UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA
Campus Cornelio Procopio
FUNCOES
ARMANDO PAULO DA SILVA
FERNANDO BRITO
GABRIELA CASTRO SILVA CAVALHEIRO
MARCIA REGINA PIOVESAN
THIAGO DE SOUZA PINTO
Cornelio Procopio - PR, 2012
Sumario
1. Funcoes 4
1.1. Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Funcoes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Funcao identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Funcao do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. Funcao modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5. Funcao quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.6. Funcao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.7. Funcao racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.28. Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.9. Funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2. Funcao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3. Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4. Funcao cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.5. Funcao secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.6. Funcao cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Funcoes hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1. Seno hiperbolico e cosseno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2. Funcoes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbolicas . . 22
1.5. Funcao periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2
1.6. Funcao par e funcao ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7. Funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.1. Funcao sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7.2. Funcao injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7.3. Funcao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Aplicacoes 31
Referencias 35
1. Funcoes
Antes de definirmos formalmente o que e uma funcao, podemos pensar em um valor
que depende de outro. Por exemplo:
1. Uma relacao que expresse a area de um quadrado em funcao do comprimento do
lado.
2. A area A de um cırculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A e dada pela
equacao A = πr2. A cada numero real r positivo existe associado um unico valor
de A, e dizemos que A e uma funcao de r.
Definicao: Sejam A e B subconjuntos de R. Uma funcao f : A → B e uma lei ou
regra que a cada elemento de A faz corresponder um unico elemento de B. O conjunto
A e chamado domınio de f e e denotado por D(f). B e chamado de contra-domınio ou
campo de valores de f .
Escrevemos: f : A → B
x 7→ f(x)
IMPORTANTE:
a) nao deve haver excecoes: se f tem o conjunto A como domınio, a regra deve fornecer
f(x) para todo x ∈ A;
b) nao deve haver ambiguidades: a cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um unico
5
f(x) ∈ B.
Exemplos:
1. Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
(a) f : A → B dada pelo diagrama abaixo e uma funcao.
(b) g : A → B e uma funcao de A em B.x 7→ x + 1
2. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
(a) f : A → B dada pelo diagrama abaixo nao e uma funcao de A em B.
(b) g : A → Bx 7→ x − 3
Nao e uma funcao de A em B, pois o elemento 3 ∈ A nao tem correspondente
em B.
6
Definicao: Seja f : A → B.
i) Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B e chamado de valor da funcao f no ponto x ou
de imagem de x por f .
ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela funcao e chamado conjunto imagem
de f e e denotado por Im(f).
CUIDADO!
a) Nao se deve confundir f com f(x): f e a funcao, enquanto que f(x) e a imagem que
a funcao assume em x.
b) Nao confunir f(x) com f(A): f(x) e a imagem de x ∈ A por f , enquanto f(A) e o
conjunto
{f(x) ∈ B|x ∈ A}
que e a imagem direta de A por f (ou simplesmente, a imagem de f).
Definicao: Seja f uma funcao. O grafico de f e o conjunto de todos os pontos (x, f(x))
de um plano coordenado, onde x pertence ao domınio de f .
G(f) = {(x, f(x)) | x ∈ D(f)}.
1.1. Operacoes
Definicao: Dadas as funcoes f e g, sua soma f + g, diferenca f − g, produto f · g e
quociente f/g, sao definidas por:
i) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
ii) (f − g)(x) = f(x) − g(x)
7
iii) (f · g)(x) = f(x) · g(x)
iv) (f
g)(x) =
f(x)
g(x), desde que g(x) 6= 0.
O domınio das funcoes f + g, f − g, f · g e a interseccao dos domınios de f e g.
O domınio de f/g e a interseccao dos domınios de f e g, excluindo-se os pontos onde
g(x) = 0.
Definicao: Se f e uma funcao e k e um numero real, definimos a funcao kf por
(kf(x)) = kf(x).
O domınio de kf coincide com o domınio de f .
Definicao: Dadas duas funcoes f e g, a funcao composta de g com f , denotada por
g ◦ f , e definida por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
O domınio de g ◦ f e o conjunto de todos os pontos x no domınio de f tais que f(x) esta
no domınio de g.
Simbolicamente,
D(g ◦ f) = {x ∈ D(f) | f(x) ∈ D(g)}.
Veja o diagrama abaixo:
8
1.2. Funcoes especiais
Veremos agora algumas funcoes importantes, bem como suas principais caracterısticas.
1.2.1. Funcao constante
E toda funcao do tipo f(x) = k, que associa a qualquer numero real x um mesmo
numero real k. A representacao grafica sera sempre uma reta paralela ao eixo dos x,
passando por y = k.
• O domınio da funcao f(x) = k e D(f) = R.
• O conjunto imagem e o conjunto unitario Im(f) = {k}.
1.2.2. Funcao identidade
E a funcao f : R → R definida por f(x) = x.
• O grafico desta funcao e uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
• O domınio de f(x) = x e D(f) = R
9
• O conjunto imagem e Im(f) = R.
1.2.3. Funcao do primeiro grau
Funcao do primeiro grau e toda funcao que associa a cada numero real x o numero
real ax + b, a 6= 0. Os numeros reais a e b sao chamados, respectivamente, de coeficiente
angular e linear.
Uma funcao f e crescente quando, a medida que x cresce, f(x) tambem
cresce. Quando f(x) decresce a medida que x cresce, dizemos que a funcao e
decrescente.
Quando a > 0, a funcao f(x) = ax + b e crescente e quando a < 0, a funcao
f(x) = ax + b e decrescente.
A funcao f(x) = ax + b, a, b ∈ R e chamada de funcao afim por muitos autores. Os
seguintes casos sao casos particulares:
i) Funcao do primeiro grau, quando a 6= 0.
ii) Funcao linear, quando a 6= 0 e b = 0.
iii) Funcao constante, quando a = 0.
10
1.2.4. Funcao modulo
A funcao definida por y = |x| chama-se funcao modulo. O seu domınio e o conjunto
D(f) = R e o conjunto imagem e Im(f) = [0, +∞].
• O grafico de f(x) = |x| e
1.2.5. Funcao quadratica
A funcao f : A → B dada por f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, e chamada funcao do
segundo grau ou funcao quadratica.
• O domınio de f e D(f) = R.
• O grafico de uma funcao quadratica e uma parabola com eixo de simetria paralelo ao
eixo dos y. Se o coeficiente de x2 for positivo (a > 0), a parabola tem a concavidade
voltada para cima. Se a < 0, a parabola tem a concavidade voltada para baixo.
• A interseccao do eixo de simetria com a parabola e um ponto chamado vertice, o qual
e dado por
V = (−b
2a,−
∆
4a).
11
• A interseccao da parabola com o eixo dos x define os zeros da funcao. No quadro
seguinte caracterizamos as diversas possibilidades.
1.2.6. Funcao polinomial
E a funcao f : R → R definida por f(x) = a0 + ax
1 + a2x2 + . . . + anx
n, onde
a0, a1, a2, . . . , an, a0 6= 0, sao numeros reais chamados coeficientes e n inteiro nao negativo,
determina o grau da funcao.
• O domınio e sempre o conjunto dos numeros reais.
• O grafico da funcao polinomial e uma curva que pode apresentar pontos de maximos e
mınimos.
12
Exemplos:
1. A funcao constante f(x) = k e uma funcao polinomial de grau zero.
2. A funcao f(x) = ax + b, a 6= 0 e uma funcao polinomial de 10 grau.
3. A funcao quadratica f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, e uma funcao polinomial do 20
grau.
4. A funcao f(x) = 5x2 − 6x + 7 e uma funcao polinomial de grau 5.
1.2.7. Funcao racional
E a funcao definida como o quociente de duas funcoes polinomiais, isto e, f(x) =p(x)
q(x),
onde p(x) e q(x) sao polinomios e q(x) 6= 0.
• O domınio da funcao racional e o conjunto dos numeros reais excluindo aqueles x tais
que q(x) = 0.
Exemplos:
1. A funcao f(x) =x − 1
x + 1e funcao racional de domınio D(f) = R − {−1}.
13
2. A funcao f(x) =(x2 + 3x − 4)(x2 − 9)
(x2 + x − 12)(x + 3)e racional de domınio D(f = R−{−4,−3, 3}
1.2.8. Funcao exponencial
Chamamos de funcao exponencial de base a a funcao f de R em R que associa a cada
x real o numero real ax, sendo a um numero real, 0 < a 6= 1.
• O domınio da funcao exponencial e D(f) = R.
• A imagem da funcao exponencial e Im(f) = (0,∞).
• Com relacao ao grafico da funcao f(x) = ax podemos afirmar:
1. a curva que o representa esta toda acima do eixo das abcissas, pois y = ax > 0 para
todo x ∈ R;
2. corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);
3. f(x) = ax e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
14
1.2.9. Funcao logarıtmica
Dado um numero real a (0 < a 6= 1), chamamos funcao logarıtmica de base a a funcao
de R∗
+ em R que se associa a cada x o numero logax.
• D(f) = R∗
+ e Im(f) = R.
• Com relacao ao grafico da funcao f(x) = logax, (0 < a 6= 1) podemos afirmar:
1. esta todo a direita do eixo y;
2. corta o eixo das abscissas no ponto (1, 0);
3. f(x) = logax e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1;
15
1.3. Funcoes trigonometricas
1.3.1. Funcao seno
Seja x um numero real. Marcamos um angulo com medida x radianos na circun-
ferencia unitaria com centro na origem.
Seja P o ponto de interseccao do lado terminal do angulo x, com essa circunferencia.
Denominamos seno de x a ordenada OP1 do ponto P em relacao ao sistema UOV .
Definimos a funcao seno como a funcao de R em R que a cada x ∈ R faz corresponder
o numero real y = sen x.
• O domınio da funcao seno e R e o conjunto imagem e o interevalo [−1, 1]
• Em alguns intervalos sen x e crescente e em outros e decrescente. Por exemplo: nos
intervalos [0,π
2] e [
3π
2, 2π] sen x, e crescente. Ja no intervalo, [
π
2,3π
2] ela e decrescente.
• O grafico da funcao f(x) = sen(x) e denominado senoide.
16
1.3.2. Funcao cosseno
Seja x um numero real. Denominamos cosseno de x a absissa OP2 do ponto P em
relacao ao sistema UOV .
Definimos a funcao cosseno como a funcao f de R em R que a cada x ∈ R faz
corresponder o numero real y = cos x.
• O domınio da funcao cosseno e R e o conjunto imagem e o intervalo [−1, 1]
• Em alguns intervalos cos x e crescente e em outros e decrescente. Por exemplo, no
intervalo [0, π] a funcao f(x) = cos x e decrescente. Ja no intervalo [π, 2π], ela e crescente.
17
• O grafico da funcao f(x) = cos x e denominado cossenoide.
1.3.3. Funcao tangente
Definimos a funcao tangente como a funcao f de R − {π
2+ kπ, k ∈ Z} em R que a
cada x ∈ R faz corresponder o numero real y = tg x.
• O domınio da funcao tangente e R−{π
2+kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem e o conjunto
R
• O grafico da funcao tg x e da seguinte forma:
18
1.3.4. Funcao cotangente
Definimos a funcao cotangente como a funcao f de R−{kπ, k ∈ Z} em R que a cada
x ∈ R faz corresponder o numero real y = cotg x.
• O domınio da funcao cotangente e R − {kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem e o conjunto
R
• O grafico da funcao cotg x e da seguinte forma:
19
1.3.5. Funcao secante
Definimos a funcao secante como a funcao f de R−{π
2+kπ, k ∈ Z} em R que a cada
x ∈ R faz corresponder o numero real y = sec x.
• O domınio da funcao cotangente e R − {π
2+ kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem e o
conjunto (−∞, 1]⋃
[1, +∞)
• O grafico da funcao sec x e da seguinte forma:
20
1.3.6. Funcao cossecante
Definimos a funcao cossecante como a funcao f de R− {kπ, k ∈ Z} em R que a cada
x ∈ R faz corresponder o numero real y = cossec x.
• O domınio da funcao cotangente e R − {kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem e o conjunto
(−∞, 1]⋃
[1, +∞)
• O grafico da funcao cossec x e da seguinte forma:
21
1.4. Funcoes hiperbolicas
As expressoes exponenciais
ex − e−x
2e
ex + e−x
2
ocorrem frequentemente na Matematica Aplicada.
Estas expressoes definem, respectivamnte, as funcoes seno hiperbolico de x e cosseno
hiperbolico de x. O comportamento dessas funcoes nos leva a fazer uma analogia com as
funcoes trigonometricas.
22
1.4.1. Seno hiperbolico e cosseno hiperbolico
A funcao seno hiperbolico, denotada por senh, e a funcao cosseno hiperbolico, deno-
tada por cosh, sao definidas, respectivamente por
senh x =ex − e−x
2e cosh x =
ex + e−x
2.
O domınio e a imagem das funcoes senh e cosh sao:
D(senh) = (−∞, +∞),
D(cosh) = (−∞, +∞),
Im(senh) = (−∞, +∞) e
Im(cosh) = [1, +∞).
1.4.2. Funcoes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbolicas
As funcoes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbolicas, denotadas respec-
tivamente pot tgh, cotgh, sech e cosech sao definidas por:
• tgh x =senh x
cosh x=
ex − e−x
ex + e−x,
23
• cotgh x =cosh x
senh x=
ex + e−x
ex − e−x,
• sech x =1
cosh x=
2
ex + e−x,
24
• cosech x =1
senh x=
2
ex − e−x
1.5. Funcao periodica
Dizemos que uma funcao e f e periodica se existe um numero real T 6= 0 tal que
f(x + T ) = f(x) para todo x ∈ D(f).
• O numero T e chamado perıodo da funcao f .
• O grafico de uma funcao periodica se repete a cada intervalo de comprimento |T |.
Exemplos:
1. As funcoes trigonometricas sao periodicas.
2. A funcao constante e periodica e tem como perıodo qualquer numero t 6= 0.
25
3.
1.6. Funcao par e funcao ımpar
Dizemos que uma funcao f e par se, para todo x no domınio de f , f(−x) = f(x).
Uma funcao e ımpar se, para todo x no domınio de f , f(−x) = −f(x).
• O grafico de uma funcao par e simetrico em relacao ao eixo dos y e o grafico de uma
funcao ımpar e simetrico em relacao a origem.
1.7. Funcao inversa
Para falarmos de funcao inversa, precisamos antes estudar os conceitos de funcao
sobrejetora, funcao injetora e funcao bijetora.
26
1.7.1. Funcao sobrejetora
Definicao: Uma funcao f de A em B e sobrejetora se, e somente se, para todo y
pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que f(x) = y.
Em sımbolos:
f : A → B, e sobrejetora ⇔ ∀y, y ∈ B, ∃x, x ∈ A|f(x) = y.
Note que f : A → B e sobrejetora se, e somente se, Im(f) = B.
Teorema: Se duas funcoes f de A em B e g de B em C sao sobrejetoras, entao a funcao
composta g ◦ f de A em C e tambem sobrejetora.
1.7.2. Funcao injetora
Definicao: Uma funcao f de A em B e injetora se, e somente se, quaisquer que sejam
x1 e x2 de A, se x1 6= x2, entao f(x1) 6= f(x2).
Em sımbolos:
f : A → B, e injetora ⇒ (∀x1, x1 ∈ A, ∀x2, x2 ∈ A)(x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)).
Note que esta definicao e equivalente a: uma funcao f de A em B e injetora se, e
somente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, se f(x1) = f(x2), entao x1 = x2.
Em sımbolos:
f : A → B, e injetora ⇒ (∀x1, x1 ∈ A, ∀x2, x2 ∈ A)(f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2).
27
Teorema: Se duas funcoes f de A em B e g de B em C sao injetoras, entao a funcao
composta g ◦ f de A em C e tambem injetora.
1.7.3. Funcao bijetora
Definicao: Uma funcao f de A em B e bijetora se, e somente se, f e sobrejetora e
injetora.
Esta definicao e equivalente a: uma funcao f de A em B e bijetora se, e somente se,
para qualquer elemento y pertencente a B, existe um unico elemento x pertencente a A
tal que f(x) = y.
Reconhecimento atraves do grafico: Pela representacao cartesiana de uma funcao f
podemos verificar se f e injetora ou sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos
o numero de pontos de interseccao das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada
ponto (0, y) em que y ∈ B (contradomınio de f).
• se nenhuma reta corta o grafico mais de uma vez, entao f e injetora.
• se toda reta corta o grafico, entao f e sobrejetora.
• se toda reta corta o grafico em um so ponto, entao f e bijetora.
Exemplos:
1. Dado a ∈ R, 0 < a 6= 1, as funcoes f : R → R∗
+, onde f(x) = ax, e g : R∗
+ → R,
onde g(x) = logax, sao inversas uma da outra.
2. Funcao arco seno
Seja f : [−π
2,π
2] → [−1, 1], a funcao definida por f(x) = sen x. A funcao inversa
de f(x) sera chamada arco seno e denotada por
f−1 : [−1, 1] → [−π
2,π
2], onde f−1(x) = arc sen x.
28
Simbolicamente, para −π
2≤ y ≤
π
2,
y = arc sen x ⇔ sen y = x
3. Funcao arco cosseno
Seja f : [0, π] → [−1, 1], a funcao definida por f(x) = cos x. A funcao inversa de
f(x) sera chamada arco cosseno e denotada por
f−1 : [−1, 1] → [0, π], onde f−1(x) = arc cos x.
Simbolicamente, para 0 ≤ y ≤ π,
y = arc cos x ⇔ sen y = x
4. Funcao arco tangente
A inversa da funcao tangente e definida para todo numero real.
Seja f : (−π
2,π
2) → R, a funcao definida por f(x) = tg x. A funcao inversa de f(x)
29
sera chamada arco tangente e denotada por
f−1 : (−π
2,π
2) → R, onde f−1(x) = arc tg x.
Simbolicamente, para −π
2< y <
π
2,
y = arc tg x ⇔ tg y = x
5. Outras funcoes trigonometricas inversas
Podemos definir a funcao inversa da cotangente como
y = arc cotg x =π
2− arc tg x,
onde 0 < y < π.
As inversas da secante e da cossecante serao funcoes de x no domınio |x| ≥ 1, desde
que adotemos as definicoes:
y = arc sec x = arc cos (1
x)
y = arc cosec x = arc sen (1
x)
30
2. Aplicacoes
Nas mais diversas areas utilizam-se funcoes para a compreensao de fenomenos e re-
solucao de problemas. Formalmente podemos dizer que estamos modelando o mundo
ao nosso redor. E claro que essa afirmacao nao e completamente verdadeira, pois o
mundo ao nosso redor e altamente complexo e ao trabalharmos com um modelo fazemos
simplificacoes para reduzir essa complexidade.
Em geral, os modelos sao validados para que sejam efetivamente aplicaveis como
ferramentas para entender e analisar diferentes fenomenos. Os exemplos apresentados
aqui sao didaticos e, portanto, nao foram necessariamente validados.
Exemplos:
1. O preco de uma corrida de taxi, em geral, e constituıdo de uma parte fixa, chamada
bandeirada, e de uma parte variavel, que depende do numero de quilometros roda-
dos. Em uma cidade X a bandeirada e de R 10,00 e o preco do quilometro rodado
e de R 0,50.
(a) Determine a funcao que representa o preco da corrida.
(b) Se alguem pegar um taxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa,
situada a 8 km de distancia, quanto pagara pela corrida?
2. Um aviao com 120 lugares e fretado para uma excursao. A companhia exige de
cada passageiro R 900,00 mais uma taxa de R 10,00 para cada lugar vago. Qual
o numero de passageiros que torna maxima a receita da companhia?
32
3. Restricao orcamentaria: Em nosso paıs, um dos problemas que os governos
enfretam diz respeito a alocacao de verbas para programas sociais e pagamento de
funcionarios. Vamos supor que existe um montante fixo M, a ser repartido entre os
dois propositos. Se denotarmos po x o montante a ser gasto com o pagamento de
funcionarios e por y o montante destinado aos programas sociais, temos
M = x + y.
Essa equacao e conhecida como restricao orcamentaria. Seu grafico e uma reta.
Como as variaveis x e y sao nao negativas, so a parte do primeiro quadrante e de
interesse para a analise.
(a) Qual a leitura pratica que podemos fazer desse grafico?
(b) Suponha que numa cidade X existam 200 funcionarios que ganham um salario
medio de R 800,00 mensais e que o montante M e de R 300.000,00 mensais.
Qual o montante mensal disponıvel para programas sociais? Os funcionarios
reivindicam 13% de aumento em seus salarios. Qual o impacto desse aumento
sobre os programas sociais?
33
4. Crescimento populacional: Para prever a populacao de um dado paıs numa
data futura, muitas vezes e usado um modelo de crescimento exponencial.
Para isso, observa-se o valor real da populacao em intervalos de tempo iguais,
por um dado perıodo de tempo. Calcula-se, a seguir, a razao entre a populacao
observada em perıodos consecutivos. Se a razao for aproximadamente constante,
em cada observacao, a populacao e dada pela populacao anterior multiplicada por
esta razao, que e chamada fator de crescimento.
A tabela a seguir apresenta dados da populacao brasileira no perıodo de 1940 a
1980.
Ano Populacao absoluta Razao
1940 41.165.289
1950 51.941.76751.941.767
41.165.289∼= 1, 26
1960 70.070.45770.070.457
51.941.767∼= 1, 35
1970 93.139.03793.139.037
70.070.457∼= 1, 33
1980 119.002.706119.002.706
93.139.037∼= 1, 2
(a) Usando esses dados, obter uma previsao para a populacao brasileira no ano
2000.
(b) Sabendo que a populacao brasileira no ano 2000 era de 169.799.170, qual o
erro cometido, em percentual, na previsao?
5. Decaimento radioativo: A massa de materiais radioativos, tais como o radio, o
uranio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual
de expressar a taxa de decaimento da massa e utilizando o conceito de meia-vida
desses materiais.
A meia-vida de um material radioativo e definida como o tempo necessario para
que sua massa seja reduzida a metade.
Denotamos por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a
massa presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela funcao exponen-
34
cial dada por
M = M0e−kt
sendo K > 0 uma constante.
A equacao acima e conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante
K depende do material radioativo considerado e esta relacionada com a meia-vida
dela.
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 e de aproximadamente 5.730 anos, deter-
minar:
(a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;
(b) a quantidade de massa presente apos dois perıodos de meia-vida, se no instante
t = 0 a massa era M0;
(c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presenca do carbono-
14 neste e 80% da quantidade original.
Referencias
FLEMMING, Diva M.; GONCALVES, Mirian Buss. Calculo A: Funcoes, limite, derivacao
e integracao. 6 ed. Sao Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
Apostila de Pre-Calculo - Unochapeco
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matematica Elementar.
Vol 1. Sao Paulo: Atual, 1993.