Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 1
UNIDADE 1 - LIMITES
1.1 NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Seja a função f(x) = )1x(
1xx22
definida para todo x real e x 1. Se x 1, podemos
dividir o numerador e o denominador por x - 1 obtendo f(x) =)1x(
)1x)(1x2(
f(x) = 2x + 1.
Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes
de 1.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
f(x) 1 2 2,5 2,8 2,98 2,998
Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 5 4 3,5 3,2 3,02 3,002
Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x)
aproxima-se de 3, isto é, quanto mais próximo de 1 estiver x, tanto mais próximo de 3 estará
f(x).
1.2 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
Uma das conseqüências das propriedades de limite é a regra de obter o limite de uma
função polinomial.
Teorema 1
O limite de uma função polinomial
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anx
n =
n
0i
aixi, ai R, para x tendendo para a, é igual ao
valor numérico de f(x) para x = a.
Por uma questão de simplicidade indicaremos as propriedades de limites como sendo as
propriedades P e vamos fazer rápido sumário dessas propriedades.
PROPRIEDADES
Se ax
lim
f(x) = L, ax
lim
g(x) = M e c = constante, então:
1. ax
lim
c = c
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2. ax
lim
[c. f(x)] = c. ax
lim
f(x) = c . L
3. ax
lim
[(f + g) (x)] = ax
lim
f(x) + ax
lim
g(x) = L + M
4. ax
lim
[(f - g) (x)] = ax
lim
f(x) - ax
lim
g(x) = L - M
5. ax
lim
[(f . g) (x)] = ax
lim
f(x) . ax
lim
g(x) = L . M
6. ax
lim
)x(g
)x(f =
)x(glim
)x(flim
ax
ax
= M
L (M 0)
7. ax
lim
[(f)n (x)] = [ax
lim
f(x)]n = Ln
8. ax
lim
n )x(f = n
ax
)x(flim
= n L (se n *N e L 0 ou se n é ímpar e L 0)
EXERCÍCIOS
1.1 - Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o
teorema utilizado.
a) )2x5x3(lim2
2x
b) 3x4
3x2xlim
2
1x
c)
22
1x 2x3
1xx2lim
d) 3
2
23
2x 3x4x
2x3x2xlim
Solução
a) Pelo teorema da função polinomial, vem:
)2x5x3(lim2
2x
= 3. 22 - 5. 2 + 2 = 4
b) 3x4
3x2xlim
2
1x
= )3x4(lim
)3x2x(lim
1x
2
1x
= 7
4
7
4
c)
22
1x 2x3
1xx2lim
=
22
1x 2x3
1xx2lim
=
2
1x
2
1x
)2x3(lim
)1xx2(lim
= 22 = 4
d) 3
2
23
2x 3x4x
2x3x2xlim
= 3
2
23
2x 3x4x
2x3x2xlim
= 3
2
2x
23
2x
)3x4x(lim
)2x3x2x(lim
=
283
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1.2 - Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o
teorema utilizado.
a) )5x7x4(lim2
1x
b) )3x4x2x(lim23
1x
c) 5x6x
2x3lim
22x
d) 1x2
4x5x3lim
2
1x
e) x35
3x2xlim
2
3x
f)
3
2
2
2x 4x3x
5x2x3lim
g)
2
2
23
4x 2x9x2
5x2x3xlim
h) 4x5
4x3x2lim
2
1x
i) 3
23
2x 3x4
2xx5x3lim
j) x46
2x3x2lim
2
2x
1.3- Calcular x2x
4xlim
2
2
2x
Solução
Temos 0)4x(lim2
2x
e 0)x2x(lim2
2x
e nada podemos concluir ainda sobre o limite
procurado.
Os polinômios (x2 - 4) e (x2 - 2x) anulam-se para x = 2, portanto, pelo teorema de
D´Alembert, são divisíveis por x - 2, isto é:
x
2x
)2x(x
)2x)(2x(
x2x
4x
2
2
Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x tende para a, interessa o
comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função
quando x = a, concluímos:
x2x
4xlim
2
2
2x
=
x
2xlim
2x
= 2
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1.4- Calcular os limites:
a) 1x
1xlim
2
1x
b) x2
x4lim
2
2x
c) 2/3x
lim 3x2
9x42
d) 6xx
3x4xlim
2
2
3x
e) 2/1x
lim 2x5x2
3x5x2
2
2
f) 12x5x2
3x11x6lim
2
2
2/3x
g) 1x
1xlim
2
3
1x
h) 2
3
2x x4
x8lim
i) 3
4
2x x8
16xlim
1.5- Seja a função f definida por
f (x) =
1xse3
1xse1x
2x3x2
Calcular ).x(flim1x
Solução:
Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende para a, interessa o
comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função
quando x = a, temos:
)x(flim1x
= 1)2x(lim)1x(
)2x)(1x(lim
1x
2x3xlim
1x1x
2
1x
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1.6 - Seja a função f definida por f(x) =
2xse,3
2xse,2x
2x3x22
. Calcular )x(flim2x
1.7 - Seja a função f definida por f(x) =
3xse3
3xse3x
9x9x22
Mostre que
3)x(flim3x
1.8 Calcular 3x5x3x
1x4xx2lim
23
23
1x
.
Solução
Temos 0)1x4xx2(lim23
1x
e 0)3x5x3x(lim23
1x
.
Os polinômios (2x3 + x2 - 4x +1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3) anulam-se para x = 1, portanto,
pelo teorema de D´Alembert, são divisíveis por (x - 1), isto é, x - 1 é um fator comum em
(2x3+ x2 - 4x +1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3).
Efetuamos as divisões de (2x3 + x2 - 4x + 1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3) por (x - 1),
obtemos:
3x2x
1x3x2
)3x2x).(1x(
)1x3x2).(1x(
3x5x3x
1x4xx2
2
2
2
2
23
23
Então
23x2x
1x3x2lim
3x5x3x
1x4xx2lim
2
2
1x23
23
1x
1.9 - Calcular os limites:
a) 2xx
3xx3xlim
23
23
1x
b) 3x8x
9x6xlim
3
3
3x
c) 5x8x4x
4x6x3xlim
23
23
1x
d) 23
4
2x x2x
4x10xlim
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1.10 - Calcular 1x3x2
2xx4x3lim
23
23
1x
Solução
Temos 0)2xx4x3(lim23
1x
e 0)1x3x2(lim23
1x
Efetuando as divisões de 3x3 - 4x2 - x + 2 e 2x3 - 3x2 + 1 por x - 1, temos:
1xx2
2xx3
)1xx2)(1x(
)2xx3)(1x(
1x3x2
2xx4x3
2
2
2
2
23
23
então
1xx2
2xx3lim
1x3x2
2xx4x3lim
2
2
1x23
23
1x
mas
0)2xx3(lim2
1x
e 0)1xx2(lim2
1x
, então
3
5
1x2
2x3lim
)1x2)(1x(
)2x3)(1x(lim
1xx2
2xx3lim
1x1x2
2
1x
1.11- Calcular os limites:
a) 3x4x
2x3xlim
4
3
1x
b) 4x4x7x2
12x12xx4xlim
23
234
2x
c) 2x5x4x
4x5xxxlim
23
234
1x
d) 8x12x2x7x2
4x12x5x2xlim
234
234
2x
1.3 LIMITES LATERAIS
Lembremos que, ao considerarmos )x(flimax
, estávamos interessados no comportamento
da função nos valores próximos de a, isto é, nos valores de x pertencentes a um intervalo
aberto contendo a, porém diferentes de a e, portanto, nos valores desse intervalo que são
maiores ou menores que a.
Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando x assume valores próximos
e menores que a, é diferente do comportamento da mesma função, quando x assume valores
próximos e maiores que a. Quando isto acontece o limite de f(x) não existe em a.
Assim, por exemplo, na função:
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f(x) =
1xse2x
1xse2
1xsex4
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 (à esquerda de 1) temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
f(x) 4 3,5 3,25 3,1 3,01 3,001
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, (à direita de 1), temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 0 -0,5 -0,75 -0,9 -0,99 -0,999
Observamos que, se está próximo de 1, à esquerda de 1, então os valores da função
estão próximos de 3, e se x está próximo de 1, à direita, então os valores da função estão
próximos de -1.
Em casos como este, onde supomos x assumindo valores próximos de 1, mas somente
à esquerda ou somente à direita de 1, consideramos os limites laterais pela esquerda ou pela
direita de 1, que definiremos a seguir.
Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, a[. O limite de f(x), quando x se
aproxima de a pela direita, será L e escrevemos
L)x(flimax
Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, a[, cujo L)x(flimax
. O limite de
f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, será L ( L)x(flimax
) e o limite de f(x), quando
x se aproxima de a pela direita, também será L ( L)x(flimax
)
As propriedades de limites e o teorema do limite da função polinomial são válidos se
substituirmos "x a" por "xa+", ou por "x a – “.
Exemplos
Na função f definida por
f(x) =
1xsex3
1xse1
1xse4x2
temos:
2)x3(lim)x(flim1x1x
e 3)4x(lim)x(flim2
1x1x
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 8
Como os limites laterais são diferentes, dizemos que )x(flim1x
não existe. A justificação
da não existência de um limite devido ao fato de os limites laterais serem diferentes é dada no
teorema que segue.
Teorema
Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para x I - {a}.
Temos L)x(flimax
se, e somente se, existirem )x(flimax
e )x(flimax
e forem ambos iguais a L.
EXERCÍCIOS
Nos exercícios abaixo, para cada função f calcule os limites indicados, se existirem.
1.12 - f(x) =
1xse1x4
1xse2
1xse2x3
a) )x(flim1x
b) )x(flim1x
c) )x(flim1x
1.13 - f(x) =
1xsex4
1xsex23
a) )x(flim1x
b) )x(flim1x
c) )x(flim1x
1.14 - f(x) =
3xsex54
3xse5x2
a) )x(flim3x
b) )x(flim3x
c) )x(flim3x
1.15 - f(x) =
2xse1x
2xse0
2xsex12
a) )x(flim2x
b) )x(flim2x
c) )x(flim2x
1.16 - f(x) =
3xsex28
3xse2x3x2
a) )x(flim3x
b) )x(flim3x
c) )x(flim3x
1.17 - f(x) =
2xse7x6x
2xse2
2xse1x3x2
2
2
a) )x(flim2x
b) )x(flim2x
c) )x(flim2x
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1.4 LIMITE INFINITO
Seja a função f definida por f(x) = 2
)1x(
1
para todo x real e x 1. Atribuindo a x
valores próximos de 1, à esquerda de 1, temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
f(x) 1 4 16 100 10000 1000000
e atribuindo a x valores próximos de 1, à direita de 1, temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 1 4 16 100 10000 1000000
Observamos nas duas tabelas que os valores da função são cada vez maiores, na
medida em que x se aproxima de 1. Em outras palavras, podemos tornar f(x) tão grande
quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando valores para x
bastante próximos de 1 e escrevemos:
21x )1x(
1lim
onde o símbolo "+ " lê-se "mais infinito" ou "infinito positivo".
Tomemos agora a função g como sendo o oposto da função f, isto é, g(x) = -f(x) =
2)1x(
1
definida para todo x real e x 1.
Os valores da função g são opostos dos valores da função f. Assim para a função g,
quando x se aproxima de 1, os valores de g(x) decrescem ilimitadamente. Em outras palavras,
podemos tornar os valores de g(x) tanto menores quanto desejarmos, isto é, menores que
qualquer número negativo, tomando valores de x bastante próximos de 1 e escrevemos:
21x )1x(
1lim
onde o símbolo "- " lê-se "menos infinito" ou "infinito negativo".
Consideremos agora a função h definida por h(x) = 1x
1
para todo x real e x 1.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
f(x) 1- -2 -4 -10 -100 -1000
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 10
E atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 1 2 4 10 100 1000
Observemos que se x assume valores próximos e à esquerda de 1, a função decresce
ilimitadamente e se x assume valores próximos e à direita de 1, então a função cresce
ilimitadamente. Estamos considerando os limites laterais que são "infinitos" e escrevemos:
1x
1lime
1x
1lim
1x1x
Para concluirmos que os valores de uma função cresciam infinitamente ou decresciam
infinitamente, quando x se aproxima de a, pela esquerda ou pela direita de a, construímos
uma tabela de valores da função quando x estava próximo de ª Vejamos como chegar à
mesma conclusão sem construirmos essa tabela.
Teorema
Sejam f e g tais que 0c)x(flimax
então:
I) 0)x(g
)x(fse
)x(g
)x(flim
ax
quando x está próximo de a;
II) 0)x(g
)x(fse
)x(g
)x(flim
ax
quando x está próximo de a.
EXERCÍCIOS
1.18) Calcule
a) 21x )1x(
2x3lim
b) 22x )2x(
x1lim
Solução
a) Com 5)2x3(lim1x
e 0)1x(lim2
2x
, estudemos o sinal de 2
)1x(
2x3
)x(g
)x(f
quando x está
próximo de 1.
1
x
0
+
+
+
+
+
+
0
0
-2/3
-
+
-
sinal de f(x) = 3x + 2
sinal de g(x) = (x - 1)2
2)1x(
2x3
)x(g
)x(f
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 11
Notemos que 0)1x(
2x3
)x(g
)x(f
2
quando x está próximo de 1, então:
21x )1x(
2x3lim
b) Com 1)x1(lim2x
e 0)2x(lim2
2x
, estudemos o sinal de 2
)2x(
x1
)x(g
)x(f
quando x está
próximo de 2.
Notemos que 2
)2x(
x1
)x(g
)x(f
< 0 quando x está próximo de 2, então:
22x )2x(
x1lim
1.19) Calcule
a) 22x )2x(
4x3lim
b) 2
1x )1x(
3x2lim
c) 21x )1x(
x31lim
d) 2
2
0x x
2x5x3lim
1.20) Calcule
a) 1x
1x2lim
1x
b) 1x
1x2lim
1x
Solução
+
- +
- +
0
1 2 x
0
+ 0
-
+
-
x1)x(fdesinal
22)(xg(x)desinal
2)2x(
x1
)x(g
)x(f
desinal
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 12
Como )1x(lim)1x2(lim1x1x
e 0)1x(lim)1x(lim1x1x
, estudemos o sinal de 1x
1x2
)x(g
)x(f
quando x está próximo de 1.
Notemos que 1x
1x2
)x(g
)x(f
< 0 quando x está próximo de 1, à esquerda, então:
1x
1x2lim
1x
e 1x
1x2
)x(g
)x(f
> 0 quando x está próximo de 1, à direita, então:
1x
1x2lim
1x
Observemos que não tem significado falarmos em 1x
1x2lim
1x
pois
1x
1x2lim
1x
e
1x
1x2lim
1x
.
1.21) Determine:
a) 2x
4xlim
2x
b) 3x
x21lim
3x
c) x25
2x3lim
2
5x
d) 3
1x )1x(
3x2lim
e) 3
2
2x )x2(
5x3x2lim
1.4.1 PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS
Veremos a seguir um resumo de dez teoremas cujos enunciados serão apresentados
com o símbolo "x a", mas que serão válidos se trocarmos esse símbolo por " x a – " ou "x
a+"
Dados Conclusão
-1/2 1 x
-
-
-
0
0
+
-
-
0
+
+
+
1x2xfdesinal 1xxgdesinal
1x
1x2
)x(g
xf
desinal
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 13
)x(flimax
)x(glimax
)x)(gf(limax
)x(flimax
)x(glimax
)x)(gf(limax
)x(flimax
0b)x(glimax
0bse
0bse)x)(g.f(lim
ax
)x(flimax
0b)x(glimax
0bse
0bse)x)(g.f(lim
ax
)x(flimax
)x(glimax
)x)(g.f(limax
)x(flimax
)x(glimax
)x)(g.f(limax
)x(flimax
)x(glimax
)x)(g.f(limax
)x(flimax
0
)x(f
1lim
ax
)x(flimax
0
)x(f
1lim
ax
0)x(flimax
)x(f
1lim
ax
Não podemos estabelecer leis para os seguintes casos:
)x(flimax
)x(glimax
?)x)(gf(limax
)x(flimax
)x(glimax
?)x)(gf(limax
)x(flimax
)x(glimax
?)x)(gf(limax
)x(flimax
(ou - ) 0)x(glimax
?)x)(g.f(limax
)x(flimax
(ou - )
)x(glimax
(ou + ) ?)x(
g
flim
ax
1.5 LIMITES NO INFINITO
Seja a função f definida por f(x) = x
2x para todo x real e x 0. Atribuindo a x
valores 1, 5, 10, 100, 1000, 10000 e assim por diante, de tal forma que x cresça
ilimitadamente, temos:
x 1 5 10 100 1000 10000
f(x) 3 1,4 1,2 1,02 1,002 1,0002
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 14
Observemos que, à medida que x cresce através de valores positivos, os valores da
função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar f(x) tão próximos de 1
quanto desejar se atribuirmos para x valores cada vez maiores.
Escrevemos, então:
1x
2xlim
x
Consideremos novamente a função f(x) = x
2x . Atribuindo a x os valores -1, -5, -10, -
100, -1000, -10000 e assim por diante, de tal forma que x decresça ilimitadamente, temos:
x -1 -5 -10 -100 -1000 -10000
f(x) -1 0,6 0,8 0,98 0,998 0,9998
Observemos que, à medida que x decresce através de valores negativos, os valores da
função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar f(x) tão próximos de 1
quanto desejar se atribuirmos para x valores cada vez menores.
Escrevemos, então:
1x
2xlim
x
Seja a função f(x) = x2, definida para todo x real.
Atribuindo a x valores 1, 5, 10, 100, 1000 e assim por diante, de tal forma que x cresça
ilimitadamente, temos:
x 1 5 10 100 1000
f(x) 1 25 100 10000 1000000
Observamos que, a medida que x cresce através de valores positivos, os valores da
função também crescem e ilimitadamente. Em outras palavras, dizemos que podemos tornar
f(x) tão grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando para
x valores suficientemente grandes e escrevemos:
)x(flimx
Se agora atribuirmos a x os valores -1, -5, -10, -100, -1000 e assim por diante, de tal
forma que x decresça ilimitadamente, temos:
x -1 -5 -10 -100 -1000
f(x) 1 25 100 10000 1000000
Observamos que, a medida que decresce através de valores negativos, os valores da
função crescem e ilimitadamente. Em outras palavras, dizemos que podemos tornar f(x) tão
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 15
grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando para x
valores negativos cujos módulos sejam suficientemente grandes e escrevemos:
)x(flimx
Teorema
Se c R e n é um número inteiro e positivo então:
I) cclimclimxx
II)
n
x
xlim
III)
ímparénse
parénsexlim
n
x
IV) 0x
1lim
nx
V) 0x
1lim
nx
Teorema
Se f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx
n, an 0, é uma função polinomial, então:
)xa(lim)x(flimn
nxx
e )xa(lim)x(flimn
nxx
Teorema
Se f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx
n, an 0, e g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bmxm,
bm0 são funções polinomiais, então:
mn
m
n
xx
xb
alim
)x(g
)x(flim e
mn
m
n
xx
xb
alim
)x(g
)x(flim
EXERCÍCIOS
1.22) Encontre:
a) )3x7x4(lim2
x
b) )3x5x2x3(lim23
x
c) )2x3x4x5(lim23
x
d) )4x5x2x7x3(lim234
x
Solução
a) )3x7x4(lim2
x
=
)x4(lim2
x
b) )3x5x2x3(lim23
x
=
)x3(lim3
x
c) )2x3x4x5(lim23
x
=
)x5(lim3
x
d) )4x5x2x7x3(lim234
x
=
)x3(lim4
x
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 16
1.23) Encontre:
a) 1x5
2x3lim
x
b) 3x2
x45lim
x
c) 2x3
3x4x5lim
2
x
d) 2x5x3
1x4lim
2x
Solução
a) 1x5
2x3lim
x
= x5
x3lim
x
= 5
3
5
3lim
x
b) 3x2
x45lim
x
= x2
x4lim
x = 2)2(lim
x
c) 2x3
3x4x5lim
2
x
= x3
x5lim
2
x
= 3
x5lim
x
d) 2x5x3
1x4lim
2x
= 2x x3
x4lim
= x3
4lim
x
= 0
1.24) Encontre:
a) 1x5
x23lim
x
b) 2x3
3x4lim
x
c) 1x
4xlim
2
x
d) 1x
1xlim
2
3
x
e) 2x6x5x3
4x3xlim
23
2
x
f) 1x8
4xlim
3
2
x
1.5.1 Resumo
Faremos um resumo dos teoremas apresentados, lembrando que as proposições
continuam verdadeiras se trocarmos "x + " por " x – "
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 17
Dados Conclusão
)x(flimx
)x(glimx
?)x)(gf(limx
)x(flimx
)x(glimx
)x)(gf(limx
)x(flimx
0b)x(glimx
0bse
0bse)x)(g.f(lim
x
)x(flimx
0b)x(glimx
0bse
0bse)x)(g.f(lim
x
)x(flimx
)x(glimx
)x)(g.f(limx
)x(flimx
)x(glimx
)x)(g.f(limx
)x(flimx
)x(glimx
)x)(g.f(limx
)x(flimx
0
)x(f
1lim
x
)x(flimx
0
)x(f
1lim
x
0)x(flimx
)x(f
1lim
x
Não podemos estabelecer leis para os seguintes casos:
)x(flimx
)x(glimx
?)x)(gf(limx
)x(flimx
)x(glimx
?)x)(gf(limx
)x(flimx
)x(glimx
?)x)(gf(limx
)x(flimx
(ou - ) 0)x(glimx
?)x)(g.f(limx
)x(flimx
(ou - )
)x(glimx
(ou + ) ?)x(
g
flim
x
1.6 CONTINUIDADE
Quando definimos ax
)x(flim
analisamos o comportamento da função )( xf para
valores de x próximos de a , mas diferentes de .a Em muitos exemplos vimos que
ax
)x(flim
pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto .a Se f está definida em
a e ax
)x(flim
existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de ).(af
Quando ax
afxf
)()(lim diremos, de acordo com a definição abaixo, que f é
contínua em .a
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 18
Definição. Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições
forem satisfeitas:
)(a f é definida no ponto ;a
)(b ax
xf
)(lim existe;
)(c .)()(lim
ax
afxf
EXEMPLOS
)(i Sejam 1
1)(
2
x
xxf e
1,1
1xse ,1
1
)(
2
xse
x
x
xg
As funções f e g não são contínuas em 1a . A função f não está definida em
1a . Portanto, não satisfaz a condição )(a da definição 3.16.1. Já para a função g , temos
,1)1( g mas
1
)(lim
x
xg
11
)1()1(lim
xx
xx
1
.2)1(lim
x
x
Logo, a condição )(c não se verifica no ponto 1a .
1.25) Investigue a continuidade nos pontos indicados:
2,2
42
x
x
x
(a) f(x) =
2=,3 -- x
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 19
2,4
8
2
3
x
x
x
)x(f)b( em .2x
3 , 2x
1,1
2
2
x
x
x
)x(f)c( em 1=x
1,0 x
2,2
42
x
x
x
)x(f)d( em .2x
0 , 2=x
1,1
4+32
≠-
--x
x
xx
)x(f)e( em 1=x
1=,4 x
2,2
42
x
x
x
(f) f(x) =
2=,3 -- x
1.26) Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
3,22
xpxx 1,2 xpx
)()( xfa )() xfb
3,3 x 1,2
xp
1.27) Exercícios de revisão de Limites.
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 20
a) f(x) =
2xse7x6x
2xse2
2xse1x3x2
2
2
b)
22
6lim
2
2
3 xx
xx
x
c)
4472
12124lim
23
234
3 xxx
xxxx
x
d)
2
1532lim
3
265
x
xxx
x
e)
584
2lim
23
23
1 xxx
xx
x
f)
12
3lim
21 xx
x
x
Respostas de limites
Página 3
1.2)
a) 2
b) 4
c) - 8/3
d) - 12
e) 0
f) 1/8
g) 9/4
h) 3
5
i) 2
j) –2
Página 4
1.4)
a) 2
b) 4
c) 6
d) 2/5
e) -7/3
f) 7/11
g) 3/2
h) 3
i) – 8/3
Página 5
1.9)
a) -4/5
b) 21/19
c) 1
Página 9
1.12)
a)1 b)5 c)
1.13)
a)5 b)5 c) 5
1.14)
a)1 b)-11 c)
1.15)
a)1 b)-3 c)
1.16)
a)2 b)2 c) 2
1.17)
a)1 b)1 c) 1
Página 12
1.22)
a) +
b) +
c) -
d) +
e) -
f) -
Página 13
1.24)
a) -
b) +
Página 17
1.26)
a) +
b) +
c) +
d) –
e) –
f) +
1.27)
a) +
b) – , se não for par e
+ se for ímpar
c) + , se c > 0 e
– se c < 0
d) – , se c > 0 e
+ se c < 0
Página 18
1.30)
a) – 2/5
b) 4/3
c) +
d) –
e) 0
f)0
g)1/3
h)8
i)9/8
j)72
Página 19
Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 21
d) 11/2
Página 6
1.11)
a) ½
b) -1/5
c) 8
d) 7/8
c) +
d) -
e) +
1.32)
a) 1
b) - 1
c) 2
d) 2
e) +
f) 0
g)1
h) 0