BAB 1Sistem Bilangan Real
Outline Materi
1. Sistem Bilangan
2. Supremum Infimum
3. Pertidaksamaan
4. Nilai Mutlak
1. Sistem Bilangan
Sistem Bilangan
Himpunan bilangan asliN = {1, 2, 3, 4, }
Himpunan bilangan bulatI = { , –2, –1, 0, 1, 2, }
Himpunan bilangan rasionalQ = { | p, q I, q≠0}
N I Q R
Sistem BilanganKompleks
Real
Rasional
Bulat
Asli
Bulat Negatif
Nol (0)
Pecahan
Irrasional
Imajiner
Sifat-Sifat Bilangan Real
• Komutatif (pertukaran) terhadap penjumlahan dan perkalianx + y = y + x dan xy = yx
• Asosiatif (pengelompokan) terhadap penjumlahan dan perkalian(x+y)+z = x+(y+z) dan (xy)z = x(yz)
• Distributif perkalian terhadap penjumlahan(x+y)z = xz + yz
• Memiliki unsur identitas
– terhadap operasi jumlah yaitu 0 sehingga x + 0 = x ,– terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x . 1 = x .
• Mempunyai invers– terhadap penjumlahan yaitu –x, sehingga x + (–x) = 0 – terhadap perkalian yaitu 1/x sehingga x . 1/x = 1.
Sifat-Sifat Urutan Bilangan Real
• TrikotomiJika x dan y bilangan real, maka berlaku x < y atau x > y atau x = y.
• TransitifJika x < y dan y < z, maka x < z
• Penambahanx < y x + z < y + z
• Perkalianx < y xz < yz, untuk z positifx < y xz > yz, untuk z negatif
Sistem Bilangan Real
Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real
Penulisan himpunan dalam bentuk interval / selang:{x|a ≤ x ≤ b, xR} = [a , b] disebut selang tutup{x|a < x < b, x R } = (a , b) disebut selang buka{x|a ≤ x < b, x R } = [a , b) disebut selang setengah buka atau selang setengah tutup{x|a < x ≤ b, x R } = (a , b] disebut selang setengah buka atau selang setengah tutup{x|x ≥ b, x R } = [b , ), disebut selang tak terbatas{x|x < a, x R } = (– , a], disebut selang tak terbatas
2. Supremum Infimum
Unsur Maksimum dan Minimum
Definisi• a A disebut unsur maksimum dari himpunan A,
apabila untuk semua x A berlaku x ≤ a.• b A disebut unsur minimum dari himpunan A,
apabila untuk semua x A berlaku x ≥ b.
ContohA = (3,7}Unsur Maksimum A = 7Unsur Minimum A tidak ada
Batas Atas dan Batas Bawah
Definisi• p R disebut batas atas dari himpunan A
apabila x A berlaku x ≤ p• q R disebut batas bawah dari himpunan A
apabila x A berlaku x ≥ qContohB = (3,7]batas atas B adalah p ≥ 7batas bawah B adalah q ≤ 3
Supremum dan Infimum
Definisi Supremumu R disebut supremum dari himpunan A,ditulis sup A = u apabila– u batas atas dari A– jika t batas atas lain dari A, maka u < t .
Definisi Infimumv R disebut infimum dari himpunan A,ditulis inf A = v apabila– v batas bawah dari A– jika s batas bawah lain dari A, maka v > s .
Supremum dan InfimumContoh• Untuk A = {1, 2, 3, 4, 5},
maka sup A = 5 dan inf A = 1• Untuk B = (3,7] ,
maka sup A = 7 dan inf A = 3
LatihanTentukan unsur maksimum, unsur minimum, batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum dari himpunan berikut
3. Pertidaksamaan
Bentuk-bentuk Pertidaksamaan
Catatan
pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel karena variabel tersebut bisa bernilai positif atau negatif.
Pertaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai negatif
Contoh Soal Pertidaksamaan
Tentukan himpunan penyelesaian dari1.
2.
3.
4. Nilai Mutlak
Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak x dengan notasi lxl didefinisikan sebagai:
Contoh
Akibat Definisi Nilai Mutlak
Sifat – Sifat Nilai Mutlak
Contoh Soal Nilai Mutlak
Tentukan himpunan penyelesaian dari