MATEMÁTICA – GEOMETRIA I
Natália Rodrigues
Circunferências
CIRCUNFERÊNCIAS
Definição: conjunto de todos os pontos no plano que estão a uma
mesma distância de um dado ponto no plano.
ELEMENTOS
Raio - segmento que une um ponto da circunferência ao centro.
Diâmetro - segmento que une dois pontos da circunferência passando pelo centro.
Arco - porção da circunferência limitada por dois pontos
Corda - segmento de reta que une dois pontos da circunferência.
Flecha - segmento que une o ponto médio da corda ao ponto médio do arco
correspondente.
O raio será sempre a
metade do diâmetro,
ou seja, d = 2.r
A divisão do comprimento de uma circunferência pelo seu
diâmetro sempre resulta em 𝜋.
COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA (C)
𝐶
𝑑= 𝜋 → 𝐶 = 𝟐𝝅r
𝜋 = 3,14159265359...
COMPRIMENTO DE UM ARCO
L representa o arco obtido através do ângulo 𝜃, portanto L é uma
fração do comprimento da circunferência.
Para ângulos em GRAUS:
Regra de três
360◦ 2𝜋r (Comprimento circunferência)
𝜃 L (Fração do comprimento)
Para RADIANOS:
360◦ 2𝜋r 𝜃 L 360.L = 2𝝅r. 𝜃 2𝝅.L = 2𝝅r. 𝜃
L = r. 𝜽
Maior o ângulo de
abertura, maior o arco!
RADIANOS
Quando um ângulo 𝜃 é tal que o arco por ele determinado tem o
mesmo valor do raio r de uma circunferência, dizemos que este
ângulo representa 1 rad.
http://i.imgur.com/AQUrYb1.gif
CONVERSÃO GRAUS E RADIANOS
360◦ = 2𝝅
180◦ = 𝝅
GRAUS RAD
180◦
𝐺 = 𝜋
𝑅
R =𝐺. 𝜋
180
RAD GRAU
180◦
𝐺 = 𝜋
𝑅
G =180. 𝑅
𝜋
G = ângulo em graus
R = ângulo em radianos
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Central – ângulo cujo vértice coincide com o
centro da circunferência.
𝛼 = 𝐴𝐵
Inscrito – é o ângulo cujo vértice é um ponto da
circunferência.
.
𝛼 = 𝐴𝐵
2
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Excêntrico Interior – é o ângulo formado por
duas cordas que se cruzam dentro da
circunferência.
𝛼 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷
2
Excêntrico Exterior – é o ângulo cujo vértice é
um ponto externo à circunferência.
𝛼 = 𝐴𝐵 − 𝐶𝐷
2
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Semi-inscrito – é o ângulo formado por uma
corda e a tangente à circunferência em uma de
suas extremidades
𝛼 = 𝐴𝐵
2
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
1◦ caso: Retas tangentes à circunferência que se cruzam em um
ponto P.
PA = PB
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
2◦ caso (Teorema das Cordas): Os segmentos formados por
cordas que se cruzam são proporcionais.
(AE).(EB) = (CE).(ED)
E não é necessariamente o centro da circunferência.
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
3◦ caso (Teorema das Secantes): Retas secantes à circunferência
que se cruzam em um ponto P.
(PA).(PB) = (PC).(PD)
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
4◦ caso (Teorema tangente e secante): Reta secantes e reta
tangente à circunferência que se cruzam em um ponto P.
PA2 = (PC).(PD)
EXERCÍCIOS:
Dada a figura abaixo, determine o valor do arco AB⌢AB⌢:
Dada a figura abaixo, determine o valor do arco 𝐴𝐵
R. 70◦
EXERCÍCIOS:
Dada a figura abaixo, determine o valor do arco AB⌢AB⌢:
R. 125◦
(Fuvest) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:
Não fique com dúvidas!
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