EXPERIMENTOS FATORIAIS
INTRODUÇÃO
Nos experimentos simples, comparamos níveis de apenas um
fator, permanecendo constante os demais fatores. Assim, nesses
experimentos, quando comparamos, por exemplo, inseticidas, todos
os demais fatores, como: variedades, densidades de plantio, época de
plantio, adubações, tratos culturais, etc., devem ser mantidos
constantes, isto é, devem ser os mesmos para todos os inseticidas
estudados.
Entretanto, existem casos em que vários fatores devem ser
estudados simultaneamente, para que possam nos conduzir a
resultados de interesse. Para tanto, utiliza-se experimentos fatoriais,
que são aqueles em que se estudam simultaneamente dois ou mais
fatores, cada um deles com dois ou mais níveis.
O experimento fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das
maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento,
que representa a maneira pela qual os tratamentos são distribuídos às
unidades experimentais. Na verdade, os experimentos fatoriais são
montados segundo um tipo de delineamento experimental, como por
exemplo: o DIC, o DBC e o DQL.
Nos experimentos fatoriais, os tratamentos são obtidos pelas
combinações dos níveis dos fatores. Num experimento fatorial
completo, cada nível de um fator combina com todos os níveis dos
outros fatores.
Os experimentos fatoriais são aplicáveis a todos os campos da
ciência. Sua principal aplicação é quando se quer saber sobre o efeito
de diversos fatores que influenciam na variável em estudo e o
relacionamento entre eles.
A simbologia comumente utilizada, para experimentos fatoriais é
indicar o produto dos níveis dos fatores em teste. Por exemplo:
Experimento Fatorial 2 x 4 x 6. O produto 2 x 4 x 6 informa que no
experimento foram testados simultaneamente 3 fatores. O primeiro
possui dois níveis, o segundo quatro níveis e o terceiro seis níveis.
Quando o número de níveis é igual para todos os fatores, pode-
se utilizar a seguinte simbologia: nF, em que:
F = no de fatores
N = no de níveis de cada fator.
Por exemplo: Experimento Fatorial 43. A potência 43, informa que o
experimento tem 3 fatores com 4 níveis cada um.
1. VANTAGENS
a) Com um único experimento, podemos estudar os efeitos
principais e os efeitos das interações sobre eles;
b) O número de graus de liberdade associado ao resíduo é alto
quando comparado com os experimentos simples dos mesmos
fatores, o que contribui para diminuir a variância residual,
aumentando a precisão do experimento.
2. DESVANTAGENS
Requer maior número de unidades experimentais em relação aos
experimentos simples.
MODELO ESTATÍSTICO
Considere um experimento fatorial, com dois fatores: o fator A
com I níveis e o fator B com J níveis, instalado segundo o DIC, com K
repetições. O modelo estatístico para um experimento como este é:
kjijijikji eβαβαmY
em que:
Yijk = é o valor observado para a variável em estudo referente a k-
ésima repetição da combinação do i-ésimo nível do fator A, com
o j-ésimo nível do fator B;
m = média de todas as unidades experimentais para a variável em
estudo;
i = é o efeito do i-ésimo nível do fator A no valor observado Yijk;
j = é o efeito do j-ésimo nível do fator B no valor observado Yijk;
()ij = é o efeito da interação do i-ésimo nível do fator A com o j-ésimo
nível do fator B;
eijk = é o erro associado a observação Yijk.
Para um experimento fatorial instalado segundo o DBC, com K
blocos, o modelo estatístico seria:
kjikjijikji ewβαβαmY
em que: wk = efeito do k-ésimo bloco na observação Yijk.
TIPOS DE EFEITOS AVALIADOS EM UM EXPERIMENTO
FATORIAL
Nos experimentos fatoriais, podem ser estudados os seguintes
efeitos:
Efeito Principal: é o efeito de cada fator sobre a variável em
estudo, independente do efeito dos outros fatores em estudo;
Efeito de Interação: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a
variável em estudo. Dizemos que ocorre interação entre os
fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são
modificados pelos níveis do outro fator.
O efeito da interação pode ser mais facilmente compreendido por
meio de gráficos.
Para ilustrar o efeito da interação, considere num experimento
fatorial, estudar os efeitos de 3 Variedades (V1, V2 e V3) e 2
espaçamentos (E1, E2). Então, teremos um fatorial 3 x 2, com os 6
tratamentos, que são todas as combinações possíveis entre os 3
níveis do fator Variedades e os 2 níveis do fator espaçamento. Os
tratamentos para este:
V1E1 V2E1 V3E1
V1E2 V2E2 V3E2
Suponha os seguintes resultados fictícios, para a variável altura
de plantas (cm), deste experimento, nas seguintes situações:
1) Não há interação
ESPAÇAMENTO VARIEDADE
V1 V2 V3
E1 8 10 12
E2 6 8 10
Quando não há interação a diferença entre os resultados dos
níveis de um fator são iguais para todos os níveis do outro fator.
0
2
4
6
8
10
12
14
V1 V2 V3
Alt
ura
de p
lan
tas (
cm
)
E1
E2
2) Há interação
ESPAÇAMENTO VARIEDADE
V1 V2 V3
E1 2 4 6
E2 5 10 2
Quando há interação as diferenças entre os níveis de um fator
depende dos níveis do outro fator.
0
2
4
6
8
10
12
V1 V2 V3A
ltu
ra d
e p
lan
tas (
cm)
E1
E2
QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS
Uma maneira de tabular os dados de um experimento fatorial,
com dois fatores A e B, com I e J níveis, respectivamente, instalado
segundo o DIC, com K repetições, é fornecida a seguir:
A1 A2 ... AI
B1 B2 .... BJ B1 B2 .... BJ ... B1 B2 .... BJ
Y111 Y121 .... Y1J1 Y211 Y221 .... Y2J1 ... YI11 YI21 .... YIJ1
Y112 Y122 .... Y1J2 Y212 Y222 .... Y2J2 ... YI12 YI22 .... YIJ2
..... ..... .... ...... ...... ...... .... ...... ... ..... ..... .... .....
Y11k Y12k .... Y1Jk Y21k Y22k .... Y2Jk ... YI1k YI2k .... YIJk
A1B1 A1B2 .... A1BJ A2B1 A2B2 .... A2BJ ... AIB1 AIB2 .... AIBJ
Deste quadro, podem-se tirar algumas informações que
posteriormente serão úteis na análise de variância:
- Total do ij-ésimo tratamento:
K
1k
ijkij Y(AB)
- Total do i-ésimo nível do fator A:
K,J
1k , 1j
ijki YA
- Total do j-ésimo nível do fator B:
K,I
1k , 1i
ijkj YB
- Total Geral:
J
1j
j
I
1i
i
K,J,I
1k , 1j,1i
ijk BAYG
- Média do i-ésimo nível do fator A: KJ
Am̂ i
A i
- Média do j-ésimo nível do fator B: KI
Bm̂ i
B j
- Média Geral: N
Gm̂
- Número total de parcelas: N = IJK
Pode-se montar um quadro auxiliar, denominado Quadro de
Interação, composto pelos totais de tratamentos, cujos valores são
obtidos pela soma de todas as repetições para o tratamento em
questão. Este quadro facilita o cálculo das somas de quadrados da
análise de variância. Para a situação citada, o quadro é do seguinte
tipo:
Fator A Fator B
Totais de Ai 1 2 .... J
1 (AB) 11 (AB) 12 .... (AB) 1J A1
2 (AB) 21 (AB) 22 .... (AB) 2J A2
.... .... .... .... .... ....
I (AB) I1 (AB) I2 .... (AB) IJ AI
Totais de Bj B1 B2 .... BJ G
ANÁLISE DE VARIÂNCIA
A análise de variância de um experimento fatorial é feita
desdobrando-se a soma de quadrados de tratamentos nas partes
devido aos efeitos principais de cada fator e na parte devido a
interação entre os fatores.
O quadro abaixo apresenta como seria a análise de um
experimento fatorial, com 2 fatores A e B, com I e J níveis,
respectivamente, e K repetições , instalado segundo o DIC:
FV GL SQ QM F
Fator A (I-1) SQA 1)(I
SQA
QMRes
QMA
Fator B (J-1) SQB 1)(J
SQB
QMRes
QMB
Interação
(AxB) (I-1)(J-1) SQ(AXB)
1)-1)(J(I
SQ(AxB)
QMRes
(AxB)QM
(Tratamento) (IJ-1) (SQTrat) - -
Resíduo IJ(K-1) SQRes 1)(KJI
SQRes
-
Total IJK-1 SQTotal - -
As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados são as
seguintes:
CYSQTotalK,J,I
1k , 1j,1i
2
kji
em que KJI
Y
C
2K,J,I
1k , 1j,1i
ijk
Ck
B)(AtosSQTratamen
J,I
1j,1i
2
ji
CKJ
ASQA
I
1i
2
i
CKI
BSQB
J
1j
2
j
SQInt = SQtrat - SQA - SQB
SQRes = SQTotal - SQtrat
O quadro abaixo apresenta como seria a análise de um
experimento fatorial, com 2 fatores A e B, com I e J níveis,
respectivamente, e K repetições (ou blocos), instalado segundo o
DBC:
FV GL SQ QM F
Fator A (I-1) SQA 1)(I
SQA
QMRes
QMA
Fator B (J-1) SQB 1)(J
SQB
QMRes
QMB
Interação
(AxB) (I-1) (J-1) SQ(AXB)
1)-1)(J(I
SQ(AxB)
QMRes
(AxB)QM
(Tratamento) (IJ-1) (SQTrat) - -
Blocos (K-1)
Resíduo (IJ-1) (K-1) SQRes 1)(K 1)-J(I
SQRes
-
Total IJK-1 SQTotal - -
Nesta situação,
CJI
WSQBlocos
K
1k
2
k
em que:
- total do k-ésimo bloco:
J,I
1j,1,i
kjik YW
As hipóteses estatísticas, para o teste F da análise de variância,
devem ser lançadas para cada um dos efeitos principais e também
para a interação. As hipóteses são do seguinte tipo:
- Efeito principal.
Ho: m1 = m2 = ... = mI ou seja, todos os possíveis contrastes
entre as médias dos níveis do fator, são estatisticamente
nulos, ao nível do probabilidade em que foi executado o
teste.
Ha: não Ho ou seja existe pelo menos um contraste entre as
médias dos níveis do fator, que é estatisticamente diferente
de zero, ao nível de probabilidade em que foi executado
teste.
- Interação
Ho : Os fatores atuam independentemente.
Ha : Os fatores não atuam independentemente.
Os valores de F obtidos na análise de variância para cada uma
das fontes de variação em teste devem ser comparados com os
valores de F tabelados apropriados, os quais são obtidos na tabela de
distribuição de probabilidades da variável aleatória F, de acordo com o
nível de significância desejado, graus de liberdade da fonte de
variação em teste e graus de liberdade do resíduo.
Se o F da análise de variância é maior que o valor de F tabelado
a decisão é rejeitar Ho ao nível de significância em que foi executado
o teste. Caso contrário não se rejeita Ho ao nível de significância em
que foi executado o teste.
A não rejeição de Ho para a interação implica que os fatores
atuam independentemente. Assim devem-se estudar os fatores
isoladamente. Neste caso, observa-se o resultado do teste F para
cada fator. Se for significativo e tratar-se de um fator qualitativo com
mais de 2 níveis, aplica-se um teste de médias para comparar os
níveis do fator. Se for não significativo, a aplicação do teste de médias
é desnecessária.
A rejeição de Ho para a interação implica que os fatores não
atuam independentemente. Assim não se devem estudar os fatores
isoladamente. Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam
de forma dependente. Neste caso as comparações entre os níveis de
um fator levam em consideração o nível do outro fator, pois o
resultado significativo para a interação indica que o efeito de um fator
depende do nível do outro fator.
Neste caso, se os fatores forem qualitativos, deve-se proceder a
comparação dos níveis de um fator, por meio de um teste de médias,
dentro de cada nível do outro fator.
Portanto, não é recomendado realizar o teste F para cada fator
isoladamente tal como foi apresentado para o caso da interação não
significativa. O procedimento recomendado é realizar o
desdobramento do efeito da interação.
Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova
análise de variância em que os níveis de um fator são comparados
dentro de cada nível do outro fator, tal como apresentado nas tabelas
a seguir.
Desdobramento para comparar os níveis de A, dentro de cada nível de B, ou seja, estudar A/B, num DIC.
FV GL SQ QM F
Fator B (J – 1) -
A/B1 (I – 1) SQA/B1 1I
B/SQA 1
sReQM
B/QMA 1
A/B2 (I – 1) SQA/B2 1I
B/SQA 2
sReQM
B/QMA 2
...... ...... ...... ...... ......
A/BJ (I – 1) SQA/BJ 1I
B/SQA J
sReQM
B/QMA J
(Tratamento) (IJ - 1) (SQTrat) -
Resíduo IJ(K-1) SQRes 1)(KJI
SQRes
Total IJK - 1 SQTotal -
Desdobramento para comparar os níveis de B, dentro de cada nível de A, ou seja, estudar B/A, num DIC.
FV GL SQ QM F
Fator A (I – 1) -
B/A1 (J – 1) SQB/A1 1J
A/SQB 1
sReQM
A/QMB 1
B/A2 (J – 1) SQB/A2 1J
A/SQB 2
sReQM
A/QMB 2
...... ...... ...... ...... ......
B/AI (J – 1) SQB/AI 1J
A/SQB I
sReQM
A/QMB I
(Tratamento) (IJ – 1) (SQTrat)
Resíduo IJ(K-1) SQRes 1)(KJI
SQRes
Total IJK – 1
1) Seja um experimento fatorial com dois fatores: variedades de sorgo,
com 3 níveis, e tipos de adubos nitrogenados, com 4 níveis,
instalados num DBC, com 3 repetições, para a cultura de sorgo. Os
dados de produção, para os totais de produção (u.p.) são
apresentados a seguir:
Adubos (B)
Variedades (A)
1 2 3 4 Totais
1 25,4 27,8 29,6 31,4 114,2 2 23,1 25,0 27,2 29,6 104,9 3 20,5 22,8 24,8 26,8 94,9
Totais 69,0 75,6 81,6 87,8 314,0
Sabendo-se que SQResíduo = 36,2780 e usando = 5%, pede-se:
a) Analise de variância
b) Aplicar o teste Tukey;
c) Testar o contraste C = mA1 – 2mA2 + mA3 pelo teste de Scheffé e
pelo teste t.
Fator A: Fator B: H0: m1 = m2 = m3 =m H0: m1 = m2 = m3 =m4 = m H1: não H0 H1: não H0 Interação: H0: os fatores atuam independentemente. H1: os fatores não atuam independentemente. Solução:
SQA (variedades) = 5272,153.3.4
314)9,94.....2,114(
4.3
1 2
22
SQB (adubos) = 6422,213.3.4
314)8,87.....0,69(
3.3
1 2
22
SQ(AB) (trat) = 2555,373.3.4
314)8,26.....4,25(
3
1 2
22
SQInt (AxB) = 37,2555 – 1,5272 – 21,6422 = 0,0861
FV GL SQ QM F
Fator A 2 15,5272 7,7636 4,71 * Fator B 3 21,6422 7,2133 4,37 * Interação (AxB)
6 0,0861 0,0144 0,009 ns
(Tratamento) 11 37,2555 - Blocos 2 Resíduo 22 36,2780 1,6490 -
Total 35 - F0,05 (2; 22) = 3,44 F0,05 (3; 22) = 3,05 F0,05 (6; 22) = 5,55
Conclusão:
a) Não existe interação entre os fatores A e B. Isto significa que o
comportamento de um fator não depende dos níveis do outro
fator, sendo, portanto independentes. Neste caso, podemos
estudar os fatores isoladamente.
b) Existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator
A (variedades), estatisticamente diferente de zero, ao nível de
5% de probabilidade.
c) Existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator
B (adubos), estatisticamente diferente de zero, ao nível de 5% de
probabilidade.
a) Tukey
Fator A: H0: mi = mj H1: mi ≠ mj p/ i ≠ j
52,9ˆ1
Am a
74,8ˆ2
Am ab
90,7ˆ3
Am b
q0,05 (3; 22) = 3,55 32,13.4
6490,155,3
Conclusão: As médias dos níveis de A, seguidas de uma mesma letra,
não deferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade,
pelo teste de Tukey.
Fator B:
H0: mi = mj H1: mi ≠ mj p/ i ≠ j
76,9ˆ4
Bm a
07,9ˆ3
Bm ab
40,8ˆ2
Bm ab
90,7ˆ1
Bm b
q0,05 (4; 22) = 3,93 68,13.3
6490,193,3
Conclusão: As médias dos níveis de , seguidas de uma mesma letra,
não deferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade,
pelo teste de Tukey.
2) Seja um experimento instalado no esquema fatorial 3 x 2, sendo 3
recipientes e 2 espécies de eucaliptos, num delineamento
inteiramente casualizado (DIC), com 4 repetições. Os dados
experimentais, para a altura média das mudas, em cm, aos 80 dias
de idade, são fornecidos abaixo.
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
R1E1 26,2 26,0 25,0 25,4 102,6
R1E2 24,8 24,6 26,7 25,2 101,3
R2E1 25,7 26,3 25,1 26,4 103,5
R2E2 19,6 21,1 19,0 18,6 78,3
R3E1 22,8 19,4 18,8 19,2 80,2
R3E2 19,8 21,4 22,8 21,3 85,3
551,2
Pede-se: (usar α = 5%)
a) Analise de variância;
b) Aplicar o teste Tukey.
Fator A: Fator B:
H0: mA1 = m A2 = m A3 = m H0: m B1 = m B2 = m
H1: não H0 H1: não H0
Interação:
H0: os fatores atuam independentemente.
H1: os fatores não atuam independentemente.
Solução:
SQTotal = 7933,1984.3.2
2,5513,21.....2,26
222
E1 E2 Totais de R
R1 102,6 101,3 203,9
R2 103,5 78,3 181,8
R3 80,2 85,3 165,5
Totais de E 286,3 264,9 551,2
SQA (Recipiente) = 8608,924.3.2
2,551)5,165.....9,203(
4.2
1 222
SQB (Espécie) = 0817,194.3.2
3,551)9,2643,286(
4.3
1 222
SQ(AB) (Trat) = 7033,1754.3.2
2,551)3,85.....6,102(
4
1 222
SQInt (AxB) = 175,7033 – 92,8608 – 19,0817 = 63,7608
FV GL SQ QM F
Fator A 2 92,8608 46,4304 36,19 *
Fator B 1 19,0817 19,0817 14,86 *
Interação (AxB) 2 63,7608 31,8804 24,85 *
(Tratamento) (5) (175,7033)
Resíduo 18 23,0900 1,2828
Total 23 198,7933
F0,05 (2; 18) = 3,55 F0,05 (1; 18) = 4,41
Conclusão:
Existe interação entre os fatores A e B (recipientes e espécies), ao
nível de 5% de probabilidade, ou seja, os fatores não atuam
independentemente. Isto significa que o comportamento de um fator
depende dos níveis do outro fator, evidenciando uma dependência
entre os fatores. Neste caso, não podemos estudar os fatores
isoladamente, e sim, desdobrando a interação, avaliando o
comportamento de um fator em cada nível do outro fator.
Estudo do fator A (Recipiente) dentro dos níveis do fator B
(Espécies)
SQA\B1 (R\E1) = 1217,874.3
3,286)2,805,1036,102(
4
1 2222
SQA\B2 (R\E2) = 5000,694.3
9,264)3,853,783,101(
4
1 2222
FV GL SQ QM F
Fator B 1 19,0817
Fator: A\B1 2 87,1217 43,5608 33,96 *
A\B2 2 69,5000 34,7500 27,09 *
(Tratamento) (5)
Resíduo 18 23,0900 1,2828
Total 23
F0,05 (2; 18) = 3,55
Dentro de cada nível de B (Espécies) existe pelo menos um contraste
entre médias dos níveis de A (Recipiente), estatisticamente diferente
de zero, ao nível de 5% de probabilidade.
TUKEY
H0: mAi/B1 = mAj/B1 H0: mAi/B2 = mAj/B2
Ha: mAi/B1 ≠ mAj/B1 p/ i ≠ j Ha: mAi/B2 ≠ mAj/B2 p/ i ≠ j
88,25m̂ B1A2 a 32,25m̂ B2A1 a
64,25m̂ B1A1 a 32,21m̂ B2A3 b
04,20m̂ B1A3 b 57,19m̂ B2A2 b
q0,05 (3; 18) = 3,61 04,24
2828,161,3
Conclusão: Dentro de cada nível de B, as médias dos níveis de A,
seguidas de uma mesma letra, não deferem entre si, ao
nível de 5% de probabilidade, pelo teste de Tukey.
Estudo do fator B (Espécies) dentro dos níveis do fator A
(Recipiente)
SQ B\A1 (E\R1) = 2112,04.2
9,203)3,1016,102(
4
1 222
SQ B\A2 (E\R2) = 3800,794.2
8,181)3,785,103(
4
1 222
SQ B\A3 (E\R3) = 2512,34.2
5,165)3,852,80(
4
1 222
FV GL SQ QM F
Fator A 2
Fator: B\A1 1 0,2112 0,2112 0,16 ns
B\A2 1 79,3800 79,3800 61,88 *
B\A3 1 3,2512 3,2512 2,53 ns
(Tratamento) (5)
Resíduo 18 23,0900 1,2828
Total 23
F0,05 (1; 18) = 4,41
1. Dentro do nível A2 (Recipiente), existe pelo menos um contraste
entre médias dos níveis de B (Espécies), estatisticamente
diferente de zero, ao nível de 5% de probabilidade.
2. Dentro dos níveis A1 e A3 (Recipiente), todos os possíveis
contrastes entre médias dos níveis de B (Espécies), são
estatisticamente nulos, ao nível de 5% de probabilidade.
3) Seja um experimento instalado no esquema fatorial 23 de adubação
NPK em cana de açúcar, sendo 2 níveis de nitrogênio (0 e 60
kg/ha), 2 níveis de fósforo (0 e 75 kg/ha) e 2 níveis de potássio (0 e
75 kg/ha), num delineamento em blocos casualizado, com 4
repetições. As produções em ton/ha, foram:
Blocos
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
N0P0K0 - 000 63,9 43,1 58,9 57,2 223,1
N1P0K0 - 100 N 32,5 50,3 50,3 68,4 201,5
N0P1K0 - 010 P 64,9 61,1 58,2 71,2 255,4
N0P0K1 - 001 K 46,5 40,1 56,0 51,8 194,4
N1P1K0 - 110 NP 59,7 73,2 73,7 82,7 289,3
N1P0K1 - 101 NK 45,2 58,4 53,7 76,0 233,3
N0P1K1 - 011 PK 73,6 45,3 88,8 62,7 270,4
N1P1K1 - 111 NPK 70,8 68,5 78,7 84,9 302,9
457,1 440,0 518,3 554,9 1.970,3
Proceder a analise de variância, usar o nível de 5% de probabilidade.
Fator A: Fator B: Fator C:
H0: mA1 = mA2 =mA H0: mB1 = mB2 = mB H0: mC1 = mC2 = mC
H1: não H0 H1: não H0 H1: não H0
Interações: H0: os fatores atuam independentemente.
H1: os fatores não atuam independentemente.
Solução:
SQTotal = 17,852.54.2.2.2
3,19709,84.....9,63
222
SQBlocos = 10,071.132
3,1970)9,554.....1,457(
8
1 222
SQTrat(N,P,K) = 02,781.232
3,1970)9,302.....1,223(
4
1 222
Para se proceder ao desdobramento da SQTratamentos, segundo o
esquema fatorial, organizamos os seguintes quadros auxiliares:
P0 P1 Totais
N0 417,5 525,8 943,3
N1 434,8 592,2 1.027,0
Totais 852,3 1.118,0 1.970,3
K0 K1 Totais
P0 424,6 427,7 852,3
P1 544,7 573,3 1.118,0
Totais 969,3 1.001,0 1.970,3
K0 K1 Totais
N0 478,5 464,8 943,3
N1 490,8 536,2 1.027,0
Totais 969,3 1.001,0 1.970,3
SQ(N) = 93,21832
3,1970)0,10273,943(
16
1 222
SQ(P) = 14,206.232
3,1970)0,11183,852(
16
1 222
SQ(K) = 40,3132
3,1970)0,10013,969(
16
1 222
SQ(N,P) = 40,500.232
3,1970)2,592......5,417(
8
1 222
SQ(N x P) = SQ(N,P) - SQ(N) - SQ(P) = 2.500,40 – 218,93 – 2.206,14
SQ(N x P) = 75,34
SQ(N,K) = 48,35932
3,1970)2,536......5,478(
8
1 222
SQ(N x K) = SQ(N,K) - SQ(N) - SQ(K) = 359,48 – 218,93 – 31,40
SQ(N x K) = 109,15
SQ(P,K) = 86,257.232
3,1970)3,573......6,424(
8
1 222
SQ(P x K) = SQ(P,K) - SQ(P) - SQ(K) = 2.257,86 – 2.206,14 – 31,40
SQ(P x K) = 20,32
SQ(N x P x K) = SQTrat(N,P,K) - SQ(N) - SQ(P) - SQ(K) - SQ(N x P) -
SQ(N x K) - SQ(P x K)
SQ(N x P x K) = 2.781,02 - 218,93 - 2.206,14 - 31,40 - 75,34 – 109,15
– 20,32 = 119,74
Quadro da análise de variância
FV GL SQ QM F
N 1 218,93 218,93 2,30 ns
P 1 2.206,14 2.206,14 23,16 *
K 1 31,40 31,40 0,33 ns
N x P 1 75,34 75,34 0,74 ns
N x K 1 109,15 109,15 1,15 ns
P x K 1 20,32 20,32 0,21 ns
N x P x k 1 119,74 119,74 1,26 ns
(Tratamentos) ( 7 ) (2.781,02)
Blocos 3 1.071,10
Resíduo 21 2.000,05 95,24
Total 31 5.852,17
F0,05 (1; 21) = 4,32
a) Não existe interação tripla entre os fatores N x P x K. Neste caso
verificar-se que as interações duplas entre os fatores também
foram não significativas. Isto significa que o comportamento de
um fator não depende dos níveis dos outros fatores, sendo,
portanto independentes. Neste caso, podemos estudar os
fatores isoladamente.
b) Todos os possíveis contrastes entre médias dos níveis do fator
N, são estatisticamente nulos, ao nível de 5% de probabilidade.
c) Exite pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator
P, estatisticamente diferente de zero, ao nível de 5% de
probabilidade.
d) Todos os possíveis contrastes entre médias dos níveis do fator
K, são estatisticamente nulos, ao nível de 5% de probabilidade.
4) Considere um experimento montado no esquema fatorial 3 x 2 x 2,
sendo o fator variedade de trigo em 3 níveis (V1; V2 e V3), o fator
calagem em 2 níveis (Ca0: 0 ton/ha de calcário e Ca1: 4,4 ton/ha de
calcário) e o fator fosfatagem em 2 níveis (P0: 0 mg de P/kg de solo
e P1: 87 mg de P/kg de solo), num delineamento inteiramente
casualizado, com 4 repetições. No qual foi estudada a eficiência da
cultura do trigo na utilização do fósforo, obtida pelo quociente do
teor de matéria seca da parte aérea pela quantidade de fósforo
absorvida, obtendo os dados abaixo:
Tratamentos
Repetições
Totais 1 2 3 4
1- V1Ca0P0 1255 1250 908 1431 4844
2- V1Ca0P1 556 476 588 500 2120
3- V1Ca1P0 714 770 667 667 2818
4- V1Ca1P1 417 454 454 385 1710
5- V2Ca0P0 1428 1444 1667 1428 5967
6- V2Ca0P1 625 526 667 526 2344
7- V2Ca1P0 769 911 1000 1254 3944
8- V2Ca1P1 370 476 417 357 1620
9- V3Ca0P0 1660 1662 1667 1667 6656
10- V3Ca0P1 526 714 588 714 2542
11- V3Ca1P0 625 909 909 667 3110
12- V3Ca1P1 526 556 400 476 1958
39623
SQTotal = 83240344.2.2.3
39623476.....1255
222
SQTrat = 786556548
39623)1958.....4844(
4
1 222
Para o cálculo das somas de quadrados correspondentes aos efeitos
principais dos fatores e às interações entre eles, devemos organizar
os quadros auxiliares relacionando os níveis dos fatores:
Quadro 1
V1 V2 V3 Totais
Ca0 6964 8311 9198 24473
Ca1 4528 5554 5068 15150
Totais 11492 13865 14266 39623
Quadro 2
V1 V2 V3 Totais
P0 7662 9901 9766 27329
P1 3830 3964 4500 12294
Totais 11492 13865 14266 39623
Quadro 3
Ca0 Ca1 Totais
P0 17467 9862 27329
P1 7006 5288 12294
Totais 24473 15150 39623
Do quadro 1, temos:
SQ(V) = 979.28048
39623)142661386511492(
16
1 2222
SQ(Ca) = 799.810.148
39623)1515024473(
24
1 222
SQ(V,Ca) = 982.192.248
39623)5068......6964(
8
1 222
SQ(V x Ca) = SQ(V,Ca) - SQ(V) - SQ(Ca)
SQ(V x Ca) = 2.192.982 – 1.810.799 – 280.979 = 101.204
Do Quadro 2, temos:
SQ(P) = 401.709.448
39623)1229427329(
24
1 222
SQ(V,P) = 914.134.548
39623)4500......7662(
8
1 222
SQ(V x P) = SQ(V,P) - SQ(V) - SQ(P)
SQ(V x P) = 5.134.914 – 280.979 – 4.709.401 = 144.534
Do Quadro 3, temos:
SQ(Ca,P) = 215.242.748
39623)5288......17467(
12
1 222
SQ(Ca x P) = SQ(Ca,P) - SQ(Ca) - SQ(P)
SQ(Ca x P) = 7.242.215 – 1.810.799 – 4.709.401 = 722.215
A soma de quadrados da interação tripla é obtida por diferença em
relação à soma de quadrados de tratamentos, isto é:
SQ(V x Ca x P) = SQTrat - SQ(V) - SQ(Ca) - SQ(P) - SQ(V x P) -
SQ(V x Ca) - SQ(Ca x P)
SQ(V x Ca x P) = 7.865.565 – 280.979 – 1.810.799 – 4.709.401 –
144.534 – 101.204 – 722.015
SQ(V x Ca x P) = 96.633
Quadro da análise de variância
FV GL SQ QM F
V 2 280.979 140.490 10,94 **
Ca 1 1.810.799 1.810.799 140,96 **
P 1 4.709.401 4.709.401 366,60 **
V x Ca 2 101.204 50.602 3,94 *
V x P 2 144.534 72.267 5,63 **
Ca x P 1 722.015 722.015 56,21 **
V x Ca x P 2 96.633 48.317 3,76 *
(Tratamentos) ( 11) (7.865.565)
Resíduo 36 462.469 12.846
Total 47 8.328.034
F0,05 (1; 36) = 4,08 F0,05 (2; 36) = 3,23
Existe interação tripla entre os fatores V x Ca x P. Isto significa que o
comportamento de um fator depende dos níveis dos outros fatores,
sendo, portanto dependentes. Neste caso, não podemos estudar os
fatores isoladamente.
A significância da interação V x Ca x P, pode ser considerada de 3
formas: interação da interação V x Ca com o fator P; interação da
interação C x P com o fator Ca; interação da interação Ca x P com o
fator V.
Vamos desdobrar a interação V x Ca x P, para estudar o
comportamento das variedades em cada combinação de níveis de Ca
e P. Podemos organizar um quadro auxiliar:
Ca0P0 Ca0P1 Ca1P0 Ca1P1 Totais
V1 4844 2120 2818 1710 11492
V2 5967 2344 3934 1620 13865
V3 6656 2542 3110 1958 14266
Totais 17467 7006 9862 5288 39623
Desse quadro calculamos:
SQ(V para int. Ca0P0) = 266.41812
17467)665659674844(
4
1 2222
SQ(V para int. Ca0P1) = 289.2212
7006)254223442120(
4
1 2222
SQ(V para int. Ca1P0) = 475.16712
9862)311039342818(
4
1 2222
SQ(V para int. Ca1P1) = 321.1512
5288)195816201710(
4
1 2222
Quadro da análise de variância para estudar o comportamento das
variedades de trigo (V) em cada combinação dos níveis de Ca e P.
FV GL SQ QM F
V\Ca0P0 2 418.266 209.133 16,28 **
V\Ca0P1 2 22.289 11.145 0,87 ns
V\Ca1P0 2 167.475 83.738 6,52 **
V\Ca1P1 2 15.321 7.661 0,60 ns
Resíduo 36 462.469 12.846 -
Verificamos que existem diferenças entre as variedades de trigo (V)
nas combinações Ca0P0 e Ca1P0. Dentro de cada combinação Ca0P0 e
Ca1P0, existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis de V
(variedades de trigo), estatisticamente diferente de zero, ao nível de
5% de probabilidade.
Para detectar essas diferenças, vamos aplicar o teste de tukey às
médias das cultivares em cada combinação de Ca e P.
Ca0P0
H0: mCi = mCj
H1: mCi ≠ mCj p/ i ≠ j
q0,05 (3; 36) = 3,46 1964
1284646,3
Ca0P0 Ca0P1 Ca1P0 Ca1P1
V1 1211 b 530 a 705 b 428 a
V2 1492 a 586 a 984 a 405 a
V3 1664 a 636 a 778 b 490 a
Dentro de cada combinação de Ca e P, as médias dos níveis de V,
seguidas de uma mesma letra, não deferem entre si, ao nível de 5%
de probabilidade, pelo teste de Tukey.
Vamos desdobrar a interação V x Ca x P, para estudar o
comportamento do calcário em cada combinação de níveis de V e P.
Podemos organizar um quadro auxiliar:
V1P0 V1P1 V2P0 V2P1 V3P0 V3P1 Totais
Ca0 4844 2120 5967 2344 6656 2542 24473
Ca1 2818 1710 3934 1620 3110 1958 15150
Totais 7662 3830 9901 3964 9766 4500 39623
Desse quadro calculamos:
SQ(Ca para int. V1P0) = 085.5138
7662)28184844(
4
1 222
SQ(Ca para int. V1P1) = 013.218
3830)17102120(
4
1 222
SQ(Ca para int. V2P0) = 636.5168
9901)39345967(
4
1 222
SQ(Ca para int. V2P1) = 522.658
3964)16202344(
4
1 222
SQ(Ca para int. V3P0) = 764.571.18
9766)31106656(
4
1 222
SQ(Ca para int. V3P1) = 632.428
4500)19582542(
4
1 222
Quadro da análise de variância para estudar o comportamento das
variedades de trigo (V) em cada combinação dos níveis de Ca e P.
FV GL SQ QM F
Ca\V1P0 1 513.085 513.085 39,94 **
Ca\V1P1 1 21.013 21.013 1,64 ns
Ca\V2P0 1 516.636 516.636 40,22 **
Ca\V2P1 1 65.522 65.522 5,10 *
Ca\V3P0 1 1.571.764 1.571.764 122,35 **
Ca\V3P1 1 42.632 42.632 3,32 ns
Resíduo 36 462.469 12.846 -
Verificamos que existem diferenças entre os níveis de calcário (Ca)
nas combinações V1P0, V2P0, V2P1 e V3P0. Dentro de cada combinação
dos níveis V1P0, V2P0, V2P1 e V3P0, existem pelo menos um contraste
entre médias dos níveis de Ca (calcário), estatisticamente diferente de
zero, ao nível de 5% de probabilidade.
Para detectar essas diferenças, vamos resumir às médias dos níveis
de calcário em cada combinação de V e P.
V1P0 V1P1 V2P0 V2P1 V3P0 V3P1
Ca0 1.211 a 530 a 1.492 a 586 a 1.664 a 636 a
Ca1 705 b 428 a 984 b 405 b 778 b 490 a
Dentro de cada combinação de V e P, as médias dos níveis de Ca,
seguidas de uma mesma letra, não deferem entre si, ao nível de 5%
de probabilidade, pelo teste de Tukey.
Vamos desdobrar a interação V x Ca x P, para estudar o
comportamento do Fósforo em cada combinação de níveis de V e Ca.
Podemos organizar um quadro auxiliar:
V1Ca0 V1Ca1 V2Ca0 V2Ca1 V3Ca0 V3Ca1 Totais
P0 4844 2818 5967 3934 6656 3110 27329
P1 2120 1710 2344 1620 2542 1958 12294
Totais 6964 4528 8311 5554 9198 5068 39623
Desse quadro calculamos:
SQ(P para int. V1Ca0) = 522.9278
6964)21204844(
4
1 222
SQ(P para int. V1Ca1) = 458.1538
4528)17102818(
4
1 222
SQ(P para int. V2Ca0) = 766.640.18
8311)23445967(
4
1 222
SQ(P para int. V2Ca1) = 325.6698
5554)16203934(
4
1 222
SQ(P para int. V3Ca0) = 625.115.28
9198)25426656(
4
1 222
SQ(P para int. V3Ca1) = 888.1658
5068)19583110(
4
1 222
Quadro da análise de variância para estudar o comportamento do
fósforo (P) em cada combinação dos níveis de V e Ca.
FV GL SQ QM F
P\V1Ca0 1 927.522 927.522 72,20 **
P\V1Ca1 1 153.458 153.458 11,95 **
P\V2Ca0 1 1.640.766 1.640.766 127,73 **
P\V2Ca1 1 669.325 669.325 52,10 **
P\V3Ca0 1 2.115.625 2.115.625 164,69 **
P\V3Ca1 1 165.888 165.888 12,91 **
Resíduo 36 462.469 12.846 -
Verificamos que existem diferenças entre os 2 níveis de fósforo (P) em
todas as combinações de V e Ca. Ou seja, Dentro de cada
combinação dos níveis de V e Ca, existe pelo menos um contraste
entre médias dos níveis de P (fósforo), estatisticamente diferente de
zero, ao nível de 5% de probabilidade.
Para detectar essas diferenças, vamos resumir às médias dos níveis
de fósforo em cada combinação de V e Ca.
V1Ca0 V1Ca1 V2Ca0 V2Ca1 V3Ca0 V3Ca1
P0 1.211 a 705 a 1.492 a 984 a 1.664 a 778 a
P1 530 b 428 b 586 b 405 b 636 b 490 b
Dentro de cada combinação de V e Ca, as médias dos níveis de P,
seguidas de uma mesma letra, não deferem entre si, ao nível de 5%
de probabilidade, pelo teste de Tukey.
Obs.: Os três desdobramentos realizados na interação tripla pode ser
utilizado qualquer um deles, dependendo apenas do interesse do
pesquisador.