Máquina a vapor da Estrada de F

erro

Madeira–Mamoré: calor transformado em energia m

ecânica

Casas de farinha representam sustento familiar efonte de renda para o homem do interior

•• Matemática – Progressõespg. 02

•• Matemática – Trigonometria notriângulo

pg. 04•• Física – Movimentos de projéteis

pg. 06•• Física – Trabalho e Energia

pg. 08•• Literatura – Realismo e

Naturalismo Ipg. 10

Progressões

1. Progressão aritmética ( P.A.)DefiniçãoConsideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16).Observamos que, a partir do segundo termo, adiferença entre qualquer termo e seu antecessoré sempre a mesma:4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2Seqüências como esta são denominadas progres-sões aritméticas (PA). A diferença constante échamada de razão da progressão e costuma serrepresentada por r. Na PA dada temos r = 2.Podemos, então, dizer que:Progressão aritmética é a seqüência numéricaonde, a partir do primeiro termo, todos sãoobtidos somando uma constante chamada razão.NotaçãoConsidere a P.A. ( a1, a2, a3, a4, ...., an)Onde:a1= primeiro termoan = último termo, termo geral ou n-ésimotermo n = número de termos(se for uma PA finita)r = razãoClassificaçãoQuanto à razão:• (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão

r = 5. Toda PA de razão positiva (r > 0) écrescente.

• (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3.Toda PA de razão negativa (r < 0) édecrescente.

• (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0.Toda PA de razão nula (r = 0) é constante ouestacionária.

Quanto ao número de termos:• (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e

razão r = 10. Toda PA de n.° de termos finito élimitada.

• (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitostermos e razão r = -2. Toda PA de n.° determos infinito é ilimitada.

Propriedades:• Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo,

é a média aritmética do seu antecessor e doseu sucessor.

• Numa PA qualquer de número ímpar determos, o termo do meio (médio) é a médiaaritmética do primeiro termo e do último termo.

Exemplo: Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e otermo médio é 12. Observemos que o termomédio é sempre a média aritmética do primeiroe do último, ou seja:

3 + 21––––––– = 122• A soma de dois termos eqüidistantes dos

extremos de uma PA finita é igual à soma dosextremos.

Exemplo: Consideremos a PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).

Termo GeralUma PA de razão r pode ser escrita assim: PA(a1, a2, a3, a4, ...., an–1 an)Portanto, o termo geral será:an = a1 + (n – 1)r, para n ∈∈ N*Soma dos Termos de uma PA finitaConsideremos a seqüência (2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16, 18, 20). Trata-se de uma PA de razão 2.

Suponhamos que se queira calcular a soma dostermos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18, 20). Poderíamos obter esta soma manualmente, ouseja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110.Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou1000 termos? Manualmente seria muitodemorado. Por isso, precisamos de um modomais prático para somarmos os termos de umaPA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)observe:a1+a10 = 2 + 20 = 22a2+a9 = 4 + 18 = 22a3+a8 = 6 + 16 = 22a4+a7 =8 + 14 = 22a5+a6 = 10 + 12 = 22Note que a soma dos termos eqüidistantes éconstante (sempre 22) e apareceu exatamente 5vezes (metade do número de termos da PA,porque somamos os termos dois a dois). Logo,devemos, em vez de somarmos termo a termo,fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim,determinamos S10 = 110 (soma dos 10 termos).E agora, se fosse uma progressão de 100 termos,como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), como faríamos?Procederemos do mesmo modo. A soma do a1com a100 vale 101 e esta soma vai-se repetir 50vezes (metade de 100), portantoS100 = 101x50 = 5050.Então, para calcular a soma dos n termos deuma PA, somamos o primeiro com o últimotermo e esta soma irá se repetir n/2 vezes.Assim, podemos escrever:

nSn = (a1 + an) ––––2

Aplicações

01. (FGV) Verifique se 31/20 é termo dasucessão.

1+3nan = ––––––2na) décimo termo; b) quarto termo;c) sexto termo; d) oitavo termo;e) n.d.a.

Solução:1+3n 31an = –––––– e an = –––2n 20

31 1+3n––– = ––––– e ⇒ 62n = 20 + 60n20 2n2n = 20 ⇒ n = 10 (n ∈∈ IN)

02. (MACK) Determine o valor de x para que osnúmeros log28, log2(x+9) e log2(x+7)estejam, nessa ordem, em PAa) x = 5 b) x = 3 c) x = -3d) x = -5 e) n.d.a.

Solução:(log28, log2(x+9) e log2(x+7)) PA2log2(x+9) = log28 + log2(x+7)log2(x+9)2=log28(x+7)⇒ x2+18x+81= 8x+56x2+ 10x+25 = 0 ⇒ x = –503. (UFAM) Quantos são os números naturais

menores que 98 e divisíveis por 5?a) 15 números b) 20 númerosc) 25 números d) 30 númerose) n.d.a.

Solução:(0, 5, 10,..................., 95) PAa1 = 0; an = 95; r = 5an = a1 + (n–1).r ⇒ 95 = 0 + (n–1).595 = (n–1).5 ⇒ 19 = n – 1 ⇒ n = 20Portanto a quantidade de termos é igual a 20.04. (UNIP) Numa PA crescente de 6 termos, a

soma dos termos de ordem ímpar é 27, e asoma dos termos de ordem par é 36.Escreva essa PA

Solução:(x–5r, x–3r, x–r, x+r, x+3r, x+5r) P.A.x–5r + x–r + x+3r=27 ⇒ 3x–3r=27 ⇒ x–r=9x–3r + x+r + x+5r=36 ⇒ 3x+3r=36 ⇒ x+r=12

Logo a PA é dada por: (3, 6, 9, 12, 15, 18) P.A.05. (UEA) O perímetro de um triângulo retângulo

mede 24cm. Calcule as medidas dos lados,sabendo-se que elas estão em P.A.

2

Ao ingressar na Universidade do Estado doAmazonas, o aluno tem acesso a um ricoacervo bibliográfico. Em cinco anos, onúmero de títulos disponíveis cresceu maisde 700%. Em 2001, eram 3.661 títulos e8.235 exemplares. Em 2006, já são 29.058títulos e 95.180 exemplares.A esse acervo, soma-se o material didáticodisponível em todos os 61 municípios dointerior do Amazonas disponível para osalunos dos cursos ministrados pela UEApelo Sistema Presencial Mediado (Proformar,Ciência Política e Licenciatura emMatemática).A rede de serviços é composta por umaBiblioteca Central, nove bibliotecas setoriais,nove bibliotecas de núcleos e 37 mini-bibliotecas. A Biblioteca da UEA é informatizada e utilizao sistema Pergamun, que permite ao alunopesquisar e fazer reservas e renovações detítulos via Internet. O Pergamun já é utilizadoem cerca de 48 instituições de nível superiordo País, o que possibilita aos alunos da UEAconsulta ao acervo dessas instituições. Todoesse sistema de informatização utiliza 68computadores.Além disso, professores, pesquisadores,alunos e funcionários da UEA têm acesso àprodução científica mundial atualizada pormeio do Portal de Periódicos da Capes.Trata-se de uma biblioteca virtual, de fácilacesso, oferecida pelo governo federal emantida pela Capes. O acervo do Portalcompreende mais de 9,5 mil periódicoscompletos, 507 revistas científicas e basesde dados brasileiros de acesso gratuito, 105bases de dados referenciais e, ainda, seisbases de dados de patentes com coberturainternacional e outras fontes de informaçõesacadêmicas.O foco da coleção do Portal são as publi-cações periódicas. Completando essacoleção, estão incluídos importantes sítioscom textos completos, destacando-se:Biblioteca Nacional; Escola Paulista deMedicina; Domínio Público (Ministério daEducação), entre outros.Os usuários autorizados para o acesso àscoleções são professores permanentes,temporários e visitantes, estudantes degraduação, pós-graduação e extensão,funcionários permanentes e temporáriosvinculados oficialmente às instituiçõesparticipantes do Portal.Com o objetivo de qualificar equipestécnicas para o usos e a divulgação doPortal, são desenvolvidos treinamentos emtodas as Unidades Acadêmicas da UEA, pormeio de bibliotecárias capacitadas pelaCapes, bem como treinamento porrepresentantes das editoras credenciadas.

Acervo debibliotecas registracrescimento de 700%

Matemática Professor CLÍCIO

a) 5cm, 9cm e 10cm b) 4cm, 6cm e 10cmc) 4cm, 5cm e 15cm d) 5cm, 6cm e 13cme) n.d.a.

Solução:(x–r, x, x+r)P.A.x–r + x + x+r = 24 ⇒ 3x = 24 ⇒ x = 88–r, 8, 8+r representam os lados de um triânguloretângulo.(8–r)2 + 82 = (8+r)2

64 –16r + r2 + 64 = 64 + 16r + r2

32r = 64 ⇒ r = 2Logo os lados são 6cm, 8cm e 10cm.06. (FGV) Ache a progressão aritmética em que

S10 = –65 e S20 = 170.a) (-20, -17, -14,..........) b) (-20, -15, -10,..........)c) (-10, -17, -24,..........)d) (-20, -17, -14,..........)e) n.d.a

Solução:(a1 + a10).10S10=–65 ⇒ –––––––––––– = –65 ⇒ a1+a10=–132(a1 + a20).10S20=170 ⇒ –––––––––––– = 170 ⇒ a1+a20=172

Logo a P.A. é dada por (-20, -17, -14,..........)2. Progressão geométrica( PG)DefiniçãoEntenderemos por progressão geométrica – PG– como qualquer seqüência de números reaisou complexos, onde cada termo, a partir dosegundo, é igual ao anterior, multiplicado poruma constante denominada razão.Exemplos:(1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ) PG de razão 2(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) PG de razão 1(100, 50, 25, ... ) PG de razão 1/2(2, –6, 18, –54, 162, ...) PG de razão –3Fórmula do termo geralSeja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) ,onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimotermo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q arazão da PG, da definição podemos escrever:a2= a1 . qa3= a2 . q = (a1 . q).q = a1 . q2

a4= a3 . q = (a1 . q2).q = a1 . q3

................................................

................................................Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que édenominada fórmula do termo geral da PG.Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos: a)Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o

décimo termo.Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Paracalcular o décimo termo, ou seja, a10, vempela fórmula:a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

b)Sabe-se que o quarto termo de uma PGcrescente é igual a 20, e o oitavo termo éigual a 320. Qual a razão desta PG?Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemosescrever: a8 = a4 . q8–4 . Daí, vem:320 = 20.q4

Então q4 =16 e portanto q = 2.Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode serexpressa como: (x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.Propriedades principais• Em toda PG, um termo é a média geométrica

dos termos imediatamente anterior e posterior.Exemplo: PG (A, B, C, D, E, F, G)Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ;D2 = C . E ; E2 = D . F, etc.• O produto dos termos eqüidistantes dos

extremos de uma PG é constante.Exemplo: PG (A, B, C, D, E, F, G)Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

Soma dos n primeiros termos de uma PGSeja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...). Para ocálculo da soma dos n primeiros termos Sn ,vamos considerar o que segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + anMultiplicando ambos os membros pela razão q,vem:

Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q . Logo, conforme a definição de PG, podemosreescrever a expressão acima como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . qObserve que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn – a1.Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn – a1 + an . qDaí, simplificando convenientemente,chegaremos à seguinte fórmula da soma:

an . q – a1Sn = ––––––––––q – 1Se substituirmos an = a1 . qn-1, obteremos umanova apresentação para a fórmula da soma, ouseja:

qn – a1Sn = a1 –––––––q – 1

Soma dos termos de uma PG decrescente eilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos)e decrescente. Nestas condições, podemosconsiderar que no limite teremos an = 0.Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

a1S∞ = ––––––q – 1

Aplicações01. (UFMG) Dados os números 1, 3 e 4, nesta

ordem, determine o número que se devesomar a cada um deles para que se tenhauma progressão geométrica.

a) –5 b) –6 c) –7d) –8 e) n.d.a.

Solução:(x+1, x+3, x+4) P.G.(x+3)2 = (x+1).(x+4)x2 + 6x + 9 = x2 + 5x + 4 ⇒ x = –5

02. (UEA) Numa P.G., o primeiro termo é 4 e oquarto termo é 4000. Qual é a razão dessaP.G.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) n.d.a.

Solução:a1 = 4 e a4 = 4000a4 = a1.q3 ⇒ 4000 = 4. q3

q3 = 1000 ⇒ q = 10

03. (UFPA) Numa progressão geométrica, adiferença entre o 2.° e o 1.° termo é 9 e adiferença entre o 5.° e o 4.° termo é 576.Calcule o primeiro termo dessa progressão.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) n.d.a.

Solução:

04. (UFAM) Inserindo- se quatro meiosgeométricos entre a e 486, obtém-se umaP.G. de razão igual a 3. Qual o valor de a?

a) a = –2 b) a = 2 c) a = –3d) a = 3 e) n.d.a.

Solução:(a,................, 486) P.G.q = 3a6 = a1.q5 ⇒ 486 = a. 35 ⇒ a = 2

05. (FGV) Resolva a equação: 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x =7650, sabendo que os termos do 1.°membro estão em P.G.

a) x = -3 b) x = 3 c) x = 4d) x = -4 e) n.d.a.

Solução:(10x, 20x, ................, 1280x) P.G.1280x = 10x.2n–1

128 = 2n-1 ⇒ n = 810x + 20x + 40x + .............+ 1280x = 765010x.(28 – 1)––––––––––– = 7650 ⇒ x = 32 – 1

3

01. Se numa seqüência temos que f(1) =3 e f (n + 1) = 2.f(n) + 1, então o valorde f(4) é:

a) 4 b) 7 c) 15d) 31 e) 42

02. O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de 1.° termo igual a 2 e razão 3 é:

a) 63 b) 65 c) 92d) 95 e) 102

03. O primeiro termo de uma progressãoaritmética, com a7 = 12 e razão igual a5 é:

a) –18 b) 18 c) 42d) –42 e) 2

04. Três números positivos estão emprogressão aritmética. A soma deles é12 e o produto 18. O termo do meio é:

a) 2 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

05. A soma dos múltiplos de 3compreendidos entre 100 e 200 é:

a) 5000 b) 3950 c) 4000d) 4950 e) 4500

06. Um cinema possui 20 poltronas naprimeira fila, 24 poltronas na Segundafila, 28 na terceira fila, 32 na quarta filae as demais fileiras se compõem namesma seqüência. Quantas filas sãonecessárias para a casa ter 800lugares?

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

07. Se a razão de uma P.G. é maior que 1e o primeiro termo é negativo, a P.G. échamada:

a) decrescente b) crescentec) constante d) alternantee) singular

08. Em uma progressão geométrica, oquinto termo é 24 e o oitavo termo é 3.A razão entre o sexto termo e odécimo é:

a) 4 b) 8 c) 1/8d) 16 e) 1/16

09. Sabendo que a sucessão(x – 2, x + 2, 3x – 2,...) é uma P.G.crescente, então o quarto termo é :

a) 27 b) 64 c) 32d) 16 e) 54

10. Dada a progressão geométrica1, 3, 9, 27,..., se a sua soma é 3280,então ela apresenta:

a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termosd) 6 termos e) 5 termos

DesafioMatemático

Trigonometria no triângulo1. Trigonometria:

Trigonometria do Triângulo RetânguloA trigonometria possui uma infinidade de

aplicações práticas. Desde a antiguidade, já seusava da trigonometria para obter distânciasimpossíveis de serem calculadas por métodoscomuns.Algumas aplicações da trigonometria são:Determinação da altura de um certo prédio.

Os gregos determinaram a medida do raio daTerra, por um processo muito simples.Seria impossível se medir a distância da Terra àLua, porém com a trigonometria isso tornasimples.Um engenheiro precisa saber a largura de um riopara construir uma ponte, o trabalho dele é maisfácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisasaber a altura de uma montanha, o comprimentode um rio, etc. Sem a trigonometria ele demorariaanos para desenhar um mapa.Tudo isto é possível calcular com o uso datrigonometria do triângulo retângulo.

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, istoé, um dos seus ângulos mede noventa graus,daí o nome triângulo retângulo. Como a somadas medidas dos ângulos internos de umtriângulo é igual a 180°, então os outros doisângulos medirão 90°.Observação: Se a soma de dois ângulos mede90°, estes ângulos são denominadoscomplementares, portanto podemos dizer que otriângulo retângulo possui dois ânguloscomplementares.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebemnomes especiais. Estes nomes são dados deacordo com a posição em relação ao ânguloreto. O lado oposto ao ângulo reto é ahipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto(adjacentes a ele) são os catetos.

Para padronizar o estudo da Trigonometria,adotaremos as seguintes notações:

Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordocom a sua posição em relação ao ângulo sobanálise. Se estivermos operando com o ânguloC, então o lado oposto, indicado por c, é ocateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente aoângulo C, indicado por b, é o cateto adjacenteao ângulo C.

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar autilidade do conceitos matemáticos no nossocotidiano. Iniciaremos estudando as proprieda-des geométricas e trigonométricas no triânguloretângulo. O estudo da trigonometria é extensoe minucioso.

Propriedades do triângulo retângulo

Ângulos: Um triângulo retângulo possui umângulo reto e dois ângulos agudos complemen-tares.Lados: Um triângulo retângulo é formado portrês lados, uma hipotenusa (lado maior) e outrosdois lados que são os catetos.Altura: A altura de um triângulo é um segmentoque tem uma extremidade num vértice e a outraextremidade no lado oposto ao vértice, sendoque este segmento é perpendicular ao ladooposto ao vértice. Existem 3 alturas no triânguloretângulo, sendo que duas delas são os catetos.A outra altura (ver gráfico acima) é obtidatomando a base como a hipotenusa, a alturarelativa a este lado será o segmento AD,denotado por h e perpendicular à base.

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas sãorelações entre as medidas dos lados dotriângulo retângulo e seus ângulos. As trêsfunções básicas mais importantes datrigonometria são: seno, cosseno e tangente. Oângulo é indicado pela letra x.

Tomando um triângulo retângulo ABC, comhipotenusa H medindo 1 unidade, então o senodo ângulo sob análise é o seu cateto oposto COe o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacenteCA. Portanto a tangente do ângulo analisadoserá a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

2. Relações Trigonométricas

Relação fundamental

Para todo ângulo x (medido em radianos), valea importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1

Fórmulas derivadas das fundamentais

Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais daTrigonometria, a saber:

Dado um arco trigonométrico x, temos:

Fórmula I – Relação Fundamental daTrigonometria.sen2x + cos2x = 1[o mesmo que (senx)2 + (cosx)2 = 1]Fórmula II – Tangente.

senx 1tgx = ––––– = –––––– , com cosx ≠ 0cosx cotgxFórmula III – Co-tangente.

cosx 1cotgx = ––––– = ––––, com senx ≠ 0senx tgxFórmula IV – Secante.

1secx = ––––––, com cosx ≠ 0cosx

4

DesafioMatemático01. Considere o triângulo retângulo

representado na figura abaixo, ondeAB = 3 e AC = 4.

O valor de cos C é:

a) 4/5 b) 3/5 c) 5/3d) 5/4 e) 3/4

02. Se um cateto e a hipotenusa de umtriângulo medem a e 3a, respectiva-mente, então o cosseno do ângulooposto ao menor lado é:

a) b) c)

d) e)

03. Duas rodovias A e B encontram-se emO, formando um ângulo de 30°. Narodovia A existe um posto de gasolinaque dista 5km de O. O posto dista darodovia B:

a) 5Km b) 10Km c) 2,5Kmd) 15Km e) 1,25Km

04. Um retângulo com lados adjacentesmedindo sen α e cos α, com 0<α<π/2,tem perímetro igual a . A área desseretângulo é:

a) 1/4 b) 3/5 c) 4/5d) 5/4 e) 4

05. Sendo sen a + cos a = m, entãosen a . cos a é igual a:

m – 1 m2 – 1 m2+1a) ––––– b) –––––– c) ––––––

2 2 2m+1 m

d) ––––– e) ––––2 2

06. Sabendo-se que cos x = 1/4 e que x éum arco do 4.° quadrante, pode-seafirmar que o valor real positivo dey= [sec2x – secx . cos secx].[1 –cotgx]–1é:

a) 132 b) 16 c) 49d) 1253 e) 43

07. Se um ângulo é igual ao seu comple-mento, então o seno deste ângulo éigual a:

a) b) c)

d) 1 e)

08. O valor de k que verifica simultanea-mente sec x = k/2 e tgx= é:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Matemática Professor CLÍCIO

Fórmula V – Co-secante.1cosecx = ––––––, com senx ≠ 0senx

Nota – Considere, nas fórmulas acima, aimpossibilidade absoluta da divisão por ZERO.Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe asecante de x; se sen x = 0, não existe a cosec x.Para deduzir duas outras fórmulas muitoimportantes da Trigonometria, vamos partir dafórmula I acima, inicialmente dividindo ambosos membros por cos2 x ≠ 0. Teremos:sen2 x cos2x 1––––––– + –––––– = ––––––cos2x cos2x cos2x

Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavel-mente a seguinte fórmula que relaciona a tan-gente e a secante de um arco trigonométrico x:

tg2x + 1 = sec2x

Se em vez de dividirmos por cos2x, dividíssemosambos os membros por sen2x, chegaríamos a:

cotg2x + 1 = cosec2x

As duas fórmulas anteriores são muitoimportantes para a solução de exercícios quecomparecem nos vestibulares; merecem, poristo, uma memorização. Aliás, as sete fórmulasanteriores têm necessariamente de sermemorizadas, e isso é apenas o início! ATrigonometria, infelizmente, depende dememorizações de fórmulas, mas, se vocêsouber deduzi-las, como estamos tentandomostrar aqui, as coisas ficarão muito maisfáceis! Portanto fique tranqüilo(a).

Arapuca

(UEA) Sendo sena + cosa = m, então sena.cosaé igual a:

a) (m-1)/2 b) (m + 1)/2 c) m/2d) (2m-1)/2 e) n.d.a.

Solução:sena + cosa = m(sena + cosa)2 = m2

sen2a + 2sena.cos.a + cos2a = m2

(sen2a + cos2a) + 2sena.cos.a = m2

1 + 2sena.cos.a = m2

sena.cosa = (m2 – 1)/2

(FGV) Simplificar a expressão: senx cosx–––––––––– + –––––––– .1 + cotgx 1 + tgx

1a) ––––––––––––senx + cosx1b) ––––––––––––senx – cosx

1c) –––––– senx1c) –––––– cosx

e) n.d.a.Solução:

4. Lei dos Senos

Considere a figura abaixo, em que se vê umtriângulo ABC inscrito numa circunferência de raioR. Observe que também podemos dizer que acircunferência está circunscrita ao triângulo ABC.

Na figura acima, temos:

AH = diâmetro da circunferência = 2R (R = raio)AO = OH = raio da circunferência = RMedidas dos lados do triângulo ABC:AB = c, BC = a e AC = b.Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciarobservando que os ângulos H e B sãocongruentes, ou seja, possuem a mesmamedida, pois ambos estão inscritos no mesmoarco CA. Além disso, podemos afirmar que oângulo ACH é reto (90°), pois AH é um diâmetro.Portanto o triângulo ACH é um triânguloretângulo.Podemos então escrever:sen H = sen B = cateto oposto/hipotenusa =AC / AH = b/2R.Logo, fica: senB = b/2R e, portanto, b/senB=2R.Analogamente, chegaríamos às igualdadesc/senC = 2R e a/senA = 2RComo essas três expressões são todas iguais a2R, poderemos escrever finalmente:

A B C–––––– = –––––– = ––––– = 2RsenA senB senCEssa expressão mostra que as medidas doslados de um triângulo qualquer sãoproporcionais aos senos dos ângulos opostos aesses lados, sendo a constante deproporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio dacircunferência circunscrita ao triângulo ABC.

5. Lei dos Co-senosConsidere o triângulo ABC na figura abaixo:

AH = altura do triângulo em relação à base CB.Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.Podemos escrever no triângulo AHB: AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitágoras).Analogamente, podemos aplicar o teorema dePitágoras no triângulo AHC: b2 = CH2 + AH2

Mas CH = CB – HB = a – HBPortanto: b2 = (a - HB)2 + AH2

b2 = a2 – 2.a.HB + HB2 + AH2

Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2

Então fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.HBNo triângulo retângulo AHB, podemos escrever:cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/cDaí, HB = c.cosBSubstituindo, fica:b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cosBDa fórmula acima, concluímos que numtriângulo qualquer, o quadrado da medida deum lado é igual à soma dos quadrados dasmedidas dos outros dois lados, menos o dobrodo produto das medidas desses lados pelo co-seno do ângulo que eles formam.Analogamente, poderemos escrever:a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosAc2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosCEm resumo:a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosAb2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosBc2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC

Caiu no vestibular(UEA) Num triângulo dois lados demedidas 4cm e 8cm formam entre sium angulo de 60°. Qual a medida dooutro lado?a) b) c)

d) e) n.d.a.

Solução:Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:x2 = 42 + 82 – 2.4.cos60° = 16 + 64 – 8.(1/2), jáque cos60° = 1/2.x2 = 16 + 64 – 4 = 76x = cm

5

DesafioMatemático

01. Sendo O o centro da circunferência deraio unitário, então x = BC vale:

a) 1 b) 0,8 c) 0,6d) 0,5 e) 0,4

02. O valor de k, para o qual(cosx + senx)2 + k .senx. cos x – 1=0é uma identidade , é:

a) –1 b) –2 c) 0d) 1 e) 2

03. Simplificando a expressão

, encontramos:

a) E = 1 + senxb) 1c) E = sen2x – cos2xd) E = 1 – senx

cosxe) E = –––––––––

1+senx

04. Na figura abaixo, determinar o valor deAB.

a) 65 b) 45 c) 75d) 25 e) 67

05. Na figura abaixo, tem-se representadoo losango ABCD, cuja diagonal menormede 4 cm.

A medida do lado desse losango, emcm, é:

a) b) 6 c)

d) 4 e)

Movimentos de projéteis

Corpos que se movimentam nas imediações dasuperfície terrestre, sem contato com o solo esujeitos apenas à atração gravitacional (forçapeso), estão submetidos à mesma aceleração: ada gravidade (g).

1. QUEDA LIVRE (MUV acelerado em trajetóriavertical).

Equações: origem no ponto inicial (S0 = 0);velocidade inicial nula (v0 = 0); resistência do arnula.

As proporções de Galileu

A área de cada triângulo da figura abaixo énumericamente igual ao deslocamento d.

Conclusão:Em tempos iguais e consecutivos, um móvel emqueda livre percorre distâncias cada vez maiores,na proporção dos ímpares consecutivos: noprimeiro segundo, o móvel cai uma distância d;no segundo seguinte, percorre 3d; no terceirosegundo, 5d, e assim por diante.

Caiu no vestibular(UEA) A expressão popular que afirma que ogato tem “sete vidas” justifica-se pelo fato deeles conseguirem se sair bem de algumassituações difíceis. No caso de uma queda, porexemplo, eles podem atingir o chão, sem semachucar, se a velocidade final for cerca de8m/s. De que altura máxima eles podem cair,sem o perigo de perder uma de suas “vidas”?

a) 2,0m b) 2,5m

c) 3,2m d) 4,0m e) 4,5mSolução:Procuremos o tempo:v = vo + gt ∴ 8 = 0 + 10t ∴ t = 0,8sConsideremos g = 10m/s2 e calculemos a altura:

gt2 10.(0,8)2

S= –––– ∴ S= –––––––– ∴ S=3,2m2 2

Arapuca(UEA) Um corpo é abandonado em queda livrede uma determinada altura. Observa-se que, nosdois primeiros segundos de seu movimento, elecai x metros. Já nos dois segundos seguintes, ocorpo desloca-se y metros. A razão x/y vale,portanto:

a) 1 b) 1/2c) 1/3 d) 2 e) 3

Solução:O intervalo é de 4s. Pelas proporções de Galileu,

o móvel percorre em 1s, 2s, 3s e 4s,respectivamente: d, 3d, 5d e 7d. Então:x = d + 3d = 4dy = 5d + 7d = 12d

xA razão ––– vale:

y x 4d 1

––– = –––– = ––––y 12d 3

2. LANÇAMENTO VERTICAL

Equações: origem no ponto de lançamento (S0 =0); trajetória orientada no sentido do movimento.

Caiu no vestibular

(UEA) Se uma pedra é lançada verticalmentepara cima, a partir do solo, com velocidadeinicial vo = 30m/s, ela atingirá uma alturamáxima h, antes de voltar ao solo. Desprezandoo atrito com o ar e fazendo g = 10m/s2, o valorde h será:

a) 45m b) 35mc) 20m d) 10m e) 5m

Solução:Na altura máxima, o móvel pára (v = 0). Então:v = vo + gt ∴ 0 = 30 + 10 . t ∴ t = 3sA altura máxima atingida:

gt2 10.32

S= vo.t – ––– ∴ S= 30.3 – –––––– ∴ S=45m2 2

ArapucaUm objeto de 2kg é lançado verticalmente parabaixo, com velocidade inicial de 20m/s. Atinge osolo 4s após o lançamento. De que altura ocorpo foi lançado? Com que velocidade eleatinge o solo?Solução:A altura do lançamento:

gt2 10.16S= vo.t – ––– ∴ S= 20.4 – –––––– ∴ S=160m

2 2A velocidade ao chegar ao solo:v = vo + gt ∴ 20 + 10 . 4 ∴ v = 60m/sImportante: observe que a massa do corpo(2kg) não interferiu na resposta.

3. LANÇAMENTO HORIZONTAL

A partir de um ponto situado a uma altura h,acima do solo, o móvel é lançadohorizontalmente e percorre uma trajetóriaparabólica, que pode ser construída utilizando-se a composição de dois movimentosindependentes:a) Movimento horizontal – Nesse movimento, o

corpo percorre espaços iguais (designadospor L, na Figura 2) em tempos iguais:movimento uniforme (velocidade constante).

b)Movimento vertical – Nessa direção, o móvelestá em queda livre (MUV acelerado) a partirdo repouso. Os deslocamentos verticaisobedecem às Proporções de Galileu: 1d, 3d,5d, ..., (2n – 1)d.

6

FísicaProfessor CARLOS Jennings

01. (UFSC) Duas bolinhas, A e B, partemao mesmo tempo de uma certa altura Hacima do solo, sendo que A em quedalivre e B com velocidade vo na direçãohorizontal. Podemos afirmar que:a) A chega primeiro ao solo.b) B chega primeiro ao solo.c) A ou B chega primeiro, dependendo da

altura.d) A ou B chega primeiro, dependendo da

velocidade inicial vo de B.e) As duas chegam juntas.

02. (UFPR) Uma bola rola sobre uma mesahorizontal de 1,225m de altura e vaicair num ponto situado à distância de2,5m, medida horizontalmente a partirda beirada da mesa. Qual a velocidadeda bola, em m/s, no instante em queela abandonou a mesa? (g = 9,8m/s2).a) 5m/s b) 10m/sc) 15m/s d) 20m/s e) 25m/s

03. Um corpo de 2kg deve ser lançadohorizontalmente do alto de uma rampade altura 45m, devendo atingir umburaco a 20m do pé da rampa. Qualdeve ser o valor da velocidade delançamento?a) 12m/s b) 10,5m/s c) 8m/sd) 7,6m/s e) 6,6m/s

04. Um jogador chuta uma bola com umavelocidade inicial de 20m/s, sob umângulo de 60° com a horizontal. Calculea altura máxima que a bola irá atingir.a) 5m b) 10mc) 15m d) 20m e) 25m

05. (Fuvest-SP) Um gato, de um quilograma,dá um pulo, atingindo uma altura de1,25m e caindo a uma distância de 1,5mdo local do pulo (g = 10m/s2). Acomponente vertical da velocidade iniciale a velocidade horizontal do gato valem,respectivamente.a) 5m/s e 1,5m/s b) 1,5m/s e 5m/sc) 5m/s e 15m/s d) 0,5m/s e 1,5m/se) 5,5m/s e 1m/s

06. Uma bola rola sobre uma mesa de80cm de altura, com velocidade cons-tante de 5m/s. Ao abandonar a mesa(g = 10m/s2), a bola cai, tocando osolo no ponto situado, em relação àmesa:a) 3m b) 2m c)1md) 0,5m e) 1,5m

07. Uma pedra de 4kg é lançadaverticalmente de baixo para cima, comuma velocidade inicial de 80m/s. qual aaltura máxima alcançada pela pedra?a) 320m b) 220m c) 120md) 20m e) Nenhuma é correta.

DesafioFísico

Importante: para corpos lançados da mesmaaltura, o tempo de queda é o mesmo,independente das massas dos corpos e de suasvelocidades horizontais de lançamento(desprezando-se os efeitos do ar).

AplicaçãoUma bolinha rola por toda a extensão de umamesa horizontal de 5m de altura e a abandonacom uma velocidade horizontal de 12m/s. Calculeo tempo de queda e a distância do pé da mesaao ponto onde cairá a bolinha (g = 10m/s2).Solução:Calculemos, inicialmente, o tempo de queda,considerando apenas o movimento vertical(queda livre – MUV acelerado):

gt2 10 H = ––– ∴ 5= ––– t2 ∴ 5= 5t2 ∴ t=1s

2 2Considerando agora o movimento horizontal(uniforme), teremos:

SHvH = ––– ∴ SH = vH.t = 12 . 1 =12mt

(o corpo cairá a 12m do pé da mesa).

4. LANÇAMENTO OBLÍQUO

A velocidade de lançamento forma com ahorizontal um ângulo distinto de 0° e de 90°.

A velocidade Vo pode ser decomposta em duascomponentes: Vox (componente da velocidadeno eixo dos x) e Voy (componente da velocidadeno eixo dos y):Vox = vo . cos θθVoy = vo . sen θθO lançamento oblíquo resulta da composição dedois movimentos independentes:a) Movimento horizontal – Esse movimento é

uniforme, uma vez que Vox é constante(desprezando-se a resistência do ar).

b)Movimento vertical – Nesse movimento, avelocidade é variável, pois o corpo estásujeito à aceleração da gravidade: na subida,o movimento é retardado (velocidade eaceleração têm sentidos contrários); nadescida, o movimento é acelerado(velocidade e aceleração têm sentidos iguais).

Importante: o alcance é o mesmo paradiferentes corpos, lançados com a mesmavelocidade inicial e com ângulos de lançamentocomplementares (aqueles cuja soma vale 90°).

ArapucaUm objeto é lançado obliquamente com umavelocidade inicial de 100m/s, que forma com ahorizontal um ângulo de 60°. Calcule a alturamáxima atingida pelo móvel e a distância doponto de lançamento ao ponto em que o móveltoca o solo.

Solução:As componentes da velocidade valem:vox=vo . cos θ =100 . cos 60°=100.0,5 =50 m/svoy = vo . sen θ = 100 . sen 60°= 100 . 0,866 =86,6m/sCalculemos o tempo de subida, usando aexpressão da velocidade vertical. No ponto maisalto, vy = 0:

gt2vy = voy – –––– ∴ 0 = 86,6 – 10t ∴ t= 8,66s

2A altura atingida pelo móvel (MUV retardado):

gt2 10 . (8,66)2

h = voy – ––– = 86,6 . 8,66 – ––––––––– = 375m2 2

Calculemos o alcance (distância horizontalpercorrida em MU). O tempo é o de subida maiso de descida (8,66s + 8,66s):

Sh = vox . t = 50 . 17,32 = 866m

Exercícios01. (PUC-RJ) Uma pedra é lançada

verticalmente para cima. No pontomais alto da trajetória, pode-se dizerque a sua velocidade v e a suaaceleração a têm os seguintes valores,em módulo:a) v = 0 e a = 0 b) v = g e a = 0c) v = a d) v = 0 e a = ge) v = 0 e a = g/2

02. De um ponto a 20m do solo, lança-se,verticalmente para cima, um objetocom velocidade inicial de 10m/s.Despreze a resistência do ar econsidere g = 10m/s2. Considere asafirmativas:I. A altura máxima atingida é de 25m, em

relação ao solo.II. O objeto atinge o solo com velocidade

de 10m/s, em módulo.III. O tempo, do lançamento até o retorno

ao solo, é de 2s.São corretas:a) Apenas a I. b) Apenas a II.c) Apenas a III. d) I e II. e) II e III.

03. (Udesc-SC) Um jogador de basquetearremessa uma bola verticalmentepara cima, com velocidade inicial de15m/s. Sabendo-se que a bola subiudurante 1,5s, calcule, em metros, aaltura máxima que ela atingiu a partirdo seu ponto de lançamento,desprezando a resistência do ar.a) 10,5m b) 11,25m c) 12,5md) 13m e) 14,4m

7

01. (PUC–SP) Você atira um corpo de200g verticalmente para cima, a partirdo solo, e ele atinge uma altura de 3mantes de começar a cair. Considerandoa aceleração da gravidade 9,8m/s2 enula a resistência do ar, a velocidadede lançamento foi de:a) 7,67m/s b) 8,76m/s c) 6,76m/sd) 7m/s e) 6m/s

02. Um pára-quedista, quando a 120m dosolo, deixa cair uma bomba, que leva4s para atingir o solo. Qual a veloci-dade de descida do pára-quesdista?a) 1m/s b) 2m/s c) 5m/sd) 8m/s e) 10m/s

03. Um buriti cai do alto de um buritizeiroe, entre 1s e 2s, percorre 4,5m. Asdistâncias percorridas durante oterceiro e o quarto segundos dequeda são, respectivamente:a) 5,5m e 6,5m b) 6,5m e 7,5mc) 7,5 e 10m d) 7m e 10,5me) 7,5m e 10,5m

04. Um corpo em queda livre sujeita-se àaceleração gravitacional de 10m/s2.Ele passa por um ponto A comvelocidade de 10m/s e por um pontoB com velocidade de 50m/s. Adistância entre os pontos A e B é de:a) 100m b) 120m c) 140md) 160m e) 240m

05. (FESP–PE) Do alto de um edifício,abandona-se uma bola de ferro quedurante o último segundo percorre25m. A altura do edifício vale, emmetros:a) 45 b) 40c) 35 d) 80 e) 125

06. Um ouriço de castanha desprendeu-sedo alto de uma castanheira de 20m. Otempo de queda e a velocidade doouriço ao chegar ao solo são,respectivamente:a) 2s e 20m/s b) 20s e 2m/sc) 3s e 30m/s d) 4s e 40m/se) 5s e 50m/s

07. Do alto de uma torre, um garoto deixacair uma pedra, que demora 2s parachegar ao solo. Qual a altura dessatorre?a) 10m b) 20mc) 30m d) 40m e) 50m

08. Uma pedra é arremessadaverticalmente para cima, comvelocidade inicial de 30m/s. Calcule aaltura máxima que ela atinge?a) 15m b) 25mc) 35m d) 45m e) 55m

DesafioFísico

Trabalho e Energia

O conceito científico de trabalho nem semprecoincide com o que se pensa vulgarmentesobre trabalho (geralmente tido como “qualqueresforço do corpo ou da mente”).Para a Física, Trabalho é a medida das transfor-mações de energia causadas por uma força sobreum sistema. Energia é um conceito muito abran-gente e, por isso mesmo, muito abstrato e difícilde ser definido de um modo preciso. Usandoapenas a experiência do nosso cotidiano, podería-mos conceituar energia como algo que é capazde originar mudanças no mundo.Podemos dizer que a presença de energia numdado sistema físico encerra a possibilidadede que se produza movimento. Por exemplo: aenergia armazenada por uma pessoa, a partirdos alimentos, permite que ela se movimente emova outros corpos.Trabalho (ττ) de uma força constante – Se umaforça

→→

F constante atua em uma partícula,produzindo um deslocamento

→

d. O trabalhorealizado por essa força é dado por:ττ =F.d.cos θθF = módulo da força aplicada ao corpo;d = módulo do deslocamento;θθ = ângulo entre

→

F e →

d.Unidade de trabalho (SI) – O joule: trabalhorealizado por uma força de 1 newton, aodeslocar um corpo por 1 metro (1J = 1N . 1m).

Dependendo do valor de θ, o trabalho de umaforça pode ser:a) Positivo (trabalho motor) – A força “contribui”

com o deslocamento.b)Negativo (trabalho resistente) – A força atua

em oposição ao deslocamento. c) Nulo – A força é perpendicular ao sentido do

deslocamento do corpo.Importante: o trabalho de uma força perpen-dicular ao deslocamento é sempre nulo.

Aplicação

Um corpo movimenta-se por 10m sobre umasuperfície horizontal sob a ação das forçasconstantes indicadas na figura. Calcule otrabalho de cada uma das forças atuantes nocorpo. Dados: P = 100N; F = 50N; Fat = 10N;cos 60° = 0,5; cos 90° = 0; cos 180° = −1.

Solução:a)

→

P e→

N são perpendiculares ao deslocamento(θ = 90º):τP = P.d.cos90° = 100.10.0 = 0 τN = N.d.cos90° = 0b) Trabalho de

→

F (θ = 60°):τF = F.d.cos60° = 50. 10. 0,5 = 250J (trabalhomotor);

c) Trabalho de→

Fat (θ = 180°):

τ Fat = Fat.d.cos180° = 10.10.(−1) = −100J(trabalho resistente).Energia Mecânica – Chamamos de EnergiaMecânica a todas as formas de energiarelacionadas com o movimento de corpos oucom a capacidade de colocá-los em movimentoou deformá-los. É dada pela soma das energiascinética e potencial: Em = Ec + Ep

Energia Cinética – Energia associada ao movi-mento. É uma grandeza escalar que depende damassa e do quadrado da velocidade do corpo:

mv2

Ec = –––––– 2

Energia Potencial Gravitacional – Energiaarmazenada associada à posição do corpo;pode permanecer armazenada indefinidamente,ou ser utilizada a qualquer momento naprodução de movimento, ou seja, pode sertransformada, no todo ou em parte, em energiacinética: Ep = m.g.h

Energia Potencial Elástica

É a energia armazenada em uma molacomprimida ou distendida. Matematicamente:

kx2

Epe = –––––, onde k é a constante elástica e x é2

a deformação da mola (quanto a mola foi compri-mida ou distendida).Teorema da Energia Cinética – O trabalho daforça resultante é igual à variação de energiacinética: ττ = ∆∆Ec = Efinal −− Einicial

Princípio da Conservação da EnergiaMecânica – Uma força é chamada conservativa,quando pode devolver o trabalho realizado paravencê-la. Desse modo, o peso de um corpo e aforça elástica são exemplos desse tipo de força.No entanto a força de atrito cinético, que nãopode devolver o trabalho realizado para vencê-la, é uma força não-conservativa, ou dissipativa(degrada energia mecânica).Em um sistema no qual só atuam forças conser-vativas (sistema conservativo), a energia mecânicase conserva, isto é, mantém-se com o mesmovalor em qualquer momento, alternando-se nassuas formas cinética e potencial (gravitacional ouelástica).

Aplicação

Uma pedra de 2kg é abandonada de uma alturade 8m em relação ao solo. Calcule a energiacinética e a velocidade de que estará dotada apedra ao atingir o solo? (Despreze a resistênciado ar e considere g = 10m/s2).

Solução:

a) Ec = Ep ∴ Ec = mgh = 2.10.8 = 160J (aoatingir o solo, a pedra terá uma energia cinéticaque corresponde à energia potencial que tinhaquando iniciou a queda).

mv2 2.v2

b) Ec = –––– ∴ 160 = –––– ∴v = =12,6m/s2 2

IMPULSO E MOMENTO LINEAR

Um corpo recebe um impulso (→

I ) quando ésolicitado por uma força durante um certointervalo de tempo.Impulso de uma força constante:

→→

I =→→

F∆∆t– É uma grandeza vetorial (possui módulo,

direção e sentido).– Tem módulo proporcional ao módulo de

→

F(quanto maior a força, maior o impulso).

– Tem sempre direção e sentido iguais aos de →

F.

8

O Sol ocupa uma posição central nomosaico energético da Terra. A energiadele emanada induz a formação de todasas outras formas de energia, exceto anuclear.A energia solar dá causa aos movimentosdos ventos e das águas, que são formasde energia mecânica. Essa energiaalimenta as usinas e os moinhos para ageração de energia elétrica que chega àsnossas casas, a qual, por seu turno, étransformada em energia térmica (nochuveiro), em energia mecânica (nomovimento do liquidificador), em energialuminosa (nas lâmpadas), etc. É pelaenergia de radiação provinda do Sol quese formam os ventos e se aquecem osrios, realizando-se, assim, o ciclo daágua, que vai propulsionar usinas ashidroelétricas.Como se não bastassem todas as formasde energia que derivam do Sol, a energiade radiação ainda pode ser usadadiretamente para produzir energiaelétrica, por meio das célulasfotoelétricas, e também como energiatermoelétrica, por meio do calor.Utilizar energia solar como fonte deenergia elétrica pode resolver muitosproblemas da vida moderna, em que,indiscriminadamente, fabricam-seequipamentos e máquinas movidos aeletricidade.A utilização de células fotoelétricas para aprodução de energia elétrica tambémpode representar uma alternativa emregiões de difícil acesso como aAmazônia, onde o fornecimento deenergia solar é abundante o ano inteiro.

FísicaProfessor CARLOS JenningsAnota

Aí!

Aplicação

Sob a ação de uma força resultante constante deintensidade 20N, um corpo, de 1,0kg, parte dorepouso no instante t = 0. Calcule o módulo doimpulso da resultante, desde t = 0 até t = 5,0s, ea velocidade final.

Solução:→

I =→

F∆t ⇒ I = 20.5 = 100NsPara calcular a velocidade, lembre-se de quev = vo + at, sendo vo = 0 e a = F/m:

F 20v = ––– .t = ––– . 5= 100m/s

m 1Momento linear (

→

Q) – Também chamado demomentum ou quantidade de movimento, omomento linear é uma grandeza vetorial dadapela expressão:

→→

Q = m. →→v– Tem módulo proporcional ao módulo de

→v.

– É uma grandeza instantânea (depende dadefinição da velocidade vetorial instantânea).

– Tem sempre direção e sentido iguais aos de →v.

Relação entre Energia Cinética e MomentoLinear

mv2

Ec = ––––– (I)2

QQ = mv ∴∴ v = ––– (II)

mSubstituindo (II) em (I):

Q2

Ec = ––––2m

Teorema do Impulso→F = m

→a ( I )

∆→v

→v –

→vo→

a = ––– = ––––––– (II)∆t ∆t

Substituindo (II) em (I):(→v –

→vo)→

F = ––––––– ∴→F∆t = m

→v – m

→vo∆t

→Itotal =

→Qfinal –

→Qinicial

O impulso total exercido em um sistemadurante um certo tempo corresponde àvariação do momento linear desse sistemadurante o intervalo de tempo considerado.

Atenção!Do Teorema do Impulso, pode-se constatar queimpulso e momento linear são grandezasfísicas de mesma espécie, pois a primeira édada pela variação da segunda. Por isso,possuem as mesmas dimensões e podem sertraduzidas nas mesmas unidades.

Aplicação

Para bater um pênalti, um jogador aplica umchute na bola, de massa 0,4kg, comunicando-lhe uma velocidade horizontal de módulo4,0m/s. Sabendo-se que, inicialmente, a bolaestava em repouso e que o chute teve duraçãode 1,0.10−2s, calcular a intensidade média daforça aplicada pelo pé à bola.

Solução:

Considerando a força aplicada pelo pé como aresultante paralela ao movimento, peloTeorema do Impulso:Itotal = Qfinal – Qinicial

Como a bola estava inicialmente em repouso,tem-se Qinicial = 0:Itotal = Qfinal = mvfinal (I)No caso, Itotal pode ser calculado por:Itotal = Fm∆t (II)

Comparando (I) e (II):

m.vfinal 0,4 . 4,0Fm∆t = m.vfinal ∴ Fm=–––––– = ––––––––=160N

∆t 1,0 . 10–2

Princípio da Conservação do Momento Linear

– Um dos mais relevantes da Mecânica; podeser assim enunciado:– Num sistema físico isolado de forçasexternas (aquele em que a resultante das forçasexternas que nele agem é nula), o momentolinear total permanece constante. Então:→

Qtotal = constante ou →

Qfinal = →

Qinicial ⇒ ∆→

Qtotal = →

0

Aplicação

Antônio Farias, pescador do Cambixe, está comsua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tantoa canoa como o pescador repousam em relaçãoà água que, por sua vez, não apresentaqualquer movimento em relação à Terra. Atritosda canoa com a água são desprezíveis e, nolocal, não há ventos. Num determinado instante,o pescador atira horizontalmente a sua zagaiade massa 2,0kg que sai com velocidade de10m/s. Calcule o módulo da velocidade doconjunto pescador/canoa, de massa igual a150kg, imediatamente após o disparo.Solução:

Sendo o sistema fisicamente isolado:→

Qfinal = →

Qinicial ∴→

Qfinal = →

0→

Qzagaia + →

Qconjunto = →

0 ∴ →

Qzagaia = −→

Qconjunto

Em módulo:Qzagaia = Qconjunto

mzagaiavzagaia = mconjuntovconjunto

2,10 = 150.vconjunto

vconjunto = 0,13m/s

Exercícios

01. Um astronauta, tendo em suas mãosum pequeno objeto, encontra-se emrepouso, em uma região do espaçoonde não existe nenhuma atração gravi-tacional. Nesta situação, ele arremessao objeto, aplicando-lhe um impulso de12N.s. Considere o sistema astronauta+objeto e assinale, entre as afirmativasseguintes, aquela que está errada:

a) O astronauta recebe, do objeto, umimpulso de módulo igual a 12N.s.

b) O objeto passa a se deslocar comuma quantidade de movimento de12kg.m/s.

c) O módulo da quantidade demovimento adquirida pelo astronautaé menor do que 12kg.m/s.

d) A quantidade de movimento dosistema, antes de o objeto serarremessado, era nula.

e) A quantidade de movimento dosistema, depois de o objeto serarremessado, é nula.

02. (UFMG-MG) Suponha que o motor deum carro, durante a aceleração, exerçano veículo uma força constante de1500N. Admitindo que o carro parta dorepouso e que a força atue durante6,0s, sendo de 900kg a massa docarro, a velocidade adquirida no fimdesse tempo será:

a) 10m/s b) 10km/hc) 36m/s d) 30m/s e) 15km/h

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01. Uma partícula de 20kg parte do repousoe, sob a ação única da força constante

→

Fde intensidade de 100N, atinge avelocidade de 72km/h. Determine:

a) a aceleração da partícula;b) o deslocamento da partícula;c) o trabalho realizado pela força

→

F.

02. Um bloco é lançado com umavelocidade inicial v0 sobre umasuperfície horizontal e, após percorreruma distância d, atinge o repouso.Nessas condições:

a) Houve ou não realização de trabalho?b) Em caso positivo, que forças

realizaram trabalho? Esse trabalho épositivo ou negativo?

03. Um corpo de massa 2kg move-sehorizontalmente com uma velocidade de3m/s. Num dado instante, passa a atuarnele uma força F, passando a mover-se,em 3s, com uma velocidade de 7m/s.Qual foi o trabalho realizado pela forçasobre o corpo? (Sugestão: utilize o Teoremada Energia Cinética).

04. (Fuvest-SP) Uma bola de 0,2kg échutada para o ar. Sua energiamecânica em relação ao solo vale 50J.Qual é a sua velocidade quando está a5m do solo? Dado: g = 10m/s2.

05. Na questão anterior, a que altura emrelação ao solo estaria a bola, se tivessea velocidade de 10m/s.

06. Uma pedra de 0,10kg é lançadaverticalmente para cima com energiacinética de 20J. Qual é a altura máximaatingida pela pedra, sabendo-se que g =10m/s2? (Sugestão: utilize o Princípio daConservação da Energia Mecânica).

07. (Unicamp-SP) Uma metralhadoradispara balas de massa 80g comvelocidade de 500m/s. O tempo deduração de um disparo é 0,01s.

a) Calcule a aceleração média que umabala adquire durante um disparo.

b) Calcule o impulso médio exercidosobre uma bala.

08. Sobre o impulso de uma força,podemos afirmar que:

a) é igual à variação da energia cinética;b) é uma grandeza escalar;c) é uma grandeza termodinâmica;d) é igual ao produto da força pela

velocidade;e) tem a mesma dimensão de

quantidade de movimento.

DesafioFísico

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Realismo e Naturalismo I

1. ASPECTOS GERAISa) Duração no Brasil – 1881 a 1893.

b) Obra inauguradora do Realismo:

Memórias Póstumas de Brás Cubas(romance,1881), de Machado de Assis.

c) Obras inauguradoras do Naturalismo:

1. O Coronel Sangrado (romance, 1877), de Inglês de Sousa.

2. O Mulato (romance,1881), de Aluísio Azevedo.

d) Mistura – Realismo e Naturalismo mistu-ram-se na literatura brasileira. Não hácoincidência apenas de datas; os temas,derivados da filosofia de Tobias Barreto,são comuns às obras dos dois períodos.

e) Guerra ao Romantismo – Realismo eNaturalismo opõem-se radicalmente aoRomantismo.

2. ASPECTOS HISTÓRICO-CULTURAISa) A burguesia substitui a aristocracia no

poder.

b) A Revolução Industrial traz avanços nocampo da ciência e da tecnologia.

c) A ciência é exaltada; apregoa-se a idéiade que ela é capaz de resolver todos osproblemas da humanidade.

d) As idéias de Darwin (As Origens das Es-pécies, 1859) são impostas: o meio con-diciona todos os seres vivos, deixandoviver apenas os mais fortes. O meio am-biente é capaz de interferir na formaçãoda matéria e do espírito.

e) A teoria do evolucionismo (ou darwinismo)repercute na Economia, na Filosofia, naPolítica e na Literatura.

f) O Positivismo nasce na França: prega oapego aos fatos, rejeitando qualquer teo-ria metafísica para a existência e a atua-ção do homem no mundo.

g) O mundo torna-se materialista, suplan-tando o subjetivismo pregado no períodoromântico.

h) As Cartas Filosóficas de Voltaire atacamas instituições do clero e da monarquia.Isso provoca a mudança da liderança his-tórica da aristocracia para a burguesia.

3. SITUAÇÃO BRASILEIRAa) O Positivismo encontra ressonâncias na

Faculdade de Direito do Recife.

b) A abolição dos escravos provoca um cres-cimento urbano inesperado, favorecendoas atividades artísticas, entre elas a Lite-ratura.

c) Os primeiros imigrantes europeus (prin-cipalmente italianos) chegam ao brasilpara substituir a mão-de-obra escrava.

d) A decadência da lavoura açucareira virarealidade. A lavoura cafeeira toma impul-so, favorecendo o aparecimento de novascomunidades e o aumento dos bens deconsumo.

e) A comunicação brasileira experimenta a

revolução do telégrafo.

f) Os jornais, agora com periodicidade regu-lar, fixam-se nos centros culturais.

4. CARACTERÍSTICAS DO REALISMO/NATURALISMOa) Apego à objetividade – Não há mais es-

paço para uma literatura com textos pro-lixos, com descrições exaltadas de paisa-gens e de personagens.

c) Crença na razão – A emoção cede lugarà razão, sugerindo frieza (às vezes crue-za) nas relações amorosas.

d) Materialismo – A literatura passa a exibiruma visão materialista da vida, do homeme da sociedade, negando a relação comDeus.

e) Cientificismo – A defesa de que a vida eas ações dos homens são determinadaspela ciência é postura radical do Natura-lismo.

f) Determinismo – O Naturalismo constróipersonagens cuja conduta obedece a trêsvariáveis: a hereditariedade (que explicaas tendências, os caracteres e as patolo-gias), o meio (capaz de determinar o com-portamento) e o momento histórico (res-ponsável pelas ideologias).

g) Problemas patológicos – A literatura pas-sa a retratar temas que chocam a socieda-de: homossexualismo, lesbianismo, inces-to, taras sexuais, loucura, adultério, racis-mo, prostituição.

4. AUTORES E OBRAS

MACHADO DE ASSIS

Origem humilde – O pai é mulato, pintor deparedes do Morro do Livramento, no Rio deJaneiro. A mãe (portuguesa) lava roupa paraajudar nas despesas de casa.

Infância paupérrima – Machado tem umainfância paupérrima, de menino do morro,com as dificuldades comuns de uma famíliapobre.

Órfão – O pai, a mãe e a irmã logo morrem.Maria Inês, a madrasta, dá-lhe carinhos demãe e é quem o alfabetiza, auxiliada por umpadre da Igreja de Lampadosa.

Escola: sonho distante – Maria Inês traba-lha na cozinha de uma escola dirigida porsenhoras. Graças a essa atividade, o meni-no Machado de Assis pode ali se matricular.A disciplina inclui palmatória e castigos cor-porais, mas Machado é aluno exemplar, ávi-do por conhecimento.

Vendedor de balas e doces – No períodoem que não está na escola, o garoto pobre,magro, franzino vende balas e doces (fabri-cados pela madrasta) nas ruas de São Cris-tóvão.

Francês na padaria – A proprietária dapadaria do bairro (São Cristóvão) logosimpatiza com Machado de Assis. Começa,então, a dar-lhe aulas de francês. A evoluçãoé espantosa: Machado domina rapidamentea nova língua. No futuro, vale-se dessesconhecimentos para ser revisor de provas naImprensa Nacional.

Primeiro emprego – Machado de Assis, járapaz, precisaa trabalhar. A Livraria e Tipogra-fia Paula Brito é a mais famosa da época, noRio de Janeiro. Ali Machado vai atrás do seuprimeiro emprego. Não sabe fazer nada, masquer estar em contato com livros e escritores.

Aprendiz de tipógrafo – Depois de umacerta experiência, é admitido na Imprensa

LiteraturaProfessor João BATISTA Gomes

01. Os itens seguintes contêm caracterís-ticas de períodos literários brasileiros.Qual deles foi caracterizado errada-mente?

a) Romantismo: nacionalismo extremado,valorização do índio e da natureza.

b) Arcadismo: linguagem culta,rebuscada, com antíteses e hipérbatos.

c) Parnasianismo: apego à rima, àmétrica, à perfeição; poesia descritiva,com ausência de emoções.

d) Realismo: o importante não era atrama, o enredo em si, mas aprofundidade com que aspersonagens eram analisadas.

e) Realismo: análise da realidade sem oprisma da fantasia e do sonho.

02. Um dos itens seguintes não pode seratrelado ao surgimento do Realismo-Naturalismo no Brasil. Identifique-o.

a) A cieência e a tecnologia passaram ainfluenciar a visão do escritor.

b) A valorização do materialismo, numaatitude clara de combate aosubjetivismo e ao misticismo.

c) O crescimento urbano motivou aformação de uma casta intelectual e,conseqüentemente, o consumo delivros.

d) Valorização do conhecimento empírico.e) Tentativa de atrelar o comportamento

humano à hereditariedade e ao meio.

03. (Desafio do Rádio) O homossexualis-mo virou tema de obras literárias noRealismo-Naturalismo. Isso se podecomprovar no romance:

a) Dom Casmurro;b) O Mulato;c) Memórias Póstumas de Brás Cubas;d) A Normalista;e) O Bom Crioulo.

04. (Desafio da TV) Ambientados em pe-quenas e desconhecidas cidades daAmazônia, os romances de Inglês deSousa não despertaram a atenção dosleitores do Sul, onde foram publicados.Os leitores ainda se deleitvam com fan-tasias, fugindo à realidade nua e cruade uma região ainda inexplorada naliteratura brasileira. Cronologicamente,Inglês de Sousa inaugurou o Naturalis-mo no Brasil, em 1877, com o roman-ce:

a) O Bom Crioulo;b) O Coronel Sangrado;c) Dona Guidinha do Poço;d) O Missionário;e) O Mulato.

Desafio literário

Nacional como Aprendiz de Tipógrafo. Àsvezes, deixa de fazer o seu trabalho paraentregar-se a leituras. Os colegas logo odenunciam ao diretor da casa. Nasce,assim, a amizade com Manuel Antônio deAlmeida, o festejado autor de Memórias deum Sargento de Milícias.

Revisor – Com a idade de 19 anos,Machado já tem fama de intelectual eestudioso: é contratado por Paula Brito paraatuar como revisor de provas na livraria eeditora. Além de dominar o francês,Machado dá provas de conhecer emprofundidade a língua portuguesa.

Contos e Crônicas em jornais – Conhecidono meio intelectual carioca, Machado come-ça a colaborar em vários jornais e revistasdo Rio de Janeiro, escrevendo contos, crôni-cas e críticas literárias.

Primeiro livro – Com vinte e cinco anos deidade, Machado publica o seu primeiro livro:um volume de poemas intitulado Crisálidas.A fama, aos poucas, vai-se espalhando – gra-ças à intensa atividade literária registrada nosjornais e nas revistas.

Funcionário Público – Em 1867, ingressa nofuncionalismo público, ocupando um cargono Diário Oficial. Já goza, então, da admira-ção e do respeito do público. Já tem famade escritor. É conhecido no Rio de Janeirocomo homem sério, inteligente e esforçado.

Primeira e única namorada – Machado co-nhece Carolina. Moça branca, já na casa dostrinta, livre de compromissos amorosos, re-cém-chegada de Portugal, conquista imedia-tamente o coração do escritor. A paixão temo aval do irmão de Carolina, o poeta Xavierde Novais, mas esbarra no preconceito dafamília branca: Machado é mulato.

Vitória do amor – Machado e Carolina casam-se no fim do ano de 1869. Não têm filhos.Vivem 35 anos um para o outro. Quando elamorre, em 1904, Machado dedica-lhe um so-neto. Veja-o na íntegra:

À CarolinaQuerida, ao pé do leito derradeiro,Em que descansas desta longa vida,Aqui venho e virei, pobre querida,Trazer-te o coração do companheiro.

Pulsa-lhe aquele afeto verdadeiroQue, a despeito de toda a humana lida,Fez a nossa existência apetecida, E num recanto pôs o mundo inteiro.

Trago-te flores, – restos arrancadosDa terra que nos viu passar unidosE ora mortos nos deixa separados.

Que eu, se tenho nos olhos malferidosPensamentos de vida formuladosSão pensamentos idos e vividos.

Fama ainda em vida – Diferentemente deoutros mulatos da literatura brasileira, Macha-do não precisa morrer para tornar-se célebre.A despeito da origem humílima, da cor, dadoença (era epiléptico), vence o talento. Tan-to a carreira de escritor, como a de funcioná-rio público, quanto a literária evoluem vertigi-nosamente. Numa época em que o escritornão ganha dinheiro, machado sabe dosar aatividade profissional com a vocação literária.Além de escritor festejado, torna-se o primei-ro presidente da Academia Brasileira de Le-tras, sem dúvida uma das maiores glórias

do escritor ainda em vida.

Escritor completo – Poucos autores na litera-tura brasileira são tão ecléticos quanto Macha-do. Faz incursões pela prosa (romance, conto,crônica, teatro, crítica literária e social) e pelapoesia, com sucesso em ambos. Tudo o queMachado escreve faz sucesso. Mas é, semdúvida, no romance e no conto que o escri-tor torna-se mestre. Ainda vivo, é aclamadopor todos como o maior escritor da literaturabrasileira – título que perdura até hoje.

OBRAS ROMÂNTICAS

1. Crisálidas (1864, poesias)2. Falenas (1870, poesias)3. Americanas (1875, poesias)4. Ressurreição (1872, romance)5. A Mão e a Luva (1874, romance)6. Helena (1876, romance)7. Iaiá Garcia (1878, romance)8. Contos Fluminenses (1870, contos)9. Histórias da Meia-Noite (1873, contos)

OBRAS REALISTAS

1. Ocidentais (1901, poesia)2. Memórias Póstumas de Brás Cubas

(1881, romance)3. Quincas Borba (1891, romance)4. Dom Casmurro (1899, romance)5. Esaú e Jacó (1904, romance)6. Memorial de Aires (1908, romance)7. Papéis Avulsos (1882, contos)8. Histórias Sem Data (1884, contos)9. Várias Histórias (1896, contos)

10. Relíquias da Casa Velha (1906, contos)

CONTOS FAMOSOS

1. O Alienista2. A Cartomante3. Um Apólogo4. A Missa do Galo5. Cantiga de Esponsais6. Noite de Almirante7. A Igreja do Diabo8. O Segredo do Bonzo9. Teoria do Medalhão

POEMAS FAMOSOS

1. Suave Mari Magno2. À Carolina3. Círculo Vicioso4. A Mosca Azul5. Soneto de Natal

Círculo vicioso

Bailando no ar, gemia inquieto vagalume:“Quem me dera que eu fosse aquela loira estrelaQue arde no eterno azul, como uma eterna vela!”Mas a estrela, fitando a lua, com ciúme:

“Pudesse eu copiar-te o transparente lume,Que, da grega coluna à gótica janela,Contemplou, suspirosa, a fronte amada e bela”Mas a lua, fitando o sol com azedume:

“Mísera! Tivesse eu aquela enorme, aquelaClaridade imortal, que toda a luz resume”!Mas o sol, inclinando a rútila capela:

“Pesa-me estabrilhante auréola de nume...

Enfara-me esta luz e desmedida umbela...Por que não nasci eu um simples vagalume?”

11

Caiu no vestibular

01. (FGV) Leia:

Então, no fundo da floresta, troou umestampido horrível, que veio reboando peloespaço; dir-se-ia o trovão, correndo pelasquebradas da serrania.

Era tarde.Não havia tempo para fugir; a água

tinha soltado o seu primeiro bramido, e,erguendo o colo, precipitava-se, furiosa,invencível, devorando o espaço como ummonstro do deserto.

Peri tomou a resolução pronta queexigia a iminência do perigo: em vez deganhar a mata suspendeu-se a um doscipós, e, galgando o cimo da palmeira, aíabrigou-se com Cecília.

A menina, despertada violentamentee procurando conhecer o que se passava,interrogou seu amigo.

– A água!... respondeu ele apontandopara o horizonte.

José de Alencar, O Guarani

Sobre o fragmento acima, afirma-seque:

1. Enaltece a força da natureza brasileira.2. Exalta a coragem do silvícola.3. Refere um símbolo da fusão dos valores

nativos e europeus.4. “Pronta” (4.o parágrafo), no texto, signifi-

ca “preparada”.5. “Monstro do deserto” (3.o parágrafo) e

“A água!” (6.o parágrafo) são duas me-táforas.

Assinale a alternativa que contémduas afirmações INCORRETAS.

a) 1 e 2. d) 1 e 5.b) 2 e 3. e) 4 e 5.c) 3 e 4.

02. (FGV) Publicados quase simultanea-mente, Memórias Póstumas de BrásCubas e O Mulato, ambos os roman-ces praticamente inauguram dois mo-vimentos literários no Brasil. Num deles,predomina a profundidade da análisepsicológica e, no outro, a preocupa-ção com as leis da hereditariedade ea influência do ambiente sobre o ho-mem.

Esses movimentos foram:

a) O Modernismo e o Pós-modernismo.b) O Futurismo e o Surrealismo.c) O Barroco e o Trovadorismo.d) O Romantismo e o Ultra-romantismo.e) O Realismo e o Naturalismo.

Desafioliterário

ALVARENGA, Beatriz et al. Curso deFísica. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.

ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso deFísica. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3.

BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:Moderna, 1996.

BONJORNO, José et al. Física 3: de olhono vestibular. São Paulo: FTD, 1993.

CARRON, Wilson et al. As Faces daFísica. São Paulo: Moderna, 2002.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática:contexto e aplicações. São Paulo: Ática,2000.

GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.São Paulo: FTD, 1995.

Grupo de Reelaboração do Ensino deFísica (GREF). Física 3: eletromagne-tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998.

PARANÁ, Djalma Nunes. Física. SérieNovo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:Ática, 2002.

RAMALHO Jr., Francisco et alii. OsFundamentos da Física. 8.a ed. SãoPaulo: Moderna, 2003.

TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)01. D; 02. D; 03. B;04. B;05. C;06. A;07. C;08. A;09. E; 10. A;

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)01. A; 02. C; 03. A;04. A;05. E;06. E;07. C;08. A;

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)01. D; 02. B; 03. B;04. B;05. A;06. A;07. D;08. C;

DESAFIO FÍSICO (p. 7)01. D; 02. C;

DESAFIO FÍSICO (p. 8)01. a) 90N e b) 2,5m/s2;

DESAFIO FÍSICO (p. 9)01. E,C e C;02. a) 3m/s2 e b) 15N ; 03. V, V, V, V, V e F;04. a) 1,6m/s2, b) 16m/s e c)O móvel

continuará em MRU;DESAFIO GRAMATICAL (p. 10)

01. C; 02. E; 03. D;04. E;

PERSCRUTANDO O TEXTO (p. 10)01. C; 02. E; 03. B; 04. D; 05. A;06. B; 07. C; 08. B; 09. D; 10. A;

CAIU NO VESTIBULAR (p. 11)01. E; 02. D; 03. A; 04. C;

Governador

Eduardo Braga

Vice-Governador

Omar Aziz

Reitor

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Vice-Reitor

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Pró-Reitor de Planejamento e Administração

Antônio Dias Couto

Pró-Reitor de Extensão e

Assuntos Comunitários

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Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa

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Editoração Eletrônica

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Encarte referente ao curso pré-vestibularAprovar da Universidade do Estado doAmazonas. Não pode ser vendido.

Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, ébase para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:

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(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° • Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto

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