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EsEsEsEs
UnUnUnUnDep
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ola Politcnica daola Politcnica daola Politcnica daola Politcnica da
versidade deversidade deversidade deversidade de So PaSo PaSo PaSo Partamento de Engenharia
l e Ocenica
MICA DESISTEMAS II
Material de Apoio
Prof. Dr. Andr Lu
lolololo
s Condino Fujarra
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Material de Apoio
Dinmica de Sistemas II
2
1 2 s
Verso Dat
MateriDin
Dept./Unidade Dat
PNV/EPUSP Ago
Disciplina oferecida pelUniversidade de So Pa
em./2009 Texto em elaborao
a Observaes
al de Apoio:ica de Sistemas II
Autor:
sto de 2009 Prof. Dr. Andr Lus Con
o programa de graduao da Escolaulo.
Identifica
oBibliogrfica
0
ino Fujarra
Politcnica da
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Dinmica de Sistemas II
Sumrio
0
SUMRIO
1. PREFCIO .................................................................................................. 1
2. ONDAS DE SUPERFCIE NO CONTEXTO DA ENGENHARIA NAVAL E
OCENICA ........................................................................................................ 2
3. CLASSIFICAO DOS COMPORTAMENTOS DINMICOS .................... 9
3.1 Determinstico versus no-determinstico ................................................ 9
3.2 Classificao dos comportamentos determinsticos .............................. 10
3.2.1 O comportamento peridico senoidal ......................................... 11
3.2.2 O comportamento peridico complexo. ...................................... 12
3.2.3 O comportamento quase-peridico ............................................. 14
3.2.4 O comportamento transiente....................................................... 15
3.3 Classificao dos comportamentos no-determinsticos ....................... 16
4. ASPECTOS PRELIMINARES DO MAR IRREGULAR .............................. 17
5. PRIMEIRO CONJUNTO DE EXERCCIOS NUMRICOS ........................ 22
5.1 Proposio geral .................................................................................... 22
5.2 Proposio para este primeiro conjunto de exerccios .......................... 22
5.3 Carregando e apresentando um registro de mar ................................... 22
5.4 Identificao de perodos entre zeros ascendentes, mximos e mnimos
............................................................................................................... 25
6. REFINAMENTO NAS ANLISES DO MAR IRREGULAR ....................... 30
6.1 Parmetros e relaes importantes ....................................................... 30
6.2 As distribuies de Gauss e Rayleigh.................................................... 33
7. ESPECTRO DE ENERGIA ........................................................................ 36
8. CONVERSO DO REGISTRO DE MAR EM ESPECTRO ........................ 42
8.1 Aspectos gerais da anlise de Fourier ................................................... 42
8.2 A anlise de Fourier discreta ................................................................. 43
8.3 Exemplo de aplicao ............................................................................ 44
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Sumrio
1
8.4 Alturas e perodos obtidos a partir do espectro de mar ......................... 48
8.5 Os momentos espectrais ....................................................................... 50
8.6 Exerccio proposto ................................................................................. 51
8.6.1 Soluo baseada na definio dos momentos espectrais .......... 52
8.6.2 Soluo baseada em analogias geomtricas.............................. 53
9. ESPECTROS PADRONIZADOS DE MAR ................................................ 54
9.1 Mar plenamente desenvolvido ............................................................... 54
9.2 Forma geral dos espectros padronizados .............................................. 56
9.3 Espectros usuais nas aplicaes navais e ocenicas............................ 579.3.1 Espectro de Pierson-Moskowitz .................................................. 57
9.3.2 Espectro de Bretschneider .......................................................... 58
9.3.3 Espectro ISSC ............................................................................ 59
9.3.4 Espectro ITTC ............................................................................. 59
9.3.5 Espectro JONSWAP ................................................................... 60
9.4 Comparao entre os espectros padronizados ..................................... 61
9.5 Aspectos prticos................................................................................... 62
10. RESPOSTA EM EXCITAO ALEATRIA ............................................. 64
10.1Anlises preliminares excitao regular .............................................. 64
10.2Anlise do domnio da freqncia sobreposio de efeitos ................ 66
10.3Parmetros importantes a partir do espectro de resposta ..................... 69
10.4A composio de movimentos ............................................................... 70
10.4.1 A composio de movimentos em ambiente matemtico ........... 73
10.5O impacto da velocidade de avano ...................................................... 75
11. FUNO DE TRANSFERNCIA .............................................................. 78
11.1Obteno experimental .......................................................................... 79
11.1.1 Exemplo experimental para a ITTC-SR192 em escala 1:105 ..... 80
11.2Obteno numrica................................................................................ 83
11.2.1 Exemplo numrico a partir do WAMIT ...................................... 85
12. COMPORTAMENTO EM ONDAS DE UMA PLATAFORMA S-S ............. 86
12.1Breve reviso da Teoria Linear de Ondas para guas profundas .......... 86
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Sumrio
2
12.2Estimativa das foras hidrodinmicas .................................................... 88
12.2.1 Foras reativas ........................................................................... 88
12.2.2 Foras de excitao de onda ...................................................... 92
12.3Equacionamento dinmico para a plataforma S-S ................................. 93
12.3.1 Foras reativas ........................................................................... 93
12.3.2 Foras de excitao nos pontoons ............................................. 94
12.3.3 Foras de excitao nas colunas ................................................ 97
12.3.4 Consideraes sobre o amortecimento viscoso .......................... 99
12.3.5 Equaes do movimento............................................................. 99
12.4Anlises com o auxlio do ambiente matemtico ................................. 100
12.4.1 Construo analtico-numrica dos RAOs ................................ 100
13. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................... 109
14. EXERCCIOS PROPOSTOS ................................................................... 110
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Captulo:Prefcio
1
1. PREFCIO
(Redao ao trmino do texto)
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Captulo:OndasdeSuperfcienoC
ontextodaEngenhariaNav
aleOcenica
3
interesse, caracterizando-se por uma menor aleatoriedade e maior
previsibilidade.
Em se tratando das respostas1de um sistema tpico (fixo ou mvel) mediante a
ao de uma condio de mar, sabe-se que sua determinao pode ser
bastante dificultada por efeitos como: as no linearidades; a multiplicidade na
direo de incidncia; a interao com outros agentes (por exemplo, a
correnteza); a interao com outro(s) sistema(s) operando em proximidade;
entre outros.
Ainda que analisada a luz de simplificaes consistentes quanto a esses
efeitos, estratgia pertinente para uma disciplina de graduao, a ao das
condies de mar sobre o sistema em estudo pode trazer reflexos ou
conseqncias (respostas) como: resistncia adicional ao sistema de fixao
ao leito do mar; reduo da velocidade de avano, no caso de sistemas
mveis; aumento do consumo de combustvel, quer seja para o avano, quer
para a manuteno da posio; fadiga estrutural do sistema em estudo, bem
como dos seus subsistemas de operao; abraso excessiva de partes
estruturais prximas superfcie livre; paradas em virtude de solicitaes que
excedam os limites de operao segura.
Desta forma, em linhas gerais, buscar-se- responder duas questes
fundamentais, quais sejam:
1 Questo:Como caracterizar a condio de mar (excitao aleatria ou mar
irregular) de uma maneira prtica e til para anlises e projetos?
A esse respeito, a Figura 1 mostra a sobreposio de efeitos regulares nacomposio de um mar real e que, portanto, apresenta uma pista da estratgia
a ser adotada para a caracterizao da condio de mar.
Esta figura apresenta, inclusive, o aspecto da multiplicidade na direo de
incidncia. Obviamente, como alertado, este comportamento de mltiplas
incidncias no ser foco da presente disciplina, representando uma das
1Aceleraes, velocidades, deslocamentos, deformaes, presses, carregamentos internos.
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Captulo:OndasdeSuperfcienoC
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muitas simplificaes adotadas nesta disciplina introdutria de comportamento
no mar de sistemas navais e ocenicos.
Figura 1: Sobreposio de efeitos regulares na composio de um mar real.
Fonte: Pierson, Newman e James
2 Questo:Como obter a resposta do sistema, conhecendo seu comportamento e a
prpria condio de mar que o est excitando?
Neste caso, a Figura 2 d a pista. Nela notam-se duas possibilidades de se
responder a essa questo. Uma referente a uma anlise no domnio do tempo e
outra no domnio da frequncia, esta ltima caracterizada por ser mais prtica, e
expedita.
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Captulo:OndasdeSuperfcienoC
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5
Fonte: Torgeir Moan - NTNU
Fonte: Torgeir Moan - NTNU
Figura 2: Anlises tpicas para o problema da excitao de mar agindo sobre
sistemas em operao no mar: (a) no domnio do tempo e (b) no domnio da
frequncia.
A anlise no domnio da frequncia, foco da presente disciplina, prescinde da
caracterizao da excitao aleatria na forma de seu Espectro de Mar, )(S ,
(b) Anlise no Domnio da Freqncia
)(zH
1
Funo deTransferncia
)(zH
Espectro de
Mar, )(S
Espectro deResposta,
)(zS
(a) Anlise no Domnio do Tempo
SistemaExcitao
de Mar
Resposta
do Sistema
k
m
c
F(t)
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Captulo:OndasdeSuperfcienoC
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representao simplificada que corresponde distribuio da densidade de
energia contida em cada uma das componentes regulares que por
sobreposio de efeitos permitem sua reconstruo. Alm desta
caracterizao, h que se conhecer a Funo de Transferncia do Sistema (por
exemplo: a do movimento vertical, ou heave, )(zH ).
De acordo com o arcabouo terico explorado em Dinmica I, trs regies so
facilmente identificadas na funo de transferncia da Figura 2: A) na qual
dominam os termos de restaurao do sistema; B) onde dominam os termos de
dissipao e, finalmente, a regio C) cuja prevalncia refere-se aos termos
inerciais do sistema.
Com base em um tratamento, que no por acaso justamente a resposta para
a 2 Questo desta disciplina, possvel chegar ao Espectro de Resposta do
Sistema (neste exemplo, o espectro de resposta em heave), )(zS , que, de
maneira anloga excitao, corresponder distribuio da densidade de
energia contida em cada componente regular de resposta. Obviamente, dada a
hiptese de linearidade assumida nas anlises, atravs da sobreposio deefeitos regulares tambm se pode recompor o registro da resposta irregular no
domnio do tempo.
Nas prximas sees deste texto ser apresentada a teoria, bem como as
tcnicas, os aspectos importantes e exerccios que permitiro a compreenso
do comportamento no mar de sistemas navais e ocenicos.
Antes disso, a ttulo de curiosidade final do presente captulo de
contextualizao, na Figura 3 apresentada uma seqncia de fotos, cadaqual referente a um estado de mar na escala Beaufort2 (de 1 a 12 em
severidade).
2Uma das primeiras escalas criadas para estimar a velocidade do vento e seus efeitos sobre a
superfcie livre do mar foi criada por Sir Francis Beaufort (1774-1857). O Almirante britnico
Beaufort desenvolveu essa escala em 1805 para auxiliar os marinheiros a estimar visualmente
a fora do vento e as condies de mar respectivamente associadas a essa observao. A
escala Beaufort, como conhecida, ainda usada at hoje escalonada de fora 0 (condiocalma de mar e vento) at fora 12 (condio equivalente passagem de um furaco).
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Captulo:OndasdeSuperfcienoC
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Figura 3: Fotos representando cada uma das condies de mar da escala
Beaufort.
Estas fotos, por sua vez, so acompanhadas das seguintes descries e
especificaes para o uso do mar:
ForceEquivalent Speed 10mabove the sea surface Description Specifications for use at sea
Miles/hour Knots0 0-1 0-1 Calm Sea like a mirror.
1 1-3 1-3 Light air
Ripples with the appearance of
scales are formed, but without foamcrests.
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Captulo:OndasdeSuperfcienoC
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8
2 4-7 4-6 Light Breeze
Small wavelets, still short,but more pronounced. Crests havea glassy appearance and do not
break.
3 8-12 7-10 Gentle BreezeLarge wavelets. Crests begin tobreak. Foam of glassy appearance.Perhaps scattered white horses.
4 13-18 11-16ModerateBreeze
Small waves, becoming larger; fairlyfrequent white horses.
5 19-24 17-21 Fresh Breeze
Moderate waves, taking a morepronounced long form; many whitehorses are formed. Chance of somespray.
6 25-31 22-27 Strong Breeze
Large waves begin to form; thewhite foam crests are moreextensive everywhere. Probably
some spray.
7 32-38 28-33 Near Gale
Sea heaps up and white foam frombreaking waves begins to be blownin streaks along the direction of thewind.
8 39-46 34-40 Gale
Moderately high waves of greaterlength; edges of crests begin tobreak into spindrift. The foam isblown in well-marked streaks alongthe direction of the wind.
9 47-54 41-47 Severe Gale
High waves. Dense streaks of foamalong the direction of the wind.Crests of waves begin to topple,tumble and roll over. Spray mayaffect visibility.
10 55-63 48-55 Storm
Very high waves with long over-hanging crests. The resulting foam,in great patches, is blown in densewhite streaks along the direction ofthe wind. On the whole the surfaceof the sea takes on a whiteappearance. The 'tumbling' of thesea becomes heavy and shock-like.Visibility affected.
11 64-72 56-63 Violent Storm
Exceptionally high waves (small
and medium-size ships might be fora time lost to view behind thewaves). The sea is completelycovered with long white patches offoam lying along the direction of thewind. Everywhere the edges of thewave crests are blown into froth.Visibility affected.
12 73-83 64-71 Hurricane
The air is filled with foam and spray.Sea completely white with drivingspray; visibility very seriouslyaffected.
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Captulo:ClassificaodosCompo
rtamentosDinmicos
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3. CLASSIFICAO DOS COMPORTAMENTOS DINMICOS
3.1 Determinstico versus no-determinstico
Conforme mencionado no captulo anterior, a apresentao terica e
respectivas anlises desenvolvidas neste texto tero como foco as excitaes
de carter aleatrio (excitao de mar: ondas de superfcie).
Antes disto, no entanto, cumpre caracterizar perfeitamente o que um
comportamento no-determinstico, ou aleatrio, de uma grandeza sob anlise,
descrevendo-o luz de uma comparao com o comportamento determinstico,
usualmente estudado at o presente momento. Para tanto, sero utilizados osconceitos de fenmeno estacionrio e fenmeno ergdico, bem como os
fundamentos de funes estatsticas baseados em anlises acerca das
amplitudes da grandeza de interesse, vista no domnio do tempo e tambm no
domnio da frequncia.
Assim, considere que qualquer fenmeno fsico de interesse possa ser
observado e registrado por uma grandeza pertinente e que, desta forma, seja
passvel de uma classificao entre determinstico e no-determinstico.
Determinsticos so aqueles fenmenos que permitem uma descrio atravs
de relaes matemticas explcitas. Por exemplo, o sistema linear f ilustrado na
Figura 2, formado pelo conjunto: massa mola amortecedor, pode ser
aproximadamente descrito3pela seguinte relao matemtica:
= , 0
(1)
Como a equao (1) define a exata localizao da massa para um dado
instante de tempo, ento, pode-se dizer que o comportamento deste sistema
determinstico.
Conforme verificado em Dinmica I, existe uma srie de fenmenos, e em
particular sistemas mecnicos, que podem ser classificados como
determinsticos, visto serem aproximadamente bem representados por
3Atravs das Leis da Mecnica ou de observaes repetidas.
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equacionamentos mate
ser contestada porque,
robusto o suficiente par
perturbaes, etc) iner
adequados da preciso
pode ser considerada co
3.2 Classificao dos
Em se tratando desubdivididos em peridic
Conforme ilustrado na
serem classificados em
vez, os comportamento
peridicos ou transie
comportamentos pode o
Figura 4: Class
ticos explcitos. Obviamente, esta con
de fato, nenhum equacionamento m
considerar toda e qualquer variabilidad
nte ao mundo fsico real. Porm,
e de representatividade desejadas, est
rreta.
omportamentos determinsticos
omportamentos determinsticos, esteos e no-peridicos.
igura 4, os comportamentos peridicos
uramente senoidais ou peridicos com
s no-peridicos podem ser classifica
ntes. Logicamente, qualquer combi
correr.
ificao dos comportamentos determin
Captulo:ClassificaodosCompo
rtamentosDinmicos
10
iderao pode
temtico ser
(imprecises,
ediante nveis
a classificao
s podem ser
podem, ainda,
lexos. Por sua
os em quase-
nao destes
ticos.
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Captulo:ClassificaodosCompo
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A seguir so descritas as caractersticas de cada um dos comportamentos
determinsticos possveis.
3.2.1 O comportamento peridico senoidal
Comportamentos peridicos senoidais so aqueles passveis de representao
atravs da seguinte funo varivel no tempo:
= 2
+ ,
: = 1 (2)
Na prtica, o ngulo de fase pode ser ignorado para grande parte dasanlises.
Notar que a representao deste comportamento peridico no domnio da
freqncia profundamente mais sinttica, plenamente caracterizada apenas
pela amplitude e a respectiva freqncia . Tal representao conhecidacomo espectro discreto ou, ainda, espectro linear.
Figura 5: Registro temporal e respectivo espectro do comportamento senoidal.
Trata-se de um comportamento bastante simples, comum a vrios fenmenos
fsicos, dentre os quais, a oscilao do sistema massa-mola, intensamente
explorado nas anlises durante a disciplina de Dinmica I.
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Captulo:ClassificaodosCompo
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3.2.2 O comportamento peridico complexo.
O comportamento determinstico conhecido como peridico complexo
caracterizado por funes matemticas exatas definidas como na equao (3),
ou seja, que se repetem em intervalos regulares. Estas funes podem ainda
ser expandidas em sries de Fourier, como aquela apresentada na equao
(4): = + , = 1 , 2 , 3 , (3)
= 2 + 2 + 2 , : = 2 2 , =0,1,2,3, = 2 2 , =1,2,3, (4)
Tambm neste caso, possvel identificar um perodo fundamental
e,
portanto, perceber que o comportamento senoidal um caso particular docomportamento peridico complexo.
Outra maneira de apresentar a equao (4) caracteriza-se pela sobreposio
de uma componente constante, = , e componentes senoidais,chamadas de harmnicos, definidos por amplitudes e respectivas fases .Desta forma:
= + 2
, : = + , = 1 , 2 , 3 , = , = 1 , 2 , 3 , (5)
As fases, por sua vez, em geral so ignoradas e uma representao do
comportamento peridico complexo pode ser apresentada como na Figura 6.
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Captulo:ClassificaodosCompo
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Figura 6: Espectro do comportamento peridico complexo.
H casos, no entanto, em que o perodo fundamento ausente, por exemplo:na sobreposio de trs comportamentos senoidais caracterizados
respectivamente por freqncias de 60, 75 e 100Hz. Para este comportamento,
a freqncia de 5Hz o maior mltiplo comum dentre aquelas que
caracterizam o comportamento e, portanto, define o perodo fundamental do
mesmo. =0,2.Portanto, a srie de Fourier que descreve este comportamento ter todos os
valores de nulos, exceto para = 1 2, = 1 5e = 2 0.De fato, comportamentos peridicos complexos so mais comuns emfenmenos fsicos e os comportamentos senoidais acabam por representar
apenas uma aproximao daqueles.
Um bom exemplo de comportamento fsico com esta natureza diz respeito
oscilao de uma corda. Excitada por uma flecha inicial no nula, esta estrutura
ir exibir uma cascata de harmnicos.
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Captulo:ClassificaodosCompo
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3.2.3 O comportamento quase-peridico
Considere-se agora uma sobreposio de efeitos regulares, semelhante quela
da seo anterior, porm caracterizada pela ausncia de um mximo mltiplo
comum entre as freqncias que os definem. Em outras palavras, considere um
comportamento ditado pela sobreposio de efeitos senoidais puros,
caracterizados por freqncias prprias , de tal forma que, neste caso,qualquer um dos cocientes entre duas dessas freqncias resulte em um
nmero irracional. Estas so condies para que um comportamento seja
definido como quase-peridico.
Assim, o comportamento determinstico ditado pela equao (6) definido
como peridico complexo com perodo fundamento = =1: = 2 + + 5 + + 7 + . (6)Notar que os cocientes entre as freqncias componentes:
, e , so todosnmeros racionais.
Por outro lado, considere-se agora o comportamento determinstico
caracterizado pela seguinte sobreposio de efeitos regulares:
= 2 + + 5 + + 5 0 + . (7)Neste caso, o comportamento dito quase-peridico, pois os cocientes
e
so nmeros irracionais e, portanto, caracterizam um perodo fundamental
infinitamente longo. Para este comportamento, no existir valor de quesatisfaa a equao (3).Comportamentos desta natureza geralmente acontecem quando h a
sobreposio de dois ou mais efeitos no relacionados. Ainda assim, se os
ngulos de fase forem ignorados, a equao (7) tambm pode ser
representada no domnio da freqncia, de maneira anloga quela
apresentada na Figura 6. A nica diferena ser que as freqncias
componentes no estaro relacionadas por nmeros racionais.
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Captulo:ClassificaodosCompo
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3.2.4 O comportamento transiente
Transientes so comportamentos caracterizados pela ausncia de
periodicidade e que tambm no podem ser classificados como quase-
peridicos. Trs bons exemplos so:
(a) O resfriamento de um recipiente contendo fluido aquecido.
= , 0 = 0 , < 0 (8)
(b) A oscilao livre de um sistema massa-mola-amortecedor (decaimento).
= cos , 0 = 0 , < 0 (9)
(c) O rompimento de um cabo sob trao.
= , 0 = 0, < < 0 (10)
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Captulo:ClassificaodosCompo
rtamentosDinmicos
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Importante destacar que, ao contrrio dos comportamentos peridicos e quase-
peridicos, os transientes no so passveis de uma representao espectral
discreta.
No caso dos comportamentos transientes, a representao no domnio da
freqncia se far atravs de uma representao espectral contnua, valendo-
se de uma Transformada de Fourier enunciada como: = . (11)De acordo com esta transformada,
so nmeros complexos expressos em
funo de uma magnitude ||e um argumento , de tal forma que:
Maiores detalhes acerca desta representao sero apresentados em
momento pertinente, mais adiante neste texto.
3.3 Classificao dos comportamentos no-determinsticos
(Em redao).
= || . (12)
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Captulo:AspectosPreliminaresdo
marirregular
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4. ASPECTOS PRELIMINARES DO MAR IRREGULAR
Conforme mencionado, um mar irregular (mais adiante melhor caracterizado4
como uma excitao aleatria, ou seja, no determinstica) pode ser
representado pela superposio de muitas ondas regulares (excitaes
harmnicas). De fato, a simples sobreposio de duas ondas regulares
unidirecionais com diferentes velocidades e d mostra disso, ver Figura 7.
Figura 7: Sobreposio simples de dois comportamentos regulares.
Desta forma, assumindo um registro temporal suficientemente longo5 da
elevao do mar irregular (considerando uma propagao unidirecional na
4Mediante hipteses e consideraes pertinentes.
5
Suficiente para uma boa caracterizao com sendo um comportamento ergdico eestacionrio.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
1
Onda com velocidade c1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
2
Onda com velocidade c2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2
1
+
2
Onda sobreposta
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Dinmica de Sistemas II
Alm disso, a cada inter
e sua respectiva altur
Figura 8: Procedimenzeros ascend
A partir deste procedim
onda identificadas, 150
0,5m cada.
Tabela 1: Anlise estat
Intervalos deH [m]
0,25 a 0,750,75 a 1,251,25 a 1,751,75 a 2,252,25 a 2,752,75 a 3,253,25 a 3,75
3,75 a 4,25TOTAIS
De uma maneira simpl
mdiodessa onda irregu
alo entre zeros ascendentes, correspo
,
, com
= 1 , 2 , 3 , .
to de anlise estatstica simplificada. Identes, perodos e respectivas alturas de
nto, possvel montar a Tabela 1, ond
o total, so agrupadas em intervalos, p
tica simples para o registro de mar irreg
Valor
aractersticodo Intervalo
[m]
Nmero deOcorrnciasno Intervalo
0,5 15 0,1001,0 30 0,2001,5 55 0,3672,0 21 0,1402,5 14 0,0933,0 9 0,0603,5 5 0,033
4,0 1 0,007150 1,000
s, pode-se obter um valor estimado
lar hipottica atravs da seguinte opera
T = 1N
Captulo:AspectosPreliminaresdo
marirregular
19
de um perodo
tificao denda.
as alturas de
or exemplo, de
ular hipottico.
0,1000,3000,6670,8070,9000,9600,993
1,000
ara o perodo
o:
(14)
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Captulo:AspectosPreliminaresdo
marirregular
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Para a obteno de dados estatsticos acerca da altura de onda, no entanto, se
faz necessria a definio de duas funes, a saber:
a) A funo de densidade de probabilidade, , obtida com o quocienteentre o nmero de ocorrncias em cada intervalo pelo nmero total deocorrncias, Figura 9.
Figura 9: Funo densidade de probabilidade para o mar irregular hipottico.
b) A funo de distribuiodas alturas de onda, , obtida com base nasdensidades de probabilidade acumuladas, Figura 10.
Figura 10: Funo de distribuio das alturas para o mar irregular hipottico.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4Funo Densidade de Probabilidade
H [m]
f(H)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Funo de Distribuio
H [m]
F(H)
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Captulo:AspectosPreliminaresdo
marirregular
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Com base nesses grficos torna-se possvel, ento, a obteno de informaes
complementares do tipo:
A probabilidade das alturas de onda superarem um determinado valor de
referncia, : > =
No exemplo, se >3,25, a probabilidade de serem encontradasondas com altura superior a esse valor ser de:
>3,25 = 5 + 1150 =0,033+0,007=0,040 A altura mdia de onda, :
= 0,515+ + 4 , 0 1150 =0,50,100+ +4,00,007=1,64 A altura significativa de onda, ou definida como a altura mdiaentre o tero de ondas com maiores alturas: = = 2,021+ + 4 , 0 1150 3 = 2,00,140+ +4,00,0071 3 =2,51
A ttulo de curiosidade, a altura significativa um valor bem prximo da media
entre as maiores ondas observadas por algum que se encontre na tarefa de
acompanhar o comportamento da elevao de mar.
Desta forma, juntamente com as probabilidades de ocorrncia > osprocedimentos de anlise sempre estaro preocupados em caracterizar duas
grandezas principais do mar (regular ou irregular): uma relacionada com o
aspecto temporal, no caso perodos e/ou freqncias; e outra relacionada com
o aspecto intensidade, em particular alturas e/ou amplitudes de onda. Esta
preocupao se faz tanto em procedimentos mais simples como os
apresentados neste captulo, como naqueles mais elaborados, discutidos nos
prximos.
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Captulo:PrimeiroConjuntodeExe
rcciosNumricos
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5. PRIMEIRO CONJUNTO DE EXERCCIOS NUMRICOS
5.1 Proposio geral
Ao longo deste texto, e sempre que se fizer conveniente, sero realizados
exerccios numricos explorando os contedos apresentados e, ao mesmo
tempo, proporcionando ao leitor a oportunidade de, concomitantemente,
explorar e aprender as funcionalidades bsicas de um programa de anlise
tpico.
No caso deste texto, sero exercitados os conceitos tericos atravs da
ferramenta MatLab, disponvel aos alunos do curso de Engenharia Naval eOcenica da EPUSP. No entanto, importante deixar claro que qualquer um
destes exerccios pode ser perfeitamente vertido para outros ambientes de
anlise matemtica, dentre os quais podem ser citados: SciLab; Octave e
mesmo o Excel; logicamente guardadas suas particularidades.
5.2 Proposio para este primeiro conjunto de exerccios
Neste primeiro conjunto de exerccio sero apresentadas funcionalidades
voltadas principalmente aos seguintes pontos:
Carregar um registro de mar padro em ambiente matemtico;
Explorar este registro luz dos conceitos apresentados nas sees
anteriores deste texto e, eventualmente, antecipar outros conceitos que
venham a ser apresentados nas sees seguintes.
5.3 Carregando e apresentando um registro de mar
Como primeiro passo usual a aplicao de alguns comando no ambiente
MatLab, que se encarregam de preparar: a Command Windowe o Workspace,
bem como se desfazer de qualquer janela grfica disponvel. Os trs comandos
que, respectivamente, se encarregam destas tarefas so:
clcclear allclose all
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Captulo:PrimeiroConjuntodeExe
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Em seguida, um registro temporal de elevao de mar, gravado no arquivo
ExemploMar.txt, carregado e apresentado no ambiente matemtico atravs
dos seguintes comandos:
load 'ExemploMar.txt't = ExemploMar(:,1);el = ExemploMar(:,2);fig1 = figure('units','normalized','position',[.2 .2 .6 .6],...
'color','w');plot(t,el,'k')xlabel('Tempo, t [s]')ylabel('Elevao, \eta(t) [cm]')
O resultado apresentado como na Figura 11. Importante destacar tratar-se deum registro temporal de elevao de um mar gerado em tanque de provas
fsico, em escala 1:100, ou seja, cada 1cm no grfico equivale a 1m em escala
real.
Figura 11: Apresentao grfica do exemplo de mar carregado no ambientematemtico.
0 50 100 150 200 250-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Tempo, t [s]
Eleva
o,
(t)[cm
]
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Captulo:PrimeiroConjuntodeExe
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Ainda com base no exemplo de registro de mar possvel calcular o valor
mdio das elevaes, subtraindo-o de todo os demais valores.
Alm disso, pode-se tambm construir um histograma das elevaes, tomando-
se como referncia o valor mximo absoluto da amostra, bem como uma
classificao das elevaes segundo intervalos discretos de 0,5cm.
Para tanto, so utilizadas as seguintes instrues:
el_med = mean(el);el = el - el_med;el_max = ceil(max(abs(el)));discr = .5;
el_hist = [-el_max:discr:el_max];fig2 = figure('units','normalized','position',[.2 .2 .6 .6],...'color','w');
hist(el,el_hist);
A Figura 12 ilustra o histograma obtido. Note que a distribuio tem uma
caracterstica bastante parecida com um Distribuio de Gauss.
Figura 12: Histograma das elevaes do exemplo de mar carregado.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
500
1000
1500
Intervalos de Elevao, [cm]
Nmero
de
Ocorr
nc
iasem
ca
da
Interva
lo
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Captulo:PrimeiroConjuntodeExe
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A ttulo de melhor a compreenso das funcionalidades at aqui apresentadas,
sugere um estudo complementar via helpativo na Command Window. Assim,
procure ler o contedo apresentado a partir da execuo do seguinte
comoando:
help clear all
Repita esta estrutura, help , para os demais comandos utilizados at
este ponto, so eles:
close all
clcloadfigureplotxlabelylabelbreakceilmaxabshistclfsubplotfind
5.4 Identificao de perodos entre zeros ascendentes, mximos e
mnimos
Com base nos mesmos comandos iniciais para carregar o exemplo de registro
de mar na rea de trabalho, pode-se, agora, estender as anlises em direo :
Identificao dos perodos entre zeros ascendentes;
Identificao dos valores mximos e mnimos dentro de cada um dessesperodos.
Tais anlises se fazem a partir das seguintes linhas de comando:
clear allclose allclc
load 'ExemploMar.txt'[L,C] = size(ExemploMar);tamanho = L;
t = ExemploMar(1:tamanho,1);el = ExemploMar(1:tamanho,2);el_med = mean(el);
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Figura 13: Grficos co
ascendentes, b
Figura 14: Zoom da i
0 50-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Eleva
o,
(t)[cm
]
0 50-6
-4
-2
0
2
4
68
Eleva
o,
(t)[cm
]
o exemplo de registro de mar. Identific
m como mximos e mnimos em cada p
entificao de zeros ascendentes (o
), mmnimos (*)
100 150 200
Tempo, t [s]
100 150 200
Tempo, t [s]
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rcciosNumricos
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o dos zeros
erodo.
ximos (*) e
250
250
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Captulo:PrimeiroConjuntodeExe
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Finalmente, seguindo o mesmo procedimento apresentado no captulo 4 deste
texto, pode-se construir uma representao grfica para a funo de densidade
de probabilidade, , ver . Neste caso, no entanto, faz-se uma apresentaode, onde . Para tanto, devem ser utilizados as seguintes instrues:figure('units','normalized','position',[.2 .2 .6 .6],...
'color','w');ampl_el = [el_maximos-el_minimos]/2;max_ampl_el = ceil(max(ampl_el));discr = 0.5;ampl_el_hist = [0:discr:max_ampl_el];hist(ampl_el,ampl_el_hist);xlabel('Elevao, \zeta(t) [cm]','fontsize',12)
ylabel('Funo Densidade de Probabilidade, f(A = H/2)','fontsize',12)lim_abscissa = get(gca,'xlim');lim_abscissa(1) = 0;set(gca,'xlim',lim_abscissa);h = findobj(gca,'type','patch');set(h,'facecolor','w','edgecolor','k')
Figura 15: Funo densidade de probabilidade para o exemplo de mar em
estudo, neste caso: f(A = H/2).
0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
20
25
30
35
40
Elevao, (t) [cm]
Funo
Dens
ida
de
de
Pro
ba
bilida
de,
f(A=H
/2)
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Captulo:RefinamentonasAnlisesdoMarIrregular
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6. REFINAMENTO NAS ANLISES DO MAR IRREGULAR
6.1 Parmetros e relaes importantes
Considere-se, agora, uma anlise mais completa e elaborada de um registro
temporal de elevao de mar, Figura 16, que em virtude do carter longo, torna
imperativa a utilizao de algoritmo computacional de apoio.
Antes disso, porm, cumpre destacar que o carter longo a que se refere o
pargrafo anterior est intrinsecamente relacionado ergodicidade do
comportamento aleatrio, como forma de garantir que todos os efeitos de
interesse estejam presentes na amostra considerada. Desta forma, assume-secomo longo o registro cujo tempo total seja igual ou superior a 100 vezes o
maior perodo de interesse.
Na prtica, registros de 15 a 20 minutos, tomados a uma taxa de amostragem
de 0,5 segundo, so suficientes para uma caracterizao aproximada do
estado de mar. Sabe-se, no entanto, que estados de mar reais tm perodo de
durao da ordem de 3 horas, exigindo registros mais longos para uma
caracterizao mais precisa. Aspecto semelhante norteia as anlisespermeadas pela presena de variao de mar e/ou coexistncia de um swell.
Figura 16: Trecho de um registro temporal de mar irregular.
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Captulo:RefinamentonasAnlisesdoMarIrregular
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Naturalmente, com base neste registro suficientemente longo, possvel se
definir uma elevao mdia,
, para a elevao de mar. De acordo com
incrementos iguais de tempo, , uma vez descontado o nvel mdio de todo oregistro, tem-se condies de identificar um nmero N de elevaes dasuperfcie livre.
Ento, a partir destas elevaes, pode-se definir de maneira preliminar o desvio
padro, , como sendo:
De acordo com o ilustrado na Figura 17, possvel construir uma funo
densidade de probabilidade para as elevaes de onda, f, obedecendo aseguinte formulao:
Figura 17: Densidades de probabilidade das elevaes de mar, .
= 1 1 (15)
fd = 1, 0
(16)
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Captulo:RefinamentonasAnlisesdoMarIrregular
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Assim, a partir do registro de elevao original e da definio da funo
densidade de probabilidade, pode-se tambm enunciar a elevao mdia do
mar irregular com sendo o valor que coincide com o centride da rea sob acurva f, ou seja:
Alm deste parmetro importante do mar, possvel definir outro, o valor
quadrtico mdio:
Note que, mantendo a analogia geomtrica, o valor quadrtico mdio
corresponde ao momento de inrcia da rea sob a curva fcom relao aovalor nulo de elevao,
= 0 . Desta forma, a varincia da elevao do mar,
, definida como o valor quadrtico mdio com relao mdia , ser:
E, portanto, possvel se estabelecer uma relao direta entre o desvio padro
do mar, , fcil de se obter a partir do registro temporal, e os parmetros devalor quadrtico mdio, , de elevao mdia quadrtica, , ou seja:
Importante verificar que se a elevao mdia for nula, = 0, o desvio padrodas elevaes de mar ser absolutamente igual raiz do valor quadrtico
= f (17)
= f (18)
= f =
f 2
f + f
= 2 + = (19)
= (20)
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Captulo:RefinamentonasAnlisesdoMarIrregular
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mdio,
= , este ltimo tambm conhecido como valor RMS Root Mean
Square.
6.2 As distribuies de Gauss e Rayleigh
As distribuies de Gauss e Rayleigh certamente so de ocorrncia freqente
na natureza. No obstante, os prprios exerccios at aqui apresentados deram
indcios de que as distribuies de elevao e de amplitudes de elevao esto
respectivamente relacionadas com as mesmas.
Assim, a densidade de probabilidade das elevaes de mar irregular, pode ser
aproximadamente6considerada como sendo uma distribuio de Gauss, bem
estabelecida no entorno de um valor mdio de elevao, , atravs da seguinteequao:
Portanto, o desvio padro mede a disperso em torno do valor mdio da
elevao e, quanto menor seu valor, melhor ser a considerao de uma
distribuio gaussiana de banda estreita. Outra definio para este ltimo
aspecto ser apresentada aps a definio dos momentos espectrais.
Neste caso, de maneira mais precisa que aquela apresentada no captulo 4,
pode-se definir a probabilidade de ocorrncia de um determinado valor de
elevao de onda como sendo:
6 Na realidade, h alguma discrepncia nas extremidades dessa distribuio, explicada por
efeitos no-lineares que tendem a aumentar as cristas das ondas e concomitantemente
achatar suas cavas. Portanto, deslocando a funo densidade de probabilidade daselevaes no sentido positivo dos valores.
= 12
2 (21)
+ = 12 2
(22)
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Captulo:RefinamentonasAnlisesdoMarIrregular
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comum a definio de intervalos a partir de propores inteiras do desvio
padro, dentro dos quais possvel garantir uma probabilidade de ocorrncia
das elevaes de mar. Assim, pode-se dizer que provvel que 68,3% dos
valores de elevao registrados em uma amostra temporal estejam dentro de
um intervalo de , +. Respectivamente, tratando-se apenas de valorespositivos ||, possvel que 31,7% desses valores estejam acima de . Atraz este e outros intervalos definidos a partir de mltiplos do desvio padro.
Tabela 2: Probabilidades das ocorrncias de elevao de mar em intervalosmltiplos do desvio padro.
+ || > 1 68,3% 31,7%2 95,4% 4,6%3 99,7% 0,3%
Por outro lado, levando-se em considerao apenas as amplitudes dentro deciclos completos de variao da elevao da superfcie livre, , porconseqncia, restringindo-se apenas a valores positivos, a densidade de
probabilidade ser caracterizada por uma distribuio de Rayleigh,definida como:
Graficamente, a Figura 18 ilustra a distribuio de Rayleigh para as amplitudes
de elevao do mar. Neste caso, o valor mdio das amplitudesser:
E o valor quadrtico mdio das amplitudesdado por:
=
2 , com 0 (23)
= =
2 = 2 (24)
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Captulo:EspectrodeEnergia
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7. ESPECTRO DE ENERGIA
O leitor j deve ter percebido que as anlises tecidas at este ponto do texto,em sua maioria, seno totalidade, tm se concentrado no domnio do tempo.
Definies e parmetros tm sido apresentados com base em variaes
temporais da grandeza de interesse, no caso a elevao de mar, bem como em
funo de perodos caractersticos para a descrio das mesmas.
Assim sendo, deste ponto em diante, cumpre estabelecer relaes entre essas
anlises no domnio do tempo e aquelas desenvolvidas no domnio da
freqncia.Parta tanto, ser tomada como premissa bsica a reciprocidade entre perodos
e freqncias = 2 , de tal forma que se possam apresentar novosaspectos e definies, permitindo relao direta entre os dois domnios.
Ento, mais uma vez, considere-se o registro temporal suficientemente longo
da elevao de mar irregular ilustrado na Figura 16.
Com base na linearidade das anlises e representaes j apresentadas,
considere-se tambm que o princpio da sobreposio de efeitos regulares seja
possvel, conforme estabelecido atravs da equao (13); e que, ao menos
para efeitos de projeto, sua representao aproximada seja feita por uma srie
de Fourier do tipo:
Com relao a esta representao, importante destacar que:
Maiores detalhes quanto obteno dos coeficientes e da sriesero trazidos em momento oportuno deste texto;
Conforme definido no captulo 3, trata-se de um comportamento
complexo peridico, portanto determinstico, caracterizado pela
sobreposio de efeitos harmnicos definidos por freqncias
= cos
+ sen (27)
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Captulo:EspectrodeEnergia
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mltiplas da freqncia fundamental = 2 , onde o tempototal do registro considerado;
Por hiptese, acrescentou-se a considerao de que este registro
tenha mdia nula, da a srie se iniciar em = 1.De fato, representao mais precisa da aleatoriedade intrnseca do mar
irregular seria possvel atravs da adoo de propriedades estatsticas, em
particular a distribuio Gaussiana de banda estreita para as elevaes, que no
domnio da freqncia se refletiria em uma distribuio de energia adequada
em cada raia das componentes harmnicas, , compondo a srie daequao (27).Com base nesta representao, a energia total (por unidade de rea)
contida em um registro infinito de mar de uma dada regio seria dada
por:
Seguindo (Chakrabarti, 2001), por conta da aleatoriedade intrnseca do mar,
uma representao melhor do mesmo prescinde da generalizao da equao
(27), a qual se faz atravs de coeficientes e que no mais advenhamde uma anlise de Fourier, mas de variaes contnuas com respeito
freqncia, dadas por:
Desta forma, a equao que descreve a elevao do mar pode ser reescrita de
uma maneira mais precisa como:
=12
1
, (28)
= cos = sen , (29)
= 1 cos cos + 1 sen sen
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Captulo:EspectrodeEnergia
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Para esta deduo importante lembrar que:
Combinando as equaes (28) e (30) chega-se, ento, a uma nova equao
para a energia total contida no mar, qual seja:
Trabalhando matematicamente:
Ou:
Portanto, comparando as equaes (28) e (34), chega-se igualdade do
Teorema de Parseval, que da origem ao conceito de espectro de energia demar:
=1 cos + sen
= cos + sen = 1 cos + sen (30)
= 1 cos
= 1 sen = 2 ; 1 = = 2 = (31)
= 2 1 1 c o s + sen (32)
= 2 1 cos + sen (33)
= 2 1 + = 2 1 (34)
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Captulo:EspectrodeEnergia
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Posto que por hiptese = 0, assumindo a definio de varincia daselevaespara um registro de tempo :
O que, por sua vez, permite definir a energia mdia por unidade de rea como:
De onde emerge a definio de densidade espectral de energia, , definidacomo:
De tal forma que a energia mdia de mar pode ser reescrita como:
Note que, no caso do Sistema Internacional SI, a dimenso da densidade
espectral de energia,
, ser
.
Importante destacar tambm que, em termos prticos, sero realizadas
anlises a partir de registros tomadas em um intervalo finito de tempo . Destaforma, conveniente redefinir a densidade espectral de energia a partir das
amplitudes das componentes harmnicas que compem a srie de Fourier
aproximada, ou seja:
=1
(35)
= = 1 (36)
= 1 = 12 (37)
= (38)
= 12 (39)
= 2 (40)
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Captulo:EspectrodeEnergia
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A Figura 1Figura 19 traz uma representao grfica para o processo de
transcrio de um registro de mar tomado no domnio do tempo para o
respectivo espectro no domnio da freqncia. Notar que as densidades
espectrais de energia, , so proporcionais e, neste caso, = diz respeito a n-sima componente harmnica advinda da anlise deFourier.
Figura 19: Transcrio do domnio do tempo para o domnio da freqncia.
Adaptado de (Journe, 2001).
Na representao apresentada, os valores espectrais so baseados emfreqncias angulares e no devem ser os mesmos quando .De fato, para uma correta converso deve-se assumir que as energias contidas
em cada uma das representaes espectrais seja a mesma, ou seja:
= = 2 (41)
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Captulo:ConversodoRegistrodeMaremEspectro
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8. CONVERSO DO REGISTRO DE MAR EM ESPECTRO
8.1 Aspectos gerais da anlise de Fourier
A converso da elevao de mar (onda irregular) em espectro requer sua
decomposio em componentes regulares. Obviamente, este procedimento
parte do pressuposto que as hipteses fundamentais at aqui discutidas sejam
atendidas, como forma de garantir que esta representao no domnio da
freqncia seja fiel s caractersticas estatsticas da excitao aleatria em
considerao.
Para tanto, faz-se uso da srie de Fourier, capaz de representar qualquerfuno peridica no tempo em uma sobreposio linear de efeitos regulares.
Lembrar que esta representao pressupe um comportamento estacionrio e
ergdico (tempo total de registro, , suficientemente longo para garantir quetodas as causas de interesse estejam estatisticamente presentes).
Segundo esta anlise de Fourier:
A respeito da equao (43) note que:
As freqncias so mltiplos inteiros da freqncia fundamental = 2 ; Trata-se de uma representao no domnio dos nmeros complexos,
onde os coeficientes e so respectivamente obtidos a partir de:
O coeficiente
diz respeito ao valor mdio da elevao, dado por:
= + cos2 + sin2 (43)
= 2 cos
= 2 sen
, = 1, 2, 3, , (44)
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Obviamente, por definio, nulo. Alm disso, se por hiptese forassumido um registro de mar com mdia nula, tambm o ser.
Desta forma, pode-se dizer que a elevao um mar qualquer, de mdia nula e
registrada por um tempo suficientemente longo, pode ser expressa por uma
funo contnua dada pela sobreposio linear de um nmero infinito de efeitosregulares. Outra maneira de apresentar esta sobreposio dada pela
equao (46):
8.2 A anlise de Fourier discreta
Na prtica, sabe-se que o registro de elevao de mar colhido de maneira
discreta, mediante uma freqncia de amostragem:
Onde: o nmero de medidas registradas da elevao.Neste caso, os coeficientes da srie de Fourier podem ser obtidos atravs de
um algoritmo expedito de anlise, largamente conhecido como Fast Fourier
Transform FFT, segundo o qual possvel a transcrio do registro temporal
de mar para a seguinte forma:
= 1
(45)
= cos2 , :
= 2
+
= . (46)
= , (47)
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stem(frs,Sf_fft,'sk','fill','linewidth',2)xlabel('Freqncia, f','fontsize',12)ylabel('abs( fft( \zeta ) / N)','fontsize',12)
set(gcf,'unit','normalized','position',[.1 .1 .8 .8],'color','w')set(gca,'fontname','arial','fontsize',12,'ylim',[0 (A+2)])
Figura 20: Exemplo de anlise de Fourier. No alto apresentado o registro de
mar regular ( = 2e = 2 ); ao centro apresentado o resultado a aplicaoda funo FFT e, abaixo, o respectivo espectro de mar.
Importante notar que:
Os incrementos em freqncias so dados por: = 1 ; Conforme esperado, comparece na representao grfica /funo deuma contribuio exatamente em = 1 2 .
Entretanto, outros aspectos podem causar estranheza ao leitor e, no intuito de
dirimir eventuais dvidas que possam gerar, so discutidos em profundidade
nos prximos pargrafos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
-2
-1
0
1
2
3
Tempo, t
Eleva
o
do
Mar,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
Freqncia, f
abs
(fft()/N)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
5
10
15
20
Freqncia, f
Espec
tro
de
Mar,
S
(f)
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A primeira constatao aparentemente estranha que decorre da observao do
grfico central da Figura 20 diz respeito s amplitudes das componentes
identificadas. Percebe-se que h uma simetria com relao freqncia central
do grfico, de acordo com a qual, so notadas componentes em =0,5 9,5, cada uma com metade da amplitudeoriginal.Esta aparente inconsistncia decorre da prpria teoria da amostragem,
segundo a qual, dada uma taxa de aquisio fixa impossvel distinguir a que
registro a amostra se refere:
componente de menor freqncia, no caso exemplo, em
0,5;
Ou componente simtrica em relao freqncia mdia, neste caso9,5.De fato, as linhas de comando abaixo ilustram este problema, apresentando
como resultado a Figura 21.
% Frequncias de Aliasingto = 0;tf = 10;t = linspace(to,tf,10000);
t_discreto = linspace(to,tf,100);el_interesse = A/2*sin(2*pi*1/T*t);el_aliasing = A/2*sin(2*pi*(10-1/T)*t);el_int_discr = A/2*sin(2*pi*1/T*t_discreto);el_ali_discr = A/2*sin(2*pi*(10-1/T)*t_discreto);figureplot(t,el_interesse,'k',t,el_aliasing,'k:',...
t_discreto,el_int_discr,'ko',t_discreto,el_ali_discr,'k*')xlabel('Tempo, t','fontsize',12)ylabel('Elevao do Mar, \zeta','fontsize',12)set(gcf,'unit','normalized','position',[.1 .1 .8 .8],'color','w')set(gca,'fontname','arial','fontsize',12,...
'xlim',[0 3],'ylim',[-(A+1) (A+1)])
De acordo com esta figura, percebe-se que uma mesma taxa de amostragem
pode suscitar dois vetores de valores registrados: um referente a um
comportamento de interesse (o de menor freqncia) e outro referente a um
comportamento sem interesse para as anlises (o de maior freqncia). Note
que a taxa de amostragem fornece leituras vlidas para ambos os casos.
Com base neste aspecto, o que se faz em termos prticos garantir que todos
os efeitos regulares de interesse se encontrem esquerda da freqncia
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central, por este motivo tambm conhecida como freqncia de corte, = 2 =1/2
.
Figura 21: Reflexo da amostragem. Comportamento de interesse versus
comportamento sem interesse (problema de aliasing).
Desta forma, garante-se que todas as freqncias direita de
no sejam de
interesse, visto estarem relacionadas ao problema de aliasing, ou seja, de
amostragem insuficiente. A partir da teoria de processamento de sinais
possvel mostrar que se um registro temporal for colhido a uma taxa de
amostragem no mnimo 2 vezes maior que a mxima freqncia de interesse,
todos os efeitos importantes estaro presentes esquerda da freqncia de
corte (Teorema de Nyquist-Shannon). Desta forma, define a mximafreqncia detectada com a anlise de Fourier e tambm conhecida como
freqncia de Nyquist.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3
-2
-1
0
1
2
3
Tempo, t
Eleva
o
do
Mar,
Comportamento Contnuo DE InteresseComportamento Contnuo SEM InteresseRegistro Amostrado do Comportamento DE InteresseRegistro Amostrado do Comportamento SEM Interesse
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A partir destas consideraes, possvel construir o espectro do registro de
interesse, bastando transformar os valores de
/ em densidades
espectrais de energia atravs da relao estabelecida pela equao (40),
considerando valores dobrados para as componentes esquerda da
freqncia de corte ou Nyquist.
As linhas de comando que se seguem permitem a composio do grfico mais
abaixo na Figura 20.
Com relao aos resultados importante destacar que, de fato, a densidade
espectral de energia em
= 0,5no atinge o valor esperado de:
= 2 = 20 No entanto, aproxima-se muito deste valor em funo do tempo total de registro
e do nmero de amostras colhidas. Assim, a densidade espectral se
aproximar mais do valor esperado quanto maior for o tempo de aquisio e/ou
a taxa de amostragem.
A Tabela 3 ilustra esse aspecto com relao taxa de amostragem, assumindoum tempo de aquisio fixo de 10.
Tabela 3: Valor da densidade espectral 0,5como funo da taxa deamostragem adotada. Nestes casos: = 1 0 .
,100 10 19,6306
500 50 19,95341.000 100 19,97835.000 500 19,995910.000 1.000 19,9980
8.4 Alturas e perodos obtidos a partir do espectro de mar
Nas anlises de sistemas navais e ocenicos usual a caracterizao do mar
atravs de alturas de onda,
2 .
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De acordo com a determinao de , possvel a definio matemtica daaltura significativa,
ou
/, que corresponde mdia das alturas entre o
tero de ondas mais altas, portanto, correspondendo ao centride da rea
direita de = ln 3 .Assim:
E, portanto:
Onde a funo erro complementar definida como:
Por fim, sabendo que = 22, pode-se concluir que a altura significativa aproximadamente:
8.5 Os momentos espectrais
No captulo anterior foi apresentada a igualdade entre a varincia das
elevaes, , e a integral do espectro de mar.Se neste ponto, no entanto, for apresentada a definio para os momentos
espectrais, qual seja:
/ = 3 = 32 ln 3+ ln 3 (55) 1,416 (56)
= 2
= 1
(57)
/ 4 (58)
= . (59)
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Ento, a varincia das elevaesser igual ao momento espectral de ordem
zero,
= e, portanto:
/ 4.
Este um dos resultados importantssimo no processo de caracterizao da
excitao de mar, muito utilizado nas apresentaes padronizadas descritas
mais adiante neste texto.
Entretanto, resta ainda apresentar alguns parmetros representativos da
grandeza temporal do mar. Neste caso, tambm fazendo uso dos momentos
espectrais, possvel definir:
Destas definies surgem, finalmente, os referidos perodos caractersticos:
8.6 Exerccio proposto
Um espectro de excitao aleatria hipottica, , tem sua representaosegundo a Figura 22. Note que os parmetros apresentados so
adimensionais. Determine o valor dos parmetros A e B desse espectro.
Figura 22: Espectro de uma excitao aleatria hipottica: exerccio proposto.
= . , ; = . , . (60) = 2 , ;
= 2 , .
(61)
msTH
S2
)(
2
mTA2
1
B
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8.6.1 Soluo baseada na definio dos momentos espectrais
Como ponto de partida para a soluo deste exerccio, tem-se a necessidade
de dimensionar os valores identificados no grfico da Figura 22. Assim, em
termos dimensionais, no eixo das abscissas so identificados os valores e 2 , e no eixo das ordenadas o valor .Em seguida, usual um encaminhamento da soluo atravs da aplicao da
definio dos momentos espectrais. Para tanto, determina-se a equao da
reta que caracteriza a variao das densidades espectrais no intervalo
; 2 , ou seja:
= 2 1 2 Com base nesta equao, determina-se o momento espectral de ordem zero:
= 2 2 1Analogamente, determina-se o momento espectral de primeira ordem, dado
por: = 32 14 3+ 1Sabendo-se que =16, onde =162 1 2 , ento: = Por outro lado, da definio do perodo mdiotem-se ainda:
= 32 1 4 3 + 1 Portanto, uma segunda equao dada por:4 12 + 9 2 = 0 12 2 = 0Notar que as duas primeiras razes de no convm e que, ento: = 2. Por fim, substituindo este resultado na primeira equao obtida a partirde
, tem-se que
= 1 2 4 .
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9. ESPECTROS PADRONIZADOS DE MAR
Espectros padronizados de mar so representaes analticas da distribuiodas densidades espectrais de energia, obtidas de maneira precisa pela
monitorao recorrente e continuada das elevaes de mar, portanto pela
caracterizao de processos estocsticos de longos perodos.
Como tal, tm importncia prtica para projetos de sistemas navais e
ocenicos, na medida em que so caracterizados por formulaes baseadas
em poucos parmetros do mar, geralmente: a altura significativa; algum perodo
caracterstico (mdio, entre zeros ascendentes ou entre picos); ou mesmo,fatores de forma que contribuem para distribuio mais precisa das densidades
espectrais de energia.
Alguns espectros, ainda, tm sua padronizao definida com base na
velocidade do vento, , que deu origem ao estado de mar.Independente de qual seja o parmetro utilizado, as representaes
normalmente dizem respeito a uma condio onde o mar se apresente
plenamente desenvolvido. Em outras palavras, espera-se que o marrepresentado de maneira padronizada seja fruto da ao do vento em uma
regio com rea superficial (pista) suficiente para que as ondas que o
componham exibam uma condio estvel em termos dos parmetros
estatsticos caractersticos.
Maiores detalhes so apresentados a seguir.
9.1 Mar plenamente desenvolvido
Conforme mencionado, modelos para a predio de um estado de mar so
baseados em parmetros como: velocidade do vento; distncia na qual as
ondas tm que viajar sob determinada ao de vento, tambm conhecida como
pista; e durao da condio de vento.
Para aplicaes mais prximas da costa h, ainda, um quarto parmetro: a
profundidade, que tem implicaes diretas sob a estabilidade das ondas.
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Exceto pela profundidade, menos relevante para aplicaes navais e ocenicas
em mar aberto, a Figura 23 apresenta a relao entre os demais parmetros
importantes para a caracterizao de um mar plenamente desenvolvido.
Assim, definida a velocidade de vento na escala vertical mais direita no
grfico, medida em m/s, bem como o comprimento de pista disponvel, fetch,
medida em km, pode-se estimar a durao mnima para o estabelecimento de
uma condio de mar, escala abaixo, medida em horas. Esta condio de mar
ser caracterizada por uma altura de onda (escala mais esquerda, medida
em metros) e um perodo (medido em segundos e obtido pela interpolao
entre os valores das linhas tracejadas).
Figura 23: Relao entre parmetros para a definio de um mar plenamente
desenvolvido. Fonte: (Bowers, 1975).
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Ainda de acordo com este grfico, os mares plenamente desenvolvidos so
aqueles definidos na regio triangular em destaque, ou seja, aquela na qual,
definida uma determinada velocidade de vento, maiores comprimentos de pista
e durao no alteram as caractersticas do mar (altura e perodo)
A ttulo de exemplo, suponha-se uma condio de vento com =10/. Deacordo com a Figura 23 (ver ponto em destaque), considerando uma pista com60, tem-se para uma durao mnima de 6 uma altura significativa deaproximadamente = 1 , 5 e um perodo de = 4 , 8 .Para este mesmo vento, adicionalmente, para pistas com comprimento superior
a 600tem-se um mar plenamente desenvolvidocom = 2 , 0 e = 6 , 4 .Portanto, possvel perceber a importncia da velocidade de vento, sua
durao e sua extenso de ao, na definio da condio de um mar
plenamente estabelecido.
A seguir so apresentados os espectros padronizados usualmente aplicados
em projetos navais e ocenicos, geralmente baseados nesta considerao de
mar plenamente desenvolvido (fully-developed sea).
9.2 Forma geral dos espectros padronizados
A forma geral segundo a qual a grande maioria dos espectros padronizados
apresentada obedece ao seguinte equacionamento:
Onde: ,, e so os quatro parmetros espectrais que definem adistribuio das densidades de energia contidas no mar, .Os dois parmetros comumente utilizados para esta representao so a altura
significativa e o perodo mdio, e = , ambos definidos com base nosmomentos espectrais. Ainda de acordo com a equao (62), pode-se mostrar
que a freqncia de pico do espectro dada por:
=
(62)
= (63)
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9.3 Espectros usuais nas aplicaes navais e ocenicas
9.3.1 Espectro de Pierson-Moskowitz
De acordo com (Chakrabarti, 2001), em 1964 Pierson e Moskowitz propuseram
uma frmula para a distribuio das densidades espectrais de energia,
baseada na teoria de similaridade proposta por Kitaigorodskii, bem como em
uma base de registros de elevao de mar mais precisa.
Trata-se de um espectro padronizado bastante difundido e ainda utilizado em
projetos navais e ocenicos por sua grande generalidade. Em linhas gerais
definido com base na velocidade do vento, , que caracteriza uma condiode mar plenamente desenvolvida (pista e durao so consideradas infinitas).Apesar desta hiptese, tambm bastante representativo de condies de
projeto baseadas em tempestades severas.
Matematicamente o espectro de P-M pode ser escrito como:
Alternativamente, tambm pode ser apresentado como funo da freqncia de
pico do espectro, , ou seja:
A partir destas formulaes, bem como das definies apresentadas nos
captulos anteriores, podem ser apresentadas ainda as seguintes relaes:
Para exemplificar, a Figura 24 apresenta as dependncias do espectro de P-Mcom a velocidade do vento e tambm com altura significativa do mar.
=0,0081
0,74
(64)
=0,00811,25 (65)
= 0,00815 (66) = 0,161 =0,710 (67)
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Figura 24: Dependncia do espectro de Pierson-Moskowitz com a velocidade
de vento e com a altura significativa do mar.
9.3.2 Espectro de Bretschneider
Partindo das hipteses que o espectro de energia seja de banda estreita e que
alturas e perodos de onda apresentem distribuies de Rayleigh,Bretschneider props a seguinte formulao em 1969:
Onde: = 2 o perodo significativo do mar, ou seja, a mdia dosperodos referentes ao tero das ondas com maiores amplitudes. De acordo
com a prpria definio do espectro de Bretschneider:
0 0.5 1 1.5 2 2.50
2
4
6
8
10
12
14(b)
[rad/s]
S
()[m
2.s
]
Hs= 8 [m]
Hs= 6 [m]
Hs= 4 [m]
Hs= 2 [m]
0 0.5 1 1.5 2 2.50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50(a)
[rad/s]
S
()[m
2.s
]
Uw
= 25 [m/s]
Uw
= 20 [m/s]
Uw
= 15 [m/s]
Uw
= 10 [m/s]
=0,1687 0,675 (68)
=0,946 (69)
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Note que a relao (69) torna os espectros de Pierson-Moskowitz e
Bretschneider equivalentes.
Importante destacar, ainda, que a formulao proposta pressupe um mar
plenamente desenvolvido e que, portanto, a partir de inferncias empricas:
No entanto, Bretschneider tambm apresenta correes para a formulao
proposta tambm atenda a mares no plenamente desenvolvidos, de acordo
com as quais:
9.3.3 Espectro ISSC
Em 1964, por ocasio do ISSC International Ship Structures Congress, foram
sugeridas ligeiras modificaes ao espectro de Bretschneider:
De acordo com o qual:
9.3.4 Espectro ITTC
Por sua vez, a reunies de 1966, 1969 e 1972 da ITTC International Towing
Tank Conferencepropuseram modificaes ao espectro de P-M, apresentando-
o como funo da altura significativa e do perodo entre zeros ascendentes.
Assim:
=0,282 e =6,776 (70)
=0,254 90% ou 0,776 80% (71) =4,764 (72)
=0,1107 0,442 (73)
=1,296 (74)
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Onde:
Importante notar que:
E, portanto, o espectro ITTC se reduz ao espectro P-M definido apenas com
base na altura significativa. Para tanto:
9.3.5 Espectro JONSWAP
Buscando aprimorar a distribuio das densidades de energia definida pelo
espectro de P-M, entre 1968 e 1973, um extenso programa de medies no
Mar do Norte, denominado de JONSWAP Joint North Sea Wave Project, deu
origem seguinte proposio matemtica para os espectros de mar:
Onde = 3,30 1 7diz respeito ao parmetro de agudeze ao parmetro de forma do espectro ( = = 0,07 e = =0,09 > ), considerando um vento predominante com velocidade agindo sobre uma pista de comprimento . Ainda de acordo com estadefinio:
=
4
(75)
= 0,0081 e = 3,54 (76)
= 1
=
3,13 (77)
= 516 =0,710 (78)
= 1,25
(79)
=0,076,ou =0,0081quando for desconhecido (80)
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Neste caso, = ou = ,, sendo esta ltima relao mais usadapara o clculo de.Em 1979, Goda derivou uma expresso aproximada para o espectro deJONSWAP em funo apenas da altura significativa e do perodo de pico. De
acordo com esta expresso:
Onde:
9.4 Comparao entre os espectros padronizados
A escolha pela padronizao compete ao projetista ou analista do sistema
naval e ocenico. Em geral, est associada localidade onde este sistema
dever operar.
Assim, os espectros de Pierson-Moskowitz e Bretschneider so mais utilizados
para sistemas em operao no Golfo do Mxico. O espectro de JONSWAP, por
sua vez, bastante representativo do Mar do Norte, porm tambm a
formulao mais utilizada para os estudos referentes Bacia de Campos,
Brasil.
A Figura 25 compara graficamente os espectros de JONSWAP (calculado combase em = 3 , 3 0); Bretschneider e Pierson-Moskowitz (equivalente osespectros ISSC e ITTC).
Notar que para = 1, =0,312, o que reduz o espectro de JONSWAP aoespectro de P-M, equao (81).
Na prxima seo so apresentados aspectos prticos da utilizao dos
espectros padronizados.
= 1,25 (81)
= 0,06240,230+0,03360,1851.9+ (82)
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Tabela 4: Exemplo de apresentao til ao projeto. Fonte: Petrobras.
Direo
Parmetros Unid. Perodo de Retorno em Anos
1 10 30 50 100
N
altura mxima [m] [m] 7 8,1 8,7 8,8 9,2perodo associado a [s] 8,5 8,7 8,8 8,9 8,9altura significativa [m] 3,6 4,2 4,5 4,6 4,8perodo de pico [s] 8,38 8,71 8,87 8,93 9,05perodo entre zeros ascendentes [s] 6,2 6,4 6,6 6,6 6,8parmetro de forma [-] 0,0106 0,0123 0,0128 0,0134 0,0134parmetro de agudez [-] 2,05 2,13 2,17 2,18 2,21NE
altura mxima [m] [m] 7,3 8,7 9,3 9,7 10,1perodo associado a [s] 8,6 8,8 8,9 9 9,1altura significativa [m] 3,9 4,7 5 5,2 5,4
perodo de pico [s] 8,54 8,99 9,16 9,28 9,4
perodo entre zeros ascendentes [s] 6,42 6,76 6,89 6,98 7,06parmetro de forma [-] 0,0115 0,0133 0,0139 0,0142 0,0145parmetro de agudez [-] 2,09 2,19 2,23 2,25 2,28E
altura mxima [m] [m] 6,8 7,8 8,2 8,4 8,7perodo associado a [s] 9,2 9,4 9,5 9,5 9,6altura significativa [m] 3,7 4,2 4,4 4,5 4,7perodo de pico [s] 8,89 9,05 9,11 9,14 9,21perodo entre zeros ascendentes [s] 6,68 6,8 6,85 6,87 6,92parmetro de forma [-] 0,0088 0,0105 0,0111 0,0114 0,0121parmetro de agudez [-] 2,06 2,13 2,15 2,17 2,19
SE
altura mxima [m] [m] 8,3 10,3 11,3 11,8 12,4perodo associado a [s] 10,7 11,1 11,2 11,3 11,4
altura significativa [m] 4,5 5,5 6 6,3 6,7
perodo de pico [s] 10,29 10,76 11 11,15 11,35perodo entre zeros ascendentes [s] 7,74 8,09 8,27 8,38 8,53parmetro de forma [-] 0,0081 0,0101 0,0109 0,0114 0,012parmetro de agudez [-] 1,51 1,54 1,55 1,56 1,58S
altura mxima [m] [m] 9,4 11,3 12,1 12,5 13perodo associado a [s] 12,6 13 13,1 13,2 13,3altura significativa [m] 5,1 6,1 6,5 6,7 7perodo de pico [s] 13,26 14 14,31 14,46 14,7perodo entre zeros ascendentes [s] 9,97 10,53 10,76 10,87 11,05parmetro de forma [-] 0,0038 0,0043 0,0044 0,0045 0,0046parmetro de agudez [-] 1,53 1,57 1,59 1,6 1,62SW
altura mxima [m] [m] 10,7 12,7 13,6 14 14,6
perodo associado a [s] 12,9 13,3 13,5 13,6 13,7altura significativa [m] 5,7 6,9 7,3 7,5 7,8perodo de pico [s] 13,7 14,62 14,94 15,1 15,35perodo entre zeros ascendentes [s] 10,3 10,99 11,23 11,35 11,54parmetro de forma [-] 0,0041 0,0046 0,0047 0,0047 0,0047parmetro de agudez [-] 1,55 1,61 1,63 1,64 1,7W/NW
altura mxima [m] [m] 5,7 7,4 8,2 8,6 9perodo associado a [s] 8,2 8,6 8,7 8,8 8,9altura significativa [m] 3 4 4,2 4,4 4,6perodo de pico [s] 8,06 8,14 8,16 8,17 8,19perodo entre zeros ascendentes [s] 6,06 6,12 6,13 6,15 6,16parmetro de forma [-] 0,0087 0,0146 0,0159 0,0172 0,0186
parmetro de agudez [-] 1,97 2,1 2,12 2,15 2,18
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10. RESPOSTA EM
10.1 Anlises prelim
Conforme visto, equa
como a sobreposio d
estabeleam relao dir
relao: = De fato, com base nest
at aqui encaminhadas
cada componente regul
Figura 27: Resposta m
Exemplos desta sobrep
graus de liberdade dos
pitch e yaw).
Antes disso, porm, i
na obteno da respost
funo de transferncia
Com exemplo7 bem
inicialmente um sistema
7 Retirado da Apostila de
Tecnologia em Construo Ne Andr Fujarra Marinha do
EXCITAO ALEATRIA
nares excitao regular
o (13), a excitao de mar real pode sefeitos regulares, de tal forma que seta com as densidades espectrais, 2 .sobreposio, e graas ao carter line
, pode-se analisar separadamente a
r na resposta total do sistema, ver Figur
arcada pela sobreposio de contribui
osio podem ser estendidos inclusiv
istemas navais e ocenicos (surge, s
teressante apresentar os aspectos ge
a partir de uma nica componente, co
o sistema.
simples da obteno da resposta,
naval hipottico, livre para oscilar apen
idrodinmica, referente ao Mdulo 3 do Cu
aval, ministrado em conjunto pelos ProfessoresBrasil, (Simos & Fujarra, 2009).
Captulo:RespostaemExcitaoA
leatria
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er considerada
as amplitudes, atravs dar das anlises
ontribuio de
27.
es regulares.
para os seis
ay, heave, roll,
ais envolvidos
nhecendo-se a
considere-se
s em um grau
rso de Gesto e
Alexandre Simos
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de liberdade, o de heave, cuja funo de transferncia dada na forma grfica
pela Figura 28. Importante notar que se trata de uma representao
simplificada, onde a amplitude de resposta em heave, , adimensionalizadapela amplitude da onda, , tendo influncia apenas no intervalo 10 , defreqncias angulares.
Figura 28: Funo de transferncia do movimento de heave de um sistema
naval hipottico.
A partir desta informao, sugere-se determinar a amplitude de resposta em
heavedo sistema, sabendo que o mesmo excitado por uma onda regular de
amplitude constante, = 81 17 , representada pelo registro temporal daFigura 29.
Figura 29: Trecho do registro temporal da elevao da onda regular excitando osistema hipottico.
][ st
][(t) m
1781
9
a
z
]/[ srad10
3,0
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Uma soluo mais intuitiva parte da observao que o perodo da excitao
de
3e, portanto, uma freqncia angular de
2 3 .
Com base na Figura 28, observa-se tambm que:
= = 13 10E que, portanto:
= 23 = 1790 = . = 1790 8117 =0,9Conforme se pode notar, esta soluo no se vale da teoria at aqui
apresentada, justamente por se tratar de uma excitao monocromtica. Na
prxima seo, no entanto, este mesmo exemplo ser resolvido luz de um
tratamento espectral, domnio da freqncia, extensvel para a sobreposio de
efeitos regulares que caracteriza a excitao aleatria de mar.
10.2 Anlise do domnio da freqncia sobreposio de efeitos
Considere-se agora a amplitude generalizada por amplitude de onda incidente,
ou seja, a funo de transferncia = para um determinadograu de liberdade = 1, 2, 3, 4, 5 e/ou 6, bem como o respectivo ngulo defase = , a resposta do sistema poder ser formalmente escrita como:
Ento, calculada a resposta para uma dada componente , pode-se repetir omesmo procedimento para a demais e definir a resposta total do sistema no
graude liberdade como sendo: = cos + +
(83)
= cos + + (84)
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No limite em que e, portanto, 0, valendo-se dos resultados jenunciados para a excitao aleatria, pode-se apresentar a varincia da
respostacomo sendo:
Esta operao no domnio da freqncia, simples e expedita, conhecidacomo cruzamento espectral e caracteriza-se como o equacionamento
fundamental para o comportamento no mar de sistemas navais e ocenicos.
De fato, se por analogia for definido que:
Ento valer (86), pois:
A Figura 30 traz uma interpretao grfica para o cruzamento espectral a partir
de uma excitao aleatria caracterizada no domnio da freqncia. Note que
esquerda temos a transcrio do registro temporal de elevaes de mar para o
domnio da freqncia, via Transformada de Fourier; ao centro, apresenta-se a
funo de transferncia para um dado grau de liberdade e, direita, a resposta
do sistema sobreposio de efeitos harmnicos regulares, caracterizada pelo
espectro de resposta .Importante destacar que, particularmente neste caso, apenas um grau de
liberdade, as fases relativas entre a onda e o movimento , nodesempenham papel decisivo, o que no acontecer quando forem
= , : (85) = (86)
= 2 (87)
= 2 = (88)
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considerados dois ou mais graus de liberdade. Detalhes na prxima
seo.
Figura 30: Apresentao grfica do Cruzamento Espectral. Adaptado de
(Journe, 2001).
Antes disso, porm, interessante retomar o sistema naval hipottico
analisado anteriormente, desta vez obtendo sua resposta atravs do
cruzamento espectral.
Este exerccio tem a dupla funo de sedimentar o procedimento no domnio
da freqncia (traando paralelos com a mesma anlise no domnio do tempo)
e, concomitantemente, trazer generalidade ao mesmo.
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Assim, se8:
= = ||
Ento:
= = = 12 8117 1790 = 12 8190 O que de maneira anloga quela desenvolvida para a excitao permite
escrever:
= 2 = = 2 = 8190 =0,910.3 Parmetros importantes a partir do espectro de resposta
Com base no espectro de resposta generalizada, , e mantendo aanalogia com a teoria desenvolvida para o espectro de excitao, podem ser
definir momentos espectrais de resposta, dados por:
Desta forma, a amplitude significativa de resposta, definida como o valor mdio
entre o tero de respostas com maiores amplitudes, pode ser expresso em
termos do momento espectral de ordem zero, :
Por sua vez, o perodo mdio da respostapode ser obtido a partir do centride
do espectro , ou seja:
8Note que, na maioria das vezes, = 3refere-se ao grau de liberdade de heave.
= . (89)
= 2 (90)
= 2 (91)
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Da mesma forma que o perodo entre zeros ascendentes da respostapode ser
obtido com base no raio de girao do espectro:
Assumindo que a excitao aleatria, no nosso caso uma onda irregular com
distribuio Gaussiana de elevaes, seja de banda estreita, as amplitudes de resposta obedecero uma distribuio de Rayleigh. Desta forma, a funo
de densidade de probabilidade dessas amplitudes ser do tipo:
Assim, a probabilidade da amplitude de resposta exceder um determinado valorde referncia ser dada por:
Portanto, consideraes acerca do nmero de ocorrncias acima de um
determinado valor tambm so exatamente anlogas quelas tecidas para o
cas