I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) =

2. f(x) = ĐS. F(x) =

. f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C

4. f(x) = ĐS. F(x) =

5. f(x) = ĐS. F(x) =

6. f(x) = ĐS. F(x) =

7. f(x) = ĐS. F(x) =

8. f(x) = ĐS. F(x) =

9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C

10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C

11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) =

12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C

14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C

15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =

17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) =

18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C

19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) =

20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) =

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3

2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =

3. f’(x) = 4 và f(4) = 0 ĐS. f(x) =

4. f’(x) = x - và f(1) = 2 ĐS. f(x) =

5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3

6. f’(x) = ax + ĐS. f(x) =

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) I =

BÀI TẬPTìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28.

29. 30. 31. 32.

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

Hay ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:1. 2. 3. 45. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

TÍCH PHÂNI. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1. 2.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18. 19.

20. 21.

22. 22.

24. 25.

26. 27.

28. 29.

30. 31.

32. 33.

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

1. 2.

3. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18. 19.

20. 21.

22. 23.

24. 25.

26. 27.

28. 29.

30. 31.

32. 33.

34. 35.

36. 37.

38. 39.

40. 41.

42. 43.

44. 45.

46. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70. .

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81. 82.

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89. 90.

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

99. 100.

101. 102.

103. 104.

105. 106.

107. 108.

109. 110.

101. 112.

113. 114.

115. 116.

117. 118.

119. 120.

121. 122.

123. 124.

125. 126.

II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức tích phân từng phần :

Tich phân cac ham sô dê phat hiên u va dv

@ Dang 1

@ Dang 2:

Đặt

@ Dang 3:

Ví dụ 1: tính các tích phân sau

a/ đặt b/ đặt

c/

Tính I1 bằng phương pháp đôi biến số

Tính I2 = bằng phương pháp từng phần : đặt

Bài tập

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

Tính các tích phân sau

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11)

12)

13) 14) 15) 16)

17) 18) 19) 20)

21) 22) 23) 24)

25) 26) 27) 28)

29) 30) 31)

32)

III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23.

1

06

4

1

1dx

x

x 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33.

IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 2.

43. 4.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71.

V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:

Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:

+) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t

+) R(x, ) §Æt x = hoÆc x =

+) R(x, ) §Æt t =

+) R(x, f(x)) = Víi ( )’ =

k(ax+b)

Khi ®ã ®Æt t = , hoÆc ®Æt t =

+) R(x, ) §Æt x = , t

+) R(x, ) §Æt x = , t

+) R Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)

§Æt x = tk

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã:

VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ] tháa m·n f(x) + f(-x) =

,

TÝnh:

+) TÝnh

Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã:

= 0.

VÝ dô: TÝnh:

Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:

= 2

VÝ dô: TÝnh

Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:

(1 b>0, a)

VÝ dô: TÝnh:

Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th×

VÝ dô: TÝnh

Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:

VÝ dô: TÝnh

Bµi to¸n 6:

VÝ dô: TÝnh

Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:

VÝ dô: TÝnh

C¸c bµi tËp ¸p dông:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8. (tga>0)

VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12. 2)

13. 14.

15. 16.

17. 18.

VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

= 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =

1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

= 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2Bµi 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈtBµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng nhauBµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhauBµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇnBµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi

T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt

Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:

1) (H1): 2) (H2) : 3) (H3):

4) (H4): 5) (H5): 6) (H6):

7) (H7): 8) (H8) : 9) (H9):

10) (H10): 11) 12)

13) 14) 15)

16 17 18)

19. 20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p)

®i qua M(5/6,6)21) 22)

23)

24) 25) 26)

27) 28) 29)

30) 31) 32)

33) 34) 35)

36) 37) 38) 39) 40)

41) 42) 43)

44) 45) 46)

0

)( 2222

axaxy

47) 48) 49)

32) 33) 34)

35) 36) 37) 38)

39)40) (a>0) 41) 42) 43) x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt45)

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Công thức:

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Oxb) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : .Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục OxBài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục OxBài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục OxBài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục OxBài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox1) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y2) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

3) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

4) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y5) quay quanh trôc a) 0x;

a b0y

)(:)( xfyC

b

ax bx

x

y

O

b

ax

y

0x

O

)(:)( yfxC by

ay

6) (D) quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2

7) quay quanh trôc a) 0x; 8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

9) MiÒn trong (E): quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

10) quay quanh trôc 0x;11) quay quanh trôc 0x;12) quay quanh trôc 0x;13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

14) quay quanh trôc 0x;

15) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y