Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
BAB 8
RANGKAIAN DINAMIK UMUM
Setelah mempelajari Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum, Anda diharapkan:
1. Memahami elemen induktor tergandeng (coupled inductor).
2. Mampu menulis tableau equation untuk rangkaian linear time-invariant, yakni
( ) ( ) )t(u)t(iNDN)t(vMDM;0)t(v)t(eA;0)t(iA s1010
T →→→→→→→→→→
=+++=+−=
dengan D menunjukkan operator turunan dtd .
3. Mampu menulis tableau equation untuk rangkaian linear time-varying.
4. Mampu menulis tableau equation untuk rangkaian non linear, yakni
0t),t(i),t(i),t(v),t(vh;0)t(v)t(eA;0)t(iAT
=
=+−=
→•→•→→→→→→→→
.
5. Mampu menulis modified node equation (MNA) untuk rangkaian linear time-
invariant.
6. Mampu menulis modified node equation (MNA) untuk rangkaian linear time-
varying.
7. Mampu menulis modified node equation (MNA) untuk rangkaian non linier.
8. Mampu mencari titik operasi rangkaian dinamik non linier.
9. Memahami arti rangkaian pengganti/ ekivalen sinyal kecil rangkaian dinamik non
linier dan cara mencarinya.
10. Memahami teorema superposisi pada zero-state response rangkaian dinamik.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 189
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
1. Sepasang induktor terkopel (coupled inductor) dengan arah arus dan polaritas tegangan seperti pada P8.1a memiliki matriks induktansi
−
−= 6334L
Tentukan induktansi pengganti untuk koneksi seperti pada P8.1b dan c.
A
B
C
D
1v 2v
1i 2i+ +
− −
P8.1a
Solusi
A DB C
A C B D, ,
,
P8.1b P8.1c
a. Karena φ maka matriks induktansi pada pertanyaan dapat diuraikan menjadi →→→
= iL
211 i3i4 −=φ dan
212 i6i3 +−=φ Dari P8.1b tampak i 21 ii == ...(1) dan 21 vvv += ...(2) .
Karena maka integrasi persamaan (2) dengan asumsi kondisi awal flux sama dengan nol menghasilkan
•
φ=v
( ) ( ) i4i6i3i3i4 212121 =+−+−=φ+φ=φ Jadi 4ieq =L φ
=
b. Dari P8.1c tampak i 21 ii += ...(1) dan 2121 vvv φ=φ=φ⇒== ...(2).
Dari persamaan (1) dan (2) tampak bahwa proses pencarian Leq akan lebih mudah bila kita menggunakan invers dari matriks induktansi, yakni
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 190
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
φ
φ
=
2
1
154
51
51
52
2
1
i
i
Substitusi invers ini ke persamaan (1) menghasilkan
( ) ( )1615
iLJadiiii eq15
16215
415
125
115
221 =
φ=φ=φ+φ+φ+φ=+=
2. Ulangi pertanyaan 1 untuk rangkaian pada P8.2a dan b berikut.
A CB D
A D B C, ,
,
P8.2a P8.2b
Solusi
Induktansi pengganti P8.2a L 16eq =
Induktansi pengganti P8.2b 4
15Leq =
3. a. Cari matriks induktansi untuk two-port yang ditunjukkan pada P8.3a
b. Tentukan persyaratan pada n1, n2, La, dan Lb sedemikian rupa sehingga
two-port tersebut identik dengan persamaan →→→
= iLv
+ +
− −
1v 2v
1i 2i21 n:n
aL
bL
+ + +
− − −
1v 2v
1i 2i3i
32 ii −21 n:n
3v
aL
bL
trafoideal
trafoideal
P8.3a P8.3b
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 191
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Solusi
a. Rangkaian pada P8.3a digambar kembali seperti pada P8.3b. Matriks induktansi dapat ditulis dalam bentuk
→•→→
•
•
=⇔
=
iLv
ii
aaaa
vv
2
1
2221
1211
2
1
Dari KVL untuk port-2 pada P8.3b diperoleh
)ii(Lv 32b2
••
−= ...(1) Untuk trafo ideal berlaku
12
13 i
nni −= ...(2) dan 2
2
13 v
nnv = ...(3)
Substitusi turunan waktu persamaan (2) ke (1) menghasilkan
2b1b2
12 iLiL
nnv
••
+= ...(4)
Dari KVL untuk port-1 pada P8.3b diperoleh
31a1 viLv +=•
...(5) Substitusi persamaan (3) ke (5) menghasilkan
22
11a1 v
nniLv +=
•
...(6)
Substitusi persamaan (4) ke (6) menghasilkan
2b2
11b
2
2
1a1 iL
nn
iLnn
Lv••
+
+= ...(7)
Persamaan (4) dan (7) dapat ditulis dalam bentuk matriks
( )
+=
•
•
2
1
bbnn
bnn
b2
nn
a
2
1
ii
LLLLL
vv
2
1
2
1
2
1
...(8)
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 192
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
b. Two-port linier yang terdiri dari dua buah induktor (misalnya dua kumparan kawat yang digulungkan pada sebuah torus bermaterial ferromagnetik) dapat
dinyatakan dalam bentuk persamaan atau →→→
= iLv
=
2
1
22
11
2
1
i
iLM
ML
vv
...(9)
Dengan membandingkan persamaan (8) dan (9) diperoleh
b
2
2
1a11 L
nnLL
+= ...(10)
b2
1 LnnM = ...(11)
b22 LL = ...(12)
Substitusi persamaan (12) ke (10) diperoleh 22
2
2
111a L
nn
LL
−=
Dari persamaan (12) diperoleh L 22b L= ...(13)
Substitusi persamaan (13) ke (11) diperoleh 222
1
LM
nn
=
4. Tulis tableau equation untuk rangkaian linier tak berubah waktu (linear
time-invariant) pada P8.4a.
1 2 3
4
1R
3L 4L
6C
2C
5R sI
+ −2v
3i 4i
6i
1i
8i 5i 7i
sv
M
P8.4a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 193
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Solusi
Dari diagraph pada P8.4b
−−−
−=
→
00101100010110100000011110000001
A
Titik 1: 0ii 81 =+Titik 2: 0iii 321 =++−Titik 3: 0iiii 7542 =+++− Titik 4: 0iii 643 =+−−
Persamaan KCL dan KVL dapat diperoleh dari matriks yakni →
A
KCL : A dan di mana →→→
= 0i→→→→
=− 0eAvT
[ ]T87654321 iiiiiiiii =
→
[ ]T87654321 vvvvvvvvv =
→
[ ]T4321 eeeee =
→
Persamaan cabang: cabang 1: cabang 5: Rv − 0Riv 111 =− 0i555 =
1 2 3
4
1 2
3
8
4
5
6
7
P8.4b
cabang 2: i cabang 6: Ci − 0vC 222 =−•
0v666 =•
cabang 3: cabang 7: Ii = 0iMiLv 4333 =−−••
s7cabang 4: cabang 8: 0iLiMv 4434 =−−
••
s8 vv =gandenginduktor
Dengan kondisi awal : )0(v),0(v),0(i),0(i 6243
−−−−
5. Ulangi pertanyaan 4 untuk rangkaian linier tak berubah waktu pada 8.5a
1 2 3
6i 7i
7R5iα
5i
3i
5L
G
4C4i
2i
1i
sI
8i
1R
+ +
− −
2v 3v
P8.5a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 194
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Solusi
−
−=
→
011010000001010010001011
A
Persamaan KCL dan KVL dapat diperoleh dari matriks yakni →
A
KCL : A dan di mana →→→
= 0i→→→→
=− 0eAvT
[ ]T87654321 iiiiiiiii =
→
[ ]T87654321 vvvvvvvvv =
→
[ ]T321 eeee =
→
Persamaan cabang:
cabang 1: cabang 5: Lv − 0iRv 111 =− 0i555 =•
cabang 2: i cabang 6: i0Gv32 =− 0i56 =α− cabang 3: i cabang 7: Rv0Gv23 =+ 0i777 =−
cabang 4: i cabang 8: Ii0vC 444 =−•
s8 =
gyrator
Dengan kondisi awal )0(i),0(v 54
−−
6. Tulis tableau equation untuk rangkaian linier berubah waktu (linear time-
varying) pada P8.6a.
12
3
3L3i
Ω11i
Ω4 4C
2i6i
tcos10
Ω1
+ +
− −
4v 5v 5R
7i
( ) )t(i1t2)t(:L 333 +=φ
( ) )t(vtsin)t(q:C 444 =
( ) )t(it1)t(v:R 52
55 +=
P8.6a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 195
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Solusi
Untuk rangkaian time-varying ini, nilai kapasitansi, induktansi, dan resistansi berubah terhadap waktu. Sebagai contoh, untuk kapasitor time-varying,
•••
+==≠ CvvCdt
)t(dqinamunvCi cc
cccc .
−−−=
→
101010010010110100101
A
Persamaan KCL dan KVL dapat diperoleh dari matriks yakni →
A
KCL : A dan di mana →→→
= 0i→→→→
=− 0eAvT
[ ]T7654321 iiiiiiii =
→
[ ]T7654321 vvvvvvvv =
→
[ ]T321 eeee =
→
Persamaan cabang cabang 1: iv − cabang 5: 011 = ( ) 0it1 5
25 =+v −
cabang 2: 4v − cabang 6: 10v = 0i. 22 = tcos6
cabang 3: ( ) 0i1t2i2vdt
)t(dv 333
33 =+−−⇔
φ=
•
cabang 7: v 0i77 =−
cabang 4: 0v.tsinv.tcosidt
)t(dq444
44 =−−⇔=
•
i
Kondisi awal : )0(v),0(i 43−−
7. Ulangi pertanyaan 6 untuk rangkaian linier berubah waktu pada P8.7a.
+
+
−
−
4C
1R
3R 4v
2v
2C
1i
5i
sv
3i1
2
)t(v)t(C)t(q:C 2222 =
)t(v)t(C)t(q:C 4444 =
P8.7a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 196
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Solusi
−−=→
0111110011A
Persamaan KCL dan KVL dapat diperoleh dari matriks yakni →
A
KCL : A dan di mana →→→
= 0i→→→→
=− 0eAvT
[ ]T54321 iiiiii =
→
[ ]T54321 vvvvvv =
→
[ ]T21 eee =
→
Persamaan cabang cabang 1: 0iRv 111 =−
cabang 2: Ci − 0Cvv 22222 =−••
cabang 3: Rv − 0i333 =
cabang 4: i 0CvvC 44444 =−−••
cabang 5: s5 vv = Kondisi awal : )0(v),0(v 42
−−
8. Tulis modified node equation (MNA) untuk rangkaian linier tak berubah
waktu pada P8.4a.
Solusi
Untuk menulis MNA, pilih salah satu titik (misalnya n) sebagai titik datum, dan kemudian tulis KCL untuk titik k di mana k = 1,2 , ... n-1 dengan menggunakan tegangan titik (ej) sebagai variabel, dengan dua pengecualian • Bila ada induktor yang terkoneksi ke titik k, maka arus cabang induktor dipilih
sebagai variabel pada node equation dan persamaan cabang induktor ditambahkan pada node equation
• Bila ada elemen yang bukan terkontrol-tegangan (voltage-controlled) terkoneksi ke titik k, maka arus cabangnya dipilih sebagai variabel pada node equation dan persamaan cabangnya ditambahkan pada node equation
Dari P8.4a tampak cabang 3 dan 4 berisi induktor dan cabang 8 berisi elemen yang bukan voltage-controlled sehingga arus cabang i3, i4, dan i8 akan menjadi
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 197
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
variabel pada node equation (selain variabel e1, e2, e3, dan e4) dan persamaan cabang untuk cabang 3, 4, dan 8 harus ditambahkan ke node equation.
Node equation:
KCL di titik 1: 0R
eei0ii1
21881 =
−+⇔=+
KCL di titik 2: 0ieeCR
ee0iii 33221
21321 =+
−+
−−⇔=++−
••
KCL di titik 3: s5
343227542 I
Re
ieeC0iiii −=++
−−⇔=+++−
••
KCL di titik 4: 0eCii0iii 4643643 =+−−⇔=+−−•
Persamaan cabang yang harus ditambahkan ke node equation di atas
cabang 3: 433424333 iMiLeeiMiLv••••
+=−⇔+=
cabang 4: 443434434 iLiMeeiLiMv••••
+=−⇔+= cabang 8: e s1 v= Dengan kondisi awal )0(e)0(v),0(i),0(i),0(e)0(e)0(v 4643322
−−−−−−− =−=
9. Ulangi pertanyaan 8 untuk rangkaian pada P8.5a.
Solusi
KCL di titik 1: s31421
1 I)ee(CGeRe
=−++••
KCL di titik 2: 0Gei 15 =−
KCL di titik 3: 0)ee(CRe
i 3147
35 =−−+α
••
Persamaan cabang yang ditambahkan ke node equation (cabang 5) 552 iLe =
Dengan kondisi awal )0(i),0(e)0(e)0(v 5314
−−−− −=
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 198
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
10. Tulis modified node equation (MNA) untuk rangkaian linier berubah waktu pada P8.6a.
Solusi Selain e1, e2, dan e3, variabel pada node equation adalah i3 dan i6 (mengapa?).
)t(i)1t2()t(:L 333 +=φ ...(1)
)t(v)t(sin)t(q:C 444 = ...(2)
)t(i)t1()t(v:R 52
55 += ...(3) Perhatikan bahwa nilai L3, C4, dan R5 berubah terhadap waktu (time-varying).
KCL di titik 1: 0iii 631 =++
0ii)ee(0ii1
ee632163
21 =++−⇔=++− ...(4)
KCL di titik 2: 0iiii 7421 =+++−
01
eeq
4e
1)ee( 32
4221 =
−+++
−−
•
...(5)
Substitusi turunan waktu persamaan (2) ke (5) menghasilkan
( ) ( ) 0)ee(tsin)t(e)t(etcos4e)ee( 3222
221 =−++++−−
•
...(6)
KCL di titik 3: 0iii 753 =−+− Substitusi persamaan (3) ke (6) menghasilkan
0)ee(t1
ei 3223
3 =−−+
+− ...(7)
Persamaan cabang yang harus ditambahkan ke node equation: cabang 6: e tcos101 =
cabang 3: v φ= )t(i)1t2()t(i2ee 333133
••
++=−⇔ Dengan kondisi awal i )0(e)0(v),0( 243
−−− =
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 199
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
11. Ulangi pertanyaan 10 untuk rangkaian pada P8.7a.
Solusi KCL di titik 1:
( ) 0)t(e)t(e)t(C)t(e)t(e)t(CR
eei 212212
1
215 =
−+−+
−+
•••
KCL di titik 2:
( ) 0)t(e)t(C)t(e)t(CRe)t(e)t(e)t(C)t(e)t(e)t(C
Ree
2424
3
2212212
1
21 =+++
−−−−
−−
•••••
Persamaan cabang yang ditambahkan ke node equation s1 ve = (cabang 1) Dengan kondisi awal )0(e)0(v),0(e)0(e)0(v 24212
−−−−− =−=
12. Tentukan modified node equation untuk rangkaian dinamik non linier pada P8.12a.
12
3
2C
+ −2v3i 4i
3L 4L
5i
5C
1i7i
)t(is 1ℜ6R
6i
( )43333 i,iˆ:L φ=φ
( )43444 i,iˆ:L φ=φ
)q(vv:C 2222 =
)v(ii: 1111 =ℜ
P8.12a
Solusi
KCL di titik 1: ...(1) )t(iiq)v(i0iiii s3211
^
7321 =++⇔=−++•
Perhatikan bahwa q bukanlah variabel pada node equation namun karena
(asumsikan bahwa invers dari ada) maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi
( ) ( )212
^
221
1
2
^
2
1
2
^
222
^
2 eeqqeev)v(vq)q(vv −=⇔−==⇔=−−
)q(vv 22
^
2 =
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 200
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
KCL di titik 1: ...(2) ( ) )t(iieeq)e(i0iiii s32121
^
7321 =+−+⇔=−++•
KCL di titik 2: ( ) 0Reieeq0iii
6
24212642 =++−−⇔=++−
•
...(3)
KCL di titik 3: ...(4) 0eCii0iii 3543543 =+−−⇔=+−−•
Persamaan cabang yang harus ditambahkan pada node equation
cabang 3: 4
4
33
3
3313 i
i
ˆi
i
ˆeev
••
∂φ∂
+∂φ∂
=−=
cabang 4: 4
4
43
3
4324 i
i
ˆi
i
ˆeev
••
∂φ∂
+∂φ∂
=−=
Dengan kondisi awal i )0(e)0(e)0(v),0(i),0( 21243
−−−−− −=
Sama halnya seperti tableau equation, teknik MNA merupakan salah satu teknik perhitungan yang sering digunakan oleh program simulasi rangkaian listrik seperti SPICE dalam mencari solusi persamaan rangkaian.
13. Perhatikan rangkaian dinamik non linier yang ditunjukkan pada P8.13a
a. Tentukan titik operasi (VQ, IQ). b. Gambar rangkaian pengganti sinyal kecil di sekitar titik operasi ini. c. Tulis modified node equation untuk rangkaian yang diperoleh pada (b).
2i
2ℜ
3i 3L1C
+ −1v
)t(vs
V1
1v
4i1
3111 vvq:C +=3222 vi: =ℜ
( )31
333 i:L =φ
P8.13a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 201
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Solusi
a. Langkah-langkah untuk mencari titik operasi • Nolkan semua sumber AC (short-circuit-kan sumber tegangan bebas dan
open-circuit-kan sumber arus bebas) • Open-circuit-kan semua kapasitor dan short-circuit-kan semua induktor. Rangkaian untuk mencari titik operasi tampak pada P8.13b.
Q2I
Q3I
Q4I
Q1V
+ −Q1V+
−
Q5V
V1
Q5I +
−
Q2V
1 2 31i~
2i~
3i~
5i~
4i~
1v~
1v~+ −
sv Ω34
H34F
47
P8.13b P8.13c Dari hukum KVL diperoleh 1VV Q2Q1 =+ dan Q1Q2 VV =
sehingga V21VV Q2Q1 ==
Dari karakteristik resistor non linier diperoleh A81)
21()V(I 33
Q2Q2 ===
Dari P8.13b tampak A81II Q2Q4Q3 −=−==I
Perhatikan bahwa 0II Q5Q1 == (open circuit) dan 0VV Q5Q3 == (short circuit),
dan V21VV Q1Q4 ==
Jadi
= 1
210
21
21VQ dan
−−= 0
81
81
810IQ
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 202
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
b. Langkah-langkah untuk mencari rangkaian pengganti sinyal kecil • Nolkan semua sumber bebas (independent) DC • Ganti semua komponen non linier dengan komponen linier di sekitar titik
operasi. Jadi, kita harus mencari nilai kapasitansi, induktansi, dan resistansi sinyal kecil di sekitar titik operasi, yakni
F471)
21(31v3
dvdqC 2
Q1V2
11
11 =+=+==
Ω==⇔====34G/1RS
43)
21(3v3
dvdiG 22
2
Q2V
22
2
22
H34)i(
31
didL
Q3I
32
33
33 ==
φ=
−
Rangkaian pengganti sinyal kecil di sekitar titik operasi tampak pada P8.13c.
c. Perhatikan bahwa cabang 3 berisi induktor dan cabang 4 dan 5 berisi elemen
yang bukan voltage-controlled sehingga arus cabangnya akan muncul sebagai variabel pada MNA.
KCL di titik 1: 0i~)e~e~(47
521 =+−••
KCL di titik 2: 0)e~e~(47e~
43i~ 2123 =−−+
••
KCL di titik 3: 0i~i~ 34 =−
Persamaan cabang yang harus ditambahkan ke node equation
cabang 3: 332 i~34e~e~
•
=−
cabang 4: 213 e~e~e~ −=
cabang 5: )t(ve~ s1 = Dengan kondisi awal )0(i~dan)0(e~)0(e~)0(v~ 3211
−−−− −=
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 203
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
14. Ulangi pertanyaan untuk rangkaian pada P.14a.
Ω21
( ) 211 vvf =
33333 vvq:C +=
( )444 iexp:L =φ
+− 1v
1i
2i 3i
4i 4L
3C( )1vf)t(vs F1 A1
5i 6i7i
P8.14a Solusi
a. Rangkaian untuk mencari titik operasi tampak P8.14b
+−
A1
Q7I
Q1I
Q2I Q3I
Q4I
Q5I Q6I
( )Q1Vf
Q1V
Ω21
1
+ +
− −Q3V Q5V
+− 1v~
1i~
2i~
3i~
4i~
1v~2−)t(vs F1
5i~
Ω21
7i~
1 2 3H72,2
F4
+ +
− −3v~ 5v~
P8.14b P8.14c Perhatikan bahwa 0II Q5Q3 == (open-circuit) dan 0VV Q7Q4 == (short-circuit) KCL di titik 1: 01II Q2Q1 =++ ...(1) Substitusi persamaan dan ( ) 2
Q1Q1 VVf = Q11Q1 IRV = ke persamaan (1) diperoleh
V1V01VV2 Q12Q1Q1 −=⇔=++
Dari P8.14b dengan menggunakan hukum KVL tampak
V1VVVVV Q6Q5Q3Q2Q1 −=====
A21VI
21
21
Q1Q1 −=
−== ;
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 204
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
A1)1(VI 22Q1Q2 =−== ;
A1II Q6Q4 == dan A2II Q1Q7 −==
Jadi
−−−−−=
→
0110111VQ
−−=
→
2101012I Q
b. Cari terlebih dahulu rangkaian pengganti sinyal kecil untuk elemen-elemen non
linier.
2v2dvdf
Q1V11
−==
F41v3dvdq
CQ3V
23
3
33 =+==
H72,2)iexp(didL
Q4I44
44 ==
φ=
Rangkaian pengganti sinyal kecil tampak pada P8.14c.
c. KCL di titik 1: 0i~i~ 71 =+−
0i~)e~e~(20i~)e~e~(7127
21
12 =+−−⇔=+−
−
KCL di titik 2: 0i~i~i~i~ 4321 =+++
0i~v~Cv~2)e~e~(2 433112 =++−−•
0i~e~4)e~e~(2)e~e~(2 421212 =++−−−•
KCL di titik 3: 0i~i~ 54 =+−
0e~.1i~0v~Ci~ 34554 =+−⇔=+−••
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 205
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Persamaan cabang yang ditambahkan pada node equation:
cabang 4: dan cabang 7: 432444 i~72,2e~e~i~Lv~••
=−⇔= )t(ve~ s1 = Dengan kondisi awal )0(e~)0(v~),0(i~),0(e~)0(v~ 35423
−−−−− == 15. Perhatikan rangkaian dinamik non linier yang ditunjukkan pada P8.15a.
a. Tentukan titik operasi (VQ, IQ). b. Gambar rangkaian pengganti sinyal kecil di sekitar titik operasi ini.
two-portresistif
non linier
N
( )
+=+=
4234
2433
vexpiiviv:N
3222 vq:C =
1i:L 2555 +=φ
+ +
− −
+
−
V2
1i
6i
3i 4i
5i
2v 3v 4v 5L2C
)t(vs
P8.15a
Solusi
a. Titik operasi rangkaian
[ ]122101I Q −−=→
dan V [ ]200111Q =→
b. Rangkaian pengganti sinyal kecil tampak pada P8.15b.
N
Ω1Ω13i
~2
4i~
5i~
H4−
2i~
3i~
+ +
− −
3v~ 4v~+
−
2v~
Ω11i~
6i~
)t(vs
F3
P8.15b
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 206
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
16. Perhatikan rangkaian paralel RC linier tak berubah waktu pada P8.16a di mana R = 1Ω dan C = 1F. Sumber arus isj adalah masukan dan tegangan keluaran yj = vcj adalah tanggapan. Perhatikan dua kondisi berikut:
i. is1(t) = 1 A untuk t ≥ 0 dan vc1(0) = 1V ii. is2(t) = 3 A untuk t ≥ 0 dan vc2(0) = 1V
a. Hitunglah tanggapan lengkap (complete response) y(t) untuk kasus i dan ii .
b. Tunjukkan bahwa bila y3(t) adalah tanggapan lengkap untuk masukan is3(t) = 4 A untuk t ≥ 0 dan vc1(0) = 1V, maka y3(t) tidak sama dengan penjumlahan tanggapan y1(t) dan y2(t) pada (a). Jelaskan jawaban Anda.
sji R C
+
−
jc j yv =
P8.16a Solusi
a. Untuk kasus i dimana is1(t) = 1A dan vc1(0) = 1 maka
[ ] 1)t(v)t(yRC
texp)t(v)t(v)t(v)t(v 1c11c01c1c1c ==⇔
−−=− ∞∞
Untuk kasus ii dimana is2(t) = 3A dan vc2(0) = 1 maka
[ ] ( )texp23)t(v)t(yRC
texp)t(v)t(v)t(v)t(v 2c22c02c2c2c −−==⇔
−−=− ∞∞
b. Bila is3(t) = 4 A (yang dapat diperoleh dari penjumlahan is1(t) dan is2(t)) dan vc3(0) = 1 maka
[ ] ( )texp34)t(v)t(yRC
texp)t(v)t(v)t(v)t(v 2c23c03c3c3c −−==⇔
−−=− ∞∞
Perhatikan bahwa y3(t) ≠ y1(t) + y2(t) atau dengan kata lain prinsip superposisi tidak berlaku pada rangkaian ini. Dapatkah Anda menjelaskan alasannya?
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 207
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
17. Ulangi pertanyaan 16 namun dengan semua kondisi awal sama dengan nol (vc1(0) = vc2(0) = vc3(0) = 0).
Solusi
a. Dengan nilai kondisi awal sama dengan nol, tanggapan yang diperoleh identik dengan tanggapan tanpa kondisi awal (zero-state response)
( ) ( )texp33)t(ydantexp1)t(y 21 −−=−−=
b. ( )texp44)t(y3 −−=
Perhatikan y3(t) = y1(t) + y2(t). Jadi dalam kasus ini prinsip superposisi berlaku. Kesimpulan apakah yang Anda tarik dari solusi untuk pertanyaan 16 dan 17 ini?
18. Tanggapan tanpa kondisi awal v (zero-state response) dari suatu rangkaian
RC linier tak-berubah waktu (linear time invariant) terhadap arus unit step adalah
( ) )t(1.e12)t(v t−−= Hitung zero-state response terhadap masukan arus dengan bentuk gelombang seperti pada P8.18a
i
t
1
2
01−
1 2 3 4
P8.18a
Solusi
Misalkan N adalah suatu rangkaian dinamik uniquely solvable linear time-invariant maka zero-state response dari N untuk sejumlah masukan sumber tegangan dan sumber arus independen identik dengan penjumlahan zero-state response bila masing-masing sumber tersebut berfungsi sendiri (prinsip superposisi). Secara lebih spesifik, suatu sistem dikatakan linier bila memenuhi syarat: (misalkan x(t) adalah masukan sistem, y(t) adalah keluaran sistem, dan f(x) adalah suatu fungsi yang memetakan nilai masukan ke keluaran, atau y = f(x)).
• Bila ...(1) )t(y)t(y)t(x)t(xmaka)t(y)t(xdan)t(y)t(x 21
f
212
f
21
f
1 +→+→→
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 208
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
• Bila ...(2) )t(ky)t(kxmaka)t(y)t(x 1
f
11
f
1 →→ Persamaan (1) dan (2) masing-masing menunjukkan sifat additivity dan multiplicative/ homogeneity/ scaling dari sistem linier. Suatu sistem dikatakan time-invariant bila memenuhi syarat
• Bila ...(3) kdan)t(xsemuauntuk)t(y)t(xmaka)t(y)t(x 11
f
11
f
1 ξ−→ξ−→ Pada pertanyaan ini, informasi yang kita ketahui adalah zero-state response untuk masukan berupa fungsi step, yakni step response. Perhatikan bahwa masukan pada P8.18a dapat diuraikan menjadi penjumlahan gelombang seperti pada P8.18b.
Untuk masukan 1 diperoleh )t(
)t(1)e1(2)t(v t−−= maka
berdasarkan persamaan (2) dan
(3)
i
t
t
t
t
3i
2i
1i
1
2
01−
1 2 3 4
1 2 3 4
1
2
1 2 3 4
1
2
3
1 2 3 4
1
0
0
0
1−
1−
1−
2−
2−
)t(1.1)t(i1 −=
)3t(1.3)t(i2 −=
)4t(1.2)t(i3 −−=
bila )t(1)t(i1 −= maka
( ) )t(1.e12)t(v)t(v t1
−−−=−=
bila ( )3ti.3)t(i2 −= maka
( ) ( )( ) )3t(1.e163tv3)t(v 3t2 −−=−= −−
bila ( )4ti.2)t(i3 −−= maka
( ) ( )( ) )4t(1.e144tv2)t(v 4t3 −−−=−−= −−
P8.18b
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 209
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Berdasarkan persamaan (1)
Bila 321 iiii ++= )4t(1.2)3t(1.3)t(1.1 −−−+−= maka
321 vvvv ++= )4t(1).e1(4)3t(1).e1(6)t(1).e1(2 )4t()3t(t −−−−−+−−= −−−−−
Bila tanggapan ( ) )t(1.e12)t(v t−−= pada pertanyaan adalah complete response dan bukannya zero-state response, apakah hasil yang diperoleh di atas masih valid? Perhatikan juga pembahasan pada pertanyaan 16 dan 17.
19. Perhatikan sebuah rangkaian RC linier tak berubah waktu orde satu dan
misalkan vc adalah tegangan kapasitor. Misalkan juga us(t) adalah masukan dan y(t) adalah tanggapan. Sekumpulan pengukuran berikut telah dilakukan
)t(1.21e
23)t(y
V)0(v
)t(i)t(ut2
1
oc
1ss
+=
=
=−
( ) )t(1.e3)t(y V)0(v
)t(i)t(ut2
2
oc
2ss −==
=
)t(1.21e
21)t(y
0)0(v
)t(i)t(i)t(ut2
3
c
2s1ss
+=
=
+=−
Solusi
Perhatikan bahwa tanggapan suatu sistem selalu dapat diuraikan menjadi tanggapan tanpa kondisi awal (zero-state response yZSR) dan tanggapan tanpa masukan (zero-input response yZIR) atau ZSRZIR yyy += .
Untuk percobaan pertama
ZSR1ZIR11 yy)t(y += ...(1)
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 210
Bab 8 Rangkaian Dinamik Umum
Untuk percobaan kedua
ZSR2ZIR22 yy)t(y += ...(2) Karena kondisi awal rangkaian untuk percobaan pertama dan kedua adalah sama maka zero-input response kedua percobaan adalah sama sehingga persamaan (2) dapat ditulis kembali menjadi
ZSR2ZIR1ZSR2ZIR22 yyyy)t(y +=+= ...(2b) Untuk percobaan ketiga
...(3) ZSR3ZIR33 yy)t(y +=
Karena kondisi awal rangkaian adalah nol maka y3ZIR = 0 dan karena is3(t) = is1(t) + is2(t) maka y3ZSR= y1ZSR + y2ZSR sehingga persamaan (3) dapat ditulis kembali menjadi
ZSR2ZSR1ZSR3ZIR33 yyyy)t(y +=+= ...(3b) Operasi aljabar pada persamaan (1), (2b), dan (3b) menghasilkan
ZSR1321 y2)t(y)t(y)t(y =+−
( ))t(y)t(y)t(y21y 213ZSR1 −+=
)t(1e321e
23
21e
21
21 t2t2t2
−+++= −−−
( ) )t(1e121 t2−−=
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 211