www.briliantprivate.co.cc Page 1
www.briliantprivate.co.cc Page 2
BARISAN DAN DERET
PENGERTIAN BARISAN DAN DERET
Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan
dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.
Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan
Geometri.
1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)
1.1 BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu
bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan
dengan b.
Contoh-contoh barisan Aritmetika :
1) 1,3,5,.... bedanya b = ...
2) 0,5,10,... bedanya b = ...
3) 100,97,94,... bedanya b = ...
4) 3 2 , 7 2 ,11 2 ,... bedanya b = ... .
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = U1 = a dan beda = b, maka :
Un = a + (n – 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
b = 1−− nn UU
Contoh 1 : Tentukan beda dari :
a) 1,5,9 b) 10,81
2,7,...
Jawab : a) ………….
b) ………….
Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !
Jawab : ……………
Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !
Jawab : …………..
www.briliantprivate.co.cc Page 3
Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !
Jawab : …………….
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U 5 21= dan U10 41= . Tentukan U15 !
Jawab : …………….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !
a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...
b) 1,11
2,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...
2. Tentukan suku yang diminta !
a) 4,10,16,... suku ke-25
b) 20 3 ,18 3 ,16 3 ,... suku ke-40
3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :
a) b = 4, U 6 21= , a = ...
b) a = -5, U 20 33= , b = ...
c) a = 9, b = -2, U n = −19 , n = ...
d) U 4 1= , U 7 8= − , a = ... , b = ...
e) U 3 71
2= , U 6 15= , U10 =...
4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka
tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !
6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000.
Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan !
1.2 DERET ARITMETIKA
Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika.
Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika
abababUbUUS
UbUbUbabaaS
UUUUUS
nnnn
nnnn
nnn
++++++−+−+=
+−+−++++++=
+++++= −
)()2(.......)2()(
)()2(..........)2()(
....... 1321
+
)(2
)()()(........)()()(2
nn
nnnnnnn
UanS
UaUaUaUaUaUaS
+=
++++++++++++=
www.briliantprivate.co.cc Page 4
S n a Un n= +1
2( ) , karena U a n bn = + −( )1 , maka :
])1(2[2
1bnanSn −+= Sn : jumlah n suku pertama
U S Sn n n= − −1
Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !
a) 1+3+5+...sampai 50 suku
b) 2+5+8+...+272
Jawab : a) ……………..
b) …………….
Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192
Jawab : ……………
Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 !
Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = 1S =……..
Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = 2S = ……
Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = 1S - 2S = ……..
Contoh 4: Tentukan U10 jika S nn =2
Jawab : …………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku
b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku
c) -7-3+1+ ... + 53
d) 25+21+17 + ... + 1
2. Tentukan x jika ;
a) 1+3+5+ ... + x = 441
b) 1+5+9+ ... + x = 561
3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :
a) a = 2, S b22 737= =, ...
b) b=5,U S10 1546= =, ...
c) U U S4 7 109 18= = =, , ...
www.briliantprivate.co.cc Page 5
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3
5. Tentukan U8 jika S n nn = +2 2
6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola pantulannya
1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6
2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)
2.1 BARISAN GEOMETRI
Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya.
Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.
Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...
Jawab : …………..
Suku ke-n barisan geometri
Jika suku pertama u a1 = dan rasio = r, maka :
1−= n
n arU
Dimana 1−
=n
n
U
Ur
Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....
Jawab : …………….
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...
Jawab : ………………
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 4= dan U5 16= . Tentukan U8 !
Jawab : ……………….
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan
ketiga bilangan itu !
Jawab : Misal ketiga bilangan itu xrxr
x,, maka 32727.. 3 =⇔=⇔= xxxrx
r
x
www.briliantprivate.co.cc Page 6
Jadi
9,3,13
1,3,93
1
0)3)(13(0310313333 2
abilangannyr
abilangannyr
rrrrrxrr
⇒=
⇒=
=−−⇔=+−⇒=++
Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !
Jawab : ……………..
LATIHAN SOAL
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :
a) 1,3,9,..... suku ke-7
b) 3,6,12,....suku ke-8
c) 16,8,4, ... suku ke-10
2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :
a) 1
4
1
21, , ,....
b) 2 2 2 4, , ,....
3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :
a) a U U= = =4 324 6, , ...
b) b U a= = =1
335, , ...
c) U U U3 6 58 64= = − =, , ...
d) U U U3 5 21 25= = =, , ...
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan
ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !
6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah
menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !
2.2 DERET GEOMETRI
Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.
Jumlah n suku pertama deret geometri
nnn
n
nnn
n
ararararararrS
rxarararararaS
++++++=
++++++=
−−
−−−
1232
1232
.............
..............
-
n
nn ararSS −=−
1,1
)1(
1
)1(≠
−
−=
−
−= r
r
ra
r
raS
nn
n dimana U S Sn n n= − −1
www.briliantprivate.co.cc Page 7
Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....
Jawab : ……………
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243
Jawab : ………………
Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 2 2 2552+ + + + =.... n
Jawab : ………………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 1
4
1
21 10+ + + =.... ...S
b) 36+18+9+.... S6 =...
c) 2 2 2 2 8+ + + =... ...S
2. Tentukan jumlah dari :
a) 1/3+1+3=....+81
b) 32+16+8+....+1/8
3. Tentukan n jika :
a) 3 3 3 3 3632 3+ + + + =... n
b) 2 2 2 2 10222 3 1+ + + + =−... n
4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a) U U S1 3 550 200= = =, , ...
b) a r S nn= = = =1 3 29524, , , ...
c) S r a8 155
6
1
2= = =, , ...
5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah
penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !
2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Sa r
r
a
r
r
rn
n n
=−
−=
−−
−
( )1
1 1 1
Untuk n→ ∞ maka :
=∞S ∞→n
Lim )
11(
r
r
r
a n
−−
−
Untuk –1 < r < 1 maka :
=∞Srr
a
−−
− 1
0
1 sehingga =∞S
r
a
−1 syarat –1 < r < 1
Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1
www.briliantprivate.co.cc Page 8
Contoh 1: Hitung ....4
1
2
11 +++
Jawab : ………………
Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)
Jawab : ……………….
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9, maka
tentukan rasionya !
Jawab : …………………….
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah jumlahnya dari :
a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….
b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….
c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….
d. 1/2+1/3+2/9+…. h. ....122 +++
2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a. r = -2/5, =∞S 15 maka a = ….
b. a = 2, 8
13 =U maka =∞S ….
c. 27
1,9 72 == UU maka =∞S ….
d. 8
1,2
9531 ==+ UUU maka =∞S ….
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung
jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti
4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka
tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga
tak terhingga jumlahya.
3. NOTASI SIGMA
Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan
notasi sigma yang dilambangkan dengan ""∑=
b
ai
ix dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan
batas atas b sedangkan ix adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks
menggunakan huruf kecil.
∑=
b
ai
x1 dibaca “sigma dari ix untuk harga i dari a sampai b”.
www.briliantprivate.co.cc Page 9
Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari ∑=
+5
1
)12(k
k
Jawab : ∑=
+5
1
)12(k
k = ………………… = …………
Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28
Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma
sifatnya tidak unik.
∑∑+
=
−
=
=ck
cn
cn
k
n
n xx0
Contoh 3 : Ubahlah ∑=
+5
0
)34(k
k menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !
Jawab : ∑∑∑=
+
==
−=+−=+12
7
75
7
5
0
)254(3)7(4)34(kkk
kkk
LATIHAN SOAL
1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
+
−
−
n
k
k
n
k
ki
i
k
xe
n
nd
kc
ib
ka
1
6
0
10
1
7
3
2
7
1
2.
2.
3)1(.
.
)45(.
2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :
144.........941.
56.........642.
256.......421.
20
21......
3
4
2
32.
101......261710.
41......951.
74......852.
++−+−
−−+−
++++
++++
++++
−−−−−
++++
g
f
e
d
c
b
a
www.briliantprivate.co.cc Page 10
3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
+
−
−
−
n
i
x
x
n
k
i
id
c
nb
ka
0
10
7
10
3
8
0
2
1.
2.
)210(.
)43(.
4. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan
menggunakan pola bilangan asli.
Misalkan Pn suatu pernyataan dan n∈Asli sedemikian sehingga :
1. nP benar untuk n = 1
2. Misal kP benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan 1+kP
benar pula, maka nP benar untuk n∈Asli.
Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama
sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.
Contoh 1 : Buktikan )1(2
.....321 +=++++ nn
n dengan menggunakan induksi matematika !
Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = )11(2
1+ benar.
Misal untuk sembarang n = k maka )1(2
.....321 +=++++ kk
k benar.
Sehingga untuk n = k+1 :
)2(2
1
2
)1(2)1(
2)1()1(
2)1(......321 +
+=
+++=+++=++++++ k
kkk
kkk
kkk benar.
Jadi )1(2
.....321 +=++++ nn
n benar untuk n∈Asli.
LATIHAN SOAL
Buktikan dengan induksi matematika !
( )
738.9
33.8
2.7
1222........222.6
)11(2
5)530(.......152025.5
11)212(.....6810.4
2
)15()35(.......1272.3
)12(.......531.2
)1(2.....642.1
2
3
2
32
2
2
+
+−
+
−=++++
−=−++++
−=−++++
−=−++++
=−++++
+=++++
n
nn
darifaktor
nndarifaktor
nndarifaktor
nnn
nnn
nnn
nn
nnn