Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
55
BAB III
Bilangan Kabur dan Operasi-Operasi Aritmetikanya
3.1 Bilangan Kabur
Di antara berbagai jenis himpunan kabur, maka himpunan kabur yang
didefinisikan pada himpunan bilangan rill mempunyai arti yang khusus.
Himpunan kabur yang demikian mempunyai makna kuantitatif dan disebut sebagai bilangan kabur. Bilangan kabur merupakan suatu bilangan yang tidak
persis (imprecise) dalam garis rill , misalnya “kira-kira 10”, “mendekati 5”,
“sekitar 20”, dan sebagainya.
Suatu bilangan kabur dapat dipandang sebagai suatu perluasan dari interval kepercayaan. Akan tetapi, bilangan kabur bukanlah suatu variabel acak. Variabel acak merupakan suatu data objektif yang diperoleh dari hasil pengamatan sedangkan bilangan kabur merupakan suatu data subjektif yang diperoleh dari hasil penilaian.
Agar bilangan kabur yang merupakan suatu himpunan kabur tersebut dapat dilakukan operasi-operasi aritmetika kepadanya, maka dilakukan beberapa pembatasan-pembatasan pada himpunan kabur tersebut, sehingga bilangan kabur didefinisikan secara formal sebagai berikut:
Definisi 3.1
Misalkan A adalah suatu himpunan kabur yang didefinisikan pada bilangan
rill . Maka A adalah suatu bilangan kabur jika memenuhi sekurang-
kurangnya tiga sifat berikut:
(i). A adalah himpunan kabur normal
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 56
(ii). A adalah himpunan kabur konveks
(iii). A merupakan suatu interval tertutup [0, 1]
Fungsi keanggotaan segitiga dan trapezium sering digunakan sebagai fungsi keanggotaan bilangan kabur. Akan tetapi, bentuk-bentuk fungsi keanggotaan yang lain dapat juga digunakan sebagai fungsi keanggotaan bilangan kabur.
Contoh 3.1
Misalkan A adalah himpunan kabur “bilangan-bilangan rill yang dekat ke 6” dengan fungsi keanggotaan
x
xA
x
μ x x6
126
; 0 6
( ) ; 6 12
0 yang lain
, x,
Dengan mudah dapat diperlihatkan bahwa syarat-syarat untuk suatu bilangan
kabur dipenuhi oleh himpunan kabur A , sehingga “bilangan-bilangan rill yang
dekat ke 6” adalah suatu bilangan kabur dalam .
Contoh 3.2
Misalkan B = bilangan-bilangan bulat sekitar 4, adalah suatu himpunan
kabur yang didefinisikan pada bilangan bulat , yaitu:
B = {(-6, 0.1), (-5, 0.1), (-4, 0.2), (-3, 0.3), (-2, 0.3), (-1, 0.5), (0, 0.5),
(1, 0.6), (2, 0.8), (3, 0.9), (4, 1), (5, 0.9), (6, 0.7), (7, 0.4), (8, 0.4),
(9, 0.3), (10, 0.2), (11, 0.2), (12, 0.1)}. Himpunan kabur B tersebut merupakan suatu bilangan kabur “bilangan-bilangan bulat sekitar 4”.
Suatu bilangan kabur dalam dapat ditransformasi ke suatu bilangan
kabur dalam , yaitu dengan meningkatkan pendiskritan (descretezation)
sehingga fungsi keanggotaannya menjadi kontinu sesepenggal (piecewise
continuous) dan semua potongan- nya merupakan interval tertutup dalam
. Sebagai contoh, pandang kembali Contoh 3.2, bilangan kabur B dalam
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
57
dapat ditransformasi ke bilangan kabur dalam , sehingga fungsi
keanggotaannya seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.1
3.2 Interval dan Operasi-operasi Aritmetikanya
Suatu interval tertutup dalam , yaitu [a, b], adalah semua bilangan rill
yang lebih besar atau sama dengan a dan lebih kecil atau sama dengan b, yang dinyatakan sebagai:
[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
Bilangan c dapat dipandang sebagai interval tertutup dalam , yaitu [c, c].
Sebagai contoh, bilangan 5 adalah interval tertutup pada , yaitu 5 = [5, 5].
Suatu interval tertutup [a, b] pada (himpunan bilangan bulat), didefinisikan
sebagai
[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
Gambar 3.1 Bilangan kabur “sekitar 4” dalam
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 58
Sebagai contoh, A = [-3, 2] adalah interval tertutup dalam , maka A = {-3, -2,
-1, 0, 1, 2}. Demikian juga, interval tertutup [a, b] pada (bilangan asli),
didefinisikan sebagai
[a, b] = {x| a ≤ x ≤ b}
Misalkan menyatakan operasi aritmetika pada interval tertutup, yang
meliputi penjumlahan (+), pengurangan (–), perkalian (), dan pembagian (:),
maka [a, b][d, e] = { fg|a ≤ f ≤ b, d ≤ g ≤ e} merupakan sifat umum dari
semua operasi aritmetika interval tertutup kecuali [a, b] : [d, e] tidak dide-
finisikan jika 0[d, e].
Keempat operasi aritmetika pada interval tertutup didefinisikan sebagai berikut:
[a, b] + [d, e] = [a+d, b+e],
[a, b] – [d, e] = [a-e, b-d],
[a, b] · [d, e] = [min(ad, ae, bd, be), max(ad, ae, bd, be)],
[a, b] : [d, e] = [a, b] · [1/e, 1/d] = [min(a/e, a/d, b/c, b/d), max(a/e,
a/d, b/e, b/d)] untuk 0[d, e].
Berikut ini diberikan beberapa sifat dari operasi aritmetika interval
tertutup pada :
Misalkan A=[a1, a2], B=[b1, b2], C=[c1, c2], 0=[0, 0], 1=[1, 1], maka
1. A+B = B+A
A·B = B·A (kekomutatifan)
2. (A+B) + C = A + (B + C)
(A·B)·C = A·( B·C) (keassosiatifan)
3. A = 0 + A = A + 0
A = 1· A = A·1 (identitas)
4. A·( B +C) A·B + A·C (subdistributif)
Jika b·c ≥ 0 bB dan cC, maka A·( B +C) = A·B + A·C
5. 0 A – A dan 1 A : A
6. Jika A E dan B F, di mana E dan F juga adalah interval tertutup, maka
A + B E+F
A – B E – F
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
59
A·B E·F
A : B E : F
3.3 Operasi Aritmetika Bilangan Kabur
Pada bagian ini dibahas operasi-operasi aritmetika bilangan kabur, seperti operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian, dan operasi pembagian. Pengoperasian aritmetika bilangan kabur tersebut
menggunakan dua metode, yaitu metode potongan- dan metode prinsip
perluasan.
3.3.1 Metode potongan-
Metode ini didasarkan pada aritmetika interval dan Teorema
Dekomposisi. Misalkan I dan J adalah himpunan kabur, dan misalkan
adalah operasi aritmetika (+), (–), (), dan (:). Kemudian didefinisikan suatu
himpunan kabur I J pada yang potongan- nya didefinisikan sebagai
(I J) = I J , [0, 1]. Dengan Teorema Dekomposisi, I J dapat
direpresentasikan sebagai I J = 0 1
I*J[ , ]
( ) . Karena (IJ) merupakan
suatu interval tertutup untuk setiap [0, 1] dan I , J bilangan kabur,
maka I J juga bilangan kabur.
Operasi Penjumlahan
Contoh 3.3
Misalkan bilangan kabur I dan J masing-masing mempunyai fungsi
keanggotaan sebagai berikut:
1
xI
x
x x
μ x x
x
53 3
13 3
0 ; 5 atau
( ) ; 5 2
; 2 1
, x (3.1)
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 60
dan
0
xJ
x
x x
μ x x
x
37 7
128 8
; 3 atau 12
( ) ; 3 4
; 4 12
, x (3.2)
Dari (3.1), diperoleh
= 1
a ( ) 5
3 3 dan = 2
a ( ) 1
3 3
sehingga potongan- untuk bilangan kabur I adalah
I = 1 2 a a( ) ( )[ , ] = [3 - 5, -3 + 1]
Dari (3.2), diperoleh
= 1
b( ) 3
7 7 dan = 2
b( ) 12
8 8
sehingga potongan- untuk bilangan kabur J adalah
J = 1 2 b b( ) ( )[ , ] = [7 - 3, -8 + 12]
Dengan demikian, I + J = 1 2 a a( ) ( )[ , ] + 1 2
b b( ) ( )[ , ]
= [3 - 5, -3 + 1] + [7 - 3, -8 + 12]
= [10 - 8, -11 + 13]
Misalkan 1 c ( ) 10 - 8 dan 2
c ( ) -11 + 13, maka
= 1
c ( ) 8
10 10 dan = 2
c ( ) 13
11 11
sehingga diperoleh
I J
x
x
x
x x
x
x
810 10
1310 10
0 ; 8 atau 13
( ) ; 8 2
; 2 13
, x.
Gambar 3.2 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan I +J
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
61
Contoh 3.4
Misalkan A dan B adalah bilangan kabur dalam , yang didefinisikan
sebagai berikut:
A ={(1, 0.1), (2, 0.3), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.3)} dan
B ={(1, 0.3), (2, 0.6), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.2), (6, 0.1)}
Potongan- untuk A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:
A0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = [1, 6] B0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = [1, 6]
A0.2 = {2, 3, 4, 5, 6} = [2, 6] B0.2 = {1, 2, 3, 4, 5} = [1, 5]
A0.3 = {2, 3, 4, 5, 6} = [2, 6] B0.3 = {1, 2, 3, 4} = [1, 4]
A0.4 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.4 = {2, 3, 4} = [2, 4]
A0.5 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.5 = {2, 3, 4} = [2, 4]
A0.6 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.6 = {2, 3, 4} = [2, 4]
A0.7 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.7 = {3, 4} = [3, 4]
A0.8 = {3, 4} = [3, 4] B0.8 = {3} = [3, 3]
A0.9 = {4} = [4, 4] B0.9 = {3} = [3, 3]
A1 = {4} = [4, 4] B1 = {3} = [3, 3]
( )Ix ( )
Jx
( )
I Jx
x
( )x
Gambar 3.2 Penjumlahan dua bilangan kabur (Contoh 3.3)
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 62
Misalkan C = A +B , maka C=A+B, sehingga diperoleh:
C0.1 = [1, 6] + [1, 6] = [2, 12] = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
C0.2 = [2, 6] + [1, 5] = [3, 11] = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
C0.3 = [2, 6] + [1, 4] = [3, 10] = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
C0.4 = [3, 5] + [2, 4] = [5, 9] = {5, 6, 7, 8, 9}
C0.5 = [3, 5] + [2, 4] = [5, 9] = {5, 6, 7, 8, 9}
C0.6 = [3, 5] + [2, 4] = [5, 9] = {5, 6, 7, 8, 9}
C0.7 = [3, 5] + [3, 4] = [6, 9] = {6, 7, 8, 9}
C0.8 = [3, 4] + [3, 3] = [6, 7] = {6, 7}
C0.9 = [4, 4] + [3, 3] = [7, 7] = {7}
C1 = [4, 4] + [3, 3] = [7, 7] = {7}
Misalkan didefinisikan himpunan kabur C yang fungsi keanggotaannya
C
μ x( )=
Cμ x( ) x, maka diperoleh
0 1C . = {(2, 0.1), (3, 0.1), (4, 0.1), (5, 0.1), (6, 0.1), (7, 0.1), (8,0.1), (9, 0.1),
(10, 0.1), (11, 0.1), (12, 0.1)}
0 2C . = {(3, 0.2), (4, 0.2), (5, 0.2), (6, 0.2), (7, 0.2), (8, 0.2), (9,0.2), (10, 0.2),
(11, 0.2)}
0 3C . = {(3, 0.3), (4, 0.3), (5, 0.3), (6, 0.3), (7, 0.3), (8, 0.3), (9, .3),(10, 0.3)}
0 4C . = {(5, 0.4), (6, 0.4), (7, 0.4), (8, 0.4), (9, 0.4)}
0 5C . = {(5, 0.5), (6, 0.5), (7, 0.5), (8, 0.5), (9, 0.5)}
0 6C . = {(5, 0.6), (6, 0.6), (7, 0.6), (8, 0.6), (9, 0.6)}
0 7C . = {(6, 0.7), (7, 0.7), (8, 0.7), (9, 0.7)}
0 8C . = {(6, 0.8), (7, 0.8), (8, 0.8), (9, 0.8)}
0 9C . = {(7, 0.9)}
1C = {(7, 1)}
Dengan menggunakan Teorema Dekomposisi, maka diperoleh
C = 0 1C . 0 2C . 0 3C . … 1C
= {(2, 0.1), (3, 0.3), (4, 0.4), (5, 0.6), (6, 0.8), (7, 1), (8, 0.8), (9, 0.7),
(10, 0.3), (11, 0.2), (12, 0.1)}.
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
63
Operasi Pengurangan
Contoh 3.5
Misalkan bilangan kabur I dan J masing-masing mempunyai fungsi
keanggotaan sebagai berikut:
1
xI
x
x x
μ x x
x7
195 5
0 ; 7 atau 19
( ) ; 7 14
; 14 19
, x (3.3)
dan
xJ
x
x x
μ x x
x
32 2
105 5
0 ; 3 atau 10
( ) ; 3 5
; 5 10
, x (3.4)
Dari (3.3), diperoleh
= 1
a ( )
17
dan = 2
a ( ) 19
5 5
sehingga potongan- untuk bilangan kabur I adalah
I = 1 2 a a( ) ( )[ , ] = [7 + 7, -5 + 19]
Dari (3.4), diperoleh
= 1
b( ) 3
2 2 dan = 2
b( ) 10
5 5
sehingga potongan- untuk bilangan kabur J adalah
J = 1 2 b b( ) ( )[ , ] = [2 + 3, -5 + 10]
Dengan demikian, I – J = 1 2 a a( ) ( )[ , ] – 1 2
b b( ) ( )[ , ]
= [7 + 7, -5 + 19] – [2 + 3, -5 + 10]
= [12 - 3, -7 + 16]
Misalkan 1 c ( ) 12 - 3 dan 2
c ( ) -7 + 16, maka
= 1
c ( ) 3
12 12 dan = 2
c ( ) 16
7 7
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 64
sehingga diperoleh
xI+J
x
x x
μ x x
x
312 12
167 7
0 ; 3 atau 16
( ) ; 3 9
; 9 16
, x.
Gambar 3.3 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan I -J
Contoh 3.6
Misalkan A dan B adalah bilangan kabur dalam , yang didefinisikan
sebagai berikut:
A = {(-2, 0.1), (-1, 0.3), (0, 0.7), (1, 0.9), (2, 1), (3, 0.5)} dan
B = {(-1, 0.1), (0, 0.6), (1, 1), (2, 0.8), (3, 0.3)}
Potongan- untuk A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:
A0.1 = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} = [-2, 3] B0.1 = {-1, 0, 1, 2, 3} = [-1, 3]
A0.2 = {-1, 0, 1, 2, 3} = [-1, 3] B0.2 = {0, 1, 2, 3} = [0, 3]
A0.3 = {-1, 0, 1, 2, 3} = [-1, 3] B0.3 = {0, 1, 2, 3} = [0, 3]
A0.4 = {0, 1, 2, 3} = [0, 3] B0.4 = {0, 1, 2} = [0, 2]
A0.5 = {0, 1, 2, 3} = [0, 3] B0.5 = {0, 1, 2} = [0, 2]
A0.6 = {0, 1, 2} = [0, 2] B0.6 = {0, 1, 2} = [0, 2]
A0.7 = {0, 1, 2} = [0, 2] B0.7 = {1, 2} = [1, 2]
xJ~
xJI~~
xJ~
Gambar 3.3 Pengurangan dua bilangan kabur (Contoh 3.5)
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
65
A0.8 = {1, 2} = [1, 2] B0.8 = {1, 2} = [1, 2]
A0.9 = {1, 2} = [1, 2] B0.9 = {1} = [1, 1]
A1 = {2} = [2, 2] B1 = {1} = [1, 1]
Misalkan C = A –B , maka C=A– B, sehingga diperoleh:
C0.1 = [-2, 3] – [-1, 3] = [-5, 4] = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
C0.2 = [-1, 3] – [0, 3] = [-4, 3] = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
C0.3 = [-1, 3] – [0, 3] = [-4, 3] = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
C0.4 = [0, 3] – [0, 2] = [-2, 3] = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
C0.5 = [0, 3] – [0, 2] = [-2, 3] = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
C0.6 = [0, 2] – [0, 2] = [-2, 2] = {-2, -1, 0, 1, 2}
C0.7 = [0, 2] – [1, 2] = [-2, 1] = {-2, -1, 0, 1}
C0.8 = [1, 2] – [1, 2] = [-1, 1] = {-1, 0, 1}
C0.9 = [1, 2] – [1, 1] = [0, 1] = {0, 1}
C1 = [2, 2] – [1, 1] = [1, 1] = {1}
Misalkan didefinisikan himpunan kabur C yang fungsi keanggotaannya
C
μ x( )=
Cμ x( ) , x, maka diperoleh
0 1C . = {(-5, 0.1), (-4, 0.1), (-3, 0.1), (-2, 0.1), (-1, 0.1), (0, 0.1), (1, 0.1),
(2, 0.1), (3, 0.1), (4, 0.1)}
0 2C . = {(-4, 0.2), (-3, 0.2), (-2, 0.2), (-1, 0.2), (0, 0.2), (1, 0.2), (2, 0.2), (3, 0.2)}
0 3C . = {(-4, 0.3), (-3, 0.3), (-2, 0.3), (-1, 0.3), (0, 0.3), (1, 0.3), (2, 0.3), (3, 0.3)}
0 4C . = {(-2, 0.4), (-1, 0.4), (0, 0.4), (1, 0.4), (2, 0.4), (3, 0.4)}
0 5C . = {(-2, 0.5), (-1, 0.5), (0, 0.5), (1, 0.5), (2, 0.5), (3, 0.5)}
0 6C . = {(-2, 0.6), (-1, 0.6), (0, 0.6), (1, 0.6), (2, 0.6)}
0 7C . = {(-2, 0.7), (-1, 0.7), (0, 0.7), (1, 0.7)}
0 8C . = {(-1, 0.8), (-1, 0.8), (0, 0.8), (1, 0.8)}
0 9C . = {(0, 0.9), (1, 0.9)}
1C = {(1, 1)}
Dengan menggunakan Teorema Dekomposisi, maka diperoleh
C = 0 1C . 0 2C . 0 3C . … 1C = {(-5, 0.1), (-4, 0.3), (-3, 0.3), (-2, 0.7),
(-1, 0.8), (0, 0.9), (1, 1), (2, 0.6), (3, 0.5), (4, 0.1)}.
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 66
Operasi Perkalian
Contoh 3.7
Misalkan bilangan kabur I dan J masing-masing mempunyai fungsi
keanggotaan sebagai berikut:
I
x
x x
μ x x x
x52 2
0 ; 2 atau 5
( ) 2 ; 2 3
; 3 5
, x+ (3.5)
dan 32 2x
J
x x
μ x x
x x
0 ; 3 atau 6
( ) ; 3 5
6 ; 5 6
, x+ (3.6)
Dari (3.5), diperoleh
= 1 a( ) 2 dan = 2
a ( ) 15
2 2
sehingga potongan- untuk bilangan kabur I adalah
I = 1 2 a a( ) ( )[ , ] = [ + 2, -2 + 5]
Dari (3.6), diperoleh
= 1
b( ) 3
2 2 dan = 2
b( ) 6
sehingga potongan- untuk bilangan kabur J~
adalah
J = 1 2 b b( ) ( )[ , ] = [2 + 3, - + 6]
Dengan demikian, I · J = 1 2 a a( ) ( )[ , ] · 1 2
b b( ) ( )[ , ]
= [ + 2, -2 + 5] · [2 + 3, - + 6]
= [22 + 7 + 6, 22 - 17 + 30]
Misalkan 1 c ( ) 22 + 7 + 6 dan 2
c ( ) 22 - 17 + 30, maka
= 11 c ( )7 8
4 dan =
2 c ( )17 49 8
4
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
67
sehingga diperoleh
1
x
I J
x
x x
μ x x
x
7 8
4
17 49 8
4
0 ; 6 atau 30
( ) ; 6 15
; 15 30
, x +
Gambar 3.4 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan I .J
Contoh 3.8
Misalkan A dan B adalah bilangan kabur dalam , yang didefinisikan
sebagai berikut:
A = {(3, 0.4), (4, 1), (5, 0.7)} dan B = {(3, 0.1), (4, 0.8), (5, 1), (6, 0.3)}
Potongan- untuk A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:
A0.1 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.1 = {3, 4, 5, 6} = [3, 6]
A0.2 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.2 = {4, 5, 6} = [4, 6]
A0.3 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.3 = {4, 5, 6} = [4, 6]
A0.4 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.4 = {4, 5} = [4, 5]
A0.5 = {4, 5} = [4, 5] B0.5 = {4, 5} = [4, 5]
A0.6 = {4, 5} = [4, 5] B0.6 = {4, 5} = [4, 5]
A0.7 = {4, 5} = [4, 5] B0.7 = {4, 5} = [4, 5]
A0.8 = {4} = [4, 4] B0.8 = {4, 5} = [4, 5]
A0.9 = {4} = [4, 4] B0.9 = {5} = [5, 5]
xI~
xJI~~
xJ~
Gambar 3.4 Perkalian dua bilangan kabur (Contoh 3.7)
x
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 68
A1 = {4} = [4, 4] B1 = {5} = [5, 5]
Misalkan C = A ·B , maka C=A · B, sehingga diperoleh:
C0.1 = [3, 5] · [3, 6] = [9, 30] = {9, 10, …, 30}
C0.2 = [3, 5] · [4, 6] = [12, 30] = {12, 13, …, 30}
C0.3 = [3, 5] · [4, 6] = [12, 30] = {12, 13, …, 30}
C0.4 = [3, 5] · [4, 6] = [12, 25] = {12, 13, …, 25}
C0.5 = [4, 5] · [4, 5] = [16, 25] = {16, 17, …, 25}
C0.6 = [4, 5] · [4, 5] = [16, 25] = {16, 17, …, 25}
C0.7 = [4, 5] · [4, 5] = [16, 25] = {16, 17, …, 25}
C0.8 = [4, 4] · [4, 5] = [16, 20] = {16, 17, 18, 19, 20}
C0.9 = [4, 4] · [5, 5] = [20, 20] = {20}
C1 = [4, 4] · [5, 5] = [20, 20] = {20}
Misalkan didefinisikan himpunan kabur C yang fungsi keanggotaannya
C
μ x( )=
Cμ x( ) , x, maka diperoleh
0 1C . = {(9, 0.1), (10, 0.1), …, (30, 0.1)}
0 2C . = {(12, 0.2), (13, 0.2), …, (30, 0.2)}
0 3C . = {(12, 0.3), (13, 0.3), …, (30, 0.3)}
0 4C . = {(12, 0.4), (13, 0.4), …, (25, 0.4)}
0 5C . = {(16, 0.05), (17, 0.5), …, (25, 0.5)}
0 6C . = {(16, 0.6), (17, 0.6), …, (25, 0.6)}
0 7C . = {(16, 0.7), (17, 0.7), …, (25, 0.7)}
0 8C . = {(16, 0.8), (17, 0.8), (18, 0.8), (19, 0.8), (20, 0.8)}
0 9C . = {(20, 0.9)}
1C = {(20, 1)}
Dengan menggunakan Teorema Dekomposisi, maka diperoleh
C = 0 1C . 0 2C . 0 3C . … 1C
= {(9, 0.1), (10, 0.1), (11, 0.1), (12, 0.4), (13, 0.4), (14, 0.4), (15, 0.4),
(16, 0.8), (17, 0.8), (18, 0.8), (19, 0.8), (20, 1), (21, 0.7), (22, 0.7),
(23, 0.7), (24, 0.7), (25, 0.7), (26, 0.3), (27, 0.3), (28, 0.3), (29, 0.3),
(30, 0.3)}.
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
69
Operasi Pembagian
Contoh 3.9
Misalkan bilangan kabur I dan J masing-masing mempunyai fungsi keang-
gotaan sebagai berikut:
xI
x
x x
μ x x
x
184 4
11
0 ; 18 atau 33
( ) ; 18 22
3 ; 22 33
, x+ (3.7)
dan
J
x
x x
μ x x x
x2
0 ; 5 atau 8
( ) 5 ; 5 6
4 ; 6 8
, x+ (3.8)
Dari (3.7), diperoleh
= 1 a ( ) 18
4 dan = 2
a ( )3
11
sehingga potongan- untuk bilangan kabur I adalah
I = 1 2 a a( ) ( )[ , ] = [4 + 18, -11 + 3]
Dari (3.8), diperoleh
= 1 b( ) 5 dan = 2
b( )4
2
sehingga potongan- untuk bilangan kabur J adalah
J = 1 2 b b( ) ( )[ , ] = [ + 5, -2 + 8]
Dengan demikian, I : J = 1 2 a a( ) ( )[ , ] : 1 2
b b( ) ( )[ , ]
= [4 + 18, -11 + 3] : [ + 5, -2 + 8]
=
4 18 11 33,
2 8 5
Misalkan 1 c ( )
4 18
2 8 dan 2
c ( )
11 33
5, maka
= 1
1
c
c
( )
( )
8 18
4 2 dan = 2
2
c
c
( )
( )
33 5
11,
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 70
sehingga diperoleh
0
x
xI:J
x
x
x x
μ x x
x
18 338 5
(8 18) 2218(4 2 ) 8 6
(33 5 ) 22 33( 11) 6 5
; atau
( ) ;
;
, x+
Gambar 3.5 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan I :J
Contoh 3.10
Misalkan A dan B adalah bilangan kabur seperti dalam Contoh 3.8 dan
misalkan C = A :B , maka C=A : B, sehingga diperoleh
C0.1 = [3, 5] : [3, 6] = ],[3
5
6
3 = 3 3 3 5 5 54 4 46 5 4 3 5 6 6 4 3
{ , , , 1, , , , , , }
C0.2 = [3, 5] : [4, 6] = ],[4
5
6
3 = 3 3 3 5 54 4 46 5 6 4 5 6 3 4
{ , , , , , , 1, , }
C0.3 = [3, 5] : [4, 6] = ],[4
5
6
3 = 3 3 3 5 54 4 46 5 6 4 5 6 3 4
{ , , , , , , 1, , }
C0.4 = [3, 5] : [4, 5] = ],[4
5
5
3 = 3 3 5 54 4 45 6 4 5 6 3 4
{ , , , , , 1, , }
C0.5 = [4, 5] : [4, 5] = ],[4
5
54 = 5 54 4
5 6 3 4{ , , 1, , }
C0.6 = [4, 5] : [4, 5] = ],[4
5
54 = 5 54 4
5 6 3 4{ , , 1, , }
C0.7 = [4, 5] : [4, 5] = ],[4
5
54 = 5 54 4
5 6 3 4{ , , 1, , }
xI~ x
J~
x
xJI~
:~
Gambar 3.5 Pembagian dua bilangan kabur (Contoh 3.9)
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
71
C0.8 = [4, 4] : [4, 5] = ]1,[54 = 54
5 6{ , , 1}
C0.9 = [4, 4] : [5, 5] = ],[54
54 = }{
54
C1 = [4, 4] : [5, 5] = ],[54
54 = }{
54
Misalkan didefinisikan himpunan kabur C yang fungsi keanggotaannya
C
μ x( )=
Cμ x( ) x, maka diperoleh
0 1C . =
3 3 3 46 5 4 3
5 5 54 45 6 6 4 3
0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 0 1
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ),
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , .1), ( , . )
0 2C . =
3 3 3 46 5 4 3
5 54 45 6 6 4
0 2 0 2 0 2 1 0 2 0 2
0 2 0 2 0 2 0 2
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ),
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . )
0 3C . =
3 3 3 46 5 4 3
5 54 45 6 6 4
0 3 0 3 0 3 1 0 3 0 3
0 3 0 3 0 3 0 3
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ),
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . )
0 4C . =
3 34 45 6 4 5
5 546 3 4
0 4 0 4 0 4 0 4
0 4 1 0 4 0 4 0 4
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ),
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . )
0 5C . = 5 54 45 6 3 4
0 5 0 5 1 0 5 0 5 0 5{( , . ), ( , . ), ( , . ),( , . ), ( , . )}
0 6C . = 5 54 45 6 3 4
0 6 0 6 1 0 6 0 6 0 6{( , . ), ( , . ), ( , . ),( , . ), ( , . )}
0 7C . = 5 54 45 6 3 4
0 7 0 7 1 0 7 0 7 0 7{( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . )}
0 8C . = { 545 6
0 8 0 8 1 0 8( , . ), ( , . ), ( , . ) }
0 9C . = 45
0 9{( , . )}
1C = 45
1{( , )}
Dengan menggunakan Teorema Dekomposisi, maka diperoleh
C = 0 1C . 0 2C . 0 3C . … 1C
= 3 3 3 54 46 5 6 4 5 6
0 3 0 4 0 4 0 4 1 0 8 1 0 8{( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , ),( , . ), ( , . ),
5 543 4 3
0 7 0 7 0 1( , . ), ( , . ), ( , . )}
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 72
3.3.2 Metode Prinsip Perluasan
Berikut ini akan diberikan teorema yang tidak akan dibuktikan dan akan digunakan untuk mendapatkan operasi aritmetika bilangan kabur.
Teorema 3.1
Jika I dan J adalah bilangan kabur pada yang fungsi keanggotaannya
masing-masing adalah I
μ x( ) dan yJ
μ ( ) , maka dengan menggunakan
prinsip perluasan pada operasi biner : , diperoleh fungsi
keanggotaan bilangan kabur I J sebagai berikut:
( ) { [ ( ), ( )]}
I J I Jz=x yμ z max min μ x μ y , (3.9)
di mana = {+, –, . , :}.
Dari Teorema 3.1 kita dapat memperoleh fungsi keanggotaan operasi-operasi aritmetika bilangan kabur, sebagai berikut:
Penjumlahan bilangan kabur
Misalkan I dan J adalah bilangan kabur pada dengan fungsi
keanggotaan masing-masing adalah I
μ x( ) dan yJ
μ ( ) , maka fungsi
keanggotaan bilangan kabur I +J adalah:
I+J I Jz=x+y
μ z max min μ x μ y( ) { [ ( ), ( )]} (3.10)
Contoh 3.11
Misalkan bilangan kabur 1 didefinisikan sebagai berikut:
1 = {(0, 0.2), (1, 1), (2, 0.2)}
maka bilangan kabur 1 +1 dapat diperoleh sebagai berikut:
1 1
μ (0) = max[min{0.2, 0.2}] = 0.2
1 1
μ (2) = max[min{0.2, 0.2}, min{1, 1}, min{0.2, 0.2}] = 1
1 1
μ (1) = max[min{0.2, 1}, min{1, 0.2}] = 0.2
1 1
μ (3) = max[min{1, 0.2}, min{0.2, 1}] = 0.2
1 1
μ (4) = max[min{0.2, 0.2}] = 0.2
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
73
sehingga bilangan kabur
1 + 1 = {(0, 0.2), (1, 0.2), (2, 1), (3, 0.2), (4, 0.2)}
Pengurangan bilangan kabur
Misalkan I dan J adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan
masing-masing adalah I
μ x( ) dan yJ
μ ( ) , maka fungsi keanggotaan
bilangan kabur I -J adalah:
I-J I Jz=x-y
μ z max min μ x μ y( ) { [ ( ), ( )]} (3.11)
Contoh 3.12
Misalkan bilangan kabur 3 dan 1 masing-masing didefinisikan sebagai
berikut:
3 = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.3)}
1 = {(0, 0.2), (1, 1), (2, 0.2)}
maka bilangan kabur 3 -1 dapat diperoleh sebagai berikut:
μ3-1(1) = max[min{0.1, 0.2), min{0.5, 1}, min{1, 0.2}] = 0.5
0μ3-1( ) = max[min{0.1, 1), min{0.5, 0.2}= 0.2
2μ3-1( ) = max[min{0.5, 0.2), min{1, 1}, min{0.7, 0.2}] = 1
3μ3-1( ) = max[min{1, 0.2), min{0.7, 1}, min{0.3, 0.2}] = 0.7
1μ3-1( ) = max[min{0.1, 0.2}] = 0.1
4μ3-1( ) = max[min{0.7, 0.2), min{0.3, 1}] = 0.3
5μ3-1( ) = max[min{0.3, 0.2}] = 0.2
sehingga bilangan kabur
3 – 1 = {(-1, 0.1), (0, 0.2), (1, 0.5), (2, 1), (3, 0.7), (4, 0.3), (5, 0.2)}
Perkalian Bilangan Kabur
Misalkan I dan J adalah bilangan kabur pada dengan fungsi
keanggotaan masing-masing adalah I
μ x( ) dan yJ
μ ( ) , maka fungsi
keanggotaan bilangan kabur I .J adalah:
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 74
I.J I Jz=x.y
μ z max min μ x μ y( ) { [ ( ), ( )]} (3.12)
Contoh 3.13
Misalkan bilangan kabur 3 dan 2 masing-masing didefinisikan, sebagai
berikut:
3 = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.3)}
2 = {(1, 0.2), (2, 1), (3, 0.5)}
maka bilangan kabur 3 ·2 dapat diperoleh sebagai berikut:
μ3.2(1) = max[min{0.1, 0.2}] = 0.1
μ3.2(2) = max[min{0.1, 1}, min{0.5, 0.2}] = 0.2
μ3.2(3) = max[min{0.1, 0.5}, min{1, 0.2}] = 0.2
4μ3.2( ) = max[min{0.5, 1}, min{0.7, 0.2}] = 0.5
5μ3.2( ) = max[min{0.3, 0.2}] = 0.2
6μ3.2( ) = max[min{0.5, 0.5}, min{1, 1}] = 1
8μ3.2( ) = max[min{0.7, 1}] = 0.7
9μ3.2( ) = max[min{1, 0.5}] = 0.5
10μ3.2( ) = max[min{0.3, 1}] = 0.3
12μ3.2( ) = max[min{0.7, 0.5}] = 0.5
15μ3.2( ) = max[min{0.3, 0.5}] = 0.3
Sehingga diperoleh:
3 ·2 = {(1, 0.1), (2, 0.2), (3, 0.2), (4, 0.5), (5, 0.2), (6, 1), (8, 0.7),
(9, 0.5), (10, 0.3), (12, 0.5), (15, 0.3)}
Dari hasil perkalian bilangan kabur tersebut, ternyata hasilnya tidak konveks. Ketidakkonveksan ini disebabkan oleh penyimpangan yang berkaitan dengan
angka dari pendiskritan (descretization) bilangan kabur 3 dan 2 , bukan
disebabkan oleh masalah dalam prinsip perluasan. Permasalahan ini dapat
diatasi dengan mentransformasikan bilangan kabur 3 dan 2 dalam
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
75
menjadi bilangan kabur dalam , atau dengan kata lain pendiskritannya
dinaikkan sehingga fungsi keanggotaan hasil perkaliannya akan monoton naik
di sebelah kiri nilai normal ( = 1) dan monoton turun di sebelah kanan nilai normal.
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
Pada bilangan yang lebih kecil daripada bilangan yang fungsi keanggotaannya sama dengan satu, gunakan semua pasangan perkalian
x.y di mana x.y z.
Pada bilangan yang lebih besar daripada bilangan yang fungsi keanggotaannya sama dengan satu, gunakan semua pasangan perkalian
x.y di mana x.y z.
Dengan demikian, dari Contoh 3.13 perkalian bilangan kabur 3 dan 2 dapat
diperoleh melalui proses berikut:
Bilangan yang fungsi keanggotaannya sama dengan satu adalah 6, yaitu:
6μ2.3( ) = max[min(0.5, 0.5), min(1, 1)] = 1
1 1
1 0 1 0 2
μ max min2.3( ) . , . =0.1
1 1 2 1 1 2
2 0 1 0 2 0 5 0 2 0 1 1
μ max min min min2.3( ) . , . , . , . , . , = 0.2
1 1 1 2 2 1
1 3 3 1
0 1 0 2 0 1 1 0 5 0 23
0 1 0 5 1 0 2
min min minμ max
min min
2.3
. , . , . , , . , . ,( )
. , . , , .
= 0.2
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 76
1 1 1 2 2 1
3 1 1 3 2 2
4 1
0 1 0 2 0 1 1 0 5 0 2
4 1 0 2 0 1 0 5 0 5 1
0 7 0 2
min min min
μ max min min min
min
2.3
. , . , . , , . , . ,
( ) , . , . , . , . , ,
. , .
=0.5
1 1 1 2 2 1
1 3 1 3 2 2
5 14 1
0 1 0 2 0 1 1 0 5 0 2
5 1 0 2 0 1 0 5 0 5 1
0 7 0 2 0 3 0 2
min min min
μ max min min min
min min
2.3
. , . , . , , . , . ,
( ) , . , . , . , . , ,
. , . , . , .
= 0.5
6 1μ2.3( )
4 3 3 34 2
5 2 5 3
0 7 1 0 7 0 5 1 0 57
0 3 1 0 3 0 5
min min minμ max
min min
2.3
. , , . , . , , . ,( )
. , , . , .
= 0.7
4 3 3 34 2
5 2 5 3
0 7 1 0 7 0 5 1 0 58
0 3 1 0 3 0 5
min min minμ max
min min
2.3
. , , . , . , , . ,( )
. , , . , .
= 0.7
3 3 4 3 5 2
5 3
1 0 5 0 7 0 5 0 3 19
0 3 0 5
min min minμ max
min
2.3
, . , . , . , . , ,( )
. , .
= 0.5
4 3 5 2 5 3
10 0 7 0 5 0 3 1 0 3 0 5
μ max min min min2.3( ) . , . , . , , . , . = 0.5
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
77
4 3 5 3
11 0 7 0 5 0 3 0 5
μ max min min2.3( ) . , . , . , . = 0.5
4 3 5 3
12 0 7 0 5 0 3 0 5
μ max min min2.3( ) . , . , . , . = 0.5
5 3
13 0 3 0 5
μ max min2.3( ) . , . = 0.3
5 3
14 0 3 0 5
μ max min2.3( ) . , . = 0.3
5 3
14 0 3 0 5
μ max min2.3( ) . , . = 0.3
sehingga :
3 ·2 =
1 0 1 2 0 2 3 0 2 4 0 5 5 0 5 6 1
7 0 7 8 0 7 9 0 5 10 0 5 11 0 5 12 0 5
13 0 3 14 0 3 15 0 3
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , ),
( , . ), ( , . ), ( , . ),( , . ),( , . ),( , . ),
( , . ),( , . ), ( , . )
Pembagian bilangan kabur
Misalkan I dan J adalah bilangan kabur pada dengan fungsi
keanggotaan masing-masing adalah I
μ x( ) dan J
μ y( ) , maka fungsi
keanggotaan bilangan kabur I :J adalah:
I:J I Jz=x:y
μ z max min μ x μ y( ) { [ ( ), ( )]} (3.13)
Contoh 3.14
Pandang kembali bilangan kabur 3 dan 2 pada Contoh 3.13. Dengan
menaikkan pendiskritan seperti pada Contoh 3.13 maka bilangan kabur 3 :2
dapat diperoleh melalui proses berikut:
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 78
13
13
0 1 0 5
μ max min3:2( ) . , . = 0.1
12
μ3:2( )=
1 13 2
0 1 0 5 0 1 1
max min min. , . , . , = 0.1
23
μ3:2( )=
1 213 32
0 1 0 5 0 1 1 0 5 0 5
max min min min. , . , . , , . , . = 0.5
1μ3:2( )=
1 213 32
31 231 2
0 1 0 5 0 1 1 0 5 0 5
0 1 0 2 0 5 1 1 0 5
min min minmax
min min min
. , . , . , , . , . ,
. , . , . , , , .
= 0.5
32
μ3:2( )= 1
43
μ3:2( )=
54 23 3 1
5 342 2 1
541 1
0 7 0 5 0 3 0 5 0 5 0 2
0 7 1 0 3 1 1 0 2
0 7 0 2 0 3 0 2
min min min
max min min min
min min
. , . , . , . , . , . ,
. , , . , , , . ,
. , . , . , .
= 0.7
53
μ3:2( )=
5 2 43 1 2
5 3 42 1 1
51
0 3 0 5 0 5 0 2 0 7 1
0 3 1 1 0 2 0 7 0 2
0 3 0 2
min min min
max min min min
min
. , . , . , . , . , ,
. , , , . , . , . ,
. , .
= 0.7
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
79
2μ3:2( )=
52 41 2 2
3 541 1 1
0 5 0 2 0 7 1 0 3 1
1 0 2 0 7 0 2 0 3 0 2
min min minmax
min min min
. , . , . , , . , ,
, . , . , . , . , .
= 0.7
52
μ3:2( )=
5 3 42 1 1
51
0 3 1 1 0 2 0 7 0 2
0 3 0 2
min min minmax
min
. , , , . , . , . ,
. , .
= 0.3
3μ3:2( ) =
3 541 1 1
1 0 2 0 7 0 2 0 3 0 2max min min min
, . , . , . , . , .
= 0.2
4μ3:2( )=
541 1
0 7 0 2 0 3 0 2
max min min. , . , . , . = 0.2
5μ3:2( )= 0 3 0 2 max min . , . = 0.2
sehingga diperoleh:
3~
: 2~
=
31 1 2 43 2 3 2 3
5 53 2
0 1 0 1 0 5 1 0 5 1 0 7
0 7 2 0 7 0 3 3 0 2 4 0 2 5 0 2
( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , ), ( , . ),
( , . ),( , . ), ( , . ), ( , . ),( , . ), ( , . )
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 80
Soal-Soal Latihan
3.1. Yang manakah dari himpunan kabur yang fungsi keanggotaannya didefinisikan berikut termasuk bilangan kabur:
i). 0
0
A
x xμ x
x
sin ;( )
; yang lain
ii). 0 10
0
B
x xμ x
x
;( )
; yang lain
iii). 1 0 10
0
C
xμ x
x
;( )
; yang lain
iv). 1
D
x xμ x
x <
min( , ) ; 0( )
0 ; 0
v). 1 5
0
E
xμ x
x
;( )
; yang lain
3.2. Hitunglah
a) [-1, 2] + [1, 3]
b) [-2, 4] - [3, 6]
c) [-3, 4] [-3, 4]
d) [-4, 6] : [1, 2]
3.3. Misalkan A dan B adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan
22 0
2
20 2
2
0
A
xx
xμ x x
x
( );
( )( ) ;
yang lain
, x+,
Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya
81
22 4
2
64 6
2
0
B
xx
xμ x x
x
( );
( )( ) ;
yang lain
, x+.
Hitunglah A +B , A –B , A B dan A :B dengan menggunakan
metode potongan-.
3.4. (a). Misalkan bilangan kabur “sekitar 4” dan “sekitar 3” dalam
didefinisikan sebagai berikut:
4 {(1, 0.1), (2, 0.3), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.3)}
3 {(1, 0.3), (2, 0.6), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.2), (6, 0.1)}
Hitunglah 4 + 3 dengan menggunakan metode potongan- dan
prinsip perluasan.
(b). Misalkan bilangan kabur “sekitar 2” dan “sekitar 1” dalam
didefinisikan sebagai berikut:
2 {(-2, 0.1), (-1, 0.3), (0, 0.7), (1, 0.9), (2, 1), (3, 0.5)}
1 {(-1, 0.1), (0, 0.6), (1, 1), (2, 0.8), (3, 0.3)}
Hitunglah 2 – 1 dengan menggunakan metode potongan- dan prinsip perluasan.
(c). Misalkan bilangan kabur “sekitar 4” dan “sekitar 5” dalam +
didefinisikan sebagai berikut:
4 {(1, 0.1), (2, 0.3), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.3)}
5 {(1, 0.3), (2, 0.6), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.2), (6, 0.1)}
Hitunglah 4 5 dan 4 :5 dengan menggunakan metode
potongan- dan prinsip perluasan.
3.5. Buktikan bahwa jika A dan B adalah bilangan kabur dalam , maka
A +B dan A B adalah himpunan kabur dalam yang normal.
(gunakan metode potongan-)
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 82