Aula 15, Cálculo Vetorial e Tensorial
PROF. ROLDÃO DA ROCHA
1UFABC
13 Maio 2020
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Gradiente de um campo escalar f
∇f =1h1
∂ f∂u1
e1 +1h2
∂ f∂u2
e2 +1h3
∂ f∂u3
e3
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Divergente em coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I
I Campo vetorial
F(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3 .
I Divergente em coordenadas curvilíneas
∇ · F(u1, u2, u3) =1
h1h2h3
[∂
∂u1(F1h2h3) +
∂
∂u2(F2h3h1) +
∂
∂u3(F3h1h2)
]
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Divergente em coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I
I Campo vetorial
F(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3 .
I Divergente em coordenadas curvilíneas
∇ · F(u1, u2, u3) =1
h1h2h3
[∂
∂u1(F1h2h3) +
∂
∂u2(F2h3h1) +
∂
∂u3(F3h1h2)
]
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Divergente em coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I
I Campo vetorial
F(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3 .
I Divergente em coordenadas curvilíneas
∇ · F(u1, u2, u3) =1
h1h2h3
[∂
∂u1(F1h2h3) +
∂
∂u2(F2h3h1) +
∂
∂u3(F3h1h2)
]
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Rotacional em coordenadas curvilíneas:
Manual do usuário.
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Coordenadas curvilíneas
I SejaF(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k
um campo vetorial em R3.I O rotacional de F é um campo vetorial, dado por
∇× F =
∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣I
=
(∂F3
∂y−∂F2
∂z
)ı+
(∂F1
∂z−∂F3
∂x
)+
(∂F2
∂x−∂F1
∂y
)k
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Coordenadas curvilíneas
I SejaF(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k
um campo vetorial em R3.I O rotacional de F é um campo vetorial, dado por
∇× F =
∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣I
=
(∂F3
∂y−∂F2
∂z
)ı+
(∂F1
∂z−∂F3
∂x
)+
(∂F2
∂x−∂F1
∂y
)k
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Coordenadas curvilíneas
I SejaF(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k
um campo vetorial em R3.I O rotacional de F é um campo vetorial, dado por
∇× F =
∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣I
=
(∂F3
∂y−∂F2
∂z
)ı+
(∂F1
∂z−∂F3
∂x
)+
(∂F2
∂x−∂F1
∂y
)k
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Rotacional coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Campo vetorial
F(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3 .
I Coord. cartesianas: F(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k .
I Coord. cilíndricas: F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k .
I Coord. esféricas: F(r , θ, φ) = Fr (r , θ, φ)r + Fθ(r , θ, φ)θ + Fφ(r , θ, φ)φ.
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Rotacional coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Campo vetorial
F(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3 .
I Coord. cartesianas: F(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k .
I Coord. cilíndricas: F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k .
I Coord. esféricas: F(r , θ, φ) = Fr (r , θ, φ)r + Fθ(r , θ, φ)θ + Fφ(r , θ, φ)φ.
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Rotacional coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Campo vetorial
F(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3 .
I Coord. cartesianas: F(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k .
I Coord. cilíndricas: F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k .
I Coord. esféricas: F(r , θ, φ) = Fr (r , θ, φ)r + Fθ(r , θ, φ)θ + Fφ(r , θ, φ)φ.
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Rotacional coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Campo vetorial
F(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3 .
I Coord. cartesianas: F(x , y , z) = F1(x , y , z)ı+ F2(x , y , z)+ F3(x , y , z)k .
I Coord. cilíndricas: F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k .
I Coord. esféricas: F(r , θ, φ) = Fr (r , θ, φ)r + Fθ(r , θ, φ)θ + Fφ(r , θ, φ)φ.
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Rotacional em coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Campo vetorialF(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3.
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣ (1)
I Demonstração: clique no link http://professor.ufabc.edu.br/∼roldao.rocha/ na
minha página oficial da disciplina
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Rotacional em coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Campo vetorialF(u1, u2, u3) = F1(u1, u2, u3)e1 + F2(u1, u2, u3)e2 + F3(u1, u2, u3)e3.
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣ (1)
I Demonstração: clique no link http://professor.ufabc.edu.br/∼roldao.rocha/ na
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
=∂r∂x
= ı
~e2 =∂r∂u2
=∂r∂y
=
~e3 =∂r∂u3
=∂r∂z
= k
I Fatores de escala: h1 = ‖ı‖ = 1, h2 = ‖‖ = 1, h3 = ‖k‖ = 1.I Portanto
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣
=
(∂F3
∂y−∂F2
∂z
)ı+
(∂F1
∂z−∂F3
∂x
)+
(∂F2
∂x−∂F1
∂y
)k
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
=∂r∂x
= ı
~e2 =∂r∂u2
=∂r∂y
=
~e3 =∂r∂u3
=∂r∂z
= k
I Fatores de escala: h1 = ‖ı‖ = 1, h2 = ‖‖ = 1, h3 = ‖k‖ = 1.I Portanto
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣
=
(∂F3
∂y−∂F2
∂z
)ı+
(∂F1
∂z−∂F3
∂x
)+
(∂F2
∂x−∂F1
∂y
)k
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
=∂r∂x
= ı
~e2 =∂r∂u2
=∂r∂y
=
~e3 =∂r∂u3
=∂r∂z
= k
I Fatores de escala: h1 = ‖ı‖ = 1, h2 = ‖‖ = 1, h3 = ‖k‖ = 1.I Portanto
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣
=
(∂F3
∂y−∂F2
∂z
)ı+
(∂F1
∂z−∂F3
∂x
)+
(∂F2
∂x−∂F1
∂y
)k
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
=∂r∂x
= ı
~e2 =∂r∂u2
=∂r∂y
=
~e3 =∂r∂u3
=∂r∂z
= k
I Fatores de escala: h1 = ‖ı‖ = 1, h2 = ‖‖ = 1, h3 = ‖k‖ = 1.I Portanto
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣
=
(∂F3
∂y−∂F2
∂z
)ı+
(∂F1
∂z−∂F3
∂x
)+
(∂F2
∂x−∂F1
∂y
)k
Rotacional em coordenadas cilíndricasI Coordenadas cilíndricas r = ρ cos θı+ ρ sin θ+ zk . Vetores coordenados:
~e1 = ~eρ =∂r∂ρ
= cos θı+ sin θ ⇒ ‖~eρ‖ = 1
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= −ρ sin θı+ ρ cos θ ⇒ ‖~eθ‖ = ρ
~e3 =∂r∂z
= k ⇒ ‖~ez‖ = 1.
I Fatores de escala: h1 = ‖~e1‖ = 1, h2 = ‖~e2‖ = ρ, h3 = ‖~e3‖ = 1.I Portanto, dado o campo vetorial
F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k ,
temos
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
Fρ ρFθ Fz
∣∣∣∣∣∣
Rotacional em coordenadas cilíndricasI Coordenadas cilíndricas r = ρ cos θı+ ρ sin θ+ zk . Vetores coordenados:
~e1 = ~eρ =∂r∂ρ
= cos θı+ sin θ ⇒ ‖~eρ‖ = 1
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= −ρ sin θı+ ρ cos θ ⇒ ‖~eθ‖ = ρ
~e3 =∂r∂z
= k ⇒ ‖~ez‖ = 1.
I Fatores de escala: h1 = ‖~e1‖ = 1, h2 = ‖~e2‖ = ρ, h3 = ‖~e3‖ = 1.I Portanto, dado o campo vetorial
F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k ,
temos
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
Fρ ρFθ Fz
∣∣∣∣∣∣
Rotacional em coordenadas cilíndricasI Coordenadas cilíndricas r = ρ cos θı+ ρ sin θ+ zk . Vetores coordenados:
~e1 = ~eρ =∂r∂ρ
= cos θı+ sin θ ⇒ ‖~eρ‖ = 1
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= −ρ sin θı+ ρ cos θ ⇒ ‖~eθ‖ = ρ
~e3 =∂r∂z
= k ⇒ ‖~ez‖ = 1.
I Fatores de escala: h1 = ‖~e1‖ = 1, h2 = ‖~e2‖ = ρ, h3 = ‖~e3‖ = 1.I Portanto, dado o campo vetorial
F(ρ, θ, z) = Fρ(ρ, θ, z)ρ+ Fθ(ρ, θ, z)θ + Fz(ρ, θ, z)k ,
temos
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
Fρ ρFθ Fz
∣∣∣∣∣∣
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Rotacional em coordenadas cilíndricas
I
∇× F =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
Fρ ρFθ Fz
∣∣∣∣∣∣=
1ρρ
∣∣∣∣ ∂∂θ ∂∂z
ρFθ Fz
∣∣∣∣+ 1ρρθ
∣∣∣∣ ∂∂z∂∂ρ
Fz Fρ
∣∣∣∣+ 1ρ
k∣∣∣∣ ∂∂ρ ∂
∂θ
Fρ ρFθ
∣∣∣∣=
1ρ
(∂Fz
∂θ−∂(ρFθ)∂z
)ρ+
(∂Fρ∂z−∂Fz
∂ρ
)θ +
1ρ
(∂(ρFθ)∂ρ
−∂Fρ∂θ
)k .
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Rotacional em coordenadas cilíndricas: exemplo 1
I Dado o campo vetorial F(ρ, θ, z) = ρρ+ z sin θθ + ρzk ,
∇× F =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
Fρ ρFθ Fz
∣∣∣∣∣∣I
∇× F =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
ρ ρz sin θ ρz
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
(∂(ρz)∂θ
−∂(ρz sin θ)
∂z
)ρ+
(∂ρ
∂z−∂(ρz)∂ρ
)θ +
1ρ
(∂(ρz sin θ)
∂ρ−∂ρ
∂θ
)k
= −sin θρ− zθ +z sin θ
ρk .
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Rotacional em coordenadas cilíndricas: exemplo 1
I Dado o campo vetorial F(ρ, θ, z) = ρρ+ z sin θθ + ρzk ,
∇× F =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
Fρ ρFθ Fz
∣∣∣∣∣∣I
∇× F =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
ρ ρz sin θ ρz
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
(∂(ρz)∂θ
−∂(ρz sin θ)
∂z
)ρ+
(∂ρ
∂z−∂(ρz)∂ρ
)θ +
1ρ
(∂(ρz sin θ)
∂ρ−∂ρ
∂θ
)k
= −sin θρ− zθ +z sin θ
ρk .
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Rotacional em coordenadas cilíndricas: exemplo 2
I Exerc. 7, Lista 5: Um fio ao longo do eixo z transporta uma corrente I. Opotencial vetorial magnético é dado por
A =µI2π
ln
(1ρ
)k .
Mostre que a indução magnética B(= ∇× A) = µI2πρ θ.
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Rotacional em coordenadas cilíndricas: exemplo 2
I
B = ∇× A =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
Aρ ρAθ Az
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
∣∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
0 0 µI2π ln
(1ρ
)∣∣∣∣∣∣∣
I
=1ρρ
∣∣∣∣∣∂∂θ
∂∂z
0 µI2π ln
(1ρ
)∣∣∣∣∣+ 1ρρθ
∣∣∣∣∣∂∂z
∂∂ρ
µI2π ln
(1ρ
)0
∣∣∣∣∣+ 1ρ
k∣∣∣∣ ∂∂ρ ∂
∂θ
0 0
∣∣∣∣= 0ρ−
µI2π
∂ ln(
1ρ
)∂ρ
θ + 0k
= −µI2π
11ρ
(−
1ρ2
)θ
=µI
2πρθ 2
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Rotacional em coordenadas cilíndricas: exemplo 2
I
B = ∇× A =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
Aρ ρAθ Az
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
∣∣∣∣∣∣∣ρ ρθ k∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
0 0 µI2π ln
(1ρ
)∣∣∣∣∣∣∣
I
=1ρρ
∣∣∣∣∣∂∂θ
∂∂z
0 µI2π ln
(1ρ
)∣∣∣∣∣+ 1ρρθ
∣∣∣∣∣∂∂z
∂∂ρ
µI2π ln
(1ρ
)0
∣∣∣∣∣+ 1ρ
k∣∣∣∣ ∂∂ρ ∂
∂θ
0 0
∣∣∣∣= 0ρ−
µI2π
∂ ln(
1ρ
)∂ρ
θ + 0k
= −µI2π
11ρ
(−
1ρ2
)θ
=µI
2πρθ 2
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Rotacional em coordenadas esféricas
I Coordenadas esféricas. Vetores coordenados:
~e1 = ~er =∂r∂r
= sin θ cosφı+ sin θ sinφ+ cos θk = r
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= r cos θ cosφı+ r cos θ sinφ− r sin θk
~e3 = ~eφ =∂r∂φ
= −r sin θ sinφı+ r sin θ cosφ.
I Fatores de escala:
hr = h1 = ‖~e1‖ = 1
hθ = h2 = ‖~e2‖ =
√r2 cos2 θ cos2 φ+ r2 cos2 θ sin2 φ+ r2 sin2 θ = r
hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.
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Rotacional em coordenadas esféricas
I Coordenadas esféricas. Vetores coordenados:
~e1 = ~er =∂r∂r
= sin θ cosφı+ sin θ sinφ+ cos θk = r
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= r cos θ cosφı+ r cos θ sinφ− r sin θk
~e3 = ~eφ =∂r∂φ
= −r sin θ sinφı+ r sin θ cosφ.
I Fatores de escala:
hr = h1 = ‖~e1‖ = 1
hθ = h2 = ‖~e2‖ =
√r2 cos2 θ cos2 φ+ r2 cos2 θ sin2 φ+ r2 sin2 θ = r
hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.
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Rotacional em coordenadas esféricas
I Portanto, dado o campo vetorialF(r , θ, φ) = Fr (r , θ, φ)r + Fθ(r , θ, φ)θ + Fφ(r , θ, φ)φ, temos
∇× F =1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣h1e1 h2e2 h3e3∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Fr rFθ r sin θFφ
∣∣∣∣∣∣
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Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 3
I Casca esférica rotativa com carga uniforme
American J. Phys. 84, 181 (2016); https://doi.org/10.1119/1.4936633
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Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 3
I O potencial vetorial magnético é dado por
A = ζ0sin θ
r2φ r > a.
Calcule a indução magnética B.
I Aqui ζ0 = constante =µ0a4σω
3 , onde a = raio da casca esférica,σ = densidade superficial de carga elétrica,ω = velocidade angular.
I
∇× F =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Fr rFθ r sin θFφ
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 r sin θζ0sin θr2
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 ζ0sin2 θ
r
∣∣∣∣∣∣∣
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Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 3
I O potencial vetorial magnético é dado por
A = ζ0sin θ
r2φ r > a.
Calcule a indução magnética B.
I Aqui ζ0 = constante =µ0a4σω
3 , onde a = raio da casca esférica,σ = densidade superficial de carga elétrica,ω = velocidade angular.
I
∇× F =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Fr rFθ r sin θFφ
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 r sin θζ0sin θr2
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 ζ0sin2 θ
r
∣∣∣∣∣∣∣
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 3
I O potencial vetorial magnético é dado por
A = ζ0sin θ
r2φ r > a.
Calcule a indução magnética B.
I Aqui ζ0 = constante =µ0a4σω
3 , onde a = raio da casca esférica,σ = densidade superficial de carga elétrica,ω = velocidade angular.
I
∇× F =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Fr rFθ r sin θFφ
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 r sin θζ0sin θr2
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 ζ0sin2 θ
r
∣∣∣∣∣∣∣
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 3
I
B = ∇× A =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 ζ0sin2 θ
r
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
ζ0 r∂(
sin2 θr
)∂θ
+ r θ
−ζ0
∂(
sin2 θr
)∂r
=
1r2 sin θ
ζ0
rr∂(sin2 θ
)∂θ
− ζ0r sin2 θθ
∂(
1r
)∂r
=
1r2 sin θ
[ζ0
rr 2 sin θ cos θ − ζ0r sin2 θθ
(−
1r2
)]=
ζ0
r2 sin θ
[2 sin θ cos θ
rr +
sin2 θ
rθ
]
=ζ0
r3
[2 cos θr + sin θθ
].
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 4
I Exerc. 13, Lista 5: Mostre que A = − cot θr φ é solução de ∇× A = r
r2 . Usecoordenadas esféricas.
I
B = ∇× A =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Ar rAθ r sin θAφ
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 r sin θ cot θr
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
[r∂ (cos θ)
∂θ
]=
1r2 sin θ
[r∂ (cos θ)
∂θ
]=
1r2 sin θ
[− sin θr ]
= −rr2.
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Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 4
I Exerc. 13, Lista 5: Mostre que A = − cot θr φ é solução de ∇× A = r
r2 . Usecoordenadas esféricas.
I
B = ∇× A =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Ar rAθ r sin θAφ
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 0 r sin θ cot θr
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
[r∂ (cos θ)
∂θ
]=
1r2 sin θ
[r∂ (cos θ)
∂θ
]=
1r2 sin θ
[− sin θr ]
= −rr2.
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 5
I Calcule o rotacional do campo vetorial F(r , θ, φ) = r θ + φ.I Aqui Fr = 0, Fθ = r e Fφ = 1.I Portanto,
∇× F =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Fr rFθ r sin θFφ
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 r2 r sin θ
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
[r∂ (rsin θ)
∂θ− r θ
(∂ (r sin θ)
∂r
)+ r sin θφ
(∂(r2)∂r
)]
=1
r2 sin θ
[rcos θ r − r sin θθ + 2r2 sin θφ
]=
cot θ
rr −
1rsin θθ + 2φ.
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Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 5
I Calcule o rotacional do campo vetorial F(r , θ, φ) = r θ + φ.I Aqui Fr = 0, Fθ = r e Fφ = 1.I Portanto,
∇× F =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Fr rFθ r sin θFφ
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 r2 r sin θ
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
[r∂ (rsin θ)
∂θ− r θ
(∂ (r sin θ)
∂r
)+ r sin θφ
(∂(r2)∂r
)]
=1
r2 sin θ
[rcos θ r − r sin θθ + 2r2 sin θφ
]=
cot θ
rr −
1rsin θθ + 2φ.
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Rotacional em coordenadas esféricas: exemplo 5
I Calcule o rotacional do campo vetorial F(r , θ, φ) = r θ + φ.I Aqui Fr = 0, Fθ = r e Fφ = 1.I Portanto,
∇× F =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
Fr rFθ r sin θFφ
∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣r r θ r sin θφ∂∂r
∂∂θ
∂∂φ
0 r2 r sin θ
∣∣∣∣∣∣∣=
1r2 sin θ
[r∂ (rsin θ)
∂θ− r θ
(∂ (r sin θ)
∂r
)+ r sin θφ
(∂(r2)∂r
)]
=1
r2 sin θ
[rcos θ r − r sin θθ + 2r2 sin θφ
]=
cot θ
rr −
1rsin θθ + 2φ.