Técnicas de Levantamento
Planimétrico
Prof. Diego QueirozContato: (77) 9165-2793
Topografia
Vitória da Conquista, Bahia
Aula 7
➢Poligonação ;
➢Tipos de poligonais;
➢Cálculo de uma poligonal fechada.
Tópicos abordados
Poligonal
A poligonação é um dos métodos mais empregados
para a determinação de coordenadas de pontos em
Topografia, principalmente para a definição de pontos
de apoio planimétricos.
Classificação das poligonais
A NBR 13133 (ABNT, 1994) classifica as poligonais em
principal, secundária e auxiliar:
➢ Poligonal principal: poligonal que determina os pontos de
apoio topográfico de primeira ordem;
➢ Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértice da
poligonal principal determina os pontos de apoio topográfico
de segunda ordem;
Classificação das poligonais
A NBR 13133 (ABNT, 1994) classifica as poligonais em
principal, secundária e auxiliar:
➢ Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de
apoio topográfico planimétrico, tem seus vértices distribuídos
na área ou faixa a ser levantada, de tal forma que seja
possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação,
interseção ou ordenadas sobre uma linha de base, os
pontos de detalhes julgados importantes, que devem ser
estabelecidos pela escala ou nível de detalhamento do
levantamento.
Poligonais em Campo
Poligonal fechada: parte de um ponto com coordenadas
conhecidas e retorna ao mesmo ponto (figura 9.2). Sua
principal vantagem é permitir a verificação de erro de
fechamento angular e linear.
Poligonais em Campo
Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas
conhecidas e acaba em outros dois pontos com coordenadas
Conhecidas. Permite a verificação do erro de fechamento
angular e linear.
Poligonais em Campo
Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas
conhecidas e acaba em um ponto cujas coordenadas deseja-
se determinar. Não é possível determinar erros de fechamento,
portanto devem-se tomar todos os cuidados necessários
durante o levantamento de campo para evitá-los.
Levantamento da Poligonal
Um dos elementos necessários para a definição de uma
poligonal são os ângulos formados por seus lados.
Levantamento da Poligonal
15°02’30’’
Com o equipamento estacionado na estação onde serão tomadas as
medições, faz-se a pontaria em ré e depois em vante.
287°39’40’’
Ângulo = leitura vante – leitura ré
Ângulo = 287°39’40’’ – 15°02’30’’ = 272°37’10’’
Cálculo da poligonal fechada
em que:
Az - Azimute da direção OPP-P1;
d - distância horizontal entre os pontos OPP e P1;
Xo e Yo - Coordenadas do ponto OPP;
X1 e Y1 - Coordenadas do ponto P1.
𝑋1= 𝑋𝑜+∆𝑋
𝑌1= 𝑌𝑜 + ∆𝑌 ∆𝑌 = 𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑍)
∆𝑋 = 𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑍)
Verificação do Erro de Fechamento Angular
em que:
ea - erro angular;
εa – erro angular tolerável
n - é o número de estações da poligonal.
𝑒𝑎 = σÂ𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 − 𝑛 + 2 x 180°
Para a poligonal fechada, antes de calcular o azimute das
direções, é necessário fazer a verificação dos ângulos
medidos.
ε𝑎 = 𝑝 𝑥 𝑛
Caso o erro cometido seja maior que o erro tolerável é
necessário refazer as medições angulares.
Critérios para a distribuição dos erros angulares
Existem dois critérios para a eliminação do erro angular
cometido, a saber:
➢ Distribuí-lo nos ângulos formados pelos menores lados
da poligonal;
➢ Distribuir proporcionalmente o erro para cada estação.
Cálculo dos Azimutes
𝐴𝑍𝑃𝑖;𝑃𝑖+1 = 𝐴𝑍𝑃𝑖−1 ;𝑃𝑖 + 𝛼𝑖 − 180°
Como a orientação é determinada apenas para uma direção da
poligonal, é necessário efetuar o cálculo dos azimutes para
todas as demais direções da poligonal.➢ Se o valor resultante da equação (9.10) for maior que
360º deve-se subtrair 360º do mesmo e se for negativo
deverá ser somado 360º ao resultado;
➢ Quando se trabalhar com ângulos medidos no sentido
anti-horário, deve-se somar 180º e subtrair o valor de a
do azimute.
EXEMPLO 1.
Cálculo das Coordenadas Parciais
𝑒𝑎 = σÂ𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 − 𝑛 + 2 x 180°
Normalmente, num levantamento topográfico não se pode
fazer o levantamento de todos os pontos a partir de uma só
estação, mas o levantamento de um ponto com o “i+1” tem de
ser feito a partir de um ponto “i” cujas coordenadas tenham
sido previamente calculadas.
𝑋𝑖 = 𝑋𝑖−1 + 𝑑𝑖−1,𝑖 𝑥 sen 𝐴𝑍𝑖−1,𝑖
𝑌𝑖 = 𝑌𝑖−1 + 𝑑𝑖−1,𝑖 𝑥 cos 𝐴𝑍𝑖−1,𝑖
EXEMPLO 2.
Verificação do Erro de Fechamento Linear
Como os ângulos foram ajustados, este erro será decorrente
de imprecisões na medição das distâncias.
Verificação do Erro de Fechamento Linear
𝑒𝑥 = 𝑋𝑂𝑃𝑃−𝑐𝑎𝑙𝑐. − 𝑋𝑂𝑃𝑃
Os valores de eX e ey podem ser calculados por:
𝑒𝑦 = 𝑌𝑂𝑃𝑃−𝑐𝑎𝑙𝑐. − 𝑌𝑂𝑃𝑃
𝑒𝑝 = 𝑒𝑥2 + 𝑒𝑦
2
O erro planimétrico ep será dado por:
Verificação do Erro Fechamento Linear
É necessário verificar se este erro está abaixo de uma determinada
tolerância linear. Normalmente esta é dada em forma de escala,
como por exemplo, 1:1000.
EXEMPLO 3.
𝑒𝑝 =1
𝑍
𝑒𝑝 =σ 𝑑
𝑒𝑥2+𝑒𝑦
2
em que:
∑d é o perímetro da poligonal (somatório de todas as distâncias da
poligonal).
Correção do Erro Linear
Se o erro cometido for menor que o permitido, parte-se então
para a distribuição do erro. As correções às coordenadas serão
proporcionais às distâncias medidas.
𝐶𝑥𝑖 = 𝑒𝑥 .𝑑𝑖−1,1
σ 𝑑𝐶𝑦𝑖 = 𝑒𝑦 .
𝑑𝑖−1,1
σ 𝑑
em que:
Cxi - correção para a coordenada Xi;
Cyi - correção para a coordenada Yi;
∑d - somatório das distâncias;
di-1,i - distância parcial i-j.
Coordenadas Corrigidas
As coordenadas corrigidas serão dadas por:
𝑋𝑖(𝐶𝑎𝑙𝑐.) = 𝐶𝑖−1(𝐶𝑎𝑙𝑐.) + 𝑑𝑖−1,𝑖𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑍𝑖−𝑎,𝑖 + 𝐶𝑥𝑖
𝑌𝑖(𝐶𝑎𝑙𝑐.) = 𝑌𝑖−1(𝐶𝑎𝑙𝑐.) + 𝑑𝑖−1,𝑖𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑍𝑖−𝑎,𝑖 + 𝐶𝑦𝑖
Resumo do cálculo da Poligonal Fechada
Poligonal Enquadrada
A grande vantagem da utilização desta metodologia baseia-se
na possibilidade de verificar e corrigir os erros acidentais
ocorridos durante a coleta dos dados no campo.
Cálculo de uma Poligonal Enquadrada
O cálculo das coordenadas dos vértices da poligonal deve
seguir os seguintes passos:
➢ Cálculo dos azimutes de partida e de chegada em função
das coordenadas dos pontos conhecidos;
➢ Realizar o transporte de azimute, calculando os demais
azimutes em função do azimute de partida e dos ângulos
horizontais medidos;
Cálculo de uma Poligonal Enquadrada
Cálculo do erro angular cometido, para tal, compara-se o
azimute da última direção obtido pelo transporte de azimute
com o azimute calculado através das coordenadas dos pontos.
𝑒𝑎 = 𝐴𝑐 − 𝐴𝑜
em que:
ea - erro angular;
Ac - azimute calculado a partir do transporte do azimute;
Ao - azimute obtido a partir das coordenadas.
Cálculo de uma Poligonal Enquadrada
Verifica-se se o erro angular está dentro da tolerância exigida
para a poligonal.
𝑡𝑎 = p. 𝑛
em que:
p - precisão nominal do equipamento utilizado para coletar as
informações no campo;
n - é o número de ângulos medidos na poligonal.
Cálculo de uma Poligonal Enquadrada
A correção angular será obtida dividindo-se o erro angular pelo
número de ângulos medidos na poligonal.
𝑐𝑎 = −𝑒𝑎𝑛
em que:
ca – correção angular;
n - é o número de ângulos medidos na poligonal.
Cálculo de uma Poligonal Enquadrada
Para o cálculo do erro linear seguem-se os mesmos passos
adotados para a poligonal fechada.
Exercício 5.