Equações Diferenciais Lineares
Autor: José de França BuenoPólo: Santos
As equações diferenciais Lineares
Este conjunto de slides apresenta parte do conteúdo da disciplina Equações Diferenciais Ordinárias.
Esta é a 6a. aula desta disciplina.
As equações diferenciais Lineares
Já estudamos o que são equações diferenciais, o que são equações diferenciais ordinárias, grau e ordem de uma equação diferencial.
As equações diferenciais Lineares
Também já vimos algumas situações reais representadas por modelos matemáticos.
Além disso, já estudamos equações
diferenciais separáveis, homogêneas e
equações diferenciais exatas e aplicamos a
idéia de fator integrante para resolver
algumas equações não-exatas.
As equações diferenciais Lineares
Comecemos nosso estudo de Equações Diferenciais Lineares com uma pergunta:
O que é a LINEARIDADE na Matemática?
Você já estudou algum objeto matemático que apresentava propriedades lineares?
Pense um pouco. Tente lembrar.
As equações diferenciais Lineares
Antes de prosseguir, tente efetuar algumas buscas na Internet ou nos livros de sua biblioteca sobre o que Linearidade.
Exercício: é possível encontramos objetos no Ensino Fundamental que apresentem propriedades lineares?
Sugestão: busque associar com os nomes de alguns dos entes matemáticos do Ensino Fundamental
As equações diferenciais Lineares
Exemplos (do ensino fundamental): i) Sistemas de equações Linearesii) Funções Lineares
(de 1o. grau, com b = 0)iii) Matrizes
No ensino superior, a operação de Integração e a operação de Derivação também são operações lineares
As equações diferenciais LinearesDizemos que uma Equação Diferencial é
linear quando pode ser escrita na forma:
i) A variável dependente y e todas suas derivadas são do 1o. grau (a potência de cada termo envolvendo y é 1)ii) os coeficientes dependem apenas de x
an xd n y
dxnan−1
d n−1 y
dxn−1...a1x
dydx
a0x y=g x
As equações diferenciais Lineares
Uma equação que não seja linear e dita não-linear.
O exemplo mais simples de uma EDO linear é:
a 1 x dydx
a 0 x y= g x
As equações diferenciais Lineares
Dividindo pelo coeficiente a1(x):
(1)
Para resolver esta equação vamos supor nos próximos problemas que as funções P(x) e f(x) são contínuas.
dydx
P x y= f x
Fator de Integração
Vamos re-escrever (1) na forma dy + [P(x)y – f(x)]dx = 0 Como a equação é linear, podemos encontrar uma função u(x) tal queu(x) dy + u(x)[P(x)y – f(x)] dx = 0 (2)
Seja uma Equação Diferencial Exata.
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Como estamos supondo que a equação acima seja exata, vale que:
Então:
Você sabe explicar esta última passagem?
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∂∂ x
u x = ∂∂ y
u x [ P x y− f x ]
dudx
= u x P x
A última equação do slide anterior é uma Equação Diferencial Separável:
Podemos determinar u(x):
As equações diferenciais Lineares
duu
= P x dx
ln∣u∣=∫ P x dx
Então
(3)
A função (3) é chamada fator de integração.
As equações diferenciais Lineares
u x =e∫Pxdx
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Podemos escrevê-la como:
As equações diferenciais Lineares
e∫P xdx
dye∫ P xdxP x y dx=e∫ P xdx
f x dx
d [e∫ P xdxy ]=e∫ P xdx
f x dx
Integramos esta última equação:
Finalmente, a solução da Equação Diferencial será dada por:
As equações diferenciais Lineares
e∫P x dx
y=∫ e∫P x dx
f x dxc
y=e−∫ P x dx∫ e∫P x dx
f x dxce−∫ P x dx
Exemplo: Resolva
Resolução: inicialmente escrevemos a equação como
(2)
As equações diferenciais Lineares
xdydx
− 4 y= x6 e x
dydx
− 4xy= x 5 e x
Identificamos P(x) = - 4/x.Logo, o fator de integração será:
Acima usamos que
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e− 4∫ dx / x= e− 4ln∣ x ∣= e ln x
− 4
= x −4
b logb N=N , N0
Multiplicando a equação (2) pelo fator integrante:
Que, pode ser escrita como:
x−4 dydx
−4x−5 y= x e x
ddx
[ x−4 y ]= x e x
As equações diferenciais Lineares
Integrando-se por partes:
Finalmente, a solução da Equação diferencial será:
As equações diferenciais Lineares
x−4 y=x e x−exc
y=x5 ex− x4 excx4
Referência Bibliográfica:
1. Zill, Dennis e Cullen, Micheal. Equações Diferenciais, Volume 1, páginas 68-71. Makron Books. 2001.
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