Axiomas de los números reales
Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de
una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en
consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares
fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la
veracidad de cualquier afirmación.
Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto,
afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en
ocasiones ser demostradas cuando no lo son.
El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco
intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas
ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.
Hay tres tipos de axiomas:
Los axiomas algebraicos
Los axiomas de orden
El axioma topológico.
El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el
segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre
la noción de continuidad.
Existe un conjunto que tiene estas propiedades. Nace entonces el primer axioma
Axioma Fundamental
Existe un conjunto que denotaremos por que satisface los tres tipos de
axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.
El conjunto que cumple con estas propiedades se llama El conjunto de los Números Reales y serán los axiomas de este conjunto, las bases de lo que es quizás la rama más
importante de la matemática: el Cálculo
Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se
demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo:
Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.
Axiomas Algebraicos
Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos
en dos tipos: los de suma y producto.
1. Axiomas de la suma
Axioma
A1.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado
por que llamamos la suma de e .
A1.2 para todo .
A1.3 para todo .
A1.4 Existe un elemento de , denotado por tal que para todo
.
A1.5 Para cada existe un tal que .
2. Axiomas del producto
Axioma
A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado
por que llamaremos el producto de e .
A2.2 para todo .
A2.3 para todo .
A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por tal que
A2.5 Para cada tal que no sea cero, existe un tal que .
Análisis axiomático
El axioma (1.2) conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de
los sumandos no altera el valor de la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es válido sólo
para sumas finitas.
El axioma (1.3) conocido como propiedad asociativa de la suma dice que la
asociacion de la suma no altera el valor de ésta.
El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los números reales que, al ser
sumado con cualquier número real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y
se conoce también como el elemento neutro aditivo de este conjunto.
El axioma (1.5) dice que dado un número real cualquiera existe otro (único) tal
que la suma de ambos es nula. Si este elemento es , el número tal que la suma de éste y el
otro número sea cero es . Este elemento se llama inverso aditivo de .
El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto.
El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el
producto. Esta propiedad se conoce como propiedad asociativa de la multiplicación.
El axioma (2.4) dice que existe un número real tal que el producto de éste con
otro real, sigue siendo este último. Este elemento denotado por se conoce como neutro multiplicativo.
El axioma (2.5) dice que para cualquier real no nulo, existe otro, tal que el
producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por
se conoce como inverso multiplicativo de .
Axiomas de Orden
Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de
los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los
naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su
cardinalidad es menor o igual que otra.
Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo que nos
dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo que ya
conocemos.
Se dirá que o sólo si es menor que . O dicho de otra forma, si es
mayor que .
De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto tal que
si y sólo si .
Se dan a continuación los Axiomas de Orden
Axioma
O1.1 Si , entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones:
; ;
O1.2 Si y además , entonces .
O1.3 Si , entonces para todo
O1.4 Si y , entonces .
Análisis axiomático
El axioma (1.2) dice geométricamente que si está a la izquierda de y éste a
su vez a la izquierda de , entonces debe estar a la izquierda de . Esta interpretación es
bastante útil.
Axioma topológico
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con
esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por
ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente.
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
Análisis axiomático
Hay varios conceptos en esta breve afirmación (pero muy importante), que deben
conocerse para entender el significado de este axioma. Éstos, son los de sucesión,
creciente, acotado superiormente y convergencia.
Axiomas básicos de la geometría Además de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geométrico,
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostración por resultar evidentes, a
dichos postulados los llamaremos axiomas. Los axiomas también resultan ser entonces el
punto de partida, todas los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán
demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los conceptos primitivos y los
axiomas para validarlos. Estos nuevos postulados recibirán el nombre de teoremas, y
entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o
propiedades.
Axiomas
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita
demostración.
Los axiomas y los conceptos primitivos son la base fundamental de la geometría.
Axiomas básicos
1- El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas.
3- La recta tiene infinitos puntos.
4- Por un punto pasan infinitas rectas.
5- Por una recta pasan infinitos planos.
6- Por dos puntos pasa una única recta.
7- Por tres puntos no alineados pasa un único plano.
En este caso debemos aclarar que significa alineados. Tres puntos están alineados si
pertenece a una misma recta.
8- Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos
también se encuentra en el mismo plano.
Conceptos Primitivos El espacio es considerado como un conjunto, sus elementos son puntos y estos se
unen para formar las rectas y los planos, entre otras cosas. A estos cuatro conceptos;
espacio, punto, recta y plano; no los definiremos, aunque todos tenemos una idea de ellos y
conocemos objetos que los pueden representar, pero sólo representar, ya que dichos
conceptos son ideales, es decir, existen únicamente en la mente humana.
Los puntos son fundamentales en la construcción del conocimiento geométrico, no
tienen dimensión y cuando hablemos de ellos los nombraremos con letras en imprenta
mayúscula. Una marca dejada con un lápiz fino es una de las mejores representaciones de
un punto.
Las rectas se representan con letras en imprenta minúscula, y se corresponden con
líneas que no se doblan.
Los planos se representan con letras griegas y para representarlos podemos utilizar
diversas superficies planas, el piso de una habitación, la superficie de una mesa, una hoja de
block, etc.
Axiomas de Conexión I Axioma I – 1
Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Escribiremos a=AB o a=BA.
También usaremos otras formas de expresión, podemos decir que A “yace sobre” a, A
es un punto de a, a pasa por A y por B. Si A yace al mismo tiempo sobre otra recta b,
diremos que a y b tienen un punto en común, A.
Axioma I – 2
Dos puntos distintos determinan completamente una recta, esto significa que si a=AB
y a=AC, donde B≠C, entonces a=BC.
Axioma I – 3
Tres puntos distintos que no están en la misma recta, determinan completamente un
plano, escribiremos ABC=α.
Emplearemos también las expresiones, A, B y C están en α, o A, B y C son puntos de
α.
Axioma I- 4
Dados tres puntos distintos A, B y C de un plano α, que no se encuentran sobre la
misma recta, determinan completamente ese plano.
Axioma I – 5
Si dos puntos A y B de una recta a, están en el plano α, entonces todos los puntos de
a están en el plano α.
En ese caso diremos que la recta a, está en el plano α.
Axioma I – 6
Si dos planos α y β tienen un punto en común, entonces tienen un segundo punto en
común.
Axioma I- 7
En toda recta existen al menos dos puntos, en todo plano existen al menos tres puntos
que no están en la misma recta, en el espacio existen al menos cuatro puntos no todos en el
mismo plano.
Los axiomas 1 y 2 están relacionados con la geometría planas, serán llamados
axiomas del plano.
Los axiomas 3 a 7 serán llamados axiomas del espacio.
Teorema 1
Dos rectas en el plano tienen un punto en común o no tiene puntos en común; dos
planos no tienen puntos en común o tienen en una recta en común; una plano y una recta
que no está en el plano o no tienen puntos en común o tienen un punto en común.
Teorema 2
Dada una recta y punto que no está en ella, o dadas dos rectas que tienen en un
punto en común, un único plano puede pasar por ellos.
LOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA Y LOS 5 GRUPOS DE AXIOMAS Existen puntos que los designaremos con las letras A, B, C, …
Existen rectas que las designaremos con las letras a, b, c, …
Existen planos que los designaremos con letras griegas α, β, γ, …
Los puntos s on los elementos de la geometría lineal, las rectas son los elementos de
la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son los elementos de la geometría del
espacio.
Estos puntos, rectas y planos tiene relaciones entre ellos, que indicaremos con
palabras como “están situados”, “entre”, “paralelas”, “congruentes”, etc. Una completa
descripción de ellos y de sus relaciones serán consecuencias de los axiomas de la
geometría. Estos axiomas pueden ser presentados en 5 grupos, cada grupo expresa por sí
mismo relaciones fundamentales, hechos de nuestra intuición.
I – Axiomas de conexión (1 – 7)
II – Axiomas de orden (1 – 5)
III – Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides)
IV – Axiomas de congruencia (1 – 6)
V – Axioma de continuidad (Axioma de Arquímedes)
CUÁLES SON LOS 7 AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA
Los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos los cuales
deben ser definidos en función al punto, la recta y el plano.
En los diferentes tipos de geometría sintética se distinguen cuatro grupos de axiomas.
Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría
de otra
Existencia e Incidencia
Son aquellos axiomas que nos dan las condiciones para asegurar la existencia de
puntos, rectas y planos y cómo inciden unos en otros.
Para determinar una recta, son necesarios dos puntos distintos. En cambio, para
determinar un plano son necesarios tres.
Si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano. Si dos
puntos de una recta están en otra recta, ambas rectas coinciden (son la misma).
Ordenación
Estos axiomas ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos
como recta. Se dividen en:
Axioma de Ordenación: Dados tres puntos distintos sobre una recta, uno está entre los
otros dos. Asegura que todo segmento sea divisible. Si seleccionamos un punto cualquiera
en una recta, el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están
en un lado y los que están en el otro).
Axioma de Pascho: Este axioma garantiza que una recta divide a los puntos del plano
en dos categorías (los que están de un lado se considera un movimiento). Dado un triángulo
y una recta que no pasa por sus vértices, o la recta es externa al triángulo, o pasa por dos de
los lados.
Solo existe un movimiento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano
determinado por la misma en otro determinado por la otra.
Congruencia
Se definen los conceptos siguientes:
Segmento: Conjunto de puntos consecutivos limitados por otros dos puntos dentro de
una recta.
Ángulo: Un punto y un par de semirrectas que parten de él.
Sobre estos dos conceptos se postula la existencia de una relación de congruencia
que es el equivalente axiomático de los movimientos. Básicamente, dados dos segmentos o
dos ángulos, se acepta la existencia de un método que permite decir si son congruentes o
no, basado en los siguientes postulados:
Todo segmento es congruente consigo mismo.
Si un segmento es congruente con uno dado, el dado es congruente con el primero.
Si dos segmentos son congruentes con un tercero son congruentes entre ellos.
Dados dos segmentos formando un ángulo, congruentes con otros dos que forman un ángulo
congruente, al unir los extremos sueltos para formar dos triángulos, los tres lados y los tres
ángulos serán congruentes
Continuidad
Axioma de Arquímedes: Se impone que un segmento pueda dividirse en dos
indefinidamente.
Axioma de la plenitud: Se impone que el conjunto de puntos de una línea no pueda ser
ampliado mediante cierres (límites de sucesiones).
Axiomas básicos de geometría
Una axiomatización práctica la formuló Euclides y consta de 5 postulados. Más tarde,
con el advenimiento de la Teoría de conjuntos, David Hilbert propuso unos axiomas (más
formales) para la Geometría plana, que se pueden clasificar como sigue:
- Axiomas de incidencia: Relativos a si dos lugares se cortan o no
1-Para cada dos puntos distintos P y QUE existe una recta única que pasa por(indice
en) ellos.
2-Para cada recta existen al menos dos puntos distintos incidentes con ella.
3-Existen tres puntos de forma que no hay ninguna línea que pase por los tres. (es
decir, dimensión mínima = 2)
- Axiomas de orden (relativo al orden de los puntos dentro de una misma recta)
Se introduce el orden *, de forma que A*B*C se lee "B está entre A y C".
Denotaré r(A,B) la recta determinada por A y B, si A=/=B (A distinto de B)
1-Si A*B*C, entonces A,B, y C son tres puntos distintos que están en la misma recta y
además C*A*B.
2- Dados dos puntos distintos B y D, existen tres puntos A, C, y E de r(B,D), de forma
que A*B*D, B*C*D, y B*D*E.
3-Dados tres puntos distintos sobre la misma recta, sólo uno de ellos está entre los
otros dos. (orden total)
El siguiente axioma limita la dimensión a 2. Se define que dos puntos A y B están a un
mismo lado de una recta r si A=B o r(A, B) no incide con r. Se dirá que están en lados
opuestos en caso contrario.
4-(Axioma de separación de planos) Para toda recta r, y puntos A, B, y C cualesquiera,
que no estén sobre r:
(1) Si A y B están al mismo lado de r, y B y C están al mismo lado de r, entonces A y C
están al mismo lado de r.
(2) Si A y B están en lados opuestos de r, y B y C están en lados opuestos de r,
entonces A y C están en el mismo lado de r.
Este axioma es complicado, pero sólo intenta decir que una recta bisecciona el
espacio (esto no sucede en 3D dada la definición de "estar al mismo lado" dada arriba).
- Axiomas de congruencia (se refieren a la comparación de objetos)
AB==CD significará que "los segmentos AB y CD tienen la misma longitud" (o que "AB
es congruente con CD"). Un segmento PQ, dados dos puntos distintos P y Q, es el conjunto
de puntos X, de forma que P*X*Q. Denotaré por A->B (A=/=B) el rayo que va desde A hasta
B, es decir, el conjunto de puntos X tales que A*X*B o A*B*X.
C1-Si A y B son dos puntos distintos, y C un punto cualquiera, entonces para todo
rayo l que parte de C, existe un único punto D en l tal que D=/=C y AB==CD.
C2-Si AB==CD y ED==CD , entonces AB==ED (transitiva). Además todo punto es
congruente consigo mismo (reflexiva).
C3-Si A*B*C, A'*B'*C', AB==A'B', y BC==B'C', entonces AC==A'C'.
En el siguiente se usa el concepto de ángulo, que denotaré por <ABC, para un ángulo
delimitado por los rayos B->A y B->C.
C4-Dado cualquier ángulo <ABC, y cualquier rayo A'->B, existe un único rayo A'->C en
un lado dado de la recta r(A', B') tal que <BAC==<B'A'C'.
C5-Si dos ángulos <X e <Y son congruentes (tienen la misma apertura) a un tercero
<Z, entonces <X == <Y.
C6-(primer axioma sobre triángulos que, curiosamente, Euclides da como teorema) Si
dos lados de un triángulo T, que forman un ángulo <alfa, son iguales a dos lados de otro
triángulo T', que forman un ángulo <beta, y <alfa == <beta, entonces T == T' (ambos
triángulos son congruentes).
Definición: dos triángulos son congruentes si sus lados son congruentes (los tres de
cada uno y de alguna forma) y sus ángulos también lo son.
Sólo faltan los axiomas que Euclides no pudo concretar, por su dificultad:
- Axiomas de continuidad
-Axioma de Arquímedes. Nos dice que si tenemos un rayo y un punto de
AXIOMA DEL CONJUNTO VACÍO
En teoría de conjuntos, el axioma del conjunto vacío es un axioma que postula la
existencia de un conjunto vacío, es decir, un conjunto sin elementos.
Enunciado
Axioma del conjunto vacío
Mediante el axioma de extensionalidad puede demostrarse que sólo existe un conjunto
sin elementos (ya que un conjunto se define únicamente por estos), por lo que puede
hablarse con propiedad del conjunto vacío:
Consistencia relativa
El axioma del conjunto vacío (CV) es el único axioma de la teoría de conjuntos de
Zermelo-Fraenkel (ZF) y de la teoría de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) que postula
directamente la existencia de un conjunto, junto con el axioma del infinito. Precisamente este
último hace innecesario CV, pues postula también la existencia de ∅. En general, en
presencia de un axioma que postule la existencia de algún conjunto (como ocurre en lógica,
donde la existencia de al menos un objeto a veces está garantizada) CV se vuelve
redundante mediante el axioma de separación: basta con construir un subconjunto cuyos
elementos cumplan una propiedad contradictoria.
AXIOMA DEL CONJUNTO POTENCIA
En teoría de conjuntos, el axioma del conjunto potencia es un axioma que postula la
existencia del conjunto potencia de cualquier conjunto; es decir, del conjunto de todos los
subconjuntos de un conjunto dado.
Enunciado
El axioma del conjunto potencia afirma que dado un conjunto, existe otro que cuyos
elementos son exactamente los subconjuntos del inicial:
Axioma del conjunto
potencia
De este modo se puede designar con propiedad el conjunto potencia de un conjunto
dado A:
Consistencia relativa
El axioma del conjunto potencia (CP) está en un estado similar al axioma del infinito:
no puede ser demostrado a partir del resto de axiomas de ZF (ni NBG), ya que su negación
es consistente con ellos (siempre que estos sean consistentes a su vez). Para demostrar
esto se comprueba que existe un modelo de ZF en el que CP es falso. Este modelo es la
colección de todos los conjuntos «hereditariamente numerables»: conjuntos numerables
cuyos elementos son también conjuntos numerables, que a su vez también están formados
por conjuntos numerables, etc. El segundo teorema de incompletitud de Gödel asegura
entonces que CP no es consecuencia del resto de axiomas de ZF, ya que constituiría una
demostración de la consistencia de estos.
AXIOMA DEL PAR
En teoría de conjuntos, el axioma del par es un axioma que asegura la existencia de
un conjunto que contiene como elementos dos objetos cualesquiera dados previamente.
Enunciado
El axioma del par afirma que dados dos conjuntos (u otros objetos de la teoría), existe
un conjunto con exactamente esos elementos. Su enunciado formal es:
Axioma del par
El axioma de extensionalidad asegura que este conjunto es único, por lo que se
demuestra la existencia del conjunto {A, B}, definido como:
Consistencia relativa
El axioma del par aparece en los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-
Fraenkel y de la teoría de Neumann-Bernays-Gödel. Sin embargo, es demostrable a partir
del resto de axiomas, en particular del axioma de reemplazo junto con el axioma del conjunto
potencia y el axioma del conjunto vacío, por ejemplo.
AXIOMA DE UNIÓN
En teoría de conjuntos, el axioma de unión es un axioma que postula que la unión de
una colección de conjuntos cualesquiera existe.
Enunciado
El axioma de unión afirma sencillamente que la unión de una familia de conjuntos —el
conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto de la familia— existe:
Axioma de unión
En palabras: «para cada conjunto A existe otro, X, compuesto exactamente por los
elementos de los elementos de A». Esto permite hablar con propiedad de la unión de un
conjunto —la unión de todos sus elementos—:
La unión de dos conjuntos —o un número finito cualquiera— es un caso particular de
esta construcción:
y, adoptando el axioma del par, existe siempre.
Consistencia relativa
El axioma de unión (AU) es completamente independiente del resto de axiomas de
Zermelo-Fraenkel (ZF). En la gran mayoría de los modelos de ZF que se construyen AU es
cierto, por lo que es consistente con el resto de axiomas. Por otro lado, existen modelos de
ZFC (incluyendo el axioma de elección) en los que el axioma de unión es falso, por lo que no
puede demostrarse del resto de ZFC (ni del resto ZF en particular).
AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD
En teoría de conjuntos, el axioma de extensionalidad es un axioma que establece que
dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
Enunciado
El enunciado del axioma establece que si dos conjuntos tienen los mismos elementos
entonces son idénticos:
Axioma de extensionalidad
La afirmación recíproca —dos conjuntos iguales tienen los mismos elementos— es un
teorema lógico. Un enunciado equivalente, utilizando la noción de subconjunto, es:
Dados dos conjuntos, A y B, tales que cada uno es subconjunto del otro, A ⊆ B y B ⊆ A, entonces son iguales, A = B.
El axioma de extensionalidad constituye la definición fundamental del concepto de
conjunto como una colección abstracta de objetos. El axioma de extensionalidad asegura
que los elementos x de un conjunto A son lo único que lo define, es decir, los objetos que
están relacionados con él por la relación de pertenencia, x ∈ A. Esto constrasta con otras
relaciones como por ejemplo, «ser un divisor primo»: los únicos divisores primos de 6 y de 12
son 2 y 3, pero ambos números son distintos, 6 ≠ 12.
Consistencia relativa
El axioma de extensionalidad (Ex) es completamente independiente del resto de
axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). La práctica totalidad de los modelos que se construyen
para ZF incluyen Ex, luego es consistente con el resto de axiomas. Por otro lado, a partir del
modelo de los conjuntos hereditariamente finitos puede construirse otro donde conjuntos con
los mismos elementos no sean idénticos pero respetando el resto de axiomas, por lo que Ex
no es derivable de estos
AXIOMA DE ELECCIÓN DEPENDIENTE
El axioma de elección dependiente es una forma más débil del axioma de elección,
que permite construir la mayor parte de las matemáticas, mientras se evitan problemas tales
como la paradoja de Banach-Tarski, en contraste, algunas demostraciones tales como el
teorema general de Tychonoff no son posibles (dado que tal teorema, por ejemplo, es
equivalente al axioma de elección).
Enunciado formal
Para cuales sean conjuntos A y la relación binaria
AXIOMA DEL INFINITO
En teoría de conjuntos, el axioma del infinito es un axioma que garantiza la existencia
de un conjunto con un número infinito de elementos.
Enunciado
El axioma del infinito asegura la existencia de un conjunto infinito en el sentido de
Dedekind: un conjunto que puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto
propio de sí mismo. El enunciado más habitual se basa en propiedad equivalente del
conjunto inductivo:
Axioma del infinito
Es decir, se postula la existencia de un conjunto inductivo, es decir, que contiene al
conjunto vacío, y al «sucesor» x ∪ {x} de cada uno de sus elementos x. De este modo se
asegura la existencia de un conjunto que contiene a los números naturales en la construcción
conjuntista habitual:
Independencia
El axioma del infinito (AI) no puede demostrarse a partir del resto de axiomas de la
teoría de Zermelo-Fraenkel (ZF), si estos son consistentes —denotados en conjunto como
ZF−AI—.1 Puede probarse que todos ellos son ciertos al restringirse a un «universo» de
conjuntos finitos escogidos con cuidado (los conjuntos hereditariamente finitos). Es decir, los
axiomas de ZF —incluyendo AI— demuestran la existencia de un modelo para ZF−AI+¬AI —
ZF sustituyendo AI por su negación—. Por lo tanto, una demostración de AI a partir de ZF−AI
daría lugar a una demostración de la consistencia de ZF−AI, en contradicción con el segundo
teorema de incompletitud de Gödel. La situación es idéntica en la teoría de conjuntos de Von
Neumann-Bernays-Gödel.