ECO018: MODELAGEM E
ANÁLISE DE SISTEMAS
DINÂMICOS
Professor: Msc. André Chaves Magalhães
Dr. Dair José de Oliveira 1
IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS: MODELO
MATEMÁTICO DE UM SISTEMA DINÂMICO DE
QUARTA ORDEM
Amanda de Souza Limas
Clara Duarte de Sant Anna
Luan Carlos de Almeida Silva
Zélia Gabriela Ferreira Gomes
2
Modelo Matemático
• “Modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como o conjunto
de equações que representa a dinâmica do sistema com precisão, ou pelo
menos, razoavelmente bem.” Ogata (2010)
• Pode ser representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter
vários modelos matemáticos (Função de Transferência, Variáveis de Estados,
Diagrama de Blocos, Método dos Mínimos Quadrados).
3
Modelo Matemático
• Objetivo: analisar o comportamento de uma variável contínua de interesse,
analisando se ocorre:
o A tendência a um valor finito após a aplicação de uma excitação;
o Possibilidade de diminuir o tempo do regime transitório.
4
Modelo Matemático
• A dinâmica de muitos sistemas pode ser descrita através de equações
diferenciais;
• Conhecidos os valores de entrada e saída de um sistema, é possível obter um
modelo matemático que descreve o comportamento do sistema
5
Modelo Matemático
6
• O modelo matemático é do tipo:
Com n≥m, onde y representa a saída e x é a entrada
xbxbxbxbxbyayayayaya mmmmm
nnnnn
1)2(
2)1(
1)(
01)2(
2)1(
1)(
0 ......
Modelo Matemático
7
• O sistema trabalhado neste trabalho é de quarta ordem e a equação a qual
pretende-se encontrar é do tipo:
ubyat
ya
t
ya
t
ya
t
y0012
2
23
3
34
4
Modelo Matemático
• Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação,
encontramos a equação equivalente:
(Função de Transferência)
8
sasasasas
b
sU
sYsGs
0123
4
0
²³)(
)()(
Modelo Matemático
• Esse é um procedimento que exemplifica a identificação de sistemas de
modo que, para tanto, se faz necessário determinar os parâmetros reais a0, a1,
a2, a3 e b0.
9
Objetivos
• Projetar e construir um sistema físico de quarta ordem (Filtro ativo de quarta
ordem, topologia Sallen Key e formato de resposta Chebyshev do tipo 1);
• Obter uma representação por função de transferência de quarta ordem;
10
Objetivos
• Validar FT a partir de um conjunto de dados, empregando a teoria de
modelagem e análise de sistemas dinâmicos;
• Encontrar outras três formas de representações matemáticas – Modelo por
Variáveis de Estados, Diagrama de Blocos e Método dos Mínimos Qua-
drados.
11
Softwares utilizados
• MATLAB;
• PSIM
12
Teoria sobre identificação de sistemas
• A identificação de sistemas dinâmicos pode ser definida como a utilização de
procedimentos numéricos;
• Visam obter modelos de sistemas dinâmicos, a partir de medidas das suas
entradas e saídas.
13
Teoria sobre identificação de sistemas
• Os procedimentos para identificação de sistemas:
I. Coleta de dados;
II. Escolha da representação do modelo;
III. Escolha da estrutura do modelo;
IV. Estimação de parâmetros;
V. Testes de validação do modelo.
14
Métodos dos mínimos quadrados
• Basicamente, para um sistema representado na forma de uma tabela com N
medidas (dados de entradas e saídas anteriores φ, deseja-se determinar os
coeficientes θ de uma equação que represente o sistema de maneira mais
adequada possível.
• O erro ξ da aproximação obtida é minimizado conforme um critério
quadrático J
15
Métodos dos mínimos quadrados
16
• As equações seguintes expressam a conceituação:
)()'()( mmly
N
i
iJ1
')²(
Métodos dos mínimos quadrados
• Denotando F o vetor transposto dos regressores, E o vetor de erro e y os
valores reais, tem-se a expressão de erro :
E = y – Fq
• Dessa forma, a função de custo pode ser escrita como
J = [y-Fq]’[y-Fq]
17
Métodos dos mínimos quadrados
• Desenvolvendo a equação anterior, obtém-se:
J = y’y - 2q’F’y + q’F’Fq
• O vetor coeficientes que minimiza a função de custo é obtido derivando J em
relação à θ e igualando a expressão obtida a zero, resultando em:
-2F’y + 2F’Fq=0
18
Métodos dos mínimos quadrados
• Assim, os valores estimados dos coeficientes da equação de modelagem são
dados por:
19
yFFF ']'[ 1
Filtros
• Filtros são circuitos elétricos que permitem passagem de corrente elétrica ou
tensão elétrica em uma faixa de frequências e inibem a passagem em outras
frequências.
20
Filtros
• São classificados em função da banda passante e em função da ordem dofiltro, podendo ser:
Passa Baixa;
Passa Alta;
Passa Faixa;
Rejeita Faixa;
Defasador ;
Variável de Estado.
21
Filtros
• Os filtro também pode ser classificado quanto ao formato da resposta:
Bessel: faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição suave
Butterworth: faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição moderada
Chebyshev 1: faixa de passagem com oscilação, região de transição moderada e faixa derejeição plana
Chebyshev 2: faixa de passagem plana, região de transição moderada e faixa de rejeiçãocom oscilação
Elíptico: faixa de passagem e rejeição com oscilações e região de transição abrupta
22
Filtros
• E de acordo com a sua topologia, sendo:
Cauer: Indutores e capacitores (passivo)
Sallen Key: Resistores e capacitores (ativo)
Realimentação múltipla: Resistores e capacitores (ativo)
Variáveis de estado: Resistores e capacitores (ativo)
Biquadrático: Resistores e capacitores (ativo)
23
Filtros
• A Figura 1a seguir apresenta
a resposta característica de
cada tipo de filtro:
24Figura 1: Respostas de diferentes filtros
Sistema físico
• Filtro ativo de quarta ordem, topologia Sallen Key e formato de resposta
Chebyshev tipo 1:
25
Figura 2: Sistema físico montado no software PSIM
Sistema físico
• Os valores de frequência de corte fc e fator de qualidade Q escolhidos foram:
-Primeira parte (1° amp-op): -Segunda parte (2° amp-op):
fc = 999,66 Hz fc = 1003,28 Hz
Q = 0,541525622 Q = 1,305756486
26
Sistema físico
• Para o filtro de quarta ordem desejado, temos a frequência de corte e o fatorde qualidade:
fc = 1000 Hz
Q = Q2 – Q1 = 1,305756486 - 0,541525622 = 0,764230864 (Q > 0,707 -característico do filtro Chebyshev).
27
Sistema físico
• Os valores dos resistores foram escolhidos e os valores de capacitância foram
determinados resolvendo-se o sistema de equações formado pelas equações:
28
21212
1
CCRRf c
)( 211
2121
RRC
CCRRQ
Sistema físico
• Para uma simulação feita usando o software PSIM, o sinal de entrada é o da
figura a seguir:
29Figura 3: Sinal de entrada no PSIM
Sistema físico
• O sinal de saída obtido está apresentado na figura a seguir:
30Figura 4: Sinal de saída no PSIM
Sinal de entrada do sistema físico
• O sinal de entrada foi obtido no gerador de funções visto na Figura 5:
31Figura 5: Osciloscópio
Sinal de saída do sistema físico
32Figura 6: Sinal de saída dado no osciloscópio
Sinal de saída do sistema físico
• Comparando-se a Figura 6 com a Figura 1 pode-se concluir que a saída do
sistema físico se assemelha a saída característica do filtro Chebyshev tipo 1.
33
Sinal de saída do sistema físico
• O fator de qualidade Q determina o formato da resposta do filtro, sendo:
Bessel: Q = 0,5
Butterworth: Q = 0,707
Chebyshev: Q > 0,707
• Como já mostrado previamente, os cálculos comprovam o tipo de filtro:
Q = Q2 – Q1 = 1,305756486 - 0,541525622 = 0,764230864
(Q > 0,707 - característico do filtro Chebyshev).
34
Desenvolvimento matemático
• Função de transferência -G(s)- é a relação da transformada de Laplace da
saída para a transformada de Laplace da entrada.
• A estrutura básica do filtro utilizado é mostrada na Figura 7:
35Figura 7: Filtro Passa Baixa Sallen Key
Desenvolvimento matemático
• Denominando:
I1 a corrente no resistor 1;
I2 a corrente no capacitor 2;
I3 a corrente no resistor r;
I4 a corrente na entrada inversora do amplificador operacional;
Vi o sinal de tensão na entrada;
Vo o sinal da tensão na saída;
Va o sinal de tensão no ponto de nó entre R1 e R2(no ponto de introdução de C2 no circuito)
36
Desenvolvimento matemático
• Temos:
I² =
I³ = com I1 = I2 + I3
37
1
1R
VVI Ai
sC
VV oA
2
1
sCR
VA
12
1
Desenvolvimento matemático
• Desenvolvendo tem-se:
38
1R
VV Ai
sC
VV oA
2
1
sCR
VA
1
2
1
112
122
11
sCR
sCVsVCsVC
R
V
R
V AoA
Ai
o
i
A sVCR
VsC
RsCR
sCV 2
1
2
112
1 1
1
Desenvolvimento matemático
• A tensão em C1:
• Com o ganho unitário:
VA = Vo(R2C1s+1)
39
sCR
VsC
V
A
C
1
2
11 1
1
oAo
A
VsCR
VV
sCR
VsC
1
1)1(
1
1
12
1
2
1
Desenvolvimento matemático
Vo(R2C1s+1)
Vo(R2C1s+1)
40
sC
RsCR
sC2
112
1 1
1 oi sVC
R
V2
1
1
)1()1(
12
1212121
sCR
sCRsRCsCRsCo
i sVCR
V2
1
11
121221211211 ²1
R
V
R
sRCsRCsCCRRsCRsCRVo i
)(1)(
1
221211
sFsCRRRRsCV
V
i
o
Desenvolvimento matemático
• Como a topologia da segunda parte do circuito é igual à topologia do
primeiro, temos F(s) = H(s), em que:
G(s) = F(s) H(s)
e:
41
1)()²(
1 = F(s)
12112121 sCRCRRRCCs
1)()²(
1 = H(s)
34334343 sCRCRRRCCs
Desenvolvimento matemático
42
]1)()²([1]1)()²()[(]1)()²()[²(
1
]1)()²(][1)()²([
1)(
34334343343343431211343343432121
3433434312112121
CRCRsRRCCsCRCRsRRCCsCRCRsCRCRsRRCCsRRCCs
CRCRsRRCCsCRCRsRRCCssG
)²()³()(
1)(
43434231323141313131212121321421321321321432143214 RRCCRRCCRRCCRRCCRRCCRRCCsRRRCCCRRRCCCRRRCCCsRRRRCCCCs
sG
]1)(
1...
43332111 RCRCRCRCs
Desenvolvimento matemático
• Substituindo os valores de , tem-se:
43
43214321 RRRRCCCC
134.124²1048762104.25³10525248735.41024445107.6
1)(
512416
sssssG
15131134 10601421788.110991207852.1²10081643167.4³10246831922.7
1)(
sssssG
Validação do modelo por variáveis de estado
• Para o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de
entrada, como:
44
xbxbxbxbxbyayayayaya mm
mmm
nn
nnn
1
)2(
2
)1(
1
)(
01
)2(
2
)1(
1
)(
0 ......
Validação do modelo por variáveis de estado
• Uma maneira de obter uma equação de estado e a equação de saída, para esse
caso, é definir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de
estado:
45
Validação do modelo por variáveis de estado
46
Validação do modelo por variáveis de estado
47
Validação do modelo por variáveis de estado
48
Validação do modelo por variáveis de estado
49
Validação do modelo por variáveis de estado
50
• Para validar as equações de variáveis de estado, foi utilizada a seguinte rotina
no MATLAB:
den = [1 7.246831922x103 4.081643167x1011 1.991207852x1013 1.601421788x1015];
num = [0 0 0 0 1.601421788x1015];
[A,B,C,D] = tf2ss(num,den);
ES = ss(A,B,C,D)
[y,t,x] = step(ES);
Validação do modelo por variáveis de estado
• Desse modo, a imagem gerada
está representada na Figura 7.5:
51
Figura 7.5: Resposta ao degrau para a
validação das equações de espaço de estados
Validação do modelo por variáveis de estado
• A Figura 7.5 representa a saída para o sinal de entrada como degrau. Esta
imagem é semelhante ao sinal esperado, como na Figura 8(b), comprovando
a validade da equação de espaços de estado.
52
Validação da Função de Transferência
• No Simulink, um sinal da foi aplicado (Figura 8 - a)a um bloco de função de
transferência com os dados da FT gerando a saída vista na Figura 8(b):
53Figura 8 - Validação da Função de Transferência com (a) sinal de excitação e (b) sinal de saída
Validação da Função de Transferência
• O sinal estabilizado na Figura 9(b) indica que a função de transferência é
coerente com o sistema em estudo:
54Figura 9 - Validação da função de transferência a partir de uma forma de onda quadrada com (a) entrada e (b) saída
Validação da Função de Transferência
• A Figura 10(a) mostra o sinal aplicado a FT referentes à Figura 8 e a Figura
10(b) mostra o sinal aplicado a FT referentes à Figura 9:
55
Figura 10(a) Figura 10(b)
Validação da Função de Transferência
• É notável que a Figura 6 (saída do sistema físico) é semelhante à Figura 9(b),
indicando a validade da função de transferência.
56
Diagrama de blocos
• O Diagrama de blocos da FT é apresentado a seguir dividido em duas
imagens para melhor visualização:
57
58
59
Diagrama de blocos
• Substituindo por valores reais o diagrama de blocos, temos a representação a
seguir:
60
61
62
Análise do comportamento dinâmico do
sistema
• Para fazer a análise do sistema, foi utilizado método de Routh de modo a
determinar a sua estabilidade, sendo:
s4 1 4.081643167 x 1011 1.601421788 x 1015
s³ 7.246831922 x 10³ 1.991207852 x 10³
s² 4.081643167x 1011 1.601421788 x 1015
s -2.843076016 x 106
s0 1.601421788 x 1015
Observa-se duas trocas de sinal na primeira coluna dos coeficientes. Essas duas trocas
de sinal mostram que o sistema é instável, com duas raízes no semi plano direito.63
Desenvolvimento do método dos mínimos
quadrados
• Código do MATLAB e resposta ao degrau:
A0 = 1.601421788e15;
A1 = 1.991207852e13;
A2 = 4.081643167e11;
A3 = 7.2468922e3;
A4 = 1;
B0 = 1.601421788e15;
64
Desenvolvimento do método dos mínimos
quadrados
• Função de transferência com os parâmetros encontrados pelo toolbox: G2=tf(B0,[A4 A3 A2 A1 A0])
figure
step(G2)
title('Resposta ao degrau')
xlabel('Tempo')
ylabel('Amplitude')
grid on;
hleg3 = legend('Modelo mínimos quadrados','Modelo toolbox','Location','SouthOutside');
%características da resposta ao degrau para G1 e G2
S1=stepinfo(G1)
S2=stepinfo(G2)65
Desenvolvimento do método dos mínimos
quadrados
S1 =
RiseTime: 0.0109
SettlingTime: 0.0195
SettlingMin: 0.0806
SettlingMax: 0.0893
Overshoot: 0
Undershoot: 0
Peak: 0.0893
PeakTime: 0.0522 66
S2 =
RiseTime: 0.0233
SettlingTime: 0.1343
SettlingMin: 0.9298
SettlingMax: 1.2629
Overshoot: 26.2889
Undershoot: 0
Peak: 1.2629
PeakTime: 0.0565
Desenvolvimento do método dos mínimos
quadrados
• Função de transferência:
Transfer function:
1.601e015
---------------------------------------------------------------------------
s^4 + 7247 s^3 + 4.082e011 s^2 + 1.991e013 s + 1.601e015
67
Apêndice B
• Vide arquivo em anexo para mais
detalhes
z =
1.0e+005 *
-0.0005
-0.0360 + 6.3887i
-0.0360 - 6.3887i
68
p =
1.0e+005 *
-0.0360 + 6.3887i
-0.0360 - 6.3887i
-0.0002 + 0.0006i
-0.0002 - 0.0006i
k =
0
Conclusão
• À partir dos modelos matemáticos desenvolvidos no presente trablaho, foi
possível modelar e analisar um sistema físico de quarta ordem, bem como
comparar seus parâmetros (encontrados à partir dos diferentes modelos).
• Foi possível também estudar a estabilidade do sistema, sendo instável, com
dois polos no semi-plano direito.
69
Referências
• SOUZA, Antonio C. Zambroni de, PINHEIRO, Carlos A. M., Introdução a Modelagem, Analise e Simulação de Sistemas Dinâmicos, 1 Edição, Interciência, 2008.
• OLIVEIRA, Dair José de, BRAGA, Denis de Carvalho. Laboratório 9: Introdução ao Toolbox de Identificação de Sistemas. 04-04 de jun de 2012. 18 p. Notas de Aula.
• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno, 5ª Edição, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2010.
• PICHORIM, S. F. FILTROS ATIVOS. Notas de Aula
• http://www.clubedaeletronica.com.br/Eletronica/PDF/Amp-OP%20IV%20-%20filtros.pdf
• SILVA, J. T. L. e FILTROS ATIVOS: PROJETO. Notas de Aula
70
Referências
• RUEDA, D. E. IMPLEMENTAÇÃO DE UM CIRCUITO ELETRÓNICO UNIVERSAL DE SUPORTE À IMPLEMENTAÇÃO DE FILTROS ANALÓGICOS NA BANDA DO ÁUDIO. Tese de Obtenção de Grau em Engenharia Eletroeletrônica.
• http://www.elt09.unifei.edu.br/roteiroslab/AmpOp_Lab8.pdf
• MELGES, D. CIRCUITOS ELÉTRICOS III. Notas de Aula
• FABRIZZIO, P. FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA. Notas de Aula
• SOUZA, A. A. de COMPARAÇÃO DE EFICIÊNCIA DE FILTROS DIGITAIS IIR E FIR. Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina - CEFET-SC CST em Sistemas de Telecomunicações.2008<http://www.sj.cefetsc.edu.br/~moecke/DISCIPLINAS/PSD3606/2008_2/Prj_2008_2_Adriano_Aurelio.pdf>
• INPE. ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA: SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (CONTINUAÇÃO).Notas de Aula
71
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