k
k
k
k
pmm
mpm
mmp
qqq
ZZZZZZZZZ
3
2
1
11
1λ
(31)
Ou ainda
=
⋅
−−
−
000
k
k
k
kpmm
mkpm
mmkp
qqq
ZZZZZZZZZ
3
2
1
λλ
λ
(32)
A equação (32) é um sistema linear e homogêneo, de três equações e três incógnitas (q1k, q2k e q3k). Existe ainda uma quarta incógnita, pois também não se conhece o valor de λk . No entanto, para que um sistema homogêneo possua solução diferente da trivial é necessário que
( ) 0=ℑ⋅− ~~det kFZ λ (33)
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
17
Ou de forma expandida que
0=−
−−
kpmm
mkpm
mmkp
ZZZZZZZZZ
λλ
λ
(34)
Ou seja
( ) ( ) 03 233 =−−+− kpmmkp ZZZZ λλ (35)
A equação (35) é uma equação do terceiro grau em λk. Desta forma, vão existir três raízes dadas por
−=
−=
+=
mp
mp
mp
ZZZZZZ
3
2
1 2
λ
λ
λ
(36)
O leitor pode substituir estes valores na equação (35) acima de forma a certificar que são realmente as suas raízes. Estas raízes são conhecidas como os autovalores da matriz FZ~ . Substituindo o primeiro autovalor no sistema linear homogêneo expresso na equação (32) tem-se que
( )( )
( )
=
⋅
+−+−
+−
000
31
21
11
22
2
qqq
ZZZZZZZZZZZZZZZ
mppmm
mmppm
mmmpp
(37)
Ou seja
=
⋅
−−
−
000
31
21
11
22
2
qqq
ZZZZZZZZZ
mmm
mmm
mmm
(38)
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
18
Ou ainda
=
⋅
−−
−
000
31
21
11
211121112
qqq
(39)
Finalmente
=−+=+−=++−
0
0
0
312111
312111
312111
22
2
qqqqqqqqq
(40)
A solução para este sistema é
312111 qqq == (41)
Substituindo o segundo autovalor (ou o terceiro, visto que são iguais) na mesma equação (32), tem-se que
( )( )
( )
=
⋅
−−−−
−−
000
32
22
12
qqq
ZZZZZZZZZZZZZZZ
mppmm
mmppm
mmmpp
(42)
Ou seja
=
⋅
000
32
22
12
qqq
ZZZZZZZZZ
mmm
mmm
mmm
(43)
Ou ainda
=
⋅
000
32
22
12
111111111
qqq
(44)
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
19
Finalmente
=++=++=++
0
0
0
322212
322212
322212
qqqqqqqqq
(45)
A solução para este sistema é
0=++ 322212 qqq (46)
ou seja, quaisquer três valores que somados se anulem. Para o terceiro autovalor tem-se a mesma solução, ou seja
0=++ 332313 qqq (47)
Assim, a matriz Q~ que diagonaliza FZ~ deve ser montada por autovetores justapostos tais que
=++=++
==
0
0
332313
322212
312111
qqqqqqqqq
(48)
ou seja, os elementos da primeira coluna devem ser iguais e os elementos das outras colunas devem ter soma nula. A equação (48) mostra que a matriz de transformação de componentes simétricas, ou de Fortescue, estudada na unidade anterior, atende às três condições mostradas acima uma vez que ela é da forma
=
2
2
11
111~
aaaaQ (49)
A equação (48) mostra também que na verdade, existem infinitas transformações de similaridade que diagonalizam a matriz FZ~ , quando ela é equilibrada. Entre as mais conhecidas destacam-se, para uso em sistemas de potência, as seguintes:
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20
(b.1) Transformação de Fortescue (ou Componentes Simétricas)
=⇒
= −
aaaaQ
aaaaQ
2
21
2
2
11
111
31~
11
111~
(50)
(b.2) Transformação de Clarke (ou αβ0)
−−−=⇒
−−
−= −
330112
111
31~
23
211
23
211
011~ 1QQ
(51)
(b.3) Transformação de Karrembauer
−−=⇒
−−= −
101011111
31~
211121111
~ 1QQ (52)
(b.4) Transformação de Clever
−
−=⇒
−−= −
2112
12
3023
111
31~
111201
111~ 1QQ (53)
A equação (53) foi colocada neste texto apenas para provocar a devida polêmica, pois a efetividade de uma dada transformação de similaridade depende de vários fatores tais como facilidade para interpretação física, simplicidade das operações e o fato de serem ou não ortogonais. Mas, para quaisquer das transformações anteriores e para outras possíveis que atendam às equações (48), a matriz das impedâncias modais vai ser sempre da forma
−−
+=
mp
mp
mp
M
ZZZZ
ZZZ
2~
(54)
ou seja, cada um dos elementos é um autovalor de FZ~ .
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
21
EXEMPLO : Resolver o circuito mostrado abaixo utilizando a teoria apresentada nesta unidade, admitindo-se que:
(a) o gerador fornece tensões equilibradas de 100 V eficazes e que Zg = j 1 Ω, ZLP = j 3 Ω, ZLM = 0 Ω e ZC = j 3 Ω;
(b) ídem (a), mas com ZLM = j 1 Ω;
(c) ídem (b), mas com EC = 0 V.
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
22
5. Representação de Grandezas em Por Unidade (PU)
5.1. Introdução
Por definição, uma grandeza em pu tem a seguinte forma:
Grandeza Elétrica Valor (pu) = Valor Base
Grandeza Elétrica Símbolo Dimensão Unidade Corrente I [ I ] ampère Tensão V [ V ] volt
Potência Complexa S [ VI ] volt-ampère Impedância Z [ V/I ] ohm
Ângulo de Fase θ , φ , δ - radiano Tempo t [ T ] segundo
• Em RPS não é necessário explicitar o tempo. • O ângulo de fase é adimensional, não necessitando de valor
base. • Restam então quatro grandezas, assim relacionadas:
=
=
IVZI.VS *
&&&
&&&
Conclusão Conhecendo-se duas, as outras duas ficam automaticamente determinadas. Assim, é necessário especificar apenas duas grandezas base.
• Geralmente os valores base são escolhidos reais para evitar operações com números complexos.
• VANTAGENS:
(a) facilidade na comparação dos valores; (b) eliminação dos trafos ideais; (c) menores erros de aproximação; (d) menor confusão (grandezas de linha / de fase); (e) valores típicos de impedâncias para equipamentos.
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
23
• FORMULÁRIO PARA CIRCUITOS MONOFÁSICOS
Usualmente são escolhidas ou fornecidas a Potência Base e a Tensão Base. Desta maneira tem-se:
Potência Base Sb [VA] Sb [MVA] MVAb
Tensão Base Vb [V] Vb [kV] kVb
A determinação das outras bases é da forma
Corrente Base
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
⇒=
=
kVVMVASkAI
VVVASAI
b
bb
b
bb
(55)
Impedância Base
[ ] [ ][ ]
[ ][ ]
[ ] [ ][ ]
⇒=Ω
==Ω
MVASkVVZ
VASVV
AIVVZ
b
bb
b
b
b
bb
2
2
(56)
b
bb kV
MVAkI =
[ ]b
bb MVA
kVZ2
=Ω
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
24
5.2. Formulário para Circuitos Trifásicos
Para circuitos trifásicos equilibrados são válidas as seguintes equações (em módulo):
(57)
Usualmente são fornecidos a Potência Base Trifásica (Sb3φ) e a Tensão Base de Linha ( Vbφφ ).
Potência Base Trifásica Sb3Φ [VA] Sb3Φ [MVA] MVAb3Φ
Tensão Base de Linha VbΦΦ [V] VbΦΦ [kV] kVbΦΦ
No entanto pode-se utilizar a Potência Base por Fase (Sb1φ) e a Tensão Base de Fase (VbφΝ). Assim
Potência Base Monofásica Sb1Φ [VA] Sb1Φ [MVA] MVAb1Φ
Tensão Base de Fase VbΦΝ [V] VbΦΝ [kV] kVbΦΝ
onde os valores base por fase se relacionam com os valores base trifásicos por
=
=
ΦΦΦ
ΦΦ
3
33
1
bNb
bb
VV
SS
(58)
Φ
ΦΦ
Φ
ΦΦ
Φ
Φ
Φ
ΦΦΦ
ΦΦΦΦ
ΦΦΦ
ΦΦΦ
=
==⋅
⋅==
====
=
3
2
3
2
1
2
13
3
3
33
333
3
SV
S
V
SV
IVVV
IVZ
IVIVIVSS
VV
N
N
NNN
N
N
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
25
A determinação dos outros valores base é feita utilizando-se as equações (57) e (58), ou seja:
Corrente Base
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
⇒=
⇒=
ΦΦ
Φ
Φ
Φ
kVVMVAS
kAI
kVVMVAS
kAI
b
bb
Nb
bb
33
1
(59)
Impedância Base
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
⇒=Ω
⇒=Ω
Φ
ΦΦ
Φ
Φ
MVASkVVZ
MVASkVVZ
b
bb
b
Nbb
3
2
1
2
(60)
5.3. Mudança de Base
Algumas vezes deseja-se expressar uma impedância em pu, originariamente referida a um certo par de bases, para um outro par de bases. Isto é feito sabendo-se que o valor ôhmico desta impedância é único, ou seja
[ ] [ ]Ω=Ω ZZ (61)
Expressando-se o valor ôhmico desta impedância em pu, para as duas impedâncias bases distintas Zb2 e Zb1 vem que
1122 )()( bb ZpuZZpuZ ⋅=⋅ (62)
[ ]Φ
ΦΦ=Ω3
2
b
bb MVA
kVZ
Nb
bb kV
MVAkI
Φ
Φ= 1
ΦΦ
Φ=b
bb kV
MVAkI
33
[ ]Φ
Φ=Ω1
2
b
Nbb MVA
kVZ
Técnicas de Análise de Sistemas Trifásicos Clever Pereira
26
Ou seja
2
112 )()(
b
b
ZZpuZpuZ ⋅= (63)
Substituindo as expressões para Zb2 e Zb1 em (63) tem-se que
1
21
12
22
2 )()(b
b
b
b
MVAkVpuZ
MVAkVpuZ ⋅=⋅ (64)
Rearranjando os termos resulta finalmente que
(65)
A equação (65) acima mostra que o valor em pu da impedância no novo par de bases 2 é inversamente proporcional ao quadrado da nova tensão base e diretamente proporcional à nova potência base.
1
22
2
112 )()(
b
b
b
b
MVAMVA
kVkVpuZpuZ ⋅
⋅=
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
1
UNIDADE IV
PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO
1- INTRODUÇÃO
OBJETIVOS DO ESTUDO
CARACTERÍSTICAS DOS ELEMENTOS
⇒
MODELO
MATEMÁTICO
EXEMPLOS
TNA → circuitos equivalentes reduzidos COMPUTADOR DIGITAL → representação
matricial
HISTORICAMENTE EXISTEM 2 SISTEMAS DE REFERÊNCIA:
TRANSFORMADORES E
GERADORES ⇒
MODELOS EM COMPONENTES
SIMÉTRICAS
LINHAS DE
TRANSMISSÃO ⇒
MODELOS EM COMPONENTES
DE FASE
COMPONENTES
DE SEQUÊNCIA
COMPONENTES
DE FASE
→−= QZQZ FS
~.~.~~ 1
←−= 1~.~.~~ QZQZ SF
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
2
2- EQUAÇÃO DE ONDA PARA UMA LT EM LT's EXISTEM DOIS EFEITOS PRINCIPAIS: (a) VARIAÇÃO DE TENSÃO AO LONGO DA LINHA devido à
circulação de uma corrente elétrica por ela. (b) VARIAÇÃO DA CORRENTE AO LONGO DA LINHA devido às
perdas de corrente para a terra, em virtude da ddp existente entre a linha e a terra.
Fig. 1 – Variação da tensão ao longo da LT
Fig. 2 – Variação da corrente ao longo da LT
( )
IZxV
xV
IZxV
xZIVVV
x.
lim
.
..
0−==
∆∆
−=∆∆
∆=∆+−
→∆ ∂∂
onde Z é a impedância longitudinal
(ou série) unitária dada por
[ ]kmLjRZ Ω+= ω
( )
VYxI
xI
VYxI
xYVIII
x.
lim
.
..
0−==
∆∆
−=∆∆
∆=∆+−
→∆ ∂∂
onde Y é a admitância transversal (ou paralela) unitária dada por
[ ]kmSCjGY ω+=
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
3
3. CÁLCULO DOS PARÂMETROS DE UMA LT 3.1. INTRODUÇÃO
IZxV .
−=∂∂
onde
[ ]kmLjRZ Ω+= ω denominada “Impedância Longitudinal (ou série) Unitária”
.V I Yx
−=∂∂
onde
[ ]kmSjGY Cω+= denominada “Admitância Transversal (ou shunt, ou paralela) Unitária”
(A) HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS INICIAIS
(a) solo plano e homogêneo (ρ = cte) (b) condutores paralelos ao solo e entre si (c) desprezados os efeitos das torres (d) desprezados os efeitos da terra (inicialmente) (e) condutores pára-raios de µ = cte
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
4
(B) TIPOS DE CONDUTORES
Simples :
denominados fios
Compostos : denominados cabos
Homogêneos
AAC : all aluminum conductor (CA) AAAC : all aluminum alloy conductor
Não Homogêneos
ACSR : aluminum conductor steel reinforced (CAAA)
ACAR : aluminum conductor alloy
reinforced
Múltiplos
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
5
3.2. IMPEDÂNCIA LONGITUDINAL DE UMA LT
[ ]kmLjRZ Ω+= ω
A - RESISTÊNCIA LONGITUDINAL UNITÁRIA
Resistência em corrente contínua ( RDC )
[ ] [ ]kmA
RA
R DCDC Ω=⇒Ω= ρρ
l
l
(1)
Resistência em corrente alternada ( RAC ) • Consulta a tabelas : (Tabelas A3 e A4)
Variação da resistência com a temperatura
MATERIAL T (°C) Cobre -234,5
Alumínio -228,0
Fig. 3 – Variação da resistência com a temperatura
para o cobre e o alumínio.
⇒
−−
=TtTt
RR
1
2
1
21
1
22 R
TtTtR
−−
=
(2)
onde:
R : Resistência Longitudinal Unitária L : Indutância Longitudinal Unitária
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
6
EXEMPLO: QUAL A INFLUÊNCIA DO EFEITO PELICULAR A 60 Hz SOBRE A RESISTÊNCIA DO CONDUTOR MARIGOLD A 20 °C ?
NA REALIDADE, O QUE SE ESTÁ PEDINDO É A RELAÇÃO )20()20(
CRCR
DC
AC
°°
[ ]m 10 1115,5
3048,0 100001558,0)20( 5 Ω×=×
=° −CRDC
CT
TT
CRCR
AC
AC o 228 onde 5020
)50()20(
−=−−
=°°
[ ]m 10 2993,5
344,16090956,0
2285022820 )20( 5 Ω×=×
++
=° −CRAC
0367,1
101115,5102993,5
)20()20(
5
5
==°°
−
−
xx
CRCR
DC
AC
1 pé = 1' = 0,3048 m 1 milha = 1,609 km 1 pol = 1" = 2,54 cm 1 mil = 0,001 pol 1 CM = área do círculo com 1 mil de diâmetro = 5,067 mm2
EFEITO PELICULAR causa um aumento de 3,67 % na resistência
DADOS DE TABELA DO CABO AAC
MARIGOLD
1.113.000 CM; 61 fios RDC (20 °C) = 0,01558 Ω /1000 pés RAC (50 °C) = 0,0956 Ω /milha
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
7
B - INDUTÂNCIA LONGITUDINAL UNITÁRIA 1. Indutância de um condutor cilíndrico, maciço e homogêneo de
material não magnético
EXTINTTOTAL LLL += (3)
onde LTOTAL ⇒ Indutância total LINT ⇒ Indutância devido ao enlace de fluxo interno LEXT ⇒ Indutância devido ao enlace de fluxo externo
LBH →→→→ ψφ
iiLiL l
lll
ψψψ =⇒=⇒=
L
Roteiro de Cálculo
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
8
(a) INDUTÂNCIA DEVIDO AO ENLACE DE FLUXO INTERNO
Intensidade de Campo Magnético (H) (LEI DE AMPERE)
[ ] A.esp 2
=
= 2.
.
2
2
2
T
T
env
iR
rH
iRrrH
idH
π
πππ
∫ =lrr
(4)
Densidade de Campo Magnético ( B )
[ ]22
0 0 Wb/m
2 = RirBHB T
πµµ ⇒=
(5)
Fluxo Magnético ( φ )
[ ]Wb/m ..
2 =
.d ..=.=d .
2
0drr
Rid
drBdrBdSBdSB
T
S
πµφ
φφφ
l
ll =⇒⇒= ∫
(6)
Enlace de Fluxo Magnético ( Ψ )
[ ]
πµ
πµ
πµψ
πµψ
ππφψ
8
4
2 2
mWb.esp 2
0
0 0
4
4
034
0
4
3 0
2
2
TR R
TT
tT
irRidrr
Ri
drR
ridRrdd
=
==
=⇒=
∫l
lll
(7)
Indutância ( L )
[ ]H/m 2
10 8
10 4 8
77
0−−
=×
====π
ππ
µψ
TINT i
LL l
l (8)
R
r dr l
Fig. 4 – Campo magnético interno a um condutor
Ψrr
,H
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
9
(b) INDUTÂNCIA DEVIDO AO ENLACE DE FLUXO EXTERNO
Intensidade de Campo Magnético (H) (LEI DE AMPERE)
[ ] A.esp 2
= = 2. . r
iHirHidH TTenv
ππ ⇒⇒=∫ l
rr
(9)
Densidade de Campo Magnético (B)
[ ]20
0 Wb/m 2 = riBHB T
πµµ ⇒=
(10)
Fluxo Magnético (Φ )
[ ] mWb . 2
. .. .
0 drrid
drBddrBdSBd
T
πµφ
φφ
=
=⇒==
l
ll
(11)
D1
D2
r
dr
Ψrr
,H
l
iT
2R
Fig. 5 – Campo magnético externo a um condutor
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
10
Enlace de Fluxo Magnético (Ψ )
[ ]mWb.esp
2 0 drrid T
πµψ
=l
(12)
considerando o enlace de fluxo de D1 a D2
[ ]mWb.esp ln 2
ln 2
2
1
2012
1
200122
1
2
1
DDi
DD
ridrrid
T
TD
D
TD
D
πµψ
πµ
πµψψ
=
=== ∫∫
l
ll
(13)
Indutância (L)
A indutância devido ao fluxo externo, de D1 até D2 é
(14)
A indutância devido a todo fluxo externo ao condutor até um ponto P qualquer, distante DP do centro do condutor é então:
(15)
[ ]H/m ln 2
1
201212
DD
iL
T πµψ
==l
l
[ ]H/m ln 102 ln 2
70
RD
RDL PP
EXT−×==
πµ
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
11
(c) INDUTÂNCIA TOTAL
+=+=
RD
RDL PP
TOTAL ln41
2ln
2
8 000
πµ
πµ
πµ
(16)
ou seja
ln
2lnln
2
41
0410
ReD
RD
eL ppTOTAL
⋅=
+=
πµ
πµ
(17)
ou ainda
ln
2
41
0−
⋅=
eR
DL p
TOTAL πµ
(18)
Definindo um raio corrigido ReRR 7788,0 ' 41
==−
temos
[ ]H/m
'ln
2 0
RDL P
TOTAL πµ
=
(19)
NOTA: A indutância total de um condutor de raio R corresponde à indutância devida somente ao fluxo externo de um condutor de raio R = R e-1/4.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
12
2. Matriz das Indutâncias Longitudinais de um Grupo de Condutores Cilíndricos e Homogêneos, onde Σ i=0
Foi mostrado no item anterior que o fluxo que enlaça um condutor de raio R, percorrido por uma corrente i, considerando uma região que vai até um certo ponto P qualquer é dado por
iRDP
EXTINTTOTAL
=Ψ+Ψ=Ψ
'ln
2 0
πµ
(20)
Quando existe mais de um condutor, é necessário calcular o fluxo que enlaça cada um deles, somando o fluxo criado pelo próprio condutor com os criados pelos restantes. Como exemplo, calculando o fluxo que enlaça o condutor 1, mostrado na figura acima, fica
Fluxo que enlaça o condutor 1 Devido à corrente
no condutor Expressão para o
enlace de fluxo Comentário
1 1'1
1011 ln
2i
RD P
=Ψ
πµ
Fluxo devido à
corrente i1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n ln2 1
01 n
n
nPn i
DD
=Ψ
πµ
Fluxo devido à
corrente in
P
i1
i2
i3
in
DnP
D1
D3
D2P
D23
D2
1
D2n
D1n
D3n
D13
∑=
=n
kki
10
ψ até um certo ponto P
Fig. 6 – Enlace de Fluxo devido a um conjunto de condutores onde ∑i = 0
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
13
Assim, o enlace de fluxo total do condutor 1 é: n112111 ΨΨΨΨ +++= L
(21) ou seja
+++=Ψ
121
22'
1
11
01 lnlnln
2 n
nPn
PP
DDi
DDi
RDi L
πµ
(22)
ou ainda
( ) ( )( )]nPnPnnPP
nn
DiDiDiD
Di
Di
Ri
lnlnlnlni
1ln1ln1ln2
=
112211
1212'1
01
1
+++++
+
+++Ψ
−−L
Lπ
µ
(23)
mas por hipótese, ∑=
=n
kki
10 , ou seja
121121 0 −− −−−−=⇒=++++ nnnn iiiiiiii LL
(24)
então
( ) ( )]nPnnPPnnP
nn
DiDiDiDi
Di
Ri
lnlnln...ln
1ln1ln2
111111
1'1
01
1
−−− ++−+++
+
++=Ψ
L
Lπ
µ
(25)
ou seja
( )
+++
++=Ψ −
−np
pnn
np
p
nn D
Di
DD
iD
iR
i 11
11
1'1
10
1 lnln1ln1ln2
LLπ
µ
(26)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
14
Quando P tender a infinito nPiP DD com ( i = 1,2,...,n-1) tende a 1 e
121para 0lnlim n-,,,=iDD
nP
iP
PL=
∞→ (27)
e deste modo
+++=Ψ
1212'
11
01
1ln1ln1ln2 n
n Di
Di
Ri L
πµ
(28)
Escrevendo na forma matricial para todos n condutores resulta
=
Ψ
ΨΨ
n
nnn
n
n
n i
ii
RDD
DRD
DDR
M
L
MOMM
L
L
M2
1
'21
2'221
112'1
02
1
1ln1ln1ln
1ln1ln1ln
1ln1ln1ln
2πµ
(29)
Que com notação condensada é da forma
iL.~=Ψ
(30) ou seja, tem-se uma matriz associada ao feixe de condutores, dada por
(31)
A matriz acima sem o coeficiente µ0 / 2π é conhecida como matriz dos coeficientes de campo F~ .
[ ]mH
1ln1ln1ln
1ln1ln1ln
1ln1ln1ln
2~
'21
2'221
112'1
0
=
nnn
n
n
RDD
DRD
DDR
L
L
MOMM
L
L
πµ
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
15
De maneira mais simples e até "abusada", a matriz L~ vai ser escrita neste texto como
(32)
Observações Importantes:
(a) Notar que [ ] [ ]ijaA ln~ln = se e somente se A~ é diagonal. No entanto, será utilizada neste texto esta notação para fins de simplificação.
(b) Será utilizado como coeficiente multiplicador da matriz dos coeficientes de campo tanto 0,2 (para indutância em mH/km) quanto 2 x 10-7 (para indutância em H/m) ou µ0 / 2π, cabendo ao leitor identificar a unidade utilizada.
3. Matriz Indutância Longitudinal e Indutância Total de uma LT monofásica a 2 fios
Trata-se de uma situação particular do item anterior,
onde n = 2.
Assim sendo
iL~=ψ (33)
[ ]kmmH
111
111
111
ln2,0~
'21
2'221
112'1
=
nnn
n
n
RDD
DRD
DDR
L
L
MOMM
L
L
Fig. 7 – LT monofásica a dois fios.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
16
ou seja
=
=
2
1
'221
12'10
2
1
2221
1211
2
1
11
11
ln2ψ
ψii
RD
DRii
LLLL
πµ
(34)
Desta forma, as indutâncias próprias de cada um dos condutores, respectivamente L11 e L22, e as mútuas entre os condutores, L12 e L21, sendo L12 = L21, são dadas por
==
=
=
]/[1ln2,0
]/[1ln2,0
]/[1ln2,0
2112
'2
11
'1
11
kmmHD
LL
kmmHR
L
kmmHR
L
(35)
sendo D12 = D21 = D. Efetuando a multiplicação matricial em (34) resulta em
+=+=Ψ
+=+=Ψ
'2
221
10
2221212
122'
11
02121111
1ln1ln2
1ln1ln2
Ri
DiiLiL
Di
RiiLiL
πµπ
µ
(36)
Analisando inicialmente para o fluxo Ψ1 fica
+×=+=Ψ −
122'
11
72121111
1ln1ln102D
iR
iiLiL (37)
mas como
= e 2121 iiiiii −⇒−== (38)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
17
então a equação (37) fica como
( ) '
1
121
7
12'1
17
112111 ln1021ln1ln102RDi
DRiiLL −− ×=
−×=−=Ψ
(39)
Escrevendo a equação (39) para o condutor 2 tem-se que
( ) '
2
212
7
21'2
27
221222 ln1021ln1ln102RDi
DRiiLL −− ×=
−×=−=Ψ
(40)
Chamando de Li a indutância que relaciona o fluxo Ψi com a corrente ii , tem-se das equações (39) e (40) que
(41)
Nas equações (41) acima, L1 e L2 recebem o nome de indutâncias aparentes dos cabos 1 e 2 respectivamente A figura 8 a seguir esclarece os conceitos de indutância própria (L11 e L22), mútua (L12 e L21) e aparente (L1 e L2) relacionadas a uma LT monofásica a dois fios.
=−=Ψ
=
=−=Ψ
=
]/[ln2,0
]/[ln2,0
'2
21222
22
'1
12111
11
kmmHRDLL
iL
kmmHRDLL
iL
Fig. 8 – Indutâncias próprias, mútuas e aparentes de uma LT monofásica a dois fios.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
18
O fluxo total enlaçado pela linha, ou seja, a parcela de fluxo que se encontra entre os condutores 1 e 2, vai ser (o leitor deve verificar que os enlaces de fluxo Ψ1 e Ψ2 possuem sentidos contrários na região entre os dois condutores da linha)
−×=−=Ψ−Ψ=Ψ −
'2
212'
1
121
7221121 lnln102
RDi
RDiiLiL
(42)
Como i1 = i , i2 = - i e D12 = D21 = D resulta de (42) que
(43)
A constante que relaciona o fluxo total enlaçado pela linha de transmissão com a corrente da LT monofásica a dois fios na equação (42) é chamada de indutância de serviço LS desta LT, ou seja,
(44)
Utilizando as equações (41) e o fato de L12 e L21 serem iguais, pode-se escrever também que
(45)
A figura 9 a seguir apresenta circuitos equivalentes de uma LT monofásica a dois fios de forma a esclarecer o conceito de indutância de serviço.
12221121 2 LLLLLi
LS −+=+=Ψ
=
×=
×=
Ψ= −−
''''S.RR
D.RR
Di
L21
7
21
27 ln104ln102
( )
×=
−×=+=Ψ −−
'''' .RRDi
RDi
RDiiLL
21
27
22
11
721 ln102lnln102
Fig. 9 – Indutância de serviço de uma LT monofásica a dois fios.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
19
Para LTs que possuam os condutores 1 e 2 iguais, ou seja, quando ''
2'
1 RRR == (caso muito comum em linhas de transmissão), tem-se de (44) que
(46)
Considere agora a figura 10 abaixo onde estão presentes duas bobinas acopladas magneticamente com polaridade subtrativa, sendo L11 e L22 as indutâncias próprias destas bobinas e L12 = L21 a indutância mútua entre elas.
Para este circuito pode-se escrever que
+=∆
+=∆
dtdiL
dtdiLv
dtdiL
dtdiLv
222
1122
212
1111
(47)
A queda de tensão total nas duas bobinas ∆v vai ser
21 vvv ∆−∆=∆ (48)
+ –
∆v1
∆v2
i1 = i
i2 = -i
+ –
+ ∆v
–
L12
L11
L2
2
Fig. 10 – Bobinas acopladas magneticamente.
( ) '7
2'
27 ln104ln102
RD
RDLS
−− ×=×=
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
20
ou seja
+−
+=∆
dtdiL
dtdiL
dtdiL
dtdiLv 2
221
122
121
11 (49)
Mas i1 = i e i2 = -i, então
dtdiL
dtdiL
dtdiL
dtdiLv 22121211 +−−=∆
(50)
ou seja
( )dtdiLLLv 122211 2−+=∆
(51)
ou ainda
dtdiLv S=∆
(52)
onde
122211 2 LLLLS −+= (53)
Comparando as equações (53) e (45) nota-se que uma LT monofásica a dois fios se comporta como duas bobinas ligadas em série com acoplamento magnético subtrativo mostrado na figura 10.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
21
LEMBRETES
BOBINAS ACOPLADAS MAGNETICAMENTE
SUBTRATIVA
(mais utilizada)
ADITIVA
(utilizada em pequenos
trafos monofásicos)
TESTES PARA VERIFICAR POLARIDADE
Fig. 11 – Bobinas acopladas magneticamente com polaridade subtrativa.
Fig. 12 – Bobinas acopladas magneticamente com polaridade aditiva.
Fig. 13 – Testes para determinar polaridades de bobinas acopladas magneticamente.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
22
4. Indutância de um cabo X com n filamentos idênticos pertencente a uma linha com outro cabo Y com m’ filamentos idênticos
Trata-se de um arranjo de condutores onde ∑i=0. Desta forma pode ser escrito que
−−−⋅
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−×=
Ψ
Ψ−−−
Ψ
Ψ
−
'
'
''''''
''''''
'''
'''
7
'
'
11|11|
11|11
11|11|
11|11
ln102
m
a
n
a
mamnmam
maanaaa
nmnanna
amaaana
m
a
n
a
i
i
i
i
RDDD
DRDD
DDRD
DDDR
M
M
LL
MOMMOM
LL
LL
MOMMOM
LL
M
M
(54)
Desta forma, o enlace de fluxo da fase a vai ser dado por
+++
++×=Ψ −
'''
7 1ln1ln'
1ln1ln102amaa
Y
ana
Xa DDm
iDRn
iLL (55)
ou seja
+
×=Ψ −
mamaa
Yn
anaba
Xa DDi
DDRi
'''
7 1ln1ln102LL
(56)
Fig. 14 – LT monofásica a dois cabos.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
23
Definindo na equação (56)
∆
∆
mamabaaaY
nanabaaX
DDDDMG
DDRDMG
'''
'
L
L (57)
onde DMGaX e DMGaY são as distâncias médias geométricas do filamento a aos cabos X e Y respectivamente, as equações (54) podem ser escritas como
+
×=Ψ
+
×=Ψ
−
−
nYY
nXXn
aYY
aXXa
DMGi
DMGi
DMGi
DMGi
1ln1ln102
1ln1ln102
7
7
MMM (58)
Considerando o enlace de fluxo do cabo X como a média dos enlaces de fluxo de cada um de seus filamentos vem que
nnba
XXΨ++Ψ+Ψ
=Ψ=ΨL
(59)
Desta forma
+
×=Ψ −
nnYaY
YnnXaX
XX DMGDMGi
DMGDMGi
LL
1ln1ln102 7 (60)
Definindo
∆
∆
nnYbYaYXY
nnXbXaXX
DMGDMGDMGDMG
DMGDMGDMGRMG
L
L (61)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
24
onde RMGX é o raio médio geométrico do cabo X e DMGXY é a distância média geométrica entre os cabos X e Y, a equação (60) pode ser escrita como
+
×=+=Ψ −
XYY
XXYXYXXXX DMG
iRMG
iiLiL 1ln1ln102 7 (62)
De maneira análoga para o cabo Y resulta que
+
×=+=Ψ −
YY
YXXYYYXYXY RMG
iDMG
iiLiL 1ln1ln102 7 (63)
Reescrevendo as duas últimas equações de maneira simples e "abusada", vem que
⋅
×=
⋅
=
ΨΨ −
Y
X
YYX
XYX
Y
X
YYYX
XYXX
Y
X
ii
RMGDMG
DMGRMGii
LLLL
11
11
ln102 7
(64)
ou seja
(65)
Como iX = - iY , resulta que
( )
( )
×=−=Ψ
×=−=Ψ
−
−
Y
YXYYYXYYY
X
XYXXXYXXX
RMGDMGiiLL
RMGDMGiiLL
ln102
ln102
7
7
(66)
[ ]kmmH
RMGDMG
DMGRMGLLLL
L
YYX
XYX
YYYX
XYXX /11
11
ln2,0~
=
=
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
25
Como antes, podem ser definidas as indutâncias aparentes dos cabos X e Y como a relação entre o fluxo Ψ e a corrente i para cada um dos cabos, ou seja
(67)
Como no item 3, para o caso de LT monofásica a dois fios, o fluxo total enlaçado pelos dois cabos vai ser
( )
×=+=Ψ−Ψ=Ψ −
YX
XYYXYX RMGRMG
DMGiiLL ln104 7 (68)
Desta forma, a indutância de serviço da LT a dois cabos vai ser dada por
(69)
[ ]
[ ]
=−=
=−=
kmmHRMGDMGLLL
kmmHRMGDMGLLL
Y
YXYXYYY
X
XYXYXXX
/ln2,0
/ln2,0
[ ]kmmHRMGRMG
DMGLLLYX
XYYXS /ln4,0
=+=
NOTAS
(a) Comparando com os resultados do ítem 3, referente a con-dutores simples, vê-se que as relações coincidem, se forem trocados R' por RMG e D por DMG.
(b) Desta forma, as indutâncias aparentes por fase e de serviço
de LT's a dois cabos são análogas às das LT's a dois fios.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
26
5. Indutância de uma Linha de Transmissão Monofásica a dois fios com retorno pelo solo considerado ideal (ρ = 0)
A figura 15 abaixo mostra que, se for utilizado o Método das Imagens, a LT monofásica a dois fios com solo ideal torna-se um caso onde ∑ i = 0
Desta forma, os enlaces de fluxo dos condutores 1 e 2 e de suas imagens 1’ e 2’ podem ser expressos por
⋅
×=
ΨΨΨΨ
−
'2
2
'1
1
''22'2'1'21'2
'22'2'2121
'2'12'1''11'1
'1212'11'1
7
'2
2
'1
1
1111
1111
1111
1111
ln102
iiii
RDDD
DRDD
DDRD
DDDR
(70)
Fig. 15 – LT monofásica a dois fios em solo ideal.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
27
Substituindo os termos Dii' referentes às distâncias de cada um dos condutores à sua própria imagem por Hi e os termos Dik' relativos às distâncias de cada um dos condutores i à imagem de um outro condutor k por Hik , como mostra a figura anterior, resulta que
⋅
×=
ΨΨΨΨ
−
'2
2
'1
1
''221212
2'21221
1212''11
12121'1
7
'2
2
'1
1
1111
1111
1111
1111
ln102
iiii
RHDH
HRHD
DHRH
HDHR
(71)
Escrevendo a relação para o primeiro enlace de fluxo vem que
+++×=Ψ −
12'2
122
1'1'
11
71
1ln1ln1ln1ln102H
iD
iH
iR
i (72)
Como i1 = -i1' e i2 = -i2' então
−+−×=Ψ −
122
122
11'
11
71
1ln1ln1ln1ln102H
iD
iH
iR
i (73)
ou seja
21211112
122'
1
11
71 lnln102 iLiL
DHi
RHi +=
+×=Ψ −
(74)
Repetindo o mesmo procedimento para o enlace de fluxo no condutor 2 chega-se a
222121'2
22
12
121
71 lnln102 iLiL
RHi
DHi +=
+×=Ψ −
(75)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
28
ou seja, a matriz das indutâncias longitudinais unitárias da linha de transmissão monofásica a dois fios, considerando o solo ideal, é da forma
⋅
×=
=
ΨΨ −
2
1
'2
2
21
12
12
12'1
1
7
2221
1211
2
1 ln102ii
RH
DH
DH
RH
LLLL
(76)
Podemos ver que ela é bastante semelhante à matriz das indutâncias longitudinais unitárias quando não se considera a presença do solo, diferenciando apenas devido ao aparecimento dos termos Hi e Hij no numerador de cada um dos elementos. Toda a formulação restante, referente ao cálculo das indutâncias aparentes e de serviço da linha de transmissão monofásica a dois fios considerando solo ideal é a mesma apresentada no item 3, ou seja, as indutâncias aparentes vão ser dadas por
−=−=
21222
12111
LLLLLL
(77)
e a total ou de serviço por
21 LLLS += (78)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
29
6. Indutância de uma linha de transmissão trifásica com retorno pelo solo considerado ideal (ρ = 0)
A figura 16 mostra uma linha de transmissão trifásica, considerando o solo ideal e uma linha equivalente aplicando-se o método das imagens.
Para estas linhas de transmissão, o raciocínio é semelhante ao anterior para linhas monofásicas a dois fios. Desta forma, utilizando-se novamente o método das imagens, a equação de enlace de fluxo fica
=
ΨΨΨ
⇒=Ψ
C
B
A
CCCBCA
BCBBBA
ACABAA
C
B
A
iii
LLLLLLLLL
iL~ (79)
onde
[ ]kmmH
RH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
RH
L
c
c
bc
bc
ac
ac
bc
bc
b
b
ab
ab
ac
ac
ab
ab
a
a
=
'
'
'
ln2,0~ (80)
dab dbc
dac
ha hb hc
a
b
c
solo homogêneo
Dab Dbc
Ha
Hb
Hc
a
b
c
Da’c’
Da’b’ Db’c’
Dac
Hab’
Hac’
b
c'a
Fig. 16 – LT trifásica em solo ideal.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
30
7. Indutâncias Aparentes e de Serviço de Linhas de Transmissão Trifásicas
Seja a equação genérica dos enlaces de fluxo para uma linha de transmissão trifásica.
⋅
=
ΨΨΨ
C
B
A
CCCBCA
BCBBBA
ACABAA
C
B
A
iii
LLLLLLLLL
(81)
A expressão para o enlace de fluxo da fase a
CACBABAAAA iLiLiL ++=Ψ (82)
Considerando o sistema equilibrado, no instante em que iA passa pelo máximo (max)Ai tem-se
Ψ−=Ψ=Ψ
−==
Ψ=Ψ
=
2
2(max)
(max)
(max)
(max)
ACB
ACB
AA
AA
iii
eii
(83)
e então
−+
−+=Ψ=Ψ
22(max)(max)
(max)(max)A
ACA
ABAAAAA
iL
iLiL (84)
Rearranjando os termos e utilizando o mesmo raciocínio para as outras duas fases, chega-se a
( )
( )
( )
⋅
+−=Ψ
⋅
+−=Ψ
⋅
+−=Ψ
(max)(max)
(max)(max)
(max)(max)
212121
CACBCCCC
BBCABBBB
AACABAAA
iLLL
iLLL
iLLL
(85)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
31
No caso de LTs trifásicas, as indutâncias aparentes de cada uma das fases são definidas como a relação entre o fluxo máximo e a corrente máxima daquela fase, ou seja
( )
( )
( )
+−=Ψ
=
+−=Ψ
=
+−=Ψ
=
ACBCCCC
CC
BCABBBB
BB
ACABAAA
AA
LLLi
L
LLLi
L
LLLi
L
21
21
21
(max)
(max)
(max)
(max)
(max)
(max)
(86)
O circuito equivalente da figura abaixo explica o conceito de indutância aparente por fase
Definindo uma média dos enlaces de fluxos máximos das três fases como
3(max)(max)(max)
(max)CBA Ψ+Ψ+Ψ
∆Ψ (87)
Utilizando as equações (86) e lembrando que em sistemas trifásicos equilibrados as correntes máximas nas três fases são idênticas, ou seja
(max)(max)(max)(max) Iiii CBA === (88)
Fig. 17 – Indutâncias aparentes de uma LT trifásica.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
32
esta média dos enlaces de fluxos máximos pode ser expressa em termos das indutâncias aparentes por fase como
(max)(max)3
ILLL CBA ⋅
++=Ψ (89)
A equação (89) fornece a expressão para a indutância longitudinal de serviço da linha de transmissão trifásica como uma média das indutâncias aparentes por fase, dada por
( ) ( )CABCABCCBBAACBA
S LLLLLLLLL
IL ++−++=
++=
Ψ=
31
31
3(max)
(max) (90)
Na equação (90) acima, nota-se que o primeiro e segundo termos são médias aritméticas das indutâncias próprias e mútuas respectivamente. Assim, definindo
( )
( )
++=
++=
CABCABm
CCBBAAp
LLLL
LLLL
3131
(91)
resulta que a indutância de serviço de uma LT trifásica pode ser definida em função destas indutâncias médias como
mpS LLL −= (92)
O circuito equivalente a seguir explica o conceito de indutância de serviço, obtida a partir da média aritmética das indutâncias aparentes.
Fig. 17 – Indutância de serviço definida a partir de indutâncias aparentes de uma de uma LT trifásica.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
33
8- Transposição de LT's Trifásicas
No primeiro trecho temos
×=
ΨΨΨ
=Ψ −
C
B
A
R
HDH
DH
DH
R
HDH
DH
DH
R
H
C
B
A
iii
p
p
p
p
p
p
o ln102
'32
32
31
31
23
23'
21
21
13
13
12
12'
71 (93)
No segundo trecho temos
×=
ΨΨΨ
=Ψ −
C
B
A
R
HDH
DH
DH
R
HDH
DH
DH
R
H
C
B
A
iii
p
p
p
p
p
p
o ln102
'13
13
12
12
31
31'
32
32
21
21
23
23'
72 (94)
No terceiro trecho temos
×=
ΨΨΨ
=Ψ −
C
B
A
R
HDH
DH
DH
R
HDH
DH
DH
R
H
C
B
A
iii
p
p
p
p
p
p
o ln102
'21
21
23
23
12
12'13
13
32
32
31
31'
73 (95)
Fig. 18 – Transposição de LT trifásica.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
34
Considerando um valor médio dos enlaces de fluxos para os três trechos como
Tmedio
ooo
l
lll332211 ... Ψ+Ψ+Ψ
=Ψ=Ψ (96)
e considerando especificamente o caso de transposição perfeita, onde
3321Tllll === (97)
tem-se então que o enlace de fluxo médio vai ser
3321 ooo
medio
Ψ+Ψ+Ψ=Ψ=Ψ (98)
Analisando especificamente para a fase a vem que o enlace de fluxo médio da fase a vai ser dado por
++×
=
Ψ+Ψ+Ψ=Ψ
322113
322113
312312
312312'
7-
321
ln ln ln 3 3102
3
DDDHHHi
DDDHHHi
RH
i CBp
pA
AAAA
ooo
(99)
ou ainda
++×=Ψ −
3322113
3322113
3312312
3312312
'7 ln ln ln 102
DDDHHH
iDDDHHH
iRH
i CBp
pAA (100)
Definindo Deq como a distância média geométrica entre as fases e Heq como a altura média geométrica entre as fases e as imagens das outras fases, ou seja
∆
∆3
231312
3231312
HHHH
DDDD
eq
eq
(101)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
35
o valor médio do enlace de fluxo da fase a, considerando-a nas três posições P1, P2 e P3 vai ser
++×=Ψ −
eq
eqC
eq
eqB
p
pAA
DH
iDH
iRH
i ln ln ln 102 '7
(102)
Assim, estendendo o raciocínio para as outras duas fases, resulta que
×=
ΨΨΨ
−
C
B
A
R
HDH
DH
DH
R
HDH
DH
DH
R
H
C
B
A
iii
p
p
eq
eq
eq
eq
eq
eq
p
p
eq
eq
eq
eq
eq
eq
p
p
ln102
'
'
'
7
(103)
ou seja pode ser definida uma matriz de indutâncias longitudinais média da LT trifásica dada por
=
×= −
pmm
mpm
mmp
R
HDH
DH
DH
R
HDH
DH
DH
R
H
LLLLLLLLL
L
p
p
eq
eq
eq
eq
eq
eq
p
p
eq
eq
eq
eq
eq
eq
p
p
'
'
'
ln 102~ 7
(104)
Considerando que o sistema trifásico está equilibrado, ou seja, que para qualquer instante a soma das correntes é nula, ou seja, que iA + iB + iC = 0, resulta para qualquer uma das fases k = A, B ou C que
(105)
onde LS é definida como a indutância de serviço da linha de transmissão trifásica equilibrada (perfeitamente transposta).
mpS LLL −=( ) ⇒−=Ψ KmpK iLL
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
36
9. Indutância de Linhas Trifásicas com Cabos Múltiplos Como no item 4, vão ser considerados raios médios geométricos e distâncias médias geométricas. Assim, considerando a presença do solo ideal vem
⋅
×=
ΨΨΨ
−
C
B
A7
iii
ln102
C
C
CB
CB
CA
CA
BC
BC
B
B
BA
BA
AC
AC
AB
AB
A
A
C
B
A
RMGHMG
DMGHMG
DMGHMG
DMGHMG
RMGHMG
DMGHMG
DMGHMG
DMGHMG
RMGHMG
(106)
onde
EXEMPLO:
(a) Calcular a matriz das indutâncias longitudinais unitárias e a indutância de serviço da LT abaixo, inicialmente não considerando o efeito do solo.
Condutores Pheasant RMG = 0,0466 pés
= 0,0142 m d = 0,45 m DAB = DBC = D = 8 m
Fig. 19 –LT trifásica sem presença do solo .
HMGK é a distância média geométrica da fase K à sua imagem
RMGK é o raio médio geométrico da fase K
HMGJK é a distância média geométrica da fase J à imagem da fase K
DMGJK é a distância média geométrica da fase J à fase K
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
37
Pela simetria existente na LT, vê-ser que os raios médios geométricos das fases são iguais. Assim, calculando para a fase A vem que
CB
A
RMGRMGdRdRdR
dRdRRMG
====
==
'.'.'.
.. DMG .RMGDMG .RMG '2
'1212121
As distâncias médias geométricas entre as fases A e B e as fases B e C também são iguais. Calculando uma delas resulta que
( ) ( )
( )( ) ( )
4
2
4
24
4 2224 2
24231413
11
D .DD .
−⋅=
−⋅=
−=−+=
−+==
DdD
DdD
dDDdDdDD
DdDdDDDDMGAB
A expressão da DMG da fase A à fase C vai ser dada por
( ) ( )
( )( ) ( )
42
4
24
4 2224 2
26251615
212
2116
44224
2222 . .
−⋅=
−⋅=
−=−+=
−+==
DdD
DdD
dDDdDdDD
DdDdDDDDDDDMGAC
Pelas expressões anteriores, na hipótese de d << D, resulta que
≈
≈=
DDMG
DDMGDMG
AC
BCAB
2
Ou seja, as distâncias médias geométricas se equivalem às distâncias de centro a centro das fases.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
38
Deste modo
=
==
===
]/[21ln2,0
]/[1ln2,0
]/[1ln2,0
kmmHD
L
kmmHD
LL
kmmHRMG
LLL
AC
BCAB
ACCBBAA
Substituindo os valores numéricos vem que
BCABBCAB
CBA
DDmmDMGDMG
mRMGRMGRMG
==≈=
−==
=×===
8994,7845,018
08,045,00142,0
42
mmDMGAC 16997,151645,0116 4
2
≈=
−=
E assim
]/[5051,008,01ln2,0 kmmHLLL CCBBAA ====
]/[4159,081ln2,0 kmmHLL BCAB −===
]/[5545,0161ln2,0 kmmHLAC −==
A matriz das indutâncias longitudinais unitárias será
]/[5051,04159,05545,04159,05051,04159,05545,04159,05051,0
~ kmmHL
−−−−−−
=
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
39
O valor da indutância de serviço pode ser calculado diretamente da matriz acima considerando que
mpS LLL −=
ou seja
( ) ( ) ( )[ ]5545,04159,04159,0315051,0 −+−+−−=SL
]/[9672,0 kmmHLS =
A mesma indutância de serviço pode ser calculada utilizando-se o conceito de distância equivalente, ou seja
mDMGeq 0794,1016883 =××=
A matriz das indutâncias longitudinais unitárias, considerando a linha transposta e sem a presença do solo, será então
=
'
'
'
111
111
111
ln2,0~
peqeq
eqpeq
eqeqp
RDD
DRD
DDRL
ou seja
=
08,01
0794,101
0794,101
0794,101
08,01
0794,101
0794,101
0794,101
08,01
ln2,0~L
ou ainda
]/[5051,04621,04621,04621,05051,04621,04621,04621,05051,0
~ kmmHL
−−−−−−
=
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
40
e a indutância de serviço vai ser dada por
( ) ]/[9672,04621,05051,0 kmmHLLL mpS =−−=−=
Nota-se que os valores da indutância de serviço, calculados utilizando-se métodos aparentemente diferentes dão os mesmos resultados (o leitor pode demonstrar que basicamente as expressões são as mesmas). Observa-se também que é possível o cálculo da indutância de serviço pela aplicação direta da equação
]/[ln2,0 ' kmmHRD
Lp
eqS =
ou seja
]/[9672,008,0
0794,10ln2,0 kmmHLS ==
chegando novamente ao mesmo resultado.
(b) Refazer os cálculos do exemplo anterior considerando retorno pelo solo ideal e altura da linha de 10 m em relação ao solo.
Fig. 20 –LT trifásica e solo ideal .
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
41
Do item (a) tem-se que
RMGcond = 0,0142 m
RMGfase = 0,08 m Neste caso
=+=
=+==
====
=====
mH
mHH
mHHHmD
mDDmRRR
CA
BCAB
CBA
CA
BCAB
CBA
6125,251620
5407,21820
2016
808,0
22
22
'''
e desta forma
]/[
08,020
85407,21
166125,25
85407,21
08,020
85407,21
166125,25
85407,21
08,020
ln2,0~ kmmHL
=
ou seja
]/[1043,11981,00941,01981,01043,11981,00941,01981,01043,1
~ kmmHL
=
As indutâncias aparentes por fase são então
( )
]/[9062,01981,01043,1
]/[9582,00941,01981,0211043,1
kmmHL
kmmHLL
B
CA
=−=
=+−==
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
42
e a indutância de serviço vai ser
( ) ]/[9409,031 kmmHLLLL CBAS =++=
A indutância de serviço pode também ser calculada a partir das indutâncias própria e mútua médias, ou seja
( ) ]/[1634,00941,01981,01981,031
]/[1043,1
kmmHL
kmmHL
m
p
=++=
=
E desta forma
]/[9409,01634,01043,1 kmmHLLL mpS =−=−=
Comparando com o resultado anterior (0,9672 mH/km) nota-se que existe uma diferença de apenas 2,8% na indutância de serviço, quando não se considera o efeito do solo. Fica a cargo do leitor explicar o por quê esta diferença tão pequena. 10. Impedância Longitudinal Unitária de uma linha de transmissão
com retorno pelo solo não ideal (ρ ≠ 0) (Correções de Carson)
Considerando-se o solo ideal, a impedância longitudinal uni-tária de uma linha de transmissão pode ser expressa em função apenas da geo-metria da linha e das propriedades físicas e dimen-sões transversais dos condu-tores. Consideremos pois a linha de transmissão ao lado e seja sua matriz de impedâncias longitudinais unitárias Z~ dada por
LjRZ ~~~ ω+= (107)
Fig. 21 – LT trifásica em solo não ideal (ρ ≠ 0) .
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
43
unitárias (até agora obtida a partir de tabelas de fabricantes de cabos) e L~ a matriz das indutâncias longitudinais unitárias, com elementos definidos por
='
'0 ln
2~
l
l
l
l
l
l
RH
DH
DH
RH
L
k
k
k
k
k
k
πµ
(108)
onde
]/[104 70 kmH−×= πµ (109)
Podemos também definir a matriz L~ através das distâncias verticais h e das distâncias horizontais d mostradas na figura anterior. Desta forma, podemos escrever de maneira alternativa que
( )( )
( )( )
+−
++
+−
++
=
'22
22
22
22
'
2
2
ln2
~
l
l
ll
ll
ll
ll
Rh
dhh
dhh
dhh
dhhRh
L
kk
kk
kk
kk
k
k
o
πµ
(110)
ou seja, até agora, na hipótese de solo ideal, os elementos da matriz das impedâncias longitudinais unitárias eram expressos por
( )( )
+−
++==
+=+=
22
22
'
ln2
2ln2
ll
llll
kk
kkokk
k
kokkkkkkkk
dhh
dhhjLjZ
RhjRLjRZ
πµωω
πµωω
(111)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
44
A formulação para solo não ideal (ρ ≠ 0) foi inicialmente proposta por Carson através de termos denominados correções de Carson nas fórmulas de impedância. (A) FORMULAÇÃO DE CARSON
CT ZZZ ~~~ += (112)
onde
sendo os termos da matriz de correção de Carson dados por
=
=
ll kk
kkkk
JZ
JZ
πµω
πµω
(113)
onde
( )
++=
++=
∫
∫
∞ +−
∞ −
λωµσλλ
λωµσλλ
λ
λ
dj
ejJ
dj
ejJ
hh
k
h
kk
k
k
0 2
0 2
2
l
l
(114)
e a condutividade do solo em [S/m], dada por
ρσ 1
= (115)
Z~ é a matriz das impedâncias considerando o solo ideal ( ρ = 0 )
CZ~ é a matriz com os termos de correção de Carson
TZ~ é a matriz das impedâncias considerando solo não ideal ( ρ = 0 )
Séries de Carson : séries infinitas, muitas
vezes de difícil convergência!
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
45
(B) FORMULAÇÃO DE DERI / SEMLYEN (Profundidade Complexa)
Na formulação proposta por Ana Deri e pelo Prof. Semlyen, a consideração de solo não ideal (ρ ≠ 0) é feita através de modificação na geometria da linha, deslocando-se a superfície do solo para baixo (ou os condutores para cima, conforme figura ao lado) de uma distância p denominada profundidade complexa.
Desta forma, a nova matriz das impedâncias longitu-dinais unitárias será dada por
DT LjRZ ~~~ ω+= (116)
onde R~ é a matriz original das resistências longitudinais (diagonal) e DL~ uma nova matriz de indutâncias, cujos elementos são calculados considerando-se a nova geometria e dados por
( )
( )( )
+−
+++=
+=
22
22
'
2ln
2
2ln2
ll
lll
kk
kkok
k
kokk
dhh
dphhL
RphL
πµ
πµ
(117)
Como mencionado acima, p é uma variável complexa que recebe o nome de "profundidade complexa". Ela depende da resistividade do solo (ρ = 1/σ ) e, para um solo homogêneo, é da forma
00
1µω
ρσµω jj
p == (118)
Fig. 22 – Profundidade Complexa .
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
46
Ela também pode ser expressa em função de uma outra variável real δ , dada por
00
1µωρ
σµωδ == (119)
sendo
( ) δ
21 jp −
= (120)
Como p é uma variável complexa, a nova matriz das indutâncias longitudinais DL~ vai ser complexa também. Desta forma, ela pode ser escrita como
ℑℜ += LjLLD~~~
(121)
onde ℜL~ e ℑL~ são respectivamente as partes real e imaginária de DL~ ( o subscrito D foi utilizado para lembrar Deri ). Desta forma, a
nova matriz das impedâncias longitudinais unitárias TZ~ será dada por
( )
( ) TT
DT
LjRLjLR
LjLjRLjRZ~~~~~
~~~~~~
ωωω
ωω
+=+−=
=++=+=
ℜℑ
ℑℜ (122)
onde
=
−=
ℜ
ℑ
LL
LRR
T
T~~
~~~ ω (123)
A equação (123) acima mostra que a nova matriz das resistências longitudinais unitárias TR~ não será mais diagonal. Vão aparecer, pela primeira vez, termos de resistências mútuas entre fases devido ao termo ℑ− L~ω . Estes termos vão modelar quedas de tensão em uma das fases que estão em fase com as correntes nas outras duas fases. Isto ocorre devido ao retorno das três correntes de fase pelo solo não ideal (ρ ≠ 0).
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
47
3.3. ADMITÂNCIA TRANSVERSAL UNITÁRIA ( Y )
em [S/km] ou [S/milha] (123)
A - CONDUTÂNCIA TRANSVERSAL UNITÁRIA ( G )
Parâmetro que retrata a corrente de fuga em fase com a tensão nos isoladores e perdas joulicas devido ao efeito corona.
Desprezada em geral devido a:
Contribuição muito pequena na admitância em baixas e médias freqüências
Dificuldade para o cálculo B - CAPACITÂNCIA TRANSVERSAL UNITÁRIA ( C ) A equação básica para cálculo da capacitância é obtida, via de regra, pelo expressão da ddp entre os condutores e uma referência, que pode ser a terra, um plano de neutro ou mesmo um outro condutor. Desta forma
qPv ⋅= ~ (124)
onde
Da equação (124) resulta que
⇒⋅=⋅= − vCvPq ~~ 1 (125)
1~~ −= PC
CjGY ω+=
v : vetor das ddps entre condutor(es) e referência(s) [V]
q : vetor das densidades lineares de carga de cada condutor [C/m]
P~ : matriz dos coeficientes de Potêncial de Maxwell [V.m/C]
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
48
1. Campo elétrico de um condutor cilíndrico, retilíneo e longo em
um meio uniforme
A densidade de fluxo elétrico (D) devido a uma carga pontual q é dada por
]/[2
2mCx
qDπ
= (126) Como
[ ]V/m 0
0 εε DEED =⇒= (127)
ou seja
[ ]V/m 2 0 x
qEεπ
= (128)
onde ε0 é a permissividade do vácuo, dada por
[ ]mF /1085,8 120
−×=ε (129)
2. Diferença de potencial (ddp) entre dois pontos (P1 e P2) devido a um condutor cilíndrico, retilíneo e longo
A ddp entre P1 e P2 devido ao campo elétrico E criado pelo condutor cilíndrico, retilíneo e longo é dada por
∫∫ =−=−=1
2
2
1
..2112
P
P
P
P
xdExdEvvv rrrr (130)
Substituindo a expressão para o campo elétrico calculada no item 1 e procedendo a integração como mostrado na figura 23 resulta
[ ]1
2
02100012 ln
21ln1ln
2ln
221
2
1
2DDq
DDqxq
xdxqv
D
D
D
D πεπεπεπε=
−=== ∫ (131)
Fig. 23 – Densidade de fluxo elétrico .
Fig. 23 – ddp entre dois pontos.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
49
3. Diferença de potencial (ddp) de um ponto P em relação a um plano de neutro de uma LT monofásica a dois fios
A figura 24 ao lado mostra dois condutores paralelos, a e b, com cargas qa = + q e qb = – q e raios ra e rb. Vai existir entre os mesmos um plano XY sobre o qual a ddp entre um dos condutores e o plano é igual à ddp entre o plano e o outro condutor. Devido a esta propriedade, este plano é denominado plano de neutro. Para o caso onde os raios dos condutores são idênticos, ou seja, ra = rb = r, devido à
simetria, o plano de neutro vai se situar exatamente no centro, entre os dois condutores, ou seja Dan = Dbn . Assim, utilizando o princípio da superposição e a equação (131), a ddp entre o ponto P e o ponto n no plano de neutro vai ser
( ) ( )bPnaPnPn qvqvv += (132) ou seja
bP
bnb
aP
anaPn D
DqDDqv ln
2ln
2 00 επεπ+=
(133)
É de interesse o caso onde ra = rb = r. Neste caso Dan = Dbn e como qa = - qb, a equação (133) resulta em
bP
b
aP
aPn D
qD
qv 1ln2
1ln2 00 επεπ
+= (134)
A equação (134) é a expressão para a ddp entre um ponto P qualquer e o ponto n pertencente ao plano de neutro, devido à presença de uma LT monofásica a dois fios.
Fig. 24 – ddp de um ponto P em relação a um plano de neutro xy.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
50
4. Capacitâncias de uma LT monofásica a dois fios Considerando o item anterior com ra = rb = r (situação usual de uma LT monofásica a dois fios) e
Fazendo P tender à superfície do condutor a
+=⇒
==
abbaan
abbP
aP
Dq
rqv
DDrD 1ln1ln
21
0επ (135)
Fazendo P tender à superfície do condutor b
+=⇒
==
rq
Dqv
rDDD
bab
abnbP
abaP 1ln1ln2
10επ (136)
As equações (135) e (136) expressam as ddps existentes entre cada um dos condutores da LT monofásica a dois fios e um ponto n pertencente ao plano de neutro. Na forma matricial elas podem ser expressas por
=
b
a
0
1ln1ln
1ln1ln
21
rD
Drvv
ab
ab
bn
an
επ (137)
A equação (137) possui a forma mostrada na equação (124), onde a matriz dos coeficientes de potencial de Maxwell é da forma
=
=
rD
DrPPPP
P
ab
ab
BBBA
ABAA
1ln1ln
1ln1ln
21~
0επ (138)
Desta forma, a matriz das capacitâncias transversais vai ser
[ ]mFrD
DrCCCC
PCab
ab
BBBA
ABAA /1ln1ln
1ln1ln2~~
1
01
−
−
=
== επ
(139)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
51
Capacitâncias de Serviço e Aparentes (a) Capacitância de Serviço A figura 25 ilustra o conceito de capacitância de serviço de uma linha de transmissão monofásica a dois fios como uma capacitância existente entre os dois condutores a e b da LT. Pela definição de capacitância é possível escrever para a LT ao lado que
( )bnanabababa vvCvCq −== (140) Como em uma LT monofásica a dois fios van = – vbn , então
anaba vCq 2= (141) Por outro lado, escrevendo a equação geral para as cargas desta LT vem que
⋅
=
bn
an
BBBA
ABAA
b
a
vv
CCCC
(142)
Expressando a carga do condutor a vem que
( ) anABAAbnABanAAa vCCvCvCq −=+= (143) Igualando-se as equações (141) e (143) vem que
⇒−= ABAAab CCC2
(144)
A equação (143) acima fornece a capacitância de serviço de uma LT monofásica a dois fios, conhecida a sua matriz de capacitâncias definida na equação (139).
2ABAA
SabCCCC −
==
Fig. 25 – Capacitância de serviço de uma LT monofásica a dois fios.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
52
(b) Capacitâncias Aparentes A figura 26 ao lado ilustra o conceito de capacitância aparente. Ela mostra que as capacitâncias aparentes são definidas respectivamente como as capacitâncias Ca e Cb dos condutores a e b para o plano de neutro da LT.
Pela definição de capacitância é possível escrever que para a LT ao lado que
==
bnbb
anaa
vCqvCq
(145)
Escrevendo a equação geral para as cargas desta LT vem que
⋅
=
bn
an
BBBA
ABAA
b
a
vv
CCCC
(146)
ou seja
+=+=
bnBBanBAb
bnABanAAa
vCvCqvCvCq
(147)
Levando-se em consideração novamente que van = – vbn , então
( )( )
−=−=
bnBABBb
anABAAa
vCCqvCCq
(148)
Igualando-se as equações (145) e (148) vem que
−=−=
BABBb
ABAAa
CCCCCC
(149)
Fig. 26 – Capacitâncias aparentes de uma LT monofásica a dois fios.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
53
A equação (139) mostra que CAA = CBB e que CAB = CBA . Desta forma
SabBABBABAAba CCCCCCCC 22)()( ==−=−== (150) NOTA: A capacitância de serviço também pode ser obtida para o caso onde ra ≠ rb , considerando-se a equação básica da ddp entre os condutores a e b e o princípio da superposição. Desta forma, sabendo-se que numa LT monofásica a dois fios qa = – qb tem-se que
−=
+=
ab
b
a
aba
ab
bb
a
abaab D
rr
DqDrq
rDqv lnln
2lnln
21
00 πεπε (151)
ou seja
ba
abaab rr
Dqv2
0
ln2πε
= (152)
A capacitância entre os condutores a e b vai ser dada pela relação entre a carga armazenada nos condutores pela ddp entre eles, ou seja
ba
ab
ba
ab
ba
aba
a
ab
a
ab
baab
rrD
rrD
rrDq
qvq
vqqC
ln
2
ln
4
ln2
22 02
02
0
πεπε
πε
====−
= (153)
Como antes, vai continuar a existir um plano neutro, só que deslocado para o lado do condutor de menor raio, e as capacitâncias aparentes dos condutores a e b para este plano serão idênticas e iguais a
ba
ababba
rrDCCC
ln
42 0πε===
(154)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
54
5. Capacitância de um condutor cilíndrico, retilíneo e longo, considerando o efeito do solo ideal
A exemplo do que foi feito para o cálculo das indutâncias, quando se considerou a presença do solo, o método das imagens pode também ser utilizado para o cálculo das capacitâncias. Quando se procede desta maneira, o plano de neutro será o solo, onde o potencial é nulo e em qualquer ponto do espaço vão existir duas parcelas de campo elétrico, uma criada pelo condutor (Ec) e outra criada pela sua imagem (Ei), dadas por
( )
−=
=
xhqE
xqE
i
c
22
2
0
0
πε
πε
(155)
A ddp entre o condutor real e a terra (plano de neutro) vai ser dada por
( )[ ]hRh
Ri
h
Rccn xhxqdxEdxEv −−=+= ∫∫ 2lnln
2 0πε (156)
Assim
−
=R
Rhqvcn2ln
2 0πε (157)
Fig. 27 – Capacitâncias considerando a presença de solo.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
55
Como em geral h >> R ⇒ 2h – R ≈ 2h e desta maneira
Rhqvcn
2ln2 0πε
= (158)
A capacitância entre o condutor e o plano neutro é dada pela relação entre a carga do condutor e a ddp entre o condutor e o plano neutro (no caso o solo). Assim
(159) OBSERVAÇÃO: O método apresentado no item 3, associado ao método das imagens, pode ser utilizado para cálculo da ddp e da capacitância de um condutor cilíndrico, retilíneo e longo, considerando o efeito do solo. Basta considerar o solo como o plano neutro, e desta forma tem-se diretamente que
−=
hRqvcn 2
1ln1ln2 0πε (160)
ou seja
Rhqvcn
2ln2 0πε
= (161)
e desta forma
(162)
idêntica à equação (159) anterior.
Rhv
qCCcn
Sn 2ln
2 0πε===
Rhv
qCCcn
Sn 2ln
2 0πε===
Fig. 28 – Capacitâncias de LT monofásica a um fio utilizando método das imagens.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
56
6. Capacitâncias de LT monofásica a dois fios considerando o efeito do solo
Pelo princípio da superposição, a ddp entre o condutor a e o solo pode ser expressa como
( ) ( )( ) ( )banban
aanaanan
qvqvqvqvv
−+++−+=
(163)
ou seja
−
+
−=
abab
b
aa
aan
HDq
HRqv
1ln1ln2
+
1ln1ln2
0
0
πε
πε (164)
ou ainda
ab
abb
a
aaan D
HqRHqv ln
2ln
2 00 πεπε+= (165)
Procedendo da mesma maneira para o condutor b e escrevendo as duas equações na forma matricial chega-se a
=
b
a
b
b
ba
ba
ab
ab
a
a
bn
an
RH
DH
DH
RH
vv
lnln
lnln
21
0πε (166)
A equação (166) é da forma apresentada na equação (124), ou seja
11 ~~.~.~.~ −− =⇒==⇒= PCvCvPqqPv (167)
Fig. 29 – Capacitâncias de LT monofásica a dois fios utilizando método das imagens.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
57
onde
=
b
b
ba
ba
ab
ab
a
a
RH
DH
DH
RH
Plnln
lnln
21~
0πε (168)
que será escrito de maneira ainda “abusada” neste texto como
(169)
Desta forma, a matriz das capacitâncias da LT monofásica a dois fios pode ser escrita como
(170)
NOTA: Considerando o valor de ε0 = 8,85 apenas (sem a potência 10 -12 ), a unidade da matriz das capacitâncias será nF/km, que é a unidade mais utilizada para as capacitâncias de linhas de transmissão de energia elétrica.
1
0
lnln
lnln2~
−
=
=
b
b
ba
ba
ab
ab
a
a
BBBA
ABAA
RH
DH
DH
RH
CCCC
C επ
=
b
b
ba
ba
ab
ab
a
a
RH
DH
DH
RH
P ln2
1~
0πε
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
58
7. Capacitâncias parciais, de serviço e aparentes de linhas de transmissão monofásicas a dois fios considerando o efeito do solo
(a) Capacitâncias Parciais
A figura 30 ao lado apresenta as capacitâncias parciais de uma linha de transmissão monofásica a dois fios quando se considera
o efeito do solo, nomeadamente a capacitância entre os dois condutores, Cab , e as capacitâncias dos condutores para a terra, Can e Cbn. A determinação destas capacitâncias em função dos elementos da matriz das capacitâncias transversais unitárias da LT, calculada no item anterior, é feita observando-se que a carga do condutor a pode ser expressa como
( )
( ) bnabanaban
bnanabananababanana
vCvCCvvCvCvCvCq
−+=−+=+=
(171)
Para o condutor b tem-se da mesma forma que
( ) anabbnabbnb vCvCCq −+= (172) As duas equações podem ser escritas na forma matricial como
⋅
+−
−+=
bn
an
abbnab
ababan
b
a
vv
CCCCCC
(173)
ou seja
+−
−+=
=
abbnab
ababan
BBBA
ABAA
CCCCCC
CCCC
C~
(174)
Fig. 30 – Capacitâncias parciais de LT monofásica a dois fios.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
59
E assim
⇒
(175)
(b) Capacitância de Serviço A figura 31 ilustra o procedimento para se obter a capacitância de serviço de uma LT monofásica a dois fios a partir de suas
capacitâncias parciais, considerando-se o efeito do solo. Por ela nota-se que a capacitância de serviço é resultante da associação paralela da capacitância parcial entre os condutores com a
associação série das capacitâncias parciais para a terra, ou seja
(176)
(c) Capacitâncias Aparentes
Como feito anteriormente, considera-se a existência de um ponto n pertencente a um plano de neutro entre os dois condutores. As capaci-tâncias entre os condutores e o plano de neutro são as capacitâncias aparentes de cada condutor da LT.
+=−=
+=
ABBBbn
ABab
ABAAan
CCCCC
CCC
bnan
bnanabs CC
CCCC+
+=
+=−=
+=
abbnBB
abAB
abanAA
CCCCC
CCC
Fig. 31 – Capacitância de serviço de LT monofásica a dois fios.
Fig. 32 – Capacitâncias aparentes de LT monofásica a dois fios.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
60
Desta forma
(177) 8. Matriz das capacitâncias transversais unitárias de uma linha de
transmissão trifásica considerando o efeito do solo
Para a LT trifásica da figura 33 acima escreve-se inicialmente a equação geral relacionando as tensões e cargas nos condutores, ou seja
(178)
Sba CCC 2==
⋅
=
c
b
a
c
c
cb
cb
ca
ca
bc
bc
b
b
ba
ba
ac
ac
ab
ab
a
a
oc
b
a
qqq
RH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
RH
vvv
lnlnln
lnlnln
lnlnln
21πε
Fig. 33 – Capacitância de LT trifásica considerando o efeito do solo.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
61
A matriz das capacitâncias transversais unitárias vai ser a inversa da matriz dos coeficientes de potencial de Maxwell, ou seja
(179)
9. Capacitâncias parciais, de serviço e aparentes de uma linha de
transmissão trifásica considerando o efeito do solo (a) Capacitâncias Parciais
A figura 34 ao lado apresenta as capacitâncias parciais de uma linha de transmissão trifásica. Vão existir na LT trifásica seis capacitâncias parciais, três entre os condutores e a terra e três entre os condutores. Para esta LT, a carga da fase a pode ser expressa como
( ) cnacbnabanacabana vCvCvCCCq ++++= (180) As cargas nas fases b e c podem ser expressas de maneira análoga, de tal modo que, na notação matricial, resulta que
++−−−++−−−++
=
cn
bn
an
cbcacncbca
bcbcbabnba
acabacaban
c
b
a
vvv
CCCCCCCCCCCCCCC
qqq
(181)
1-
lnlnln
lnlnln
lnlnln
2~
=
=
c
c
cb
cb
ca
ca
bc
bc
b
b
ba
ba
ac
ac
ab
ab
a
a
o
CCCBCA
BCBBBA
ACABAA
RH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
RH
CCCCCCCCC
C πε
Fig. 34 – Capacitâncias parciais de LT trifásica.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
62
Assim, tem-se que
e
(182)
As equações (182) expressam as relações existentes entre as capacitâncias parciais de uma LT trifásica considerando a presença do solo e suas capacitâncias parciais (físicas). (b) Capacitâncias Aparentes
A figura 35 abaixo ilustra o conceito de capacitâncias aparentes de uma linha de transmissão trifásica. O circuito da direita, onde elas aparecem, atua como um circuito equivalente simplificado do circuito à esquerda, onde estão presentes as capacitâncias parciais realmente existentes.
De maneira análoga à indutância aparente por fase para linhas trifásicas, as expressões para as capacitâncias aparentes por fase serão deduzidas em instantes em que a onda de tensão de cada uma das fases passa por um máximo. Assim, quando
( )max)( anan Vtv = (183)
Fig. 35 – Capacitâncias parciais e aparentes de LT trifásica.
−=−=−=
++=++=++=
BCbc
ACac
ABab
CBBACCcn
BCBABBbn
ACABAAan
CCCCCC
CCCCCCCCCCCC
−=−=−=
++=++=++=
bcBC
acAC
abAB
cbcacaCC
bcbabnBB
acabanAA
CCCCCC
CCCCCCCCCCCC
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
63
as tensões e cargas na fase a da LT vão ser
( )⇒
−==
==
2max
maxmax
Vvv
VVv
cnbn
anan
( )
−==
==
2q max
b
maxmax
Qqq
c
aa
(184)
Mas a carga na fase a também pode ser expressa por
cnACbnABanAAa vCvCvCq ++= (185)
Então, para este instante, quando a tensão na fase a passa pelo máximo, sua carga vai ser máxima e dada por
22maxmax
maxmaxVCVCVCQq ACABAAa −−== (186)
ou seja
( ) ( ) anACABAAACABAAa vCCCVCCCq
+−=
+−=
21
21
max (187)
Desta forma, a capacitância aparente da fase a vai ser então
( )ACABAAan
aa CCC
vqC +−==
21
(188)
As equações (182) expressam as relações entre os elementos da matriz das capacitâncias transversais unitárias da LT e suas capacitâncias parciais, dadas por
−=−=
++=
acAC
abAB
acabanAA
CCCC
CCCC
(189)
Substituindo as equações (189) na equação (188) vem que
acabana CCCC23
23
++= (190)
Procedendo de maneira análoga para as outras duas fases, tomando como base as equações (188) e (190), obtém-se as
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
64
expressões para as capacitâncias aparentes em função dos elementos da matriz das capacitâncias transversais unitárias, dadas por
(191)
e as expressões das capacitâncias aparentes em função das capacitâncias parciais, dadas por
(192)
(c) Capacitância de Serviço
A figura abaixo exemplifica o conceito de capacitância de serviço.
Fig. 35 – Capacitâncias aparentes e de serviço de LT trifásica.
( )
( )
( )
+−==
+−==
+−==
CBCACCcn
cc
BCBABBbn
bb
ACABAAan
aa
CCCvqC
CCCvqC
CCCvqC
212121
( )
( )
( )
++=
++=
++=
cbcacnc
bcbabnb
acabana
CCCC
CCCC
CCCC
232323
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
65
Ela é definida como a média das capacitâncias aparentes por fase, ou seja
( )cbaS CCCC ++∆31
(193)
Substituindo as equações (191) na equação (193) obtém-se a expressão da capacitância de serviço em termos dos elementos da matriz das capacitâncias transversais unitárias, ou seja
(194)
Substituindo as equações (192) na equação (193) obtém-se a expressão da capacitância de serviço em termos das capacitâncias parciais, ou seja
(195)
A capacitância de serviço CS pode também ser obtida utilizando-se a matriz das capacitâncias transversais unitárias da LT, considerando-a perfeitamente transposta. Neste caso, a matriz das capacitâncias da LT transposta seria da forma
~
p
p
mmp
=CCCCCCCCC
C
mm
mm
(196)
Sendo
3
3
++=
++=
BCACABm
CCBBAAp
CCCC
CCCC
(197)
( ) ( )[ ]bcacabcnbnanS CCCCCCC +++++= 331
( ) ( )[ ]BCACABCCBBAAS CCCCCCC ++−++=31
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
66
Analisando para uma das fases, por exemplo para a fase a, no instante que a sua tensão passa por um máximo sua carga é
22maxmax
maxVCVCVCvCvCvCq mmpcnmbnmanpa −−=++= (198)
ou seja
( ) ( ) anmpmpa vCCVCCq −=−= max (199)
A relação entre a carga na fase a e sua tensão é definida como a capacitância de serviço da linha. Assim
mpan
aS CC
vqC −==
(200)
Substituindo na equação (200) acima as equações (197) e (182), obtém-se as equações (194) e (195) anteriores para a capacitância de serviço. NOTA: Fica a cargo do leitor provar ainda que a capacitância de serviço é a capacitância de seqüência positiva (ou de seqüência negativa) da linha trifásica para condição de transposição perfeita. 10. Matriz das capacitâncias transversais unitárias de uma LT
trifásica com cabos múltiplos Seja a LT trifásica abaixo com dois condutores por fase
Fig. 35 – Capacitâncias aparentes e de serviço de LT trifásica.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
67
As relações v × q para os seis condutores desta linha são da forma
⋅
=
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
6
6
65
65
64
64
63
63
62
62
61
61
56
56
5
5
54
54
53
53
52
52
51
51
46
46
45
45
4
4
43
43
42
42
41
41
36
36
35
35
34
34
3
3
32
32
31
31
26
26
25
25
24
24
23
23
2
2
21
21
16
16
15
15
14
14
13
13
12
12
1
1
ln2
1
qqqqqq
vvvvvv
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
n
n
n
n
n
n
πε
(201)
Considerando que
==
==
==
2
2
2
65
43
21
c
b
a
qqq
qqq
qqq
(202)
então
⋅
+++
+++
+++
+++
+++
+++
=
c
b
a
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
n
n
n
n
n
n
qqq
vvvvvv
6
6
65
65
64
64
63
63
62
62
61
61
56
56
5
5
54
54
53
53
52
52
51
51
46
46
45
45
4
4
43
43
42
42
41
41
36
36
35
35
34
34
3
3
32
32
31
31
26
26
25
25
24
24
23
23
2
2
21
21
16
16
15
15
14
14
13
13
12
12
1
1
lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnln
41
0
6
5
4
3
2
1
πε
(203)
Considerando ainda que
( )
( )
( )
+=
+=
+=
⇒
======
nncn
nnbn
nnan
cnnn
bnnn
annn
vvv
vvv
vvv
vvvvvvvvv
65
43
21
65
43
21
212121
(204)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
68
então
⋅
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
=
c
b
a
RH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
RH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
DH
RH
DH
DH
RH
cn
bn
an
qqq
vvv
6
6
65
65
56
56
5
5
64
64
63
63
54
54
53
53
62
62
61
61
52
52
51
51
46
46
45
45
36
36
35
35
4
4
43
43
34
34
3
3
42
42
41
41
32
32
31
31
26
26
25
25
16
16
15
15
24
24
23
23
14
14
13
13
2
2
21
21
12
12
1
1
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
lnln
81
0πε
(205)
Analisando para a fase a resulta que
( )[( )( ) ]
26
26
25
25
16
16
15
15
24
24
23
23
14
14
13
13
2
2
21
21
12
12
1
1
lnlnlnln
lnlnlnln
lnlnlnln8
1
0
DH
DH
DH
DH
c
DH
DH
DH
DH
b
RH
DH
DH
RH
aan
q
q
qv
++++
+++++
++++=πε
(206)
ou seja
[ ]44ln4ln2
126251615
26251615
24231413
24231413
221121
221121
0DDDDHHHH
cDDDDHHHH
bRDDRHHHH
aan qqqv ++=πε (207)
ou ainda
+
+=26251615
26251615
24231413
24231413
221121
221121 lnln2
1
0DDDDHHHH
cDDDDHHHH
bRDDRHHHH
aan qqqvπε (208)
Da mesma forma como foi feito no cálculo da indutância, são definidas as alturas médias geométricas HMG, as distâncias médias geométricas DMG e os raios médios geométricos RMGC (o sobrescrito c indica para cálculo da capacitância) por
=
=
=
26251615
24231413
221121
HHHHHMG
HHHHHMG
HHHHHMG
ac
ab
a
e
=
=
=
26251615
24231413
221121
DDDDDMG
DDDDDMG
RDDRRMG
ac
ab
Ca
(209)
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
69
e desta forma
(210)
A equação (210) mostra que a matriz dos coeficientes de Maxwell para LTs com cabos múltiplos tem um formato muito parecido com a matriz das indutâncias. A diferença básica está na constante que multiplica a matriz (1 / 2πε0 no lugar de µ0 / 2π) e na maneira de se calcular o RMG (na matriz dos coeficientes de Maxwell deve-se considerar o raio externo do condutor, enquanto na matriz das indutâncias considera-se seu raio corrigido)
3.4. NOTAS COMPLEMENTARES A. Correção da altura média da linha de transmissão Vai haver uma flecha no perfil longitudinal da linha entre duas torres adjacentes. Desta maneira, as alturas devem ser corrigidas pela seguinte expressão
max7,0 fHHC −= (211)
B. Eliminação dos cabos pára-raios Em linhas de transmissão aéreas é comum a utilização de cabos denominados pára-raios com o objetivo de protegê-la contra descargas atmosféricas. Em geral, estes cabos estão dispostos num plano superior aos cabos fase e atuam como uma blindagem
⋅
=
c
b
a
0 qqq
ln2
1
Cc
c
cb
cb
ca
ca
bc
bcCb
b
ba
bc
ac
ac
ab
abCa
a
RMGHMG
DMGHMG
DMGHMG
DMGHMG
RMGHMG
DMGHMG
DMGHMG
DMGHMG
RMGHMG
cn
bn
an
vvv
πε
Fig. 36 – Altura média de linha de transmissão.
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
70
contra descargas atmosféricas diretas, descargas estas que vão provocar sobretensões elevadas, podendo resultar em curtos-circuitos. Desta forma, as matrizes unitárias das impedâncias longitudinais e das admitâncias transversais de uma linha de transmissão trifásica terão dimensão N, onde
NPRN += 3 (212)
sendo NPR o número de cabos pára-raios (em geral 1 ou 2).
Neste caso serão cinco as equações para a variação de tensão e de corrente respectivamente. As equações para a variação de tensão e de corrente nos cabos pára-raios são utilizadas principalmente em estudos de fenômenos associados às descargas atmosféricas, sejam elas diretas ou indiretas (numa vizinhança próxima à linha). Sendo assim é conveniente proceder a exclusão destas equações, eliminando-se as linhas e colunas das matrizes das impedâncias e admitâncias associadas aos cabos pára-raios. Isto é conseguido utilizando-se o conceito de circuito equivalente, onde se deseja obter uma linha de transmissão trifásica, sem cabos pára-raios, equivalente do ponto de vista de transmissão da energia elétrica à linha original com os NPR cabos pára-raios.
A eliminação será feita, primeiro na matriz das impedâncias longitudinais, e em seguida na matriz das admitâncias transversais.
ELIMINAÇÃO DOS CABOS PÁRA-RAIOS NA MATRIZ DAS IMPEDÂNCIAS LONGITUDINAIS UNITÁRIAS
A equação que descreve a variação da tensão numa linha de transmissão é da forma
(213)
( )
−=
P
F
PPt
FP
FPFF
P
F
I
I
ZZ
ZZ
xV
xV
L
M
LLL
M
L~~
~~
∂∂
∂∂
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
71
onde o subscrito F se refere aos condutores fase e P aos cabos pára-raios. Escrevendo apenas a equação dos cabos pára-raios resulta
( ) PPPFt
FPP IZIZx
V⋅+⋅=− ~~
∂∂
(214)
Em geral, os cabos pára-raios são aterrados em todas as torres. Deste modo eles estão constantemente em um potencial nulo e por isso não vai existir variação das suas tensões, ou seja
( ) 0~~ =⋅+⋅=− PPPFt
FPP IZIZx
V∂∂
(215)
Assim
( ) ( ) Ft
FPPPP IZZI ⋅⋅−=− ~~ 1
(216) Substituindo na equação referente à variação da tensão nos condutores fase teremos
( ) ( )[ ] Ft
FPPPFPFF
PFPFFFF
IZZZZ
IZIZx
V
⋅⋅−+=
⋅+⋅=−
− ~~~~
~~
1
∂∂
(217)
ou finalmente
FeqFF IZx
V⋅=− )(
~∂∂
(218)
onde
(219)
( ) ( ) tFPPPFPFFeqF ZZZZZ ~~~~~ 1
)( ⋅⋅−=−
Parâmetros de Linhas de Transmissão Clever Pereira
72
ELIMINAÇÃO DOS CABOS PÁRA-RAIOS NA MATRIZ DAS
ADMITÂNCIAS TRANSVERSAIS UNITÁRIAS A equação que descreve a variação da corrente numa linha de transmissão é da forma
(220)
Como já dito, os cabos pára-raios são geralmente aterrados em todas as torres e deste modo eles estão constantemente no potencial do solo que é nulo, e assim, para condições de transmissão da energia elétrica, em regime permanente senoidal, tem-se que
0=PV (221) então
FFFF VYxI
⋅=− ~∂∂
(222)
ou seja, a matriz admitância equivalente é a própria matriz das admitâncias dos condutores fase.
(223)
FFeqF YY ~~)( =
( )
⋅
−=
P
F
PPt
FP
FPFF
P
F
V
V
YY
YY
xI
xI
L
M
LLL
M
L~~
~~
∂∂
∂∂
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
1
UNIDADE V
MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO
1- INTRODUÇÃO OBJETIVO PRINCIPAL: Estabelecimento de modelos matemáticos no domínio da freqüência para linhas de transmissão (LTs) aéreas trifásicas, em corrente alternada, de maneira a permitir o cálculo das tensões, correntes e potências quando estas LTs estiverem operando em regime permanente senoidal (RPS). LINHAS DE TRANSMISSÃO:
• Estruturas destinadas ao transporte de grandes blocos de energia, usualmente em regime permanente senoidal equilibrado;
• Caracterizadas pelos seus parâmetros unitários impedância longitudinal e admitância transversal que, na freqüência fundamental, dependem basicamente da geometria da linha, dos tipos dos condutores fase e pára-raios e das constantes eletromagnéticas do meio;
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
2
2- EQUAÇÕES DE ONDA PARA LTs EM RPS (no domínio da freqüência)
A figura 1 abaixo mostra o circuito equivalente incremental para uma linha de transmissão trifásica em componentes de fase
Fig. 1 – Modelo equivalente incremental para linhas de transmissão em componentes de fase.
Sejam, para esta linha, as matrizes das impedâncias longitudinais unitárias de fase e das admitâncias transversais unitárias de fase, respectivamente:
( )( ) )/(~~~
)/(~~~
kmSCjGY
kmLjRZ
FFF
FFF
ωω
ωω
+=
Ω+=
(1)
onde
FR~ : Matriz das Resistências Longitudinais Unitárias de Fase
FL~ : Matriz das Indutâncias Longitudinais Unitárias de Fase FG~ : Matriz das Condutâncias Transversais Unitárias de Fase FC~ : Matriz das Capacitâncias Transversais Unitárias de Fase
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
3
Para a seção de comprimento ∆x vale
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅∆⋅=∆+−
⋅∆⋅=∆+−
ωωωωω
ωωωωω
,~],,[,
,~],,[,
xVxYxIxIxI
xIxZxVxVxV
FFFFF
FFFFF
(2)
ou ainda
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
⋅−=∆
∆
⋅−=∆
∆
ωωω
ωωω
,~,
,~,
xVYxxI
xIZxxV
FFF
FFF
(3)
No limite quando ∆x tende a zero
(4)
Após a redução de suas matrizes primitivas de impedâncias longitudinais e admitâncias transversais unitárias de fase, o sistema original se transforma num sistema equivalente de ordem três, com um condutor por fase e retorno pelo neutro. Omitindo as dependências com a freqüência e com a posição x, de forma a simplificar a notação utilizada, vem que
⇒
(5)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⋅−=
⋅−=
ωω∂
ω∂
ωω∂
ω∂
,~,
,~,
xVYxxI
xIZxxV
FFF
FFF
⋅
−=
⋅
−=
c
b
a
ccbaca
bcbbba
acabaa
c
b
a
c
b
a
ccbaca
bcbbba
acabaa
c
b
a
VVV
YYYYYYYYY
xIxIxI
III
ZZZZZZZZZ
xVxVxV
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
///
///
−=
−=
FFF
FFF
VYx
I
IZx
V
.~
.~
∂∂∂
∂
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
4
Na hipótese da linha ser equilibrada, isto é, possuir matrizes de parâmetros com a seguinte simetria
=
pmm
mpm
mmp
F
XXXXXXXXX
X~
(6)
ou seja, próprias e mútuas iguais entre si, é conveniente utilizar a transformação de componentes simétricas (ou de Fortescue) dada por
⋅=
⋅=
SF
SF
IQI
VQV~
~
(7)
onde Q~ é a matriz de Fortescue e o subscrito S indica componentes simétricas. Desta forma
( ) ( )( ) ( )
⋅⋅−=⋅
⋅⋅−=⋅
⋅⋅−=⋅
⋅⋅−=⋅
⇒SF
S
SFS
SFS
SFS
VQYxIQ
IQZx
VQ
VQYxIQ
IQZxVQ
~~~
~~~
~~~
~~~
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
(8)
ou ainda
⇒
⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅−=
−
−
SFS
SFS
VQYQxI
IQZQx
V
~~~
~~~
1
1
∂∂∂∂
(9)
onde
(10)
⋅−=
⋅−=
SSS
SSS
VYxI
IZx
V
~
~
∂∂∂∂
⋅⋅=
⋅⋅=−
−
QYQY
QZQZ
FS
FS~~~~
~~~~
1
1
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
5
sendo que as matrizes de impedância e admitância de seqüência têm a seguinte simetria
−−
+=
=
mp
mp
mp
XXXX
XX
XX
XX
2~
2
1
0
S (11)
Assim, as equações ficam na seguinte forma:
(12)
Note que a transformação de componentes simétricas desacoplou as equações (5), transformando-as nas equações (12), de tal forma que elas podem ser resolvidas uma de cada vez. Isto pode ser traduzido pela seguinte figura
Fig. 2 - Correspondência entre os modelos equivalentes incrementais para linhas de transmissão balanceadas
em componentes de fase e em componentes simétricas.
⋅
−=
⋅
−=
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
000000
///
000000
///
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
VVV
YY
Y
xIxIxI
III
ZZ
Z
xVxVxV
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
6
Em regime permanente senoidal equilibrado existem apenas componentes de seqüência positiva, que se confundem com as grandezas da fase a, e desta forma as equações (12) resultam em
⋅−=
⋅−=
⋅−=
⋅−=⇒
asa
asa
aa
aa
VYxI
IZx
V
VYx
I
IZx
V
∂∂∂∂
∂∂∂
∂
111
111
(13)
onde Zs e Ys são respectivamente a impedância e admitância de serviço, idênticas às de seqüência positiva para linhas equilibradas. Para simplicidade, muitas vezes os subscritos são omitidos no segundo conjunto de equações (13) e tem-se finalmente
⇒ (14)
A solução é obtida derivando-se as equações (14) novamente em relação a x, obtendo-se as EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE OONNDDAA DDAASS LLTTss no domínio da freqüência. Assim procedendo
⋅⋅=−=
⋅⋅=−=
)()()(
)()()(
2
2
2
2
xIZYxxVY
xxI
xVYZxxIZ
xxV
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
(15)
MMOODDEELLOO PPOORR FFAASSEE Sistema de equações diferenciais parciais
escalares que devem ser resolvidas para V(x,ω) e I(x,ω)
⋅−=
⋅−=
)()(
)()(
xVYxxI
xIZxxV
∂∂
∂∂
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
7
obtendo-se finalmente as EQUAÇÕES DE ONDA DE UMA LT, dadas pelas equações (16) a seguir
(16)
onde
[ ] 1. −+== kmjYZ βαγ
(17) sendo
γ ⇒ constante de propagação em [km]-1 α ⇒ constante de atenuação em [neper/km]-1 β ⇒ constante de fase em [rad/km]-1
3- SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ONDA DAS LTs As equações de onda, expressas em (16), não podem ser resolvidas para a tensão e para a corrente independentemente uma da outra. Desta forma, uma das maneiras de resolvê-las é considerar inicialmente a primeira equação em (16) dada por
)()( 22
2
xVx
xV γ∂
∂=
(18)
cuja solução é bem conhecida e possui a seguinte forma
x
rx
i eVeVxV γγ += −)(
(19)
onde Vi e Vr são constantes complexas, dependentes das condições de contorno. Nesta equação γ também é complexa e é denominada constante ou coeficiente de propagação. Para
=
=
)()(
)()(
22
2
22
2
xIx
xI
xVx
xV
γ∂
∂
γ∂
∂
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8
resolver a segunda das equações (16) deve-se obter das equações (14) o valor da corrente em função da tensão e substituir a solução anterior, ou seja
xxV
ZxIxIZ
xxV
∂∂
∂∂ )(1)()()(
⋅−=⇒⋅−=
(20)
Derivando-se a solução para a tensão em (19) em relação a x tem-se
xr
xi eVeV
xxV γγ γγ
∂∂
+−= −)(
(21)
Assim
][1)( xr
xi eVeV
ZxI γγ γγ +−−= −
(22)
e então
][)( xr
xi eVeV
ZxI γγγ
−= −
(23)
A constante γ / Z é dada por
(24)
e é conhecida por Admitância Característica da LT. Definindo a impedância característica da linha de transmissão como o inverso da admitância característica, tem-se que
(25)
e então
(26)
CYZY
ZYZ
Z===
.γ
CC Y
Z 1=
CjGLjR
YZZC ω
ω++
==
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
9
ou seja
][)( xr
xiC eVeVYxI γγ −⋅= −
(27)
Assim tem-se que:
(28)
onde
( )
=
=
⋅=
)(/1)()(/)(
)()()(
ωωωωω
ωωωγ
CC
C
ZYYZZ
YZ
→ constante de propagação
→ impedância característica
→ admitância característica
As equações (28) acima se constituem na solução das equações de onda das LTs na forma exponencial. 4 - SOLUÇÃO FECHADA DAS EQUAÇÕES DE ONDA
(ou solução na forma hiperbólica)
Fig. 3 - Circuito equivalente na forma de quadripolo para a LT mostrando os sentidos das correntes e tensões.
A figura 3 apresenta a LT como um quadripolo. Nota-se que no seu extremo emissor (x = 0) a tensão e a corrente são respectivamente
( )( )
−⋅==+==
][00
riCS
riS
VVYIIVVVV
(29)
−⋅=
+=−
−
][)(
)(x
rx
iC
xr
xi
eVeVYxIeVeVxV
γγ
γγ
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
10
Nestas equações, o subscrito S vem de "sending end" (extremo emissor). Assim
−=⋅+=
riSC
riS
VVIZVVV
(30)
Resolvendo para Vi e Vr vem que
⋅−=
⋅+=
][21
][21
SCSr
SCSi
IZVV
IZVV
(31)
Substituindo nas equações (28)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−−
+=
−+
+=
−
−
xSCS
xSCSC
xSCS
xSCS
eIZVeIZVYxI
eIZVeIZVxV
γγ
γγ
.21.
21
.21.
21
(32)
Rearranjando os termos
( )
( )
+
+−
=
−+
+=
−−
−−
SC
xx
S
xx
C
SC
xx
S
xx
IZeeVeeYxI
IZeeVeexV
22
22γγγγ
γγγγ
(33)
ou ainda
(34)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+−=−=
SSC
SCS
IxVxsenhYxIIxsenhZVxxV
γγγγ
coshcosh
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
11
Na forma matricial, as equações (34) são dadas por
(35)
As equações (34) ou (35) se constituem na solução fechada (ou na forma hiperbólica) das equações de onda das LTs.
5 - INTERPRETAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LT
Reescrevendo a solução das equações de onda na forma exponencial dada pelas equações (28), omitindo-se a variável x para simplicidade da notação, resulta que
−=
+=−
−
][ xr
xiC
xr
xi
eVeVYIeVeVV
γγ
γγ
(36)
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
(a) O termo γ é complexo e é denominado constante ou coeficiente de propagação, sendo dado por
• α é a constante de amortecimento, em neper/km;
• β é a constante de fase, em rad/km.
Assim procedendo, as equações (36) podem ser reescritas como
−⋅=
+=−−
−−
][ xjxr
xjxiC
xjxr
xjxi
eeVeeVYIeeVeeVV
βαβα
βαβα
(37)
( )( )
( ) ( )( ) ( )
⋅
−
−=
S
S
C
C
IV
xxsenhYxsenhZx
xIxV
γγγγ
coshcosh
Ou seja, a tensão e a corrente em qualquer ponto x da linha podem ser conhecidas a partir da tensão e corrente na barra
emissora e de seus parâmetros Z e Y.
βαγ jYZ +=⋅=
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
12
Ainda nestas equações podem ser destacados os termos
xe α± ⇒ Variação do módulo de V e I com x
xxsenjxe xj
ββββ
±∠=±=±
1cos
⇒ variação da fase de V e I com x ( ± β radianos por unidade de comprimento)
Para linhas de transmissão de alta tensão trifásicas aéreas tem-se usualmente que
°°≈∠⋅=⇒
°≈∠=
°°≈∠=5,8775
90
8560aYZ
YY
aZZ
Y
Zγθγ
θ
θ
(38)
logo, as constantes α e β são reais positivas. (b) Tanto a tensão quanto a corrente são compostas por dois
termos governados respectivamente pelos fatores e-γx e eγx.
O primeiro termo, multiplicado pelo fator e-γx ( = e-αx. e-jβx), apresenta um comportamento que decresce em módulo e em fase, à medida que x cresce, no sentido da barra emissora (x = 0) para a barra receptora (x = l). Diminuir a fase no domínio da freqüência corresponde a um atraso no domínio do tempo. Desta forma, este componente diminui em módulo e se atrasa (aparece com um certo atraso) à medida que x cresce.
Com o termo multiplicado por eγx ( = eαx. e
jβx) acontece o contrário, ou seja, ele cresce em módulo e em fase, à medida que x cresce. Este aumento de fase no domínio da freqüência corresponde a um adiantamento no domínio do tempo. Então este termo cresce em módulo e se adianta à medida que x cresce. Este tipo de comportamento é inconcebível na natureza. Uma vez que a LT é uma estrutura passiva, não se pode esperar um crescimento no módulo com o aumento de x, mas sim o contrário. Além disto, o adiantamento no tempo caracteriza um sistema antecipativo, também anômalo na
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
13
natureza (este termo vai aparecer no final da linha antes de aparecer no início?). Deve-se então interpretá-lo como um componente que diminui em módulo e em fase, à medida que x decresce, da barra receptora (x = l) para a barra emissora (x = 0).
Estes comportamentos distintos caracterizam duas ondas viajantes de tensão, associadas a duas ondas viajantes de corrente: uma primeira que se propaga no sentido positivo ou crescente de x (Vi e-γx), chamada de onda incidente, e outra que se propaga no sentido decrescente de x (Vr eγx), chamada de onda refletida (ambas diminuindo em módulo e em fase à medida que se propagam pela LT).
(c) Uma vez que tanto a tensão, quanto a corrente, são ondas
viajantes, seu comprimento de onda λ, sua velocidade de propagação a e seu tempo de trânsito τ podem ser calculados.
A determinação do comprimento de onda λ pode ser feita através das equações de linha na sua forma hiperbólica ou fechada, ou seja
( ) ( )( ) ( )
+−=−=
SSCx
SCSx
IxVxsenhYIIxsenhZVxV
γγγγ
coshcosh
(39)
Considerando que
( ) ( )( ) ( )
⋅+⋅=+=⋅+⋅=+=
xxjxxxjxxxxjxxxjxx
βαβαβαγβαβαβαγ
sencoshcossenhsenhsenhsensenhcoscoshcoshcosh
(40)
conclui-se que a tensão e a corrente variam harmonicamente com freqüência β ao longo da linha (ou seja, em relação à coordenada x). Desta forma, se existe uma variação na fase de β radianos por km, então a distância na qual há uma variação de 2π radianos corresponde ao comprimento de onda λ. Ou seja
⇒
→→
kmradkmrad
λπβ
21
(≅ 5.000 km para 60 Hz) (41)
βπλ 2
=
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14
A velocidade de propagação a pode ser definida a partir do comprimento de onda, pois
⇒=⋅= ffaβπλ 2
(tem de ser ≤ 300.000 km/s) (42)
O tempo de trânsito será então
⇒=alτ
(da ordem de ms) (43)
(d) o nome impedância característica dado para ZC se deve ao fato dela ser uma impedância especial, uma vez que se a linha de transmissão for carregada com ela, não haverá onda refletida. A prova desta afirmativa é feita considerando-se inicialmente as equações de tensão e corrente na forma exponencial
−⋅=
+=−
−
][)(
)(x
rx
iC
xr
xi
eVeVYxIeVeVxV
γγ
γγ
(44)
Na barra receptora (receiving end) tem-se x = l, V(x) = VR e I(x) = IR. Assim
−⋅=
+=−
−
][ ll
ll
γγ
γγ
eVeVYIeVeVV
riCR
riR
(45)
Uma vez que ZC é a carga da LT, na barra receptora a condição de contorno vai ser dada por
RCR IZV ⋅=
(46)
Substituindo as equações (45) na equação (46) vem
)]([)( llll γγγγ eVeVYZeVeV riCCri −⋅=+ −−
(47)
ou seja
02 =lγeVr
(48)
Como eγl ≠ 0, então Vr = 0, ou seja, não existe onda refletida.
βω
=a
ωβτ l⋅
=
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15
Exemplo 1
Seja uma LT trifásica, de comprimento l = 370 km, freqüência nominal de 60 Hz e tensão nominal de 215 kV, com os seguintes parâmetros de serviço:
RS = 0,101 Ω / km LS = 1,367 mH / km CS = 8,415 nF / km
Para esta linha pede-se calcular γ, Zc, Yc, α, β, λ , a e τ.
Ω∠=+=
Ω×⋅+= −
kmjZkmfjZ
/91,78525,0)515,0101,0(/)10367,12101,0( 3
o
π
∠×=
×=×⋅=−
−−
kmSYkmSjfjY
/9010172,3/10172,310415,82
6
69
o
π
°∠×=×+×=
×⋅+==−−−−
−
1334
6
46,8410291,1)10285,110247,1(
)10172,3()515,0101,0(
kmj
jjYZ
γ
γ
( )( )
×=ℑ=
×=ℜ=−
−
kmradmkmnepere
/10285,1/10247,1
3
4
γβ
γα
∠×=×+×==
Ω−∠=+=×
+==
−−−
−
SjZ
Y
jj
jYZZ
CC
C
o
o
54,510458,2)10375,210446,2(1
54,5864,406)309,39961,404(10172,3
515,0101,0
343
6
====
=×==
=×
== −
ms,s,a
skmfa
km,
26110012610 206,449.293
370/206,449.29360820,4890
8204890 10284,1
223
lτ
λ
πβπλ
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16
6 – MODELOS EFGH E ABCD DE LTs (Constantes Generalizadas)
Para se chegar aos modelos EFGH e ABCD das LTs é conveniente repetir a solução fechada (ou na forma hiperbólica) das equações de onda para LTs, determinada no item 4. Assim
(49)
Considerando x = l (comprimento total da linha), a tensão e a corrente na barra receptora serão
( )( )
====
R
R
IxIVxV
l
l
(50)
Substituindo nas equações anteriores obtém-se o modelo EFGH para as LTs
( ) ( )( ) ( )
⋅
−
−=
⋅
=
S
S
C
C
S
S
R
R
IV
YZ
IV
HGFE
IV
ll
ll
γγγγ
coshsenhsenhcosh
(51)
onde as constantes E, F, G e H serão dadas por
( )( )( )
−=−=
==
l
l
l
γγγ
senhsenhcosh
C
C
YGZF
HE
(52)
Este modelo responde à seguinte questão: “Se uma determinada linha for alimentada com um certo par tensão/corrente na barra emissora, qual será o par tensão/corrente na barra receptora?”
( )( )
( ) ( )( ) ( )
⋅
−
−=
S
S
C
C
IV
xxsenhYxsenhZx
xIxV
γγγγ
coshcosh
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
17
Este tipo de problema não é muito comum nos sistemas de energia, onde o objetivo principal é atender consumidores, ou seja, uma determinada carga, na barra receptora. Nestes sistemas o problema mais comum é: “Se é necessário alimentar um conjunto de consumidores com uma determinada tensão e fornecer uma determinada potência ativa, sob um fator de potência específico (ou seja, uma corrente definida), qual deve ser o par tensão/corrente na barra emissora de potência?”. O leitor deve verificar que este problema é exatamente o inverso do problema anterior. Desta forma, esta questão pode ser respondida bastando resolver as equações que expressam o modelo EFGH para VS e IS, resultando no modelo ABCD de linhas de transmissão. Assim
⋅
=
⋅
=
−
R
R
R
R
S
S
IV
DCBA
IV
HGFE
IV 1
(53)
Ou seja
(54)
onde
(55)
A figura 4 abaixo mostra os quadripolos associados aos modelos EFGH e ABCD para linhas de transmissão.
Fig. 4 - Quadripolos associados à linha de transmissão, mostrando os sentidos de corrente e tensão com:
(a) modelo EFGH e (b) modelo ABCD.
⋅
=
⋅
=
R
R
C
C
R
R
S
S
IV
YZ
IV
DCBA
IV
ll
ll
γγγγ
coshsenhsenhcosh
( )( )( )
==
==
l
l
l
γγγ
senhsenhcosh
C
C
YCZBDA
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
18
Exemplo 2 Calcular as constantes generalizadas ABCD para a LT do Exemplo 1.
Fig. 5 - Modelo ABCD do quadripolo associado a uma linha de transmissão
Para o quadripolo associado a uma linha de transmissão tem-se
⋅
=
⋅
=
R
R
c
c
R
R
S
S
IV
YZ
IV
DCBA
IV
ll
ll
γγγγ
coshsenhsenhcosh
Do exemplo 1 é sabido que
°∠×=×+×=
Ω−∠=−=
∠×=×+×=
−−−
−−−−
SjYjZ
kmj
C
C
54,510458,2)10375,210446,2(
54,5864,406)309,39961,404(46,8410291,1)10285,110247,1(
343
1334
o
oγ
e desta forma
∠×=
×+×−==
Ω∠=+==
∠=+===
∠=+=
−
−−
SSjYC
jZBjDA
j
C
C
o
o
o
o
l
l
l
l
43,90101305,1
)101305,1103906,8(senh
34,791405,187)9089,1836279,34(senh36,18903,0)0211,08901,0(cosh
46,844776,04753,00461,0
3
36γ
γ
γ
γ
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19
7 – ÍNDICES DE DESEMPENHO DE LT’s
Para se quantificar o desempenho das linhas de transmissão costuma-se utilizar os denominados índices de desempenho de LTs. A seguir são apresentados quatro destes índices, muito utilizados nesta tarefa. São eles a regulação de tensão (Reg), o rendimento da transmissão (η), a queda percentual de tensão (∆V) e o consumo de reativo (∆Q)
(56)
onde nas equações acima os subscritos NL e FL são respectivamente abreviaturas de "No Load" (a vazio) e "Full Load" (a plena carga).
Muitas vezes a definição da regulação de tensão é encontrada em livros, manuais ou recomendações técnicas das concessionárias de formas diferentes da apresentada acima. No entanto optou-se pela expressão acima pois ela reflete o quanto a tensão vai variar em relação à tensão nominal de operação quando o sistema passa da operação a plena carga (full load) para a operação a vazio, ou carga muito leve (no load). No entanto, também pode-se admitir como um bom indicativo de desempenho do sistema, a regulação de tensão calculada como
%100(%))(
)()( ×−
=FLR
FLRNLR
V
VVReg
(57)
( )
−=∆
×−
=∆
×=
×−
=
RS
R
RS
S
R
nom
FLRNLR
QQMVArQV
VVV
PP
VVV
)(
%100(%)
%100%
%100(%) )()(
η
Reg
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
20
Exemplo 3
Considerando para a LT dos exemplos 1 e 2 anteriores uma carga de 120 MW a 215 kV, com fator de potência 0,9 capacitivo, determinar:
(a) as tensões, correntes e potências complexas nas barras receptora e emissora;
Na barra receptora as grandezas pedidas são
MVAjIVSkAI
kAV
PI
kVV
RRR
R
R
R
RR
R
°−∠=−==
°∠=
°==
=⋅⋅
==
°∠=°∠=
ΦΦ
Φ
84,254445,44)3715,190006,40(.
84,253581,084,259,0arccos
3581,09,02153
120cos3
)referência na V (tensão 01303,12403
215
*
3
R
ϕϕ
Na barra emissora as grandezas pedidas são
MVAjIVSkAjIDVCI
kVjIBVAV
SSS
RRS
RRS
°−∠=−==
∠=+=+=
∠=+=+=
45,91300,46)5769,75035,45(.
36,454020,0)2860,02825,0(
90,357463,114)2901,679449,92(
*
o
o
(b) a regulação de tensão [Reg(%)];
[ ]
(boa) %83,3%1001303,124
1303,12454,348797,128(%)
%1001303,124
01303,12436,18903,0
90,357463,114
%100(%)
0:load No
%100(%)
)(
)()(
)()(
=×−°∠
=
×°∠−
°∠°∠
=×−
=
=⇒=⇒=+=
⋅−
=
Reg
Reg
Reg
nom
FLRS
SNLRNLRSRRRS
nom
FLRNLR
V
VA
VA
VVVAVIIBVAV
VVV
A regulação de tensão não deve ser maior que 10% para evitar problemas de tensão quando o sistema passa de uma condição de plena carga para uma de carga leve ou a vazio.
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
21
(c) o rendimento de transmissão [η(%)];
( ) (baixo) %91,87%1005035,450006,40%100% =×=×=
S
R
PPη
O ideal é que o rendimento de transmissão fique acima de 95% de forma a limitar as perdas de transmissão na ordem dos 5%.
(d) a queda de percentual de tensão [∆V(%)];
%56,7%1001303,124
1303,1247463,114%100(%) −=×−
=×−
=∆R
RS
VVV
V
Perfis de tensão do tipo “flat” são extremamente recomendáveis, pois indicam que a LT está operando em condições próximas de sua carga natural (ou SIL), definida adiante no item 9.
(e) o consumo de reativo [∆Q(MVAr)].
MVArQQMVArQ RS 7946,11)3715,19(5769,7)( =−−−=−=∆
A LT está fornecendo reativo capacitivo (consumindo reativo indutivo) visto que o efeito X.I 2 está mais pronunciado que o efeito Y.V 2 nesta condição de operação. A figura 6 abaixo mostra a situação da LT com relação às grandezas elétricas nos seus terminais emissor e receptor.
Fig. 6 - Diagrama indicando as grandezas elétricas da LT atendendo à carga especificada no exemplo 3.
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22
8 – MODELOS π EQUIVALENTE E π NOMINAL
Fig. 7 - Correspondência entre os modelos ABCD e o modelo π do quadripolo associado a uma linha de
transmissão Para a LT modelada como um quadripolo tem-se que
+=+=
RRS
RRS
CICVIBIAVV
(58)
Já para a LT modelada pelo circuito π equivalente vale
+=−
++=
RRSS
RRRS
VYIVYI
VYIZVV
22
2
ππ
ππ
(59)
ou seja
++
+=
+
+=
RRS
RRS
IYZVYZYYI
IZVYZV
21
22
21
ππ
ππ
ππ
ππ
π
(60)
Comparando as equações (60) com as equações (58) resulta que
==+
==+
==
==+
l
l
l
l
γ
γ
γ
γ
ππ
ππ
ππ
π
ππ
cosh2
1
senh22
senh
cosh2
1
DYZ
YCYZYY
ZBZ
AYZ
C
C
(61)
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23
As equações (61) formam um sistema de quatro equações e apenas duas incógnitas ( Zπ e Yπ /2). Resolvendo a segunda delas para Zπ resulta que:
(62)
Definindo a impedância nominal da LT como Zn = Z ⋅l , então
ll
l
γγγn
CZZZ
ZYZ
ZYZ
YZZ ======
2
(63)
ou seja:
(64)
Resolvendo a primeira das equações (61) para Yπ /2 resulta que
⇒=+ )cosh(2
1 lγππ
YZ
⇒=+ AYB2
1 π
(65)
ou ainda
l
l
l
l
γγ
γγπ
senh1cosh
senh1cosh
2−
=−
= CC
YZ
Y
(66)
Prova-se que
l
ll
γγγ
senh1cosh
2tanh −
=
⇒
=
2tanh
2lγπ
CYY
(67)
Definindo a admitância nominal da LT como Yn = Y⋅l , então
2/2/
2/2/
ll
l
γγγn
CYYY
ZYY
ZYY =
⋅====
(68)
BAY 1
2−
=π
lγπ senhCZBZ ==
l
ll
γγγπ
senhsenh nC ZZBZ ===
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24
Desta forma, substituindo (68) em (67) resulta que
=
2tanh
2/2/
2l
l
γγ
π nYY
(69)
ou finalmente que
(70)
As equações (64) e (70) mostram as expressões para Zπ e Yπ /2, parâmetros do modelo π equivalente de uma LT, e sua relação com Zn e Yn /2, parâmetros do modelo π nominal de uma LT. Sabe-se entretanto que
( ) ( )( ) 1
2/cosh1
2/2/senhlim
2/2/tanhlim
1coshlimsenhlim
00
00
=
⋅=
==
→→
→→
ll
l
l
l
ll
l
ll
ll
γγγ
γγ
γγ
γ
γγ
γγ
(71)
Logo para valores muito pequenos de γl , verifica-se que
22 e n
nYYZZ →→ π
π
(72)
onde o símbolo → está sendo usado para indicar "tende a". A figura 8 abaixo mostra os dois circuitos equivalentes de LT, sendo o modelo π equivalente, um modelo exato, e o modelo π nominal, um modelo aproximado.
Fig. 8 – Circuitos (a) π Equivalente e (b) π Nominal de uma LT .
( )2
2tanh2
12 l
l
γγπ nY
BAY
=−
=
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
25
Para a LT dos exemplos anteriores, conforme já calculado, a constante de propagação γ vale
( ) 134 10285,110247,1 −−− ×+×= kmjγ
(73)
A tabela 1 a seguir mostra os termos de correção senh(γl)/γl e tanh(γl/2)/(γl/2) para três valores de l.
Tabela 1 – Termos de correção de Zπ e Yπ / 2 da LT do exemplo 1.
Termo de correção de Zπ
Termo de correção de Yπ / 2 l (km)
( )( )l
l
γγsenh ( )
( )2/2/tanh
l
l
γγ
80 0,9983 ∠ - 0,02° 1,0009 ∠ - 0,01° 240 0,9844 ∠ 0,18° 1,0079 ∠ - 0,09° 370 0,9631 ∠ 0,43° 1,0191 ∠ - 0,22°
Percebe-se nesta tabela que, para linha longas (l acima de 240 km), os erros na admitância, e principalmente na impedância, são consideráveis (da ordem de 5%) sendo pois importante considerar os termos de correção. Já para linhas médias (l entre 80 km e 240 km) os erros são menores (da ordem de 1,5%), e desta maneira os fatores de correção podem até ser desprezados, conduzindo ao chamado modelo π nominal de LTs. Para linhas curtas (l até 80 km), os fatores de correção são muito próximos da unidade e em geral são também desprezados. Para estas linhas, até mesmo as admitâncias são desprezadas, por serem extremamente pequenas, resultando no modelo impedância nominal série de LTs.
Fig. 9 – Modelos (a) π equivalente para linhas longas, (b) π nominal para linhas médias e (c) impedância nominal
série para linhas curtas.
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26
Exemplo 4
Determinar o circuito π equivalente para a LT dos exemplos anteriores e compará-lo com o circuito π nominal.
Para o caso em questão, os parâmetros do circuito π equivalente vão ser
×+×=
∠×=∠
−∠=
−=
Ω∠=+==
−−
−
Sj
SB
AY
jBZ
)109808,5102446,2(
79,89109808,534,791405,187
136,18903,012
34,791405,1879089,1836279,34(
46
4 o
o
o
o
π
π
Já o circuito π nominal vai possuir os seguintes parâmetros
×=∠×==
Ω+=Ω∠==
−− SjSYYjZZ
n
n
44 108682,590108682,52
.2
)550,190370,37(90,78180,194.
o
o
l
l
Os valores dos erros serão:
( )
( )
=−=∆−=×−
=
−=−=∆=×−
=
o
o
21,079,8990;%84,11009783,5
9783,58682,5%
44,034,7990,78;%76,31001405,187
1405,1871800,194%
yy
zz
θε
θε
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27
9 – SURGE IMPEDANCE LOADING (SIL) (Carga Natural ou Potência Natural)
Definições Importantes
(a) A impedância de surto (ou de onda) Z0 de uma linha de transmissão é definida como o valor de sua impedância característica ZC para freqüências tendendo ao infinito, ou seja
( )CL
CjG
LjR
CjGLjRZZ c =
+
+=
++
==∞→∞→∞→
ω
ωωωω
ωωωlimlimlim0
(74)
Esta impedância assume importante papel tanto no cálculo de sobretensões devido à descargas atmosféricas, quanto na operação adequada de linhas de transmissão em RPS, uma vez que o SIL de uma LT pode ser definido com ela.
(b) A Carga Natural (ou Surge Impedance Loading, ou SIL, ou
Potência Natural) de uma linha de transmissão é definida estritamente como a potência entregue por uma linha ideal sem perdas (R=G=0) a uma carga resistiva de valor igual à sua impedância de surto Z0, quando a LT estiver energizada com sua tensão nominal.
Para uma LT sem perdas resulta que
⇒++
=++
==CjLj
CjGLjR
YZZC ω
ωωω
00
(75)
Como a LT está carregada com sua impedância de surto ou de onda (que no caso é a própria impedância característica), não haverá onda refletida, ou seja
( )
( )
=
=−
−
0
.
.
ZeVxI
eVxVxj
i
xji
β
β
(76)
0ZCLZC ==
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
28
As equações (76) mostram que o módulo da tensão (e da corrente) não varia com x, variando apenas a fase (vide item 5.d, pp. 14). No extremo emissor (sending end), onde x = 0, a tensão vai ser dada por
( ) nomiS VVVV ===0
(77)
ou seja, a constante complexa Vi é a tensão de alimentação da LT. Desta forma, em qualquer ponto x, vão valer as seguintes equações
( )
( )
=
=−
−
0
.
.
ZeVxI
eVxVxj
nom
xjnom
β
β
(78)
Assim, na barra receptora (receiving end), onde x = l tem-se
( )
( )
==
==−
−
0
.
.
ZeVII
eVVVj
nomR
jnomR
l
l
l
lβ
β
(79)
O SIL vai ser a potência complexa entregue à carga, dada por
[ ]
[ ]0
2
0
.*.
*
0
..*
ZV
ZeVeV
ZeVeVIVSSIL
nomj
nomjnom
jnomj
nomRRR
=
=
=⋅==
−
−−
ll
ll
ββ
ββ
(80)
Na verdade, a potência complexa em qualquer ponto da LT vai ser da forma
( ) ( ) ( ) [ ]
[ ] SILZ
VZeVeV
ZeVeVxIxVxS
nomxj
nomxjnom
xjnomxj
nom
==
=
=⋅=
−
−−
0
2
0
.*.
*
0
..*
ββ
ββ
(81)
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29
Esta expressão mostra que em condição de carga natural, a potência complexa em qualquer ponto da LT vai ser exatamente igual ao SIL. Assim sendo
( )
( )
=
==
⇒=ΦΦ
Φ
ΦΦ
0
2
3
10
2
0
2
ZV
SIL
SILZ
VSIL
ZV
SILnom
nnomfasepor
nom
(82)
A figura 10 a seguir mostra curvas típicas dos perfis de tensão em uma linha de transmissão sem perdas, considerando-se a tensão no extremo emissor constante e a LT operando: a vazio (no load); no SIL (notar o perfil flat); a plena carga (full load) e em curto-circuito no seu extremo receptor.
Fig. 10 - Curvas típicas de perfil de tensão em uma linha de transmissão sem perdas, considerando a tensão
no extremo emissor constante e variando-se as condições de carga no extremo receptor
As curvas da figura 10 acima mostram que:
♦ no SIL, o perfil de tensão numa linha sem perdas é “flat”, ou seja, a tensão é constante em toda a linha;
♦ para condições a vazio (no load) ou de carga leve, a tensão terminal tende a subir acima da tensão da barra emissora;
♦ para condições de plena carga (full load), a tensão no extremo receptor tende a ser menor que a tensão no extremo emissor;
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30
♦ em condições de curto-circuito no extremo receptor, o perfil de tensão se ajusta de forma que a tensão vá a zero neste extremo.
♦ quanto maior for o comprimento da linha, maiores serão as variações de tensão, para condições de operação distantes do SIL. Desta forma isto serve como uma orientação para operações de linhas no que se refere ao seu comprimento. Assim, para linhas curtas, l pequeno (até 80 km), as variações serão também pequenas e pode-se operar a linha com potências de até 3 vezes o SIL. Já para linhas longas, o limite máximo é o SIL (ou no máximo 1,2×SIL), para se evitar mau desempenho na operação das LT's.
Embora não existam linhas sem perdas, o estudo do seu comportamento é serve como um indicativo do que vai acontecer nas linhas reais (que geralmente possuem baixas perdas).
A tabela 2 a seguir mostra os valores usuais da impedância de surto (ou de onda) e do SIL para LT’s trifásicas aéreas.
Tabela 2 - Valores usuais de impedâncias de surto e de SIL para linhas de transmissão aéreas típicas de 60 Hz..
Vnom [kV] Z0 [Ω] SIL [MW]
69 366 - 400 12 – 13 138 366 - 405 47 – 52 230 365 - 395 134 – 145 345 280 - 366 325 – 425 500 233 - 294 850 – 1075 765 254 - 266 2200 – 2300
EXEMPLO PRÁTICO: UUSSIINNAA HHIIDDRREELLÉÉTTRRIICCAA DDEE IITTAAIIPPÚÚ
10 máquinas de 700 (740) MW de 60 Hz ⇒ 7000 (7400) MW
7000 (7400) MW ÷ 2300 = 3,04 (3,22) LT's
3 linhas de 765 kV (longas) ⇒ P(max operação) ≈ SIL
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31
10 - FLUXO DE POTÊNCIA EM LT’s 10.1 - Fluxo de Potência em LT's com perdas Um dos modelos de LT deduzidos nos itens anteriores foi o modelo ABCD onde
=
R
R
S
S
IV
DCBA
IV
.
(83)
Da primeira das equações pode-se deduzir que
BVAVIIBVAV RS
RRRS... −
=⇒+=
(84)
Sejam então
βα ∠=∠= BBAA ; ⇒ constantes da linha (definidas)
o0; ∠=∠= RRSS VVVV δ ⇒ variáveis do problema Na expressão acima, δ é chamado de ângulo de carga da LT. Então
( )βαβδβαδ
−∠−−∠=∠
∠∠−∠=
BVA
BV
BVAV
I RSRSR
.)(
0. o
(85)
e seu o conjugado será
( )αβδβ −∠−−∠=∗
BVA
BV
I RSR
.)(
(86)
Desta forma a potência complexa no terminal receptor será
( ) ( )αβδβ −∠−−∠=+== ∗
BVA
BVV
QjPIVS RSRRRRRR
2...
(87)
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32
ou seja
( ) ( )
( ) ( )
−−−=
−−−=
αβδβ
αβδβ
senBVA
senBVV
Q
BVA
BVV
P
RSRR
RSRR
2
2
..
cos.
cos.
(88)
Desta forma, especificados VS e VR , a potência ativa máxima transmissível na LT é encontrada quando βδδβ =⇒=− 0 e vale
(89)
Este é o limite máximo teórico de potência ativa que pode ser transmitida pela linha de transmissão.
10.2 - Potência Ativa e Reativa em LT's sem perdas
Vai ser considerada, para simplificação do problema, uma linha sem perdas, representada por seu modelo de linha curta, como mostra a figura 11 a seguir
Fig. 11 - Linha de transmissão sem perdas representada pelo seu modelo de linha curta.
Para esta linha tem-se então que
⋅
°∠
°∠=
⇒
=⋅+=
R
Rn
S
S
RS
RnRS
IVXj
IV
IIIXjVV
01001
(90)
( ) ( )αβ −−= cos.. 2
max BVA
BVV
P RSRR
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
33
ou seja
°==°==°∠==°∠=
90)arg(;0)arg(90;01
BAXXjBA nn
βα
(91)
e as equações de potência ativa e reativa tornam-se
( ) ( )
( ) ( )
°−°−−°⋅
=
°−°−−°⋅
=
09090
090cos90cos
2
2
senX
Vsen
XVV
Q
XV
XVV
P
n
R
n
SRR
n
R
n
SRR
δ
δ
(92)
ou seja
−⋅=
⋅=
⋅=
n
RSRR
SR
n
SRR
XVVV
Q
senLVV
senX
VVP
2cosδ
δω
δl
(93)
Como já demonstrado, o valor de potência máxima é atingido para δ = β = 90° e vale
lLVV
XVV
P SR
n
SRR ω
⋅=
⋅=(max)
(94)
A figura 12 a seguir mostra curvas típicas de carregamento para LT's, sendo a curva "a" o limite máximo de potência associado à máxima corrente suportável nos cabos fase, a curva "b" o limite máximo teórico de potência expresso anteriormente (que depende de A, B, VR e VS) e a curva "c" o limite máximo prático de potência (que é função do SIL e do comprimento da LT)
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
34
Fig. 12 - Curvas típicas de carregamentos máximos de LT’s.
Considerando pois linhas sem perdas conclui-se que: 1. A potência ativa transmitida pela LT é diretamente
proporcional às tensões nos extremos e ao seno do ângulo de carga
2. A potência ativa transmitida pela LT é Inversamente proporcional à freqüência de operação, indutância de serviço e ao comprimento da linha.
3. O limite de estabilidade estática, também conhecido como limite teórico de carregamento, é obtido para δ igual a π/2.
4. Geralmente este limite está acima do limite térmico, associado à capacidade de condução de corrente dos cabos fase, e do limite prático de carregamento, associado aos índices de desempenho e ao SIL da linha.
5. O limite térmico é constante e é o principal fator restritivo para linhas curtas, enquanto o limite prático também varia inversamente com o comprimento e se sobrepõe ao térmico para linhas longas.
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
35
Exemplo 5 Determinar o limite máximo teórico de potência para a LT do exemplo 1, seu SIL e a relação PR(max)/SIL.
( ) ( ) ( )[ ]BVAVV
BVA
BVV
P RSRRSRR
αβαβ
−⋅−⋅=−
⋅−
⋅=
coscos
2
max
No exemplo 3 calculamos
Ω∠=°∠= o33,790240,18736,18904,0 BA Neste caso, considerando tensões terminais da ordem da tensão nominal (=124,1303 kV), o limite máximo teórico de potência vai ser dado por
( )( )[ ]
0240,18736,133,79cos1303,1248904,01303,1241303,124
max°−°⋅⋅−
=RP ou ainda
( ) MW,PR 09867 max =
valor do SIL é
( ) ( ) MW,,
SIL 23038 0484403
1303,124
10415,810367,1
1303,124 2
9
3
2
==
××
=
−
−
E desta forma temos que
( ) 7551 230,38098,67max ,
SILPR ==
Como se trata de um limite teórico, já era de se esperar que este valor estivesse acima do limite prático, da ordem de 1,2×SIL.
Modelos de Linhas de Transmissão Clever Pereira
36
10.3 - O Problema do Fluxo de Potência
Na sua forma mais básica, o problema associado ao fluxo de potência consiste na solução de um sistema de equações não lineares da forma
( )( )( )
−⋅
⋅
=
=
=
=
=
=
⇒=
n
RSR
n
SR
RR
R
XVVV
XsenVV
xxfxxf
Vxx
QP
yy
2212
211
2
1
2
1
cos,,
;
δ
δ
δ
f
xy
xfy
(95)
Um dos possíveis métodos para solução deste problema é o método de Newton-Raphson onde
( )[ ] ( )[ ]iiii xfyxJxx1-
−⋅=+~+1
(96)
sendo ( )xJ~ a matriz jacobiana dada por
( ) ⇒
=
=
R
RR
R
RR
VQQVPP
xf
xf
xf
xf
∂∂
δ∂∂
∂∂
δ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
1
2
2
1
1
1
~ xJ
(97)
( )
−⋅−
⋅
=
n
RS
n
SR
n
S
n
SR
XVV
XsenVV
XsenV
XVV
2cos
cos~
δδ
δδ
xJ
Em sistemas de potência tem-se em geral que
⇒
≈≈
≈
VVV SR
0δ ( )
−≈
n
n
XV
XV
0
0~
2
xJ ⇒ Fluxo de Potência
Rápido Desacoplado
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1
UNIDADE VI
MODELOS DE TRANSFORMADORES
1. INTRODUÇÃO
OBJETIVO PRINCIPAL: Estabelecimento de modelos matemáticos no domínio da freqüência para transformadores de potência monofásicos, trifásicos, de dois ou três enrolamentos, de forma a propiciar o cálculo das correntes, tensões e potências quando estiverem operando em regime permanente senoidal na freqüência de serviço (baixas freqüências). 2. TRANSFORMADOR IDEAL
HIPÓTESES BÁSICAS
Fluxo varia senoidalmente: • regime permanente senoidal.
Núcleo com µ infinita: • não é necessária nenhuma Fmm
para magnetizar o núcleo; • todo fluxo confinado ao núcleo,
logo não existem indutâncias de dispersão.
Enrolamentos com ρ nula: • resistências dos enrolamentos
nulas.
2.1. Relação de tensão
Para as hipóteses básicas consideradas para o trafo ideal, as tensões induzidas são iguais às tensões terminais. Assim
==
)()(v)()(
22
11
tettetv (1)
+
-
+
- v2 N2
N1
Φ
v1
+
-
i2
i1+
-
e2
e1
Fig. 1 – Transformador Ideal
Modelos de Transformadores Clever Pereira
2
Sabe-se ainda que
Φ==
Φ==
dttdN
dttdte
dttdN
dttdte
)()()(
)()()(
22
2
11
1
λ
λ
(2)
Substituindo as equações (2) nas equações (1) resulta que
NNNN
tete
tvtv
V ====2
1
2
1
2
1
)()(
)()( (3)
onde N é comumente denominada de relação de transformação do trafo ideal. Em regime permanente senoidal (RPS) tem-se que
NNN
EE
VVNV ====
2
1
2
1
2
1 (4) A equação (4) mostra que, além da relação de módulo, as tensões terminais estão em fase.
2.2. Relação de corrente Lei de Ampère
envidH =⋅∫ lrr (5)
onde Hr
é a intensidade de campo magnético e ienv é a corrente envolvida, também chamada de força magnetomotriz Fmm.
Como Hr
e lr
possuem o mesmo direção e sentido, então
mmiNiNdHdH F=- . 2211 ⋅⋅==⋅ ∫∫ llrr (6)
Uma vez que no trafo ideal a permeabilidade magnética µ é infinita, a integral da intensidade de campo ao redor de um percurso fechado é nula, pois não é necessária nenhuma força magnetomotriz Fmm para criar o fluxo Φ no núcleo. O circuito magnético da figura 2 ao lado mostra a situação em
Hr
Fig. 2 – Circuito magnético associado.
Φ
Fmm
R
Modelos de Transformadores Clever Pereira
3
questão. Se a relutância R for nula, não existe necessidade da força magnetomotriz Fmm para a existência do fluxo Φ no circuito magnético definido pelo núcleo do trafo ideal.
Desta forma, considerando na equação (6) que Fmm = 0, resulta que, em regime permanente senoidal,
02211 =− ININ ⇒ 2211 ININ = (7)
ou seja, a relação de corrente NI vai ser dada por
NNNN
IIN
VI
11
1
2
2
1 ==== (8)
A equação (8) mostra também que, além da relação de módulo, as correntes terminais estão em fase.
2.3. Relação de potência
Nos terminais 2, a potência complexa é dada por
( ) 1*111
1*222 .= SIVIN
NVIVS ==⋅⋅
=⋅ ∗ (9)
ou seja
21 SS = (10) Desta forma, conclui-se que a relação de potência NS dos trafos ideais é unitária, ou seja
1=2
1S S
SN = (11)
Desenvolvendo um pouco mais a equação (11) vem que
*
2
1
2
1*22
*11
2
1S =
⋅=
⋅⋅
=II
VV
IVIV
SSN ⇒ 1IVS =⋅= NNN (12)
Modelos de Transformadores Clever Pereira
4
2.4. Representação de Circuito (Esquemática) de um Trafo Ideal
2.5. Impedância vista, ou referida, a um dos lados do trafo Se uma impedância Z2 é ligada no lado 2 do trafo, tem-se pela lei de Ohm que
2
22222 I
VZIZV =⇒⋅= (13)
Desta forma, expressando Z2 em termos das grandezas do lado 1
1
12 IN
NVZ⋅
= (14)
ou seja
22
22
22'
21
1
IV N
ZZNZNZIV
=⋅=⋅== (15)
Na equação (15), '2Z é denominada impedância do secundário
(lado 2) vista pelo, ou referida ao, primário (lado 1). A figura 4 a seguir mostra a impedância Z2 referida ao primário.
I2 N : 1
N1 V2N2 V1
I1
Z2 '2VV
I1
'2Z≡
=
⋅=⋅
=
NVV
ZNZNNZ
2'2
22
2
2
2
1'2
Fig. 4 – Circuito equivalente com impedância Z2 referida ao lado 1.
Fig. 3 – Representação de circuito de um transformador ideal.
I2 N : 1
N1 V2 N2 V1
I1
EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
i2(t)N : 1
N1 v2(tN2 v1(t)
i1(t
NO DOMÍMIO DO TEMPO
Modelos de Transformadores Clever Pereira
5
A figura abaixo apresenta um transformador ideal com uma impedância Z2 ligada no secundário (lado 2). Este transformador possui 200 espiras no primário (lado 1) e 500 espiras no secundário. Quando ele é energizado no primário por uma fonte de tensão ideal de 1200 V, circula uma corrente de 5 A com fator de potência 0,866 indutivo. Determinar:
(a) A potência complexa fornecida pela fonte;
(b) A relação de transformação N deste transformador;
(c) As relações de transformação de tensão NV e de corrente NI para este transformador;
(d) O valor da impedância Z2 vista pela fonte no primário;
(e) O valor real da impedância Z2; (f) A tensão, corrente e potência complexa desenvolvida na impedância Z2.
Solução (a) Admitindo a tensão da fonte na referência, tem-se que
VV °∠= 012001 e
( ) °== 30866,0cosa1θ
e desta forma, como a corrente é indutiva, ela está atrasada em relação à tensão, ou seja
AI °−∠= 3051
A potência complexa fornecida pela fonte vai ser então de
( )( )VAjVA
IVS00,300015,5196306000
30501200)( **111
+=°∠==°−∠⋅°∠=⋅=
(b) A relação de transformação N vai ser dada por
4,0500200
2
1 ===NNN
I2N : 1
N1 V2N2 V1
I1
Z2
Fig. 5 – Transformador Ideal do Exemplo 2.
Exemplo 1
Modelos de Transformadores Clever Pereira
6
(c) As relações de transformação de tensão e de corrente vão ser dadas por
4,0== NNV e
5,24,0
111
V
====NN
NI
(d) A impedância vista pela fonte no primário vai ser a relação da tensão pela corrente no primário e é o valor da impedância ligada no secundário vista do primário, ou seja
Ω°∠=°−∠°∠
== 30240305
01200
1
1'2 I
VZ
(e) O valor real da impedância Z2 vai ser então de
( ) Ω°∠=°∠⋅=°∠⋅
=⋅
= 301500302405,230240
200500 2
2'2
2
1
22 Z
NNZ
(f) A tensão, a corrente e a potência complexa desenvolvida na impedância Z2 podem ser calculadas por
( )( )
+=°∠==°−∠⋅°∠=⋅=
°−∠=°−∠⋅=⋅=
°∠=°∠
==
VAjVAIVS
AINI
VNVV
00,300015,519630600030203000)(
3023054,0
030004,0
01200
**222
12
12
Como a corrente é indutiva, ela está atrasada em relação à tensão e, desta forma, a potência complexa vai ser
( )( )VAjVA
IVS00,300015,5196306000
30203000)( **222
+=°∠==°−∠⋅°∠=⋅=
Obviamente que a potência complexa desenvolvida no secundário é a mesma do primário, uma vez que a relação de potências complexas NS de um trafo ideal é unitária.
Modelos de Transformadores Clever Pereira
7
É importante o leitor notar que o primário nem sempre é o enrolamento de maior tensão e que a atribuição deste nome a um determinado enrolamento é completamente arbitrária.
3. CIRCUITO EQUIVALENTE DE UM TRAFO REAL 3.1. Considerações Iniciais
Fluxo varia senoidalmente (RPS); Núcleo com µ finita
o Vai ser necessária uma corrente (força magnetomotriz) para magnetizar o núcleo, denominada corrente de magnetização.
o Vão existir fluxos de dispersão, representados por indutâncias de dispersão.
Enrolamentos com ρ não nula o Os enrolamentos vão possuir resistências.
Núcleo composto de material magnético o Vão existir fenômenos próprios destes materiais, tal como saturação,
histerese e perdas devido às correntes de Foucault ou parasitas (também denominadas eddy currents).
R1 e R2 ⇒ resistências dos enrolamentos 1 e 2
X1 e X2 ⇒ reatâncias de dispersão dos enrolamentos 1 e 2
Ra ⇒ resistência que retrata as perdas no ferro ( )2Vα
Xm ⇒ reatância que retrata a corrente a vazio
V2
R2
V1
N : 1 X2
Ra Xm
R1 X1 I1 I2
E2 E1
N1 N2
Ia Im
Ie
Fig. 6 – Circuito equivalente de um transformador real
Modelos de Transformadores Clever Pereira
8
3.2. Circuito Equivalente de um Trafo Real com Impedâncias Referidas ao Primário
2
2
2
1'2 .R
NNR
= ⇒ resistência do secundário
2
2
2
1'2 . X
NNX
= ⇒ reatância de dispersão do secundário
22
1'2 .V
NNV
= ⇒ tensão do secundário
21
2'2 .I
NNI
= ⇒ corrente do secundário
referidas
ao
primário
3.3. Circuito Equivalente de um Trafo Real Desprezando-se o
Ramo de Excitação
A corrente de excitação Ie é muito pequena se comparada com I1
(da ordem de 2% a 5%) e deste modo pode-se, muitas vezes, desprezar o ramo de excitação (magnetização e perdas no ferro). Desta forma o circuito equivalente da figura 7 se reduz a
Fig. 7 – Circuito equivalente de um transformador real com impedâncias referidas ao primário.
V2
'2R
V1
N : 1
Ra Xm
R1 X1 I1 I2
V2
N1 N2
Ia Im
Ie
'2X
'2V
'2I
V1
N : 1RT XT
V2N2N1
I1 I2'2I
onde
+=
+='21
'21
XXX
RRR
T
T
Fig. 8 – Circuito equivalente de um trafo real desprezando-se o ramo de excitação.
Modelos de Transformadores Clever Pereira
9
Um trafo monofásico de 100 kVA, 2400/240 V, 60 Hz, é utilizado como um trafo abaixador instalado do lado de uma carga conectada a um alimentador de tensão nominal de 2400 V, cuja impedância série é de (1,0 + j 2,0) Ω. A impedância equivalente série do trafo é de (1,0 + j 2,5) Ω referida ao lado de alta tensão. O trafo está entregando potência nominal à carga, com um fator de potência de 0,8 atrasado e com tensão nominal secundária. Desprezando sua corrente de excitação determinar:
(a) a tensão nos terminais de alta do trafo; (b) a tensão nos extremo emissor do alimentador; (c) a potência que realmente está sendo entregue ao extremo
emissor do alimentador; (d) o rendimento global do sistema de transmissão composto do
alimentador e do transformador abaixador; (e) a regulação de tensão do sistema de transmissão para esta
carga;
Solução
(a) A figura 8 acima apresenta o circuito composto pelo alimentador, o trafo abaixador e pela carga. São fornecidos os valores da tensão e potência na carga. Como o problema pede para desprezar a corrente de excitação, está sendo utilizado o circuito equivalente do trafo sem o ramo de excitação. Colocando-se arbitrariamente a tensão na carga na referência tem-se que
VV °∠= 02402
V1
N : 1RT XT
V2 N2N1
I1 I2
'2V Z2
RL XL IS
VS
alimentador transformador carga
Fig. 8 – Circuito elétrico composto pelo alimentador, transformador abaixador e carga do exemplo 3.
'2I
Exemplo 2
Modelos de Transformadores Clever Pereira
10
A corrente I2 na carga pode ser calculada sabendo-se que
( ) °== 87,368,0cosrca2θ
e que
AVS
IIVS 667,416240
100000
2
22222 ===⇒⋅=
Como a corrente está atrasada da tensão, então
AI °−∠= 87,36667,4162
A potência complexa entregue à carga é de
( )( )VAjVA
IVS600008000087,36100000
87,36667,4160240)( **222
+=°∠==°−∠⋅°∠=⋅=
confirmando os valores fornecidos no enunciado do exemplo. A tensão '
2V vai ser então de
VVNV °∠=°∠⋅=⋅= 024000240240
24002
'2
A corrente '2I vai ser
ANII °−∠=
°−∠== 87,36667,41
1087,36667,4162'
2
Finalmente a tensão V1 nos terminais do trafo pode ser calculada como
( ) ( )( )VjV
jIZVV T
334,58834,249534,1516,249687,36667,415,2102400'
2'
21
+=°∠==°−∠⋅++°∠=⋅+=
A solução do circuito é apresentado na figura 9 a seguir
Fig. 9 – Solução do circuito elétrico do exemplo 3.
10 : 1 1 Ω j 2,5 Ω
416,667∠-36,87° A 1 Ω j 2 Ω
240∠0° V 2400∠0° V
2496,516∠1,34° V2581,106∠2,22° V
41,667∠-36,87° A
Z2
Modelos de Transformadores Clever Pereira
11
(b) A tensão no extremo emissor do alimentador vai ser dada por
( ) ( )( )VjV
jIZVV L
000,100168,257922,2106,258187,36667,412134,1516,249611S
+=°∠==°−∠⋅++°∠=⋅+=
(c) Como o alimentador está sendo representado por uma impedância série e a corrente de excitação está sendo desprezada, as correntes '
2I , I1 e IS são todas iguais entre si. Desta forma, a potência entregue no extremo emissor do alimentador de 2400 V vai ser de
( ) ( )( )VjV
IVS SS
248,67813811,8347209,39951,10754687,36667,4122,2106,2581 **
S
+=°∠==°−∠⋅°∠=⋅=
(d) A potência ativa entregue ao emissor é de 83472,811 W e a potência ativa efetiva entregue à carga é de 80000,000 W. Desta forma, a diferença entre elas é perdida no processo de transmissão, tanto no alimentador quanto no transformador. Assim sendo, o rendimento global do sistema vai ser de
%16,4%100811,83472
80000811,83472=×
−=η
Valores abaixo de 5% são geralmente aceitáveis para processos de transmissão. No entanto não é somente este índice de desempenho que deve ser calculado para se avaliar se o sistema projetado é aceitável ou não do ponto de vista técnico-econômico.
(e) A regulação de tensão vai ser dada por
%55,7%100240
24010
106,2581
%100(%)Re)(2
)(2)(2 =×−
=×−
=nom
FLNL
VVV
g
Na equação acima, NL e FL referem-se à "no load" (a vazio) e à "full load" (plena carga)
Modelos de Transformadores Clever Pereira
12
4. REPRESENTAÇÃO DE TRAFOS DE POTÊNCIA EM PU
Para se chegar ao modelo (circuito equivalente) do trafo de potência em pu é necessário considerar novamente o circuito equivalente de um trafo ideal, mostrado abaixo, juntamente com suas características.
As três relações acima expressam as propriedades de um trafo ideal, sendo NV , NI e NS as relações de tensão, corrente e de potência respectivamente.
O leitor pode notar que as três propriedades do trafo ideal estão relacionadas de tal forma que
=⋅=
11
IV
S
NNN
(16)
As relações de tensão, de corrente e de potência podem também ser estabelecidas para as respectivas grandezas em pu. Assim, a relação de tensão de um trafo ideal em pu, denominada NV(pu), pode ser calculada fazendo
( )( )
( )b
b
V
b
b
b
b
pu
pupuV
VV
N
VVVV
VVVV
VV
N
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1 ==== (17)
PROPRIEDADES DE UM TRAFO IDEAL
1
11
22
11
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
==⋅⋅
==
====
===
IVS
VI
V
NNIVIV
SSN
NNNN
IIN
NNN
VVN
Fig. 10 – Trafo Ideal.
N1 N2
I2
V1 V2
N :1 I1
Modelos de Transformadores Clever Pereira
13
A relação de corrente em pu de um trafo ideal NI(pu), pode também ser calculada do mesmo modo, fazendo
( )( )
( )b
b
I
b
b
b
b
pu
pupuI
II
N
IIII
IIII
II
N
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1 ==== (18)
A relação de potências em pu também pode ser obtida através de
( )( )
( )b
b
b
b
S
b
b
b
b
pu
pupuS
SS
SS
N
SSSS
SSSS
SS
N
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1 1=====
(19)
A determinação destas três propriedades permite que se estabeleça um modelo inicial para o trafo ideal em pu, ou seja
Para auxiliar o leitor, as propriedades de um trafo ideal e as propriedades de um trafo ideal em pu estão colocadas lado a lado a seguir.
⇓
bb
bb
IZ
SV
11
11
,
,
⇓
bb
bb
IZ
SV
22
22
,
,
N1(pu) N2(pu)
I2(pu)
V1(pu) V2(pu)
I1(pu)
PROPRIEDADES DE UM TRAFO IDEAL EM PU
bbbb
S
pu
pupuS
bb
I
pu
pupuI
bb
V
pu
pupuV
SSSSN
SS
N
IIN
II
N
VVN
VV
N
2121)(2
)(1)(
21)(2
)(1)(
21)(2
)(1)(
1===
==
==
Modelos de Transformadores Clever Pereira
14
Percebe-se pelo segundo bloco de equações que as propriedades de um transformador ideal em pu dependem dos valores bases escolhidos. Neste ponto o leitor pode observar que se dispõe de um grau de liberdade de ordem 4, podendo-se, em princípio, serem escolhidas aleatoriamente S1b , S2b , V1b e V2b.
No entanto, para que o transformador ideal em pu continue possuindo as mesmas propriedades de um trafo ideal, ou em outras palavras, para que ele continue sendo um transformador ideal, mesmo em pu, é necessário que as relações de tensão, de corrente e de potência continuem atendendo às duas relações básicas dos trafos ideais expressas em (27), mas em pu, ou seja
=⋅
=
1
1
)()(
)(
puIpuV
puS
NN
N (20)
As equações acima garantem que, mesmo em pu, não há perda de potência no trafo ideal e qualquer que seja a escolha das bases, o produto da relação de tensão pela relação de corrente deve ser unitário. Para atender à primeira das equações (20) basta que
( ) bbbb
puS SSSS
N 2121
11=⇒== (21)
PROPRIEDADES DE UM TRAFO IDEAL
1
1
22
11
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
==⋅⋅
==
===
==
IVS
VI
V
NNIVIV
SSN
NNN
IIN
NN
VVN
PROPRIEDADES DE UM TRAFO IDEAL EM PU
bbbb
S
pu
pupuS
bb
I
pu
pupuI
bb
V
pu
pupuV
SSSSN
SS
N
IIN
II
N
VVN
VV
N
2121)(2
)(1)(
21)(2
)(1)(
21)(2
)(1)(
1===
==
==
Modelos de Transformadores Clever Pereira
15
O leitor pode notar que, atendendo à primeira das equações (20), atende-se também à segunda, pois se S1b = S2b, então
)(22
2
1
1)(1 pu
bbpu S
SS
SSS === (22)
e consequentemente
( ) ( ) 11*
)(2
)(1
)(2
)(1)(
*2)(2)(
*1)(1 =⋅⇒=
⋅⇒⋅=⋅ puIpuV
pu
pu
pu
pupupupupu NN
II
VV
IVIV (23)
Desta forma, a condição necessária e suficiente para que um trafo ideal em pu tenha as propriedades de um trafo ideal é a expressa apenas e tão somente pela equação (21) anterior. Embora a escolha de potências bases iguais nos dois lados do trafo ideal em pu garanta que ele tenha as mesmas propriedades de um trafo ideal, esta escolha não agrega nenhum ganho efetivo em se utilizar a representação do trafo em pu, visto que ele passa a ser um trafo ideal em pu, com as propriedades mostradas no quadro ao lado. O leitor pode notar neste quadro que não houve nenhuma simplificação na representação do trafo ideal. A observação cuidadosa das equações (17) a (19), ou mesmo do quadro anterior, permite concluir que, uma vez escolhidas as potências base iguais para os dois lados, ou seja, S1b = S2b , tem-se ainda dois graus de liberdade, podendo-se escolher livremente V1b e V2b. No entanto, se as bases de tensão forem escolhidas de tal forma que
Vb
b NVV
=2
1 (24)
PROPRIEDADES DO TRAFO IDEAL EM PU ONDE S1b = S2b
121)(2
)(1)(
21)(2
)(1)(
21)(2
)(1)(
===
==
==
bb
S
pu
pupuS
bb
I
pu
pupuI
bb
V
pu
pupuV
SSN
SS
N
IIN
II
N
VVN
VV
N
Modelos de Transformadores Clever Pereira
16
percebe-se que a relação de tensão em pu, ou seja a primeira das propriedades, fica como
( )( )
( )1
2
12
1 ====V
V
b
b
V
pu
pupuV N
N
VV
NVV
N (25)
Considerando-se ainda a segunda das equações (20), chega-se a
( ) 1=puIN (26)
Deste modo, o trafo ideal em pu passa a ter relações de tensão NV(pu) e de corrente NI(pu) unitárias, ou seja, ele nada executa no circuito, a não ser separar galvanicamente os lados 1 e 2, podendo, para efeito de cálculo das correntes e tensões, ser retirado do circuito elétrico. Isto sim representa um ganho efetivo pela grande simplificação na representação dos trafos em SEP. Vê-se pois que, através de uma escolha adequada de bases nos dois lados do trafo ideal, dada por
o trafo ideal em pu se transforma num trafo ideal de relação unitária (1:1) e pode ser retirado do circuito, aí sim, simplificando sua representação. Quando esta escolha é efetuada, diz-se que as bases estão perfeitamente casadas. Uma das conseqüências imediatas da escolha de bases perfeitamente casadas reside no fato de que uma impedância situada em um determinado lado do transformador tenha o mesmo valor em pu, ou em por cento, no outro lado. Um outro fato notável diz respeito aos valores informados pelos fabricantes de trafos sobre a reatância de dispersão do trafo. Por utilizarem como bases os valores nominais do trafo e, por conseguinte, fazerem uso de
Vb
b
bb
NVV
SS
=
=
2
1
21
•• ppoottêênncciiaass bbaasseess iiddêênnttiiccaass
•• rreellaaççããoo eennttrree aass bbaasseess ddee tteennssõõeess iigguuaall àà rreellaaççããoo ddee tteennssããoo ddoo ttrraannssffoorrmmaaddoorr iiddeeaall
Modelos de Transformadores Clever Pereira
17
bases perfeitamente casadas, não necessitam informar dois valores de reatância, um para cada lado, pois o trafo ideal se transforma num trafo de relação unitária (1:1) e o valor informado é válido para ambos os lados.
Resolver o exemplo 2 anterior em pu, tomando como grandezas bases os valores nominais do trafo abaixador. Solução (a) O primeiro passo é dividir a rede elétrica em zonas ou
circuitos, definindo as suas grandezas bases. A figura 24 apresenta as duas zonas associadas à rede.
Os valores bases de cada uma das zonas são:
Como as bases foram escolhidas de forma que elas estejam perfeitamente casadas (o leitor pode conferir esta afirmativa), a relação de transformação do trafo ideal representado em pu vai ser unitária, e desta forma ele pode ser retirado do circuito, que se transforma no circuito da figura 12 a seguir.
ZONA Tensão Base (kV)
Potência Base (MVA)
I 2,4 0,1 II 0,24 0,1
I
V1
N : 1RT XT
V2 N2 N1
I1 I2
'2V Z2
RL XL IS
VS
'2I
II
Fig. 11 – Circuito elétrico do exemplo 3 mostrando as duas zonas com diferentes valores de tensão base.
Exemplo 3
Modelos de Transformadores Clever Pereira
18
Colocando-se novamente a tensão na carga na referência tem-se que
puV pu °∠=°∠
= 000,1240
0240)(2
O ângulo da corrente na carga não muda utilizando-se notação pu e vale, como antes
( ) °== 87,368,0cosrca2θ
O módulo da corrente na carga pode ser calculado em pu por
puVS
IIVSpu
pupupupupu 1
24,024,0
1,01,0
)(2
)(2)(2)(2)(2)(2 ===⇒⋅=
Como a corrente está atrasada da tensão, então
puI pu °−∠= 87,361)(2
A potência complexa entregue à carga é de
( )( ) pujpu
IVS pupupu
6,08,087,361
87,36101)( **)(2)(2)(2
+=°∠=
=°−∠⋅°∠=⋅=
confirmando os valores fornecidos no enunciado do exemplo. A tensão '
2V vai ser então de
puVV pupu °∠== 01)(2'
)(2
A corrente '2I vai ser
AII pupu °−∠== 87,361)(2'
)(2
A impedância do trafo ZT está localizada na zona II, cuja impedância base vale
( ) ( )Ω=== 6,57
1,04,2 22
b
bb MVA
kVZ
V1(pu)
RT(pu) XT(pu)
V2(pu)
I1(pu) I2(pu)
')(2 puV Z2(pu)
RL(pu) XL(pu)IS(pu)
VS(pu)
')(2 puI
Fig. 12 – Representação em pu do circuito elétrico do exemplo 3.
Modelos de Transformadores Clever Pereira
19
Então, a impedância do trafo em pu vai ser dada por
pujZZZbase
TpuT °∠=
+== 20,680468,0
6,575,21
)(
Finalmente a tensão V1(pu) nos terminais do trafo pode ser calculada como
pu
IZVV pupuTpupu
°∠=
=°−∠×°∠+°∠=⋅+=
34,1040,1
87,36120,680468,001')(2)(
')(2)(1
O leitor pode conferir com o valor encontrado no exemplo 3 anterior, multiplicando este valor em pu pelo valor base, ou seja
VVVV bpu °∠=⋅°∠=⋅= 34,1515,2496240034,1040,11)(11
(b) A impedância do alimentador em pu vai ser dada por
pujZZZ
b
LpuL °∠=
+== 44,630388,0
6,5721
)(
A tensão no extremo emissor do alimentador vai ser dada por
( ) ( )( ) pujV
IZVV pupuLpupu
0417,00747,122,20755,1
87,36144,630388,034,1040,1)(1)()(1)(S
+=°∠=
=°−∠⋅°∠+°∠=⋅+=
O leitor pode novamente conferir com o exemplo 3 o valor da tensão em volts, multiplicando o valor em pu encontrado pelo valor base, ou seja
VVVV bpuSS °∠=⋅°∠=⋅= 22,2105,2581240022,2076,1)(
A solução do circuito é mostrada na figura 13 abaixo
Percebe-se claramente como o problema ficou mais simples de se resolver. Fica a cargo do leitor resolver os itens (c), (d) e (e) utilizando a notação em pu.
Fig. 13 – Solução do circuito elétrico do exemplo 3 em pu.
0,0174 pu j 0,0434 pu 1∠-36,87° pu
j 0,0347 pu
1∠0° pu 1∠0° pu
1,040∠1,34° pu
1∠-36,87° pu
Z2
0,0174 pu
1,0755∠2,22° pu
Modelos de Transformadores Clever Pereira
20
Resolver o item (a) do exemplo 2, admitindo como bases nos lados de alta e de baixa os seguintes valores respectivamente: (a) (100 kVA; 2400 V) e (100 kVA; 480 V); (b) (500 kVA; 2400 V) e (500 kVA; 480 V);
Solução
(a) A figura 27 abaixo mostra o circuito equivalente do trafo do exemplo anterior em pu, enfatizando o fato de que, uma vez que as bases não estão perfeitamente casadas, a relação de tensão do trafo ideal não vai ser unitária.
A relação de tensão do trafo em pu NV(pu) vai ser dada por
25
1048024002402400
2121
2'
2
22
1'
2
)(2
')(2
)( =======bb
V
bbb
b
pu
pupuV VV
NVVVV
VVVV
VV
N
A figura 15 mostra o circuito a ser analisado, destacando a presença do trafo ideal, mesmo em pu.
A resistência e a reatância do trafo estão no circuito de alta tensão (lado 1 do trafo), onde as bases são (100 kVA; 2400 V). Desta forma, a impedância base neste circuito vai ser
XT(pu)
V1(pu)
NV(pu) : 1RT(pu)
V2(pu)'
)(2 puV
Fig. 14 – Circuito equivalente do trafo do exemplo 4 em pu, mostrando a presença do trafo ideal, mesmo com representação em pu.
Exemplo 4
V1(pu)
NV(pu) : 1RT(pu) XT(pu)
V2(pu)
I1(pu) I2(pu)
')(2 puV Z2(pu)
RL(pu) XL(pu) IS(pu)
VS(pu)
')(2 puI
Fig. 15 – Circuito elétrico do exemplo 5.
Modelos de Transformadores Clever Pereira
21
( ) ( )
Ω=== 6,571,04,2 22
b
bb MVA
kVZ
e seus valores em pu serão
pujZZZbase
TpuT °∠=
+== 20,680468,0
6,575,21
)(
O leitor pode reparar que o resultado é o mesmo do exemplo anterior, uma vez que as bases de potência e tensão são as mesmas, e assim, o valor em pu da impedância do alimentador também vai ser o mesmo, ou seja
pujZZZ
b
LpuL °∠=
+== 44,630388,0
6,5721
)(
Como antes, o transformador está entregando potência nominal à carga, com um fator de potência de 0,8 atrasado e tensão nominal secundária. Desta forma
=Φ==
indkVAPVV
8,0cos100240
2
2
2
A carga Z2(pu) está num circuito onde os valores bases são (100 kVA; 480 V). Desta forma
°−=−=Φ
===
===
87,36)8,0cos(
1100100
5,0480240
2
2
2)(2
2
2)(2
ar
pukVAkVA
SSS
puVV
VV
V
bpu
bpu
O módulo da corrente I2(pu) vai ser dado por
puVS
Ipu
pupu 2
5,01
)(2
)(2)(2 ===
Assim
°−∠=
°∠=
puI
puV
pu
pu
87,362
05,0
)(2
)(2
Modelos de Transformadores Clever Pereira
22
No lado de alta vai ser
°∠=⋅°∠=⋅=
°∠=⋅°∠=⋅=
puNII
puNVV
puIpupu
puVpupu
015,002
01205,0
)()(2'
)(2
)()(2'
)(2
A tensão V1(pu) nos terminais do trafo pode ser calculada como
pu
IZVV pupuTpupu
°∠=
=°−∠×°∠+°∠=⋅+=
34,1040,1
87,36120,680468,001')(2)(
')(2)(1
A tensão VS(pu) na fonte vai ser
( ) ( )( ) pujV
IZVV pupuLpupu
0417,00747,122,20755,1
87,36144,630388,034,1040,1)(1)()(1)(S
+=°∠=
=°−∠⋅°∠+°∠=⋅+=
O leitor pode conferir que os resultados das tensões e das correntes em pu no lado de alta são os mesmos do exemplo 3. Isto se deve porque as bases do lado de alta também são as mesmas do exemplo anterior.
Fig. 16 – Solução do circuito elétrico do exemplo 5.
2 : 1 2∠-36,87° pu
0,5∠0° pu 1∠0° pu 1,040∠1,34° pu
1∠-36,87° pu
Z2
0,0174 pu
1,0755∠2,22° pu
0,0174 pu j 0,0347 pu j 0,0434 pu
Modelos de Transformadores Clever Pereira
23
Seja um trafo monofásico com os seguintes dados:
Ω=Ω=Ω==Ω=Ω==
==
125,0125,0500822000
1001200
2222
111
1
ZXRespirasNXRespirasN
kVASVV nomnom
Aplicando-se a tensão nominal no enrolamento de alta, pede-se determinar a tensão no secundário V2 e a regulação de tensão Reg(%), desprezando-se a corrente de excitação, utilizando: (a) o circuito equivalente em ohms e o conceito de impedância
referida; (b) o circuito equivalente em pu com bases iguais aos valores
nominais do trafo.
Solução
(a) Pelos dados do problema, o circuito equivalente do trafo em ohms, desprezando-se o circuito de excitação, é mostrado na figura 17 ao abaixo.
O circuito equivalente com todas as impedâncias referidas ao lado de alta é mostrado na figura 18 ao lado, onde todas as impedâncias do lado de baixa foram multiplicadas pela relação de transformação do trafo ao quadrado ( N2 = 16 ).
A tensão na carga, referida ao primário, pode ser calculada por
( ) Vj
V °−∠=×++
= 67,4613,11711200164192
192'2
Exemplo 5
Fig. 17 – Circuito elétrico do exemplo 5.
12 Ω
4 : 12 Ω j 8 Ω I1
V1=1200 V
0,125 Ω
j 0,5 Ω I2
V25002000
Fig. 18 – Circuito equivalente do exemplo 5.
192 Ω
2 Ω j 8 Ω I1
V1=1200 V
2 Ω
j 8 Ω I2
'2V
Modelos de Transformadores Clever Pereira
24
A tensão na carga, referida ao secundário vai ser então de
VNVV
V
°−∠=°−∠
== 67,4903,2924
67,4613,1171'2
2
A regulação de tensão é definida como a variação da tensão no secundário quando se passa da condição a vazio para a condição de carga, em relação à tensão nominal. Assim
( ) %37,2%100300
903,292300%100%2
)(2)(2 =×−
=×−
=nom
FLNL
VVV
Reg
Ou seja, a tensão cai 2,37% em relação à tensão nominal quando se aplica uma carga de 12 Ω no secundário do trafo. O leitor pode calcular qual é a regulação de tensão para uma carga nominal no secundário, com fator de potência unitário.
(b) Utilizando o circuito equivalente do trafo em pu, deve-se inicialmente estabelecer as bases nos dois lados do trafo. Tomando as bases iguais aos valores nominais de cada um dos enrolamentos, tem-se que
==
==
kVASVV
kVASVV
b
b
b
b
100300
1001200
1
2
1
1 e
Estas bases estão perfeitamente casadas, e desta forma, o trafo ideal em pu vai ter relação unitária. Os valores das impedâncias bases para os dois lados serão
Ω==Ω== 9,0100000
3004,141000001200 2
2
2
1 bb ZZ e
Assim, os valores das impedâncias em cada lado do trafo vão ser
==
==
==
==
==
puZ
puX
puR
puX
puR
333,139,0
12
556,09,05,0
139,09,0
125,0
556,04,14
8
139,04,14
2
2
2
2
1
1
e
Modelos de Transformadores Clever Pereira
25
A tensão aplicada no primário em pu vai ser de
puV 112001200
1 ==
e o circuito equivalente em pu vai ser o circuito mostrado na figura 19 a seguir.
Como o trafo ideal possui relação unitária (bases perfeitamente casadas), ele pode ser retirado do circuito, resultando o circuito equivalente da figura 20 abaixo.
A tensão na carga pode ser calculada por
( ) puj
V pu °−∠=×++
= 67,49763,000,1112,1278,0333,13
333,13)(2
A tensão na carga vai ser então de
puVVV bpu °−∠=×°−∠=×= 67,4903,29230067,49763,02)(22
repetindo o valor encontrado em (a). Fica a cargo do leitor efetuar os cálculos restantes, relativos à regulação de tensão.
Fig. 19 – Circuito elétrico do exemplo 5 em pu.
13,333 pu
1 : 10,139 pu j 0,556 puI1(pu)
V1(pu)=1 pu
0,139 pu I2(pu)
V2(pu)
j 0,556 pu
==
kVASVV
b
b
1001200
1
1
==
kVASVV
b
b
100300
2
2
Fig. 20 – Circuito elétrico do exemplo 5 em pu sem o trafo ideal.
13,333 pu
0,139 pu j 0,556 pu I1(pu)
V1(pu)=1,00 pu
0,139 puI2(pu)
V2(pu)
j 0,556 pu
==
kVASVV
b
b
1001200
1
1
==
kVASVV
b
b
100300
2
2
Modelos de Transformadores Clever Pereira
26
Seja um trafo monofásico com os seguintes dados:
Ω==Ω==
==
5,050082000
1001200
22
11
1
XespirasNXespirasN
kVASVV nomnom
Determinar seu circuito equivalente, desprezando-se as perdas e o circuito de excitação: (a) em Ωs; (b) em Ωs com todas reatâncias de dispersão referidas ao lado de
alta; (c) em Ωs com todas reatâncias de dispersão referidas ao lado de
baixa; (d) em pu, com bases (1200 V, 100 kVA) e (300 V, 100 kVA); (e) em pu, com bases (1200 V, 100 kVA) e (600 V, 100 kVA);
Solução
(a) O circuito equivalente do trafo em ohms, desprezando-se o circuito de excitação, é mostrado na figura 21 abaixo.
(b) Referindo as reatâncias de dispersão ao lado de alta fica
Fig. 22 – Circuito equivalente do trafo do exemplo 6 com reatâncias de dispersão referidas ao lado de alta.
j 8 Ω I1
V1
j 8 Ω I2
V2
4 : 1 I1
V1
j 16 Ω I2
V2
4 : 1
Fig. 21 – Circuito equivalente do trafo do exemplo 6.
4 : 1j 8 Ω I1
V1
j 0,5 Ω I2
V25002000
Exemplo 6
Modelos de Transformadores Clever Pereira
27
(c) Referindo as reatâncias de dispersão ao lado de baixa fica
(d) As bases pedidas nos lados de alta e baixa são
respectivamente (1200 V, 100 kVA) e (300 V, 100 kVA). Estes também são os valores nominais do trafo. Desta forma estes dois pares de base estão perfeitamente casados. Assim sendo, o trafo ideal em pu vai ter relação unitária. As impedâncias base do lado de alta e de baixa vão ser
Ω==Ω== 9,0100000
3004,141000001200 2
2
2
1 bb ZZ e
Desta forma, os valores das reatâncias de dispersão, referidas respectivamente ao lado de alta ou ao lado de baixa serão
puXpuX TT 111,19,0
1111,14,14
16==== ou
O leitor deve reparar que o valor em pu da reatância de dispersão total do trafo foi obtido através da divisão do seu valor ôhmico pelo valor da base de impedância relativa ao circuito onde se considera a reatância. A figura 24 a seguir mostra os circuitos equivalentes em pu.
Fig. 24 – Circuito equivalente do trafo do exemplo 6 em pu com bases perfeitamente casadas..
==
kVASVV
b
b
1001200
1
1
==
kVASVV
b
b
1001200
1
1
V1(pu)
j 1,111 pu I1(pu)
V2(pu)
1 : 1 I2(pu)
V1(pu)
j 1,111 pu I1(pu)
V2(pu)
1 : 1 I2(pu)
==
kVASVV
b
b
100300
1
1
==
kVASVV
b
b
1001200
1
1
==
kVASVV
b
b
100300
1
1
j 1,111 pu
V2(pu)
I2(pu)
==
kVASVV
b
b
100300
1
1
I1(pu)
V1(pu)
Fig. 23 – Circuito equivalente do trafo do exemplo 6 com reatâncias de dispersão referidas ao lado de baixa.
I1
V1
j 1 Ω I2
V2
4 : 1
Modelos de Transformadores Clever Pereira
28
(e) Para bases de (1200 V, 100 kVA) e (600 V, 100 kVA) respectivamente nos lados de alta e baixa, a condição de bases perfeitamente casadas não é atendida. Desta forma, o trafo ideal em pu não vai ter relação unitária, mas sim de
224
60012003001200
21)( ====
bb
VpuV VV
NN
Assim sendo, as impedâncias bases do lado de alta e de baixa, vão ser respectivamente
Ω==Ω== 6,3100000
6004,141000001200 2
2
2
1 bb ZZ e
Desta forma, os valores das reatâncias de dispersão, referidas ao lado de alta ou ao lado de baixa serão respectivamente
puXpuX TT 278,06,3
1111,14,14
16==== ou
O leitor deve novamente reparar que o valor em pu da reatância de dispersão total do trafo foi obtido através da divisão do seu valor ôhmico pelo valor da base de impedância, do circuito no qual se considera a reatância. A figura 25 a seguir mostra os circuitos equivalentes em pu com a reatância referida ao lado de alta e de baixa respectivamente.
Fig. 25 – Circuito equivalente do trafo do exemplo 6 em pu com bases não perfeitamente casadas..
V1(pu)
j 1,111 pu I1(pu)
V2(pu)
2 : 1 I2(pu)
V1(pu)
j 0,278 pu I1(pu)
V2(pu)
2 : 1 I2(pu)
==
kVASVV
b
b
1001200
1
1
==
kVASVV
b
b
100600
1
1
==
kVASVV
b
b
1001200
1
1
==
kVASVV
b
b
100600
1
1
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29
5. AUTOTRANSFORMADOR MONOFÁSICO
Para o desenvolvimento deste item, vai ser considerado inicialmente um trafo ideal, associado ao autotransformador a ser analisado, de relação de transformação NT dada por:
2
1
2
1
VV
NNNT == (27)
Este trafo ideal vai ser ligado como um autotransformador ideal, como mostra a figura 26 abaixo, onde VH e VL são suas tensões terminais de alta e de baixa respectivamente, enquanto IH e IL são suas correntes terminais.
Nas expressões que se seguem, os subscritos A e T se referem respectivamente ao autotransformador e ao transformador associado. Este transformador ideal, quando ligado como um autotransformador, possui as seguintes propriedades: • Relação de Tensão do Autotransformador
A relação de tensão NA de um autotransformador é dada pela relação entre as suas tensões terminais VH e VL, ou seja
112
1
2
21 +=+=+
== TL
HA N
VV
VVV
VVN (28)
onde NT é a relação de transformação ou de tensão do transformador ideal associado.
I2
I1
VH
VL
V1
V2
IL
IH
Fig. 26 – Autotransformador ideal.
Modelos de Transformadores Clever Pereira
30
• Relação de Corrente
A relação de corrente de um autotransformador ideal é dada pela relação entre as correntes terminais, ou seja
ATL
H
NNII
IIIII
III 1
11
1
11
1
2
1
2121
1 =+
=+
=+
=+
= (29)
O leitor pode perceber que as propriedades relativas às transformações de tensão e de corrente de um autotransformador ideal são análogas às propriedades de um transformador ideal.
• Relação de Potência
A relação de potência de um autotransformador ideal é dada pela relação entre as potências de entrada e de saída, ou seja
11**
*
*
*
*
=
⋅=
⋅=⋅=
⋅⋅
=A
AL
H
L
H
L
H
L
H
LL
HH
L
H
NN
II
VV
II
VV
IVIV
SS
(30)
O leitor pode perceber que a propriedade relativa à transformação de potência de um autotransformador ideal é também análoga à mesma propriedade de um transformador ideal.
• Relação entre Potências de um Autotransformador Ideal e de
um Trafo Associado
A potência total de um autotransformador ideal, independente do terminal que se mede é dada por
( ) *11
*11
*12
*11
*121
* 111 IVN
NIVN
IVIVIVVIVSST
T
THHHA ⋅⋅
+=⋅⋅
+=⋅+⋅=⋅+=⋅== (31)
ou seja
TA
AT
T
T
T
THA S
NNS
NNS
NNSS ⋅
−=⋅
+=⋅
+==
111
1 (32)
Modelos de Transformadores Clever Pereira
31
A equação (32) acima mostra que para relações de transformação NA próximas de 1, mas nunca igual a 1 (o leitor deve saber explicar o porque desta restrição), o ganho de potência de um autotransformador em relação ao transformador associado é muito grande. Também mostra que se NA for muito grande, este ganho tende assintoticamente para 1. Esta constatação pode ser vista do ponto de vista do transformador associado. Assim, o ganho de potência vai ser tanto maior quanto maior for a relação de transformação (ou de tensão) do trafo associado.
Esta expressão mostra pois que os maiores ganhos em se utilizar autotransformadores vão ser obtidos em aplicações práticas onde as diferenças entre as tensões do lado de alta e do lado de baixa sejam pequenas. Isto ocorre com freqüência nos sistemas elétricos em situações onde se deseja interligar dois sistemas de transmissão de níveis de tensão próximos, como por exemplo, um sistema de 500 kV com outro de 345 kV. Para este caso tem-se
23,3145,1
45,11
45,1345500
=−
=−
===A
A
T
AA N
NSSN e
Outro caso também muito comum diz respeito à interligação de um sistema de transmissão com outro sistema de subtransmissão, como por exemplo um sistema de transmissão de 230 kV com um sistema de subtransmissão de 138 kV. Neste caso tem-se que
5,2167,1
67,11
67,1138230
=−
=−
===A
A
T
AA N
NSSN e
Convém notar que nestas interligações o benefício do isolamento galvânico entre o sistema de alta e o sistema de baixa, obtido com a utilização de um trafo, não se faz tão necessário, tem em vista que ambos os sistemas são de alta tensão. No entanto, deve-se dotar o autotransformador de um sistema de proteção contra possíveis falhas que poderiam transferir diretamente os níveis de tensão do seu lado de alta para o seu lado de baixa.
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32
• Análise Comparativa da Utilização de um Autotransformador e de um Transformador numa mesma aplicação.
Uma outra análise interessante é a comparação direta entre um transformador e um autotransformador utilizados numa mesma aplicação. Considere pois os circuitos abaixo, relativos respectivamente a um transformador e a um autotransformador, que deverão ser utilizados numa mesma aplicação prática.
Como a aplicação é a mesma deve-se ter as seguintes relações
=+==
=
==
+==
L
baL
L
H
H
baH
SSIIII
VV
SSII
VVVV
2
2
2
1
1
1
e (33)
TRANSFORMADOR AUTOTRANSFORMADOR Cada um dos enrolamentos deve ser capaz de desenvolver toda a potência
Os dois enrolamentos desenvolvem em conjunto toda a potência
NO PRIMÁRIO V1 elevado
⇓ Maior isolamento
⇓ Maiores gastos com material para o
isolamento
VH = Va + Vb também elevado ⇓
Va e Vb não tão elevados ⇓
Menores gastos com o material para o isolamento
NO SECUNDÁRIO I2 elevado
⇓ Altas bitolas dos cabos
⇓ Maiores gastos com cobre
IL = Ia + Ib também elevado ⇓
Ia e Ib não tão elevados ⇓
Menores gastos com cobre
Fig. 27 – Transformador e autotransformador a serem utilizados numa mesma aplicação prática.
I2
V1 V2
I1
N1 N2 Ib
Ia
VH
VL
Va
Vb
IL
Na
Nb
IH
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33
Para finalizar a comparação cabe ainda lembrar que o secundário de um autotransformador é obtido através de um tap no seu enrolamento que é único, representando uma maior economia. No entanto, em situações onde os níveis de tensão são bem diferentes, como por exemplo, em subestações de usinas hidrelétricas, onde os geradores trabalham com tensões nominais da ordem de 2 a 20 kV e as tensões de transmissão são da ordem de 230 a 765 kV, não se utilizam autotransformadores.
Um trafo monofásico de 30 kVA, 240/120 V, é ligado como um autotransformador com polaridades aditivas. Aplicando a tensão nominal no enrolamento de baixa tensão e carga de maneira que haja circulação de correntes nos enrolamentos, determinar a tensão VH e a potência nominal do autotransformador.
Solução
No circuito equivalente ao lado tem-se que
VVV L 1202 ==
resultando numa relação de tensão para o autotransformador de
311202401
2
21 =+=+=+
== TL
HA N
VVV
VVN
Desta forma
VVNV LAH 3601203 =⋅=⋅=
A potência nominal do autotransformador será
TT
TT
TTT
HHA
SN
NSN
IVN
INVIV
IVIVIVVIVS
⋅+
=⋅
+=⋅⋅
+=⋅+⋅=
=⋅+⋅=⋅+=⋅=
11111
)(
*11
*1
1*11
*12
*11
*121
*
Substituindo os valores numéricos, resulta
kVASSN
NS TTT
TA 45305,1
2121
=×=⋅+
=⋅+
=
Exemplo 7
Fig. 28 – Autotransformador do exemplo 7.
I2
I1
VH
VL
V1
V2
IL
Na
Nb
IH
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34
6. TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS DE 3 ENROLAMENTOS
Neste item, o sobrescrito n, sendo n = p, s ou t, vai ser utilizado para indicar o enrolamento para o qual uma determinada impedância está referida ou foi medida. Assim, indica uma impedância do enrolamento primário referida ao ou medida no enrolamento secundário. A figura a seguir mostra os passos para se obter o circuito equivalente de um trafo monofásico de três enrolamentos em pu. A figura 29.a mostra o diagrama de um trafo monofásico de três enrolamentos: primário (p), secundário (s) e terciário (t). A figura 29.b mostra o circuito equivalente deste trafo, desprezado o circuito de excitação e com as impedâncias de cada enrolamento, compostas pelas resistências e reatâncias de dispersão referidas ao seu respectivo enrolamento. A figura 29.c mostra o mesmo circuito anterior com todas as impedâncias referidas ao primário. A figura 29.d mostra o circuito equivalente em pu com as bases devidamente casadas, de modo a resultar trafos ideais com relações unitárias. Notar que neste caso não é necessário indicar a qual lado as impedâncias estão referidas.
s'
Vs
Vt
Vp
p
p'
s
t'
t s'
Vs
Vt
s
t'
t
p
p'
Vp
p
p'
Vp s'
Vs
Vt
s
t'
t
p
p'
Vp s'
Vs
Vt
s
t'
t
(a)
(b)
(c) (d)
Fig. 29 – Trafo de monofásico de 3 enrolamentos: (a) diagrama esquemático, (b) e (c) circuitos equivalentes em Ωs, (d) circuito equivalente em pu.
ppZ
ssZ
ttZ
psZ
ptZ
ppZ)( pupZ
)( pusZ
)( putZ
spZ
Modelos de Transformadores Clever Pereira
35
• Testes de curto-circuito
A determinação das resistências e das reatâncias de dispersão de cada enrolamento pode ser efetivada através de testes de curto-circuito. Eles são executados energizando um dos lados do trafo, curto-circuitando um outro e deixando um terceiro aberto, a vazio. Por se tratar de teste de curto-circuito, a energização deve ser feita com cuidado de forma a não ultrapassar a corrente nominal. Repetindo-se o procedimento três vezes são calculadas três impedâncias, a saber , dadas por
+=
+=
+=
st
ss
sst
pt
pp
ppt
ps
pp
pps
ZZZ
ZZZ
ZZZ
(34)
onde
As equações (34) formam um sistema de três equações e três incógnitas. No entanto, a terceira impedância está sendo medida no lado s e não pode ser contabilizada nesta forma. Para se resolver o sistema, ela deve ser primeiro referida ao lado p na forma
sst
s
ppt
ps
pst Z
NN
ZZZ ⋅
=+=
2
(35)
Em seguida, o sistema pode ser resolvido para as três incógnitas , todas elas referidas ao lado p, resultando
( )
( )
( )
−+=
−+=
−+=
pps
ppt
pst
pt
ppt
pst
pps
ps
pst
ppt
pps
pp
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
212121
(36)
Estas impedâncias estão mostradas na figura 29.c anterior
• ppsZ : impedância medida no lado p com s curto-circuitado.
• pptZ : impedância medida no lado p com t curto-circuitado.
• sstZ : impedância medida no lado s com t curto-circuitado.
sst
ppt
pps ZZZ e,
pt
ps
pp ZZZ e,
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36
Um trafo monofásico de três enrolamentos possui os seguintes valores nominais
Foram efetuados testes de curto-circuito tendo sido medidas as seguintes impedâncias
Calcular as reatâncias de dispersão dos três enrolamentos deste transformador, desprezando as suas resistências, em razão da ausência de dados wattimétricos.
Solução
Uma vez que não se dispõe de dados wattimétricos, as resistências dos enrolamentos vão ser desprezadas. Esta hipótese não conduz a erros consideráveis uma vez que as resistências dos enrolamentos de um trafo de potência possuem baixos valores quando comparados às suas impedâncias ou reatâncias (da ordem de 2% a 5%). Para resolver este programa vão ser adotadas bases de tensões iguais às tensões nominais em cada um dos enrolamentos e bases de potência iguais a 15 MVA em todos os três enrolamentos. Desta forma, as bases estarão perfeitamente casadas e os trafos ideais em pu terão relações de tensão unitárias e poderão ser retirados do circuito equivalente em pu. As impedâncias foram medidas no primário e já se encontram expressas nas bases apropriadas, ou seja, 66 kV e 15 MVA no primário. No entanto é necessário mudar a base de
%7=ppsZ nas bases de 15 MVA e 66 kV
%9=pptZ nas bases de 15 MVA e 66 kV
%8=sstZ nas bases de 10 MVA e 13,2 kV ← medida no secundário
← medidas no primário
Primário: 66 kV, 15 MVA
Secundário: 13,2 kV; 10 MVA
Terciário: 2,3 kV; 5 MVA
Valores Nominais
Primário: 66 kV, 15 MVA
Secundário: 13,2 kV; 10 MVA
Terciário: 2,3 kV; 5 MVA
Exemplo 8
pps
pps ZZ e
Modelos de Transformadores Clever Pereira
37
potência de de 10 MVA para 15 MVA. Por outro lado, a base de tensão de 13,2 kV já está casada, pois obedece a relação de transformação do primário para o secundário deste trafo. A expressão para a mudança de bases pode ser obtida lembrando-se que o valor ôhmico de uma determinada impedância é único em um determinado ponto do circuito e não depende das bases consideradas para aquele ponto do circuito. Assim
2211 )()()( bb ZpuZZpuZZ ⋅=⋅=Ω (37)
onde Zk(pu) é o valor em pu da impedância Z no par de bases k, Vbk e Sbk. Desta forma o novo valor em pu, no par de bases 2, dado o valor antigo em pu, no par de bases 1, vai ser
1
2
2
2
11
2
112 )()()(
b
b
b
b
b
b
MVAMVA
kVkVpuZ
ZZpuZpuZ ⋅
⋅=⋅= (38)
Substituindo os valores do problema na expressão (38) vem que
pst
pst XZ ==⋅= %12
10158 (39)
Desta forma, os valores das reatâncias de dispersão vão ser
=−+=−+=
=−+=−+=
=−+=−+=
%7)7912(21)(
21
%5)9127(21)(
21
%2)1297(21)(
21
pps
ppt
pst
pt
ppt
pst
pps
ps
pst
ppt
pps
pp
XXXX
XXXX
XXXX
(40)
A figura (30) a seguir mostra o circuito equivalente em pu para o trafo monofásico de três enrolamentos.
sstZ
p
p'
Vp s'
Vs
Vt
s
t'
t
puj 02,0
puj 05,0
puj 07,0
MVAkV
1566
MVAkV
153,2
MVA
kV15
8,13
Fig. 30 – Circuito equivalente em pu do trafo de 3 enrolamentos do exemplo 8.
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38
7. TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS
A análise de trafos trifásicos ou bancos trifásicos de trafos monofásicos é basicamente uma extensão da análise feita para os trafos monofásicos. Neste item eles vão continuar sendo considerados operando em regime permanente senoidal na freqüência de serviço, executando suas funções normais de elevação ou abaixamento de tensão. Embora em regime permanente senoidal equilibrado os trafos trifásicos e os bancos trifásicos de trafos monofásicos operem de maneira idêntica, sua operação em sistemas desequilibrados é diferente e por isto vão ser considerados de maneira individual. Os transformadores trifásicos possuem dois tipos básicos de construção: os de núcleo envolvente (shell type) e os de núcleo envolvido (core type). Os trafos trifásicos de núcleo envolvente são em geral unidades mais antigas de grande potência. Por sua vez, os trafos trifásicos de núcleo envolvido são unidades mais modernas e de potências variadas. As figuras 31.a e 31.b abaixo mostram os diagramas básicos destes dois tipos construtivos de trafos trifásicos. Elas mostram também a distribuição dos fluxos de seqüência positiva (ou negativa) nestes dois tipos de trafos. Por se tratarem de fluxos equilibrados, a soma deles é nula e desta forma, eles ficam totalmente confinados ao núcleo do trafo trifásico, não importando o tipo de construção, demandando por isto, baixas correntes de magnetização para as seqüências positiva e negativa. O leitor deve notar que nos trafos de núcleo envolvente o enrolamento da perna central é enrolado de maneira diferente dos enrolamentos das pernas laterais.
Fig. 31 – Diagramas construtivos de trafos trifásicos e circulação das componentes de seqüência
positiva dos fluxos: (a) núcleo envolvido; (b) núcleo envolvente.
Φa1 Φb1 Φc1
Φa1 Φb1 Φc1
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39
As figuras 32.a e 32.c abaixo mostram as distribuições dos fluxos de seqüência zero para os trafos trifásicos de núcleo envolvido e envolvente respectivamente. Para os trafos de núcleo envolvido, uma vez que estão em fase e possuem o mesmo valor eficaz, estes fluxos não conseguem fechar os seus circuitos magnéticos restritamente pelo núcleo. Neles, o caminho magnético é formado também pelo óleo e pela carcaça. Isto requer elevadas correntes de magnetização, fazendo com que a reatância de magnetização de seqüência zero possua baixos valores. Já nos trafos de núcleo envolvente, os fluxos de seqüência zero se mantêm totalmente confinados ao núcleo. No entanto, devido à sua distribuição assimétrica, vão existir locais (pernas centrais verticais) onde as densidades de campo magnético vão ser duas vezes maiores, podendo conduzir o núcleo à saturação, caracterizando também baixos valores para a reatância de magnetização. As figuras 32.b e 32.d mostram as curvas da reatância de magnetização de seqüência zero em função da tensão de seqüência zero presente no ramo de magnetização para estes dois tipos de trafos.
Φa0 Φb0 Φc0
Φa0 Φb0 Φc0
(a)
(b)
(c) (d)
Fig. 31 – Distribuição dos fluxos de seqüência zero e reatância de magnetização para trafos trifásicos de núcleo envolvido e núcleo envolvente.
Va0 (%)
Va0 (%)
Xm
0 (%
) X
m0 (
%)
Modelos de Transformadores Clever Pereira
40
Independentemente de qual possa ser o tipo de trafo trifásico presente na instalação, cabe ao fabricante fornecer os valores das reatâncias de dispersão e os gráficos das reatâncias de magnetização, bem como os valores das resistências dos enrolamentos e de perdas no ferro. Estes valores podem ser levantados por testes de curto-circuito e a vazio, que fogem ao escopo deste texto, podendo ser encontrados em textos especializados em trafos.
Estes problemas não ocorrem para os bancos trifásicos de trafos monofásicos. Por se tratarem de unidades independentes, os fluxos magnéticos de qualquer seqüência vão sempre fechar o circuito magnético correspondente apenas pelo núcleo. Também não haverá locais onde a densidade magnética é mais elevada, não caracterizando assimetria em nenhuma das partes do núcleo e, desta forma, não havendo possibilidade de aparecerem pontos específicos saturados no núcleo. Isto implica em circuitos de seqüência idênticos, geralmente caracterizados por elevadas impedâncias no ramo de excitação.
A melhor maneira para se determinar os circuitos equivalentes para cada uma das seqüências para bancos trifásicos de trafos monofásicos é a partir de um exemplo.
Considere um trafo monofásico cuja potência nominal é de 10 MVA, tensões nominais de 127/18 kV e reatância de dispersão de 10% nas bases iguais aos valores nominais deste trafo. (a) Determinar os circuitos equivalentes em Ωs e em pu para este
trafo, considerando como bases seus valores nominais.
Neste ponto, já deve ter ficado claro ao leitor que, sempre que se considerar como bases os valores nominais de um determinado trafo, elas vão estar perfeitamente casadas. Desta forma, os circuitos equivalentes vão apresentar trafos ideais de relação de transformação unitária e a reatância em pu vai ser simplesmente a reatância fornecida pelo fabricante (em geral presente na placa de identificação do equipamento).
Exemplo 9
Modelos de Transformadores Clever Pereira
41
As figuras 32 e 33 a seguir mostram os circuitos equivalentes em pu para o trafo do exemplo 9, com as reatâncias referidas ao lado de alta e de baixa respectivamente.
Como a relação de transformação dos trafos ideais é unitária, eles podem ser retirados do circuito, tornando irrelevante a especificação do enrolamento ao qual estão referidas as reatâncias, resultando num único circuito equivalente, mostrado na figura 34. Deve pois ficar claro ao leitor que em um circuito equivalente em pu com bases perfeitamente casadas é completamente improcedente perguntas do tipo: a qual lado ou a qual enrolamento está referida determinada impedância?
Quando se deseja conhecer o circuito equivalente em Ωs faz-se necessário o cálculo das impedâncias base.
VL(pu) VH(pu)
pujX pu 1,0)( =
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
10
18
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
10
127
Fig. 34 – Circuito equivalente em pu sem o trafo ideal de relação unitária.
VL(pu) VH(pu)
1 : 1 pujX L
pu 1,0)( =
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
10
18
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
10
127
Fig. 33 – Circuito equivalente em pu com reatância referida ao lado de baixa
VL(pu) VH(pu)
1 : 1 pujX H
pu 1,0)( =
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
10
18
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
10
127
Fig. 32 – Circuito equivalente em pu com reatância referida ao lado de alta
Modelos de Transformadores Clever Pereira
42
As figuras 35 e 36 mostram os circuitos equivalentes deste trafo monofásico em Ωs, com as reatâncias referidas ao lado de alta e de baixa respectivamente.
(b) Considere a conexão de três destes trafos monofásicos na forma de um banco trifásico com ligação Yd11, ou seja
Determinar os circuitos equivalentes trifásicos e por fase, em Ωs. Determinar os mesmos circuitos equivalentes em pu, considerando bases iguais aos valores nominais do banco trifásico de trafos monofásicos.
A notação Yd11 é utilizada na norma alemã para ligações Y-∆ de trafos trifásicos. Ela indica que:
• Os enrolamentos de alta (terminais marcados com a letra H) estão ligados em estrela (a letra Y maiúscula indica lado de alta tensão do trafo);
VL(pu) VH(pu)
127 : 18 Ω= 24,3jX L
Fig. 36 – Circuito equivalente em Ωs com reatância referida ao lado de baixa
127 kV
( )
Ω=
⋅=⋅=
⋅=⋅=
24,3
4,321,010181,0
2
2
)()(
L
L
Lb
HbLL
puLb
Lpu
L
X
X
MVAkVXZXX
18 kV
Fig. 35 – Circuito equivalente em Ωs com reatância referida ao lado de alta
VL(pu)VH(pu)
127 : 18 Ω= 29,161jX H
127 kV 18 kV
( )
Ω=
⋅=⋅=
⋅=⋅=
29,161
9,16121,010
1271,02
2
)()(
H
H
Hb
HbH
puHb
Hpu
H
X
X
MVAkVXZXX
Banco 3Φ de trafos 1Φs (10 MVA, 127/18 kV, X = 10%)Ligação Yd11
Modelos de Transformadores Clever Pereira
43
• os enrolamentos de baixa (terminais marcados com a letra X) estão ligados em delta (a letra d minúscula indica lado de baixa tensão do trafo);
• a tensão fase-neutro do terminal X1 (ponteiro das horas) está 30º ou π/6 radianos adiantada em relação à tensão fase-neutro do terminal H1 (ponteiro dos minutos), ou seja, 11 horas.
O esquema de ligações e o diagrama de ligações correspondente à ligação Yd11 são mostrados na figura 37 abaixo. Nesta figura, os enrolamentos de mesmo número pertencem a um mesmo trafo monofásico ou a uma mesma perna em um trafo trifásico e, desta forma, possuem f.e.m’s em fase (de mesma direção e sentido).
A figura 38 a seguir mostra o diagrama de ligações anterior de uma forma mais adequada para se determinas as grandezas nominais do banco trifásico resultante, montado a partir dos três trafos monofásicos. O leitor pode concluir que o banco trifásico, na forma como foi ligado, vai corresponder a um trafo trifásico equivalente de 30 MVA (10 MVA por fase) com tensões nominais de linha de 220/18 kV.
1
23
1’
2’
3’
127 kV 220 kV
18 kV
18 kV
X1
X2
X3
H1
H2
H3
H0
Fig. 38 – Esquema de Ligação Yd11 : determinação das tensões nominais.
Fig. 37 – Ligação Yd11 : Defasagens angulares e Esquema de Ligação.
1
2
3
1’
2’
3’
X1
X2
X3
H1
H2
H3
1’
2’
3’
1
2 3
H1
H2 H3
X1
X2
X3 H0
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44
A seguir, será mostrado que o valor da reatância por fase, ou de seqüência, vai continuar sendo de 10%, com novas bases, correspondentes às novas grandezas nominais do trafo trifásico equivalente, ou seja
O trafo da figura 38, com o lado em delta ligado em estrela equivalente fica como
As defasagens verificadas nas ligações Y-∆ dos trafos trifásicos não são importantes em cálculos de curtos-circuitos ou aplicações relacionadas a fluxo de carga, uma vez que as correntes vão manter os mesmos ângulos em relação às tensões em ambos os lados do trafo. Desta forma, esta defasagem é geralmente desprezada no momento dos cálculos e, caso seja necessário, faz-se as devidas correções ao final. No entanto, neste item, as defasagens vão ser mantidas com o objetivo de se mostrar ao leitor como elas aparecem nos diversos circuitos equivalentes.
Também permanece a notação onde os enrolamentos de mesmo número pertencem a um mesmo trafo monofásico em um banco.
1
23
127 kV 220 kV
X1
X2
X3
H1
H2
H3
H0
Fig. 38 – Esquema de Ligação Yd11 com secundário em estrela equivalente.
1’
2’
3’18 kV
kV°∠303
18
TRAFO 3Φ EQUIVALENTE 30 MVA, 220/18 kV, X = 10% - Ligação Yd11 Novas bases trifásicas: 30 MVA, 220/18 kV Novas bases monofásicas: 10 MVA, 127 /
18/√3 kV
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45
O circuito equivalente, com as impedâncias dos trafos monofásicos referidas ao lado de alta, é mostrado na figura 39.a a seguir. A figura 39.b mostra o mesmo circuito equivalente em pu. Neste caso, por se tratar de circuito trifásico, pode-se trabalhar com pares de bases trifásicas ou monofásicas correspondentes.
Cabe uma observação importante relativa ao valor de tensão de 1 pu indicado nos enrolamentos de baixa. Por se tratar de uma tensão entre fases, a conversão para pu deve ser feita dividindo-se o valor em kV pelo valor base de tensão de linha daquele lado, ou seja, 18 kV.
O lado de baixa, ligado em delta, pode ser representado pela estrela equivalente com neutro isolado, resultando nos circuitos equivalentes da figura 40 a seguir.
Fig. 39 – Circuitos equivalentes em Ωs e em pu para o banco de trafos monofásicos.
Valores base trifásicos
=
=
Φ
Φ
kVV
MVASH
nb
Hb
220
30
)(
)3(
⇓
==
Ω===
puX
MVAkVZ
Hpu
b
bHb
1,09,1612
29,161
9,161230
220
)(
22
X1
X2
X3
1
2
3
2’
3’
1’
127 kV
127 kV
127 kV
18 kV
18 kV
18 kV
j 161,29 Ω
j 161,29 Ω
j 161,29 Ω H1
H2
H3
H0
X1
X2
X3
1
2
3
2’
3’
1’
1 pu
1 pu
1 pu
1 pu
1 pu
j 0,1 pu
j 0,1 pu
j 0,1 pu H1
H2
H3
H0
1 pu
Valores base monofásicos
=
=
Φ
Φ
kVV
MVASH
nb
Hb
127
10
)(
)1(
⇓
==
Ω===
puX
MVAkVZ
Hpu
b
bHb
1,09,1612
29,161
9,161210
127
)(
22
Modelos de Transformadores Clever Pereira
46
Aqui também cabe uma observação semelhante à feita anteriormente para o circuito da figura 39. Como o modelo é em estrela em ambos os lados, as tensões nos enrolamentos de baixa são agora tensões de fase para neutro. Desta forma, a conversão para pu deve ser feita dividindo-se o valor em volts pelo valor base de tensão de fase no lado de baixa, ou seja, 18/√3 kV. O leitor deve notar que a relação de tensão é complexa. No entanto, a relação de corrente não mais pode ser calculada como o inverso da relação de tensão, que continua válida para o módulo, uma vez que a defasagem angular aplicada na tensão de fase é também igualmente aplicada na corrente de fase, de forma a se manter a mesma potência complexa em ambos os lados. Os circuitos equivalentes por fase, em Ωs e em pu podem ser obtidos diretamente a partir dos circuitos em Ωs e em pu da figura 40 anterior, uma vez que todas as tensões do circuito estão agora referidas em relação ao neutro. Estes circuitos estão mostrados nas figuras 41.a e 41.b a seguir e são também os circuitos equivalentes para a seqüência positiva.
Fig. 40 – Circuitos equivalentes em Ωs e em pu para o banco de trafos monofásicos com lado de baixa em estrela.
1
2
3
2’
3’
1’
1 pu
1 pu
j 0,1 pu
j 0,1 pu
j 0,1 pu H1
H2
H3
H0
1 pu
X1
X2
X3
pu°∠301
pu°∠301
pu°∠301
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
10
127
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
30
220
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
10
318
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
30
18
1
2
3
2’
3’
1’
127 kV
127 kV
127 kV
j 161,29 Ω
j 161,29 Ω
j 161,29 Ω H1
H2
H3
H0
X1
X2
X3
kV°∠303
18
kV°∠303
18
kV°∠303
18
Modelos de Transformadores Clever Pereira
47
Uma vez que os caminhos dos fluxos magnéticos são idênticos para as três seqüências, o leitor pode concluir que os circuitos de seqüência negativa e de seqüência zero serão iguais aos circuitos da figura 41. No entanto, em razão das diferentes defasagens existentes em cada uma das seqüências, na seqüência negativa, a defasagem entre as tensões vai ser de –30º e na seqüência zero não haverá defasagem nenhuma.
Como já mencionado, estas defasagens angulares podem ser desprezadas e, desta forma, o circuito da figura 41.b se resume no circuito da figura 42.a abaixo. Retirando-se o trafo ideal de relação de tensão unitária desta figura, chega-se finalmente ao circuito equivalente por fase, ou de seqüência positiva, em pu para o banco trifásico de trafos monofásicos, mostrado na figura 42.b a seguir.
(a) (b)
Fig. 42 – Circuitos equivalentes por fase de trafo trifásico em pu.
1 pu
j 0,1 pu
VX(pu)VH(pu) 1 pu
j 0,1 pu
VX(pu)VH(pu)
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
10
127
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
30
220
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
10
127
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
30
220
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
10
318
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
30
18
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
10
318
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
30
18
127 kV
j 161,29 Ω
VH 1 pu
j 0,1 pu
VX(pu)kV°∠303
18 pu°∠301 VH(pu)VX
(a) (b)
Fig. 41 – Circuitos equivalentes por fase de trafo trifásico em Ωs e em pu.
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
10
127
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
30
220
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
10
318
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
30
18
Modelos de Transformadores Clever Pereira
48
Comparando-se os circuitos equivalentes por fase em pu do banco trifásico apresentados nas figuras 42.a e 42.b e os circuitos equivalentes do trafo monofásico que compõe o banco trifásico, apresentados nas figuras 32 e 34, nota-se que eles são idênticos, mudando-se apenas os valores das bases de tensão, que dependem de que tipo de ligação foi feita em cada enrolamento, se estrela ou delta.
Todo o processo anterior pode ser repetido considerando-se as reatâncias de dispersão referidas ao lado de baixa. Embora possa parecer redundante, isto será feito de forma a fixar conceitos relativos a circuitos equivalentes de trafos.
A figura 43 a seguir mostra os circuitos equivalentes trifásicos em Ωs e em pu do mesmo banco trifásico de trafos monofásicos do exemplo 9, considerando-se as reatâncias de dispersão referidas ao lado de baixa.
1 1’ 127 kV 18 kV
j 3,24 Ω
Fig. 43 – Circuitos equivalentes em Ωs e em pu para o banco trifásico de trafos monofásicos com reatância de dispersão referida ao lado de baixa.
Valores base trifásicos
=
=
Φ
Φ
kVV
MVASL
nb
Lb
18
30
)(
)3(
⇓
==
Ω===
puX
MVAkVZ
Lpu
b
bLb
3,08,10
24,3
8,103018
)(
22
X1
X2
X3
3 3’ 127 kV 18 kV
j 3,24 Ω
H1
H2
H3
H0
Valores base monofásicos
=
=
Φ
Φ
kVV
MVASL
nb
Lb
318
10
)(
)1(
⇓ ( )
==
Ω===
puX
MVAkVZ
Lpu
b
bLb
3,08,10
24,3
8,1010
3/18
)(
22
2 2’ 127 kV 18 kV
j 3,24 Ω
1 1’ 1 pu 1 pu
j 0,3 pu X1
X2
X3
3 3’ 1 pu 1 pu
j 0,3 pu
H1
H2
H3
H0
2 2’ 1 pu 1 pu
j 0,3 pu
Modelos de Transformadores Clever Pereira
49
A figura 44 a seguir mostra os mesmos circuitos anteriores com as reatâncias referidas ao lado de baixa, ligado em estrela equivalente. Notar novamente a relação de tensão complexa, indicando que as f.e.m’s do lado de baixa estão 30º adiantadas em relação às f.e.m’s do lado de alta.
As figuras 45.a e 45.b a seguir mostram os circuitos equivalentes por fase em Ωs e em pu, ou equivalentemente o circuito de seqüência positiva (ou negativa ou zero), com as reatâncias referidas ao lado de baixa.
Desprezando-se novamente as defasagens angulares, o circuito da figura 45.b anterior se resume no circuito da figura 46.a a seguir e finalmente ao circuito da figura 46.b, obtido originariamente com as reatâncias referidas ao lado de alta.
127 kV
j 1,08 Ω
VH 1 pu
j 0,1 pu
VX(pu)kV°∠303
18 pu°∠301VH(pu)VX
(a) (b) Fig. 45 – Circuitos equivalentes por fase de trafo trifásico em Ωs e em pu com reatâncias referidas ao lado de baixa.
1 1’ 127 kV
j 1,08 Ω
kV°∠303
18
Fig. 44 – Circuitos equivalentes em Ωs e em pu para o banco trifásico de trafos monofásicos com as reatâncias de dispersão referidas ao lado de baixa.
X1
X2
X3
H1
H2
H3
H0
2 2’ 127 kV
j 1,08 Ω
kV°∠303
18
3 3’ 127 kV
j 1,08 Ω
kV°∠303
18
X0
1 1’ 1 pu
j 0,1 pu
pu°∠301
X1
X2
X3
H1
H2
H3
H0
2 2’ 1 pu
j 0,1 pu
pu°∠301
3 3’ 1 pu
j 0,1 pu
pu°∠301
X0
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
10
127
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
30
220
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
10
318
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
30
18
Modelos de Transformadores Clever Pereira
50
Três trafos monofásicos ideais, com valores nominais de 25 MVA e 38,1/3,81 kV, estão ligados na forma de um banco trifásico em estrela aterrada no lado de alta e delta no lado de baixa. Este banco alimenta uma carga trifásica equilibrada de 0,6 Ω em estrela aterrada solidamente. Adotando-se bases trifásicas de 75 MVA e 66 kV no lado de alta, pede-se:
Solução
(a) Especificar as bases para o lado de baixa.
Neste problema, um dos objetivos é mostrar como uma impedância é referida de um lado para outro em um trafo trifásico. O leitor já deve ter percebido que isto deve ser feito de maneira similar ao sistema monofásico. Também não foi especificado o tipo de ligação Y-∆ do trafo. Isto se deve ao fato de muitas vezes não ser necessário considerar o valor da defasagem angular. O diagrama trifilar correspondente ao problema é mostrado na figura 47 abaixo, onde estão representados os três trafos monofásicos ligados na forma de um banco trifásico e a carga em estrela solidamente aterrada.
38,1 kV66 kV
A
B
C
N
Fig. 47 – Banco trifásico ligado em Y-∆ com carga em estrela solidamente aterrada.
3,81 kV
3,81 kV
a
b
c
0,6 Ω
0,6 Ω
0,6 Ω
j 0,1 pu
VX(pu)VH(pu)
(a) (b)
Fig. 46 – Circuitos equivalentes por fase de trafo trifásico em pu com reatância referida ao lado de baixa.
1 pu
j 0,1 pu
VX(pu)VH(pu) 1 pu
Exemplo 10
Modelos de Transformadores Clever Pereira
51
Pela figura anterior percebe-se que o trafo trifásico equivalente possui as seguintes grandezas nominais:
=
=×=
=×=⋅=
ΦΦ
ΦΦ
ΦΦ
kVV
kVV
MVASS
Lnom
Hnom
nomnom
81,3
661,383
752533
)(
)(
)1()3(
Desta forma as bases serão:
Bases no lado de alta tensão Bases no lado de baixa tensão Monofásicas Trifásicas Monofásicas Trifásicas
==
=
Φ
Φ
kVV
MVAS
nb
b
1,383
6625
)(
)1(
=
=
ΦΦ
Φ
kVV
MVAS
b
b
66
75
)(
)3(
=
=
Φ
Φ
kVV
MVAS
nb
b
381,3
25
)(
)1(
=
=
ΦΦ
Φ
kVV
MVAS
b
b
81,3
75
)(
)3(
(b) Determinar a resistência da carga em pu nas bases
anteriormente determinadas
A impedância base do lado de baixa vai ser dada por
( )Ω===Ω=== 1936,0
25381,31936,0
7581,3
22)(
22)(
b
bLb
b
bLb MVA
kVZMVAkVZ ou
A impedância por fase da carga trifásica em pu vai ser então
puZZ
Z Lb
CpuC 10,3
1936,06,0
)()(
)( === Ω
O leitor pode reparar que as bases estão perfeitamente casadas, de forma que o valor em pu da carga vai ser o mesmo, independentemente do lado que ela estiver referida. Desta forma, repetindo o cálculo anterior com os valores referidos ao lado de alta tem-se que
( )Ω===Ω=== 08,58
7536608,58
7566
22)(
22)(
b
bLb
b
bHb MVA
kVZMVAkVZ ou
e o valor da impedância em pu vai ser
puZZ
Z Lb
HC
puC 10,308,5805,180
08,5881,3
666,02
)()(
)( ==
×== Ω
Modelos de Transformadores Clever Pereira
52
Seja um banco trifásico de trafos monofásicos com valores nominais totais de 400 MVA e 220 Y / 22 ∆ kV, conforme mostrado na figura 48 abaixo. Considere que a impedância de curto-circuito trifásico vale 0,121 Ω, referida ao lado de baixa. Na hipótese de se desprezar as resistências dos enrolamentos e o circuito de excitação, determinar as reatâncias de dispersão seqüenciais em pu do banco de trafos, para bases de 100 MVA e 230 kV no lado de alta.
Solução 1
Uma vez que nada foi mencionado, por default as bases pedidas no enunciado são trifásicas. Para que elas estejam perfeitamente casadas, as bases trifásicas na baixa devem ser
===
==
ΦΦΦΦ
ΦΦ
kVN
VV
MVASS
V
HbL
b
Hb
Lb
2322220
230
100
)()(
)3()3(
Desta forma, a impedância base do lado de baixa e a impedância de curto-circuito, que é na verdade a reatância de dispersão do trafo, vão ser iguais a
===
Ω====
puXZ
MVAkVZ
puTpuCC
b
bb
0229,029,5121,0
29,5100529
10023
)()(
22
127 kV 220 kV
22 kV
22 kV
a
b
c
A
B
C
N
Fig. 48 – Trafo trifásico do exemplo 11.
Exemplo 11
Modelos de Transformadores Clever Pereira
53
A figura 49 a seguir mostra o circuito equivalente por fase (ou de seqüência) do banco trifásico, nas bases pedidas.
Solução 2
Admitindo-se inicialmente bases iguais aos valores nominais do trafo, tem-se que
===
Ω===
puXZ
MVAkVZ
puTpuCC
b
bLb
1,021,1121,0
21,140022
)()(
22
A impedância de curto-circuito pode ser calculada no novo par de bases pode ser calculada utilizando-se diretamente a expressão de mudanças de bases por
puMVAMVA
kVkV
ZZvelhab
novab
novab
velhabvelhanova 0229,0
400100
23221,0
2
)(
)(
2
)(
)( =⋅
⋅=⋅
⋅=
Solução 3
Uma outra maneira de se resolver este problema é referir inicialmente a impedância de curto-circuito para o lado de alta tensão e então calcular seu valor em pu. Assim
===
Ω===
Ω=
×=⋅=
puXZ
MVAkVZ
NZZ
puTpuCC
b
bHb
VLCC
HCC
0229,0529
1,12
529100230
1,1222
220121,0
)()(
22
22
VL(pu) VH(pu)
puj 0229,0
=
=
MVAS
kVVLb
Lb
100
23
=
=
MVAS
kVVHb
Hb
100
230
Fig. 49 – Circuito equivalente em pu.
Modelos de Transformadores Clever Pereira
54
8. ASPECTOS GERAIS
8.1. Refrigeração
Com relação à refrigeração, os transformadores podem ser classificados como:
Refrigeração a seco
Refrigeração por convecção, através da circulação de ar, forçada ou não (até 4 MVA/15 kV).
Refrigeração a óleo
Refrigeração por condução de calor através do óleo até as paredes do tanque (mais comum).
8.2. Perdas
As perdas podem ser divididas em duas parcelas: perdas a vazio (no núcleo) e perdas sob carga (nos enrolamentos)
Perdas a vazio (no núcleo)
• Principalmente devido à histerese e correntes de Foucault.
• Perdas adicionais denominadas estruturais (parafusos e soldas) e nos dielétricos (trafos de extra-alta tensão) – aproximadamente 15% das perdas no núcleo.
• Não variam com a carga. • Representam de 25% a 40% das
perdas nos enrolamentos. • Medidas em restes de circuito aberto,
à freqüência nominal e com tensões nominais.
• Proporcionais ao quadrado da tensão aplicada (Ra no circuito de excitação).
Perdas sob carga (nos
enrolamentos)
• Principalmente nos enrolamentos. • Perdas adicionais devido às
correntes de Foucault nos próprios enrolamentos.
• Variam com a carga. • Medidas em testes de curto-circuito.
Modelos de Transformadores Clever Pereira
55
8.3. Índices de Desempenho
Como as linhas de transmissão, os transformadores também possuem índices para medir ou quantificar o seu desempenho. Os mais comuns são
Regulação de Tensão [Reg(%)]
(a) Depende do fator de potência; (b) Algebricamente negativa, para fator de potência capacitivo; (c) Está relacionada com a resistência e a reatância de
dispersão dos enrolamentos; (d) Valores em torno de 3% trafos pequenos) e 10% (trafos
maiores).
%100(%)2
)(2)(2 ⋅−
=nom
FLNL
VVV
Reg (41)
Especificação da regulação
de tensão
• Tensão primária nominal. • Subscrito FL indica full load, ou seja,
em geral potência nominal com fator de potência 0,8 atrasado ou unitário.
Rendimento [η(%)]
%1001%100%100(%) ⋅
−=⋅
−=⋅=
entradaentrada
entrada
entrada
saída
PPerdas
PPerdasP
PPη (42)
Especificação do rendimento
• Potência (kVA) nominal, com fator de potência unitário, para uma dada temperatura.
• Em torno de 96% (trafos pequenos) a 99,5% (trafos maiores).
Modelos Matriciais de Redes Clever Pereira
1
UNIDADE VII
MODELOS MATRICIAIS DE REDES
1. INTRODUÇÃO
Redes elétricas = interconexão de elementos
2. MATRIZ PRIMITIVA 2.1. Elementos Genéricos com Fontes
abcpq
abcpq
abcpq
abcpq vYji ⋅=+ ~
(2)
abcpqj
abcpqY~
abcpqi
p q
− +
abcpqv
Fig. 2 – Elemento genérico na forma de admitância.
abcpqe abc
pqZ~
abcpqi
− + + −
p q
abcpqv
abcpq
abcpq
abcpq
abcpq iZev ⋅=+ ~
(1)
Fig. 1 – Elemento genérico na forma de impedância.
• ELEMENTO ⇔ modelo individual;
matrizes primitivas de admitâncias ou de impedâncias reúnem todos os elementos.
• INTERLIGAÇÃO ⇔ matrizes de incidência e de circuito;
matrizes de incidência e de circuito contêm a informação da interligação destes elementos.
Modelos Matriciais de Redes Clever Pereira
2
Multiplicando (1) à esquerda por ( ) abcpq
abcpq YZ ~~ 1
=−
vem:
⇒=⋅+⋅ abcpq
abcpq
abcpq
abcpq
abcpq ieYvY ~~ abc
pqabc
pqabcpq
abcpq
abcpq vYeYi ⋅=⋅− ~~
(3)
Ou seja
abcpq
abcpq
abcpq
abcpq vYji ⋅=+ ~
onde abcpq
abcpq
abcpq eYj ⋅−= ~
(4)
2.3 – Acoplamento entre os Elementos Genéricos pq e rs
ou matricialmente
abcpqv
abcpqe abc
pqpqZ ,~ abc
rspqZ ,~
abcpqi
abcrsv
+ abcrse
= abc
pqrsZ ,~
abc
rsrsZ ,~
.
abcrsi
(6)
Para toda a rede pode-se escrever que
abcabcabcabc IZEV ⋅=+ ~ (7)
⋅+⋅=+
⋅+⋅=+
abcrs
abcrsrs
abcpq
abcpqrs
abcrs
abcrs
abcrs
abcrspq
abcpq
abcpqpq
abcpq
abcpq
iZiZev
iZiZev
,,
,,
~~
~~
(5)
Fig. 3 – Elementos genéricos com acoplamento.
abcpqe abc
pqZ~
abcpqi
− + + −
p q
abcrse abc
rsZ~
abcrsi
− + + −
r s
abcpq,rsZ~
Modelos Matriciais de Redes Clever Pereira
3
onde
[ ][ ][ ]
=
=
=
tabctu
abcrs
abcpq
abc
tabctu
abcrs
abcpq
abc
tabctu
abcrs
abcpq
abc
iiiI
eeeE
vvvV
L
L
L
(8)
e
abcpqpqZ ,
~
abcrspqZ ,
~ . . . . . . . .
abc
tupqZ ,~
abc
rspqZ ,~
abc
rsrsZ ,~
. . . . . . . . abctursZ ,
~
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
abcZ~ =
abctupqZ ,
~
abctutsZ ,
~ . . . . . . . . abc
tutuZ ,~
(9)
Aplicando-se a transformação de componentes simétricas em (7) tem-se
012012012012 ~ IZEV ⋅=+ (10)
Interessa aplicações onde não existam mútuas entre os diagramas de
seqüência positiva, negativas e zero, ou seja, aplicações onde o sistema é equilibrado do ponto de vista de impedâncias. Nestes casos
[ ][ ][ ]
=
=
=
tturspq
tturspq
tturspq
iiiI
eeeE
vvvV
012012012012
012012012012
012012012012
L
L
L
(11)
Modelos Matriciais de Redes Clever Pereira
4
e a matriz das impedâncias primitivas de seqüência vai ser da forma
012
,~
pqpqZ 012
,~
rspqZ . . . . . . .
012
,~
tupqZ
012,
~pqrsZ
012,
~rsrsZ . . . . . . . 012
,~
tursZ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
012~Z =
012,
~pqtuZ
012,
~rstuZ . . . . . . . 012
,~
tutuZ
(12)
onde cada um dos blocos é diagonal, ou seja, para cada elemento não há mútuas entre as seqüências. Assim, tem-se na verdade, três equações desacopladas, a saber:
⋅=+
⋅=+
⋅=+
2222
1111
0000
~
~
~
IZEV
IZEV
IZEV
(13)
Desta maneira, as redes de seqüência vão ser formadas por elementos monofásicos generalizados, como mostrados abaixo:
Fig. 4 – Elementos genéricos escalares na forma de impedância e admitância.
pqj
pqYpqi
p q
− +
pqv
pqe pqZpqi
− + + −
p q
pqv
Modelos Matriciais de Redes Clever Pereira
5
3. NOÇÕES DE TOPOLOGIAS DE REDES 3.1. Introdução
3.2. Definições:
(a) GRAFOS – conjunto de segmentos chamados ELOS (ou ELEMENTOS) e pontos chamados VÉRTICES (ou NÓS), os quais são terminais dos elos, interconectados de maneira tal que os elos são incidentes somente aos vértices.
Fig. 7 – Grafo.
A B DC
E
12
3
4 5 6
7
GRAFO
Fig. 6 – Diagrama de impedâncias (reatâncias).
DIAGRAMA DE
IMPEDÂNCIAS (REATÂNCIAS)
Fig. 5 – Diagrama Unifilar.
DIAGRAMA UNIFILAR
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6
(d) CAMINHO – sub-grafo com não mais de 2 elementos ligados a cada vértice.
Fig. 10 – Caminhos de um grafo orientado.
A B
E
12 2
B DC
E
3
5 6A B D C
E
1 2
3
4
5 6
7
(c) SUB-GRAFO – qualquer conjunto de elos e vértices de um grafo.
Fig. 9 – Sub-grafo orientado.
A B DC
E
12
3
5
7
A B D C
E
1 2
3
4
5 6
7
(b) GRAFO ORIENTADO – grafo cujos elementos possuem orientação.
Fig. 8 – Grafo orientado.
A B D C
E
12
3
4
5 6
7
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7
(g) ÁRVORE (de um grafo) – é um sub-grafo que contém todos os vértices e nenhum caminho fechado.
Fig. 13 – Árvores de grafos conexos.
A B DC
E
1 2
3
5 6 A B D C
E
12
5
7
ÁRVORE “A” ÁRVORE “B”
(f) GRAFO CONEXO – é um grafo no qual existe pelo menos 1 caminho entre dois vértices quaisquer.
Fig. 12 – Grafos conexo e não conexo.
A B D
E
1 3
4 A B DC
E
1
5
7
grafo conexo grafo não conexo
(e) CIRCUITO, LAÇO, MALHA OU CAMINHO FECHADO – caminho no qual os dois vértices terminais coincidem e os vértices interiores são distintos.
Fig. 11 – Circuito ou laço.
A B D
E
1 3
4
7
A B D C
E
1 2
3
4
5 6
7
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8
(h) RAMOS – são os elos de uma árvore.
(i) CORDAS OU LIGAÇÕES – são os elos do grafo que não pertencem à árvore.
(m) CONJUNTO DE CORTE BÁSICO – é o conjunto de corte que contém apenas 1 ramo.
(l) CIRCUITO, LAÇO OU MALHA BÁSICOS – é o laço que contém apenas uma corda.
Fig. 16 – Circuitos, laços ou malhas básicos.
A B D C
E
1
4
3
7
3
1 2
(k) CONJUNTO DE CORTE (CUT-SET) –
é o conjunto mínimo de elos e/ou de vértices que se removidos dividem o grafo em dois grafos conexos.
Fig. 15 – Conjunto de corte (cut-set).
A B DC
E
12
3
4
5 6
7 1 2 3
(j) CO-ÁRVORE – é o sub-grafo formado pelas cordas.
Fig. 14 – Árvores de grafos conexos.
CO-ÁRVORE “A” CO-ÁRVORE “B”
A B DC
E
2
4
7
A B DC
E
3
4
6
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9
TEOREMA: Para uma dada árvore “T” de um grafo conexo “G” com “v” vértices e “e” elos, existem exatamente “ v-1” ramos e “ e-v+1” cordas.
3.3. Matrizes de um GRAFO
(a) Matriz de Incidência Elemento-Nó evaA ×]~[
A matriz de incidência elemento-nó é uma matriz de v linhas e e colunas que descreve como os nós estão ligados aos nós do grafo orientado. Seus elementos aij são tais que:
[ ]
evija aA×
=~
com ija =
1 se elo ej incide em vi para fora
-1 se elo ej incide em vi para dentro
0 se elo ej não incide em vi
Fig. 17 – Grafo orientado e árvores T1 e T2.
GRAFO G
==
46
ve
AB
C
D
1 2
3
4 5
6
=+−=+−==−=−=
31461 :cordas3141r :ramos
vecv
ÁRVORE T2ÁRVORE T1
A B
C
D
12
3
4 5
6
A B
C
D
1 2
3
4 5
6
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10
Exemplo: Seja a rede elétrica abaixo à esquerda, cujo grafo orientado se encontra à direita.
1 2 3 4 5 6 Elementos
A -1 0 0 1 0 1 B 0 -1 0 -1 1 0 C 0 0 -1 0 -1 -1 D 1 1 1 0 0 0
=aA~
Vértices
TEOREMA: A matriz incidência elemento-nó de um grafo conexo possui um número de linhas linearmente independentes (lli) igual ao número de ramos do grafo, ou seja, ll i = r = v - 1.
(b) Matriz de Incidência Elemento-Nó Reduzida ( ) evA ×−1]~[
É a matriz aA~ desprezando-se uma de suas linhas.
[ ]( ) evijaA×−
=1
~ (14)
Para a rede da figura 17:
1 2 3 4 5 6 -1 0 0 1 0 1 A
0 -1 0 -1 1 0 B
=A~
0 0 -1 0 -1 -1 C
Fig. 18 – Rede de seqüência positiva no formato de admitância e grafo orientado associado.
j3
y5
y2
y4
y1
y6
y3 j1
y46 y56
A B
C
D
1 2
3
4 5
6
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11
NOTA: A matriz de incidência elemento-nó reduzida A~ pode ser obtida diretamente escolhendo-se um conjunto de linhas correspondentes aos nós dos conjuntos de corte básicos.
Exemplo:
1 2 3 4 5 6 -1 0 0 1 0 1 A
0 -1 0 -1 1 0 B
=A~
0 0 -1 0 -1 -1 C
(c) Matriz de Incidência Elemento-Laço emaB ×]~[
1 2 3 4 5 6
1 -1 1 A 1 -1 1 B -1 -1 1 C
1 -1 1 1 D 1 -1 -1 1 E
1 -1 -1 1 F
=aB~
1 -1 1 G
A B C
D
1 2
3
4 5
6
C
B A
D
F G
E
Fig. 20 – Malhas do grafo da figura 19 anterior.
emija bB ×= ][~ com ijb =
1 se elo ej pertence ao circuito i com orientação positiva.
-1 se elo ej pertence ao circuito i com orientação negativa.
0 se elo ej não pertence ao circuito i
Fig. 19 – Grafo orientado, árvore com ramos e cordas e conjuntos de corte básicos que vão dar origem à matriz Ã.
AB
C
D
1 2
3
4 5
6
AB
C
D
12
3
4 5
6
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12
(d) Matriz de Incidência Elemento-Laço Reduzida ecB ×]~[
TEOREMA: A matriz de circuito ]~[ aB possui c = e–v+1 linhas linearmente independentes.
1 2 3 4 5 6
1 -1 1 A
1 -1 1 B =B~
1 -1 1 G
e-v+1 linhas linearmente
independentes
NOTA: Tais linhas correspondem aos circuitos básicos ou fundamentais.
4. FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE REDE 4.1. Princípios Básicos
Exemplo:
(a) Leis de Kirchhoff
(i) 0=∑ ii ; ii correntes que saem de um nó (3 equações).
(ii) 0=∑ iv ; vi tensões nos elementos (3 equações).
Fig. 22 – Rede de seqüência positiva, grafo orientado associado e árvore, com ramos e cordas.
j3
y5
y2
y4
y1
y6
y3 j1
y46 y56
A B C
D
1 2 3
4 5
6
Fig. 21 – Malhas do grafo da figura 19 anterior.
A B
C
D
1 2
3
4 5
6
A B
G
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13
(b) Relação tensão-corrente nos elementos
(iii) vYji p .~=+ formato de admitância (6 equações).
ou
(iv) iZev p .~=+ formato de impedância (6 equações). A solução de uma rede envolve a determinação de “2e” incógnitas, sendo “e” tensões e “e” correntes, um par para cada elemento. As relações v × i fornecem “e” equações e as leis de Kirchhoff fornecem as outras “e” equações necessárias, sendo “v-1” equações relacionadas à lei das correntes e “e-v+1” equações relativas à lei das tensões de malha. Para a rede exemplo, tem-se: v = 4, e = 6, r = v – 1 = 3 e c = e – v +1= 4 Leis de Kirchhoff (i) Soma das correntes que saem de um nó é nula (r = 3 equações)
– i1 + i4 + i6 = 0 (nó A)
– i2 – i4 + i5 = 0 (nó B)
– i3 – i5 – i6 = 0 (nó C)
( r = v – 1 ) equações
Pode-se ver que estas equações correspondem a
i1 -1 0 0 1 0 1 i2 0 0 -1 0 -1 1 0 . i3 = 0 0 0 -1 0 -1 -1 i4 0 i5
0.~=iA
i6
A B C
D
1 2 3
4 5
6
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14
(ii) Soma das Tensões em uma malha fechada é nula (c = 3 equações)
v1 – v2 + v4 = 0 (laço A)
v2 – v3 + v5 = 0 (laço B)
v1 – v3 + v6 = 0 (laço G)
( c = e – v + 1 ) equações
Pode-se ver que estas equações correspondem a
v1 1 -1 0 1 0 0 v2 0 0 1 -1 0 1 0 . v3 = 0 1 0 -1 0 0 1 v4 0 v5
0.~ =vB
v6 As relações v × i fornecem “6” equações e vão existir “12“ incógnitas, uma vez que, a cada elemento estão associadas 2 incógnitas, uma relacionada à tensão e outra à corrente. São então necessárias mais “6“ equações para a solução da rede. Estas equações vêm das “6“ relações tensão-corrente em cada um dos elementos, dadas na forma de admitância ou de impedância por
=+
=+
iZev
vYji
p
p
.~.~
(15)
ou, mais explicitamente
i1 j1 y1 v1
i2 0 y2 v2 i3 j3 y3 v3 i4 0 y4 y46 v4 i5 0 y5 y56 v5 i6
+
0
=
y64 y65 y6
.
v6
A B
C
D
1 2
3
4 5
6
A B
G
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15
ou
v1 e1 z1 i1
v2 0 z2 i2 v3 e3 z3 i3 v4 0 z4 z45 z46 i4 v5 0 z54 z5 z56 i5 v6
+
0
=
z64 z65 z6
.
i6 4.2. Equações Nodais e de Malhas As “e” equações v × i e as “e” equações relacionadas às leis de Kirchhoff fornecem as “2e” equações necessárias para a solução da rede elétrica. Via de regra isto vai envolver a inversão de uma matriz de dimensão “2e”, resultando em grande esforço numérico ou computacional. Fica então a pergunta: não existe algum tipo de formulação onde a solução da rede possa ser simplificada? Esta pergunta pode ser respondida reescrevendo as relações v × i em uma das formas, ou seja, admitância ou impedância e aplicando as leis de Kirchhoff, ou seja
⋅⋅=⋅+⋅⇒=+
⋅⋅=⋅+⋅⇒=+
iZBeBvBiZev
vYAjAiAvYji
pp
pp
~~~~.~
~~~~.~
(16)
As duas leis de Kirchhoff estabelecem que
=⋅
=⋅
0~0~
vB
iA (17)
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16
Substituindo as equações (17) nas equações (16) vem que
⋅⋅=⋅
⋅⋅=⋅
iZBeB
vYAjA
p
p~~~
~~~
(18)
Cabe agora examinar as expressões jA ⋅~
e eB ⋅~ presentes em (18),
começando pela primeira delas. Neste caso, nota-se que o resultado é um vetor cujos termos são as correntes injetadas em cada um dos vértices da rede, com exceção da referência, vetor este que recebe comumente o nome de BARRAI .
j1 -1 0 0 1 0 1 0 - j1 =⋅ jA~ 0 -1 0 -1 1 0 . j3 = 0 = BARRAI (19) 0 0 -1 0 -1 -1 0 - j3 0 0
O resultado da segunda expressão é obtido inicialmente passando todos os elementos para a forma de impedância. Assim procedendo, percebe-se que o vetor resultante é na verdade um vetor cujos termos são iguais à soma das fontes de tensões encontradas em cada um dos circuitos básicos da rede, obedecendo-se o sentido adotado para cada um destes circuitos. Este vetor é comumente denominado LAÇOE .
e1
1 -1 1 0 e1
=⋅ eB~ 1 -1 1 . e3 = - e3 = LAÇOE (20) 1 -1 1 0 e1 - e3
0
0
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17
É importante salientar que, nas equações (20), cada uma das fontes de tensão ei é obtida a partir do inverso da equação (4), ou seja
jZe P ⋅−=~
(21) Substituindo (19) e (20) em (18) resulta em
⋅⋅=
⋅⋅=
iZBE
vYAI
pLAÇO
pBARRA~~
~~
(22)
As equações (22) acima são equações que trabalham com dois vetores conhecidos, ou seja, o vetor das correntes de barra e o vetor das tensões de laço. No entanto não é possível resolvê-las uma vez que as matrizes pYA ~~
⋅ e pZB ~~
⋅ não são matrizes quadradas e não admitem inversas. Torna-se pois necessário definir respectivamente os vetores BARRAV e LAÇOI , de forma a uniformizar as equações (22) acima, possibilitando a sua solução. A definição é feita igualando-se as potências aparentes injetadas, calculadas pelas formulações primitivas, de barra e de laço.
Assim, para a formulação de barras ou nodal, tem-se que
** jvIV t
BARRAt
BARRA ⋅=⋅ (23) A equação (19) estabelece que
jAIBARRA ⋅=~
(24) deste modo, substituindo em (23) vem que
**~ jvjAV ttBARRA ⋅=⋅⋅ (25)
Pode-se notar por esta equação que
ttBARRA vAV =⋅
~ (26)
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18
ou, rearranjando os termos, que
BARRAt VAv ⋅=
~ (27)
Substituindo na primeira das equações (22) repetida abaixo vem que
BARRAt
pBARRApBARRA VAYAIvYAI ⋅⋅⋅=⇒⋅⋅=~~~~~
(28) ou seja
BARRABARRABARRA VYI ⋅= ~ (29)
onde
t
pBARRA AYAY ~~~~ ⋅⋅= (30) A formulação de laços básicos ou de malhas pode ser deduzida de forma análoga, igualando-se novamente as potências aparentes. Assim
** ieIE t
LAÇOtLAÇO ⋅=⋅ (31)
A equação (20) estabelece que
tttLAÇOLAÇO BeEeBE ~~ ⋅=⇒⋅= (32)
deste modo
**~ ieIBe tLAÇO
tt ⋅=⋅⋅ (33) Pode-se notar por esta equação que
**~ iIB LAÇOt =⋅ (34)
ou seja
LAÇOt IBi ⋅= ~
(35)
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19
Substituindo na segunda das equações (22), também repetida abaixo vem que
LAÇOt
pLAÇOpLAÇO IBZBEiZBE ⋅⋅⋅=⇒⋅⋅= ~~~~~ (36)
ou seja
LAÇOLAÇOLAÇO IZE ⋅= ~ (37)
onde
t
pLAÇO BZBZ ~~~~ ⋅⋅= (38)
A tabela 1 a seguir mostra como é executada a solução das redes de potência utilizando respectivamente as formulações nodal e de malha.
Tabela 1 – Solução de redes elétricas utilizando as formulações nodal e de malha.
Solução utilizando formulação nodal
Solução utilizando formulação das malhas
1. tpBarra AyAY ~~~~ ⋅⋅=
2. [ ] 1~~ −= BarraBarra YZ
3. jAIBarra ⋅=~
4. BarraBarraBarra IZV ⋅= ~
5. Barrat VAv ⋅=
~
6. jvYi p −= .~
1. t
pLaço BzBZ ~~~~ ⋅⋅=
2. [ ] 1~~ −= LaçoLaço ZY
3. eBELaço ⋅= ~
4. LaçoLaçoLaço EYI ⋅= ~
5. Laçot IBi ⋅= ~
6. eiZv p −= .~
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20
Exemplo : CALCULAR AS TENSÕES DAS BARRAS, AS CORRENTES E AS TENSÕES EM TODOS OS ELEMENTOS PARA A REDE DA FIGURA ABAIXO UTILIZANDO O MÉTODO DAS TENSÕES DOS NÓS.
((aa)) GGRRAAFFOO OORRIIEENNTTAADDOO CCOOMM ÁÁRRVVOORREE,, CCOO--ÁÁRRVVOORREE,, RRAAMMOOSS EE CCOORRDDAASS
2 j 0,5
j 0,4
j 1,0 j 0,1 j 0,5 j 0,1
j 0,2
+ 0,2-
+ 0,5 -
i3
i4
i5
i1 i2
i6
3
1
(a) Rede com elementos na forma de impedância (b) Rede com elementos na forma de admitância
Fig. 23 – Rede elétrica referente ao exemplo 1
2 - j 2,5
- j 3,125
- j 1,0 - j 2,0
- j 10
- j 1,25
j 5
i3
i4
i5
i1 i2
i6
3
1
j 2- j 10
5 1 2
3
4
61 2
3
Fig. 24 – Grafo orientado para a rede da figura 22
A figura 24 ao lado mostra o grafo orientado para a rede da figura 23, com a árvore escolhida, com seus ramos (1,2,5) e a co-árvore correspondente, com suas cordas (3,4,6).
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21
((bb)) EEQQUUAAÇÇÕÕEESS PPRRIIMMIITTIIVVAASS DDAA RREEDDEE DDAA FFIIGGUURRAA 11
Por inspeção, a matriz das impedâncias primitivas vai ser dada por
0,1
0,1 0,5 0,2 0,2 0,4 0,5
jp =z~
1,0
Os elementos primitivos têm a seguinte forma
NOTA: Será sempre considerado que o sentido da corrente no elemento vai ser igual à orientação do elemento dentro de um certo grafo orientado e, por conseguinte, o sentido da tensão do elemento será sempre o contrário.
Desta forma, a equação da rede é iev p ⋅=+ z~ , ou seja
v1 0,5 0,1 i1 v2 0,2 0,1 i2 v3 0 0,5 0,2 i3 v4 0 0,2 0,4 i4 v5 0 0,5 i5 v6
+
0
= j
1,0
⋅
i6
Fig. 25 – Elementos genéricos escalares na forma de impedância e admitância.
pqj
pqYpqi
p q
− +
pqv
pqe pqZpqi
− + + −
p q
pqv
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22
A matriz das admitâncias primitivas é a matriz inversa da
matriz das impedâncias primitivas, ou seja
1~~ −
= pp zy
E desta forma
10 10 2,5 -1,25 -1,25 3,125 2
jp −=y~
1
E a equação da rede, na forma de admitância, vai ser
vepiieviev pppppp ⋅=⋅−+⇒⋅⋅=⋅+⋅⇒⋅=+
yyzyyyz ~~~~~~~
ou seja
vji p ⋅=+ y~
onde
ej p ⋅−= y~
Assim
( )( )
==
=⋅−−=
=⋅−−=
)6,...,3(0
22,010
55,010
2
1
kparaj
jjj
jjj
k
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23
E a equação primitiva da rede na forma de admitância fica como
i1 j 5 10 v1 i2 j 2 10 v2 i3 0 2,5 -1,25 v3 i4 0 -1,25 3,125 v4 i5 0 2 v5 i6
+
0
= - j
1
⋅
v6 ((cc)) MMAATTRRIIZZEESS DDEE CCIIRRCCUUIITTOO
A matriz de incidência reduzida vai ser da forma
1 2 3 4 5 6 -1 1 1 1
=A~ -1 -1 -1 -1
-1 1
A matriz de laços (ou de circuitos) reduzida vai ser da forma
1 2 3 4 5 6
1 -1 1 I
1 -1 1 II
1 -1 1 1 III
=B~
5 1 2
3
4
6 1 2
3
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24
((dd)) MMOONNTTAAGGEEMM DDEE BarraY~ UUTTIILLIIZZAANNDDOO AA MMAATTRRIIZZ DDEE IINNCCIIDDÊÊNNCCIIAA RREEDDUUZZIIDDAA
A montagem de BarraY~ utilizando a matriz de incidência reduzida é feita partindo de duas equações a saber
=⋅
⋅=+
0~
~
iA
vji py
Multiplicando a primeira equação à esquerda por A~ resulta que
vAjAiA p ⋅⋅=⋅+⋅ y~~~~
e utilizando a segunda das equações, vem que
vAjA p ⋅⋅=⋅ y~~~
Pode-se ver que o produto jA~ ⋅ trata-se, na verdade, das correntes injetadas em cada uma das barras. Definindo este produto como BarraI , resulta que
vA pI Barra ⋅⋅= y~~ Mas o vetor das tensões dos elementos é da forma
BarraT VAv ⋅=
~
onde BarraV é o vetor das tensões dos nós em relação à referência. Deste modo
BarraBarraBarra VYI ⋅= ~
onde
TBarra AAY p
~~~~ ⋅⋅= y
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25
Assim
-1 -10 0 1,25 1,875 2 0 -1
- j 0 -10 -1,25 -1,875 0 -1 ⋅ 1 -1 0 0 0 0 -2 1 1 -1 1 -1
BarraY~ =
1 1
E assim
15,125 -3,125 -2,0 -3,125 14,125 -1,0 BarraY~ = - j
-2,0 -1,0 3,0 Esta matriz poderia ser também montada a partir do algoritmo
de montagem direto onde deve ser considerada a existência de elementos com mútuas.
((ee)) CCÁÁLLCCUULLOO DDOO VVEETTOORR BarraI
A equação que deve ser resolvida para calcular o circuito da figura 1 é pois da forma
BarraBarraBarra VYI ⋅= ~
10 -1 -1 1 1 1 10 -1 -1 -1 -1 -1 ⋅ - j 2,5 -1,25 1 -1 -1 1 -1,25 3,125 1 -1 2 1 -1
BarraY~ =
1
⋅
1 1
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26
cuja solução é
BarraBarraBarraBarraBarra IZIYV ⋅=⋅=−
~~ 1
A solução desta equação envolve inicialmente a obtenção de BarraI e a inversão de BarraY~ para obtenção de BarraZ~ .
A obtenção de BarraI pode ser feita utilizando a equação que a define, ou seja
j 5 -1 1 1 1 j 2 - j 5 5 -1 -1 -1 -1 ⋅ 0 = - j 2 = - j 2 -1 1 0 0 0 0
=⋅= jAI Barra
~
0
Em um circuito simples como este, a obtenção de BarraI pode também ser feito simplesmente através do uso de sua definição (soma das correntes injetadas em cada uma das barras). A figura 22.b mostra as fontes de corrente ideais com os valores das correntes injetadas em cada uma das barras da rede. Pode-se ver que apenas as barras 1 e 2 possuem correntes injetadas, de valores respectivamente – j 5 pu e – j 2 pu. ((ff)) SSOOLLUUÇÇÃÃOO UUTTIILLIIZZAANNDDOO OO MMÉÉTTOODDOO DDEE EELLIIMMIINNAAÇÇÃÃOO DDEE GGAAUUSSSS
A solução da equação na formulação dos nós pode ser feita de diversas formas. Entre elas pode-se utilizar o método de Eliminação de Gauss, descrito a seguir.
Inicialmente escreve-se a matriz BarraY~ e o vetor BarraI .
15,125 - 3,125 - 2,0 5,0
- 3,125 14,125 - 1,0 2,0
- 2,0 - 1,0 3,0 0
Modelos Matriciais de Redes Clever Pereira
27
1
15,125
- 0,2066 -0,1322 0,3306
==
==
125,15a
ka
a
125,15ak
j111
j1j1
1111
0
- 3,125
13,4793 - 1,4132 3,0331
⋅−=−==
j121j2j2
2121
akaa125,3ak ⇒
0
- 2,0
- 1,4132 2,7355 0,6612
⋅−=−==
j131j3j3
3131
akaa0,2ak
1
15,125
- 0,2066 - 0,1322 0,3306
==
==
4793,13a
ka
a
4793,13ak
j222
j2j2
2222
0
- 3,125
1
13,4793
- 0,1048 0,2250
⋅−=−==
j232j3j3
3232
akaa4132,1ak
0
- 2,0
0
-1,4132
1
2,5874
0,3784
=
==
33j3
j3
3333
ka
a
5874,2ak
A matriz acima corresponde ao seguinte sistema
1 - 0,2066 - 0,1322 V1 0,3306
1 - 0,1048 . V2 = 0,2250
1 V3 0,3784
A solução para as tensões das barras é obtida pelo processo
denominado retrosubstituição, ou seja
Modelos Matriciais de Redes Clever Pereira
28
V3 = 0,3784 V2 – 0,1048 V3 = 0,2250 V2 = 0,1048 (0,3784) + 0,2250 = 0,2647 V1 – 0,2066 V2 – 0,1322 V3 = 0,3306 V1 = 0,2066 (0,2647) + 0,1322 (0,3784) + 0,3306 = 0,4353
((gg)) OOBBTTEENNÇÇÃÃOO DDAASS TTEENNSSÕÕEESS EEMM CCAADDAA UUMM DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS
As tensões em cada um dos elementos do circuito são determinadas a partir das tensões de barra da forma
BarraT VAv ⋅=
~
v1 -1 – V1 – 0,4353 – 0,4353
v2 -1 V1 – V2 – 0,2647 – 0,2647
v3 = 1 -1 . V2 = V1 – V2 = 0,4353 – 0,2647 = 0,1706
v4 1 -1 V3 V1 – V2 0,4353 – 0,2647 0,1706
v5 1 -1 V1 – V3 0,4353 – 0,3784 0,0569
v6 -1 1 V3 – V2 0,3784 – 0,2647 0,1137
((hh)) DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO DDAASS CCOORRRREENNTTEESS EEMM CCAADDAA UUMM DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS
As correntes em cada um dos elementos do circuito são determinadas a partir da equação primitiva na forma de admitância, ou seja
i1 10 – 0,4353 j 5 i2 10 – 0,2647 j 2 i3 = - j 2,5 -1,25 . 0,1706 - 0 i4 -1,25 3,125 0,1706 0 i5 2 0,0569 0 i6 1 0,1137 0
Modelos Matriciais de Redes Clever Pereira
29
Então
i1 – 4,353 5 0,647 i2 – 2,647 2 -0,647 i3 = - j 0,21325 - j 0 = - j 0,21325 i4 0,319875 0 0,319875 i5 0,1137 0 0,1137 i6 0,1137 0 0,1137
((ii)) FFIIGGUURRAA MMOOSSTTRRAANNDDOO AASS CCOORRRREENNTTEESS EE AASS TTEENNSSÕÕEESS EEMM TTOODDOOSS OOSS
EELLEEMMEENNTTOOSS DDAA RREEDDEE
Fig. 26 – Diagrama contendo a solução do circuito.
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1
UNIDADE VIII
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES AGÉBRICAS LINEARES DE GRANDES DIMENSÕES
1. INTRODUÇÃO
O problema acima terá solução sempre que 1~ −A existir, ou seja, a matriz A~ não for singular. Neste caso, se pelo menos um dos elementos de b for diferente de zero, a solução será única e dada por
bAx ⋅= −1~ (1)
Exemplo: Seja o sistema de equações lineares dado por
=+
=+
2222121
1212111
bxaxabxaxa
Na forma matricial, este sistema pode ser escrito por
a11 a12 x1 b1
a21 a22 .
x2 =
b2 (2)
bxA =⋅~
A~ : matriz real ou complexa (n x n) x : vetor desconhecido ou procurado (n x 1)
b : vetor conhecido real ou complexo (n x 1)
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
2
NOTAS:
• Em geral, em sistemas elétricos de potência, a matriz BARRAY~ tem predominância diagonal e é bem comportada
(correspondendo à primeira possibilidade).
• Exceções:
(b) Trafos de três enrolamentos, que podem ter reatâncias equivalentes negativas.
x1
x2
x1 x1
x2 x2
Três Possibilidades
c) Sistema mal condicionado (matriz singular) a a a a11 22 12 21 0⋅ − ⋅ =
b) Sistema sem solução a a a a11 22 12 21 0⋅ − ⋅ ≠
a) Sistema bem condicionado a a a a11 22 12 21 0⋅ − ⋅ ≈
Fig 1. Representação gráfica da solução de sistemas lineares
(a)
y1
y2
y3
y4
Y (elevada) k
j
pequenas
4321 yyyyYY jj ++++= (3)
YYY kjjk −== (4)
logo
jjjk YY ≈ (5)
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3
2. MÉTODOS DE SOLUÇÃO 2.1. Inversão Explícita
bAxbxA ⋅=⇒=⋅ −1~~ (6)
Características:
• Processo lento ⇒ N 3 operações para uma matriz cheia.
• Erros de arredondamento elevados para N elevado.
• A~ esparsa ⇒ 1~ −A cheia (grandes requisitos de memória). 2.2. Métodos Iterativos e Indiretos
Solução é obtida através de aproximações sucessivas a partir de uma condição inicial arbitrária.
Características:
• São facilmente implementáveis.
• Apresentam requisitos de memória bastante modestos.
• São praticamente insensíveis à propagação de erros de arredondamentos (estágios iterativos são independentes).
• Número de operações da ordem de N 2.
• Funcionam para sistemas lineares e não lineares.
• Apresentam grandes desvantagens no caso de soluções repetidas (onde se muda apenas o valor do vetor b ), pois é necessária a repetição total dos estágios de forma a se obter nova solução.
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
4
2.3. Métodos Diretos
O sistema original é transformado em um sistema equivalente de solução imediata através de operações elementares nas linhas e colunas da matriz de coeficientes e do vetor de termos independentes. Características:
• Implementação mais trabalhosa.
• Produzem, ainda que implicitamente, a inversa da matriz A~ .
• São bastante eficientes para os casos repetitivos, onde se modifica apenas o vetor b .
3. MÉTODOS ITERATIVOS OU INDIRETOS Seja o sistema abaixo:
=++=++=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
(7)
que pode ser reescrito na forma:
−−⋅=
−−⋅=
−−⋅=
)(1
)(1
)(1
232131333
3
323121222
2
313212111
1
xaxaba
x
xaxaba
x
xaxaba
x
(8)
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
5
Escolhendo inicialmente x x e x10
20
30( ) ( ) ( ), vem que
⋅−⋅−⋅=
⋅−⋅−⋅=
⋅−⋅−⋅=
)(1
)(1
)(1
)0(232
)0(1313
33
)1(3
)0(323
)0(1212
22
)1(2
)0(313
)0(2121
11
)1(1
xaxaba
x
xaxaba
x
xaxaba
x
(9)
O processo acima pode ser repetido até que, sob determinadas condições, vai convergir para a solução do sistema. No caso geral de n equações tem-se
nixaba
xn
ikk
hkkii
ii
hi ,,2,1;1
1
)()1( K=
−⋅= ∑
≠=
+
(10)
onde h é um contador de iteração A convergência do método anterior, no caso da matriz A~ ser diagonal dominante (caso dos sistemas de potência), pode ser melhorada se for levado em consideração o fato que, no momento em que o valor de xi
h( )+1 está sendo calculado, os valores de )1(
1)1(
1 ,, ++−
hhi xx K já foram calculados. Neste caso pode-se utilizar o
chamado Método dos Deslocamentos Sucessivos (Método de Gauss-Seidel), ou seja
nixaxaba
xn
ikik
hkki
i
ikk
hkkii
ii
hi ,,2,1;1
1
)(1
1
)1()1( K=
−−⋅= ∑∑
≠+=
−
≠=
++
(11)
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
6
Uma condição necessária para convergência deste método é:
niaa
n
ikk
kiii
i,,2,111max
1K=≤
∑≠=
(12)
Exemplo: Maneira 1
=⋅+⋅=⋅+⋅
2222121
1212111
bxaxabxaxa
( )
( )
⋅−⋅=
⋅−⋅=
++
+
)1(1212
22
)1(2
)(2121
11
)1(1
1
1
hh
hh
xaba
x
xaba
x
(13)
Maneira 2
=⋅+⋅=⋅+⋅
2222121
1212111
bxaxabxaxa
( )
( )
⋅−⋅=
⋅−⋅=
++
+
)1(2121
11
)1(1
)(1212
22
)1(2
1
1
hh
hh
xaba
x
xaba
x
(14)
Fig 2. Representação gráfica da solução de sistemas lineares utilizando o método dos deslocamentos sucessivos.
2222121 bxaxa =⋅+⋅1212111 bxaxa =⋅+⋅
( ))0(2
)0(1 , xx Condição Inicial
1
2
)1(1x)2(
1x
)1(2x
)2(2x
1x
2x
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
7
ESCOLHA DAS CONDIÇÕES INICIAIS
(a) Sistemas com dominância diagonal: niabx
ii
ii ,...,2,1)0( == (15)
REGRA DE PARADA
(a) O número de iterações deve ser limitado h ≤ N (16)
(b) nixx ih
ih
i ,...,2,1;)()1( =ε≤−+ (17)
(c) 2max ε≤iR onde nixabRn
kkikii ,...,2,1;
1=−= ∑
= (18)
Observação: Testa-se a condição (17). Se for verdadeira, testa-se a condição (18). Se também for verdadeira, diz-se que a solução convergiu para os critérios ε1 e ε2.
ACELERAÇÃO:
Graficamente a aceleração pode ser vista por
Fig 4. Escolha do fator de aceleração α.
Para o sistema ao lado, α = 1,35 é o valor ótimo para o
fator de aceleração.
1 α
No d
e ite
raçõ
es
2 1,35
Fig 3. Representação gráfica do processo de aceleração
( ) 21;ˆ )()1()()1( <α<−α+= ++ hi
hi
hi
hi xxxx( ))0(
2)0(
1 , xx
1x
2x (1) (2)Aceleração
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
8
4. MÉTODOS DIRETOS
Os métodos diretos são baseados em operações elementares efetuadas no sistema original de modo a produzir sistemas equivalentes em uma forma mais simples de solução. As operações elementares de maior interesse neste caso são:
(i) Multiplicação de uma equação por uma constante. (ii) Subtração de uma equação multiplicada por constante de
outra equação. 4.1. Método de Eliminação de Gauss
Duas etapas: (i) Eliminação: a matriz A~ é transformada em uma matriz
triangular. (ii) Retrosubstituição: a solução é obtida na ordem inversa do
processo de eliminação.
Exemplo: Seja o sistema linear de três equações e três incógnitas abaixo
]~[ bA
a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 = b1 a11 a12 a13 b1
a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 = b2 ⇒ a21 a22 a23 b2
a31 . x1 + a32 . x2 + a33 . x3 = b3 a31 a32 a33 b3
Matriz Aumentada (i) Eliminação 1 – Normalização da 1a equação
1 )1(12a )1(
13a
)1(1b
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
onde
=
==
11
1)1(1
11
1)1(1 3,2,1;
abb
jaa
a jj
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9
ou de forma matricial
11
1a
0 0 a11 a12 a13 b1 1 a121( )
a131( )
)1(
1b
0 1 0 a21 a22 a23 b2 a21 a22 a23 b2
0 0 1
.
a31 a32 a33 b3
=
a31 a32 a33 b3
1
1~ −D . [ ]b|A~ = [ ] )1(~ b|A
2 – Eliminação de x1 da 2a equação
1 a121( ) a13
1( ) b11( )
0 a221( ) a23
1( ) b21( )
a31 a32 a33 b3
onde
⋅−=
=⋅−=)1(
1212)1(
2
)1(1212
)1(2 3,2,1;
babb
jaaaa jjj
ou
1 0 0 1 a121( ) a13
1( ) b11( ) 1 a12
1( ) a131( ) b1
1( )
− a21 1 0 a21 a22 a23 b2 0 a221( ) a23
1( ) b21( )
0 0 1
.
a31 a32 a33 b3
=
a31 a32 a33 b3
1
21~ −L . [ ] )1(
|~ bA = [ ] )2(|~ bA
3 – Normalização da 2a equação
1 a121( ) a13
1( ) b11( )
0 1 a232( ) b2
2( )
a31 a32 a33 b3
onde
=
==
)1(22
)1(2)2(
2
)1(22
)1(2)2(
2 3,2;
abb
jaa
a jj
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
10
ou na forma matricial
1 1 a121( ) a13
1( ) b11( ) 1 a12
1( ) a131( ) b1
1( )
1221a ( ) 0 a22
1( ) a231( ) b2
1( ) 0 1 a232( ) b2
2( )
1
.
a31 a32 a33 b3
=
a31 a32 a33 b3
1
2~ −D . [ ] )2(
|~ bA = [ ] )3(|~ bA
4 – Eliminação de x1 e x2 da 3a equação
1 a121( ) a13
1( ) b11( )
0 1 a232( ) b2
2( )
0 0 a332( ) b 3
2( )
3,2)1(
1313)1(
3
)1(1313
)1(3 =
⋅−=
⋅−=j
babb
aaaa jjj
onde
3)2(
2)1(
32)1(
3)2(
3
)2(2
)1(32
)1(3
)2(3 =
⋅−=
⋅−=j
babb
aaaa jjj
ou ainda
1 1 a121( ) a13
1( ) b11( ) 1 a12
1( ) a131( ) b1
1( )
1 0 1 a232( ) b2
2( ) 0 1 a232( ) b2
2( )
- a31 1
.
a31 a32 a33 b3
= 0 a321( ) a33
1( ) b31( )
1
31~ −L . [ ] )3(
|~ bA
1 1 a121( ) a13
1( ) b11( ) 1 a12
1( ) a131( ) b1
1( )
1 0 1 a232( ) b2
2( ) 0 1 a232( ) b2
2( )
- a321( ) 1
.
0 a321( ) a33
1( ) b31( )
= 0 0 a331( ) b3
1( )
1
32~ −L . [ ] )3(1
31 |~~ bAL ⋅−
= [ ] )4(|~ bA
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
11
5 – Normalização da 3a equação
1 a121( ) a13
1( ) b11( )
0 1 a232( ) b2
2( )
0 0 1 )3(3b
onde bba3
3 32
332
( )( )
( )=
ou na forma matricial
1 1 a121( ) a13
1( ) b11( ) 1 a12
1( ) a131( ) b1
1( )
1 0 1 a232( ) b2
2( ) 0 1 a232( ) b2
2( )
133
2a ( )
.
0 0 a332( ) b3
2( )
=
0 0 1 b33( )
13
~ −D . [ ] )4(|~ bA = [ ] )5(
|~ bA
Reunindo todas as operações matriciais vem que
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ][ ]bADLDLLD
bALDLLD
bADLLD
bALLDbADbA
|~~~~~~~|~~~~~~
|~~~~~|~~~~|~~|~
11
121
12
131
132
13
)1(121
12
131
132
13
)2(12
131
132
13
)3(131
132
13
)4(13
)5(
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅=
−−−−−−
−−−−−
−−−−
−−−−
(19)
ou seja
[ ] [ ]bADLDLLDbA |~~~~~~~|~ 11
121
12
131
132
13
)5(⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −−−−−− (20)
(i) Retrosubstituição
⋅−⋅−=
⋅−=
=
3)1(
132)1(
12)1(
11
3)2(
23)2(
22
)3(33
xaxabxxabx
bx
(21)
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
12
ou na forma matricial
1 0 0 1 a121( ) a13
1( ) b11( ) 1 a12
1( ) a131( ) b1
1( )
0 1 - a232( ) 0 1 a23
2( ) b22( ) 0 1 0 b2
3( )
0 0 1
.
0 0 1 b33)(
=
0 0 1 b33)(
1
23~ −
U . [ ] )5(|~ bA = [ ] )6(
|~ bA
1 0 - a131( ) 1 a12
1( ) a131( ) b1
1( ) 1 a121( ) 0 b1
2( )
0 1 0 0 1 0 b23( ) 0 1 0 b2
3( )
0 0 1
.
0 0 1 b33)(
=
0 0 1 b33)(
1
13~ −
U . [ ] )6(|~ bA
1 - a121( ) 0 1 a12
1( ) 0 b11( ) 1 0 0 b1
3( )
0 1 0 0 1 0 b23( ) 0 1 0 b2
3( )
0 0 1
.
0 0 1 b33)(
=
0 0 1 b33)(
1
12~ −
U . [ ] )6(113 |~~ bAU ⋅−
= [ ]xI |~
ou seja
[ ] [ ]
[ ] [ ]
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
−−−
−−
)5(123
113
112
)6(113
112
|~~~~|~
|~~~|~
bAUUUxI
bAUUxI
(22)
Finalmente
[ ] [ ]bADLDLLDUUUxI |~~~~~~~~~~|~ 11
121
12
131
132
13
1
23
1
13
1
12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −−−−−−−−− (23)
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
13
Principal desvantagem do método de eliminação de Gauss: A realização de operações matriciais sobre a matriz aumentada, ou seja, a aplicação dos métodos da eliminação e da retrosubstituição, exige novos cálculos toda vez que o vetor b for modificado. A equação (23) pode ser dividida em duas equações, ou seja
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
bAbDLDLLDUUUx
AAADLDLLDUUUI
111
121
12
131
132
13
1
23
1
13
1
12
111
121
12
131
132
13
1
23
1
13
1
12
~]~~~~~~~~~[
~~~]~~~~~~~~~[~
(24)
Conclui-se portanto que o método de eliminação de Gauss fornece também uma maneira para se calcular a matriz inversa 1~ −A dada por
11
121
12
131
132
13
123
113
112
1 ~~~~~~~~~~ −−−−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= DLDLLDUUUA (25)
4.2. Fatoração UL ~~ ⋅
Seja o sistema linear dado por
bxA =⋅~
(26)
A fatoração UL ~~ ⋅ é caracterizada pela decomposição da matriz A~ em um produto do tipo
ULA ~~~⋅= (27)
onde
L~ = matriz triangular inferior.
U~ = matriz triangular superior com elementos unitários na diagonal.
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
14
Então
=⋅
=⋅⇒=⋅⋅⇒=⋅
yxU
byLbxULbxA ~
~~~~
(28)
A equação (28) acima mostra que a solução é obtida por um processo duplo de retrosubstituição, ou seja, avaliando-se primeiro o vetor y , e em seguida o vetor x . Assim
⋅−⋅−⋅=
⋅−⋅=
⋅=
⇒
=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅
=⋅
)(1
)(1
)(1
223113333
3
112222
2
111
1
3333223113
2222112
1111
yyby
yby
by
byyybyy
by
lll
ll
l
lll
ll
l
(29)
e
⋅−⋅−=⋅−=
=⇒
==⋅+
=⋅+⋅+
21231311
32322
33
33
23232
13132121
xuxuyxxuyx
yx
yxyxux
yxuxux
(30)
A obtenção dos elementos de L~ e U~ pode ser feita de diversas formas. Uma delas é diretamente da definição do método, ou seja
a11 a12 a13 l 11 1 12u 13u
a21 a22 a23 l 21 l 22 1 23u (31)
a31 a32 a33
=
l 31 l 32 l 33
.
1
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
15
Efetuando-se a multiplicação tem-se que
a11 a12 a13 l 11 l11. 12u l 11. 13u
a21 a22 a23 l 21 l 21. 12u + l 22 l 21. 13u + l 22. 23u (32)
a31 a32 a33
=
l 31 l 31. 12u + l 32 l 31. 13u + l 32. 23u + l 33
Desta forma
++=+=
=
+=+=
=
===
332332133132
2322132122
131112
32123132
22122122
121112
3131
2121
1111
lll
ll
l
l
l
l
l
l
l
uuauua
ua
LuaLua
ua
aaa
(33)
A solução das equações (33) para os coeficientes das matrizes L~ e U~ fornece os valores dos elementos desejados ijl e iju em função dos elementos da matriz A~.
Uma outra maneira é utilizar diretamente o método de eliminação de Gauss, uma vez que este método corresponde, na verdade, a operações elementares com linhas. O resultado final é, para um sistema 3 x 3, da forma
[ ] [ ]bADLDLLDUUUxI |~~~~~~~~~~|~ 11
121
12
131
132
13
123
113
112 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −−−−−−−−−
(34)
Sabe-se que
111 ~~~~~~ −−− ⋅=⇒⋅= LUAULA (35)
Desta forma
bLUbAxbxULxA ⋅⋅=⋅=⇒=⋅⋅=⋅ −−− 111 ~~~~~~ (36)
Mas pela equação (34) acima vê-se que
bDLDLLDUUUx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −−−−−−−−−]~~~~~~~~~[ 1
11
211
21
311
321
31
23
1
13
1
12 (37)
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
16
logo pode-se concluir que
⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=−−−−−−−
−−−−
11
121
12
131
132
13
1
123
113
112
1
~~~~~~~
~~~~
DLDLLDL
UUUU (38)
e desta forma
⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
332312211
121323
~~~~~~~
~~~~
DLLDLDL
UUUU (39)
As matrizes ijU~ e ijL~ são matrizes triangulares, superior e inferior respectivamente, cujos elementos da diagonal são unitários. Elas só possuem um elemento não nulo fora da diagonal principal, como mostrado abaixo. Desta forma, as inversas destas matrizes são facilmente computadas, ou seja
1 uij 1 -uij 1 1 … … 1 1 … …
ijU~ =
1
1~−
ijU =
1
(40)
1 1 1 1 … … l ij 1 -l ij 1 … …
ijL~ =
1
1~−
ijL =
1
(41)
Então, a matriz 1~−L vai ser igual a
1 1 1 1 1 11
1d
1 1 1 22
1d -l 21 1 1 =−1~L
33
1d -l 32 1 -l 31 1 1 1 1
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
17
e desta forma
d11 1 1 1 1 1
1 . l 21 1 . d22 . 1 . 1 . 1 =L~ 1 1 1 l 31 1 l 32 1 d33
Efetuando as multiplicações a partir da direita vem que
d11 1 1 1 1
l 21 d22 l 21 d22 d22 1 1 =L~
l 31 l 32 d33 l 31 l 32 d33 l 31 l 32 d33 l 31 l 32 d33 l 32 d33
ou seja
d11
l 21 d22 (42)=L~
l 31 l 32 d33
Por sua vez, a matriz U~ vai ser da forma
1 1 u13 1 u12
1 u23 . 1 . 1 =U~
1 1 1
Efetuando novamente as multiplicações a partir da direita vem que
1 u12 u13 1 u12 u13
1 u23 1 =U~
1 1
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
18
ou seja
1 u12 u13
1 u23 (43)=U~
1
Logo a fatoração UL ~~ pode ser obtida diretamente a partir do método de eliminação de Gauss e possui a vantagem de que, se o vetor b for mudado, não se necessita aplicar novamente o método, bastando substituir o novo vetor e resolver pela dupla retrosubstituição mostrada nas equações (28).
4.3. Fatoração UDL ~~~
O método de fatoração UDL ~~~ é similar ao método UL ~~ , com a diferença que, ambas as matrizes L~ e U~ são matrizes com valores unitários na diagonal. Considere então o sistema linear dado por
bxA =⋅~
(44) Considere ainda que a matriz A~ foi fatorizada no produto UL ~~ ⋅ , utilizando-se para isto a eliminação de Gauss, como mostrado anteriormente. Desta forma
DLL ~~~= (45)
Desta forma, a matriz A~ vai ficar
1 d11 1 u12 u13
l21 1 d22 1 u23 =⋅⋅= UDLA ~~~~ l31 l32 1 d33 1
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
19
onde
==
=
jj
ij
jj
ijij
jjjj
d
dl
l
ll
l
(46)
As matrizes L~ e U~ podem ser expressas por
1 1 1 1
=L~ l21 1 = l21 1 . 1 . 1
l31 l32 1 1 l31 1 l32 1
e
1 u12 u13 1 1 u13 1 u12
=U~ 1 u23 = 1 u23 . 1 . 1
1 1 1 1
então
1 1 1 d11
=A~ l21 1 . 1 . 1 . d22
1 l31 1 l32 1 d33
1 1 u13 1 u12
1 u23 . 1 . 1
1 1 1
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
20
Na forma condensada esta equação pode ser escrita como
121323323121~~~~~~~~ UUUDLLLA ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (47)
e então
121
131
132
1123
113
112
1 ~~~~~~~~ −−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= LLLDUUUA (48)
Finalmente, tem-se que
bAxbxA ⋅=⇒=⋅ −1~~ (49)
ou seja
bLLLDUUUx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
−−−−−−− 121
131
132
1123
113
112
~~~~~~~ (50)
Na forma expandida a equação (49) é da forma
x1 1 -u12 1 -u13 1 33
1d
x2 = 1 . 1 . 1 -u23 . 22
1d
x3 1 1 1 11
1d
1 1 1 b1
1 . 1 . -l21 1 . b2
-l32 1 -l31 1 1 b3
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
1
4.4. EXEMPLO
Seja o sistema linear dado por
2 4 2 x1 2
1 4 7 x2 5
2 6 11
.
x3 =
9
(i) Fatorização UL ~~ ⋅ Método de Eliminação de Gauss
1 – Normalização da 1a equação
11
~−D A~ )1(~A
½ 2 4 2 1 2 1
1 1 4 7 1 4 7
1
.
2 6 11
=
2 6 11 2 – Eliminação de x1 na 2a equação
121
~−L )1(~A )2(~A
1 1 2 1 1 2 1
-1 1 1 4 7 0 2 6
1
.
2 6 11
=
2 6 11 3 – Eliminação de x1 na 3a equação
131
~−L )2(~A )3(~A
1 1 2 1 1 2 1
1 0 2 6 0 2 6
-2 1
.
2 6 11
=
0 2 9
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
2
4 – Normalização da 2a equação
12
~−D )3(~A )4(~A
1 1 2 1 1 2 1
½ 0 2 6 0 1 3
1
.
0 2 9
=
0 2 9 5 – Eliminação de x2 na 3a equação
132
~−L )4(~A )5(~A
1 1 2 1 1 2 1
1 0 1 3 0 1 3
-2 1
.
0 2 9
=
0 0 3 6 – Normalização da 3a equação
13
~−D )5(~A )6(~A
1 1 2 1 1 2 1
1 0 1 3 0 1 3
1⁄3
.
0 0 3
=
0 0 1
Logo
3322312111
11
211
311
21
321
31 ~~~~~~~~~~~~~~ DLDLLDLDLLDLDL ⋅⋅⋅⋅⋅=⇒⋅⋅⋅⋅⋅= −−−−−−−
Na forma matricial fica
1 1 1 1 1 ½
1 . 1 . ½ . 1 . -1 1 . 1 =−1~L
1/3 -2 1 1 -2 1 1 1
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
3
Desta forma
2 1 1 1 1 1
1 . 1 1 . 1 . 2 . 1 . 1 =L~ 1 1 2 1 1 2 1 3
Ou seja
2
1 2 =L~ 2 2 3
E assim
2 1 2 1
1 2 . 1 3 =A~ 2 2 3 1
UL ~~⋅=
Uma outra maneira de se obter as matrizes L~ e U~ é como se segue:
2 4 2 12 2 1
1 4 7 1 4 7
2 6 11
Normalização da
1a equação
2 6 11
3,2,1;2
2
1
11
11
1111
===
==
ja
ka
a
ak
jjj
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
4
1
2 2 1 1 2 2 1
1 4 7 0 1 2 6
2 6 11
Eliminação de x1 nas
2a e 3a equações
0 2 2 9
1
2 2 1 1 2 2 1
0 1 2 6 0
1 1
2 3
0 2 2 9
Normalização da
2a equação
0 2 2 9
1 2 2 1 1
2 2 1
0 1
1 2 3 0
1 1
2 3
0 2 2 9
Eliminação de x2 na
3a equação
0 2
0 2 3
3,2,1
1)1(
1122)1(
2
1212
=
−=
==
jakaa
ak
jjj
3,2,1
2)1(
1133)1(
3
1313
=
−=
==
jakaa
ak
jjj
3,2;2
2)1(
22
)1()2(
)1(22
22
2
22
===
==
ja
ka
a
ak
jj
j
3,2
2)2(
232)1(
3)2(
3
)1(3232
=
−=
==
jakaa
ak
jjj
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
5
1
2 2 1 1 2 2 1
0 1
1 2 3 0
1 1
2 3
0 2
0 2 3
Normalização da
3a equação
0 2
0 2
1 3
Pode-se ver que o algoritmo formou duas matrizes, na verdade, as matrizes L~ e U
~. Assim
2 1 2 1
1 2 1 3 =L~
2 2 3
e =U~
1
Utilizando a dupla retrosubstituição para resolver, vem que
=⋅
=⋅⇒=⋅⋅⇒=⋅
yxU
byLbxULbxA ~
~~~~
2 y1 2
1 2 y2 5
2 2 3
.
y3
=
9
3;3
3)2(
33
)2()3(
)2(33
33
3
3
===
==
ja
ka
a
ak
jj
j
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
6
Desta forma, o vetor y vai ser igual a
===
⇒
=⋅−⋅−⋅=
=⋅−⋅=
=⋅=
⇒
=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅
=⋅
121
1)22129(31
2)125(21
1)2(21
9322521
22
3
2
1
3
2
1
321
21
1
yyy
y
y
y
yyyyy
y
O vetor x é determinado pela segunda retrosubstituição, ou seja
=−=
=⇒
=−⋅−⋅−=−=⋅−=
=⇒
==⋅+=⋅+⋅+
21
1
2)1(2111132
1
123112
1
2
3
1
32
3
3
32
321
xxx
xxx
x
xxxxxx
(ii) Fatoração UDL ~~~ ⋅⋅
Os dois métodos são bastante similares, pois ambos necessitam que a matriz A seja fatorizada na forma UL ~~ ⋅ , o que foi conseguido utilizando-se o método de eliminação de Gauss na primeira parte deste exemplo. Recordando as equações do método vem
bAxbxA ⋅=⇒=⋅ −1~~
ou seja
bLDUbUDLbULbAx ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=−−−−−− 111111 ~~~)~~~()~~(~
No exemplo
A~ . x = b
2 4 2 x1 2
1 4 7 x2 5
2 6 11
.
x3
=
9
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
7
ou ainda bxUL =⋅⋅ ~~, ou seja
L~ . U~ . x = b
2 1 2 1 x1 2
1 2 1 3 . x2 = 5
2 2 3
.
1 x3 9
Fatorando DLL ~~~ ⋅= vem que
L~ = L~ . D~
2 1 2
1 2 = ½ 1 . 2
2 2 3 1 1 1 3
Como UDLULA ~~~~~~⋅⋅=⋅= , então bxUDL =⋅⋅⋅ ~~~
, ou seja
L~ . D~ . U~ . x = b
1 2 1 2 1 x1 2
½ 1 . 2 . 1 3 . x2 = 5
1 1 1 3 1 x3 9
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
8
As matrizes L~ e U~
podem ser escritas na sua forma básica como
L~ = 21~L . 31
~L . 32~L
1 1 1 1
½ 1 = ½ 1 . 1 . 1
1 1 1 1 1 1 1 1
e
U~ = 23~U . 13
~U . 12~U
1 2 1 1 1 1 1 2
1 3 = 1 3 . 1 . 1
1 1 1 1
Assim
121323323121~~~~~~~~~~~~~ UUUDLLLUDLULA ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=
então
bLLLDUUUbAx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=−−−−−−−− 121
131
132
1123
113
112
1 ~~~~~~~~
ou seja
x1 1 -2 1 -1 1 ½
x2 = 1 . 1 . 1 -3 . ½
x3 1 1 1 1⁄3
1 1 1 2
1 . 1 . - ½ 1 . 5
-1 1 -1 1 1 9
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
9
Efetuando-se as multiplicações vem que
x1 2 0 1 1 2 2 2
x2 = -1 -1 -1 2 4 4 4
x3 1 1 1 1 3 7 9
A inversa da matriz A pode ser calculada utilizando-se o fato de que
1111 ~~~~~~~~~~ −−−− ⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅= LDUAUDLULA
ou seja
=A~ L~ . D~ . U~
1 2 1 2 1
=A~ ½ 1 . 2 . 1 3
1 1 1 3 1
Então
=−1~A 1~ −U
. 1~ −D
. 1~−L
1 -2 -1 ½ 1
=−1~A 1 -3 . ½ . - ½ 1
1 1⁄3 -1 -1 1
Efetuando as multiplicações chega-se a
4 ⁄3 - 2⁄3 - 1⁄3 ½
=−1~A 3⁄4 3⁄2 -1 - 1⁄4 ½
- 1⁄3 - 1⁄3 1⁄3 - 1⁄3 - 1⁄3 1⁄3
Solução de Sistemas de Grande Porte Clever Pereira
10
NOTAS FINAIS: 1. Para redes elétricas interessa resolver equações do tipo
BarraBarraBarra VYI ⋅= ~ (1)
onde deseja-se resolver a equação (51) para BarraV . Neste sistema de equações lineares, a matriz BarraY~ é geralmente uma matriz simétrica, de tal forma que as matrizes L~ e U~ são tais que
( ) tLU ~~ = (2)
Desta forma, conhecendo-se a matriz U~ , a matriz L~ fica automaticamente conhecida e a matriz D~ nada mais é que uma matriz formada pelos elementos da diagonal da matriz L~ .
2. A troca do vetor b não implica em na necessidade de nenhuma
nova operação de fatoração da matriz A~ . Desta forma, os métodos diretos, derivados do método de eliminação de Gauss, são bastante indicados para a solução de redes frente a diferentes valores de correntes injetadas nas barras.
Estudos de Curto-Circuito Clever Pereira
1
UNIDADE IX
ESTUDOS DE CURTO-CIRCUITO
1. INTRODUÇÃO 1.1. Objetivos: Cálculo das tensões, e principalmente das
correntes no SEP, em RPS, durante condições de curto-circuito.
1.2. Relevância: Valores das tensões e correntes são utilizadas para ajustar relés, dimensionar disjuntores, TC’s, TP’s, etc
2. REPRESENTAÇÃO DA REDE
(a) Geradores síncronos: fontes de tensão constante
atrás de reatância transitória ou subtransitória, dependendo do instante de interesse.
(b) Cargas: desprezadas, bem como outras conexões para
a terra (as correntes de carga têm pouca influência nos valores das correntes de curto-circuito).
(c) Trafos: considerados operando na sua relação
nominal.
(d) Se R << X → desprezam-se as resistências.
Estudos de Curto-Circuito Clever Pereira
2
3. CIRCUITOS EQUIVALENTES PRÉ-FALTA E SUPERPOSTO (PURO DE FALTA)
(a) Circuito pré-falta (sem falta)
(b) Circuito pós-falta (com falta)
Fig. 3 – Circuito com falta ou pós-falta.
EB
+ VFO
EB
+ _
+
_EA
ZSB ZSA ZLA F ZLB _ + _ VFO
RF
ZSB ZSA ZLA F
ZLB
+ _
+
_EA
RF
O curto circuito é obtido com a ligação de uma resistência RF da barra de falta à barra de referência. A ligação de duas fontes de tensão ideais de valor VF0 , em oposição de fases, não modifica o circuito.
Fig. 2 – Circuito sem falta ou pré-falta.
RF
EA
+
_EB
ZSB ZSA ZLA F
ZLB
+ _ EA
+
_EB
ZSB ZSA ZLA F
ZLB
+ _
VFO
+ _
VF0 : tensão pré-falta na barra de falta F
RF : resistência de falta Nota: a ligação de uma fonte de tensão ideal de valor VF0 em série com uma resistência RF não modifica o circuito pré-falta: a corrente que circula neste elemento é nula e a tensão no ponto F permanece VF0.
VFO
Fig. 1 – Sistema Elétrico de Potência com equivalentes vistos do lado A e B.
Fonte A Fonte B Linha de Transmissão
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3
Aplicando-se o Teorema da Superposição ao circuito da figura 3
A figura 4 acima mostra que, na hipótese de uma falta ou curto-circuito, as correntes e tensões em qualquer elemento do SEP podem ser calculadas a partir da soma das correntes e tensões de dois circuitos equivalentes: um primeiro onde a falta ainda não está presente, correspondente ao SEP em RPS antes da falta, ou em condição de operação normal, denominado circuito pré-falta, e um segundo que conta apenas com uma fonte de tensão, cujo valor é o valor da tensão na barra de falta antes de acontecer a falta, denominado circuito superposto ou puro de falta. Convém ressaltar que a corrente de curto-circuito IF é composta apenas da parcela IF” do circuito puro de falta ou superposto, uma vez que a corrente de curto-circuito pré-falta IF’ é nula.
Tomando-se o circuito equivalente de Thevenin visto da barra de falta F, obtém-se para as três seqüências, os circuitos equivalentes mostrados nas figuras 5, 6 e 7 a seguir. É interessante salientar que estas figuras mostram que apenas o
circuitos pós-falta
Fig. 4 – Aplicação do princípio da superposição no cálculo das correntes de curto-circuito.
circuito pré-falta circuito puro de falta
circuito pré-falta + = circuito
pós-falta
circuito superposto
+
VFO + +EA
ZSB ZSA ZLA F ZLB
EB _ _EA +
_ + _ VFO
RF
RF
IF’’= IF
ZSB ZSA ZLA F ZLB
VFO
_ +
IF’ = 0 RF
VFO
EA EB
ZSB ZSA ZLA F ZLB
+ _ EA
+
_
+ _
+_
ZSB ZSA ZLA F ZLB
+ _
+
_EA
RF
EB
IF
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4
circuito equivalente de seqüência positiva possui uma tensão equivalente de Thevenin, pois admite-se que o SEP está em RPS equilibrado com tensões e correntes simétricas antes do aparecimento da falta. No caso de se considerar que o sistema está desequilibrado antes da falta, vão estar presentes as fontes de tensão pré-falta em todas as redes de seqüência.
1101 aFa IZVV −= (1)
222 aa IZV −= (2)
000 aa IZV −= (3)
NOTA: As impedâncias seqüenciais equivalentes de Thevenin vistas da barra de falta F podem ser obtidas diretamente das matrizes das impedâncias de barra de cada uma das seqüências tomando-se os elementos ZFF de sua diagonal.
Fig. 7 – Circuito de Thevenin de seqüência zero visto da barra de falta.
Fig. 6 – Circuito de Thevenin de seqüência negativa visto da barra de falta.
Fig. 5 – Circuito de Thevenin de seqüência positiva visto da barra de falta.
Ia0
Va0
F0 Z0
Z2 Ia2
Va2
F2
Z1 Ia1
Va1
F1
+ _ VF0
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5
4. LIGAÇÃO DOS CIRCUITOS DE SEQUÊNCIA DE FORMA A REPRESENTAR OS DIVERSOS TIPOS DE CURTOS-CIRCUITOS
4.1. Curto-Circuito Monofásico (AT)
A primeira condição de contorno, expressa em componentes simétricas, toma a seguinte forma
=
⋅
=
a
a
aa
a
a
a
IIII
aaaa
III
31
00
11
111
31
2
2
2
1
0
(5)
ou seja
3210a
aaaIIII === (6)
Da segunda condição de contorno tem-se que
afaaaa IZVVVV =++= 210 (7)
Substituindo a equação (6) na equação (7) vem que
03 1210 =−++ afaaa IZVVV (8)
Zf
Ia Ib Ic
c
b
a
Condições de Contorno
===
afa
cb
IZVII 0
(4)
Fig. 8 – Falta fase A para a terra.
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6
As equações (6) e (8) correspondem à ligação dos diagramas de seqüência em série, mostrada na figura 9 a seguir
Fig. 9 – Ligações dos circuitos equivalentes seqüenciais de
Thevenin para uma falta fase A para terra.
Cálculo das correntes de seqüência
10
12
021
01 3
aa
aa
f
fa
IIII
ZZZZV
I
==
+++=
(9)
Cálculo das tensões de seqüência
−=−=
−=
000
222
1101
aa
aa
aFa
IZVIZV
IZVV
(10)
Cálculo das correntes e tensões de fase
=
=
SF
SF
VQV
IQI~
~
(11)
As equações (9) a (11) apresentam as expressões para o cálculo das correntes de falta e das tensões no ponto de falta.
4.2. Curto-Circuito Bifásico (BC)
Fig. 10 – Falta fase B para fase C.
Zf
Ia Ib Ic
a
b
c
Zf
Condições de Contorno
( )
−=−
−==−−=
=
cbfcb
cfbfcb
cb
a
IIZVV
IZIZVVII
I
ou
22
0
(12)
VF0
Z1 Ia1
Va1 + _
Z2 Ia2
Va2
Z0 Ia0
Va0
3Zf
F0
F2
F1
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7
A primeira e segunda condições de contorno, expressas em componentes simétricas, tomam a seguinte forma
−−=
−⋅
=
b
b
b
b
a
a
a
IaaIaa
II
aaaa
III
)()(
0
31
0
11
111
31
2
2
2
2
2
1
0
(13)
ou seja
−==
21
0 0
aa
a
III
(14)
Expressando a quarta condição de contorno em componentes simétricas vem que
])()([)()( 22
10212
022
10212
0 aaaaaafaaaaaa IaaIIaIIaIZVaaVVaVVaV ++−++⋅=++−++ (15)
ou ainda
)()()()( 212
212
aafaa IIaaZVVaa −−=−− (16)
ou cortando o termo (a2 - a), vem que
( ) ( )2121 aafaa IIZVV −=− (17)
ou finalmente que
2211 afaafa IZVIZV −=− (18)
As equações (14) e (18) correspondem à ligação dos diagramas de seqüência positiva e negativa em paralelo no ponto de falta F, deixando o diagrama de seqüência zero isolado dos demais.
Fig. 11 – Ligações dos circuitos equivalentes seqüenciais de Thevenin para uma
falta fase B para fase C.
Cálculo das correntes de
seqüência
0
2
0
12
21
01
=−=
++=
a
aa
f
fa
III
ZZZV
I
(19)
F0 Ia1
Z1
Va1 VF 0 + _
Z2
Ia2
Va2
Ia0 Va0
Z0 Zf Zf
F2 F1
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8
As equações (19) fornecem as expressões para o cálculo das correntes seqüenciais de falta. As tensões de seqüência, correntes de fase e tensões de fase são calculadas pelas equações (10) e (11) do item anterior. 4.3. Curto-Circuito Bifásico (BCT)
O leitor pode reparar que a quarta condição de contorno é idêntica à quarta condição de contorno do item anterior. Desta forma, a equação (18) ainda se verifica neste tipo de curto-circuito. Elas expressam uma relação entre as grandezas de seqüência positiva e negativa. A relação entre as grandezas de seqüência zero e uma das outras seqüências é obtida expressando a primeira condição de contorno em componentes simétricas, ou seja
+++
=
⋅
=
cb
cb
cb
c
b
a
a
a
aIIaIaaI
II
II
aaaa
III
2
2
2
2
2
1
0
31
0
11
111
31
(21)
Desta forma
=++=+
03
210
0
aaa
acb
IIIIII
(22)
Expressando ainda as tensões e correntes de fase em componentes simétricas na segunda e terceira condições de
Fig. 12 – Falta fase B para fase C para terra.
Condições de Contorno
−=−
++=
++==
cfbfcb
cbgcfc
cbgbfb
a
IZIZVVIIZIZVIIZIZV
I
)(
)(0
(20)
Ic
Zf
Ia Ib
b
c
Zf
Zg
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9
contorno e substituindo as expressões obtidas na equação (22), resulta que
+++=++=
+++=++=
022
1022
10
0212
0212
0
3)(
3)(
agaaafaaac
agaaafaaab
IZIaaIIZVaaVVV
IZaIIaIZaVVaVV (23)
O leitor pode reparar que as equações (23) podem ser utilizadas para obter novamente a equação (18), bastando efetuar a diferença Vb Vc. No entanto, em busca de uma relação entre as grandezas de seqüência zero e uma outra seqüência, deve-se por exemplo multiplicar a segunda das equações (23) por a2
+++=++=
+++=++=
02
2102
21022
0212
0212
0
3)(
3)(
agaaafaaac
agaaafaaab
IZaaIIIaZaVVVaVa
IZaIIaIZaVVaVV (24)
Em seguida efetua-se a diferença da primeira pela segunda, eliminando-se os termos de seqüência negativa, resultando em
02
102
102 )1(3)()1()()1( agaafaa IaZIIaZVVa −+−−=−− (25)
Cortando o termo (1 a2) e rearranjando vem que
2211000 3 afaafaagafa IZVIZVIZIZV −=−=−− (26)
onde, nesta equação, já se considerou também a validade da equação (18).
Esta equação e a segunda das equações (22) correspondem à ligação dos diagramas de seqüência positiva, negativa e zero em paralelo no ponto de falta F, mostrado na figura 13 a seguir.
Fig. 13 – Ligações dos circuitos equivalentes seqüenciais de Thevenin para uma
falta fase B para fase C para terra.
Cálculo das correntes de seqüência
( )
+−=
+−=
+=
'0
'2
'2
10
'0
'2
'0
12
'0
'2
'1
01 //
ZZZII
ZZZII
ZZZVI
aa
aa
Fa
(27)
onde
++=
+=
+=
gf
f
f
ZZZZ
ZZZ
ZZZ
30'0
2'2
1'1
(28)
F0 Ia1
Z1
Va1 VF 0 + _
Z2
Ia2
Va2 Ia0
Va0
Z0 Zf Zf
F2 F1
Zf
3Zg
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10
As tensões de seqüência, correntes de fase e tensões de fase são calculadas novamente pelas equações (10) e (11). 4.4. Curto-Circuito Trifásico-Terra (ABCT) ou Trifásico (ABC)
O curto-circuito trifásico-terra (ABCT) corresponde à aplicação na barra F de uma carga equilibrada, ligada em estrela aterrada por impedância Zg, com impedâncias de fase iguais a Zf , conforme figura acima. A matriz das impedâncias de fase desta carga vai ser:
++
+=
gfgg
ggfg
gggf
F
ZZZZZZZZZZZZ
Z~ (29)
Desta forma, a matriz das impedâncias de seqüência vai ser dada por
+=
f
f
gf
S
ZZ
ZZZ
0000003
~ (30)
Fig. 14 – Falta trifásica para a terra ou trifásica sem terra.
a
b
c Ic
Zf
Ia Ib
Zf
Zg
Zf
Ic
Zf
Ia Ib
Zf Zf
abc
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11
Esta carga pode ser representada pelos seguintes diagramas de seqüência.
Já o curto-circuito trifásico ABC (sem terra) corresponde à aplicação na barra de falta F de uma carga equilibrada, ligada em estrela não aterrada, com impedâncias de fase iguais a Zf. Isto equivale ao primeiro caso quando Zg tende a infinito. A matriz das impedâncias de fase vai ser indefinida (todos os seus elementos vão ser iguais a infinito) e a matriz das impedâncias seqüenciais vai ser dada por
∞=
f
fS
ZZZ00
0000
~ (31)
o que corresponde nos diagramas da figura 15 a deixar aberto o diagrama de seqüência zero exatamente no local da impedância Zg , conforme mostra a figura 16 abaixo.
Fig. 16 – Ligações dos circuitos equivalentes seqüenciais de Thevenin para uma falta trifásica sem terra.
Zf
F2Z2 Ia2
Va
Ia1 Z1
VaVF 0 + _
F1
Zf
F0 Ia0
Va0
Z0
Zf
N
F0
Fig. 15 – Ligações dos circuitos equivalentes seqüenciais de Thevenin para uma falta trifásica para a terra.
Zf
F2 Z2 Ia2
Va2
Ia1 Z1
Va1VF 0 + _
F1
Zf
Ia0
Va0
Z0
Zf
3Zg N
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12
O leitor pode verificar que em ambos tipos de curtos-circuitos vão existir apenas corrente de seqüência positiva, uma vez que não existem fontes de Thevenin para as seqüências negativa e zero, quando se considera que o sistema elétrico está em RPS equilibrado com tensões e correntes simétricas antes do curto. Esta corrente de seqüência positiva vai ser dada por
f
Fa ZZ
VI+
=1
01 (32)
As tensões de seqüência, correntes de fase e tensões de fase são calculadas novamente pelas equações (10) e (11).
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13
EEXXEEMMPPLLOO DDEE CCÁÁLLCCUULLOO DDEE CCUURRTTOO--CCIIRRCCUUIITTOO
1 2
3 4
5
6
3 2 1
Fig. 17 – Rede elétrica para cálculo de curto-circuito.
((aa)) TTAABBEELLAA DDEE DDAADDOOSS DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS DDAA RREEDDEE EELLÉÉTTRRIICCAA
Tabela 1 – Dados dos elementos da rede elétrica da figura 17.
Reatâncias
Próprias Elemento De Para
Positiva Negativa Zero
Mútuas (Seq 0)
Elemento Acoplado
Fonte de Tensão
1 0 1 0,25 0,15 0,03 1,0 ∠0°
2 0 3 0,20 0,12 0,02 1,2 ∠0°
3 1 2 0,08 0,08 0,14
4 2 3 0,06 0,06 0,10 0,05 5
5 2 3 0,06 0,06 0,12 0,05 4
6 1 3 0,13 0,13 0,17
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14
((bb)) GGRRAAFFOO OORRIIEENNTTAADDOO
1 2
3 4
5
6
321
Fig. 18 – Grafo orientado
Observação: Muitas vezes, devido às ligações Y-∆ em transformadores e/ou ligações de cargas em ∆ ou Y não aterrado solidamente, o grafo de seqüência zero difere dos grafos de seqüência positiva e negativa, que em geral são iguais. Existem algumas técnicas de criação de elementos fictícios para compensar este problema e evitar o aparecimento de uma matriz de incidência elemento-nó para as redes de seqüência positiva e negativa e outra para a rede de seqüência zero. No caso em questão, os três grafos são idênticos.
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15
((cc)) ÁÁRRVVOORREE,, CCOO--ÁÁRRVVOORREE,, RRAAMMOOSS EE CCOORRDDAASS
1 2
3 4
5
6
32 1
Fig. 19 – Árvore e Co-árvore
Ramos: 1, 2, 3
Cordas: 4, 5, 6
((dd)) MMAATTRRIIZZ DDEE IINNCCIIDDÊÊNNCCIIAA EELLEEMMEENNTTOO--NNÓÓ RREEDDUUZZIIDDAA
11 22 33 44 55 66
1 -1 1 1
2 -1 1 1
=A~
3 -1 -1 -1 -1
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16
((ee)) MMAATTRRIIZZEESS PPRRIIMMIITTIIVVAASS DDAA RREEDDEE pz~ EE py~
0,25 0,20 0,08 0,06 0,06
j=1pz~
0,13
4,000 5,000 12,500 16,667 16,667
j−=1py~
7,692
0,15 0,12 0,08 0,06 0,06
j=2pz~
0,13
6,667 8,333 12,500 16,667 16,667
j−=2py~
7,692
0,03 0,02 0,14 0,10 0,05 0,05 0,12
j=0pz~
0,17
33,333 50,000 7,143 12,632 -5,263 -5,263 10,526
j−=0py~
5,882
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17
((ff)) MMOONNTTAAGGEEMM DDEE BY~ PPOORR IINNSSPPEEÇÇÃÃOO
4,000 + 12,500 + 7,692 -12,500 -7,692
-12,500 12,500 + 16,667 + 16,667 -16,667 – 16,697 jYB −=1~
-7,692 -16,667 – 16,697 16,667 + 16,667 + 7,692 + 5,000
24,192 -12,500 -7,692 -12,500 45,833 -33,333 jYB −=1~
-7,692 -33,333 46,026
6,667 + 12,500 + 7,692 -12,500 -7,692
-12,500 12,500 + 16,667 + 16,667 -16,667 – 16,697 jYB −=2~
-7,692 -16,667 – 16,697 16,667 + 16,667 + 7,692 + 8,333
26,859 -12,500 -7,692 -12,500 45,833 -33,333 jYB −=2~
-7,692 -33,333 49,359
33,333 + 7,145 + 5,882 -7,143 -5,882
-7,143 7,143 + 12,632 + 10,526 + (- 5,263). 2
-12,632 – 10,526 – (-5,263). 2 jYB −=0~
-5,882 -12,632 – 10,526 – (-5,263). 2
50,000+ 12,632 + 10,520 + 5,882 +
(-5,263). 2
46,359 -7,143 -5,882 -7,143 19,774 -12,632 jYB −=0~
-5,882 -12,632 68,514
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18
((gg)) CCÁÁLLCCUULLOO DDEE BZ~
Em razão do tamanho do sistema exemplo, a matriz BZ~ de cada seqüência vai ser obtida pela inversão da matriz BY~ da seqüência correspondente. Ou seja
[ ] 1~~ −= BB YZ
0,1274 0,1061 0,0981
0,1061 0,1345 0,1151 jZB =1~
0,0981 0,1151 0,1215
0,0817 0,0620 0,0546
0,0620 0,0899 0,0704 jZB =2~
0,0546 0,0704 0,0763
0,0238 0,0112 0,0041
0,0112 0,0626 0,0125 jZB =0~
0,0041 0,0125 0,0173
Na verdade não é necessário obter a matriz BZ~ para cada uma das seqüências. Basta obter a coluna k (no caso a coluna 2) da matriz BZ~ para cada seqüência, através da solução do sistema
kiBk
iB ZY ℑ=⋅~
onde o sobrescrito “i” indica a seqüência, o subscrito “k” indica a coluna, “ i
BkZ ” é a coluna “k” de “ iBZ~ ” e “ kℑ ” é o vetor coluna com
todos elementos nulos, menos o elemento “k”, que assume o valor unitário.
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19
((hh)) SSOOLLUUÇÇÃÃOO EEMM CCOONNDDIIÇÇÕÕEESS NNOORRMMAAIISS DDEE OOPPEERRAAÇÇÃÃOO
CCIIRRCCUUIITTOO PPRRÉÉ--FFAALLTTAA (h.1) Equações gerais dos elementos de rede
v
- +
+ -
eipz~
v+ -
j i
py~
iev ⋅=+ pz~
⋅−=
⋅=+
ej
vji
p
p
y
y~
~
Fig. 20 – Elementos genéricos no formato impedância e admitância.
(h.2) Equações da rede de seq positiva na forma de impedância Uma vez que o circuito pré-falta é considerado equilibrado, só haverá componentes de seqüência positiva. Desta forma, a equação da rede vai ser iev p .~z=+ , ou seja
v1 1,0 0,25 i 1
v2 1,2 0,20 i 2 v3 0 0,08 i 3 v4 0 0,06 i 4 v5 0 0,06 i 5 v6
+
0
= j
0,13
⋅
i 6
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20
(h.3) Equações da rede de seq positiva na forma de admitância Na forma de admitância, as equações da rede são da forma
⋅−=
⋅=+
epjonde
vpji
y
y~
~
Assim fazendo ej p ⋅−= y~ resulta que
j1
4,000 1,0 j 4
j2 5,000 1,2 j 6
j3 12,500 0 0
j4 16,667 0 0
j5 16,667 0 0
j =
j6
= j
7,692
⋅
0
=
0
E a equação na forma de admitância será vji p ⋅=+ y~ , ou seja
i1 j 4 4,000 v1
i2 j 6 5,000 v2
i3 0 12,500 v3
i4 0 16,667 v4
i5 0 16,667 v5
i6
+
0
= - j
7,692
.
v6
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21
(h.4) Vetor das correntes de barra O vetor das correntes de barra é dado por
j.AIB
~=
e traduz as correntes injetadas em cada uma das barras pelas fontes. Desta forma
j 4
I1 -1 1 1 j 6 - j 4,0
I2 = -1 1 1 0 0
I3 -1 -1 -1 -1 0 - j 6,0
0
=BI
.
0
=
(h.5) Vetor das tensões de barra O vetor das tensões de barra é dado por
11V 0,1274 0,1061 0,0981 - j 4 1,0981
== 111 ~BBB I.ZV 1
2V = j 0,1061 0,1345 0,1151 . 0 = 1,1151
13V 0,0981 0,1151 0,1215 - j 6 1,1215
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22
(h.6) Tensões em cada um dos elementos
As tensões dos elementos são necessárias para se calcular as correntes dos elementos . Elas são determinadas a partir das tensões de barra da forma
BT VA ⋅=
~v
Assim v 1 -1 – V1 – 1,0981 – 1,0981
v 2 -1 V1 – V3 – 1,1215 – 1,1215
v 3 1 -1 V2 V1 – V2 1,0981 – 1,1151 – 0,0170
v 4 1 -1 V3 V2 – V3 1,1151 – 1,1215 – 0,0064
v 5 1 -1 V2 – V3 1,1151 – 1,1215 – 0,0064
v 6
=
1 -1
.
=
V1 – V3
=
1,0981 – 1,1215
=
– 0,0234
(h.7) Correntes pré-falta em cada um dos elementos do circuito Fazendo jvpi −⋅= y~ resulta que
i 1 4,000 - 1,0981 j 4 j 0,3925
i 2 5,000 - 1,1215 j 6 - j 0,3925
i 3 12,500 - 0,0170 0 j 0,2126
i 4 16,667 - 0,0064 0 j 0,1063
i 5 16,667 - 0,0064 0 j 0,1063
i 6
= - j
7,692
.
- 0,0234
-
0
=
j 0,1799
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23
((ii)) CCÁÁLLCCUULLOO DDOO CCUURRTTOO--CCIIRRCCUUIITTOO ΦΦTT ((AATT)) NNAA BBAARRRRAA 22
( )
−=
=++
=
=++
===
8851,3
0899,01345,00626,01151,1
222
122
022
1202
212
02
j
j
ZZZVIII fff
Fig. 21 – Ligação dos redes de seqüência para cálculo de curto-circuito AT.
Sf
SSSf I.ZVV 222202
~−=
( )
( )
( )
−==−−=
=−=
==−−=
=−=
−==−−=
=−=
pujj
IZVpu
jj
IZVVpu
jj
IZV
ff
ff
ff
3494,0)8851,3(0899,0
.5927,0
)8851,3(1345,01151,1.
2433,0)8851,3(0626,0
.
22
222
22
12
122
120
12
02
022
02
puj
aaaa
−=
=
==
00
6554,11
00.3
111
.11
111~
2
2
12f
12f
S2f
F2f
III.QI
puaaaa
°∠°−∠=
−
−
==
10,1148937,010,1148937,0
0
34937,059265,024329,0
.11
111~
2
2S2f
F2f V.QV
120V
122Z 1
2 fI
12 fV1,1151 0°
222Z 2
2 fI
22 fV
022Z 0
2 fI
02 fV
12 fV
22 fV
02 fV
Observação As tensões i
2fV acima já levam em conta a tensão pré-falta.
Estudos de Curto-Circuito Clever Pereira
24
((jj)) SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDOO CCIIRRCCUUIITTOO PPUURROO DDEE FFAALLTTAA ((SSUUPPEERRPPOOSSTTOO)) ((jj..11)) TTeennssõõeess ddee bbaarrrraa ddoo cciirrccuuiittoo ppuurroo ddee ffaallttaa O vetor das tensões de barra é dado por iii
bbb I.ZV ~= onde o
subscrito i se refere às seqüências 0, 1 ou 2. Nesta equação a única corrente injetada no sistema é a corrente de falta, calculada no item anterior, com o sinal trocado, pois a corrente calculada anteriormente está saindo da barra de falta. Assim
11V 0,12735 0,10609 0,09812 0 - 0,4122
== 1b
1b
1b I.ZV ~ 1
2V = j 0,10609 0,13448 0,11513 . j 3,88513 = - 0,5225
13V 0,09812 0,11513 0,12151 0 - 0,4473
21V 0,08173 0,06201 0,05461 0 - 0,2409
== 2b
2b
2b I.ZV ~ 2
2V = j 0,06201 0,08992 0,07039 . j 3, 88513 = - 0,3494
23V 0,05461 0,07039 0,07631 0 - 0,2735
01V 0,02383 0,01124 0,04117 0 - 0,0437
== 0b
0b
0b I.ZV ~ 0
2V = j 0,01124 0,06262 0,01251 . j 3, 88513 = - 0,2433
03V 0,04117 0,01251 0,01726 0 - 0,0486
NOTA: As tensões acima se referem apenas ao circuito puro de falta, embora a nomenclatura seja a mesma do item (i).
Estudos de Curto-Circuito Clever Pereira
25
((jj..22)) TTeennssõõeess nnooss eelleemmeennttooss ddoo cciirrccuuiittoo ppuurroo ddee ffaallttaa O vetor das tensões nos elementos do circuito é dado por b
T VA .~=v
11v -1 – V1 0,4122
12v -1 V1 – V3 0,4473
13v 1 -1 V2 V1 – V2 0,1103
14v 1 -1 V3 V2 – V3 - 0,0752
15v 1 -1 V2 – V3 - 0,0752
16v
=
1 -1
.
=
V1 – V3
=
0,0351
21v -1 – V1 0,2409
22v -1 V1 – V3 0,2735 23v 1 -1 V2 V1 – V2 0,1084 24v 1 -1 V3 V2 – V3 - 0,0759 25v 1 -1 V2 – V3 - 0,0759 26v
=
1 -1
.
=
V1 – V3
=
0,0326
01v -1 – V1 0,0437
02v -1 V1 – V3 0,0486 03v 1 -1 V2 V1 – V2 0,1996 04v 1 -1 V3 V2 – V3 - 0,1947 05v 1 -1 V2 – V3 - 0,1947 06v
=
1 -1
.
=
V1 – V3
=
0,0049
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26
((jj..33)) CCoorrrreenntteess nnooss eelleemmeennttooss ddoo cciirrccuuiittoo ppuurroo ddee ffaallttaa No circuito puro de falta nenhum elemento possui fonte de corrente, logo 0=j e vpi ⋅= y~ . Desta forma
11i 4,000 0,41218 - j 1,6487
12i 5,000 0,44728 - j 2,2364 13i 12,500 0,11030 - j 1,3787
14i 16,667 - 0,07519 j 1,2532 15i 16,667 - 0,07519 j 1,2532 16i
= - j
7,692
.
0,03510
=
- j 0,2700
21i 6,667 0,24092 - j 1,6061
22i 8,333 0,27348 - j 2,2790
23i 12,500 0,10845 - j 1,3556
24i 16,667 - 0,07589 j 1,2648
25i 16,667 - 0,07589 j 1,2648
26i
= - j
7,692
.
0,03256
=
- j 0,2505
01i 3,333 0,04365 - j 1,4551
02i 50,000 0,04860 - j 2,4301
03i 7,143 0,19963 - j 1,4260
04i 12,632 -5,263 - 0,19468 j 1,4345
05i -5,263 10,526 - 0,19468 j 1,0247
06i
= - j
5,882
.
0,00495
=
- j 0,0291
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((kk)) TTEENNSSÕÕEESS DDEE BBAARRRRAA DDOO CCIIRRCCUUIITTOO SSOOBB FFAALLTTAA ((TTOOTTAAIISS))
Pelo teorema da superposição, as tensões de barra podem ser calculadas somando-se as tensões de barra do circuito pré-falta, i
0bV , com as tensões de barra do circuito puro de falta, ifbV , ou seja
iiifbbb VVV += 0
onde o sobrescrito “i” se refere a cada uma das seqüências. Assim
11V 1
1V 0 11V f 1,0981 - 0,4122 0,6859
12V = 1
2V 0 + 12V f = 1,1151 + - 0,5225 = 0,5927
13V 1
3V 0 13V f 1,1215 - 0,4473 0,6742
21V 2
1V 0 21V f 0 - 0,2409 - 0,2409
22V = 2
2V 0 + 22V f = 0 + - 0,3494 = - 0,3494
23V 2
3V 0 23V f 0 - 0,2735 - 0,2735
01V 0
1V 0 01V f 0 - 0.0437 - 0.0437
02V = 0
2V 0 + 02V f = 0 + - 0.2433 = - 0.2433
03V 0
3V 0 03V f 0 - 0.0486 - 0.0486
É interessante perceber que as tensões i2V são iguais às tensões
calculadas anteriormente na segunda parte do item (i), já considerando o circuito pré-falta.
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((ll)) TTEENNSSÕÕEESS NNOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS DDOO CCIIRRCCUUIITTOO Pelo mesmo motivo do item anterior (teorema da superposição), tem-se para as tensões nos elementos de cada uma das redes de seqüência que
iii vvv f+= 0
onde o sobrescrito i se refere a cada uma das seqüências. Assim
11v 1
10v 11 fv - 1,0981 0,4122 - 0,6859
12v 1
20v 12 fv - 1,1215 0,4473 - 0,6742
13v 1
30v 13 fv - 0,0170 0,1103 0,0933
14v 1
40v 14 fv - 0,0064 - 0,0752 - 0,0816
15v 1
60v 15 fv - 0,0064 - 0,0752 - 0,0816
16v
=
160v
+
16 fv
=
- 0,0234
+
0,0351
=
0,0117
21v
210v 2
1 fv 0,2409 22v
220v
22 fv 0,2735
23v
230v 2
3 fv 0,1084 24v
240v 2
4 fv - 0,0759 25v
250v 2
5 fv - 0,0759 26v
=
260v
+
26 fv
=
0,0326
01v
010v 0
1 fv 0,0437 02v
020v 0
2 fv 0,0486 03v
030v
03 fv 0,1996
04v
040v 0
4 fv - 0,1947 05v
050v 0
5 fv - 0,1947 06v
=
060v
+
06 fv
=
0,0049
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((mm)) CCOORRRREENNTTEESS NNOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS DDOO CCIIRRCCUUIITTOO Pelo mesmo motivo do item anterior (teorema da superposição), tem-se que
iii iii f+= 0
onde o sobrescrito i se refere a cada uma das seqüências. Assim
11i 1
10i 11 fi j 0,3925 - j 1,6487 - j 1,2562
12i 1
20i 12 fi - j 0,3925 - j 1,2564 - j 2,6289
13i 1
30i 13 fi j 0,2126 - j 1,3787 - j 1,1661
14i 1
40i 14 fi j 0,1063 j 1,2532 j 1,3595
15i 1
50i 15 fi j 0,1063 j 1,2532 j 1,3595
16i
=
160i
+
16 fi
=
j 0,1799
+
- j 0,2700
=
- j 0,0901
21i
210i 2
1 fi - j 1.6061 22i
220i 2
2 fi - j 2.2790 23i
230i 2
3 fi - j 1.3556 24i
240i 2
4 fi j 1.2648 25i
250i 2
5 fi j 1.2648 26i
=
260i
+
26 fi
=
- j 0.2505
01i
010i 0
1 fi - j 1.4551 02i
020i 0
2 fi - j 2.4301 03i
030i 0
3 fi - j 1.4260 04i
040i 0
4 fi j 1.4345 05i
050i 0
5 fi j 1.0247 06i
=
060i
+
06 fi
=
- j 0.0291
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((nn)) CCOONNSSIIDDEERRAAÇÇÕÕEESS FFIINNAAIISS O vetor das correntes de seqüência nos elementos, e conseqüentemente o vetor das correntes de fase nos elementos, deve ser obtido pela soma dos valores pré-falta, com os valores obtidos do circuito puro de falta. Por exemplo, o vetor das correntes de fase no elemento 3 (linha que une as barras 1 e 2), sem considerar as condições pré-falta, é dado por
0f3i - j 1.4260 a
f3i 4,1603 ∠- 90° 1
f3i - j 1.3787 bf3i 0,0622 ∠- 108,8°
S3 fi =
2f3i
=
- j 1.3556
F3 fi⇒ =
cf3i
=
0,0622 ∠ - 71,2° Por outro lado, considerando-se as correntes pré-falta, chega-se a
03i - j 1.4260 a
f3i 3,9477 ∠- 90° 13i - j 1.1661 b
f3i 0,2328 ∠- 45,2° S3i =
23i
=
- j 1.3556
F3 fi⇒ =
cf3i
=
0,2328 ∠ - 134,8° A diferença é a corrente de carga (ou pré-falta), que é apenas de seqüência positiva, por considerar-se o sistema equilibrado antes da falta. Os resultados acima mostram que, os valores são muito próximos, principalmente se for de interesse apenas a fase faltosa (erro da ordem de 5,4%). Por esta razão, muitas vezes não se considera as correntes pré-falta. Uma outra aproximação razoável feita no cálculo de curtos-circuitos é considerar que a tensão pré-falta, em qualquer barra do sistema, é de 1,0 pu. Isto também é bastante razoável, uma vez que o valor não pode ser muito diferente, sob pena de transgredir limites junto aos consumidores e aos próprios equipamentos da rede. Esta consideração acarreta a economia de um passo, ou seja a determinação da tensão pré-falta na barra de falta. No exemplo, a tensão pré-falta era de 1,1151 pu, o que, na realidade, é até um pouco elevada para as condições normais de um sistema elétrico de potência.