Apresentação do Projeto
Novo EspaçoMatemática A • 11.° ano
• Manual (2 partes)
• Caderno Prático
• Caderno do Professor
• e-Manual
• Aplicações Dinâmicas para o Professor
Oo+ Próximos de si!+ Próximos de si!Educação 2011
Mais valor! Mais futuro!
Recu
rsos
do
Prof
esso
r
O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédiaem contexto.O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.
Como aceder ao e-Manual?Os professores que adotarem o projeto Novo Espaço 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:
Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt
Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.
Como utilizar?Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos aexplorar.
Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelaspáginas, à semelhança do que faria na versão impressa.
Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de formaa criar o seu próprio e-Manual.
wO Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar estemanual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.
São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitosoutros.
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NEM11EP_CAP_20100445_3P_20100445_CAP_P01_02 4/2/11 5:29 PM Page 1
10INTRODUÇÃO
NEM
A11-P1 ©
Porto Editora
A trigonometria tem na sua origem a aplicação de processos matemáticos eminentementepráticos para determinar distâncias que não podiam ser avaliadas diretamente.
Surgem, deste modo, aplicações na resolução de problemas em vários domínios, comprincipal destaque para a astronomia, a agrimensura e a navegação. A relação da astronomiacom a trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos esféricos –triângulos sobre uma superfície esférica em que os lados são arcos de círculos máximos. Atrigonometria esférica antecedeu a trigonometria plana.
Triângulo esférico [ABC]
Com o passar do tempo a trigonometria libertou-se da astronomia e viu o seu campo deação mais alargado.
Em termos cronológicos, de forma simplificadapodem ser referidos alguns marcos relacionados com atrigonometria: no século V a. C., com Hipócrates deQuios, que estudou relações entre arcos de circunferên-cia e respetivas cordas; no século III a. C., Arquimedesde Siracusa, na sequência do trabalho desenvolvidopara calcular o perímetro de um círculo, dado o raio,calculou o comprimento de grande número de cordas eestabeleceu algumas fórmulas trigonométricas; noséculo II a. C., é atribuída a Hiparco de Niceia a autoriadas primeiras tábuas trigonométricas.
Mas foi Ptolomeu, astrónomo grego do século II d. C.,que influenciou o desenvolvimento da trigonometriadurante séculos. A sua obra Almagesto contém umatabela de cordas que pode ser considerada equivalentea uma tabela de senos.
No século XVI, a aplicação da trigonometria na resolução de problemas algébricos é feitapelo matemático Viète, que estabeleceu algumas fórmulas.
Atualmente, para além da trigonometria estar relacionada com a resolução de problemasenvolvendo triângulos, aparece associada a certas funções de ângulos, chamadas funçõescirculares, goniométricas ou trigonométricas. O matemático suíço Euler, na sua obra denomi-nada Introductio, de 1748, fez o estudo analítico das funções trigonométricas que se tornoufundamental para o estudo de fenómenos periódicos, como, por exemplo, vibrações, movi-mentos ondulatórios e planetários.
Na análise que se segue, retoma-se o estudo da trigonometria associada à resolução deproblemas que envolvem triângulos, seguindo-se uma primeira abordagem ao estudo dasfunções trigonométricas com aplicações.
A
C
B
b
c
a
Retrato de Ptolomeu (100-170 d. C.) reali-zado por André Thevet (1502-1590)
Manual1 Caderno Prático2 Caderno do Professor3 e-Manual do Professor4 Aplicações Dinâmicaspara o Professor
5
ManualEste Manual, dividido em duaspartes, privilegia metodologiasque favorecem a participaçãoativa dos alunos e proporciona amobilização de recursos variados.Desta forma, contribui para umverdadeiro processo de ensino --aprendizagem e para o reforçoda autonomia dos alunos.Os três temas trabalhados no 11.ºano são apresentados no Manualcom a seguinte estrutura:
• Página de apresentação dotema – tópicos a trabalhar notema.
• Introdução – diversidade desituações relacionadas com otema.
1 • Desafio – propostas/curiosidades relacionadas como tema, com uma componentelúdica, que permitem:– reforçar a motivação;– desenvolver o gosto pela
Matemática;– desenvolver as capacidades
de raciocinar e comunicar.
• Referência Histórica – parafacilitar o enquadramento notempo e a evolução deconceitos.
• Para saber mais – pequenosapontamentos quecomplementam a informaçãotrabalhada.
• Para praticar – conjuntovariado de propostas quepermitem retomar e consolidaraspetos relevantes do tema.
Caderno PráticoO Caderno Prático está dividido,tal como o Manual, em trêstemas, sendo proposto umconjunto variado deexercícios/tarefas para cada um.
Este reforço de propostaspermite responder:
– a diferentes ritmos detrabalho;
– a diferentes graus dedificuldade;
– à diversidade de contextos;– à mobilização de diferentes
recursos;– articular contexto não
matemático com contextomatemático;
– consolidar conhecimentos.
Caderno do ProfessorNo Caderno do Professorapresentam-se:
• Propostas de planificação portema
Atendendo a que privilegiamosprocessos dinâmicos de ensino --aprendizagem, as propostas deplanificação são flexíveis, demodo a facilitar adaptações adiferentes metodologias e adiferentes realidades, nãodeixando de assumir um papelorientador da ação do Professor.
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3
• Diversificação dos recursos
A partir de tarefas propostas noManual e dos exercícios/problemas no Caderno Prático,são apresentadas sugestõespara:– ampliar a exploração das
propostas;– integrar recursos didáticos
que potenciem a exploraçãodas propostas;
– integrar explorações emambiente de geometriadinâmica;
– promover a interação.
• Desafios – para além dacomponente lúdica
Apresentação da resolução dosdesafios.Articulação com os tópicostrabalhados e o conhecimentomatemático mobilizado.
e-Manual do Professor(disponível também para o aluno)
Versão digital do Manual com aligação em contexto para outrosrecursos, tais como animações,que promovem:
– o reforço da motivação;– a clarificação da situação
problemática colocada;– o rigor;– as simulações para
diversificar e generalizar;
4
– a integração da componenteexperimental;
– a melhor gestão do tempo;– a compreensão do contexto
por parte do Aluno;– a diversificação/generalização.
Aplicações Dinâmicaspara o Professor Compreendem um conjunto deinteratividades com:
– resolução animada dedesafios;
– resolução animada deexercícios/problemasrelevantes.
Articuladas com o Manual,favorecem a adequação ediferenciação pedagógica na salade aula. Poderão ser usadascomo base para a criação deoutras apresentações emateriais, adequados às suasturmas.
5
Razões trigonométricas de ângulos agudosNa figura está representado um triângulo retângulo [ABC] , sendoa , b e c as medidas dos comprimentos dos lados.Seja a o ângulo agudo de vértice A . A par-tir das razões entre as medidas dos compri-mentos dos lados do triângulo obtêm-se osvalores de:seno de a , cosseno de a e tangentede a .
Razões trigonométricas de a :
sin a = cos a = tg a =ac
bc
ab
Recorda
11TEMA 1GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II
1. Resolução de problemas que envolvam triângulos
1.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo
Em qualquer triângulo podem ser considerados seis elementos prin-cipais: três lados e três ângulos.
Se três desses elementos forem conhecidos, sendo um deles neces-sariamente a medida do comprimento de um dos lados, então o triângulofica definido, isto é, todos os outros elementos podem ser determinados.
Para a determinação desses elementos deves recordar e aprofundaralguns conceitos, dados em anos anteriores, relacionados com a trigo-nometria.
NEM
A11
-P1
© P
orto
Edi
tora
Exemplo 1
Em relação aos ângulos a e b do triângulo retângulo [ABC] repre-sentado na figura, tem-se:
C
A
B
42
α
β
2V√5
NotaPor vezes, para simplificar a linguagem, faz-se referência a ânguloem vez de amplitude do ângulo. É o caso de “razões trigonométricasdo ângulo”.
a b
sin 22√5
= √55
42√5
= 2√55
cos 42√5
= 2√55
22√5
= √55
tg 24= 1
242= 2
Cotangente de a :
cotg a =
Secante de a :
sec a =
Cossecante de a :
cosec a =
1tg a
1cos a
1sin a
Para Saber Mais
B
C A
a c
bα
80
Observa a figura. No momento em que o ângulo que os raiossolares fazem com o solo (ângulo de incidência) é igual a 35° ,o comprimento da sombra da árvore é igual a 10 m . Determina:
1. a altura da árvore;
2. o comprimento da sombra no momento em que o ângulode incidência é 50° ;
3. o ângulo de incidência no momento em que a sombra daárvore tem 3 metros de comprimento.
Na figura está representado um recipiente cónico. Sabe-se que:• o ponto M é o centro da base do cone;• a base do cone tem 8 dm de diâmetro;• o ângulo CBM tem 25° de amplitude.
1. Calcula o volume do recipiente. Apresenta o resultado em centímetroscúbicos, arredondado às centésimas.
2. Determina a amplitude a que o ângulo CBM deve tomar de modo que ovolume seja metade do volume do cone inicial.
Os vértices do triângulo da figura representam três localidades: A ,B e C . A distância de A a C é de 8 km e de B a C é 3 km .Com base nos dados da figura, determina, com aproximação àsunidades, a distância entre as localidades A e B .
Sugestão: Decompõe o triângulo [ABC] em dois triângulos retângulos.
Na figura ao lado está representado um pentágono regular inscrito numa circunferência.
1. Determina, em graus, as amplitudes a e b assinaladas na figura.
2. Calcula, em centímetros quadrados, a área do pentágono no casodeste ter 25 cm de perímetro. Apresenta o resultado arredondado àsdécimas.
3. Calcula o perímetro do polígono, admitindo que a circunferência tem8 cm de raio.
Proposta 5
Proposta 6
Proposta 7
Proposta 4
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A11-P1 ©
Porto Editora
M CA
B
a
C
A
B
8 km3 km70˚
ED
C
B
A a
b
10 m
35˚
• Tarefas – diversidade depropostas que permitem:– identificar, mobilizar e aplicar
conhecimento matemático;– estabelecer conexões entre
diversos conceitos e relaçõesmatemáticas;
– desenvolver capacidades decomunicação matemática;
– integrar o uso da tecnologia,nomeadamente a calculadoragráfica.
• Exercícios de margem –conjunto de exercícios/problemas que permitemdesbloquear dificuldades efazer a consolidação necessáriapara uma aplicação maisautónoma dos conhecimentose ferramentas matemáticas.
• Recorda – Sempre que um oumais do que um pré-requisitoseja essencial à compreensão edesenvolvimento do tópico emestudo é retomado e referidocom destaque.
• Curiosidade – Para despertar ointeresse e estimular a reflexãosão apresentadas curiosidadesrelacionadas com o tema emestudo.
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A trigonometria tem na sua origem a aplicação de processos matemáticos eminentementepráticos para determinar distâncias que não podiam ser avaliadas diretamente.
Surgem, deste modo, aplicações na resolução de problemas em vários domínios, comprincipal destaque para a astronomia, a agrimensura e a navegação. A relação da astronomiacom a trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos esféricos –triângulos sobre uma superfície esférica em que os lados são arcos de círculos máximos. Atrigonometria esférica antecedeu a trigonometria plana.
Triângulo esférico [ABC]
Com o passar do tempo a trigonometria libertou-se da astronomia e viu o seu campo deação mais alargado.
Em termos cronológicos, de forma simplificadapodem ser referidos alguns marcos relacionados com atrigonometria: no século V a. C., com Hipócrates deQuios, que estudou relações entre arcos de circunferên-cia e respetivas cordas; no século III a. C., Arquimedesde Siracusa, na sequência do trabalho desenvolvidopara calcular o perímetro de um círculo, dado o raio,calculou o comprimento de grande número de cordas eestabeleceu algumas fórmulas trigonométricas; noséculo II a. C., é atribuída a Hiparco de Niceia a autoriadas primeiras tábuas trigonométricas.
Mas foi Ptolomeu, astrónomo grego do século II d. C.,que influenciou o desenvolvimento da trigonometriadurante séculos. A sua obra Almagesto contém umatabela de cordas que pode ser considerada equivalentea uma tabela de senos.
No século XVI, a aplicação da trigonometria na resolução de problemas algébricos é feitapelo matemático Viète, que estabeleceu algumas fórmulas.
Atualmente, para além da trigonometria estar relacionada com a resolução de problemasenvolvendo triângulos, aparece associada a certas funções de ângulos, chamadas funçõescirculares, goniométricas ou trigonométricas. O matemático suíço Euler, na sua obra denomi-nada Introductio, de 1748, fez o estudo analítico das funções trigonométricas que se tornoufundamental para o estudo de fenómenos periódicos, como, por exemplo, vibrações, movi-mentos ondulatórios e planetários.
Na análise que se segue, retoma-se o estudo da trigonometria associada à resolução deproblemas que envolvem triângulos, seguindo-se uma primeira abordagem ao estudo dasfunções trigonométricas com aplicações.
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Retrato de Ptolomeu (100-170 d. C.) reali-zado por André Thevet (1502-1590)
Manual1 Caderno Prático2 Caderno do Professor3 e-Manual do Professor4 Aplicações Dinâmicaspara o Professor
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ManualEste Manual, dividido em duaspartes, privilegia metodologiasque favorecem a participaçãoativa dos alunos e proporciona amobilização de recursos variados.Desta forma, contribui para umverdadeiro processo de ensino --aprendizagem e para o reforçoda autonomia dos alunos.Os três temas trabalhados no 11.ºano são apresentados no Manualcom a seguinte estrutura:
• Página de apresentação dotema – tópicos a trabalhar notema.
• Introdução – diversidade desituações relacionadas com otema.
1 • Desafio – propostas/curiosidades relacionadas como tema, com uma componentelúdica, que permitem:– reforçar a motivação;– desenvolver o gosto pela
Matemática;– desenvolver as capacidades
de raciocinar e comunicar.
• Referência Histórica – parafacilitar o enquadramento notempo e a evolução deconceitos.
• Para saber mais – pequenosapontamentos quecomplementam a informaçãotrabalhada.
• Para praticar – conjuntovariado de propostas quepermitem retomar e consolidaraspetos relevantes do tema.
Caderno PráticoO Caderno Prático está dividido,tal como o Manual, em trêstemas, sendo proposto umconjunto variado deexercícios/tarefas para cada um.
Este reforço de propostaspermite responder:
– a diferentes ritmos detrabalho;
– a diferentes graus dedificuldade;
– à diversidade de contextos;– à mobilização de diferentes
recursos;– articular contexto não
matemático com contextomatemático;
– consolidar conhecimentos.
Caderno do ProfessorNo Caderno do Professorapresentam-se:
• Propostas de planificação portema
Atendendo a que privilegiamosprocessos dinâmicos de ensino --aprendizagem, as propostas deplanificação são flexíveis, demodo a facilitar adaptações adiferentes metodologias e adiferentes realidades, nãodeixando de assumir um papelorientador da ação do Professor.
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• Diversificação dos recursos
A partir de tarefas propostas noManual e dos exercícios/problemas no Caderno Prático,são apresentadas sugestõespara:– ampliar a exploração das
propostas;– integrar recursos didáticos
que potenciem a exploraçãodas propostas;
– integrar explorações emambiente de geometriadinâmica;
– promover a interação.
• Desafios – para além dacomponente lúdica
Apresentação da resolução dosdesafios.Articulação com os tópicostrabalhados e o conhecimentomatemático mobilizado.
e-Manual do Professor(disponível também para o aluno)
Versão digital do Manual com aligação em contexto para outrosrecursos, tais como animações,que promovem:
– o reforço da motivação;– a clarificação da situação
problemática colocada;– o rigor;– as simulações para
diversificar e generalizar;
4
– a integração da componenteexperimental;
– a melhor gestão do tempo;– a compreensão do contexto
por parte do Aluno;– a diversificação/generalização.
Aplicações Dinâmicaspara o Professor Compreendem um conjunto deinteratividades com:
– resolução animada dedesafios;
– resolução animada deexercícios/problemasrelevantes.
Articuladas com o Manual,favorecem a adequação ediferenciação pedagógica na salade aula. Poderão ser usadascomo base para a criação deoutras apresentações emateriais, adequados às suasturmas.
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Razões trigonométricas de ângulos agudosNa figura está representado um triângulo retângulo [ABC] , sendoa , b e c as medidas dos comprimentos dos lados.Seja a o ângulo agudo de vértice A . A par-tir das razões entre as medidas dos compri-mentos dos lados do triângulo obtêm-se osvalores de:seno de a , cosseno de a e tangentede a .
Razões trigonométricas de a :
sin a = cos a = tg a =ac
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1. Resolução de problemas que envolvam triângulos
1.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo
Em qualquer triângulo podem ser considerados seis elementos prin-cipais: três lados e três ângulos.
Se três desses elementos forem conhecidos, sendo um deles neces-sariamente a medida do comprimento de um dos lados, então o triângulofica definido, isto é, todos os outros elementos podem ser determinados.
Para a determinação desses elementos deves recordar e aprofundaralguns conceitos, dados em anos anteriores, relacionados com a trigo-nometria.
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Exemplo 1
Em relação aos ângulos a e b do triângulo retângulo [ABC] repre-sentado na figura, tem-se:
C
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β
2V√5
NotaPor vezes, para simplificar a linguagem, faz-se referência a ânguloem vez de amplitude do ângulo. É o caso de “razões trigonométricasdo ângulo”.
a b
sin 22√5
= √55
42√5
= 2√55
cos 42√5
= 2√55
22√5
= √55
tg 24= 1
242= 2
Cotangente de a :
cotg a =
Secante de a :
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Cossecante de a :
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1tg a
1cos a
1sin a
Para Saber Mais
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Observa a figura. No momento em que o ângulo que os raiossolares fazem com o solo (ângulo de incidência) é igual a 35° ,o comprimento da sombra da árvore é igual a 10 m . Determina:
1. a altura da árvore;
2. o comprimento da sombra no momento em que o ângulode incidência é 50° ;
3. o ângulo de incidência no momento em que a sombra daárvore tem 3 metros de comprimento.
Na figura está representado um recipiente cónico. Sabe-se que:• o ponto M é o centro da base do cone;• a base do cone tem 8 dm de diâmetro;• o ângulo CBM tem 25° de amplitude.
1. Calcula o volume do recipiente. Apresenta o resultado em centímetroscúbicos, arredondado às centésimas.
2. Determina a amplitude a que o ângulo CBM deve tomar de modo que ovolume seja metade do volume do cone inicial.
Os vértices do triângulo da figura representam três localidades: A ,B e C . A distância de A a C é de 8 km e de B a C é 3 km .Com base nos dados da figura, determina, com aproximação àsunidades, a distância entre as localidades A e B .
Sugestão: Decompõe o triângulo [ABC] em dois triângulos retângulos.
Na figura ao lado está representado um pentágono regular inscrito numa circunferência.
1. Determina, em graus, as amplitudes a e b assinaladas na figura.
2. Calcula, em centímetros quadrados, a área do pentágono no casodeste ter 25 cm de perímetro. Apresenta o resultado arredondado àsdécimas.
3. Calcula o perímetro do polígono, admitindo que a circunferência tem8 cm de raio.
Proposta 5
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conhecimento matemático;– estabelecer conexões entre
diversos conceitos e relaçõesmatemáticas;
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• Exercícios de margem –conjunto de exercícios/problemas que permitemdesbloquear dificuldades efazer a consolidação necessáriapara uma aplicação maisautónoma dos conhecimentose ferramentas matemáticas.
• Recorda – Sempre que um oumais do que um pré-requisitoseja essencial à compreensão edesenvolvimento do tópico emestudo é retomado e referidocom destaque.
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Novo EspaçoMatemática A • 11.° ano
• Manual (2 partes)
• Caderno Prático
• Caderno do Professor
• e-Manual
• Aplicações Dinâmicas para o Professor
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Mais valor! Mais futuro!
Recu
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O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédiaem contexto.O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.
Como aceder ao e-Manual?Os professores que adotarem o projeto Novo Espaço 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:
Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt
Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.
Como utilizar?Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos aexplorar.
Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelaspáginas, à semelhança do que faria na versão impressa.
Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de formaa criar o seu próprio e-Manual.
wO Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar estemanual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.
São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitosoutros.
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