07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS
Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 2
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :• Proses Grafika Komputer• Kuantisasi pada proses kompresi• Least Square pada Optimasi• Dan lain-lain
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 3
Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arahNotasi vektor
( )321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcicccc
c =++=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
Notasi panjang vektor⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
2
1
ccc
c
adalah2
32
22
1 cccc ++=
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 4
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 5
Penjumlahan Vektor
u
v vu +
u
{
u v
vu +
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 6
u
u2
u2−
Perkalian vektor dengan skalar
u ( )uk
u
uu
Perkalian vektor dengan skalar k,
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kalipanjang vektor dengan arah
Jika k > 0 searah denganJika k < 0 berlawanan arah dengan
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 7
Scaling
PP
PP’’
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 8
( )3211 , aaaa = ( )321 ,, bbbb =
( )332211 ,,.1 babababa +++=+
( )332211 ,,.2 babababa −−−=−
( )321 ,,.3 kakakaak =
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 9
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang samayang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 10
Dot Product
Misalkanadalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana
: panjang
: panjang
α : sudut keduanya
αcosbaba =•
,a b
a
b
a
b
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 11
Ilustrasi dot product vektor A dan B
αcosBABA =•
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 12
Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
danJawab :
Karena tan α = 1 , artinya = 450
= 4
ia ˆ2= jib ˆ2ˆ2 +=
αcosbaba =•
2182=
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 13
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos αac
bα
a
b
a
b
ab −
αcos2222
babaab −+=−
αb−
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 14
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
=θcosba⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−+
22221 abba
αcos1. baba =•
222
21
2....2 naaaa ++=
222
21
2....3 nbbbb +++=
( ) ( ) ( )2222
211
2....4 nn abababab −++−+−=−
nnnn
nn
abababaaabbb
2...22......
11
222
21
222
21
−−−−+++++++=
nnbabababa +++=• ...2211
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 15
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor padacontoh sebelumnya
= 2 (2) + 0 (2)= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1.
2.
3.
2211 bababa +=•
nnbabababa +++=• ...2211
abba •=•
( ) ( ) ( )cabacba •+•=+•
( ) Rkbkabakbak ∈•=•=• dimana,
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 16
Proyeksi Ortogonal
Karena
aproyc b=
a
b
w
cwa += ( ) bcwba •+=•
bcbw •+•=
bk
bbk
=
•=
bkc =
bahwaterlihat
2bbak •
=
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 17
Jadi, rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=342
u
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
431
v
bb
baaoyb 2Pr •=
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 18
Jawab :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−+−+−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−++
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−•
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=
•=
431
431
2626
431
26)12()12(2
431
)4(31
431
342
Pr
222
2 vv
vwwoyv
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 19
Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektordi Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegaklurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
BBBABAkji
=BxAC =
kBBAA
jBBAA
iBBAA ˆˆˆ
21
21
31
31
32
32 +−=
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 20
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)
BxAC =
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 21
Contoh :Tentukan ,dimana
Jawab :
vuw ×=
321
321
ˆˆˆ
vvvuuukji
w =
( )2,2,1 −=u )1,0,3(=v
103221
ˆˆˆ
−=kji
( ) +−−= i)2(01.2 ( ) +−− j1.1)2(3 ( ) k2.30.1 −
kji ˆ6ˆ7ˆ2 −−=
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 22
Beberapa sifat Cross Product :
a.
b.
c. ( )2222 vuvuvu •−=×
( ) 0=• vxuu
( ) 0=• vxuv
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 23
Dari sifat ke-3 diperoleh
( )2222 vuvuvu •−=×
( )222 cosα⋅⋅−⋅= vuvu
( )α22222 cos⋅⋅−⋅= vuvu
( )α222 cos1−⋅= vu
α222 sin⋅⋅= vu
αsin, ⋅⋅= vuvxuJadi
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 24
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebutadalah
u
v
α
αsinv
u
αsinGenjangJajaran Luas ⋅⋅== vuvxu
vu ×=21segitigaLuas
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 25
Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luassegitiga ABC !
Jawab :Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)= (3, 2, 2)= C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)= (1, 4, 5)
AB
AC
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 26
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC×541223
ˆˆˆ kji=
kji ˆ10ˆ13ˆ2 +−=
100169421
++=Luas
27321
=
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 27
Orientasi pada titik B
=BA ba −
=BC bc −
=× BCBA
322223
ˆˆˆ
−−−−
kjijki ˆ10ˆ13ˆ2 −+−=
== BCxBA21
100169421
++
27321
=
= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
=
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 28
Latihan Bab 41. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut :a. dan
b. dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan
b. dan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21
u ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=8
6v
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=73
1u
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
22
8v
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
12
a ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
23
b
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=31
2a
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
221
b
07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 29
3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
dan
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=2
3u
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
137
u⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
402
v