AULA 2 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II
Fonte: Anton, Stewart, Thomas. Material Daniela Buske
Prof. Guilherme J. WeymarCEng - UFPel
Vetores:
Componentes de um vetor
Operações algébricas com vetores
Vetores unitários
TÓPICOS:
Algumas das coisas que medimos são determinadas simplesmente pela sua
magnitude. Por exemplo:
para registrar a massa, o comprimento ou o tempo precisamos apenas
escrever um nº e especificar uma unidade de medida apropriada;
para descrever uma força, um deslocamento ou uma velocidade
precisamos de mais informação:
a) Força: precisamos registrar a direção e o sentido nos quais ela atua, bem
como seu tamanho;
b) Deslocamento de um corpo: temos de dizer em qual direção ele se moveu,
assim como a distância percorrida;
c) Velocidade de um corpo: temos de saber aonde o corpo está indo, como
também qual é a rapidez do movimento.
Introdução:
Vetor e suas componentes:
O termo vetor é usado por cientistas
para indicar quantidades tais como
deslocamento ou velocidade ou força
que tenham ao mesmo tempo
grandeza, magnitude, direção e sentido.
Por exemplo:
a) um vetor força aponta na direção na qual ela é aplicada e seu
comprimento é a medida da sua intensidade;
b) um vetor velocidade aponta na direção e no sentido do movimento
e seu comprimento é a velocidade do objeto que se move.
A seta do vetor aponta a direção e o sentido da ação, seu comprimento
fornece a magnitude da ação em termos de uma unidade adequada
escolhida.
Exemplo:
As setas que usamos quando desenhamos vetores representam o
mesmo vetor se têm o mesmo comprimento, são paralelas e apontam
para o mesmo sentido independentemente do ponto inicial.
Exemplo ... Vetor com pto inicial não na origem
A magnitude ou comprimento do vetor é o comprimento de
qualquer uma das representações equivalentes de seus segmentos de
reta orientados.
Em particular, se é o vetor posição para
então a fórmula da distância dá a magnitude ou comprimento de v,
denotada pelo símbolo |v| ou ||v|| (também chamado de norma
de v).
OBS.: o único vetor com comprimento 0 é o vetor nulo 0=<0,0> ou 0=<0,0,0> e
o único sem direção específica.
Exemplo ...
Operações com vetores:
Soma de vetores:
Multiplicação porescalar:
Diferençade vetores:
Uma aplicação importante de vetores ocorre em navegação:
Vetores unitários:
Um vetor v de comprimento 1 é chamado vetor unitário.
Os vetores unitários padrão são: i = <1,0,0>, j = <0,1,0> e k = <0,0,1>.
Qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear
dos vetores unitários padrão da seguinte forma:
Exemplo ...
Chamamos o escalar (ou nº) de componente i do vetor v, é a
componente j e a componente k.
Sempre que , o seu comprimento |v| não é zero e
Ou seja, v/|v| é um vetor unitário na direção de v chamado
direção ou versor do vetor não-nulo v.
O processo de multiplicação de um vetor v pelo recíproco de
seu comprimento para obter um vetor unitário com a mesma
direção e sentido é chamado de normalização de v.
Resumo:
Ponto médio de um segmento de reta: