440
Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN
Stabilitas Aliran Fluida 441
BAB
16 Stabilitas Aliran Fluida
16.1 Pendahuluan
Apa yang telah kita lakukan selama ini adalah memprediksikan gerakan fluida dengan
menggunakan persamaan-persamaan dasar fluida. Dalam memprediksikan gerakan
fluida, kita sering menggunakan asumsi-asumsi, khususnya asumsi steady. Kita telah
mendapatkan banyak solusi–solusi dari persamaan–persamaan dasar fluida dengan
menggunakan asumsi aliran steady. Namun, seringkali solusi–solusi yang kita dapatkan
tidak sama persis dengan apa yang terjadi di alam semesta ini. Walaupun kasus–kasus
ini adalah solusi yang “exact”.
Aliran–aliran yang benar-benar terjadi di alam selain harus mematuhi persamaan–
persamaan dasar fluida juga haruslah stabil. Gangguan-gangguan kecil selalu ada dalam
aliran yang sebenarnya dan apabila aliran yang kita analisa tidak stabil, maka aliran–
aliran tersebut tidak akan dapat kita jumpai di alam. (aliran tidak stabil apabila
gangguan-gangguan ini terus membesar bersama-sama waktu.)
Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa stabilitas
terhadap aliran fluida. Tentunya tidak ada aturan umum untuk menentukan kestabilan
fluida. Apakah aliran tersebut stabil atau tidak harus dianalisa kasus per kasus. Kita
akan mulai dengan melakukan analisa stabilitas untuk stabilitas “interfacial” yang
Stabilitas Aliran Fluida 442
membatasi dua fluida yang berbeda. Kemudian kita pelajari stabilitas aliran parallel,
baik secara inviscid maupun tidak. Aliran–aliran yang akan dibahas di dalam bab ini
adalah aliran–aliran inkompresible.
Akan kita lihat bahwa analisa stabilitas untuk aliran adalah persoalan yang sangat rumit
secara matematis. Analisa yang agak sederhana akan kita jumpai untuk kasus interfacial
instability.
16.2 Interfacial Stability(Inviscid Flow)
Dalam kasus ini terdapat dua fluida yang berbeda yang dibatasi oleh sebuah interface/
pembatas. Kedua fluida ini dapat mengalir dengan kecepatan yang berbeda namun
kecepatan di setiap fluida adalah konstan. Permasalahan ini digambarkan di dalam
sketsa di bawah ini. x2
η x1
interface
B
AρA, UA
ρB, UB
g
x3
Fluida A dengan ρ = ρA dan U = UB bertemu dengan fluida B dengan ρ = ρB dan U
=UB. ρA, UA, ρB, UB adalah massa jenis dan kecepatan sebelum ada gangguan.
Kemudian, kita akan berikan gangguan dan kita akan lihat apa yang akan terjadi pada
interface. Diasumsikan bahwa aliran adalah aliran irotasional sehingga
( ) 1/ ˆA Bu U eφ= ∇ = .
Karena aliran adalah aliran inkompresibel maka, 2
1 0φ∇ = , (IS.1) 22 0φ∇ =
Stabilitas Aliran Fluida 443
di mana
21lim A Ax
U eφ→∞
∇ = dan 2
1lim B BxU eφ
→∞∇ =
Apabila kita berikan gangguan, maka interface yang tadinya berada di posisi x2 = 0 akan
berubah dan berada di posisi x2 = η(x1, x3, t). Kinematik boundary condition (kondisi
batas kinematik) di posisi x2 = η (interface) adalah,
( )2 0d xdt
η− = atau ( ) ( )2 2 0x u xt
η η∂− + ⋅∇ − =
∂
, yang menyatakan bahwa partikel fluida yang berada di interface akan selalu berada di
interface. Karena x1, x2, x3, dan t adalah independen dan η = η (x1, x3,t) maka,
1 2 31 3
0u u ut x xη η η∂ ∂ ∂
− − + − =∂ ∂ ∂
atau
22 1 1 3
u3x t x x x x
φ η φ η φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂η
Karena terdapat dua fluida yang berbeda, maka untuk kasus ini terdapat dua persamaan
yaitu,
2 1 1 3
i i i
3x t x x x xφ φ φη η∂ ∂ ∂∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
η∂ , i = A, B (IS.2)
(dua persamaan untuk fluida A dan B)
Kondisi batas yang kedua adalah pA = pB di x2 = η. Dari persamaan
momentum(Bernoulli), 1x
22
12i i i i ip gx
t ibφρ φ ρ ρ∂+ + ∇ + =
∂
, di mana bi adalah konstanta Bernoulli. Namun, pada interface pA = pB sehingga,
21 12 2
AA A A B B Bb g b
t tφ 2 B gφρ φ η ρ φ∂⎛ ⎞ ⎛− ∇ − − = − ∇ − −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η∂ ⎞⎟ (IS.3).
Sebelum ada gangguan , iddtφ
, 0η = , i Uiφ∇ = sehingga,
2 21 12 2A A A B B Bb U b Uρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Stabilitas Aliran Fluida 444
Sekarang kita berikan gangguan kecil kepada aliran. Karena gangguan ini kecil maka
kita dapat nyatakan
1 'i iu U e ui= +
, di mana 'i 'iu φ= ∇ i, atau 1 'i iU eφ φ= + di mana i = A dan B.
Apabila kita substitusikan ini ke persamaan (IS.1), (IS.2), (IS.3) dan abaikan suku yang
sangat kecil (misalnya u’η~ 0),seperti waktu mendapatkan persamaan untuk akustik
maka,
⇒)1.(IS 2 ' 0Aφ∇ = 2 ' 0Bφ∇ =
dimana kondisi batasnya adalah
2
lim ' 0Axφ
→∞∇ =
2
lim ' 0Bxφ
→∞∇ =
⇒)2.(IS 2 0
2 1
'lim AAx
Ux t xφ η η
→
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ,
2 02 1
'lim BBx
Ux t xφ η η
→
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂
⇒)3.(IS 1 1
' '' 'A BA A A B B BU g U g
x t x tφ φρ φ η ρ φ η
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- - - - (IS)
Catatan:
• bA dan bB harus sama di x2 = η 2x
• Sama seperti waktu mempelajari thin airfoil, iφ dan turunannya dievaluasi di x2
= 0 karena η dianggap kecil sehingga, ( )2 12 2
,0 ...i iiu x
x xφ φ∂ ∂
= ≈ +∂ ∂
.
Sistem persamaan inilah yang harus diselesaikan untuk melihat stabilitas dari aliran ini.
Koefisien dari persamaan Laplace adalah konstan sehingga persamaan ini dapat
diselesaikan dengan menggunakan “normal modes analysis” dimana diasumsikan,
( )( )( )
( ) (1 1 3 3
2
2
2
''
R IMi k x k x i tA A
B B
xx ex
ω ω
η ηφ φφ φ
)⎡ + − + ⎤⎣ ⎦
⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
, k1, k3 ∈ R (IS.4)
Dengan demikian maka solusi sistem persamaan (IS) adalah superposisi dari Fourrier
mode. Dari solusi di atas dapat dilihat bahwa ', ',A Bη φ φ terus membesar bersama waktu
Stabilitas Aliran Fluida 445
apabila ωIM > 0. Jadi untuk menentukan apakah aliran ini stabil atau tidak kita bisa lihat
harga ωIM:
0<IMω aliran stabil
0>IMω aliran tidak stabil
0=IMω adalah batas kestabilan
Sekarang kita cari ωIM dengan mensubtitusikan (IS.4) ke dalam sistem persamaan (IS).
Dari kedua persamaan Laplace,
21 1
kx kxA
2A e B eφ −= +
2 22 2
kx kxB A e B eφ −= +
di mana 2
1 3k k k= + 2. Dari kondisi batas
2
lim ' 0Axφ
→±∞∇ = ,
21 0 BA ==
Sementara itu kondisi batas 2
102 1
'lim A
xU
x t xφ η
→
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂η memberikan,
( )1 1 AB i ik U kηω= − − +
( )2 1 BA i ik U kηω= + − +
di mana IMR iωωω +≡ . Apabila kita subtitusikan hasil-hasil diatas ke dalam kondisi
batas terakhir (pA = pB ),
( )( )( ) ( )( )( )2 21 1A A Bkg i ik U kg i ik Uρ ω ρ ω− − + = + − + B
Persamaan terakhir adalah persamaan Eigenvalue untuk –iω. Persamaan ini persamaan
kuadrat untuk (–iω) dan solusinya adalah,
( )( )
( )( )
12 22
112
A B A B A B A A B B
A B A BA B
k U U kg U Ui iρ ρ ρ ρ ρ ρω
ρ ρ ρ ρρ ρ
⎡ ⎤− − ⎛ ⎞+− = ± − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ ++⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦
k
Jadi persamaan untuk IMω adalah,
Stabilitas Aliran Fluida 446
( ) ( )
( )
2 2 21
2
A B A B B AIM
A B
k U U kgρ ρ ρ ρω
ρ ρ
− − −= ±
+ (IS.5)
Dari (IS.5) kita bisa lihat stabilitas aliran untuk kasus-kasus di bawah ini :
1) Apabila maka aliran ( ) ( 22 21B A A B A Bkg k U Uρ ρ ρ ρ− > − ) stabil karena IMω
imajiner.
2) Apabila ( ) ( 22 21A B A B A Bkg k U Uρ ρ ρ ρ− < − ) maka aliran tidak stabil karena ada
satu 0IMω > (yang satu lagi IMω < 0).
Contoh : Surface gravity wave
Untuk kasus ini 0Aρ = , 0A BU U= = sehingga IMω adalah imajiner
danaliran ini stabil.
Contoh : Internal gravity wave
Untuk kasus ini A Bρ ρ≠ , 0AU BU= = sehingga
A BIM
A B
kg ρ ρωρ ρ
⎛ ⎞−= ± ⎜ ⎟+⎝ ⎠
Dengan demikian terdapat dua kemungkinan yaitu,
ρA > ρB tidak stabil
ρA < ρB stabil
Instabilitas tipe ini disebut “Rayleigh – Taylor Instability”.
Contoh : Vortex Sheet Untuk kasus ini ρA = ρB , UA ≠ UB sehingga,
( )21
4IM A Bk U Uω = ± − .
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa vortex sheet tidak pernah
stabil. Instabilitas ini disebut “Kelvin – Helmholtz Instability”. Karena
Stabilitas Aliran Fluida 447
( )
1 2A B
R
U Ukω
+= dan “phase velocity” adalah ( )1
2R
A BkC U
k kUω
≡ = +
maka gelombang instabilitas ini akan bergerak.
16.3 Parallel Shear Flow (Inviscid)
U =U(x2)
Sekarang kita beralih ke permasalahan stabilitas aliran paralel shear flow. Pertama–
tama kita akan pelajari secara inviscid. Di subbagian berikutnya, kita akan masukkan
efek viskositas. Sama seperti sebelumnya, dalam mempelajari stabilitas aliran ini kita
akan gunakan asumsi aliran inkompresibel. Aliran awalnya (sebelum diberikan
gangguan kecil) adalah aliran paralel di mana kecepatannya adalah fungsi dari
ketinggian, y, seperti dicontohkan di sketsa di atas. Jadi kita dapat nyatakan bahwa
( ) ( )( )txpptxuu ,'',,'' == ,
2 1( ) 'u U x e u= + , 'pPp +=
di mana 'p , 'u adalah “gangguan kecil”.
u dan p haruslah memenuhi persamaan kontinuitas dan momentum,
0=⋅∇ u dan puutu
−∇=∇⋅+∂∂
(dalam persamaan momentum harga ρ telah dibuat ρ = 1, karena ρ adalah konstan untuk
kasus ini). Sekarang kita subtitusikan u dan p ke dalam persamaan-persamaan di atas,
0'=⋅∇ u ( karena 1 0Ue∇ ⋅ = untuk U U 2( )x= )
x2
x1
Stabilitas Aliran Fluida 448
( ) ( )1 1' ˆ ˆ' 'u Ue u Ue u P p
t∂
+ + ⋅∇ + = −∇ − ∇∂
'
( )1 2 11 1 2
0
' ˆ ˆ' ' ' ' 'u dU Ue U u u u u Ue P pt x x dx
=
∂ ∂ ∂+ + + ⋅∇ + = −∇ +
∂ ∂ ∂
Karena u sangat kecil maka ' 'u u⋅∇ ≈ 0 . Selain itu sebelum ada gangguan,
memenuhi persamaan
( )2 1U x e
1 10
PU Ux x=
∂= −
∂ ∂∂ atau
1
0Px
∂=
∂.
Oleh karena itu, persamaan kontinuitas dan momentum menjadi,
' 0u∇ ⋅ =
2 11 2
' ' ˆ' 'u u dUU u et x dx
∂ ∂+ + = −∇
∂ ∂p
Baik persamaan kontinuitas maupun persamaan momentum adalah persamaan
diferensial dengan koefisien yang bukan merupakan fungsi waktu (koefisien untuk
persamaan momentum adalah U ( 2x ) dan ( )2
2
dU xdx
). Oleh karena itu, kita dapat
menggunakan “normal mode analysis” sehingga kita dapat nyatakan bahwa solusi dari
persamaan-persamaan di atas adalah,
( )( )
( )1 1 3 32
2
ˆ'ˆ'
i k x k x tu xue
p xpω+ −⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
di mana ( ) ( ) ( )2 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆu u x e v x e w x e≡ + + 3 .
Sekarang kita substitusikan u’ dan p’ ke dalam persamaan kontinuitas dan momentum,
( )1 32
ˆˆ ˆ 0dvi k u k wdx
+ + = (kontinuitas)
( )12
ˆ ˆ ˆdUi Uk u v ik pdx
ω− + = − 1 (x-momentum)
( )12
ˆˆ dpi Uk vdx
ω− = − (y-momentum)
( )1 ˆi Uk w ik pω− = − 3 ˆ (z-momentum)
Stabilitas Aliran Fluida 449
(PSF.1)
Apabila kita berikan kondisi batas maka persamaan (PSF.1) dan kondisi batasnya akan
memberikan kita eigenvalue problem yang menghasilkan persamaan berbentuk D (k,ω)
= 0 di mana 21 3k k k= + 2 , seperti dalam kasus interfacial instability. Dari persamaan
seperti ini kita dapat lihat kapan aliran seperti ini menjadi tidak stabil.
Namun sebelum kita lanjutkan, ada sebuah torema yang sangat membantu.
Teorema Squire’s:
Apabila kx, kz, dan ω adalah eigenvalue dari (PSF.1), maka terdapat modus yang
lebih tidak stabil yaitu “mode” 2-D di mana eigenvaluenya adalah ( )1,0,k ω dan
IM IMω ω> .
Bukti:
Transformasikan (PSF.1) dengan menggunakan
2 21 1 3k k k≡ + , 1 1 3ˆ ˆk u k u k w≡ + , 1
1
ˆkp pk
≡ , ˆv v≡ .
Hasilnya adalah:
1
2
0dvik udx
+ =
( ) 112
dUi k U u v ik pdx
ω− + = −
( )12
pi k U vx
ω ∂− = −
∂
( ) 31 ˆi k U w ik pω− = −
Jadi transformasi di atas menghasilkan persamaan 3-D yang sama/ mirip
dengan persamaan-persamaan untuk kasus 2-D (di mana , ˆ 0w = 3 0k = ).
Selain itu transformasi untuk 1ckω = adalah
Stabilitas Aliran Fluida 450
1 1IM IM IM IMk c k cω ω= > = (karena 1 1k k> ) di mana R Ic c ic M= + Q.E.D
Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa untuk setiap modus 3D yang tidak stabil,
ada modus 2D yang tidak stabil dengan laju pertumbuhan ( IMω ) yang lebih tinggi.
Jadi, menurut teorema ini, untuk menentukan stabilitas dari aliran ini kita cukup
mempelajari aliran 2-D.
Dalam aliran 2-D kita dapat menggunakan funsi arus ψ. Sekarang kita akan
perkenalkan ( ) ( )1 12
i k x tx e ωψ ζ −=
sehingga,
( 1 1
2 2
' i k x tdu ex dx
)ωψ ζ −∂= =
∂ atau
2
ˆ du Ddx
ζ ζ= ≡
( 1 11
1
' i k x tv ik ex
)ωψ ζ −∂= − = −
∂ atau 1v ik ζ= −
Substitusikan hasil di atas ke persamaan (PSF.1) untuk 2-D ( 30w k= = ) didapatkan,
( )( )2 2 2 0xU c D k D Uζ ζ ζ− − − = (Persamaan Rayleigh)
di mana 2
22
2
dDdx
ζζ ≡ , 2
22
2
d UD Udx
≡ , R Ic c ick Mω
≡ = + . Kondisi batas yang harus
dipenuhi persamaan Rayleigh adalah:
( )2 0wallxζ = , apabila terdapat dinding karena ( )2' 0wallv x =
( )2 0xζ → ±∞ = , apabila aliran tak terbatas karena ( )2' 0v x → ±∞ =
Persamaan Rayleigh mempunyai beberapa sifat-sifat umum:
1. Apabila kita gunakan transformasi , , ' 'u u→ − ' 'v v→ − x x→ − , , t t→ −
' 'p p→ − persamaan Rayleigh tidak berubah (invariant) sehingga apabila
( )1 1i k x te ωζ − adalah sebuah solusi maka ( )1 1i k x te ωζ − +− juga merupakan sebuah
solusi. Selain itu apabila (k1, ω) adalah eigenvalue untuk sebuah eigenfunction ζ
maka (-k1, -ω) adalah eigenvalue untuk eigenfunction ζ* (kompleks konjugate
dari ζ). Dengan kata lain apabila ζ adalah sebuah solusi maka ζ* juga
Stabilitas Aliran Fluida 451
merupakan solusi. Dari kedua solusi tersebut kita menggunakan prinsip
superposisi dan membentuk sebuah solusi yang real yaitu, *ζ ζ ζ= +
Berikutnya adalah beberapa kriteria untuk instabilitas (ωIM > 0 atau cIM > 0). Untuk
mendapatkan kriteria-kriteria tersebut, diperlukan hubungan di bawah ini. Apabila
terdapat instabilitas, cIM ≠ 0 sehingga (U – c) ≠ 0. Oleh karena itu, persamaan Rayleigh
dapat dituliskan seperti
( ) ( )2
2 21 0D UD k
U cζ ζ− − =
−
Sekarang kita kalikan persamaan di atas dengan ζ* (kompleks konjugate dari ζ) dan
integrasikan
( )2
1
22 2
1 2* * *y
y
D UD k dxU c
ζ ζ ζζ ζζ⎛ ⎞
0− − =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠∫
di mana y2 dan y1 adalah batas-batas fluida. Suku pertama dapat dijabarkan, 22 2
1 1
1
22
2 222 2 22
0
** *yy y
y y
y
d d d ddx dx D dxdx dx dxdx
ζ ζ ζ ζζ ζ
=
= − = −∫ ∫2
1
2
y
y
ζ∫
di mana telah digunakan kondisi batas ζ = 0 = ζ* di batas-batas fluida. Dengan
demikian maka integral tersebut menjadi,
( )( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 22 22 22
1 2 22 22 2
Riil Imajiner
0y y y
R IM
y y yR IM R IM
U c D U c D UD k dx dx i dx
U c c U c c
ζ ζζ ζ
−= + + +
− + − +∫ ∫ ∫ 2 (PSF.2)
Sekarang kita akan gunakan integral di atas untuk mendapatkan kriteria-kriteria untuk
instabilitas. Kriteria-kriteria ini adalah kondisi yang harus dipenuhi untuk terjadinya
instabilitas namun bukanlah kondisi yang cukup untuk menentukan apakah suatu aliran
stabil atau tidak (ini adalah “necessary condition” bukan “sufficient condition”)
Stabilitas Aliran Fluida 452
2. Teorema Rayleigh Inflection Point:
“Apabila terdapat instabilitas dalam aliran, 2
22
2
d U D Udx
= haruslah berubah tanda
di sebuah posisi y0 di antara y1 dan y2” (Instabilitas hanya terjadi apabila terdapat
2 0
2
22
0x y
d Udx
=
= di mana y1 ≤ y0 ≤ y2).
Bukti: Karena (PSF.2) adalah hubungan kompleks meka, suku riil = 0 dan suku
imajiner = 0. Perhatikan suku imajiner,
( )( )
2
1
22
22 20
yIM
y R IM
c D Udx
U c c
ζ=
− +∫ (PSF.3)
Apabila terdapat instabilitas, 0IMc ≠ maka karena 2 0ζ ≠ dan ( ,
haruslah berubah tanda (dari positif ke negatif misalnya) di suatu titik y
)2 0RU c− ≠
2D U 0 di
antara y2 dan y1 untuk memenuhi hubungan di atas ( ). Dengan
demikian maka harus terdapat y
( )2
1
2 0y
y
dx =∫
0 di mana 2 0D U = . (Q.E.D)
Dari teorema di atas maka apabila 2
22
0d Udx
≠ di mana pun di daerah y1 ≤ 2x ≤ y2,
aliran adalah aliran yang stabil karena cIM haruslah sama dengan nol (cIM = 0).
Namun, sekali lagi, teorama ini tidak menyatakan bahwa apabila di
suatu titik maka aliran pasti tidak stabil. Kondisi yang lebih ketat dinyatakan
oleh teorema berikut ini.
2 0D U =
3. Teorema Fjortoft:
“Kondisi yang diperlukan untuk instabilitas adalah ( ) 2 0cU U D U− ≤ di mana
, ”. ( )2c cU U x y≡ = 1 2cy y y≤ ≤
Bukti: Sekarang kita lihat suku riil dari (PSF.2),
( )( )
2 2
1 1
2 22 22
2 12 2
0
0y y
R
y yR IM
U c D Udx D k dx
U c c
ζζ ζ
>
−+ +
− +∫ ∫ 2 = (PSF.4)
Apabila terdapat instabilitas maka 0IMc ≠ dan (PSF.3) menjadi
Stabilitas Aliran Fluida 453
( )( )
( )
2 2
1 1
22 22
22 20
y yc R
y yR IM R IM
U c D UD Udx dx
U c c U c c
ζζ −= =
− + − +∫ ∫ 22 2 (PSF.5)
Sekarang kita tambahkan (PSF.5) ke (PSF.4) dan hasilnya adalah,
( )( )
2 2
1 1
022
2 22 12 2
0
0y y
c
y yR IM
U U D Udx D k dx
U c c
ζζ ζ
>
>
−= − + ≤
− +∫ ∫ 2
≤
Untuk memenuhi pertidaksamaan di atas maka,
( ) 2 0cU U D U− di mana ( )c cU U y≡ , 1 cy y y2≤ ≤ (Q.E.D)
Dalam pembuktian di atas Uc adalah kecepatan di titik yc yang merupakan titik
sembarang di antara y1 dan y2. Oleh karena itu maka kita dapat saja memilih
titik y0 (posisi di mana 2 0D U = ) sehingga Uc = U0 dan biasanya posisi inilah
yang digunakan. teorema Fjortoft adalah syarat yang lebih ketat untuk
instabilitas bila dibandingkan dengan teorema Rayleigh Inflection Point. Setiap
profil kecepatan yang mempunyai titik infleksi (terdapat titik di mana )
menurut teorema Rayleigh Inflection Point adalah tidak stabil. Namun, menurut
teorema Fjortoft instabilitas terjadi apabila, selain
2 0D U =
2 0
2 0x y
D U=
= ,
( ) 2 0cU U D U− ≤
4. Critical Layer
“Harga CR adalah diantara harga minimum dan maximum dari harga U.
Terdapat suatu titik didalam aliran di mana kecepatan gelombang ( )Rc U=
Bukti: Definisikan, GU c
ζ≡
− dan subtitusikan definisi ini ke persamaan
Rayleigh sehingga,
2 2 21
1
'( ) ( ) 0d G U c k U c Gdx
⎡ ⎤− − − =⎣ ⎦
Kemudian kalikan persamaan ini dengan G* dan integrasikan dari y1 ke y2.
Hasil real dan imaginer dari operasi ini adalah,
Stabilitas Aliran Fluida 454
0( )
( )
2
1
2
1
22 21 2
21 2
0
( ) ' * ' *
( ) ' * ' * 0
y
R IMy
y
IM Ry
U c c G G k GG dx
c U c G G k GG dx>
⎡ ⎤− − + =⎣ ⎦
− + =
∫
∫.
Apabila terdapat instabilitas maka cIM > 0 sehingga integral terakhir hanya akan
terpenuhi apabila terdapat titik diantara y1 dan y2 dimana ( )Rc = U (Q.E.D)
Posisi di mana cR = U disebut “Critical Layer” pada posisi ini, persamaan
Rayleigh menjadi “singular”. Tetapi perlu di ingat bahwa ini adalah kasus di
mana tidak terdapat viskositas (subbagian berikut) maka singularitas ini akan
hilang. Investigasi tentang “Critical Layer”ini dilanjutkan oleh Lin (1945). Ia
membuktikan bahwa “Critical Layer” (titik di mana cR = U) juga terdapat pada
profil kecepatan yang mempunyai titik infleksi. Bahkan ia menunjukan bahwa
pada kasus ini Critical Layer berada di titik infleksi.
Dengan adanya “Critical Layer” pada kasus profil kecepatan dengan titik infleksi kita
dapat menjelaskan mekanisme fisis yang menyebabkan terjadinya instabilitas pada
kasus ini. Di daerah sekitar “Critical layer” terdapat fluida yang bergerak lebih cepat
dan lebih lambat dari gelombang. Fluida yang bergerak lebih lambat akan mengambil
energi dari gelombang. Fluida yang bergerak lebih cepat akan “memberikan” energi
kepada gelombang yang “digunakan” oleh gelombang untuk mengamplifikasikan
amplitudonya. Dengan demikian maka instabilitas akan terjadi apabila lebih banyak
fluida yang bergerak lebih cepat dari gelombang.
16.4 Paralel Shear Flow (Viscous Theory)
Sekarang kita akan memasukan efek viskositas dalam analisa stabilitas dari aliran shear
parallel. Persamaan–persamaan dasar (kontinuitas dan momentum) kita tuliskan dalam
bentuk nondimensional dengan mengunakan variabel-variabel berikut ini.
ou U u= , 2o op U pρ= , ( )0
0
'LUt t= , xLx o
~= , konstanoρ ρ= =
Stabilitas Aliran Fluida 455
Sehingga,
0u∇ ⋅ = dan 21u u u p ut Re
∂+ ⋅∇ = −∇ + ∇
∂
Sekarang kita akan berikan gangguan dan seperti biasa tuliskan
2 1( )u U x e u= + ' , 'p P p= +
Persamaan persamaan untuk mean flow ( ),U P adalah,
2
22
10 p d Ux Re dx
∂= − +
∂,
2
0Px
∂=
∂
Kita akan abaikan simbol “~“ dan melinearkan persamaan seperti sebelumnya dan
hasilnya adalah,
21
1 2
' 0' ' 1ˆ' '
uu u UU v e pt x x Re
∇ ⋅ =∂ ∂ ∂
+ + = −∇ + ∇∂ ∂ ∂
'u
Karena persamaan persamaan di atas linear dan koefisiennya bukan fungsi waktu maka
kita bisa melakukan normal mode analysis.
( ) ( )1 1 3 32ˆ' i k x k x tu u x e ω+ −=
( ) ( )1 1 3 32ˆ' i k x k x tp p x e ω+ −=
Substitusikan kedua persamaan di atas, hasilnya;
1 32
ˆ ˆ ˆ 0dik u v ik wdx
+ + = (c)
( ) ( )2
2 21 3 1 12
22
ˆ ˆ ˆ ˆe ed u k k u ik R U c u ik R p R v
dxdx− + − − = + ˆe
dU (x)
( ) ( )2
2 21 3 12
22
ˆˆ ˆ ˆed v k k v ik R U c v R
dxdx− + − − = e
dp (y)
( ) ( )2
2 21 3 1 12
2
ˆ ˆ ˆed w k k w ik R U c w ik R p
dx− + − − = ˆe (z)
( PSFV.1)
Stabilitas Aliran Fluida 456
Apabila kita tambahkan kondisi batas: vwu ˆˆ0ˆ === di 2 1x y= dan 2 2x y= maka akan
didapat eigenvalue problem. Untuk 1k , 3k , Re yang rill maka kita akan dapatkan
persamaan dalam bentuk ( ), , 0D k Reω = .
Seperti kasus inviscid, dapat dibuktikan bahwa Teorema Squire dapat digunakan dalam
kasus ini (viscous ). Namun, sekarang
vv ˆ≡ , 1 1
ˆp pkk
≡ , 1k Re kRe= , 21 1 3k k k 2≡ + , 3 0k =
1 1 32
ˆ ˆduk u k k wdx
= + , cc =
Dengan transformasi ini maka persamaan (x) menjadi,
( ) ( )221 1 1ˆe eD u k u ik R U c u ik R p R DU v− − − = + e (x2)
Sedangkan persamaan (y) dan (c) menjadi,
( ) ( )221 1 ˆeD v k v ik R U c v R D p− − − = e (y2)
1 ' 0ik u v+ = . (c2)
Apabila di perhatikan, persamaan (x2) , (y2) dan (c2) serupa dengan (x), (y) dan (c)
apabila k3 = 0. Karena 1 1/Re k Re k= dan 1 1k k≥ maka Re Re≥ . Jadi untuk
mendapatkan Reynold number minimum di mana instabilitas terjadi (Critical Reynold
number), kita hanya perlu mempelajari kasus 2-D.
Oleh karena itu, untuk mempelajari kestabilan aliran, kita kembali ke (PSFV.I) untuk 2-
D. Seperti biasa untuk kasus 2-D, kita perkenalkan fungsi arus ψ sehingga,
( )1 12( ) i k x tx e ωψ ζ −= , u Dζ= , 1v ik= −
Apabila kita subsitusikan u dan v ke persamaan (x2), kemudian turunkan persamaan
ini terhadap
ˆ ˆ
2x . Setelah itu digunakan (y2) untuk mengeliminasi 2
dpdx maka di
dapatkan persamaan diferensial untuk ζ yaitu,
Stabilitas Aliran Fluida 457
( ) ( )( )( )22 2 2 2 21 1 1D k ik Re U c D k D Uζ ζ ζ− = − − −
Dengan kondisi batas yang harus dipenuhi yaitu,
0 Dζ ζ= = di permukaan &/ 0ζ → di 2x → ±∞
(Persamaan Orr-Sommerfeld/ OSE)
Solusi persamaan (OSE ) memberikan kita D (ω, k, Re) = 0. Namun, persamaan
tersebut cukup rumit sehingga kita harus menggunakan komputer untuk mendapatkan
solusi. Berikut ini adalah solusi-solusi dari persaman tersebut:
1. Stabilitas aliran Poiseuille (pipe flow)
]
Untuk kasus Re sedikit lebih tinggi
dari Recr terdapat daerah k di mana
ωim(k) > 0. Daerah ini kecil dan
berada di sekitar 0imddkω
= (max.
ωim). Untuk kasus ini, ωR ≠ 0
sehingga gelombang ganguan
bergerak dengan kecepatan ddkω .
Jadi kurang lebih instabilitas yang terjadi dalam aliran ini dapat dijelaskan sebagai
berikut. Apabila aliran ini diberikan “gangguan” yang berupa superposisi dari
gelombang-gelombang, maka amplitudo dari gelombang-gelombang yang
memiliki k tertentu (k yang ωim nya positif) akan teramplifikasikan sedangkan
gelombang-gelombang lainnya (dengan k yang ωim-nya negatif) tidak
teramplifikasikan. Karena ωR ≠ 0 maka gelombang-gelombang yang
teramplifikasi ini akan bergerak dengan kecepatan ddkω . Jadi ωim > 0 sekarang
berarti amplifikasi dari gangguan ketika gangguan tersebut bergerak.
Ada dua kemungkinan yang dapat terjadi. Pertama, walaupun gangguan yang
teramplifikasi ini bergerak, ganguan ini terus membesar bersama waktu di setiap
Stabilitas Aliran Fluida 458
titik di dalam ruang. Instabilitas tipe ini disebut “absolute instability.
Kemungkinan yang kedua adalah gangguan yang membesar ini “terbawa” oleh
aliran dengan cepat sehingga apabila kita amati sebuah titik yang pada awalnya
terjadi instabilitas, lama kelamaan “gangguan” di titik ini akan hilang. Instibilitas
tipe kedua ini disebut “convected instability”. Untuk aliran poiseuille, yang terjadi
adalah convected instability.
Untuk kasus convected instability, gangguan membesar seiring dengan
bertambahnya “downstream” koordinat (x1). Jadi gangguan tidak membesar
seiring dengan waktu di sebuah titik. Oleh karena itu kita dapat menyelidiki
instabilitas tipe ini dengan membalikkan (meng”inverse”kan) fungsi ω(k).
Dengan kata lain untuk kasus ini “ω” kita anggap riil dan “k” dianggap kompleks.
Apabila 0IMk < , maka faktor akan bertambah seiring dengan bertambahnya
harga x (gangguan teramplifikasi “downstream”). Di sini k didefinisikan sebagai
. Kemudian batas antara kasus aliran yang stabil dengan yang tidak
stabil ditentukan oleh persamaan
ikxe
R IMk k ik+≡
( , ) 0IMk Reω =
Kalkulasi untuk mendapatkan ( , ) 0IMk Reω = sangatlah rumit. Namun, hasil yang
didapatkan kurang lebih seperti yang digambarkan di bawah ini. Daerah yang
diarsir adalah daerah di mana aliran akan menjadi tidak stabil.
Apabila Re→∞, kedua kurva yang membatasi daerah yang stabil dengan yang
tidak stabil akan mendekati axis Re. Jadi untuk kasus ini untuk ω yang berada di
antara O dan Mω ada harga-harga Re tertentu di mana gangguan akan
Stabilitas Aliran Fluida 459
terimplifikasi. Untuk kasus Re→∞ (kasus invisid) maka tidak ada gangguan yang
teramplifikasi. Jadi dalam kasus ini dapat dikatakan bahwa viskositas
memberikan “destabilizing effect” atau adanya viskositas membuat aliran menjadi
tidak stabil.
2. Stabilitas Lapisan Batas
Seperti aliran laminar lainnya, pada Re tertentu lapisan batas laminar menjadi
tidak stabil. Bagaimana aliran ini kehilangan stabilitasnya mirip dengan kasus
aliran dalam pipa (Poiseuille Flow). Namun, aliran ini mempunyai keunikan
tertentu yaitu Re-nya berubah sepanjang permukaan benda. Untuk pelat datar,
misalnya, Re adalah 1UxRe ν= sehingga harga Re bertambah tinggi apabila harga
x1 bertambah.
Karena perubahan ketebalan lapisan batas berlangsung secara perlahan, maka
untuk mempelajari stabilitas lapisan batas kita dapat menggunakan model PSF
dengan profil u yang tidak berubah sepanjang x1 (untuk melihat stabilitas di suatu
daerah kecil dalam lapisan batas). Secara matematis, analisa stabilitas untuk kasus
ini hampir sama dengan kasus pipe flow. Perbedaannya adalah dalam kasus ini
profil u tidak simetrik. Investigasi yang mendalam telah dilakukan oleh Tollmien
dan Schlichting pada tahun 30-an. Hasilnya adalah sebagai berikut:
Bentuk dari kurva yang membatasi daerah yang stabil dengan yang tidak stabil
dalam diagram ω-Re tergantung dari profil u. Apabila dalam profil u tidak
terdapat titik infleksi, maka kurva ini sama persis dengan kurva untuk aliran pipa.
Namun, apabila dalam profil u terdapat titik infleksi, maka kurva agak sedikit
berbeda. Untuk kasus ini kurva bagian atas (II) tidak mendekati axis Re ketika Re
→∞ (lihat gambar). Namun, kurva bagian bawah tetap mendekati axis Re ketika
Re→∞. Profil kecepatan (u) yang tidak mempunyai titik infleksi tidak mungkin
tejadi untuk kasus di mana aliran di luar kecepatannya berkurang “downstream”.
Stabilitas Aliran Fluida 460
Alasannya adalah apabila kita perhatikan bagian kecil dari permukaan maka, dari
persamaan yang didapatkan di subbagian separasi aliran,
2
2
21 12 0
1
x
u dp Udx dxx
dUνρ
=
∂= = −
∂
Jadi apabila 1
0dUdx
< maka 2
22
ux
∂∂
di dekat permukaan (atau di dekat permukaan u
adalah minimum). Namun, apabila “ 2x ” dinaikkan maka pada akhirnya u akan
mencapai U. Apabila kita perhatikan geometrinya maka dapat di simpulkan
bahwa harus terdapat titik infleksi.
Karena Re bertambah sepanjang lapisan batas, maka sifat-sifat gangguan ketika
mereka bergerak downstream agak sedikit aneh. Misalkan aliran ini kita berikan
gangguan dengan ω tertentu di antara 0 dan ωM. Pada awalnya gangguan ini akan
teredam. Karena ωr ≠ 0 maka gangguan ini akan bergerak ke arah downstream.
Ketika gangguan ini bergerak, Re akan meningkat hingga akhirnya kita akan
sampai di kurva I. Mulai dari posisi yang berhubungan dengan titik di kurva II
dan setelah itu gangguan akan teredam kembali. Perbedaan antara kasus A dan B
terjadi di daerah Re→∞ (kasus inviscid). Untuk kasus A, gangguan akan teredam,
sedangkan untuk kasus B gangguan akan selalu teramplifikasi (aliran tidak stabil).
Aliran Turbulen 461
BAB
17 Aliran Turbulen
Telah kita lihat pada bab sebelum ini bahwa aliran laminer dapat menjadi tidak stabil
terhadap gangguan-gangguan. Ketidakstabilan ini menyebabkan aliran mengalami
“transisi”, dari aliran laminer menjadi aliran turbulen. Setelah proses transisi ini, aliran
menjadi aliran yang disebut “Fully Developed Turbulent”. Aliran inilah yang akan kita
bahas pada bab ini.
17.1 Karakteristik dari Fully Developed Turbulence
u
25 cm/sec t
Gambar A. Variasi kecepatan terhadap waktu dalam aliran turbulen
Aliran Turbulen 462
Gambar B. Aliran turbulen didalam water channel (diambil dari Schlichting)
Gambar (A) memperlihatkan contoh data kecepatan pada suatu titik pada aliran turbulen
di dalam sebuah terowongan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa kecepatan pada titik
tersebut berfluktuasi/berubah-ubah terhadap waktu disekitar kecepatan 25 cm/sec.
Fluktuasi tersebut tidak beraturan atau ”random” . Sama sekali tidak tampak adanya
periode dari fluktuasi tersebut dan apabila data tersebut di rata-ratakan maka kecepatan
rata-ratanya adalah konstan, yaitu sekitar 25 cm/sec. Dengan kata lain, aliran ini
tampak seperti aliran di mana terdapat fluktuasi irregular (gerakan mixing atau Eddying)
yang tersuperposisikan di dalam aliran utama (yang disebut mainstream atau mainflow)
Aliran Turbulen 463
Untuk memahami apa yang terjadi, perhatikan Gambar B yang merupakan visualisasi
dari aliran tersebut. Dalam foto-foto di gambar ini, aliran di dalam terowongan tersebut
bergerak dengan kecepatan yang sama atau konstan. Namun, dalam gambar (B) kamera
yang digunakan untuk mengambil setiap foto bergerak dengan kecepatan yang berbeda.
Dari gambar ini, terlihat bahwa aliran turbulen ini terdapat gumpalan-gumpalan yang
dikenal dengan sebutan “Eddy”. Eddy-eddy ini mempunyai ukuran yang berbeda-beda,
yang bergerak dengan kecepatan berbeda pula. Eddy yang besar bergerak dengan
kecepatan yang lebih tinggi daripada eddy yang kecil (Foto-foto pada gambar (B)
diambil dengan kecepatan yang berbeda-beda. Yang tertinggi adalah yang terbawah dan
terendah adalah yang teratas).
Dari contoh yang di bahas diatas dapat disimpulkan bahwa, fluktuasi tak beraturan yang
ditemui dalam aliran turbulen disebabkan oleh gumpalan-gumpalan atau eddy-eddy
yang ada dalam aliran ini. Proses bagaimana terbentuknya gumpalan-gumpalan ini
sangat rumit dan, sampai sekarang, masih belum dapat dijelaskan secara tepat. Namun,
secara umum eddy-eddy tersebut terbentuk dari gangguan-gangguan yang teramplifikasi
karena adanya instabilitas dalam aliran.
Dalam aliran turbulen diketahui bahwa apabila Re dinaikkan (Kecepatan main stream
bertambah, misalnya) maka eddy yang besar muncul terlebih dahulu setelah itu diikuti
oleh eddy-eddy yang lebih kecil. Bagian terpenting dalam aliran turbulen diperankan
oleh eddy yang terbesar. Ukuran karakteristk dari eddy ini (l) adalah satu orde dengan
dimensi dari aliran (dalam gambar A, misalnya, adalah lebar dari channel tersebut).
Eddy yang terbesar ini bergerak dengan kecepatan yang sama besarnya sekitar atau
beda kecepatan relatif dari titik-titik dalam aliran main stream yang berjarak sekitar l.
Namun, frekuensi dari Eddy ini sebanding dengan
u∆
lu di mana u adalah kecepatan main
stream di mana eddy tersebut berada. Ini dikarenakan pola aliran tersebut terbawa oleh
mainstream yang bergerak dengan kecepatan u. Karena eddy yang terbesar ini bergerak
dengan kecepatan yang tertinggi, maka energi dari aliran turbulent (energi kinetic)
sebagian besar merupakan kontribusi dari eddy-eddy ini. Hanya sebagian kecil dari
total energi yang merupakan kontribusi dari eddy-eddy yang kecil.
Aliran Turbulen 464
Dari gambaran di atas kita dapat mengambil kesimpulan tentang variasi dari fluktuasi
kecepatan dari titik ke titik dalam aliran turbulen pada suatu saat 0t t= . Apabila titik-
titik ini berjarak sekitar l maka perbedaan dari fluktuasi kecepatan antara titik-titik
tersebut adalah sekitar . Apabila titik-titik ini berjarak sangat dekat dibandingkan
dengan l maka perbedaan antara fluktuasi kecepatan relatif kecil, apabila dibandingkan
dgn , namun sangat besar apabila dibandingkan dengan perbedaan kecepatan
mainstream antara titik-titik tersebut.
u∆
u∆
Apabila panjang dan kecepatan karakteristik dari sebuah eddy diketahui ( λ dan )
kita dapat definisikan Reynolds number untuk eddy tersebut.
λu
uRe λλ
λν
=
Dari definisi ini terlihat bahwa Reλ naik bersama dengan ukuran dari eddy ( λ ). Reλ
yang terbesar adalah untuk eddy yg terbesar dan harganya sebanding dengan Re dari
aliran mainstream. Namun, karena Re sangat besar ini berarti untuk eddy tersebut,
viskositas tidak penting. Oleh karena itu tidak terjadi disipasi energi di dalam eddy
yang terbesar. Viskositas menjadi penting apabila ukuran Eddy sangat kecil sehingga
di mana utk Eddy ini 0 1Reλ ∼ 0λλ ≡ . Jadi walaupun eedy-eddy yang sangat kecil
tidak terlalu menentukan pola dari aliran turbulen, dalam eddy-eddy inilah terjadi
disipasi energi.
Pembahasan di atas menjadi dasar dari konsep disipasi energi dalam aliran turbulen
yang diperkenalkan oleh Richardson pada thn 1922. Dalam konsep yang juga disebut
“energy Cascade” ini, energi dipindahkan dari eddy-eddy yang terbesar ke eddy-eddy
yang terkecil tanpa disipasi energi. Disipasi energi hanya terjadi di eddy yg terkecil. Di
sinilah energi didisipasikan menjadi panas. Agar proses ini terjadi terus-menerus maka
harus ada suplai energi yang kontinu kepada eddy yang terbesar. Energi ini diberikan
oleh mainstream.
Sekarang kita akan lakukan “dimensional analysis” untuk menentukan besar dari
disipasi energi dalam aliran turbulen. Lebih spesifik kita akan cari besar dari (energi
disipasi per unit waktu per unit massa). Dari argumen “Energy Cascade” di atas maka,
Aliran Turbulen 465
walaupun disipasi terjadi karena viskositas, ε ditentukan oleh kuantitas yang merupakan
karakteristik dari eddy yang terbesar yaitu ρ, l, dan u∆ (viskositas tidak disertakan
karena Re dari eddy yang terbesar sangat tinggi). Karena ε mempunyai 3
2
sm maka,
3
~ uε ∆⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Hubungan ini dapat dituliskan dengan menggunakan variabel lain. Apabila kita
perkenalkan turbν atau viskositas turbulen yang berbeda dengan ν maka,
~turb uν ∆
karena ν mempunyai unit m2/s. Dengan demikian maka ε dapat dinyatakan seperti, 2
~ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆u
turbνε
Bentuk ini adalah bentuk yang biasanya digunakan untuk menjelaskan ε karena untuk
aliran laminer2
2
1~ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂xuνε , misalnya.
Sekarang kita akan melihat sifat-sifat dari turbulen eddy yang ukurannya ( )λ <<λ .
Untuk eddy-eddy ini, gerakan dari fluid partikel relatif terhadap mainstream dianggap
homogeneous dan isoentropik apabila fluida tersebut jauh dari permukaan benda.
Asumsi isoropik berarti sifat-sifat turbulen di Eddy ini ( <<λ ) tidak tergantung dari
arah mainstream. Sifat-sifat dari turbulen eddy dengan ukuran <<λ disebut juga
sifat-sifat lokal.
Kolmogorov (1941) menemukan sifat-sifat lokal yang penting untuk eddy dengan
<<<< λλo , di mana diingatkan bahwa oλ adalah ukuran dari eddy yang terkecil di
mana terjadi disipasi energi. Kuantitas-kuantitas karakteristik untuk eddy-eddy ini
adalah ρ, λ, ε. ε merupakan karakteristik dari eddy-eddy ini karena argumen “Energy
Cascade” yang telah kita bicarakan sebelumnya. Dari ρ, λ, ε, kita dapat membentuk
hanya satu kuantitas yang mempunyai unit kecepatan yaitu, ( ) 31
ελ . Oleh karena itu,
kecepatan eddy-eddy di mana <<<< λλo adalah,
Aliran Turbulen 466
( ) 3
1~ ελλu ( T.1 )
Inilah yang disebut dengan “Kolmogorov Law“. Hukum ini dapat dituliskan dengan
menggunakan “wave length“ (k). Apabila ( )E k dk adalah energi per unit massa di
dalam eddy dengan harga k di antara dk maka E (k) mempunyai unit m3/s2. Karena
1 1~kmλ
∼ dan maka, 32 /~ smε
( )52
3E k kε−
∼ 3 (T.2 )
Hubungan seperti (T.I) didapatkan dengan mengingatkan bahwa
( ) ( )2kinetik energiunit massaE k dk d u= = . Dengan demikian maka.
( ) 32
32
22 ~~
−∞
∫Ε κεκ
dkku .
Berikutnya kita lihat apa yang terjadi di “scale“ oλ . Untuk eddy-eddy ini, kuantitas
karakteristiknya adalah ε, ρ, µ atau ε dan ν . Dari ε dan ν kita hanya dapat
membentuk suatu kuantitasyang mempunyai unit m yaitu,
41
3
~ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε
νλo ( T.3 )
oλ adalah ukuran dari eddy yang terkecil dalam turbulen sebelum terjadi disipasi
energi. oλ disebut juga “Kolmogonov length“. Harga oλ biasanya sekitar 0.1 ds 1
mm.
Terakhir kita lihat sifat-sifat aliran di daerah di mana oλλ << . Di daerah ini eddy-eddy
tadi telah terdisipasi sehingga di daerah ini kecepatan berubah secara perlahan
(smoothly). Dengan demikian maka kita dapat expansikan dengan menggunakan
“power series” dari
λu
λ . Karena λ sangat kecil maka
( )konstanuλ λ≈ .
Aliran Turbulen 467
Karena di 0λλ = , 0λλ uu = maka “konstan“ tersebut adalah
0
0
λλu sehingga,
λλ
λλ
0
0~u
u
Dalam teori turbulen, “range scales“ ~λ disebut “energy range“. Sementara itu
untuk 0λλ ≤ disebut “dissipation range“. Untuk kasus Re yang tinggi kedua “range
scale“ ini sangat jauh. “Range Scale“ di antara keduanya yaitu untuk λ di mana
<<<< λλ0 disebut “inertial range“. Di inertial range inilah hukum Kolmogorov
berlaku.
17.2 Reynolds Average Navier-Stokes Kita telah lihat bahwa aliran turbulen merupakan superposisi dari eddy-eddy yang
mempunyai ukuran dari mulai s/d 0λ . Karena 0λ ~0.1 s/d 1 mm maka metode
kontinum dapat digunakan sehingga persamaan Navier-Stokes juga kemungkinan dapat
digunakan. Namun, untuk menyelesaikan persamaan Navier-Stokes di dalam komputer
diperlukan “computer space“ yang sangat besar karena kita harus menghitung secara
detail eddy-eddy dari mulai ~λ s/d 0~ λλ (seperti telah dijelaskan, makin tinggi
harga Re, makin jauh jarak yang harus digunakan). Untuk komputer yang ada saat ini,
perhitungan turbulen dengan menggunakan persamaan Navier-Stokes untuk Re yang
sesuai dengan aplikasi sehari-hari (Re > 105) adalah hal yang tidak praktis. Oleh karena
itu kita harus mencari persamaan lain untuk menghitung aliran turbulen.
Persamaan yang biasanya digunakan adalah persamaan Reynolds Average Navier-
Stokes. Dalam menurunkan persamaan ini, kecepatan dan tekanan kita dekomposisikan
menjadi,
'u U u= + dan 'p P p= + ( RAN. 1 )
di mana U dan P adalah “ time average “ atau,
( )1 ,2
T
T
U u x t dtT −
≡ =∫ u
Aliran Turbulen 468
( )1 ,2
T
T
P p x t dtT −
≡ ∫ p= (RAN.2)
dan u’ dan p’ adalah harga-harga fluktuasi di sekitar U dan P. Pada waktu melakukan
time averaging, waktu sampel 2T haruslah cukup panjang dibandingkan dengan time
scale dari eddy yang kecil tetapi cukup singkat dibandingkan dengan time scale dari
eddy yang besar. Dari definisi (RAN.1) dan (RAN. 2), jelaslah bahwa,
( )' 0u u U u U= − = − = dan ' 0p =
Selain itu kita asumsikan bahwa
( )u u U∇ = ∇ = ∇
atau diferensiasi dan time averaging adalah operator yang komutatif.
Untuk aliran inkompresibel, seperti kita ketahui, kita harus menyelesaikan persamaan
kontinuitas dan momentum. Apabila kita lakukan time averaging terhadap persamaan
kontuinitas maka didapatkan,
( )0 u u= ∇⋅ = ∇⋅ = ∇ ⋅U atau
0U∇ ⋅ = (RAN.a)
Berikutnya kita akan lakukan time averaging dari persamaan Navier-Stokes.
2
2
u uu p ut
u uu p ut
ρ µ
ρ µ
∂⎛ ⎞+ ∇ ⋅ = −∇ + ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂
+ ∇ ⋅ = −∇ + ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠
( RAN.3 )
Selain itu,
( )( ) ( )( )
' ' ' ' '
' ' ' '
i j i i j j i j j i i j i j
i j i j i j j i i j i j i j
uu u u U u U u U U u U u U u u
uu u u U U U u U u u u U U u u
= = + + = + + +
= = + + + = +
'
' 'uu UU u u= +
, di mana telah digunakan U U= dan ' 0u = . Dengan demikian maka ( RAN.3 )
menjadi,
21 ' 'U U U P U u ut
νρ
∂+ ⋅∇ = − ∇ + ∇ − ∇ ⋅
∂ (RAN.b)
Aliran Turbulen 469
Persamaan (RAN.b) serupa dengan persamaan Navier-Stokes untuk “mean flow“ U
namun terdapat “stress“ tambahan yaitu suku ' 'u u−∇ ⋅ . Stress ini disebut “Reynolds
stress“. Melalui stress inilah turbulen mempengaruhi “mean flow“ U .
Untuk mendapatkan solusi untuk “mean flow“ diperlukan hubungan antara ''uu dengan
U . Apabila kita dapatkan hubungan ini maka (RAN.a) dan (RAN.b) dapat diselesaikan.
Terdapat beberapa model lama yang memberikan hubungan “konstitutif“ untuk ''uu .
Salah satu dari hubungan ini diperkenalkan oleh Boussinesq yaitu,
22
i turbdUu udx
ν− =
di mana turbν disebut juga “Eddy viscosity“ yang harganya adalah tergantung dari
turbulen di dalam aliran dan bukan sifat dari fluida seperti ν . Selain hubungan ini,
terdapat pula hipotesa yang diperkenalkan oleh Prandtl. Hipotesa ini disebut “mixing
length hypothesis“. Hipotesis ini menyatakan bahwa,
2
2turb
dUdx
ν =
di mana disebut “mixing-length” yang serupa dengan “mean free path“ dalam teori
kinetik gas.
Model-model seperti ini adalah model-model yang paling sederhana dan tidak terlalu
akurat. Oleh karenanya, para ilmuan sampai sekarangpun masih terus mencari model
yang terbaik. Contoh-contoh dari model turbulen yang kini banyak digunakan adalah
model K-ε, K-l, Spalart-Alamaras, dan masih banyak lagi yang tidak dapat disebutkan
satu-persatu. Pada umumnya model-model ini menggunakan persamaan diferensial
yang cukup rumit. Karena pembahasan detail dari model-model ini tidak akan terlalu
banyak membantu kita dalam memahami fisik aliran turbulen lebih dalam, pembicaraan
tentang turbulence modeling dalam buku ini hanya cukup sampai disini.
Untuk memahami Reynold stress lebih jauh, kita turunkan persamaan yang menjelaskan
''uu . Prosedurnya adalah sebagai berikut :
Aliran Turbulen 470
1) Dapatkan persamaan untuk dengan melakukan 'iu
(Navier-Stokes) – (RAN.b).
2) Kalikan persamaan yang didapatkan di 1) dengan 'ju
3) Lakukan hal yang sama seperti 1) dan 2) dengan mengganti i dengan j.
4) Tambahkan persamaan yang didapatkan di 2) dengan persamaan yang didapatkan
di 3).
5) Lakukan “time averaging“terhadap persamaan yang didapatkan di 4).
Apabila kita lakukan prosedur tersebut, maka kita akan dapatkan persamaan di bawah
ini.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' ' 1' ' ' ' ' ' ' ' '
1' ' ' ' ' ' ' '
'
i jk i j k i j j i
k k i j
diffusi
i k j j k i i jk k j
produksi
j
u uU u u u u u p u p u
t x x x x
u u U u u U p u p ux x x
u
ρ
ρ
ν
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − − +⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂− + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∂+
ix∂
∂
'i i jk k k k
destruksi
u u ux x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ′+⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Dua suku pertama disebut suku difusi karena apabila kita integrasikan suku-suku ini di
batas-batas fluida (di mana 0=′u ) maka suku suku ini sama dengan nol. Jadi suku-
suku ini menjelaskan proses redistribusi dari turbulen. Dua suku terakhir mempunyai
koefisien ν. Jadi kedua suku ini menjelaskan lenyapnya uu ′′ yang disebabkan oleh
viskositas. Proses produksi dari Reynolds stress sendiri dijelaskan oleh dua suku
tengah. Dari suku ini terlihat jelas bahwa produksi Reynolds Stress disebabkan adanya
k
Ux∂
∂ atau shear pada “mean flow” dan “pressure-strain correlation”. Dalam
kenyataannya k
Ux
∂∂
biasanya lebih dominan. Oleh karena itu apabila dalam aliran
0U∇ = (tidak ada shear dalam mean flow) maka tidak terdapat produksi dari Reynolds
Aliran Turbulen 471
stress. Akibatnya apabila terdapat turbulen dalam aliran tersebut, turbulen tersebut akan
lenyap (“decay”).
Hal terakhir yang akan kita bahas di subbagian ini adalah “turbulence intensity” atau
intensitas turbulen yang didefinisikan sebagai, 12
0
1 ' '3 i iu u
IU
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠≡
di mana adalah kecepatan karakteristik dari mean flow. Untuk turbulen yang
isotropik, maka
0U
u′ tidak mempunyai kecenderungan arah sehingga,
1 1 2 2 3 3' ' ' ' 'u u u u u u= = '
Untuk kasus ini maka ekspresi untuk intensitas turbulen adalah,
( )12
1 1
0
' 'u uI
U=
17.3 Energi aliran turbulen
Untuk mengetahui bagaimana interaksi antara eddy-eddy dalam turbulen dan mean
flow, kita perlu memperhatikan energi kinetik dari mean flow dan energi kinetik dari
turbulen. Persamaan yang menjelaskan energi kinetik dari mean flow didapatkan
dengan mengkalikan (RAN.b) dengan yang hasilnya adalah (dengan menggunakan
persamaan RAN.a),
iU
( )( )
2 2
' '
1 1 22 2
2
iji j i i j j ij i
ij ij i j ij
U U U PU U D U u ut x x
D D u u Ux
ρ µ
µ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂
− +∂
' 'jρ
(RAN.KE)
12
jiij
j i
UUDx x
⎛ ⎞∂∂≡ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Aliran Turbulen 472
Selanjutnya persamaan yang menjelaskan tentang energi kinetik dari turbulen
didapatkan dengan langkah-langkah berikut ini. Kita mulai dari persamaan momentum
untuk yang didapatkan dengan cara melakukan operasi (Navier-Stokes untuk 'iu
'u U u= + ) – (RAN.b).
2' 1' ' ' ' ' ' 'u u u u U U u P u u ut
νρ
∂+ ⋅∇ + ⋅∇ + ⋅∇ = − ∇ + ∇ + ∇ ⋅
∂'
Kemudian dot product antara persamaan tersebut dengan u’ dan merata-ratakan hasil
yang didapatkan. Dengan melakukan prosudur tersebut didapatkan persamaan yang
menjelaskan energi kinetik dari turbulen yaitu (dimana telah digunakan persamaan
kontinuitas),
( )
2 2 2
' '
1 1 1' ' ' ' ' ' 22 2 2
2
i j i i j i jj i
ij ij i j ij
u U u u u u p u dt x x
d d u u Ux
ρ ρ
µ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠∂
− −∂
' ijµ ⎞⎟⎠ (RAN.KET
)
''12
jiij
j i
uudx x
⎛ ⎞∂∂≡ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Sekarang kita telah siap untuk melihat interaksi antara mean flow dan turbulen. Karena
turbulen mempengaruhi “mean flow” melalui Reynolds Stress, penambahan atau
pengurangan energi yang dilakukan oleh turbulen dilakukan oleh suku terakhir dalam
(RAN.KE). Yang menjadi pertanyaan menarik adalah, apakah turbulen mengambil
energi dari mean flow? Pertanyaan selanjutnya adalah apa konsekuensi dari jawaban
pertama terhadap energi kinetik turbulen? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita
perhatikan suku terakhir dari (RAN.KE) dan (RAN.KET). Kita ketahui bahwa,
( ) ( )' ' ' ' ' 'ii i j i j i i j
j j
UU u u u u U u ux x
ρ ρ ρjx
∂∂ ∂= +
∂ ∂ ∂
Persamaan ini kita integrasikan dan hasilnya adalah,
( )ˆ' ' ' ' ' 'ii i j j i j i i j
j jS V V
UU u u n dS u u dV U u u dVx x
ρ ρ ρ∂ ∂= +
∂ ∂∫ ∫ ∫
Aliran Turbulen 473
di mana telah digunakan teorema Gauss untuk suku kiri. Apabila kita pilih S yang tipis
di arah U sehingga 0U∆ ≈ , namun S mencakup batas batas luar dari turbulen di mana
' 0u = , maka suku kiri sama dengan nol sehingga
( )' ' ' ' ii i j i j
j jV V
UU u u dV u u dVx x
ρ ρ KEI∂∂− =
∂ ∂∫ ∫ ≡ .
Oleh karena itu untuk menjawab pertanyaan tadi kita perlu melihat apakah atau
. Selain itu dari hasil ini juga terlihat bahwa harga dari suku terakhir (RAN.KE)
adalah negatif dari suku terakhir (RAN.KET). Dengan demikian apabila ,
misalnya, maka efek suku terakhir dari (RAN.KE) adalah mengurangi energi kinetik
dari mean flow dan efek suku terakhir dari (RAN.KET) adalah menambahkan energi
kinetik turbulen.
0>KEI
0<KEI
0<KEI
Untuk itu kita perhatikan kasus yang digambarkan di gambar (B). misalkan kita
perhatikan fluid element di 2x A= .
Karena adanya fluktuasi dalam aliran turbulen misalkan elemen ini berpindah ke 2x B=
(disebabkan oleh 02 >′u di 2x A= ). Karena elemen ini mempunyai U yang sama
dengan U di maka ini menimbulkan Ax =2 1 ' 0u < di Bx =2 (karena U di 2x A=
lebih kecil daripada U di 2x B= ). Dengan demikian maka
2 120 0
0
' ' 0dUu udx
> <>
<
Apabila kita perhatikan kasus lainnya di mana elemen di 2x A= berpindah ke
karena adanya maka dengan argumen yang serupa,
Cx =2
2 0u′ < 01 >′u di . Dengan
demikian maka,
Cx =2
Aliran Turbulen 474
2 120 0
0
' ' 0dUu udx
< ><
<
Dari contoh ini jelaslah bahwa iu′ ju ′ 0i
j
Ux
∂<
∂ secara umum.
Dengan demikian maka dan dapat disimpulkan bahwa OIKE < turbulen mengambil
energi dari mean flow. Energi inilah yang secara kontinyu disalurkan ke eddy-eddy dari
yang terbesar hingga yang terkecil. Energi ini kemudian didisipasikan oleh eddy yang
terkecil menjadi panas.
17.4 Aliran turbulen di dekat permukaan benda Di subbagian “fully-developed turbulence” kita telah lihat karakteristik aliran turbulen
di daerah yang jauh dari permukaan. Sekarang kita akan lihat karakteristik-karakteristik
dari aliran turbulen di daerah di dekat permukaan benda.
Hasil eksperimen menunjukkan bahwa aliran di bagian bawah dari lapisan batas
turbulen (inner region) mempunyai struktur turbulen yang sama dengan aliran di daerah
dekat permukaan dari aliran di dalam pipa atau channel. Dengan kata lain, struktur
turbulen di dekat permukaan adalah selalu sama untuk tipe aliran yang berbeda. Satu
satunya kesamaan dari aliran aliran ini adalah tidak terdapat panjang karakteristik dalam
permasalahan ini. Oleh karana itu aliran mempunyai “self similar” (seperti aliran
lapisan batas dari pelat datar).
Dari persamaan RANS kita lihat bahwa stress di setiap titik dalam aliran adalah
penjumlahan antara Reynold dan viscous stress. Karena kondisi batas mengharuskan
kecepatan dipermukaan adalah nol, maka Reynold stress dipermukaan adalah nol
sehingga di daerah ini hanya terdapat viscous stress. Sedangkan untuk aliran fully
developed, Reynold stress lebih dominan dari pada viskous stress sehingga di daerah
yang sedikit jauh dari permukaan hanya terdapat Reynold stress dan tidak terdapat
viscous stress. Dari penjelasan ini maka terlihat bahwa beberapa lapisan pada aliran
Aliran Turbulen 475
turbulen disekitar permukaan. Lapisan pertama yang berada sangat dekat dengan
permukaan dimana tidak terdapat Reynold stress (inner layer), lapisan yang agak jauh
dari permukaan sehingga tidak terdapat viscous stress (outer layer). Lapisan terakhir
adalah lapisan dimana terjadi transisi dari kedua kasus tersebut.
Sekarang kita akan lakukan “dimensional analysis” untuk aliran di inner layer (daerah
yang sangat dekat dengan permukaan dan daerah ini berada di dalam lapisan batas,
misalnya). Kuantitas kuantitas karakteristik di daerah ini adalah ρ, µ, wallτ . Dalam
kasus ini wallτ adalah kuantitas karakteristik yang menjelaskan efek dari aliran di luar
daerah ini (“outer region”). Kuantitas ini diperlukan karena apabila kecepatan aliran
main stream diubah, misalnya, maka wallτ juga berubah. Namun, kita tidak
menggunakan atau U sebagai karakteristik di luar daerah ”inner region” karena
di daerah ini efek U tidak dirasakan secara langsung namun dirasakan melalui
invU ∞
∞ wallτ .
Selain itu, seperti telah dijelaskan sebelumnya, tidak ada panjang karakteristik dalam
kasus itu. Oleh karena itu, kita ikut sertakan sebagai salah satu dari parameter. 2x
Dari penjelasan di atas maka profile kecepatan (u) di daerah “inner layer” mempunyai
bentuk seperti,
( )2; , , wallu u x ρ µ τ=
Dari parameter-parameter ini kita dapatkan group nondimensional yaitu, (3 kuantitas
yaitu ρ, µ, wallτ -1variabel: ) 2x
*
uuu
+ ≡ , 2 *x uyν
+ ≡
di mana ρ
τ wallu ≡* . Oleh karena itu maka,
( )++ = yfu di inner layer …(law of the wall)
Hubungan ini disebut juga “law of the wall”.
Hasil eksperimen untuk di sketsakan di gambar (c) +u
Aliran Turbulen 476
Hasil eksperimen mengkonfirmasikan bahwa di “inner layer”, data-data eksperimen
untuk kasus-kasus aliran berbeda berada di kurva yang sama sesuai dengan law of the
wall. Di luar “inner layer”, data eksperimen untuk aliran yang berbeda mulai terpencar-
pencar mengikuti kurva yang berbeda. Daerah ini disebut “outer layer” dan di sini
tentunya lagi. )( +++ ≠ yuu
Daerah inner layer dibagi lagi menjadi 3 daerah yaitu “viscous sublayer” ( 0 ),
“buffer layer”
8y+≤ ≤
( )508 ≤< +y , “overlap layer” ( )30050 +≤< +y . Hasil eksperimen
menunjukkan bahwa di viscous sublayer terdapat set-set dari “counter rotating
vortices”. Selain itu daerah buffer layer adalah daerah dengan “turbulence intensity” I
yang tertinggi. Jadi walaupun daerah viscous sublayer dan buffer layer ini relatif sangat
kecil, namun di sinilah tempat terbentuknya turbulen. Di daerah ini Viscous dan
Reynolds stress adalah konstan. Di permukaan tentunya stress adalah 100% viscous
stress karena Reynolds stress = 0. Di buffer layer viscous stress turun namun Reynolds
stress naik. Di bagian terluar dari buffer layer seluruh stress adalah Reynolds stress dan
harganya tentunya sama dengan wallτ . Reynolds stress ini tetap konstan hingga
mencapai akhir dari daerah “overlap”.
Sekarang kita beralih untuk memperhatikan daerah “outer layer”. Kuantitas-kuantitas
karakteristik di daerah ini adalah ρ, δ, U, dan dxdp . Di sini U adalah kecepatan mean
flow di daerah ini dan δ adalah tebal dari lapisan batas atau radius dari pipa untuk aliran
di dalam pipa. Juga seperti dalam daerah “inner layer” kita perlu ikut sertakan x2.
Selain itu, dari gambar c terlihat bahwa u+ untuk “outer layer” bergabung dengan u+
untuk “inner layer”. Secara fisik, ini berarti aliran di “outer layer” dipengaruhi oleh
“inner layer”. Kuantitas “inner layer” yang paling logis untuk dimasukkan sebagai
Aliran Turbulen 477
kuantitas karakteristik di “outer layer” adalah τwall. ν tidak dimasukkan sebagai
kuantitas karakteristik di outer layer karena viskositas tidak penting di daerah ini (di
daerah ini tidak terjadi disipasi energi).
Dengan penjelasan di atas, maka jelaslah bahwa,
21
; , , , , walldpu u x Udx
δ ρ τ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ρ dan τwall dapat digabung menjadi u* seperti yang kita lakukan di inner layer. Selain
itu, U tentunya beraksi sebagai reference. Dengan kata lain, yang kita butuhkan adalah
u - U. Oleh karena itu, maka kecepatan di outer layer berbentuk,
2 *1
; , , dpu U g x udx
δ⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟⎝ ⎠
atau
2
* 1
2
, ,
di mana
u U x dp dpf fu dx
x
ξδ
ξδ
⎛ ⎞− ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝⎝ ⎠
≡
dx ⎠ (defect law)
Hukum ini disebut juga “defect law”.
Karena “law of the wall” dan “defect law” harus bergabung di “overlap layer”, Millikan
(1928) berargumen sebagai berikut:
* *
( )u U u F yu u
+−→ = apabila 2 0x →
* *
( )u F yu u
+ u U−= → apabila 2x δ→
Untuk itu kita perhatikan pertama-tama kasus dimana 1
0dpdx
= .
Untuk kasus ini, ( )0*
u U fu
ξ−= . Apabila kita lihat turunan dari u terhadap x2 maka,
“law of the wall” menjadi,
' ' ' (1) *
* 2 2 2
1 du dy u yF F Fu dx dx xν
+ +
= = =
Aliran Turbulen 478
di mana +≡
dydFF ' .
Sedangkan “Defect law” menjadi,
'0
2
'0
2
'0
2*===
1f
xξ
δf
dxξd
fdxdu
u (2)
di mana ξd
dff 0'
0 ≡ . Karena argumen Millikan tadi, maka dari (1) dan (2),
' '0
1konstankiri kanan
y F fξκ
+ = = ≡ (3)
κ1 adalah konstan karena sisi kiri adalah fungsi y+ dan sisi kanan adalah fungsi ξ dan
sisi kiri harus sama dengan sisi kanan. Konstanta κ dikenal dengan sebutan “Karman
Constant”.
Dari persamaan (3) maka
++ =ydy
dF 11κ
atau ln1κ
=F Ay ++ (4)
ξκξ110 =
ddf
atau ln10 κ
=f Bξ + (5)
Dengan demikian maka u untuk seluruh lapisan adalah
2 *
*
1 lnu x u Au κ ν
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
+ (6)
atau apabila kita gunakan “outer layer variables”,
2
* *
1 lnu U x Bu u κ δ
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
(7)
Sekali lagi diingatkan bahwa hasil di atas berlaku untuk kasus 01
=dxdp . Untuk kasus
yang lebih umum, di mana 01
≠dxdp maka, (
*
,u U fu
ξ )−= Π di mana П adalah
parameter yang menjelaskan dxdp
Aliran Turbulen 479
Apabila kita gunakan “inner variables” untuk u (persamaan (6)) maka jelaslah bahwa
kita dapat nyatakan, ( )2 *
*
1 ln ,u x u A gu v
ξκ
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Π
(8)
di mana ( ) 0,0 →πg dan * *
u Uu u
→ apabila 1→ξ .
Dengan mengambil limit 1→ξ maka dari (8),
( ) ( )*
1,U F y gu
+= + Π
atau ( )*
*
1 ln 1,U u A gu
δκ ν
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Π
(9)
Dari persamaan (8) dan (9) maka ((8)-(9)) didapatkan,
( )* *
1 ln (1, ) ( , )u U g gu u
ξ ξκ
= + + Π − Π
Persamaan di atas adalah persamaan untuk *u
uu ≡+ untuk kasus umum di mana
01
≠dxdp . Seperti telah dikatakan sebelumnya, persamaan untuk u+ ini berlaku di
seluruh layer dari mulai “inner” sampai dengan “outer” layer.
Fungsi g (ξ, П) sendiri ditentukan secara empiris. Hubungan empiris ini diberikan oleh
Coles (1956),
( ) 21, 2 sin2
g πξ ξκ
⎛ ⎞Π = Π ⎜ ⎟⎝ ⎠
(Coles’s law of the wake)
Sedangkan bunga empiris untuk Karman Constant (κ) adalah,
κ = 0.41
Harga-harga untuk П adalah sebagai berikut:
П = ¼ untuk pipe flow
П = 0.55 untuk lapisan batas dengan 01
=dxdp
Aliran Turbulen 480
17.5 Coles’ Relation
Hasil yang didapatkan di 17.3 dapat digunakan untuk menghitung skin friction drag
(misalnya, yang dihasilkan lapisan batas turbulen) dengan menggunakan metoda semi
empiris. Untuk mendapatkan bayangan bagaimana melakukan perhitungan semi
empiris ini, kita persamaan (8) pada posisi x2 = δ.
*
*
1 2lninU u Au v
δκ κ
Π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
+
Namun dari definisi u* dan skin friction coefficient (cf),
* 2
212
in in in
fwallf in
U U Uu c
c Uτ
ρρ
ρ
= = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
dan * 2f
in
cu U=
Dengan demikian maka didapatkan,
2 1 2ln2
fin
f
cU Ac v
δκ
⎛ ⎞
κΠ
= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+ (Coles Relation)
Hubungan diatas adalah hubungan antara cf dan δ. Apabila kita mempunyai hubungan
untuk δ sebagai fungsi dari x1 (misalnya dari hasil experimen) maka Coles Relation
memberikan cf sebagai fungsi dari x1. Tentunya, cf dapat diintegrasikan untuk
mendapatkan harga skin friction drag.
Sebagai contoh adalah kasus lapisan batas turbulen dari pelat datar. Untuk kasus ini,
diketahui dari hasil experimen bahwa
10.3 fx cδ ≈ .
Selain itu untuk kasus pelat datar,
0.55, 5, 0.41A κΠ = = = .
Dengan demikian maka Coles Relation untuk kasus ini menjadi,
( )2 1 ln 0.212 5 2.6830.41 f ex
f
c Rc
= + + dimana 1inex
U xRν
≡
Apabila persamaan diatas diselesaikan tentunya akan didapatkan ekspresi untuk cf
sebagai fungsi dari x1.
Dinamika Fluida Campuran 481
BAB
18 Dinamika Fluida Campuran
18.1 Pendahuluan Sampai saat ini fluida yang kita pelajari dianggap terdiri dari satu spesies saja (contoh :
udara, air). Sekarang kita akan pelajari mekanika fluida di mana fluida tersebut adalah
fluida campuran yang terdiri dari beberapa spesies yang dapat bereaksi (Misalnya ;
reaksi . Dalam reaksi ini O, N2O N N NO+ + 2, N, dan NO adalah spesies- spesies.
18.2 Kinematika Tugas pertama kita adalah bagaimana membuat model kontinuum untuk campuran yang
terdiri dari N komponen. Pertama-tama dengan model tersebut kita dapat mengikuti
setiap spesies secara individu ketika campuran dari N komponen tersebut bergerak yang
tentunya diikuti oleh deformasi dan reaksi kimia. Oleh karena itu model dari N
campuran ini haruslah dianggap sebagai superposisi dari N medium yang kontinyu.
Dengan kata lain, setiap titik di dalam ruang yang diduduki oleh campuran tersebut
terdapat N material element. Sudut pandang ini tidak bertentangan dengan fisika karena
material element bukanlah molekul (setiap titik dalam ruang tentunya hanya dapat
diduduki oleh satu molekul). Dan sudut pandang ini juga sesuai dengan cara kita
mengidentifikasi komposisi di setiap titik dalam fluida campuran (Misalnya sebuah titik
terdapat 60% N2, 10% O, 25% N, dan 5% NO ).
Dinamika Fluida Campuran 482
Dengan demikian maka kita dapat nyatakan bahwa.
( ) ( )( )A Ax χ ξ= dan ( ) ( ) ( )1A A xξ χ −=
yang artinya adalah posisi x dalam ruang adalah posisi yang diduduki oleh material
element ξ(A) (sebuah partikel spesies A) dan ξ(A) adalah material element spesies A yang
berada di posisi x dalam ruang.
Gerak dari spesies A dapat dinyatakan sebagai,
( ) ( )( ),A Ax tχ ξ= dan ( ) ( ) ( )1 ,A A x tξ χ −=
Seperti pada waktu mempelajari kinematika fluida yang hanya terdiri dari satu spesies,
kita dapat gunakan posisi awal dari material element spesies A, ξ(A), untuk
mengidentifikasikan material element spesies A(ξ(A)). Dengan demikian gerak dari
spesies A dapat pula dinyatakan sebagai,
( ) ( )( ),A Ax tχ ξ= dan
( ) ( ) ( )1 ,AAx tξ χ −=
Sekarang bagai mana kita menyatakan turunan waktu dari F (sebuah kuantitas) yang
dilihat dari pengamat yang bergerak di material element spesies A. Kita definisikan
turunan material,
( )
( )
konstanA
Ad F Fdt t ξ =
∂⎛ ⎞≡ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠.
Apabila kita definisikan kecepatan material element dari spesies A sebagai,
( )( )
( ) ( )( )( ),AA A A
du x
dt tχ ξ∂ t⎡ ⎤≡ = ⎢ ⎥∂⎣ ⎦
maka,
( )( )
( )
( ) konstan
konstan
( )
3
1
,A
A
AA
i
i i
d F F F x tdt t t
xF Ft x t
ξ
ξ
ξ=
==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ∂⎝ ⎠
∂∂ ∂ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑
atau
( )( )
AA
d F F u Fdt t
∂= + ⋅∇
∂
Dinamika Fluida Campuran 483
18.3 Dinamika Seperti pada waktu kita mempelajari mekanika fluida yang homogen, dalam
menurunkan persamaan-persamaan dasar untuk fluida campuran kita akan gunakan
rangka acuan inersial.
18.3.1 Kontinuitas spesies Hukum dasar pertama yang akan kita dapatkan adalah persamaan kontinuitas untuk
spesies A. Hukum ini tidak ada pada waktu kita mempelajari mekanika fluida homogen
karena dalam fluida homogen tidak terjadi reaksi kimia.
Untuk mendapatkan hukum ini, kita akan gunakan volum atur ( )AV . Volume atur ini
adalah volume atur yang diam dengan bentuk tetap. Karena adanya reaksi kimia maka
spesies A dapat “hilang” atau “terbentuk”di setiap titik dalam volume atur ( )AV . Jadi
hukum dasar yang pertama adalah:
Perubahan waktu dari massa sebuah spesies A di dalam volume atur ( )AV (yang
diam dan tetap) sama dengan “rate” dari terbentuknya atau hilangnya spesies A
(per unit volume) yang disebabkan oleh reaksi kimia yang homogenous.
Secara matemetis maka hukum ini dapat dituliskan:
( )
(A)
( )V
AV Ad m rdt
= ∫ dV
di mana adalah laju produksi/ hilangnya spesies A per unit )( Ar ( )AV yang disebabkan
oleh reaksi kimia yang homogeneous. Apabila )( Aρ adalah massa jenis dari spesies A
maka,
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )( )
Reynolds Transport Thm.
ˆA
A A A
AV AA A
V V S
d dm dV dV udt dt t
ndSρ
ρ ρ∂
= = +∂∫ ∫ ∫ ⋅
Dinamika Fluida Campuran 484
Sehingga kontinuitas spesies menjadi,
( )
( )
( )( )
( )( )
ˆA A A
AA A
V S V
dV u ndS r dVt
ρρ
∂+ ⋅ =
∂∫ ∫ ∫
Apabila ρ(A), u(A), r(A) adalah fungsi yang kontinyu, kita dapat gunakan (*), (**) seperti
biasanya. Oleh karena itu persamaan untuk kontinuitas spesies menjadi,
( )( ) ( )( ) ( )
AAA Au r
t
ρρ
∂+ ∇ ⋅ =
∂
atau ( ) ( )( ) ( ) ( )
A AAA A
du r
dt
ρρ+ ∇ ⋅ = (MC.1)
Sekali lagi reaksi kimia yang dijelaskan dalam persamaan di atas (r(A)) adalah reaksi
yang homogen. Reaksi yang tidak homogen (heterogeneous) terjadi di “phase
interface” dan dijelaskan dengan menggunakan kondisi batas.
Persamaan diferensial di atas menjelaskan perubahan ρ(A) dilihat oleh pengamat yang
bergerak dengan kecepatan u(A). Biasanya, orang tidak menggunakan kecepatan u(A)
dalam mempelajari fluida campuran. Biasanya digunakan kecepatan spesies A relatif
terhadap apa yang disebut dengan ”mass average velocity” (u) atau,
( ) ( )A Av u u≡ −
di mana
( ) ( )1
N
AAA
u uρ ρ=
≡ ∑ dan ( )1
N
AA
ρ ρ=
≡ ∑ .
Selain itu dapat pula digunakan kecepatan spesies A relatif terhadap “molar average
velocity” (u*)
( )* *
( )A Av u≡ − u di mana ( )** *
( )1
N
A Ai
c u c u=
≡ ∑
( )* *( )
1 1 ( )
N NA
AA A A
c cMρ
= =
≡ ≡∑ ∑ , M(A): berat molekul spesies A
Dinamika Fluida Campuran 485
Apabila kita definisikan, )( )()()(
uuj AAA−≡ ρ maka persamaan (mc.1) menjadi,
( )( ) ( )( )
( )AA AA
u j rt
ρρ
∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =
∂ (MC.1a)
18.3.2 Hukum kekekalan massa Hukum ini adalah hukum pertama untuk mekanika fluida yang homogen kita akan lihat
dari persamaan (MC.1), kita akan dapatkan kembali hukum kekekalan massa yang telah
kita kenal. Kita mulai dengan menjumlahkan persamaan (MC.1) untuk seluruh spesies
(N spesies)
( )
( )
( )( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( )1 1
N NA
1
A AA A
N N N
A A AA A A
u rt
u rt
ρρ
ρ ρ
= =
= =
∂⎛ ⎞+ ∇ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∂+ ∇ ⋅ =
∂
∑ ∑
∑ ∑ ∑=
Dengan definisi-definisi yang telah diperkenalkan sebelumnya persamaan ini menjadi,
( )1
N
AA
u rt
ρ ρ=
∂+ ∇ ⋅ =
∂ ∑
Namun dalam reaksi kimia kita ketahui bahwa walaupun massa setiap spesies dapat
berubah-ubah, total massa haruslah konstan. Hukum ini disebut juga hukum “Lavosier”
(ingat pelajaran kimia dasar !!!). Dengan demikian, ( )1
0N
AA
r=
=∑ sehingga persamaan
menjadi,
0utρ ρ∂
+ ∇ ⋅ =∂
atau
( ) 0udu
dtρ
ρ+ ∇ ⋅ =
(MC.2)
di mana simbol ( )udu
dt tρ ρ∂
≡ + ⋅∇∂
adalah turunan waktu dari ρ yang dilihat oleh
pengamat yang bergerak dengan kecepatan “mass average” atau u. Hasil yang didapat
di sini sama persis dengan kasus fluida yang homogen. Ini menyarankan agar dalam
Dinamika Fluida Campuran 486
menurunkan persamaan momentum, angular momentum, energi dan entropi kita
gunakan “mass average velocity” u.
Persamaan (MC.2) juga dapat digunakan untuk mendapatkan bentuk alternatif dari
persamaan (MC.1a). Apabila kita tuliskan suku kiri dari persamaan tersebut
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )A AA A AA A
uu A A u A
A A
u j u u jt t
dd dj j
dt dt t
ρ ρρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρρ
ρ ρ
∂ ∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = + ⋅∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∂ ∂⎛ ⎞
= − + ∇ ⋅ = + ∇ ⋅⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
Apabila kita definisikan ρ
ρ )()(
AAC ≡ (C(A) = mass fraction A/ konsentrasi A) maka
(MC.1a) menjadi,
( )( ) ( )( )
uA AA
dC j
dtρ + ∇ ⋅ = r (mc.1b)
18.3.3 Mass-Averaged Material Element Penurunan persamaan kontinuitas yang menyatakan hukum kekekalan massa
menyarankan agar kita menggunakan “mass-average velocity”. Untuk menurunkan
persamaan-persamaan dasar berikutnya, kita akan gunakan apa yang disebut “mass-
averaged material element” atau ”m-a material element”. “m-a material element”
adalah material element imaginer yang bergerak dengan kecepatan u (mass-average
velocity). Volume atur V(u) adalah volume atur yang terdiri dari “m-a material element”
yang sama sedangkan S(u) adalah permukaan yang membungkus V(u).
18.3.4 Hukum kekekalan momentum (hukum Newton II)
Sekarang kita akan melihat konsekuensi dari hukum Newton II untuk fluida campuran.
Apabila kita aplikasikan hukum Newton II untuk volume atur V(u) maka bunyi hukum
Dinamika Fluida Campuran 487
ini sama seperti sebelumnya (namun kita perlu mengganti “material volume” dengan
“V(u)”). Secara matematis hukum ini dapat dituliskan seperti ,
( ) ( )
( ) ( )1( )
ˆu u
NT
A AAV u S V
d udV ndS G dVdt
ρ σ ρ=
= ⋅ + ∑∫ ∫ ∫
Dalam persamaan di atas kita telah anggap bahwa setiap spesies dapat “merasakan”
body force yang berbeda ( )( AG ).
Apabila ρ , u , σ , ( )AG adalah fungsi-fungsi yang kontinyu maka kita dapat gunakan
(***), (*), (**) ((***) dapat digunakan juga untuk fluida campuran (karena (mc.2) sama
persis dengan persamaan kontinuitas untuk fluida homogen) sehingga,
( )( ) ( )
1
Nu
A AA
du G
dtρ σ ρ
=
= ∇ ⋅ + ∑
Apabila kita definisikan ( ) ( )1
N
A AA
Gρ ρ=
≡ ∑ G maka,
( )udu
dtGρ σ ρ= ∇ ⋅ + (mc.3)
Persamaan ini sama persis seperti sebelumnnya namun definisi dari ρ , u , G di sini
harus diingat. u , misalnya, adalah “mass–average velocity”, ∑ ==
N
A A1 )(ρρ
( )( )1
N
A AA
G Gρ ρ=
= ∑ .
18.3.5 Hukum kekekalan momentum sudut Seperti dalam kasus fluida homogen, prinsip kekekalan momentum sudut diturunkan
dari persamaan momentum. Karena (mc.3) sama dengan persamaan momentum fluida
homogen maka persamaan yang menjelaskam prinsip kekekalan momentum sudut juga
sama seperti sebelumnya, yaitu :
( ) ( ) ( )
ˆ( )u u u
T
V V S
d x udV x GdV x n dSdt
ρ ρ σ× = × + × ⋅∫ ∫ ∫
Dinamika Fluida Campuran 488
Juga untuk “non–polar medium” stress adalah tensor yang simetris atau,
σσ =T .
18.3.6 Hukum kekekalan energi (hukum termodinamika I ) Bunyi dari hukum termodinamika I untuk fluida campuran sama persis dengan untuk
fluida homogen. Apabila kita tuliskan hukum ini secara matematis untuk fluida di
dalam )(uV maka ,
( )( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
2
1
1
1 ˆ2
u u
u
NA
AAV S
N
A AAAV
d e u dV u q ndSdt
G u Q dV
ρρ σ
ρ
ρ ρ
=
=
⎛ ⎞+ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∫ ∫
∑∫
Apabila seluruh variabel dalam integral adalah fungsi kontinyu maka (***), (*), (**)
dapat digunakan dan persamaan ini menjadi ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
1 1
12
N Nu
A AA A AA A
de u u q Q G
dtρ ρ σ ρ ρ
ρ = =
⎛ ⎞+ = ∇ ⋅ ⋅ − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ u⋅
Karena, seperti biasa, biasanya tidak digunakan maka kita akan tuliskan dalam
suku-suku di atas dengan menggunakan
)( Au )( Au
u dan )( Av sehingga,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2
1 1 1 12
N N N N
A AA A A A A AA A A A
u v u v uρ ρ ρ ρ ρ= = = =
= + = + +∑ ∑ ∑ ∑ v u⋅
Namun, karena ( ) ( )1
N
AAA
u uρ ρ=
≡ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
0N N N
A A AA A AA A A
v u u v u u uρ ρ ρ= = =
⎡ ⎤⋅ = ⋅ = ⋅ − =⎢ ⎥
⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ρ .
Dengan demikian maka ,
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1
N N
AA A AA A
u u vρ ρ ρ= =
= +∑ ∑
Dinamika Fluida Campuran 489
Selain itu,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
N N
A A A AA AA A
G u G v Gρ ρ= =
uρ⋅ = ⋅ +∑ ∑ ⋅
Akhirnya ekspresi untuk persamaan energi menjadi ,
22( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( ) 1 1 ( )2 2
N N
A A AA A
d u e u C v u q Q G u G vdt
ρ σ ρ ρ= =
⎛ ⎞+ + = ∇ ⋅ ⋅ − + + ⋅ + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ A Aρ (mc.4)
di mana ρ
ρ )()(
AAC = .
Apabila kita ambil dot product dari persamaan (mc.3) dengan u maka,
2( )
2ud u u G
dtρ σ
⎛ ⎞uρ= ⋅∇ ⋅ + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dengan demikian maka, apabila (mc.4) dikurangi persamaan ini didapatkan,
( )2( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1 1
1( ) ( )2
N Nu u
A A AA A
d de C v u q Q G
dt dtρ ρ σ ρ ρ
= =
⎛ ⎞+ = ⋅∇ ⋅ − ∇ ⋅ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ A Av⋅ (mc.4.a)
yang tidak lain adalah persamaan untuk internal energi (e). Harga ∑ =
N
A AAu vC
dtd
1 )(2
)()(
21
biasanya sangat kecil dibanding dengan suku–suku lainnya dalam persamaan-persamaan
di atas dan biasanya suku ini (hampir selalu) dapat diabaikan. Apabila suku ini
diabaikan maka kita dapatkan persamaan-persamaan energi yang sama dengan kasus
fluida homogen.
18.3.7 Hukum termodinamika II
Sebelum kita tuliskan hukum termodinamika II untuk fluida campuran, sebaiknya kita
review dulu termodinamika untuk fluida campuran yang dapat bereaksi. Untuk fluida
yang terdiri dari N spesies, hukum termodinamika I adalah,
( ) ( )1
N
A AA
d Tds pdv dmε µ=
= − + ∑
Dinamika Fluida Campuran 490
di mana ε adalah energi dalam, µ(A) adalah “chemical potential” untuk spesies A dan
m(A) adalah massa dari spesies A di dalam sistem. Sekarang kita akan tuliskan
persamaan di atas dengan menggunakan variabel-variabel per unit massa,
( ) ( )1
1 N
A AA
de Tds pd dcµρ =
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
di mana ( ) ( ) ( )( )
A A AA
dm md d
m m
ρ
ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dc . Dengan demikian maka,
( ) ( )1
N
A AA
pde Tds d dcρ ρ ρ ρµρ =
= + + ∑
sehingga dengan menggunakan (mc.2) dan (mc.1.b),
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1
Nu u
A A AA
d e d ST p u r j
dt dtρ ρ µ
=
= − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅∑ .
Apabila persamaan ini kita kurangi dengan persamaan (mc.4.a) maka hasilnya adalah,
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2
1
1 1
12
Nu u
A AA
N N
A AA A A AA A
d d sc v T u q Q
dt dt
G v r j
ρ ρ τ ρ
ρ µ
=
= =
⎛ ⎞− = − ⋅∇ ⋅ + ∇ ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
− ⋅ + − ∇ ⋅
∑
∑ ∑
atau
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
1 1 1
12
N N Nu u
A AA A A A AA A A
d s dT u q Q G v c v r
dt dtτ ρ ρ ρ µ
= = =
⎛ ⎞= ⋅∇ ⋅ − ∇ ⋅ + + ⋅ − − − ∇ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ ∑ A j
Dengan menggunakan,
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1
N N
A AA AA A
j v uρ ρ= =
= =∑ ∑ u− dan 2
1 1qq q
T T T⎛ ⎞
T∇ ⋅ = ∇ ⋅ − ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠
maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi,
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2
22
1 1
112
11 1 1 12
2
N
A A Au A
N NA A uA A A A AA
A A
v jd s q Q udt T T T T
v dq T j T G v v r
T T T dt T
µρρ τ
µµ
=
= =
⎧ ⎫⎛ ⎞+⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠+ ∇ ⋅ − − = ⋅∇ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⋅∇ − ⋅ ∇ − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
∑ ∑
Dinamika Fluida Campuran 491
Sekarang kita beralih ke Hukum Termodinamika ke II. Hukum ini didapatkan dengan
mengambil integral volume (V(u)) dari persamaan di atas dan membandingkan hasilnya
dengan pertidaksamaan entropi yaitu,
1 0dS Qdt T
δ σ− = ≥
Apabila kita lakukan ini maka dapat disimpulkan bahwa suku di sebelah kanan dari
persamaan di atas (mc.*) adalah σ sehingga (untuk kasus ini
( ) ( ) ( )2
1
12
N
A A AA
v jqQ QT T T
µ
Tδ ρ=
⎧ ⎫⎛ ⎞+⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠= −∇ ⋅ + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
∑),
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
22
1 1
11 1 1 1 12 0
2
N NA A uA A A A AA
A A
v du q T j T G v v r
T T T T dt T
µτ µ
= =
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⋅∇ ⋅ − ⋅∇ − ⋅ ∇ − + − + ≥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑
Apabila kita gunakan definisi-definisi berikut,
( )1 uTτ τΦ ≡ ⋅∇ ⋅ dan ( ) ( ) ( )
2
1
1 12
N
r A A AA
v rT
µ=
⎛ ⎞Φ ≡ − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
maka pertidaksamaan di atas menjadi,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )2 2
1 1
1 1 1 1 02 2
N Nu
r A AA A A AA AA A
dTq v j v G v jT T T dtτ µ µ
= =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ∇⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ + Φ − − + ⋅ − ∇ + − + ⋅ ≥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
∑ ∑
Dari termodinamika kita ketahui bahwa
( ) ( ) ( ) ( )A A Ag h Ts Aµ≡ − = (A)
Apabila ini kita substitusikan ke dalam µ(A) pada suku ke-3 di atas maka pertidaksamaan
menjadi,
( ) ( )1
1 0N
Ar AA
T jT Tτ
=
∇Φ + Φ − ∈⋅ − Λ ⋅ ≥∑
di mana untuk mempersingkat penulisan, kita gunakan definisi-definisi berikut.
Dinamika Fluida Campuran 492
( ) ( ) ( )2
1
12
N
A A AA
q h v j=
⎛ ⎞⎛ ⎞∈ ≡ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )21
2u
AA A A A
ds T v G v
dtµ⎛ ⎞Λ ≡ ∇ + ∇ + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠ A .
Karena ( )
1
0N
AA
j=
=∑ maka ( ) ( )
1
0N
NAA
j=
⋅Λ =∑
Sehingga, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )*
1 1 1
N N N
A A ANA AA A A
j j= = =
Λ ⋅ = Λ − Λ ⋅ = ⋅∑ ∑ ∑ Ad j dimana telah didefinisikan
( ) ( )( )*( )
1
N
AA NA
d=
≡ Λ − Λ∑
Dengan demikian maka pertidaksamaan diatas menjadi,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 2
1 1
1 1 1 1 1 02
N N
A A A AAA A
Tu j d vT T T T T
τ µ= =
⎡ ⎤∇ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤⋅∇ ⋅ − ∈⋅ − ⋅ − + ≥⎜ ⎟⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ r ⎥ (mc.5)
Ini adalah hukum termodinamika ke II untuk fluida campuran.
Expresi untuk Λ(A) dapat pula dituliskan sebagai berikut. Kita nyatakan µ(A) (c(A), T, p)
sehingga,
( )( )
( )( )
( ) ( )
, ,,
A A AA A
A c T c pp T
c pc p T
µ µ µµ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟∇ = ∇ + ∇ + ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
T
Namun, karena dari persamaan (A) ( )( )
,
AA
p c
sT
µ∂⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
sehingga,
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
2
,,2
A A AA
uA AA
A c Tp T
v dc p G
c p
µ µ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟Λ = ∇ + ∇ + ∇ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
vdt
Dengan demikian maka gradien-gradien dari p dan c(A) juga menyebabkan kenaikan
entropy dalam system.
Dinamika Fluida Campuran 493
18.4 Persamaan konstitutif
(Lihat subbagian Transport Phenomena sebelum membaca subbagian ini !!!).
Seperti pada kasus fluida yang homogen, untuk menyelesaikan system persamaan dasar
(mc.1.a), (mc.3), dan (mc.4) kita membutuhkan persamaan konstitutif. Mengikuti
prosedur yang telah kita bahas pada kasus fluida homogen, kita perhatikan hukum
termodinamika II untuk kasus ini (mc.5). Pertidaksamaan tersebut menginformasikan
kita tentang gradien-gradien apa saja yang mengakibatkan fenomena transport X. Dari
pertidaksamaan kita dapat identifikasikan,
( )
( ) ( )21
2
A
A A
jJ
v
τ
µ
⎧ ⎫⎪ ⎪∈⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎩ ⎭
dan ( )
( )
*A
A
uT
TXd
r
∇⎧ ⎫⎪ ⎪∇⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Karena J = Ω⋅ X maka,
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
*13 141211
*2422 2321
*3432 33312
*42 43 4441
:
:
:12
:
A A
A A
A
A A
A A
A A
Tu dTTu d
TjTu d
TvTu d
T
τ
µ
∇⎧ ⎫Ω ∇ + Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∇⎪ ⎪∈ Ω ∇ + Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ∇⎪ ⎪ ⎪Ω ∇ + Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∇⎪ ⎪Ω ∇ + Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω
⎪ ⎪⎩ ⎭
r
r
r
r
⎪⎬⎪⎪⎪
Namun, Currie’s Principle menyatakan bahwa tidak ada kopling antara j(A) dan ∈
dengan σ dan ( ) ( )21
2A vµ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠A sehingga
24 42 34 4313 3112 210Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω =
Selain itu tidak ada bukti experiment yang mendukung adanya kopling antara σ dengan
( ) ( )21
2A vµ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠A sehingga
14 410Ω = Ω = . Dengan demikian maka,
Dinamika Fluida Campuran 494
11: uτ = Ω ∇ dan
( )
( )
( )
*22 23
*23 33
A
AA
T dT
j T dT
∇⎧ ⎫Ω ⋅ + Ω ⋅∈ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ∇⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ Ω ⋅ + Ω ⋅⎪ ⎪⎩ ⎭
⎪⎬
, di mana telah kita gunakan Onsager Reciprocal Relation TΩ = Ω .
Selanjutnya hubungan-hubungan di atas harus memenuhi “Principle of Frame
Indifference”. Hubungan untuk τ terlihat sama persis dengan kasus fluida homogen
sehingga kita dapat langsung tuliskan,
( ) 2pI pI u I Dσ τ λ= − + = − + ∇ ⋅ + µ (mc.6)
Sedangkan untuk ∈ dan j(A) dapat ditunjukkan (Slattery, 1972) bahwa
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* 2
1 1
2*
1
12
ln
TN NA
A A A AA AA
NT
BA A B ABAB
Dk T c RT d q h v j
cj D T M M D d
ρ
ρ
= =
=
⎛ ⎞∈ = − ∇ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − ∇ +
∑ ∑
∑ (mc.7)
dimana mana,
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
1, 1, , ( , )
1*
c
N NA A
A A AB BB B A BB T p C C A B
d C V pC RT C
ρ µρ= ≠ =
≠
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟≈ ∇ + − ∇ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ BG C G+
dan ( )( )
*
( ) , , ( )
,B
AA T p m B A
VV cm M
ρ
≠
⎛ ⎞∂≡ ≡⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
.
( )TAD , adalah thermal dan multicomponent diffusion coefficient, dan M adalah
berat molekul. Harga-harga thermal dan diffusion coefficient didapatkan dari
experimen atau teori kinetik, seperti halnya λ, µ, dan k, dan haga-harga ini adalah fungsi
dari variabel-variabel termodinamik seperti T dan p.
( )ABD
Pada persamaan (mc.7) terlihat bahwa harga є tergantung pada konsentrasi dan gradien
tekanan melalui d(A). Ketergantungan ini disebut juga efek Dufour dan biasanya efek ini
sangat kecil sehingga dapat diabaikan. Selain itu, terdapat pula ketergantungan j(A)
terhadap gradien konsentrasi, gradien tekanan, gradien temperatur, dan body force.
Dinamika Fluida Campuran 495
Ketergantungan j(A) terhadap gradien temperatur disebut efek Soret. Dalam kebanyakan
kasus, ketergantungan j(A) terhadap gradien-gradien dan body force, kecuali gradien
konsentrasi dapat diabaikan karena efek-efek ini sangat kecil. Kasus terakhir ini dikenal
dengan sebutan Ordinary diffusion dimana proses difusi hanya dipengaruhi oleh gradien
konsentrasi.
Sistem persamaan yang harus diselesaikan dalam mekanika fluida campuran adalah
persamaan-persamaan, (mc.1.a), (mc.3). (mc.4), (mc.6), dan (mc.7). “r(A)” dalam
persamaan (mc.1) dan (mc.4) didapatkan dari hasil analisis kimia. Juga dibutuhkan
persamaan keadaan untuk e.
Sekarang kita cek apakah jumlah persamaan yang kita miliki sama dengan jumlah
variabel yang dicari (dependent variable). Jumlah persamaan yang kita miliki adalah:
(mc.1) ⇒ N persamaan
(mc.3) ⇒ 3 persamaan
(mc.4) ⇒ 1 persamaan
(mc.6) ⇒ 6 persamaan (yang independent)
(mc.7) ⇒ 3+3(N-1)=3N persamaan
( ) ⇒ 1 persamaan ( ) ( )( 1, ,..., Ne e T ρ ρ= )Persamaan konstitutif untuk j(A) hanya mempunyai 3(N-1) persamaan independen
karena,
( ) ( ) ( )( )1 1
0N N
AAAA A
j uρ= =
u≡ − =∑ ∑
(definisi ( ) ( )1
N
AAA
uρ ρ=
≡ ∑ u ). Sehingga persamaan j(A) hanya mempunyai 3(N-1)
persamaan yang independen.
Dengan demikian total persamaan yang kita miliki adalah 4N+11. Sekarang kita hitung
variabel yang dicari (G(A), Q, r(A) diketahui)
( )A Nρ ⇒ , ( ) ( )3 1A
j N⇒ − , 3u ⇒ , 6σ ⇒ , , , 1e ⇒ 1T ⇒ 3q ⇒
Dinamika Fluida Campuran 496
Jadi total variabel yang dicari adalah 4N+11. Karena jumlah persamaan sama dengan
jumlah variabel yang dicari maka secara prinsip sistem persamaan tersebut dapat
diselesaikan.
Catatan: Inilah alasannya mengapa kita tidak menganggap u(A) atau v(A) sebagai
dependent variable. Apabila u(A) atau v(A) dianggap sebagai dependen variable maka
kita tidak membutuhkan persamaan konstitutif untuk j(A) karena ( ) ( ) ( )
1
N
AAAA
j vρ=
= ∑ .
Namun tanpa persamaan konstitutif untuk j(A) kita kekurangan 3(N-1) persamaan dan
sistem persamaan tersebut tentunya tidak dapat diselesaikan.
18.5 Binary Solution (campuran dua jenis fluida)
Dari sub-bagian 18.4, terlihat jelas bahwa mekanika fluida campuran jauh lebih rumit
dari mekanika fluida yang telah kita pelajari dari mulai Bab 1 sampai dengan Bab 17.
Umumnya permasalahan mekanika fluida multi komponen ini tidak dapat diselesaikan
secara analitis dan hanya dapat diselesaikan dengan bantuan komputer. Tetapi banyak
kasus dimana hanya terdapat fluida yang terbentuk dari dua spesies. Kasus ini dikenal
dengan sebutan binary solution.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, hasil experiment menunjukkan bahwa efek-efek
Dufour dan Soret sangat kecil dan dapat diabaikan. Selain itu body forces juga sangat
kecil kecuali untuk kasus-kasus tertentu. Apabila hal-hal tersebut dapat diabaikan maka
persamaan konstitutif untuk є dan j(A) untuk binary solution menjadi,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2*0( )B ABA B ABA
k T
cj M M D d Dρρ
∈ = − ∇
= ≡ − AC∇
dimana telah diperkenalkan koefisien baru, binary diffusion coefficient, yaitu . 0( )ABD
Dengan persamaan konstitutif ini, hubungan untuk q diberikan oleh persamaan,
Dinamika Fluida Campuran 497
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22
1 1
12
N
A A A A1
A A AA A
q h v j h j k T h j= =
⎛ ⎞= ∈+ + ≈ ∈+ = − ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑A=∑
dimana pada hubungan terakhir energi kinetik relatif dari spesies telah diabaikan karena
suku ini biasanya memberikan kontribusi yang sangat kecil.
Untuk kasus ini sistem persamaan yang harus diselesaikan adalah,
( )
( )
( )
( ) 0( ) ( ) ( )
( ) 0( ) ( ) ( )
( )
22 0
( )1
0
( ) 1 ( )2
uA AB A A
uB AB B B
u
AB AAA
dC D C r
dtd
C D C rdt
utd
udt
d u e u u k T h D Cdt
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ σ
Qρ σ ρ=
= ∇ ⋅ ∇ +
= ∇ ⋅ ∇ +
∂+ ∇ ⋅ =
∂
= ∇ ⋅
⎛ ⎞⎛ ⎞+ = ∇ ⋅ ⋅ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ρ
dimana ( ) 2pI pI u I Dσ τ λ= − + = − + ∇ ⋅ + µ dan ( ) ( )( ), ,A Be e T ρ ρ= .