Download pdf - aturan-trapesium uty

7/21/2019 aturan-trapesium uty

http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 1/10

Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan

Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai

Hampiran Dalam Integral Tentu

Fendi Al Fauzi

15 Desember 212

11 Pengantar

Persoalan !ang melibat"an integral dalam "al"ulus ada "alan!a tida" #an!a

per$soalan !ang muda#$muda# sa%a& 'ntu" ungsi$ungsi !ang rumit ada"ala

n!a "ita a"an "esulitan dalam mengintegral"ann!a& Sebagai onto#

1 2

2 sin(*) 1

e * d*+ d*+ 1 os(*)d* *

sangat sulit "ita integral"an& -a#"an dengan menerap"an teorema Fundamental

.al"ulus dasar .edua "ita mung"in a"an "erepotan dengan ungsi$ungsi diatas&

Pada#al integral pertama sangat penting dalam bidang statisti"a dan integral "e$

dua sangat penting dalam bidang opti"& A"an tetapi bu"an berarti integral tersebut

tida" dapat "ita selesai"an& Pen!elesaian integral diatas adala# dengan

mengguna"$an solusi #ampiran berupa pengintegralan seara numeri"&

/i"a !ang "ita ba#as adala# pengintegralan seara numeri", ma"a #asiln!a a"an

ber$upa ang"a& Solusi dalam pengintegralan numeri" a"an berupa #ampiran&

0aman!a #ampiran berarti a"an ada error (galat)& 0amun semua "esala#an

(galat) dapat "ita "ontrol untu" mendapat"an #asil !ang mende"ati nilai e"sa"&

12 Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium)

Pada "esempatan "ali ini sa!a ingin memba#as tentang aturan Trapesium& /i"a

pada "ulia# "al"ulus "ita suda# meng#ampiri integral dengan aturan integral ie$

1



mann, ma"a se"arang "ita a"an menoba dengan aturan trapezoidal&

Pada aturan ini, ungsi (*) pada a+ b3 dibagi dalam beberapa selang ( n)& Per#a$

ti"an gambar beri"ut4

.ita ta#u ba#a integral dari suatu ungsi adala# luas daera# pada ungsi tersebut

!ang dibatasi ole# selang pengintegralan& 6ambar diatas menun%u""an ba#a

ungsi (*) di #ampiri dengan luasan trapesium& /adi meng#itung integral ungsi (*)

dengan batas a+ b3 adala# %umla# dari luas trapesium&

.ita %uga "eta#ui ba#a rumus dari luas trapesium adala# 7 8 #2 ( 9 d)&

umus luas ini a"an membantu "ita untu" menari luas pada gambar pertama&

.arena a

8

*

dan

b

8

*

n ma"a luas sebua# trapesium pada gambar diatas adala#

# A

i8

2 ((*

i 1) 9

(*

i))

'ntu" lebi# a"urat, ma"a "ita #arus memperban!a" trapesium dalam ungsi

terse$but se#ingga luas seluru#n!a adala#

Atotal 8 A1 9 A2 9 9 An

2



Dengan

A1 8

#

((*) 9 (*1))2

A2 8#

((*1) 9 (*2))2

&

An 8

#

((*n 1) 9 (*n))2

Se#ingga "ita dapat men!impul"an ba#a

ab (*)d*

8 A1 9 A2 9 9 An

a

b # # #

(*)d* 8 ((*) 9 (*1)) 9 ((*1) 9 (*2)) 9 9 ((*n 1) 9 (*n))2 2 2

Se#ingga #asil diatas dapat "ita seder#ana"an men%adi

a

b #(*)d*

(*) 9 2(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 1) 9 (*n)32# n 1

:(*) 9 2 (*i) 9 (*n)

;2

81

<i

Dengan # 8

Se"arang "ita a"an mengu%i oba aturan ini dengan integral !ang "ita

"eta#ui nilai e"sa"n!a&

1& Dengan mengguna"an aturan Trapezoidal dengan n 8 = #ampirila# nilai

2 *

2d*

Pen!elesaian4

.arena n 8 =+ ma"a # 8 2 8 1 8 + 25 = >

?

b a

n



i*

i (*i)

i i (*i)

1

1 ,25 ,@25 2 ,125

2 ,5 ,25 2 ,5? ,A5 ,5@25 2 1,125

> 1, 1, 2 2

5 1,25 1,5@25 2 ?,125

@ 1,5 2,25 2 >,5

1,A5 ?,@25 2 @,125

= 2, >, 1 >

/umla# 21,5

/adi

2 + 25

*2d* 8 (21+ 5)2

8 + 125 (21+ 5)

8 2+ @=5

/i"a "ita banding"an dengan nilai e"sa"n!a !aitu

2 *? 2*

2d* 8

?

=

8 ?8 2+ @@@@@@@@A

.esala#an pada aturan Trapezoidal Bn din!ata"an dengan

Bn 8 (b a

2)?

()

12n

dengan adala# suatu titi" tenga# diantara a dan b4

/i"a dibanding"an dengan nilai e"sa"n!a ma"a masi# terdapat perbedaan !ang

u$"up signi"an& Se#ingga "ita a"an menoba berali# pada aturan selan%utn!a&

>



13 Codi"asi Aturan Trapezoidal

Aturan Trapezoidal diatas dapat dimodi"asi sebagai beri"ut&

b

(b)

(a)3 #

2(*)d* T

a 12

#

(* ) 9 2(*) 9 2(* ) 9 9 2(*) 9 (*

)3

(b)

(a)3 #

2

2n 1 12

1 2 n

Se"arang "ita a"an menoba mengapli"asi"ann!a dalam onto# diatas&

1& Dengan mengguna"an aturan Trapezoidal !ang dimodi"asi dengan n 8 = #am$

pirila# nilai

2 *2d*

Pen!elesaian4 2 1

.arena n 8 =+ ma"a # 8 8 8 + 25= >

i*

i (*i)

i i (*i)

1

1 ,25 ,@25 2 ,125

2 ,5 ,25 2 ,5

? ,A5 ,5@25 2 1,125

> 1, 1, 2 2

5 1,25 1,5@25 2 ?,125

@ 1,5 2,25 2 >,5

1,A5 ?,@25 2 @,125

= 2, >, 1 >

/umla# 21,5

/adi

T 8

+ 25 (21+ 5)

2

8 + 125 (21+ 5)

T 8 2+ @=5

Selan%utn!a (*) 8 2* )

() 8 dan

(2) 8 > ma"a

(b)

(a)3 #

2

8

(> )(+ 25)2

8

>(+ @25) 8 + 2=??

1212 12

5



Se#ingga

2 *

2d* 2+ @=A5 + 2=??

2+ @@@@@

#asiln!a sama dengan nilai e"sa"&

14 Aturan Simpson (Paraboli")

/i"a pada aturan Trapezoidal, "ura (*) di#ampiri dengan ruas$ruas garis& .ali

ini "ita a"an menoba meng#ampirin!a dengan ruas$ruas parabola dengan partisi

(pembagian) selang a+ b3 men%adi n subselang dengan pan%ang # 8 (b a)

n & A"an teta$pipada #ampiran "ali ini n #arusla# bilangan genap& .emudian "ita menoo""an

ruas$ruas parabola dengan titi"$titi" !ang ada di de"atn!a& per#ati"an gambar&

Dengan mengguna"an rumus luas sebagai beri"ut

@



ma"a a"an menuntun "ita pada sebua# #ampiran !ang disebut Aturan

-araboli (Paraboli ule)& Aturan ini disebut %uga Aturan Simpson berdasar"an

nama a#li matemati"aan Inggris, T#omas Simpson (11$1@1)&

b#

a (*)d* (*) 9 >(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 2) 9 >(*n 1) 9 (*n)3?

2& Dengan mengguna"an aturan Paraboli dengan n 8 = #ampirila# nilai

2 *2d*

Pen!elesaian4 2 1

.arena n 8 =+ ma"a # 8 8 8 + 25=>

i*

i (*i))

i i (*i)

1

1 ,25 ,@25 > ,25

2 ,5 ,25 2 ,5

? ,A5 ,5@25 > 2,25

> 1, 1, 2 2

5 1,25 1,5@25>

@,25@ 1,5 2,25 2 >,5

1,A5 ?,@25 > 12,25

= 2, >, 1 >

/umla# ?2

/adi,

1 + 25

*2d* (?2)?+ =???????(?2)

2+ @@@@@@@@

7uar biasa& Hasiln!a sama dengan nilai e"sa"& .esala#an pada aturan Paraboli"

adala#

(b a)5

B

n

8 (>) ()

1=n>

dengan (>)

(*) adala# turunan "eempat dan adala# suatu titi" tenga# diantaraa dan b4



Dari "esala#an diatas dapat "ita simpul"an ba#a %i"a turunan "eempat dari

ungsi (*) bernilai ma"a "ita a"an mendapat"an nilai e"sa"&

15 Eonto# Soal Terapan

Setela# "ita mempela%ari "edua metode diatas ma"a "ini saatn!a "ita

apli"asi"an dalam memea#"an masala# integral&

1. 6una"an aturan Trapezoidal dan aturan Paraboli" untu" meng#ampiri

luas daera# di pinggir danau seperti pada gambar beri"ut& Dengan satuan

!ang diguna"an adala# "a"i (eet)&

Pen!elesaian 4

Dengan aturan trapezoidal muda# sa%a "ita mendapat"an #ampiran luas

da$nau tersebut&

A#

(*) 9 2(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 1) 9 (*n)32

12 5 9 2(1) 9 2(@) 9 2(>5) 9 2(>5) 9 2(52) 9 2(5) 9 2(@) 9

53 5 1>3

A >5

/adi, Dengan mengguna"an aturan Trapezoidal 7uas Danau tersebutadala# >5 "a"i2

Dengan aturan Paraboli" "ita dapat"an

=



A

#

(*) 9 >(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 2) 9 >(*n 1) 9 (*n)3?

1? 5 9 >(1) 9 2(@) 9 >(>5) 9 2(>5) 9 >(52) 9 2(5) 9 >(@) 9

531

?(1?)

>5@@+ @@@@

/adi, Dengan mengguna"an aturan Paraboli" 7uas Danau tersebutadala# >5@@,@@@ "a"i2

2. 6una"an aturan Paraboli" untu" meng#ampiri %umla# air !ang diperlu"an

untu" mengisi "olam renang !ang mempun!ai bentu" seperti pada gambar

dibaa#& dengan "edalaman @ "a"i& Satuan !ang diguna"an adala# "a"i&

Pen!elesaian4

Dengan aturan Paraboli" "ita dapat"an

A

#

(*) 9 >(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 2) 9 >(*n 1) 9 (*n)3?

?? 2? 9 >(2>) 9 2(2?) 9 >(21) 9 2(1=) 9 >(15) 9 2(12) 9 >(11) 9 2(1) 9 >(=)

9 3 >@5

7uas "olam renang tersebut adala# >@5 "a"i 2& /umla# air !ang diperlu"an

untu" mengisi "olam tersebut adala#

1V 8 7"olam "edalaman

2V 8 >@5 @ 8

2



%adi, /umla# air !ang diperlu"an untu" mengisi "olam tersebut adala#2 "a"i?

Sumber 4

1& Purell, Garberg, igdon& 2& Ealulus t#& Prentie Hall&

1