Download pdf - Autovalores V0.2 V0goldfeld/cursos/2008.1/alglin/slides/...Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1/25 Autovalores V0.2 → V0.3 Motivando com Geometria Deﬁnição

AutovaloresV0.2→ V0.3

MotivandocomGeometria

Definição

Calculando

AplicaçõesDiagonalização

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e T v são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25



Definição

Calculando



Introdução


Exemplo



T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)


T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)





Definição

Calculando



Introdução


Exemplo



T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)


T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)





Definição

Calculando



Introdução


Exemplo



T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)


T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)





Definição

Calculando



Introdução


Exemplo



T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)


T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)





Definição

Calculando



Introdução


Exemplo



T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)


T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)





Definição

Calculando



Introdução


Exemplo



T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)


T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)





Definição

Calculando



Introdução


Exemplo



T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)


T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)





Definição

Calculando



Exemplos

Exemplo

T uma rotação de 90◦ =⇒ T (x , y) = (y ,−x).

Incluir Figura: rotação de 90 graus

Nenhuma direção é preservada!




Definição

Calculando



Exemplos

Exemplo







Definição

Calculando



Exemplos

Exemplo







Definição

Calculando



Definição Autovalor e Autovetor

Definição

Seja T : V → V TL. Dizemos que0 6= v ∈ V é autovetor associado ao autovalor λse Tv = λv.

Observação

λ pode ser zero, mas v não!(Se v = 0, então Tv = λv ∀λ.)




Definição

Calculando




Definição


Observação





Definição

Calculando




Definição


Observação





Definição

Calculando



Definição Autoespaço

Se T v = λv então T v− λv = T v− (λI)v = 0.

Logo (T − λI)v = 0.

Portanto v ∈ N(T − λI).

Definição

O autoespaço associado a λ é N(T − λI).

Observação

autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}




Definição

Calculando







Definição


Observação





Definição

Calculando







Definição


Observação





Definição

Calculando







Definição


Observação





Definição

Calculando







Definição


Observação





Definição

Calculando







Definição


Observação





Definição

Calculando



Como calcular autovalores e autoespaços?

Dado λ, calculamos seu autoespaço: N(T − λI).

Mas como encontrar um autovalor λ?

T v = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒

N(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0

De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.




Definição

Calculando






T v = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒






Definição

Calculando






T v = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒






Definição

Calculando






T v = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒






Definição

Calculando






T v = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒






Definição

Calculando






T v = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒






Definição

Calculando






T v = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒






Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaços de

T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].

1 det(A− λI) = det[

(1− λ) −1−1 (1− λ)

]= (1− λ)2 − 1

= (λ− 0)(λ− 2).2 Calculando autoespaço para λ = 0:

Resolvemos o sistema (A− 0I)x = 0.3 Calculando autoespaço para λ = 2:

Resolvemos o sistema (A− 2I)x = 0.




Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo


T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].


(1− λ) −1−1 (1− λ)

]= (1− λ)2 − 1







Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo


T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].


(1− λ) −1−1 (1− λ)

]= (1− λ)2 − 1







Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo


T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].


(1− λ) −1−1 (1− λ)

]= (1− λ)2 − 1







Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo


T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].


(1− λ) −1−1 (1− λ)

]= (1− λ)2 − 1







Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo


T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].


(1− λ) −1−1 (1− λ)

]= (1− λ)2 − 1







Definição

Calculando



Definição Polinômio Característico

Definição

p(λ) = det(T − λI) é um polinômio em λ, chamadopolinômio característico de T . O grau de p(λ) é igual àdimensão do espaço.

Lema

O polinômio característico independe da base escolhida:det([T ]β − λI) = det([T ]γ − λI)




Definição

Calculando




Definição


Lema





Definição

Calculando




Definição


Lema





Definição

Calculando



Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A− λI)P−1)

= det(P) det(A− λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A− λI)= det(A− λI)




Definição

Calculando




Prova










Definição

Calculando




Prova










Definição

Calculando




Prova










Definição

Calculando




Prova










Definição

Calculando




Prova










Definição

Calculando




Prova










Definição

Calculando




Prova










Definição

Calculando




Prova










Definição

Calculando



Resumo do Cálculo

Determinamos os zeros do polinômio det(T − λI) = 0para achar autovalores;Substituímos os autovalores na equação (T − λI)v = 0para determinar os autovetores v .




Definição

Calculando



Resumo do Cálculo

Determinamos os zeros do polinômio det(T − λI) = 0para achar autovalores;Substituímos os autovalores na equação (T − λI)v = 0para determinar os autovetores v .




Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo

Calcule os autovetores de

T (x , y , z) =

3 −1 01 1 01 0 −1

xyz

.




Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo

Calcular autovalores e autovetores de uma projeção e deuma reflexão




Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo

Note que uma rotação não possui autovalores reais. Istoindica que NENHUMA direção é preservada. (Exceto paramúltiplos de π radianos.)




Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo

T : V → V, (V funções reais diferenciáveis) definidapor Tv = v ′.Qual autovetor (chamada também de autofunção)associado ao autovalor 3? Isto é, para qual função v,v ′ = 3v?v(t) = exp(3t) pois v ′(t) = 3 exp(3t), isto é, v ′ = 3v.




Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo





Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo





Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo





Definição

Calculando



Multiplicidade

Teorema (Teorema Fundamental da Álgebra)

Um polinômio de grau n tem exatamente n raízes (nãonecessariamente distintas) sobre o corpo dos complexos,isto é, existem números complexos, λ1, . . . , λn, tais que

n∑k=0

akλk = an(λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λn) ∀λ,

onde λk ’s são números complexos. Esta fatoração é única(a menos da ordem).




Definição

Calculando



Multiplicidade

Agrupando-se termos repetidos, temos

n∑k=0

akλk = an(λ− λ̃1)m1 · · · (λ− λ̃p)mp ∀λ,

onde λ̃1, . . . , λ̃p são raízes distintas e mk é a multiplicidadeda raiz λ̃k .

Definição (Multiplicidade (Algébrica))

Se λ1 é raiz de multiplicidade m1 do polinômiocaracterístico de T , pT

c , diz-se que λ1 é autovalor demultiplicidade λ1 de T .




Definição

Calculando



Multiplicidade

Agrupando-se termos repetidos, temos

n∑k=0

akλk = an(λ− λ̃1)m1 · · · (λ− λ̃p)mp ∀λ,

onde λ̃1, . . . , λ̃p são raízes distintas e mk é a multiplicidadeda raiz λ̃k .

Definição (Multiplicidade (Algébrica))

Se λ1 é raiz de multiplicidade m1 do polinômiocaracterístico de T , pT

c , diz-se que λ1 é autovalor demultiplicidade λ1 de T .




Definição

Calculando



Diagonalização

Definição

Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base β talque [T ]β é uma matriz diagonal.

Teorema

T : V → V é diagonalizável se, e somente se, V possuiuma base de autovetores de T .




Definição

Calculando



Diagonalização

Definição


Teorema





Definição

Calculando



Diagonalização

Definição


Teorema





Definição

Calculando



Diagonalização

Lema

Autovetores associados a autovalores distintos sãolinearmente independentes, ou seja,se 0 6= vk e T vk − λkvk , k = 1, . . . , p, com λk ’s distintos,então {v1, . . . , vp} é LI.




Definição

Calculando



Diagonalização

Prova

Suponha falsa a tese. Neste caso, seja 2 ≤ r ≤ p mínimotal que vr é c.l. dos anteriores: vr =

∑k<r

αkvk . Temos então:

T vr = λr vr ⇒ T

(∑k<r

αkvk

)= λr

∑k<r

αkvk ⇒

∑k<r

λkαkvk =∑k<r

λrαkvk ⇒∑k<r

(λk − λr )αkvk = 0

Mas isto implica que v1, . . . , vr−1 são LD, o que contraria aminimalidade de r .




Definição

Calculando



Diagonalização

Prova


∑k<r


T vr = λr vr ⇒ T

(∑k<r

αkvk

)= λr

∑k<r

αkvk ⇒

∑k<r

λkαkvk =∑k<r

λrαkvk ⇒∑k<r






Definição

Calculando



Diagonalização

Prova


∑k<r


T vr = λr vr ⇒ T

(∑k<r

αkvk

)= λr

∑k<r

αkvk ⇒

∑k<r

λkαkvk =∑k<r

λrαkvk ⇒∑k<r






Definição

Calculando



Diagonalização

Prova


∑k<r


T vr = λr vr ⇒ T

(∑k<r

αkvk

)= λr

∑k<r

αkvk ⇒

∑k<r

λkαkvk =∑k<r

λrαkvk ⇒∑k<r






Definição

Calculando



Diagonalização

Prova


∑k<r


T vr = λr vr ⇒ T

(∑k<r

αkvk

)= λr

∑k<r

αkvk ⇒

∑k<r

λkαkvk =∑k<r

λrαkvk ⇒∑k<r






Definição

Calculando



Diagonalização

Prova


∑k<r


T vr = λr vr ⇒ T

(∑k<r

αkvk

)= λr

∑k<r

αkvk ⇒

∑k<r

λkαkvk =∑k<r

λrαkvk ⇒∑k<r






Definição

Calculando



Diagonalização

Para diagonalizar uma TL:1 Calcular os autovalores

(raízes do polinômio caractertístico)2 Encontrar bases para autospaços

(resolver sistemas homogêneos)3 Juntar os vetores de todas as bases: se forem

suficientes (n vetores), esta base diagonaliza T ; casocontrário, T não é diagonalizável.

Corolário

Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovaloresdistintos então T é diagonalizável.




Definição

Calculando



Diagonalização





Corolário





Definição

Calculando



Diagonalização





Corolário





Definição

Calculando



Diagonalização





Corolário





Definição

Calculando



Diagonalização





Corolário





Definição

Calculando



Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 1 −2−2 0 4

0 0 2

.




Definição

Calculando



Condição de Diagonalizabilidade

Teorema

A dimensão de um autoespaço é menor ou igual àmultiplicidade algébrica do autovalor associado.




Definição

Calculando




Prova

Sejam λ1 autovalor de T : V → V e µ1 a dimensão doautoespaço H1 associado a λ1. Seja β = {v1, . . . , vn} umabase de V tal que {v1, . . . , vµ1} é base de H1. Neste caso,

temos que [T ]β =

[λ1I A120 A22

]e assim

pTc (λ) =

∣∣∣∣ (λ1 − λ)I A120 A22 − λ1I

∣∣∣∣=

∣∣ (λ1 − λ)I∣∣ ∣∣ A22 − λ1I

∣∣ = (λ1 − λ)µ1q(λ)

= ± (λ− λ1)m1 · · · (λ− λp)mp .

Portanto µ1 ≤ m1.




Definição

Calculando




Prova


temos que [T ]β =

[λ1I A120 A22

]e assim

pTc (λ) =

∣∣∣∣ (λ1 − λ)I A120 A22 − λ1I

∣∣∣∣=

∣∣ (λ1 − λ)I∣∣ ∣∣ A22 − λ1I

∣∣ = (λ1 − λ)µ1q(λ)

= ± (λ− λ1)m1 · · · (λ− λp)mp .





Definição

Calculando




Prova


temos que [T ]β =

[λ1I A120 A22

]e assim

pTc (λ) =

∣∣∣∣ (λ1 − λ)I A120 A22 − λ1I

∣∣∣∣=

∣∣ (λ1 − λ)I∣∣ ∣∣ A22 − λ1I

∣∣ = (λ1 − λ)µ1q(λ)

= ± (λ− λ1)m1 · · · (λ− λp)mp .





Definição

Calculando




Prova


temos que [T ]β =

[λ1I A120 A22

]e assim

pTc (λ) =

∣∣∣∣ (λ1 − λ)I A120 A22 − λ1I

∣∣∣∣=

∣∣ (λ1 − λ)I∣∣ ∣∣ A22 − λ1I

∣∣ = (λ1 − λ)µ1q(λ)

= ± (λ− λ1)m1 · · · (λ− λp)mp .





Definição

Calculando




Prova


temos que [T ]β =

[λ1I A120 A22

]e assim

pTc (λ) =

∣∣∣∣ (λ1 − λ)I A120 A22 − λ1I

∣∣∣∣=

∣∣ (λ1 − λ)I∣∣ ∣∣ A22 − λ1I

∣∣ = (λ1 − λ)µ1q(λ)

= ± (λ− λ1)m1 · · · (λ− λp)mp .





Definição

Calculando




Prova


temos que [T ]β =

[λ1I A120 A22

]e assim

pTc (λ) =

∣∣∣∣ (λ1 − λ)I A120 A22 − λ1I

∣∣∣∣=

∣∣ (λ1 − λ)I∣∣ ∣∣ A22 − λ1I

∣∣ = (λ1 − λ)µ1q(λ)

= ± (λ− λ1)m1 · · · (λ− λp)mp .





Definição

Calculando




Prova


temos que [T ]β =

[λ1I A120 A22

]e assim

pTc (λ) =

∣∣∣∣ (λ1 − λ)I A120 A22 − λ1I

∣∣∣∣=

∣∣ (λ1 − λ)I∣∣ ∣∣ A22 − λ1I

∣∣ = (λ1 − λ)µ1q(λ)

= ± (λ− λ1)m1 · · · (λ− λp)mp .





Definição

Calculando




Prova


temos que [T ]β =

[λ1I A120 A22

]e assim

pTc (λ) =

∣∣∣∣ (λ1 − λ)I A120 A22 − λ1I

∣∣∣∣=

∣∣ (λ1 − λ)I∣∣ ∣∣ A22 − λ1I

∣∣ = (λ1 − λ)µ1q(λ)

= ± (λ− λ1)m1 · · · (λ− λp)mp .





Definição

Calculando




Corolário (condição de diagonalizabilidade)

Uma TL é diagonalizável se e somente se a dimensão decada um dos autoespaços é igual à multiplicidade algébricado autovalor a ele associado.




Definição

Calculando



Calculando potência de matrizes

Se A = PDP−1 é diagonalizável podemos calcularfacilmente Ak .por exemplo A2 = (PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)DP−1 = PDDP−1 = PD2P−1.calcular D2 é fácil: basta calcular o quadrado doselementos da diagonal.outro exemplo A3 = (PDP−1)(PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDDDP−1 = PD3P−1.de forma geral, Ak = PDkP−1.




Definição

Calculando








Definição

Calculando








Definição

Calculando








Definição

Calculando








Definição

Calculando








Definição

Calculando



Exemplo de potência

Exemplo

Calcule A10 para A =

[1 22 1

].
