Aula Teorica 5: Resposta dinâmica dos Sistemas Lineares
Conteudo• Noções de estabilidade• Dinâmica dos Sistemas de 1a ordem• Dinâmica dos Sistemas de 2a ordem• Sistemas de Ordem Superior
A resposta no tempo de um sistema de controle se divide em duas partes
)()()( 1 tYtYtY ss
A resposta transitória
A resposta em estado estável
Como a massa , a inércia e a indutânciasão inevitáveis nos sistemas físicos estes sempre necessitam um transientepara responder
É muito importante quanto se desviam os sistemas da resposta desejada antesde estabilizar-se
A resposta em estado estável indica onde termina a saída quando o tempo se faz grande
É um indicador da exatidão do sistema, se a saída para final não coincide com a referência há um erro em estado estável
O estudo da resposta transitória envolve a ambos e os requisitos de desenho também
Entradanos sistemas de controle práticos podem variar de forma aleatória e muitas vezes não se conhecem
Exemplo
Em um sistema de rastreamento por radar de mísseis anti-aéreos a posição e a velocidade do branco pode variar de forma imprevisível
Estabeleceram-se um conjunto de sinais de prova, mediante as quais se pode predizer o que aconteceria outros sinais
Sinais de entradas tipicas para obter respostas no tempo em sistemas de controle
Solução ao problema
Problema
Sinais típicos de prova
Entrada degrau
Ao ter um salto instantâneo inicial revela que tão rápido osistema responde a entradas bruscas
Como resultado da discontinuidad do salto, a função contém um espectro com uma banda larga de freqüências, o que é equivalente a um sem número de sinais senoidales com um intervalo de freqüências grandes
1-
observações
Entrada rampa2-
Serve para provar como se comportam os sistemas a sinais que variam linealmente com o tempoobservação
Entrada parabólica3-
Representa um sinal que tem uma ordem mais rápida que a rampa
observação
Até aqui
Tivemos sinais de prova típicas
Tivemos funções de transferências típicas
DegrauRampa Parábola
1
1)(
S
sG
22
2
2)(
nn
n
wSwS
wsG
constante de tempo
razão de amortização
freqüência natural deoscilação
nwTeremos respostas transitivas típicas
Resposta transitoria de sistemas de primeira ordem
Na aula só demonstraremos a obtenção da resposta ao degrau, fica para trabalho independente a obtenção por parte do aluno da resposta às outras duas entradas
Nota:
STSLtY
STSsY
SsX
TSsX
sY
1*
1
1)(
1*
1
1)(
unitáriodegrau 1
)(
1
1
)(
)(
1 Consulta em uma tabela de transformada
T
t
etY
1)(
T
t
etY
1)(Expressão analítica
Representação gráfica
Valor inicial
Valor final
0t
tObserve
Quando o tempo transcorridoé o equivalente a umaconstante de tempo
Quando o tempo transcorrido é o equivalente a 4 constantes de tempo
VftY *632.0)(
VftY *982.0)(
Notas importantes
Conhece-se como constante de tempo de um sistema, o tempo que a resposta deste sistema a uma entrada degrau alcança o 63,2% do valor final
Conhece-se como tempo de estabelecimento , ao tempo que demora a resposta deste sistema entrada degrau em alcançar o 98 % do valor final
Tts 4
Existem outros critérios relacionados com o tempode estabelecimento, associados aos 95% e ao 99%que são menos usados
TPCOs alunos devem obter a resposta analítica e gráfica do sistema de primeira ordem às outras entradas mencionadas em aula
Os alunos devem estudar e aprender a entrada de prova nomeada impulso e obter a resposta analítica e gráfica do sistema de primeira ordem para esta entrada
Resposta transitoria de sistemas de segunda ordem
Nota: Na aula só demonstraremos a obtenção da resposta ao degrau, fica para trabalho independente a obtenção por parte do aluno da resposta às outras duas entradas
SwSwS
wLtY
SwSwS
wsY
SsX
wSwS
w
sX
sY
nn
n
nn
n
nn
n
1*
2)(
1*
2)(
1)(
2)(
)(
22
21
22
2
22
2
Observe
SpSpS
wLtY n 1
*))((
)(21
21
Quais são p1 e p2?
1
2
442
2
222
2,1
nn
nnn
ww
wwwp
Agora bem
nwppSi 21 1 raízes reais e iguais
1 1 22,1 nn wwpSi raízes reais e desiguais
22,1 1 1 nn jwwpSi raízes complexas conjugadas
Transformada-a inversa será também distinta
Então
Se as raízes forem de distinto tipo
Y (t)
1
1
1raízes complexas conjugadas
raízes reais e desiguais
raízes reais e iguais
(tabela de transformada)
sub amortecida
sobre amortecida
criticamente amortecida
Os sistemas de controle se desenham para que a resposta seja ligeiramente sub amortecida
8.04.0 Por isso nos deteremos com maior interesse neste tipo de resposta
Tempo de retardo td É o tempo requerido para que a resposta alcance a primeira vez a metade do valor final
Tempo de levantamento tr
É o tempo requerido para que a resposta passe do 10 aos 90%, do 5 aos 95% ou do 0 aos 100% de seu valor final
Tempo de Pico tp
É o tempo requerido para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapasso
Tempo de assentamento ts
É o tempo requerido para que a resposta alcance uma fila ao redor do valor final ( de 2 a 5%)
Ultrapasso máximo Mp
indica por quanto excede a resposta ao valor final ao que ela tende
1
Se conhecermos todas estas especificações a resposta transitiva fica definitivamente determinadas
nw
Todas as especificações podem obter-se da expressão matemática da respostade um sistema de segunda ordem típica sub amortecido
em função dos valores da razão de amortização e da freqüência natural de oscilação
Fazendo esta representação para as raízes complexas conjugadas
12 nn ww
dParte real
Parte imaginária
Tivemos
percentual
Importante : essa constante de tempo T é a que lhe corresponde à curva envolvente da resposta sub amortecida
Exemplo
Conhecendo o diagrama de blocos de um sistema de controle como o que se mostra, determine as especificações da resposta transitiva a entrada degrau unitário
Primeiro passo Encontrar a função de transferência que relaciona a entrada e a saída
256
25
)6(25
1
)6(25
)(
)(2
SS
SS
SSsR
sC
Segundo passo Identificar os valores para a razão de amortização e a freqüência natural
5 25 n2 n
6.05*2
6 62 n
Terceiro passo Calcular as especificações segundo as expressões conhecidas
segtnn
n
n
d
d
dr 55.0
1
1tan
1
1tantan
2
21
2
21
1
segtnd
p 78.01 2
%)4.9( 094.021
eM p
segtn
s 33.14
Observações Importantes
+
te 5
te 10produz
decai mais rápido
Se um sistema é estável, então os pólos que estão longe do eixo jω tem partes reais negativas de valor grande, e os termos exponenciais correspondentes a estes pólos decaem rapidamente a zero.
Algumas ideia
Se as relações entre as partes reais dos pólos excedem cinco e não existem zeros na vizinhança, então os pólos de malha fechada mais próximos do eixo jω dominarão a resposta transitória.
o mais distante do eixo jω échamado DOMINADO.
Sim Não21
2 p
p6
1
2 p
p
Este pólo chamado DOMINANTE
EXEMPLO:
Resposta ao degrau unitário:
Este sistema é dominante de segunda ordem, pois o pólo s= - 10 está muito distante do eixo jω.
(Sistema de terceira ordem)
Podemos fazer uma aproximação para um sistema de segunda ordem.
Assim
Para desprezar o efeito de um pólo em uma função de transferência,devemos fazer s=0 na parte correspondente a este pólo.
Sistema de terceira ordem Sistema de segunda ordem.
No exemplo, temos:
a resposta ao degrau unitário é:
A figura abaixo mostra as curvas exata e aproximada:
Sistema de terceira ordem
Sistema desegunda ordem.
Sempre é assim?
Dizia
Esta frase condiciona o que segue
Que é estabilidade?
“Um sistema qualquer é estável se e somente se para toda e qualquer entrada limitada, a saída correspondente também for limitada”.
Definição
Retomamos o exemplo
Era este Se fosse este
Qual é a diferença entre as funções de transferência?
Qual é a diferença entre as resposta à entrada degrau?
A que conclusão se pode chegar?
“Um sistema linear a malha fechada, invariante no tempo, a parâmetros concentrados é estável se e somente se todos os pólos de sua função de transferência de malha fechada estão no semiplano esquerdo aberto do plano complexo s”.
¡¡¡conceito muito importante!!!
Quais sao os pólos de malha fechada?
Recordemos que a função de transferência de laço fechado de um sistema é
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
A equação característica:
As raízes da equação característica são os pólos de C(s)/R(s)
Concluindo
Ao início da aula se traçou que a resposta no tempo tem duas partes, da segunda não falamos, fica para aulas posteriores
A resposta no tempo que um sistema oferece muitas vezes não é apropriada segundo as necessidades do processo a controlar portanto terá que modificá-la, isso também é objetivo de aulas posteriores
A obtenção das especificações hoje vista se podem obter analiticamente e também simulada no ambiente do MATLAB, ambas as coisas as faremos em aulas posteriores também
Informacao Importante
Os estudantes devem obter o Matlab para as proximas aulas