Lógica Modal 1
Base Axiomática para o Cálculo Proposicional
(Sistema PM)
Símbolos:•Letras romanas minúsculas, comou sem índice inferior;•Os símbolos: ~, ∨, (, )
Qualquer símbolo acima, ou qualquer se-quência de símbolos é uma expressão. Cha-maremos de fórmula às expressões forma-das segundo as seguintes regras:
Regras de Formação:•Uma letra isolada é uma fórmula;•Se α é uma fórmula, então ~α é uma fórmula;•Se α e β são fórmulas, então (α ∨ β) é umafórmula.
Lógica Modal 2
Para simplificar a notação, definiremos novosoperadores, a partir dos anteriores:
[Def. ⋅] (α ⋅ β) ≅ ∼(∼α ∨ ∼β)
[Def. ⊃] (α ⊃ β) ≅ (∼α ∨ β)
[Def. ≡] (α ≡ β) ≅ ((α ⊃ β) ⋅ (β ⊃ α))
Do ponto de vista semântico, podemos defi-nir, como anteriormente:
•atribuições de valores-verdade às letras sentenciais(também chamadas de variáveis proposicionais);
•extensão destas atribuições a todas as fórmulas docálculo proposicional, através da definição de umasemântica para os operadores;
•validade, chegando ao conceito de tautologia
Lógica Modal 3
Sistema Formal:
Axiomas:A1: (p ∨ p) ⊃ pA2: q ⊃ (p ∨ q)A3: (p ∨ q) ⊃ (q ∨ p)A4: (q ⊃ r) ⊃ ((p ∨ q) ⊃ (p ∨ r))
Chamaremos de tese qualquer axioma ou qual-quer fórmula obtida através das seguintes regras:
Regras de Transformação:
TR1: Substituição UniformeO resultado de substituir uniformementequalquer letra, numa tese, por uma fórmula, éuma tese;
TR2: Modus PonensSe α e (α ⊃ β) são teses então β também é.
Uma derivação é uma sequência de teses
Lógica Modal 4
Sistemas Modais Proposicionais
Vamos inicialmente considerar as seguintesmodalidades, na linguagem natural, segundoas quais uma proposição pode ser verdadeiraou falsa: (noções modais)
• necessariamente verdadeira;• impossível;• contingente;• possível.
O desenvolvimento a seguir deverá dar umsentido lógico a estes termos.
De uma maneira intuitiva, qualquer uma des-tas noções modais pode ser expressa em fun-ção de qualquer uma das outras.
Outra noção modal importante é o conceitode acarretamento.
Lógica Modal 5
Pode-se associar às noções modais acimaoperadores (unários ou binários) modais
Uma característica fundamental destes ope-radores é o fato de não serem funcionais-ve-ritativos.
Sistemas lógicos que possuam este tipo deoperador são chamados de sistemas modais.
O s sistemas modais que construiremos conte-rão o CS, mas não serão redutíveis a ele.
A questão crucial é:Que fórmulas chamaremos de válidas nossistemas modais?
Lógica Modal 6
Para a construção dos sistemas modais nãoé conveniente partir do conceito de validade(como fizemos no CS) pois ele não é eviden-te neste contexto.
Para que o sistema tenha a interpretação dese-jada, algumas condições (que veremos a seguir)devem ser preenchidas.
Contudo, contrariamente aos sistema elemen-tares, estas condições nem sempre são consen-suais, o que leva à existência de múltiplos sis-temas.
O procedimento adotado será:• estabelecer condições para os sistemas (fór-mulas que devem ser válidas);• definir os sistemas axiomáticos;• propor definições de validade, comparando-ascom os sistemas definidos.
Lógica Modal 7
Algumas condições a que devemsatisfazer os sistemas modais:
1) Lp ≡ ~M~pMp ≡ ~L~p
(das discussões anteriores)Pode-se escolher apenas uma delas como primitiva.{
2) Quanto ao operador de acarretamento,há alguma controvérsia; no entanto é con-sensual:
O sentido inverso é polêmico, mas vamosassumir:
ou, equivalentemente:
(p q) ⊃ ~ M (p ⋅ ~q)
(p q) ≡ ~ M (p ⋅ ~q)
(p q) ≡ L (p ⊃ q)
Lógica Modal 8
acarretamento implicação estrita
analogamente à relação entre ( ⊃, ≡ ) podemosdefinir o símbolo de equivalência estrita:
ou
(α = β) ≅ L(α ≡ β)
3) O operador L não é funcional-veritativo.Portanto não pode ser tese a fórmula:
Lp ≡ p
4) Axioma da NecessidadeLp ⊃ p pois aquilo que é necessaria-
mente verdadeiro é verdadeirooutra versão: p ⊃ Mp (axioma da possibilidade)
(deriváveis um do outro)
(α = β) ≅ ((α β) ⋅ (β α))
Lógica Modal 9
5) Qualquer fórmula válida é necessariamenteverdadeira (se α é válida, Lα também é).
6) Tudo o que “segue logicamente” de umaverdade necessária é uma verdade necessária.
L(p ⊃ q) ⊃ (Lp ⊃ Lq)
(de outra maneira, o risco de falsear a conclusão seriamaior do que o risco de falsear as premissas)
Terminologia:
Uma tese pertence a um sistema se é derivável nele
Dois sistemas são dedutivamente equivalentes ou equi-valentes se contém as mesmas teses (mesmo tendo basesdiferentes)
Se as teses de um sistema A pertencem a um sistema B,mas nem toda tese de B pertence a A, então:A é mais fraco que BB é mais forte que AB contém A
Lógica Modal 10
Sistema TÉ o mais fraco sistema modal que satisfaz àsexigências anteriores.
Símbolos:letras romanas minúsculas (var. proposicionais)~, L, ∨, (, )
Regras de Formação:•Uma variável proposicional isolada é uma fórmula.
•Se α é uma fórmula, então ~α e Lα são fór-mulas.
•Se α e β são fórmulas, então (α ∨ β) é umafórmula.
Lógica Modal 11
Definições de outros conectivos:
Mα ≅ ~L~α(α β) ≅ L(α ⊃ β)(α = β) ≅ ((α β) ⋅ (β α))
(⊃, ⋅, ≡) definidos como anteriormente;
Axiomas:A1 a A4 do sistema PM e ainda:
A5: (Lp ⊃ p)A6: L(p ⊃ q) ⊃ (Lp ⊃ Lq)
Regras de Transformação:TR1: Substituição Uniforme
TR2: Modus Ponens
TR3: Regra da Necessitação:Se α é uma tese então Lα é uma tese
Lógica Modal 12
obs.: não confundir a regra TR3 com a fórmula não-válida:
p ⊃ Lp
Uma derivação em T é definida de manei-ra análoga à proposta para o sistema PM
Algumas teses do sistema modal T:
T1: p ⊃ Mp
T2: (p = q) ⊃ (Lp ≡ Lq)
T3: L(p ⋅ q) ≡ (Lp ⋅ Lq) (lei da L-distribuição)
T4: L(p ≡ q) ≡ (p = q)T7: M(p ∨ q) ≡ Mp ∨ Mq (lei da M-distribuição)
Regra abreviada:DR1: Se (α ⊃ β) é tese então (Lα ⊃ Lβ) é tese
Regra abreviada:DR2: Se (α ≡ β) é tese então (Lα ≡ Lβ) é tese
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Regra de Substituição de Equivalentes (Eq):Se α é uma tese e β difere de α somente pela ocorrência deuma fórmula δ no lugar de alguma fórmula γ (em todas oualguma ocorrências de γ) então, se (γ ≡ δ) é uma tese, β é uma tese.
T5: Lp ≡ ~M~pT5a: L~p ≡ ~MpT5b: ~Lp ≡ M~pT5c: LLp ≡ ~MM~p
T5d: LL~p ≡ ~MMpT5e: MM~p ≡ ~LLpT5f: LM~p ≡ ~MLpT5g: ML~p ≡ ~LMp
Regra do intercâmbio LM (LMI):Em qualquer sequência de L’s e M’s adjacentes, todos osL’s podem ser substituídos por M’s, e M’s por L’s desdeque o símbolo ~ seja inserido ou apagado imediatamenteantes e imediatamente após a sequência.
Regra abreviada:DR3: Se (α ⊃ β) é uma tese, então (Mα ⊃ Mβ)é uma tese.
T9: (Lp ∨ Lq) ⊃ L(p ∨ q)T10: M(p ⋅ q) ⊃ (Mp ⋅ Mq)
Comparar comT3 e T7}
Lógica Modal 14
Sistemas S4 e S5
O sistema T contém teses praticamenteconsensuais.
A seguinte fórmula não é tese em T esua validade é controversa:
Lp ⊃ LLp(o que é necessário é necessariamente necessário?)
Se a aceitarmos, estaremos aceitando também:
Lp ≡ LLp
Uma tese deste tipo é chamada de lei de redu-ção pois estabelece a equivalência entre umasequência de operadores modais e outra se-quência menor.
Lógica Modal 15
Apenas algumas leis de redução são plausíveisde modo a preservar a interpretação intuitivaatribuída aos operadores L e M:
R1: Mp ≡ LMpR2: Lp ≡ MLpR3: Mp ≡ MMpR4: Lp ≡ LLp
Nenhuma destas é tese em T, mas todas tem umaimplicação unilateral que é tese em T:
LMp ⊃ Mp Lp ⊃ MLp
Mp ⊃ MMpLLp ⊃ Lp
Portanto para ampliarmos o sistema T bastaacrescentar:
R1a: Mp ⊃ LMpR2a: MLp ⊃ LpR3a: MMp ⊃ MpR4a: Lp ⊃ LLp
Lógica Modal 16
Contudo, tem-se ainda que:
Portanto, os candidatos a novos axiomas sãop. ex. R1a e R4a. Mas:
R1a R4a embora a recíproca nãoseja verdadeira( )
Concluímos que:a) Se admitirmos R1a como axioma, teremoscomo teses todas as leis de redução R1 a R4;b) Se admitirmos R4a como axioma, teremosalgumas das leis de redução.
Sistema S4: construído acrescentando-se R4a;Sistema S5: construído acrescentando-se R1a.
É óbvio que: T ⊂ S4 ⊂ S5
R1a R2ae
R3a R4a
0bs.: A questão pode ser resumida como: uma proposiçãocom característica modal tem esta característica necessa-riamente?
Lógica Modal 17
Sistema S4: O mesmo que T, exceto peloacréscimo do axioma:
A7: Lp ⊃ LLp
Teses:T18: MMP ⊃ MpT19: Lp ≡ LLpT20: Mp ≡ MMpT21: MLMp ⊃ MpT22: LMp ⊃ LMLMpT23: LMp ≡ LMLMpT24: MLp ≡ MLMLp
Modalidades em S4: Uma modalidade é umasequência unicamente composta de operadoresunários (~, L, M), com zero ou mais termos.(caso zero representado por -)
Forma padrão: Usando LMI, transformare-mos qualquer modalidade em outra sem ne-nhuma negação ou com apenas uma negaçãono começo.
Lógica Modal 18
Modalidade Iterada: É a modalidade que con-tém dois ou mais operadores modais.
Modalidades Equivalentes: Ae B são modali-dades equivalentes num dado sistema se e so-mente se o resultado da substituição de A por Bou vice-versa é uma fórmula equivalente á ante-rior.
Se A e B são modalidades equivalentes (numsistema) e A contém menos operadores que Bentão B é redutível a A (no sistema).
Resultado: Em S4 toda modalidade é equiva-lente a alguma das seguintes modalidades (ouàs suas negações):
-; L; M; LM; ML; LML; MLM
Prova: usando-se os teoremas de S4.
Existem portanto no máximo 14 modalidadesem S4 (falta provar que são distintas).
Lógica Modal 19
Relações de implicação (em S4):Lp
p
LMLp
MLp LMp
MLMp
MpÉ possível a obtenção de interpretações (mo-delos) para as quais as recíprocas das implica-ções acima não se verificam. Desta maneira,fica provado que as 14 modalidades de S4 sãodistintas
Em T, devido à total ausência de leis de redução,o número de modalidades distintas é infinito.
Lógica Modal 20
Sistema S5: O mesmo que T, exceto peloacréscimo do axioma:
A8: Mp ⊃ LMp
Teses:T25: MLp ⊃ LpT26: Mp ≡ LMpT27: Lp ≡ MLp
O axioma A7 de S4 pode ser provado comotese de S5
Modalidades em S5: As quatro leis de redu-ção são teses de S5:
Mp ≡ LMpLp ≡ MLp
Mp ≡ MMpLp ≡ LLp
Como consequência, em S5 existem no má-ximo seis modalidades distintas:
-; L; M (e suas negações)
Lógica Modal 21
Validade em T, S4 e S5
Jogo para o cálculo proposicional:
•Cada jogador tem uma folha com um conjun-to de letras sentenciais
•Uma fórmula só é chamada se suas “partesconstituintes” tiverem sido chamadas.
• ~α é escrita numa folha se e somente sea fórmula α não estiver nesta folha.
• (α ∨ β) é escrita numa folha se e somente seα ou β estiverem nesta folha.
Uma fórmula é dita bem sucedida numa folhase ela aparece naquela folha.
Uma fórmula é dita bem sucedida no cálculoproposicional se ela aparece em qualquer folha.
Tautologias = fórmulas bem sucedidas no cál-culo proposicional
Lógica Modal 22
Jogo para T
Uma fórmula é dita bem sucedida numa folhase ela aparece naquela folha.
Uma fórmula é dita bem sucedida em T se elaaparece em qualquer folha, qualquer que sejao arranjo.
• Idêntico ao anterior, com alguns acréscimos
•Alguns jogadores “verão” outros, segundo umarranjo pré-determinado (todo jogador vê a sipróprio, relação reflexiva)
•Lα é escrita numa folha se α estiver em todasas folhas visíveis a partir daquela folha.
•Mα é escrita numa folha se α estiver em pelomenos uma folha visível a partir daquela folha.
Por definição, uma fórmula é válida em T seela é bem sucedida em T.
Lógica Modal 23
Jogo para S4: Impõe-se que a relações en-tre as folhas sejam reflexivas e transitivas
(todo o resto é idêntico ao sistema T)
Jogo para S5: Impõe-se que a relações en-tre as folhas sejam reflexivas, transitivas esimétricas (portanto uma relação de equiva-lência).
(todo o resto é idêntico aos sistemas T e S4)
Alguns meta-teoremas:
1) Toda tese de T é T-válida e vice-versa
2) Toda tese de S4 é S4-válida e vice-versa
3) Toda tese de S5 é S5-válida e vice-versa
4) T, S4 e S5 são sistemas distintos
Lógica Modal 24
Definição formal de validade
Um modelo para T é definido como uma triplaordenada <W, R, V> onde W é um conjunto deobjetos, R é uma relação diádica reflexiva entreelementos de W e V é uma atribuição de valores-verdade satisfazendo as seguintes condições:
1) Para qualquer variável proposicional pj e paraqualquer wi ∈ W: ou V(pj,wi) = 1 ou V(pj,wi) = 0
2) Para toda fórmula α e para qualquer wi ∈ W:V(~α, wi) = 1 se V(α, wi) = 0V(~α, wi) = 0 se V(α, wi) = 1
3) Para quaisquer fórmulas α e β e para qualquerwi ∈ W:
V((α ∨ β), wi) ={1 se V(α, wi)=1 ou V(β, wi)=10 em caso contrário
4) Para toda fórmula α e para qualquer wi ∈ W:V(Lα, wi) = 1 se ∀wj ∈ W tal que wiRwj: V(α,wj)=1V(Lα, wi) = 0 em caso contrário
Lógica Modal 25
Uma fórmula α é T-válida se e somente separa qualquer modelo para T: <W, R, V>e para todo wi ∈ W, V(α, wi) = 1
Modelo para S4: Idêntica à definição de modelo para T, com a restrição adicionalde que a relação R seja também transitiva
Modelo para S5: Idêntica à definição de modelo para T, com as restrições adicionaisde que a relação R seja também transitiva ereflexiva
S4-validade e S5-validade são definidas demaneira idêntica a T-validade, substituindo-se“modelo para T” respectivamente por “modelopara S4” e “modelo para S5”