Reproductibilité numérique pour les systèmes
massivement parallèles
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO
Université de Perpignan Via Domitia (UPVD)
16 Mai 2014
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 1 / 25
Sommaire
1 Introduction
2 Les nombres sur machine
3 Problématique
4 Solution possible
5 Conclusion
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 2 / 25
Introduction
Sommaire
1 Introduction
2 Les nombres sur machine
3 Problématique
4 Solution possible
5 Conclusion
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Introduction
Introduction
Qu'est-ce qu'un calcul mathématique ??
Une ou plusieurs opérations appliquées sur des grandeurs (+, -, *, /).
Comment faire des calculs ?
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Introduction
Introduction
Qu'est-ce qu'un calcul mathématique ??
Une ou plusieurs opérations appliquées sur des grandeurs (+, -, *, /).
Comment faire des calculs ?
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Introduction
Introduction
Qu'est-ce qu'un calcul mathématique ??
Une ou plusieurs opérations appliquées sur des grandeurs (+, -, *, /).
Comment faire des calculs ?
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Introduction
Introduction
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Introduction
Introduction
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Introduction
Introduction
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Introduction
Introduction
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Introduction
Introduction
Les supercalculateurs sont capables de faire plus d'un million demilliards d'opérations par seconde.
Si un humain fais 1 opération par seconde ça va prendre 31 milliond'années.
Si toute l'humanité fait des calculs ça prends 40 heurs.
Mais est ce que ces calculs sont précis ??
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Introduction
Introduction
Les supercalculateurs sont capables de faire plus d'un million demilliards d'opérations par seconde.
Si un humain fais 1 opération par seconde ça va prendre 31 milliond'années.
Si toute l'humanité fait des calculs ça prends 40 heurs.
Mais est ce que ces calculs sont précis ??
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 6 / 25
Introduction
Introduction
Les supercalculateurs sont capables de faire plus d'un million demilliards d'opérations par seconde.
Si un humain fais 1 opération par seconde ça va prendre 31 milliond'années.
Si toute l'humanité fait des calculs ça prends 40 heurs.
Mais est ce que ces calculs sont précis ??
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Introduction
Introduction
Les supercalculateurs sont capables de faire plus d'un million demilliards d'opérations par seconde.
Si un humain fais 1 opération par seconde ça va prendre 31 milliond'années.
Si toute l'humanité fait des calculs ça prends 40 heurs.
Mais est ce que ces calculs sont précis ??
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Introduction
Introduction
Les supercalculateurs sont capables de faire plus d'un million demilliards d'opérations par seconde.
Si un humain fais 1 opération par seconde ça va prendre 31 milliond'années.
Si toute l'humanité fait des calculs ça prends 40 heurs.
Mais est ce que ces calculs sont précis ??
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Les nombres sur machine
Sommaire
1 Introduction
2 Les nombres sur machine
3 Problématique
4 Solution possible
5 Conclusion
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Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres réels
L'ensemble des nombres réels est un ensemble in�ni.
Les éléments ne sont pas écartés (ensemble continu).
Tout intervalle contient in�niment des éléments.
Il faut utiliser une approximation.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 8 / 25
Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres réels
L'ensemble des nombres réels est un ensemble in�ni.
Les éléments ne sont pas écartés (ensemble continu).
Tout intervalle contient in�niment des éléments.
Il faut utiliser une approximation.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 8 / 25
Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres réels
L'ensemble des nombres réels est un ensemble in�ni.
Les éléments ne sont pas écartés (ensemble continu).
Tout intervalle contient in�niment des éléments.
Il faut utiliser une approximation.
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Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres réels
L'ensemble des nombres réels est un ensemble in�ni.
Les éléments ne sont pas écartés (ensemble continu).
Tout intervalle contient in�niment des éléments.
Il faut utiliser une approximation.
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Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres �ottants
L'approximation la plus utilisée est les nombres �ottants.
L'équivalent informatique de la notation scienti�que (± M * 10e).
M est un nombre décimal dans l'intervalle [1, 10[.1 123456789 = 1.23456789 * 108.
2 123.456789 = 1.23456789 * 106.
3 0.0123456789 = 1.23456789 * 10−2.
Sur ordinateur on utilise la base 2 au lieu de la base 10 (± M * 2e).(1.23456789)10 = (1.011111111110011110000001)2;
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Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres �ottants
L'approximation la plus utilisée est les nombres �ottants.
L'équivalent informatique de la notation scienti�que (± M * 10e).
M est un nombre décimal dans l'intervalle [1, 10[.1 123456789 = 1.23456789 * 108.
2 123.456789 = 1.23456789 * 106.
3 0.0123456789 = 1.23456789 * 10−2.
Sur ordinateur on utilise la base 2 au lieu de la base 10 (± M * 2e).(1.23456789)10 = (1.011111111110011110000001)2;
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Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres �ottants
L'approximation la plus utilisée est les nombres �ottants.
L'équivalent informatique de la notation scienti�que (± M * 10e).
M est un nombre décimal dans l'intervalle [1, 10[.1 123456789 = 1.23456789 * 108.
2 123.456789 = 1.23456789 * 106.
3 0.0123456789 = 1.23456789 * 10−2.
Sur ordinateur on utilise la base 2 au lieu de la base 10 (± M * 2e).(1.23456789)10 = (1.011111111110011110000001)2;
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Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres �ottants
L'approximation la plus utilisée est les nombres �ottants.
L'équivalent informatique de la notation scienti�que (± M * 10e).
M est un nombre décimal dans l'intervalle [1, 10[.1 123456789 = 1.23456789 * 108.
2 123.456789 = 1.23456789 * 106.
3 0.0123456789 = 1.23456789 * 10−2.
Sur ordinateur on utilise la base 2 au lieu de la base 10 (± M * 2e).
(1.23456789)10 = (1.011111111110011110000001)2;
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Les nombres sur machine
Les nombres sur machineLes nombres �ottants
L'approximation la plus utilisée est les nombres �ottants.
L'équivalent informatique de la notation scienti�que (± M * 10e).
M est un nombre décimal dans l'intervalle [1, 10[.1 123456789 = 1.23456789 * 108.
2 123.456789 = 1.23456789 * 106.
3 0.0123456789 = 1.23456789 * 10−2.
Sur ordinateur on utilise la base 2 au lieu de la base 10 (± M * 2e).(1.23456789)10 = (1.011111111110011110000001)2;
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Problématique
Sommaire
1 Introduction
2 Les nombres sur machine
3 ProblématiquePrécision �nieArrondi et erreur d'arrondiNon associativité de l'additionNon-reproductibilité
4 Solution possible
5 Conclusion
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Problématique Précision �nie
ProblématiquePrécision �nie
On ne peut pas présenter "exactement" les nombres non décimaux (π,√2, 1 / 3).
La mantisse contient seulement 7 chi�re signi�catifs en décimal (16pour des types étendus).
On ne peut pas présenter "exactement" les nombres décimaux quidemandent plus de chi�res.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 11 / 25
Problématique Précision �nie
ProblématiquePrécision �nie
On ne peut pas présenter "exactement" les nombres non décimaux (π,√2, 1 / 3).
La mantisse contient seulement 7 chi�re signi�catifs en décimal (16pour des types étendus).
On ne peut pas présenter "exactement" les nombres décimaux quidemandent plus de chi�res.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 11 / 25
Problématique Précision �nie
ProblématiquePrécision �nie
On ne peut pas présenter "exactement" les nombres non décimaux (π,√2, 1 / 3).
La mantisse contient seulement 7 chi�re signi�catifs en décimal (16pour des types étendus).
On ne peut pas présenter "exactement" les nombres décimaux quidemandent plus de chi�res.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 11 / 25
Problématique Précision �nie
ProblématiquePrécision �nie
Avec 3 chi�res signi�catifs : 1.23456789 −→ 1.23.
Avec 4 chi�res signi�catifs : 1.23456789 −→ 1.235.
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Problématique Précision �nie
ProblématiquePrécision �nie
Avec 3 chi�res signi�catifs : 1.23456789 −→ 1.23.
Avec 4 chi�res signi�catifs : 1.23456789 −→ 1.235.
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Problématique Arrondi et erreur d'arrondi
ProblématiqueArrondi et erreur d'arrondi
Comment faire une addition ??
Exemple (4 chi�res signi�catifs).
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Problématique Arrondi et erreur d'arrondi
ProblématiqueArrondi et erreur d'arrondi
Comment faire une addition ??
Exemple (4 chi�res signi�catifs).
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Problématique Arrondi et erreur d'arrondi
ProblématiqueArrondi et erreur d'arrondi
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Problématique Arrondi et erreur d'arrondi
ProblématiqueArrondi et erreur d'arrondi
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Problématique Arrondi et erreur d'arrondi
ProblématiqueArrondi et erreur d'arrondi
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Problématique Arrondi et erreur d'arrondi
ProblématiqueArrondi et erreur d'arrondi
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Problématique Arrondi et erreur d'arrondi
ProblématiqueArrondi et erreur d'arrondi
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Problématique Arrondi et erreur d'arrondi
ProblématiqueArrondi et erreur d'arrondi
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Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
A cause des erreurs d'arrondi, l'addition n'est plus associative.
A + (B + C) 6= (A + B) + C.
Exemple.
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Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
A cause des erreurs d'arrondi, l'addition n'est plus associative.
A + (B + C) 6= (A + B) + C.
Exemple.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 15 / 25
Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
A cause des erreurs d'arrondi, l'addition n'est plus associative.
A + (B + C) 6= (A + B) + C.
Exemple.
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Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
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Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 16 / 25
Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 16 / 25
Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 16 / 25
Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 16 / 25
Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 16 / 25
Problématique Non associativité de l'addition
ProblématiqueNon associativité de l'addition
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 16 / 25
Problématique Non-reproductibilité
ProblématiqueNon-reproductibilité
Dans une architecture parallèle l'ordre des opérations n'est pastoujours le même.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 17 / 25
Problématique Non-reproductibilité
ProblématiqueNon-reproductibilité
Dans une architecture parallèle l'ordre des opérations n'est pastoujours le même.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 17 / 25
Problématique Non-reproductibilité
ProblématiqueNon-reproductibilité
Dans une architecture parallèle l'ordre des opérations n'est pastoujours le même.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 17 / 25
Problématique Non-reproductibilité
ProblématiqueNon-reproductibilité
Dans une architecture parallèle l'ordre des opérations n'est pastoujours le même.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 17 / 25
Problématique Non-reproductibilité
ProblématiqueNon-reproductibilité
Dans une architecture parallèle l'ordre des opérations n'est pastoujours le même.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 17 / 25
Problématique Non-reproductibilité
ProblématiqueNon-reproductibilité
Dans une architecture parallèle l'ordre des opérations n'est pastoujours le même.
On pourrait obtenir des résultats di�érents pour plusieurs executionsde même programme.
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Solution possible
Sommaire
1 Introduction
2 Les nombres sur machine
3 Problématique
4 Solution possibleRecupérer l'erreurSommes compensées
5 Conclusion
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Solution possible
Solution possible
Une solution possible est de calculer la somme exacte qui est toujoursreproductible.
Mais comment ??
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Solution possible
Solution possible
Une solution possible est de calculer la somme exacte qui est toujoursreproductible.
Mais comment ??
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Solution possible Recupérer l'erreur
Solution possibleRecupérer l'erreur
Au lieu de calculer la somme nous calculons la somme et l'erreur.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 20 / 25
Solution possible Recupérer l'erreur
Solution possibleRecupérer l'erreur
Au lieu de calculer la somme nous calculons la somme et l'erreur.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 20 / 25
Solution possible Recupérer l'erreur
Solution possibleRecupérer l'erreur
Au lieu de calculer la somme nous calculons la somme et l'erreur.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 20 / 25
Solution possible Recupérer l'erreur
Solution possibleRecupérer l'erreur
Au lieu de calculer la somme nous calculons la somme et l'erreur.Mais ça coute 6 opérations de base.
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 20 / 25
Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
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Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 21 / 25
Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 21 / 25
Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 21 / 25
Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 21 / 25
Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 21 / 25
Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 21 / 25
Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 21 / 25
Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Coûte très cher en nombre d'opérations (6n fois plus cher pour nitérations).
Il y a de meilleurs algorithmes récents (certains assurent la sommationexacte et d'autres assurent seulement la reproductibilité).
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Solution possible Sommes compensées
Solution possibleSommes compensées
Coûte très cher en nombre d'opérations (6n fois plus cher pour nitérations).
Il y a de meilleurs algorithmes récents (certains assurent la sommationexacte et d'autres assurent seulement la reproductibilité).
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 22 / 25
Conclusion
Sommaire
1 Introduction
2 Les nombres sur machine
3 Problématique
4 Solution possible
5 Conclusion
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 23 / 25
Conclusion
Conclusion
Le calcul fait par l'ordinateur n'est pas précis.
Calculer des sommes précises coûtent plus cher.
En exploitant le parallélisme sur les nouvelles architectures, est-ce quece coût est acceptable ??
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 24 / 25
Conclusion
Conclusion
Le calcul fait par l'ordinateur n'est pas précis.
Calculer des sommes précises coûtent plus cher.
En exploitant le parallélisme sur les nouvelles architectures, est-ce quece coût est acceptable ??
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 24 / 25
Conclusion
Conclusion
Le calcul fait par l'ordinateur n'est pas précis.
Calculer des sommes précises coûtent plus cher.
En exploitant le parallélisme sur les nouvelles architectures, est-ce quece coût est acceptable ??
Chemseddine CHOHRAPhilippe LANGLOIS, David PARELLO (Université de Perpignan Via Domitia (UPVD))Reproductibilité numérique pour les systèmes massivement parallèles16 Mai 2014 24 / 25