93
MODULUL 5. ARBORI ŞI OSII
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120 minute
Obiective educaŃionale
Scopul cursului este de a prezenta clasificarea, structura şi elementele de dimensionare şi
verificare ale arborilor şi osiilor.
Cuvinte cheie:
Arbori, osii, fusuri, momente de torsiune, egală rezistenŃă, rigiditate.
Cuprinsul Modulului:
5.1 Materiale şi tehnologie
5.2 Calculul osiilor şi arborilor
Întrebări de autoevaluare
Rezumat
Bibliografie
94
EXPUNEREA DETALIATĂ A TEMEI
Osiile şi arborii sunt organe de maşini care au funcŃia comună de susŃinere a organelor aflate în
mişcarea de rotaŃe. Osiile nu transmit momente de torsiune utile, în timp ce arborii îndeplinesc şi
funcŃia de transmitere a mişcării şi puterii între organele pe care le susŃin.
Tabelul 3.1 Clasificarea osiilor şi arborilor
Osii şi arbori
Criteriu de calsificare Felul osiilor şi arborilor
După axa geometrică longitudinală drepte formă
După secŃiune curbate fixe
După mişcare rotative static determinate static nedeterminate cu forŃe între reazeme (cazul I)
funcŃionare După reazeme şi după poziŃia forŃelor
cu forŃe în afara reazemelor (cazul II) Orizontale Verticale poziŃie
Înclinate
static determinaŃi După reazeme
static nedeterminaŃi greu încărcaŃi uşor încărcaŃi Putere
scopuri speciale în principal la răsucire
Osii
fucŃionare
Mod de solicitare răsucire şi încovoiere drepŃi După axa geometrică longitudinală cotiŃi diametru constant diametru variabil cu caneluri secŃiune plină
formă După secŃiune
secŃiune inelară Rigizi rigiditate Elastici Orizontali Verticali
Arbori
poziŃie ÎnclinaŃi
Forma şi dimensiunile arborilor sunt determinate atât de modul de repartizare a sarcinilor pe
lungime, cât şi de condiŃiile funcŃionale, de fabricaŃie şi de montaj.
Clasificarea osiilor şi arborilor se face după mai multe criterii: formă, condiŃii de funcŃionare,
încărcare. În tabelul 3.1 se arată clasificarea osiilor şi a arborilor după diferite criterii.
95
5.1 Materiale şi tehnologie
Stabilirea materialului şi a tratamentului termic trebuie să ia în considerare atât modul de
solicitare a osiei sau a arborelui, cât şi condiŃiile de lucru ale fusurilor.
Pentru solicitări uşoare se utilizează oŃelurile carbon obişnuite OL42, OL50, OL60 (STAS 500/2-
80). Pentru solicitări medii cu cerinŃe de durabilitate, pentru fusuri şi caneluri se folosesc oŃelurile
carbon de calitate cu tratament de îmbunătăŃire, OLC35 ,OLC45, OLC50 (STAS 880-80); pentru
solicitări importante şi gabarite şi mai reduse se folosesc oŃeluri aliate de îmbunătăŃire:
41MoCr11, 41CrNi12, 40Cr10, etc., sau oŃeluri de cementare: 18MnCr10, 18MoCrNi13,
13CrNi30 (STAS 791-80). Dacă unele organe de maşini se execută din aceeaşi bucată de material
cu arborele (formează corp comun cu arborele), atunci arborele se realizează din materialul piesei
respective.
Arborii de dimensiuni mari sau arborii de formă complicată pot fi executaŃi din fontă cu grafit
nodular (STAS 6071-75), sau fontă maleabilă (STAS 569-79). Fontele au rezistenŃă mecanică
mai scăzută decât oŃelurile, dar au o sensibilitate mai redusă faŃă de efectul de concentrare a
tensiunilor şi o capacitate mai bună de amortizare a vibraŃiilor.
Alegerea semifabricatului şi a tehnologiei de execuŃie este determinată de dimensiunile şi rolul
funcŃional al arborelui, respectiv al volumului de producŃie.
Pentru diametre d<300mm, arborii se execută prin prelucrări mecanice din oŃel rotund laminat.
La serii mari şi dimensiuni mici, arborii se pot forja în matriŃă. Arborii de dimensiuni mari se
obŃin direct din lingouri prin forjare (osiile locomotivelor sau vagoanelor), sau prin turnare.
5.2 Calculul osiilor şi arborilor
Osiile şi arborii se dimensionează şi se verifică luându-se în considerare toŃi factorii ce
influenŃează comportarea lor în exploatare.
Criteriile folosite în calculul de proiectare iau în considerare atât aspectele de rezistenŃă ale
osiilor şi arborilor, cât şi cerinŃele impuse de funcŃionarea corectă a organelor montate pe acestea.
Dintre criteriile de rezistenŃă, în majoritatea cazurilor, hotărâtoare este rezistenŃa la solicitări
variabile. În cazul arborilor cu funcŃionare lentă, supuşi la suprasarcină, criteriul de calcul este
capacitatea portantă la suprasarcini, pentru evitarea deformaŃiilor plastice.
CondiŃiile de funcŃionare corectă a organelor de maşini montate pe osii şi arbori impun, de
asemenea, efectuarea de calcule de rigiditate şi de vibraŃii.
96
Proiectarea osiilor şi arborilor se desfăşoară, în mod obişnuit în următoarea succesiune:
- predimensionarea pe baza unui calcul simplificat;
- stabilirea formei constructive;
- verificerea la rupere prin oboseală;
- verificarea la rigiditate (deformaŃii);
- verificarea la vibraŃii.
Calculul osiilor.
În calculul de rezistenŃă al osiilor se iau în considerare doar momentele încovoietoare datorate
sarcinilor erxterioare. Osiile rotative sunt solicitate variabil după un ciclu alternant simetric, de
aceea se recomandă verificarea lor la oboseală prin calculul coeficientului de siguranŃă. Pentru o
utilizare economică a materialului, osiile nu se recomandă a se executa cu secŃiune constantă pe
toată lungimea lor (fig.3.1) ci cu secŃiunea variabilă (fig.3.2).
Notând cu D diametrul în zona momentului maxim Mimax şi cu Mix momentul corespunzător
diametrului dx situat la distanŃa x de reazemul 1, se poate scrie:
aax
aa
xix
i
d
D
R
lR
M
M
~
3
~
3
1
11max
32
32
σπ
σπ
== (3.1)
de unde rezultă
3
1l
xDd x = (3.2)
RelaŃia (3.2) defineşte forma solidului de egală rezistenŃă ca fiind un paraboloid de revoluŃie de
gradul 3 (fig.3.2). Realizarea unei astfel de forme este costisitoare din punct de vedere al
fig.3.1 fig.3.2
97
execuŃiei; de aceea în practică se aproximează cu porŃiuni cilindrice şi conice trasate cât mai
apropiat de conturul teoretic.
Predimensionarea arborilor drepŃi
Sistemul de forŃe care solicită arborele rezultă din interacŃiunea acestuia cu organele susŃinute
(roŃi dinŃate, roŃi de curea) şi lagăre.
În majoritatea cazurilor în prima etapă a proiectării unui arbore nu se cunosc lungimile dintre
reazeme şi tronsoane şi ca urmare nu se pot determina momentele de încovoiere necesare
dimensionării.
În mod normal arborii ar trebui dimensionaŃi la solicitarea compusă de încovoiere şi torsiune, cu
luarea în considerare a concentratorilor de tensiune. Cum tipul şi elementele concentratorilor de
tensiune nu se pot preciza în această fază, efectul lor se neglijează şi se adoptă în consecinŃă
rezistenŃe admisibile mai scăzute.
Succesiunea etapelor de calcul este următoarea:
a. Determinarea preliminară a diametrului arborelui care se realizează pe baza unui
calcul convenŃional simplificat, considerând numai rezistenŃa de rupere la torsiune:
316
at
tp
Md
πτ= [mm] (3.3)
unde:
Mt reprezintă momentul de torsiune transmis de arbore [N·mm];
τat- rezistenŃa admisibilă la torsiune [N/mm2]
Deoarece se neglijează solicitarea de încovoiere se aleg pentru rezistenŃa admisibilă la torsiune
valori reduse: τat= 15-25 N/mm2.
Dacă deformaŃia de torsiune θa este limitată şi se cunoaşte lungimea l a arborelui, diametrul
preliminar se determină cu relaŃia:
G
lMd
a
tp
πθ
32= (3.4)
unde G este modulul de elasticitate transversal al
materialului arborelui.
Cunoscând diametrul preliminar, se determină pe baza
unor recomandări constructive lungimea transversală a
98
arborelui, rezultând în final întreaga lungime l. De exemplu, în cazul arborilor unui reductor cu
roŃi dinŃate se lasă o lungime de (1....1,2)·dp pentru montarea semicuplajului sau a butucului roŃii
de curea şi (0,3...0,8)·dp pentru montarea rulmenŃilor; pentru montarea roŃilor dinŃate se lasă un
spaŃiu egal cu lăŃimea roŃilor; pentru sistemul de etanşări se lasă câte un tronson de 15-20mm;
între organele aflate în mişcare relativă de rotaŃie se lasă circa 10mm dacă sunt în interiorul
carcasei şi circa 20mm dacă sunt în exterior.
b. Predimensionarea arborelui cu luarea în considerare atât a solicitărilor de răsucire,
cât şi a celei de încovoiere se face parcurgând mai multe etape.
1. Stabilirea schemei de forŃă care solicită arborele la încovoiere şi determinarea
momentelor de răsucire. ForŃele active şi reacŃiunile din reazeme se consideră
simplificat sub forma unor forŃe concentrate pe mijlocul tronsoanelor respective.
Dacă într-un reazem se montează doi rulmenŃi, din cauza elasticităŃii arborelui
forŃele de reacŃiune sunt preluate într-o măsură mai mare de rulmenŃii amplasaŃi pe
partea deschiderii solicitate, motiv pentru care, convenŃional, drept reazem
articulat se consideră un punct imaginar, dispus la o treime din distanŃa dintre
axele rulmenŃilor reazemului, situat în câmpul rulmentului interior (fig.3.3). În
cazul acŃiunii sarcinilor în plane diferite, se determină proiecŃiile fiecărei forŃe în
două plane perpendiculare care trec prin axa arborelui (fig.3.4).
99
2. Determinarea momentelor încovoietoare MiH şi MiV date de componentele forŃelor
din fiecare din cele două plane perpendiculare, cu trasarea diagramelor de
momente încovoietoare corespunzătoare.
3. Calculul momentului încovoietor rezultant
( ) ( ) ( )22
jiVjiHjirez MMM += ; j=1,2,...,n (3.5)
4. Trasarea diagramelor de variaŃie a momentelor de torsiune de-a lungul axei
arborelui.
5. Determinarea, punct cu punct a mărimii momentului de încovoiere echivalent Mie.
Materialele pentru arbori sunt, în marea lor majoritate, materiale cu domeniu
plastic la care se recomandă utilizarea ipotezei tangenŃiale maxime drept criteriu
de rupere, în care caz momentul de încovoiere echivalent se determină cu relaŃia:
( ) ( ) ( )22
jtjirezjie MMM α+= , j=1,2,...,n (3.6)
fig.3.4
100
în care α este un coeficient care ia în considerare modul diferit de variaŃie a
tensiunilor produse de solicitarea de încovoiere, respectiv de torsiune.
RelaŃia de determinare a coeficientului α pentru un material dat al arborelui este:
torsiunedeolicitariisciclulpentruσ
încovoieredeolicitariisciclulpentruσ
ai
ai=α (3.7)
unde σai pentru ciclul solicitării de încovoiere este rezistenŃa admisibilă a
materialului arborelui la încovoiere pentru ciclul de variaŃie a solicitării de
încovoiere, care la arbori este mereu alternant simetrică, deci σaiIII, iar σai pentru
ciclul solicitării de torsiune este rezistenŃa admisibilă a materialului arborelului la
încovoiere pentru ciclul de variaŃie a solicitării de torsiune, care poate fi constant,
deci σaiI, sau pulsator, deci σaiII şi foarte rar alternant simetric, deci σaiIII.
De obicei 67,033,0 ≅=≅=aiII
aiIII
aiI
aiIII sauσ
σα
σ
σα
6. Calculul diametrelor tronsoanelor arborelui în secŃiunea cu valori maxime ale
momentului încovoietor echivalent:
( )
aiIII
jie
i
Md
πσ
32= (3.8)
Proiectarea formei arborelui
Forma arborelui se stabileşte pe baza diametrelor calculate după metoda prezentată anterior, cu
considerarea condiŃiilor impuse de rolul funcŃional, al tehnologiei de execuŃie şi montaj.
Diametrele suprafeŃelor de montaj se aleg din şirul de numere normale (STAS 75-80). Diametrele
fusurilor pentru montarea rulmenŃilor se stabilesc după seria de dimensiuni a diametrelor
interioare ale rulmenŃilor.
101
Pentru rezemarea axială a rulmenŃilor fusurile respective se prevăd cu umeri de sprijin şi raze de
racordare (STAS 6603-75), cu filet sau alte mijloace de fixare a inelelor.
Dacă arborele are mai multe canale de pană pe întreaga lungime, aceasta se dispun pe aceeaşi
generatoare. PrezenŃa canalelor de pană stabileşte secŃiunea arborelui, ceea ce impune mărirea
diametrelor transoanelor respective cu 5% în cazul folosirii unei singure pene şi cu 10% când se
folosesc două pene aşezate diametral opus.
Zonele de racordare între două trepte cu diametre diferite se pot realiza în următoarele variante:
- rază de racordare constantă (fig.3.5 a) care se alege mai mică decât raza de racordare sau
dimensiunea radială a teşiturii pieselor montate pe treapta cu diametru mai mic. Pentru arbori
puternic solicitaŃi se recomandă ca raza de racordare să fie cel puŃin egală cu 0,1d unde d este
diametrul treptei mai mici. Dacă raza de racordare sau teşitura piselor care se montează pe arbore
limitează valoarea razei de racordare a arborelui, se pot introduce inele intermediare (fig.3.5 b).
Valorile razelor de racordare sunt indicate în STAS 403-73.
- canalul circular pentru ieşirea pietrelor de rectificat (fig.3.5 c), soluŃie care introduce un puternic
concentrator de tensiuni, micşorând prin aceasta considerabil rezistenŃa la oboseală a arborelui.
Se folosesc la arbori dimensionaŃi din condiŃiile de rigiditate sau pe tronsoanele de capăt ale
arborilor unde momentele încovoietoare sunt mici. Dimensiunile racordate sunt prezentate în
tabelul 3.2. SoluŃia din fig.3.5 d asigură pe lângă accesul pietrei de rectificat şi o micşorare a
efectului de concentrare a tensiunilor.
- racordarea de formă specială, care urmăreşte mărimea razei de racordare la treapta cu diametru
mai mic.
Diametrul arborelui
LăŃimea Adâncimea
≤50 2,5-3 0,25-0,5 >50 4-5 0,5-1
fig.3.5
a b c d
102
Se folosesc racordări realizate cu două raze de curbură sau se execută racordarea cu degajare
interioară (fig.3.6 a). Pentru mărirea rezistenŃei la oboseală a arborelui în secŃiunile de racordare
se procedează la îndepărtarea din treapta cu diametrul mai mare a materialului puŃin solicitat.
Aceasta se realizează prin executarea unor canale de degajare (fig.3.6 b) sau a unei găuri (fig.3.6
c).
În cazul în care pe lungimea arborelui există mai multe suprafeŃe de contact, asigurarea unei
montări facile se realizează atât prin stabilirea unei forme cât şi a unor toleranŃe corespunzătoare.
Dacă se foloseşte sistemul de toleranŃe cu alezaj unitar, arborele poate rămâne cu diametru
constant.
fig.3.6
a b c
fig.3.7
a
b
c
d
103
În cazul utilizării sistemului cu arbore unitar, pentru evitarea deteriorării suprafeŃelor de montare
se realizează tronsoane cu salturi de diametre de 2mm. Forma şi dimensiunile capetelor de arbori
sunt indicate în STAS 8724-71 şi 8724-71. Dimensiunile capetelor cilindrice (fig.3.7 a,b) pentru
diametrele nominale folosite în mod curent sunt prezentate în tabelul 3.3. În fig.3.7 c,d sunt
prezentate capete de arbore conice.
Tabelul 3.3 Dimensiunile de execuŃie pentru capete cilindrice de arbori
d l d l d l No-mi-nal
Abateri limită
Seria lungă
Seria scurtă
No-mi-nal
Abateri limită
Seria lungă
Seria scurtă
No-mi-nal
Abateri limită
Seria lungă
Seria scurtă
+0,006 6 -0,002 22 50 +0,018
16 - +0,002
7 +0,007
--
24 +0,009
50 36
55 8 -0,002 26 -0,004 56 9
20 28 60
10 30 63
110 82
20
32
60 42
65 +0,030 11
23 35 70 +0,011
12 +0,008 25
38 +0,0018 71 14 -0,003 40 +0,002 75
140 145
16 30
42 80 18
28 45
80 58
85
40 48 90
19 +0,009 +0,035 20 -0,004
50 36
110 82
+0,013
170 130
104
Tabelul 3.4 Dimensiunile de execuŃie pentru capete conice de arbori
l1 l2 t Diam nomin d lung scurt lung scurt
l3 Filet d1 Filet d2 bxh lung scurt
10 1,6 11
23 - 15 - 8 M6 - 2x2 1,7
-
12 2,3 14
30 18 - 12 M8x1 M4 3x3 2,5
2,2
16 18 19 20
40 28 28 16 12 M10x1,25 M5 4x4 3,4 3,1
22 24
50 36 36 22 14 M12x1,25 M6 3,9
25 28
60 42 42 24 18 M16x1,5 M8 4,1 3,6
30
5,5
4,5 3,9 32 35
M20x1,5 M10
38
80 58 58 36 22
M24x2 M12
6x6 5,0 4,4
40 42 45 48
M30x2 M16 10x8 7,1 6,4
50 55 56
110 82 82 54 28
M36x3 14x9 7,6 6,9
60 63 65
M42x3
M20
16x10 8,6 7,8
70
140 105 105 70 35
M48x3 M24 18x1 9,6 8,8
Calculul la oboseală a arborilor drepŃi
Calculul la oboseală permite verificarea formei şi dimensiunilor arborelui, acestea fiind funcŃie
de: material, caracterul variaŃiei eforturilor unitar, formă, mod de prelucrare, dimensiuni, condiŃii
de exploatare, starea suprafeŃei, etc.
Verificarea la oboseală se face la arborii solicitaŃi variabil la cel puŃin 103-104 cicluri.
Calculul la oboseală constă în determinarea coeficientului de siguranŃă şi compararea lui cu
valoarea admisă. La arbori solicitaŃi la încovoiere şi torsiune, coeficientul de siguranŃă se
determină cu relaŃia
22
11
1
τσ cc
c
+
= (3.9)
unde cσ şi cδ sunt coeficienŃii de siguranŃă la încovoiere, respectiv la torsiune, aceştia
determinându-se cu relaŃiile cunoscute din RezistenŃa materialelor:
105
mc
vk
s Bc
σσ
σσ
γε
σ
σσ
σ 1
1
−
−
+
= ;
mc
vkB
cτ
τ
ττ
γε
τ
ττ
ττ
1
1
−
−
+
= (3.10)
unde Bk este coeficientul efectiv de concentrare a eforturilor unitare, valorile lui fiind date în
fig.3.8-3.16, astfel:
fig.3.8 – diagrama concentratorilor αk şi βk pentru suprafeŃe lise.
fig.3.9 – diagrama concentratorilor αk şi βk pentru filete.
fig.3.10 – diagrama concentratorului βk la încovoiere şi răsucire pentru arbori cu raze de
racordare între tronsoane.
fig.3.11 – diagrama concentratorilor αk şi βk pentru degajări la încovoiere
fig.3.12 – diagrama concentratorului βk pentru degajări la solicitarea de răsucire.
fig.3.13 – diagrama concentratorului βk pentru suprafeŃe lise la solicitarea de încovoiere şi
răsucire.
fig.3.14 – diagrama coeficenŃilor ε şi εk.
fig.3.15 – diagrama coeficienŃilor de calitate γ.
fig.3.15 – diagrama coeficentului ε la răsucire.
CoeficienŃii de siguranŃă necesari sunt greu de apreciat; literatura de specialitate recomandă
următoarele valori:
- c=1,3-1,5 în cazul în care se cunosc precis solicitările şi caracteristicile mecanice ale
materialului ce se execută cu o tehnologie de calitate superioară.
- c=1,5-1,8, în cazul în care solicitările se cunosc mai puŃin, iar materialele au
caracteristici nesigure;
- c=1,8-2,5 în cazul calculelor aproximative, solicitări puŃin cunoscute, materiale nesigure
şi secŃiuni mari (d>200mm).
Valorile superioare ale coeficienŃilor de siguranŃă se admit când în calcule s-au introdus valorile
maxime ale rezistenŃei la oboseală a materialului, iar valorile inferioare ale lui c se admit când se
lucrează cu valorile minime ale rezistenŃei la oboseală.
106
Valorile σv, σm, τv, τm se determină în secŃiunea considerată a arborelui; adoptându-se solicitarea
de încovoiere întotdeauna după un ciclu alternant-simetric, deci σm=σmax=σi şi σm=0, iar torsiunea
de obicei pulsantă cu τv=τmax/2 =τt/2 (dar poate fi şi statică sau alternant-simetrică).
fig.3.9
fig.3.10
fig.3.8
107
fig.3.11 fig.3.12
fig.3.13
fig.3.15 fig.3.14
108
Calculul la deformaŃii
DeformaŃiile arborilor pot fi de încovoiere şi de răsucire; cunoaşterea acestor deformaŃii este
foarte importantă, deoarece influenŃează mult buna funcŃionare a lagărelor şi a organelor montate
pe arbori. Astfel, se impune ca înclinaŃia fusului unui arbore într-un lagăr de alunecare să se
menŃină în cadrul jocului calculat dintre fus şi cuzinet, pentru a evita griparea.
Calculul deformaŃiilor la încovoiere.
Calculul deformaŃiilor la încovoiere înseamnă verificarea, în secŃiunile de interes, a relaŃiilor:
fj≤faj (3.11)
sau
αj≤αaj (3.12)
unde fj, respectiv αj reprezintă valorile efective ale deformaŃiilor flexionale, respectiv ale
unghiului de rotire, în secŃiunea j a arborelui, iar faj şi αaj valorile admisibile pentru aceste
deformaŃii. În cazul în care sarcinile acŃionează în mai multe plane, ele se determină pentru
fiecare punct Hjf şi V
jf din două plane axiale perpendiculare, iar
( ) ( )22 Vj
Hjj fff += (3.13)
În mod deosebit interesează săgeata maximă a arborelui, săgeŃile şi unghiurile de înclinare din
zona pieselor montate pe arbore şi deformaŃiile unghiulare din zona lagărelor.
Pentru arbori cu diametru constant, încărcaŃi cu mai multe forŃe transversale sau momente de
încovoiere, determinarea mărimii deformaŃiilor Hjf şi V
jf se poate realiza folosind metoda
suprapunerii efectelor:
fig.3.16
109
( )∑=
=1
1
Vm
kkj
Vj Fff ; ( )∑
=
=2
1
Hm
kkj
Hj Fff (3.14)
în care cu ( )kj Ff v a fost notată valoarea deformaŃiei produsă în punctul j de sarcina Fk care
acŃionează în planul vertical, iar prin m1 numărul sarcinilor din planul vertical. SemnificaŃii
analoage au ( )kj Ff H şi m2.
În cazul arborilor în trepte supuşi unor solicitări exterioare complexe, determinarea deformaŃiilor
Vjf şi H
jf se face folosind pentru fiecare plan metoda integralelor lui Mohr. Pentru fiecare plan
se parcurg următoarele etape:
1. Se împarte arborele într-un număr de tronsoane în direcŃia forŃelor şi de zonele în care
sunt salturi de diametre.
2. Sub desenul arborelui se trasează diagrama de momente încovoietoare reale Mr,
realizată de sarcinile Fk care încarcă arborele în planul respectiv (fig.3.17 b).
3. Se aplică o forŃă unitară Fk=1 în secŃiunea j, în care se doreşte să se determine săgeata
fj şi se trasează diagrama momentelor încovoietoare Myj produse de forŃa unitară Fy
(fig.3.17 c).
4. Se determină grafic sau analitic, valoarea maximelor Mj şi Myj din punctele de
delimitare a tronsoanelor alese.
Săgeata f în punctul j considerat în cazul din fig.3.17 din dreptul forŃei F2 este dat de o sumă de
integrale de suprafaŃă corespunzătoare fiecărui tronson:
∑∫=
=n
j S j
yjjj ds
EI
MMf
1
(3.15)
unde Ij este momentul de inerŃie axială corespunzător tronsonului j.
Cu relaŃia (3.15) se determină Vjf şi H
jf , iar fi se calculează cu relaŃiile (3.13).
110
fig.3.17
Pentru determinarea unghiurilor de înclinare în reazeme se aplică, succesiv, în fiecare reazem al
arborelui, câte un moment unitar Mi (fig.3.17 d), respectiv M2 (fig. 3.17 e) se trasează diagrama
momentelor încovoietoare produse numai de '1M ,
respectiv '2M .
Se determină valoarea momentelor '1 jM şi '
2 jM
pentru punctele j de delimitare a tronsoanelor
arborilor.
Unghiurile de înclinare în reazem se determină cu
relaŃiile similare celor patru săgeŃi:
∑∫=
=n
i S j
jj dsEI
MM
1
'2,1
2,1α (3.16)
În tabelul 3.5 sunt date valorile integralelor din
relaŃiile (3.15) şi (3.16) pentru diferite forme ale
diagramei de momente şi ale tronsonului de arbore.
Valorile admisibile pentru deformaŃiile flexionale
depind de soluŃiile constructive, de condiŃiile de
funcŃionare. În general, se admite săgeata maximă
fmax≤3·10-4l, unde l este distanŃa dintre reazeme.
Pentru arborii maşinilor unelte se impune
fmax≤2⋅10-4l. ÎnclinaŃia maximă se admite în
majoritatea cazurilor αmax=10-3 radiani.
DeformaŃiile unghiulare admisibile pentru lagăre cu alunecare sunt: tgα≤3⋅10-4 la cuzineŃi ficşi;
tgα≤10-3 la cuzineŃi oscilanŃi; tgα≤10-3 la rulmenŃi.
Calculul deformaŃiilor la torsiune
DeformaŃia torsională se calculează în cazurile când buna funcŃionare a agregatului fixează limite
în acest sens.
Calculul deformaŃiilor unghiulare se face cu relaŃia (3.17):
p
t
GI
lM=θ (3.17)
111
În cazul unui arbore cu secŃiune şi încărcări variabile (fig.3.18), deformaŃia unghiulară totală este:
+++
++=++= 3
3
3212
2
211
1
1321
1l
I
MMMl
I
MMl
I
M
G p
ttt
p
tt
p
tθθθθ (3.18)
Recomandări de valori admisibile θa: pentru arborii diferenŃialelor de automobile
θa≤(13...25)x10-2 rad/m; pentru arborii mişcărilor de avans de la maşinile unelte θa≤15x10-4
rad/m.
fig.3.18
112
Tabelul 3.5 Valoarea integralelor de suprafaŃă pentru calculul deformaŃiilor flexionale
Forma diagramelor de momente
Forma tronsonului de arbore
M M
Ids respectiv
M M
EIdsJ zj
js
j j
js∫ ∫
1 2,
'
Cilindric cu diametrul
d [ ]a
EdM M M M M M
0 2942 2
4 1 1 2 2 2 1,( ) ( )' ' ' '+ + +
Tronconic cu
diametrele capetelor d1 şi d2
a
Ed d
d M M d d M M M M
d M M0 294
2
21
3
2
3
2
2
1 1 1 2 1 2 1 2
1
2
2 2,
( )' ' '
'
+ + +
+
Cilindric a
EdM M M
0 0098 4 1 2 2,( )' '+
Tronconic [ ]a
Ed dd M d d M M d M M
0 2942 2
1
3
2
3 2
2
1 1 2 1 2 1
2
2,( )' ' ' '+ + +
Cilindric a
EdM M M
0 2942
4 1 2,' ( )+
Tronconic a
Ed dd M M d M M
0 2942
1
2
2
3 2 1 1 2,( ' ' )+
Cilindric a
EdMM
0 147 4,'
Tronconic a
Ed dMM
0 147 1 2
3,'
Cilindric a
Ed dMM
0 294 1
2
2
2,'
Tronconic a
EdMM
0 294 4,'
La calculul săgeŃilor M’se înlocuieşte cu Myj.
Calculul arborilor drepŃi la vibraŃii
Verificarea la vibraŃii a arborilor constă în asigurarea condiŃiei:
*ii ff ≠ ; i=0,1,2,...,n (3.19)
în care fi sunt frecvenŃele proprii de vibraŃie ale arborelui iar *if sunt frecvenŃele sarcinilor
perturbatoare. Când una din frecvenŃele perturbatoare coincide cu o frecvenŃă proprie a arborelui
sau se află în zonele haşurate din fig.3.19, are loc fenomenul de rezonanŃă mecanică, cauzând o
serie de efecte dăunătoare bunei funcŃionări a arborelui.
113
Sistemul elastic real al arborelui cu masă proprie distributivă are un număr infinit de frecvenŃe
proprii. Este suficient să se determine doar frecvenŃele proprii f0,f1,f2,f3 şi în majoritatea cazurilor
numai frecvenŃa proprie fundamentală f0.
În funcŃie de natura şi sensul de acŃiune al sarcinilor exterioare perturbatoare, vibraŃiile arborilor
pot fi vibraŃii flexionale, torsionale sau longitudinale.
Calculul la vibraŃii flexionale
VibraŃiile flexionale la arbori apar datorită existenŃei maselor excentrice care produc forŃe
centrifuge. Aceste diferenŃe între axa centrelor de greutate a arborelui şi axa de rotaŃie apar
datorită lipsei de precizie în executarea şi montarea arborelui, defecte ale materialului, de
execuŃie sau de centrare a pieselor montate pe arbore. Pentru evitarea lor este necesară
echilibrarea sistemului arbore cu piesele montate pe el, mai ales la arborii care funcŃionează cu
turaŃii ridicate.
1. Arbore cu masă neglijabilă, solidar cu un disc de masă m şi sprijinit în două lagăre. Se
consideră un arbore vertical cu masă proprie neglijabilă pe care este montat un disc de
masă m cu o excentritate e (fig.3.20). În timpul funcŃionării cu viteza unghiulară ω,
datorită masei excentrice, arborele se va deforma până ce se realizează echilibrul dintre
forŃa centrifugă de valoarea:
( ) 2ωefmF dinc += (3.20)
şi forŃa elastică de revenire a arborelui:
dine fkF ⋅= (3.21)
unde k este constanta elastică a arborelui.
Din egalitatea Fe=Fc rezultă:
fig.3.19
114
2
2
ω
ω
mk
mefdin
−= (3.22)
Întrucât interesează condiŃiile la care apare rezonanŃa, deci când fdin tinde către infinit, în relaŃia
(3.22) se egalează numitorul cu zero, obŃinându-se viteza unghiulară critică:
m
kcr =ω (3.23)
respectiv
m
kn crcr
πω
π
3030== (3.24)
La rezonaŃă, viteza unghiulară de funcŃionare ω=ωcr, ca pulsaŃie a forŃei perturbatoare, este egală
cu pulsaŃia proprie a sistemului vibrator, notată cu p, adică ωcr=p.
Dacă în relaŃia (3.22) se introduce relaŃia (3.23), se obŃin factorii de amplificare:
2
2
2
1
−
==
cr
crdin
e
fA
ω
ω
ω
ω
(3.25)
respectiv
21
1
1
−
=±
=
cr
din
e
efA
ω
ω (3.26)
Dacă arborele este montat în poziŃie orizontală (fig.3.21),
greutatea G=mg a discului provoacă săgeata statică fst astfel
încât rigiditatea arborelui este:
stst f
mg
f
Gk == (3.27)
Viteza unghiulară critică, se obŃine similar cu relaŃia (5.23):
stcr f
g
m
k==ω (3.28)
fig.3.20
115
2. Arbore fără masă proprie, încărcat cu m mase concentrate.
Arborele din fig.3.22 reprezintă un sistem vibrator cu n grade de libertate, deci cu n pulsaŃii
proprii şi cu n forme de vibraŃie numite şi moduri normale sau proprii de vibraŃie. Dintre acestea
interesează în
special pulsaŃia
proprie fundamen-
tală şi turaŃia critică
cea mai joasă.
Printre cele mai
cunoscute metode
aproximative de
determinare a pulsa-
Ńiei proprii fundamentale este metoda Rayleigh bazată pe considerente de conservare a energiei:
.constEE cjpj =+
Se admite că masele sistemului execută vibraŃii armonice de aceeaşi pulsaŃie şi fază şi că
deformaŃiile statice reprezintă amplitudinile maxime ale vibraŃiilor.
Dacă f1,...,fn sunt săgeŃile fibrei medii deformate statice produse de forŃele F1,...,Fn, în poziŃia de
deplasare maximă faŃă de poziŃia de echilibru toate punctele sistemului au viteze nule, deci
energia vibraŃiei este numai energia potenŃială a cărei valoare este:
∑=
=n
i
iip
fFE
1max 2
(3.29)
În ipoteza vibraŃiilor armonice, deplasările maselor pot fi scrise sub forma:
( ) ptftf ii sin=
fig.3.21
fig.3.22
116
iar vitezele
( ) ptpftv ii cos=
Energia cinetică este maximă la 1cos =pt , când se obŃine vtmax şi anume când arborele trece prin
poziŃia de echilibru AB:
∑∑==
==n
ii
in
i
iic pf
g
FVmE
1
22
1
2max
max 22 (3.30)
Din egalitatea relaŃiilor (3.29) şi (3.30) rezultă:
crn
iii
n
iii
fF
fFgp ω==
∑
∑
=
=
1
2
1 (3.31)
din care se obŃine:
crcrn ωπ
30=
3. Arbore pe două reazeme, cu încărcare oarecare şi cu considerarea masei proprii.
În general arborele este încărcat cu sarcini concentrate Fi şi/sau cu sarcini uniform distribuite
q(x)=const.
Şi în acest caz general baza calculului pulsaŃiei fundamentale o reprezintă cunoaşterea funcŃiei
fibrei medii deformate static f(x), cu ajutorul căreia se pot preciza săgeŃile fi din dreptul sarcinilor
concentrate.
Se deosebesc următoarele cazuri:
a. Arbore cu masă proprie, de secŃiune constantă, fără alte încărcări.
În acest caz, arborele se poate echivala cu o grindă cu o infinitate de sarcini concentrate. TuraŃia
critică fundamentală este dată de relaŃia:
γ
απ
A
EIg
ln i
cri
2
30
= (3.32)
în care:
αi=1,2,...,n, este un coeficient care stabileşte ordinul turaŃiei critice şi depinde şi de modul de
rezemare a arborelui;
l-lungimea arborelui;
EI- rigiditatea la încovoiere;
117
A-aria secŃiuuni constante a arborelui;
γ- greutatea specifică.
b. Arbore cu masă proprie, de secŃiune variabilă, la care sarcinile exterioare
concentrate depăşesc mult sarcinile exterioare uniform distribuite.
În acest caz se neglijează influenŃa sarcinilor exterioare uniform distribuite şi se determină linia
elastică a arborelui numai datorită masei proprii şi a sarcinilor concentrate. RelaŃia de calcul a
turaŃiei critice este:
( ) ( )∫∑
∑
+
≤
=
=
ln
iii
n
iii
cr
dxxfxGfF
fFgn
0
2
1
2
130
π (3.33)
c. Arbore cu masă proprie şi sarcini exterioare uniform distribuite, mult superioare
sarcinilor exterioare concentrate.
În acest caz, linia elastică a arborelui se determină neglijându-se sarcinile concentrate, iar turaŃia
critică este:
( ) ( )
( ) ( )∫∑
∫+
≤
=
ln
iii
l
cr
dxxfxGfF
dxxfxggn
0
2
1
2
030
π (3.34)
Calculul la vibraŃii torsionale
VibraŃiile torsionale apar la arborii care primesc de la maşinile motoare sau de lucru un moment
de torsiune variabil periodic. Arborii cu secŃiune variabilă (fig.3.23), se echivalează cu un arbore
de secŃiune constantă. CondiŃia de echivalenŃă este cea de păstrare a aceleiaşi rigidităŃi la
torsiune. Astfel, un tronson oarecare i de diametru di şi lungime li a unui arbore în trepte are
rigiditatea torsională:
i
i
i
pit l
Gd
l
GIk
32
4π== [Nm] (3.35)
Dacă se adoptă la arborele echivalent un diametru constant de valoare d0, din condiŃia ca
tronsonul de arbore echivalent să posede aceeaşi rigiditate, rezultă:
4
00
=
iii d
dll (3.36)
118
Lungimea totală a arborelui echivalent va fi egală cu suma lungimilor tronsoanelor echivalente,
adică:
∑=
=
n
i ii d
dll
1
4
00 (3.37)
În figura 3.24 se prezintă un arbore cu diametru constant, solidar cu un disc.
La aplicarea momentului Mt, arborele se răsuceşte cu unghiul:
4
32
Gd
lM
GI
lM t
p
t
πθ == (3.38)
Când momentul Mt dispare, momentul forŃelor elastice de valoare Ktθ readuce discul în poziŃia
iniŃială de echilibru şi astfel discul cu arborele execută o oscilaŃie torsională liberă dată de relaŃia:
θθ tKI −=&&
(3.39)
în care Kt este
constanta elastică
la torsiune a
arborelui de
valoare:
l
GdMK t
t 32
4π
θ==
iar I - momentul de inerŃie al masei volantului.
PulsaŃia fundamentală a sistemului are valoarea
lmD
Gd
I
kp t
2
4
4
π== (3.40)
unde:
m este masa volantului,
G-modulul de elasticitate transversal al materialului.
Este necesar ca pulsaŃia proprie p a sistemului să fie diferită de pulsaŃia momentelor de torsiune
exterioară, pentru că la egalitate apare rezonanŃa de torsiune.
Pentru calculul pulsaŃiilor proprii al unui arbore solidar cu mai multe discuri este utilă consultarea
fig.3.23 fig.3.24
119
lucrării [R1].
Întrebări de autoevaluare
1. Care este diferenŃa dintre arbori şi osii?
2. Ce materiale se utilizează pentru arborii de dimensiuni mari sau care au o formă
complicată?
3. Care este succesiunea de proiectare a arborilor şi osiilor?
4. Cum se evită realizarea unui paraboloid de revoluŃie de gradul 3 la proiectarea osiilor?
5. Care sunt etapele de calcul ale arborilor drepŃi?
6. Care sunt criteriile pe baza cărora se proiectează forma arborilor?
7. Care este scopul razelor de racordare la arbori? Dar al degajărilor?
8. Care este relaŃia de calcul pentru deformaŃiile unghiulare produse de solicitarea la
torsiune?
Rezumat
Osiile şi arborii sunt organe de maşini care au funcŃia comună de susŃinere a organelor aflate în
mişcarea de rotaŃe. Osiile nu transmit momente de torsiune utile, în timp ce arborii îndeplinesc şi
funcŃia de transmitere a mişcării şi puterii între organele pe care le susŃin.
Pentru solicitări uşoare se utilizează oŃelurile carbon obişnuite OL42, OL50, OL60 (STAS 500/2-
80). Pentru solicitări medii cu cerinŃe de durabilitate, pentru fusuri şi caneluri se folosesc oŃelurile
carbon de calitate cu tratament de îmbunătăŃire, OLC35 ,OLC45, OLC50 (STAS 880-80); pentru
solicitări importante şi gabarite şi mai reduse se folosesc oŃeluri aliate de îmbunătăŃire:
41MoCr11, 41CrNi12, 40Cr10, etc., sau oŃeluri de cementare: 18MnCr10, 18MoCrNi13,
13CrNi30 (STAS 791-80). Dacă unele organe de maşini se execută din aceeaşi bucată de material
cu arborele (formează corp comun cu arborele), atunci arborele se realizează din materialul piesei
respective.
Proiectarea osiilor şi arborilor se desfăşoară, în mod obişnuit în următoarea succesiune:
120
- predimensionarea pe baza unui calcul simplificat;
- stabilirea formei constructive;
- verificerea la rupere prin oboseală;
- verificarea la rigiditate (deformaŃii);
- verificarea la vibraŃii.
Bibliografie
1. Chişiu, A., ş.a., Organe de maşini, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981;
2. Cornea, Cl. ş.a., Organe de maşini. Asamblări, arbori, lagăre, elemente de tribologie, Ed.
UniversităŃii din Oradea, 2001.