Download ppt - BAYES YAKLAŞIMI…

BAYES YAKLAŞIMI…Kesikli Olaylar için Bayes Kuralı

Anakütlenin üç kategoriye göre sınıflandırıldığı varsayılsın.

İlk grup sağlıklı olanlar, ikinci grup astımı olanlar ve

üçüncü grupta tüberküloz (TB) hastası olanlar olsun. Bu

anakütlede %90 bireyin sağlıklı, %9’unun astım ve %1’in

de tüberküloz hastası olduğu bilinsin. Rastsal seçilen bir

birey için aşağıdaki olaylar tanımlanabilir:

A1: Bireyin sağlıklı olması olayı A2: Bireyin astımı olması olayı

A3: Bireyin tüberküloz hastası olma olayı

1P A 0.90

2P A 0.09

3P A 0.01

(A.1)

2

…BAYES YAKLAŞIMI…Seçilen birey tüberküloz hastası olup olmadığını anlamak

için röntgen çektirsin.Sağlık araştırmalarından alınan

bilgiye göre, röntgen cihazlarının sağlıklı insan için

tüberküloz teşhisi koyma olasılığı 0.03dür. Astımı olan

bir hastaya tüberküloz teşhisi koyma olasılığı 0.2 ve

gerçekte tüberküloz hastası olan bir kişiye tüberküloz

teşhisi koyma olasılığı 0.95dir. B olayı seçilen bir kişi

için röntgen cihazıyla konan teşhisin pozitif olma olayı

olsun. 1P B A 0.03 2P B A 0.2 3P B A 0.95

olasılıklar “şartlı olasılıklar” dır. Bireyin sağlıklı iken röntgen

cihazının TB teşhisi koyma olasılığı 0.03dür. Bu olasılıklar

birey röntgen çektirmeden önce verilmektedir. Röntgen

cihazına bağlı elde edilen sonuçlardır.

(A.2)

3

3 3 3

3

P A B P B A .P A

=P A B .P B

3 3

3

P B A .P AP A B

P B Bayes kuralı

…BAYES YAKLAŞIMI…

(A.3)

(A.4)

Örnek bilgisi

Ön bilgi

Röntgen cihazından önce bireyin TB olma olasılığı(ön olasılık)

3P A 0.01

3P B A 0.95 örnek bilgisi

Bireyin tüberküloz hastası iken röntgen cihazının TB teşhisi

koyma olasılığı 0.95dir.(örnek bilgisi) Bu olasılık birey

röntgen çektirmeden önce verilmektedir.

Birey TB iken, röntgen çektirdikten sonra birey için TB lu çıkma olasılığı örnek sonrası olasılıkdır.

4

1 2 3

1 1 2 2 3 3

P B P B A P B A P B A

= P B A .P A P B A .P A P B A .P A

= 0.03 0.9 0.2 0.09 0.95 0.01

=0.0545

3 33

P B A .P A 0.95 0.01P A B 0.17

P B 0.0545


(A.5)

Ön olasılıkdan örnek sonrası olasılığa geçiş (röntgen

cihazı sonrası) nasıl olacaktır.

3P A

Ön olasılıkdan Örnek sonrası olasılığa geçiş

Birey TB iken, röntgen cihazının birey için TB teşhisi

koyma olasılığı 0.17dir. Olasılık 0.01’den 0.17’ye yükseldiği

için birey daha da endişe edebilir.

5

Sürekli Dağılımlarda Bayes Kuralı (Varyansın Bilindiği Durum)

Hanehalkı gıda harcaması örneği ile çalışılsın.

2t t ty e e N 0,

,hakkında bilgi edinmeye çalışılan ortalama gıda

harcamasıdır. Bireyin TB olup olmaması ile değil de ’nın olası

değerleri için olasılıklar ile ilgilenilsin.

2bilinmektedir.


(B.1)

6

•Tecrübelerden veya uzmanlardan elde edilen ön bilgiler;

’nın ön olasılık yoğunluk fonksiyonu f() ile

özetlenebilir. Bu yoğunluk fonksiyonu, örnek alınmadan

önce ile ilgili düşünceleri ifade etmektedir.

f() ile ilgili farklı iki ön bilgi incelensin. İlk olarak, örnek

bilgisi nasıl ifade edilebilir?

Röntgen ile hastalığın teşhisi örneğine dönülürse

olasılığı; anakütle özellikleri verildiğinde röntgen

cihazının hastalık için pozitif teşhis koyma olasılığıdır.

Burada, anakütle özellikleri ile özetlenmektedir ve verilen

’ya göre örnek verileri için gıda harcaması olasılık

yoğunluk fonksiyonu bulunmaya çalışılmaktadır.

iP B A


7

1

22 2t t2

1f y 2 exp y

2

Fonksiyon(B.2), verildiğinde belli bir aralıkta hanehalkı gıda harcamasının olasılığını bulmak için kullanılabilir.

tf y tf y sabitken anlamına gelir . yerine daha çok

sabit iken bütün gözlemler için (benzerlik fonksiyonu) olasılık yoğunluk fonksiyonu;

1 2 T

1 2 T

T T 22 2t2

t 1

f y f y , y ,...., y

= f y .f y ......f y

1 = 2 exp y

2


(B.2)

(B.3)

tercih edilmektedir.

8

(B.3) eşitliğindeki ikinci satır, örneğin gözlemlerinin

bağımsız olduğunu ifade etmektedir.

1 2 Ty , y ,...., y

Örnek sürecinde β sabitken f() yoğunluk fonksiyonu ile β nın

belirsizliği ifade edilmektedir. [f()] ön yoğunluk fonksiyonu

’nın rastsal olduğu olasılık yoğunluk fonksiyonu [f( /y)] de

’nın belirsizliğini ifade etmektedir. (Örnek sonrası yoğunluk

fonksiyonu)


9


f y örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu nasıl elde edilebilir?

f y kesikli olaylardaki 3P A B olasılığına benzemektedir.

B örnek bilgisi ve A3 ilgilenilen bilinmeyen kısımdır (birey

TB hastası). Benzer şekilde;

(B4)

Röntgen cihazının TB teşhisi koyma olasılığı idi.

10

i bulmak için Bayes kuralı ile sürekli olasılık

yoğunluk fonksiyonu kullanılırsa:

f y

f y ff y

f y

= f y f

= x örnek bilgisi x ön bilgi

yoğunluk fonksiyonu

3 3

3

P B A .P AP A B

P B

f y

1

Y’ler gözlenen değerler olduğu

için fonksiyon değildir, sabittir.

Örnek bilgisi ile ortak yoğunluk fonksiyonu


11

…BAYES YAKLAŞIMI…Örnek alındıktan sonra fonksiyonu artık fonksiyon

değil sabit bir sayı olmaktadır. f y

f y

1

şeklinde yazılabilir. Eşitlik hesaplanırken ilk olarak

ile yoğunluk fonksiyonları çarpılır. Bu çarpım sonucu,

örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ’nin şeklini verir.

değeri, olasılık yoğunluk fonksiyonunun değerini bir yapacak

bir değer olarak seçilmelidir. normalleştirme sabitidir.

f y

f

f y

f y ff y

f y

= f y f


(B4)

Son olasılık yoğunluk fonksiyonu; ön oyf ile benzerlik fonksiyonun çarpımının bir oranıdır.

12


Bilgi Verici Olmayan Ön Dağılım

Ortalama harcama ile ilgili ön bilgiye sahip olmadığı

varsayılsın. Herhangi bir değeri ve aralığında olabilir.

Ortalama harcama negatif olamaz ve ortalama harcamanın

değeri için üst bir sınır konulabilir. Buda kısaca dur. Tam

bilgisizliği ifade eden bir yoğunluk fonksiyonu elde edilmek

istenirse ile ilgili tam belirsizliği göstermek için, örneklem

öncesi uniform yoğunluk fonksiyonu kullanılmaktadır.

1 f (B.5)

Ön bilgi


1

22 2t t2

1f y 2 exp y

2

f y ff y

f y

= f y f


1 2 T

1 2 T

T T 22 2t2

t 1

f y f y , y ,...., y

= f y .f y ......f y

1 = 2 exp y

2

(B.2)

(B.4)

(B.3)

Fonksiyon(B.2), verildiğinde belli bir aralıkta hanehalkı gıda harcamasının olasılığını bulmak için kullanılabiliyordu.


14

Bayes kuralını uygulamak için eşitlik (B.6) da, (B.2) ve (B5) yerine konulursa:

/2 222

1

| |

12 exp .1

2

TT

tt

f y f y f

y

(B.6)

15

…BAYES YAKLAŞIMI…Bir sonraki adım (B.6) eşitliğini için yoğunluk fonksiyonu

olarak yeniden yazmaktır. e’nin üzerinde yer alan ifade

aşağıdaki gibi yazabilir: örneklem ortalaması bir eklenip bir

çıkarılırsa

22

1 1

2 2

1 1 1

2 2

1

2

T T

t tt t

T T T

t tt t t

T

tt

y y y y

y y y y y y

y y T y

(B.7)

Bu ifade eşitlik (B.6)’da fonksiyonunda yerine konulursa; |f y

y

Gözlemlerin örnek ortalamasından farkı sıfır olduğu için

0

16


/2 2 222

1

/2 2 222 2

1

12 exp

2

12 exp exp

2 2

TT

tt

TT

tt

y y T y

Ty y y

(B.8)

/2 222

1

| |

12 exp .1

2

TT

tt

f y f y f

y

(B.6)

2 2 2

1 1

T T

t tt t

y y y T y

(B.7)

Tekrar yazarsak;

Yerine koyarsak

2

1 2exp

2

Tc y

/2 221 2

1

12 exp

2

TT

tt

c y y

(B.9)

Eşitlik (B.8)’deki yoğunluk fonksiyonu ne çeşit bir yoğunluk

fonksiyonudur?

İlk olarak c1, ’a bağlı değildir. için olasılık yoğunluk

fonksiyonudur.

|f y


1t 1

22 2t2

1f y

12 exp y y

2

sabiti yoğunluk fonksiyonunun altındaki alanı 1’e eşit yapmak

zorunda olan ölçeklendirme sabitidir. Normal dağılımın altındaki

alan 1 olduğu için sabit düzenlendiğinde (B9) da yerine

konduğunda 18


Bu olasılık yoğunluk fonksiyonunun şekli aşağıdadır:

2

2exp

2

Ty

(B.10)

Bu ifade ile tanımlanan yoğunluk fonksiyonu ortalamalı

ve 2/T varyanslı bir normal dağılımdır.

y

2

,N yT

1c

1/221 2 /c T

(B.11)

olarak elde edilir

19

1

22 2t t2

1f x 2 exp x

2

2

1 2exp

2

Tf y c y

x N , 2

N y,T

2

Benzer şekilde;


idi.

1/221 2 /c T

20

1/2 222

| 2 / exp2

Tf y T y


(B.12)

Bu bölümün amaçlarından biri örnekten önce ve sonra bir

normal dağılımın ortalaması ile ilgili belirsizliği ifade

etmenin yolunu bulmaktır. Kısım 1 de, ortalama ( ile ilgili

belirsizlik olmasına karşın varyans (2) biliniyordu. Örnek

bilgisi mevcut olduğunda belirsizlik ile ilgili ifadenin

değiştirilmesinde ve ile ilgili tam belirsizliğin ifade

edilmesinde bir yöntem bulunmaya çalışıldı. Kısım 1 de,

eşitlik (B.12)’da verilen ’nin elde edilmesi ile örnek

sonrası belirsizlik ifadesini tanımlamak için sezgisel

yaklaşımlar kullanıldı.

|f y

için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu; 1/22

1 2 /c T

21


Bilgi Verici Ön Dağılım

Bir pilot araştırması şeklindeki örnek öncesi bilgisinin mevcut

olduğu Bayes kuralının uygulamasına dönülsün. ’nin bilindiği

varsayımı burada da geçerlidir. Örnek öncesi bilgisinin

normal yoğunluk fonksiyonu:

2

2

00

,N yT

0y pilot çalışmadan elde edilen örnek ortalaması

0T pilot çalışmasındaki örnek hacmidir.

0y ’a bağlı olan örnek öncesi bilgisi için aşağıdaki eşitlik ele alınmaktadır

(18)

t ty e (B.1)

22

Bu yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilmektedir:…BAYES YAKLAŞIMI…

1/2 22 00 0 02

| 2 / exp2

Tf f y T y

Örnek öncesi yoğunluk fonksiyonundan, örnek sonrası

yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için; (B.14) nolu eşitlik

ve eşitlik (B.3)’de verilen örnek bilgisi, eşitlik (B.4)’de

Bayes kuralı formülü içerisinde yerine yazılmaktadır. Bu

işlem aşağıdaki gibi sonuçlanmaktadır

|f y

0 1

/2 222

1

1/2 22 00 02

212 0 10 1 2

| | , |

12 exp

2

2 / exp2

2 / exp2

TT

tt

f y f y y f y f

y

TT y

T TT T

(B.15)

(B.14)

23


(B.15)’de elde edilen fonksiyon, örnek sonrası yoğunluk

fonksiyonudur. Kısım 3.1 de sezgisel yolla elde edilmiştir. 2

0 1

,NT T

Kısım 3.1 de sezgisel yolla elde edilen argüman, temel örnekten

hareketle yapılan pilot çalışması ile elde edilen bilginin

ağırlıklandırılması için uygun bir plan yapmaya dayanmaktadır.

Eşitlik (B.15)’in de gerekli işlemler yapılarak eşitlik (B.16)’de

verilen sonuç elde edilebilir.

(B.16)

h y h y T y T y

h h T T

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1

Örneklemin ortalaması y1 ve ön dağılımın ortalaması y0 nın ağırlıklı ortalamasıdır.

24

Varyans Bilinmediği Durumda Sürekli Dağılımlar için Bayes Kuralı:


Varyansın bilindiği durumdan çok, varyansın bilinmediği

durumlarla daha sık karşılaşılmaktadır. Bu durumda Bayes

Kuralı ’nın bilinmeyen ortalaması türünden

yazılmamaktadır. Gerçekte 2 bilinmeyendir ve Bayes

kuralının ifadesine dahil edilmelidir. Bu durumda Bayes

kuralı aşağıdaki gibi yazılabilir:

2 2

2

2 2

| , ,, |

| , ,

f y ff y

f y

f y f

(C.1)

25


2 2

2

2 2

| , ,, |

| , ,

f y ff y

f y

f y f

İlk olarak, fonksiyonu;

ve 2 için örnek öncesi olasılık yoğunluk fonksiyonunu

göstermektedir.

Örnek alınmadan önce ve 2 ile ilgili bilginin, bu örnek

öncesi yoğunluk fonksiyonu ile elde edilebileceği

varsayılmaktadır. 2 için örnek öncesi bilginin nasıl elde

edilebileceği sorusuna yanıt aranmalıdır. 2 değerinin

hanehalkı gıda harcamalarının yer alacağı uygulanabilir

aralığı belirlediği hatırlanmalıdır.

2,f

(C.2)

26


Normal dağılımdan gelen çoğu gözlem, ortalamanın

aralığında yer almaktadır. Böylece, normal dağılım olduğu

varsayılarak, haftalık gıda harcamalarının güven aralığı

bilgisine sahip olunursa, 2 varyans bilgisine de sahip

olunmaktadır.

3

2,f için örnek öncesi gösterim verildiğinde, bir sonraki

adım örnek bilgisi ’i ifade etmektir. Böyle bir ifade

eşitlik (9)’de yer alan ifade ile özdeş olmaktadır. Burada tek

fark 2’in önemli olduğunu belirtmek için yerine

’in yazılmasıdır.

2| ,f y

|f y 2| ,f y

/2 22 22

1

1| , 2 exp

2

TT

tt

f y y

(C.3)

27


sabiti önceki gibi aynı anlamı taşımaktadır. Bu sabit, örnek

sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonu altında toplam alanın

1’e eşit olmasını gerektirmektedir. (C.1) eşitliğindeki son

ifade

2, |f y dir.

Bu fonksiyon ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu

olmaktadır. Örnek alındıktan sonra ve 2 ile ilgili bilgi

durumunu ifade etmektedir.

Eğer asıl ilgilenilen 2 yerine ile ilgili bilgiyi tanımlamak ise,

o zaman 2’i, ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan

çıkarmak gerekmektedir. Böylece elde edilmektedir |f y

TAHMİN VE YORUMLAMA İÇİN BAYES YAKLAŞIMI: BAZI TEMEL TANIMLAR,

KAVRAMLAR VE UYGULAMALAR[1]

[1] Bu konu, Griffiths, W., Hill, R.C., Judge, G.G., (1993), Learning and Practicing Econometrics kitabı Bölüm 25’ten alınmıştır.

Bu bölümde ve izleyen bölümde, bilinmeyen parametresi

hakkında belirsizliği ifade etmek ve yorumlar yapabilmek için

alternatif yaklaşımlarla ilgilenilecektir.

Bayes yaklaşımı olarak bilinen alternatif yaklaşımının önemli

özelliği parametreye ilişkin belirsizliğin ifadesinde, bilinmeyen

parametresine ilişkin olasılık hesapları kullanılmasıdır.

29

Bayes yaklaşımında olasılık hesapları, sadece örnek

sonuçları için değil aynı zamanda bilinmeyen sabit

parametreler için de kullanılmaktadır

Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının farklı türleri:

1) örnek alınmadan önce parametre hakkındaki belirsizliği

ifade etmek (örnek öncesi olasılık yoğunluk

fonksiyonu),

2) belirli örnek sonuçlarının olabilirliğini tanımlamak,

3) örnek alındıktan sonra parametre hakkındaki belirsizliği

ifade etmek(örnek sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonu)

için kullanılabilir.

Giriş…

30

Klasik regresyon modellerinde hakkında yorumlama

yapmak için sadece örnek bilgisi kullanılır. Bu iki bölümde

kesin olmayan veya belirsiz örnek dışı bilgi ele alınacaktır.

Parametre hakkındaki belirsizlik örnek dışı bilginin olması ve

kayıplardan herhangi birinin hesaba katılmasından

kaynaklanan yanlış bir kararın alınmasına sebep olabilecektir.

Bu bölümde, tahmin ve yorumlama ele alınacaktır. Bir ekonomik problem kapsamında aşağıdaki sorular ele alınabilir:

1. Örnek alınmadan önce ve sonra, hipotezler veya parametreler hakkındaki belirsizlik ifade edilebilir mi?

2. Örnek öncesi bilgi, örnek almadan veya deneylere dayanan bilgi ile nasıl birleştirilir?

3. Karar sonuçlarını göz önünde tutan bir çerçeve var mıdır?

…Giriş……

31

Örnek toplamadan önce:

Örneğin ortalama gıda harcamasının ne olabileceği

konusunda bir bilgiye sahip olunmadığı varsayılsın. ’nın

değeri hakkında tam anlamıyla belirsizlik olduğu söylenebilir.

gibi 40 tane gözlem içeren örnek olsun. 4021 ,,, yyy

Örnek ortalaması için nokta tahmini olsun. y

Bu durumda hakkında belirsizlik azalmıştır .

Ana kütlenin tamamı gözlenmemiş, sadece 40 gözlemden

oluşan bir örnek ele alınmıştır .

…Giriş…

32

Örnek gözlendikten sonra elde edilen bilgi, örnekten önce

sahip olunan bilgiye göre daha kesin veya daha belirgindir.

İlk soru: Örnekten önce ve sonra hakkındaki belirsizliği

ifade edebilir miyiz? Yorum için ne kullanılmalıdır?

İkinci soru; Örnek ile sağlanan bilgiden başka bilgi var

mıdır?

Örnek alınmadan önce;

Haftalık ortalama gıda harcaması hakkında tam anlamıyla

belirsizlik olmadığını ve onun değeri hakkında bir bilgiye

sahip olunduğu varsayılsın:

…Giriş…

33

Ön bilgi (apriori bilgi), daha önce alınan örneklerden elde

edilen bilgiler ve edindiğimiz deneyimlerdir.

Ön bilgi nasıl gösterilebilir? Örnek alındıktan ve hakkında

ek bir bilgi elde ettikten sonra bilgi nasıl güncellenebilir? Bilgi

toplama süreci nasıl tanımlanıp, kullanıma hazır hale

getirilebilir? Ekonomik teori araştırmacıya bu konuda birçok

ön bilgi sağlamaktadır .

Eğer bir bilgiye sahip olmadan çalışmaya başlanırsa, örnekten

önce ve sonra ortalama harcama hakkındaki belirsizlik nasıl

ifade edilecektir?

…Giriş…

34

Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…

Hanehalkı gıda harcaması verisi için istatistiksel model veya

örnekleme süreci :

. 1,2, ,t ty e t T

ty t.nci hanehalkı için yapılmış gıda harcaması

bilinmeyen parametre , et ise gözlemlenemeyen rastsal değişkendir

et ’nin ortalaması “0” ve varyansı ile gösterilmektedir.

Herbir yt’nin çekimi diğer çekimlerden bağımsızdır ve

herhangi iki çekim arasındaki kovaryans sıfırdır (yt ve ys).

Benzer şekilde et ve es arasındaki kovaryans da sıfıra eşittir.

(1)

35

E e 0 'TE ee I2

),(~ 2TIxNy ),0(~ 2

TINe veya

Bayesçi yorumlamanın temelinde varyans parametresi 2’nin

bilindiği varsayılmaktadır.

…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…

Örnek Sonrası Bilgi

hakkında bir bilgiye sahip olunmadığı ve belirsizlik

içinde olunduğu varsayılsın.

40 tane rasgele hanehalkı seçerek haftalık gıda harcamaları

gözlensin.

exy (2)

(3)

x tüm elemanları bire eşit olan T boyutlu bir vektördür. x = (1, 1, ….,1)

36

),,, 4021 yyy örnek ortalaması y


5945.23yTablo 1 s.77 den görüldüğü gibi

5945.23y örnek bilgisidir.

Örnek bilgisi elde edildikten sonra hakkındaki belirsizlik durumu olasılıkla ifade edilir:

’ nın olasılık yoğunluk fonksiyonu:

Örnek alınmadan önce örnek ortalaması olasılık

yoğunluk fonksiyonunun bir tahmincisidir

y

TNy /,~ 2 (4)

37


Tablo 1: Haftalık Hanehalkı Gıda Harcamaları Örneği

9.46 10.56 14.81 21.71 22.79 18.19 22.00 18.12

23.13 19.00 19.46 17.83 32.81 22.13 23.46 16.81

21.35 14.87 33.00 25.19 17.77 22.44 22.87 26.52

21.00 37.52 21.69 27.40 30.69 19.56 30.58 41.12

15.38 17.87 25.54 39.00 20.44 30.10 20.90 48.71

38

bilgisi ile yoğunluk fonksiyonu, örnek

ortalamasının olasılığını belirli herhangi aralık içinde

tanımlamaktadır. (4)’den olduğu

bilinmektedir. Bu nedenle;

ve 2

)/,0(~)( 2 TNy

~ (0,1)/

yz N

T

(5)

z değişkeni rastsal değişken

y rastsal değişkendir

z veya ’nın olasılık ifadeleri, için hipotez testleri veya aralık tahminleri oluşturmak için kullanılmaktadır. parametresi sabit olarak ele alınmıştır.

y


TNy /,~ 2 (4)

39

’nın olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplarken (5) eşitliği ile başlanır:

~ (0,1)/

yz N

T

(5)

yz

T

z T

y

z T y

Tz

T

y

T

zT

y


40


y T/ve

, z’nin doğrusal fonksiyonudur.

Normal rastsal değişkenlerin doğrusal fonksiyonları, normal

rastsal değişkenlerdir. normal dağılıma sahiptir.

Ortalaması:

sabittir.

yzET

yE

zT

y

Tz

T

22

)var()var(

)/,(~ 2 TyN (6) nın olasılık yoğunluk fonksiyonu

0

1

41

Bu fonksiyon örnek alındıktan sonra hakkındaki

belirsizliği ifade etmek için kullanılmaktadır. Çünkü eşitlik

(6) normal olasılık yoğunluk fonksiyonudur ve aşağıdaki gibi

gösterilebilir:


2

2

2/1

2 2exp

2)/( y

TTyf

(7)

)/( yf örnek bilgisi y gözlemlendikten sonra

hakkındaki belirsizliğin ifadesini gösterir.

yerine kullanılmaktadır.

f ( )

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu

42

Örnek Öncesi Bilginin Güncellenmesi


’nın dağılımı hakkındaki bilgisizliği ifade etmek için

spesifikasyon seçimi ve örnek öncesi yoğunluk fonksiyonu

olarak bilinmektedir. Bu yoğunluk fonksiyonu ve

aralığında uniform yoğunluk fonksiyonudur.

)(f

Thomas Bayes, yoğunluk fonksiyonunu örnekten bilgi

sağlamak şartı ile güncellemiştir.

Güncellenen dağılım fonksiyonudur ve “örnek sonrası

yoğunluk fonksiyonu” olarak isimlendirilir ve (7) eşitliğindeki

normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.

)/( yf

)(f

5945.23y

Örnek seçildikten sonra

bilindiği varsayılsın. Bu durumda dağılım tam olarak belirlenebilir. 6.572

44.140/6.57/2 T

hakkındaki bilgi aşağıdaki gibidir:


)44.1,5945.23(~ N(8)

)/,(~ 2 TyN

44

Ortalama Harcama İçin Olasılık İfadeleri


Yaklaşık olarak 21$ ve 26$ değerleri arasında yer

almaktadır. Ortalama harcamanın ne kadar olduğu

hakkında herhangi bir fikre sahip olunmadığında bir

örnek alınması önem taşımaktadır.

962.0

)0046.21621.2(

44.1

5945.2326

44.1

5945.2321)2621(

zP

zPP

Bu sonuç, haftada ortalama gıda harcamasının 21$ ve

26$ arasında olma olasılığının %96.2 olduğunu

göstermektedir

5945.23y

44.140/6.57/2 T

45

Şekil 1: örnek sonrası yoğunluk fonkisyonu

20 22 24 26 28

f y

0.1

0.2

0.3

0.4


46

Aralık Tahmini


Belirli bir olasılık değeri ile ’yı kapsayacak güven aralığı ne

olacaktır?

95.0)( 21 aaP

ifadesini sağlayan bir çok aralık vardır. Seçilecek aralık en

çok bilgiyi ifade etmeli ve en dar olmalıdır.

23.5945P 1.96 1.96 0.95

1.44

P 23.5945 1.96 1.44 23.5945 1.96 1.44 0.95

P(21.24 25.95) 0.95

47


Bu sonuca göre haftalık gıda harcaması 0.95 olasılıkla

21.24$ ile 25.95$ arasında yer almaktadır.

Elde edilen bu aralık tekrarlı örneklem teorisi ile aynıdır.

Bu bölümde farklı yorumlar gösterilecektir:

Örneğin gözlendiği ve bir olasılık yoğunluk fonksiyonu

açısından ile ilgili belirsizliğin söz konusu olduğu durumda

%95 olasılıkla ’i içeren aralık ne şekilde olacaktır? Aralığın

sınırları verilmiş ve bilinmemektedir.

Bu bölümdeki fark, sonuçların olasılık ifadesi olarak

açıklanmasıdır. Güven aralıkları ile birlikte olasılık

teknikleri kullanılmaktadır.

48


Hipotezlerin Karşılaştırılması

CEO, kuruluştan ve yeni perakende mağaza yönetiminden,

maliyetler ve gelir ile ilgili bilgileri toplamış olsun. Eğer

ortalama gıda harcaması hafta başına 22$ ise, yeni bir

perakende mağaza açmanın faydalı olacağına karar

verecektir. Bu durumda hipotezler:

22:

22:

1

0

H

H(9)

Örnek alındıktan sonra, örnek sonrası yoğunluk

fonksiyonu

olarak her bir hipotezin olasılığını

hesaplamak için kullanılacaktır.

~ (23.5945, 1.44)N

49


092.0)3288.1(

44.1

5945.2322)22()( 0

zP

zPPHP

908.0

221221

PPHP

Hafta başına ortalama, en az 22$ harcama olasılığı 0.908 dir.

Fark oranı10K

87.9092.0

908.0

)(

)(

0

110

HP

HPK

H1 hipotezi, H0 hipotezine göre yaklaşık olarak 10 kat daha fazla olasılıkla doğrudur.

(10)

50


İstatistiksel karar teorisi, eşitlik (10) da verilen fark oranına

bağlı olarak H0 ve H1 i seçmekle ve yanlış karar

verilmesiyle ortaya çıkan kayıplarla ilgilenmektedir. Daha

önceki konularda H0 hipotezinin kabul yada red kuralları

tanımlanmıştı. Bu kurallar örnek ortalaması ’nın H0

hipoteziyle uyumlu olup olmamasına bağlıdır. Bu yaklaşım

yanlış karar ile ortaya çıkan kayıpları açıkça

önlememektedir.

y

51


Kayıp Fonksiyonu:

İyi bir tahminci,

• Bir parametreyi gerçek değerine yakın olarak tahmin etmelidir.

• İyi bir tahmin edici için, tahmin hatası ortalama seviyede 0’a

yakın olmalıdır.

Herhangi bir parametresinin tahmini olsun.

Böyle bir tahmin ve dolayısıyla tahmin hatası yapmaktan dolayı

ortaya çıkan kaybı önlemek için bir fonksiyona ihtiyaç vardır.

ˆL , Bu fonksiyon kayıp fonksiyonu olarak adlandırılsın.

52

Doğal olarak, arasındaki uzaklık ne kadar büyükse, ’nın değeri de o kadar büyük olacaktır.

ˆL ,

Kayıp Fonksiyonu:

ˆ ve ˆL ,

Bir tahmincinin iyi olup olmadığını test etmek için istatistiksel

bir ölçüye gereksinim vardır.

Eldeki her farklı y örneğinden hareketle elde edilecek kayıp

fonksiyonlarının ortalaması ( ya da beklenen değeri) böyle bir

ihtiyaca cevap verebilir.

53

Risk fonksiyonu, kayıp fonksiyonunun beklenen değeri olarak tanımlanır ve aşağıdaki gibi hesaplanır

Kayıp Fonksiyonu:

ˆ b olduğu durum için

2

2 2

L ,b c b

E L ,b E c b L ,b f y d c b f y d

Bir istatistikçinin yukarıdaki beklenen değeri minimum

kılacak şekilde bir tahminde bulunması gerekmektedir. Bu

şekilde elde edilecek tahmin edici, literatürde ’nın bir Bayes

tahmin edicisi olarak ifade edilmektedir.

c sabittir ve ilgilenilen duruma göre farklılık göstermektedir.

54

Kayıp Fonksiyonu:

ˆ ˆL( , ) 0olduğunda

Kayıp Fonksiyon Türleri:

1. Karesel Kayıp Fonksiyonu:

ˆL( , ) c b 2

2. Mutlak Kayıp Fonksiyonu:

ˆL( , ) b

3. Sıfır – Bir Kayıp Fonksiyonu:, Eğer b aˆL( , )

, Eğer b a

0

1

olur.

55

Nokta Tahmini …

’nın bir tahmini olsun:ˆ,

’nın aşırı tahmini:

’nın eksik tahmini:

durumlarında ortaya çıkar.

56

Nokta Tahmini …

’nın örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu

ortalamalı ’lı lı olsun.

Bu durumda en iyi nokta tahmini, kayıp fonksiyonundan

elde edilen beklenen kaybı minimum yapan tahmindir.

E var

a.varˆ E2

örnek sonrası ortalama artık en iyi değildir.

Çünkü eksik tahminleme, aşırı tahminlemeden daha az

risklidir.

E

57

E y .23 5945

var T .2 1 44

a = 2,

ve

olsun.

Ortalama gıda harcamasının en iyi nokta tahmini

x .ˆ . .2 1 44

23 5945 22 15452

…Nokta Tahmini…

a.varˆ E2

58

…Bilgi Toplama…

Belirsizlik altındaki karar problemlerinde, geçerli olan tüm

bilgiden yararlanmalı ve bu bilgiler toplanmalıdır. Örneğin,

örnek öncesi elde edilen sonuçlar geçerli olabilir ve basitçe

ortalama harcama hakkında fikirlere sahip olunabilir.

Örneklem alınmadan önce ile ilgili belirsizlik düzeyi veya

bilgi durumu nasıl ifade edilir?

Örneklemi gözlemledikten sonra, sahip olunan bilgi nasıl

güncellenebilir veya belirsizlik düzeyindeki azalış nasıl

tanımlanabilir? Diğer bir değişle bilgi süreci için ne

uygulanır?

59

Ön Bilginin Dahil Edilmesi

…Bilgi Toplama…

İstatistiksel model

Gözlemleri kullanarak gıda üzerindeki ortalama harcama

hakkında bilgi edinmeye devam edilsin. Burada et lar

bağımsız

dağılışı göstermektedir. bilinmektedir.

.t ty e

),0(~ 2Net2

60

…Bilgi Toplama…

hakkındaki örnek öncesi veya başlangıç bilgisi; örnek

öncesinden, sahip olunan bilgiden veya uzmanların

görüşünden elde edilebilmektedir.

Bu kısımda da küçük bir örnek ile pilot çalışması yapılarak

ön bilgi elde edilmeye çalışılacaktır. (T0)

61

…Bilgi Toplama…

40 gözlem içeren örneklemden önce altı hanehalkını içeren küçük bir pilot çalışması yapılsın.

s.87. Tablo 2

6

10 475.25

6

1

ttyy 27187.53)(

5

1ˆ

6

1

20

20

tt yy

5945.231 y 84738.66ˆ 21

Sıfır indisi altı haneyi,

bir indisi 40 haneyi göstermektedir.

To pilot çalışma örnek büyüklüğü ;

T1 büyük örnek büyüklüğüdür.

Örnek bilgisi

62

Tablo 2 pilot çalışmasındaki altı hane için haftalık gıda harcaması

30.00 23.69 29.04

11.48 30.83 27.81

…Bilgi Toplama…

63

…Bilgi Toplama…

2 nin bilindiği varsayılsın.

0

2

0 ,~T

yN ~ N( . , . )25 475 9 6

İlk olarak pilot çalışmadan elde edilen bilgi (ön bilgi), örnek

sonrası yoğunluk fonksiyonu tarafından kullanılabilmektedir.

İkinci olarak bir sonraki adım örneklemi büyütmektir. Yani,

bilgiyi arttırmak-güncellemek için, 40 gözlem içeren örnek

alınırsa;

40 gözlem ele alındığında,

5945.231 y 21/ 57.6 / 40 1.44T

20/ 57.6 / 6 9.6T

64

Ön bilgi ihmal edilirse, olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgili yeni örnek bilgisi:

…Bilgi Toplama…

1

2

1 ,~T

yN ~ N(23.5945, 1.44)

Üçüncü olarak iki bilgi nasıl birleştirilecektir.

Say.89 Şekil 4 .

65

f y

Şekil 4: 2 biliniyorken iki örnekten için yoğunluk fonksiyonları

…Bilgi Toplama…

y y020 30 35

…Bilgi Toplama…

Pilot çalışmadan elde edilen yoğunluk fonksiyonu, T1

gözlemli örnekten elde edilen yoğunluk

fonksiyonuna göre daha fazla yayılmaktadır. İlave yayılma,

hakkındaki ilave belirsizliği göstermektedir.

f ( / y )1

f ( / y ) 0 dan elde edilen %95 güven aralığı

P 19.40 31.55 0.95

f ( / y ) 1 dan elde edilen %95 güven aralığı

P 21.24 25.95 0.95

İkinci güven aralığı daha dardır.

67

Yukarıdaki iki bilgi Bayes kuralı ile birleştirilebilir. Örnek

sonrası yoğunluk fonksiyonu için notasyon

…Bilgi Toplama…

),/( 10 yyf

Bu fonksiyon ortalama ve varyans ile normal

dağılmaktadır.

2

Burada ön bilgi, örnek bilgisi ile güncellenerek örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

68

…Bilgi Toplama…

),(~ 2 N

2 0y 1yve ve T0 ve T1 den hareketle nasıl hesaplanır

Örnek sonrası örnek ortalaması

1yve0y

,,

ortalamalarına bağlıdır.

üzerindeki bilginin güvenirlik hesaplamaları, duyarlılıkları ile

yapılabilir. Bu duyarlılık, yoğunluk fonksiyonundaki varyansın

tersidir.

69

Her bir bilgi kaynağının duyarlılığı aşağıdadır:12

00 2

0

60.10417

57.6

Th

T

121

1 21

400.69444

57.6

Th

T

Büyük örnek daha fazla duyarlılığa sahiptir.

0y 1yh0 ve h1 duyarlılıkları ile ile in ağırlıklı ortalamasıdır.

8398.23406

)5945.23(40)475.25(6

10

1100

10

1100

TT

yTyT

hh

yhyh

h0 ve h1 duyarlılıkları ile 0y ile 0y 1y0y

…Bilgi Toplama…

ele alındığında birleştirilmiş bilginin duyarlılığı

basit olarak her bilgi kaynağının duyarlılığının toplamına

eşittir.

70

2 ,h

79861.069444.010417.010 hhh

25217.1406

6.57111

10

2

21

2010

2

TTTThhh

Duyarlılık , örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun varyansının tersidir. Varyans azaldıkça duyarlılık 1’e yaklaşmaktadır.

h

…Bilgi Toplama…

y .1 23 5945y .0 25 47523.8398, ve arasında yer

almaktadır. 1y e yakındır.

71

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan sağlanan bilgi;

)25217.1,8398.23(~ N

Şekil 5 (sayfa 90).Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu diğer

iki dağılımdan daha az varyansa yani yayılıma sahiptir.

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun, her iki örneği

birleştirerek elde edilen birleştirilmiş örnek sonuçları ile aynı

olduğu görülecektir (46 gözlemli).

…Bilgi Toplama…

72

…Bilgi Toplama…

0 1f ( | y , y )

0f ( | y )

f ( | y)

1f ( | y )

1y 0y

20 30 35

Şekil 5: 2 biliniyorken, iki kaynaktan bilginin birleştirilmesi

73

8398.23406

)5945.23(40)475.25(6

10

1100

10

1100

TT

yTyT

hh

yhyh

idi. Yukarıdaki eşitlik aşağıdaki gibi yeniden yazılırsaT T

t st s

y yT y T y

T T T T

0 1

0 0 1 1 1 1

0 1 0 1

T T0 1 örnek hacminden elde edilen örnek sonrası yoğunluk

fonksiyonun varyansı

25217.1406

6.57111

10

2

21

2010

2

TTTThhh

ile aynı olacaktır.

…Bilgi Toplama…

20 1/ ( )T T olacaktır.Yani

74

Bu bölümdeki amaç;

2 biliniyorken nın normal populasyon ortalaması hakkında

bilgi edinmektir.

için ortalamalı ve varyanslı örnek

öncesi ya da örnek dışı bilgi ile ortalamalı ve

varyanslı normal yoğunluk fonksiyonlu örnek bilgisi varsa

için normal yoğunluk fonksiyonu

y0 T20

y1 T21

T y T y T T 0 0 1 1 0 1 ortalamalı

T T20 1 varyanslı olacaktır. (Şekil 5)

…Bilgi Toplama

75

İkinci soru grubu, ön bilginin tanımlanması ve

kullanılması ile ilgilidir:

İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…

Ön bilgi nasıl gösterilebilir?

Örnek alındıktan ve hakkında ek bir bilgi elde ettikten

sonra bilgi durumu nasıl güncellenebilir?

Bilgi toplama süreci nasıl tanımlanıp, kullanıma hazır hale

getirilebilir?

76

… İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…

Louisiana Fried Chicken’da (LCF) haftalık satışların

ortalama ve 2 =4 varyans ile normal dağıldığı varsayılsın.

Haftalık satışlar: y

)4,(~ 2 Ny

LFC satış mağazasının haftalık satışları ile ilgilenilmektedir.

Bu nedenle, haftalık satışların ortalaması hakkında bilgi

toplasın.

Örnekleme teorisine göre, haftalık satışlara ait örnek alınır.

Böylece burada 10 gözlemli örnek alınsın. (Örnek Bilgisi)

Ön bilgi

77

…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…'y (y , y , , y )

( . , . , . , . , . , . , . , . , . , . )1 2 10

4 74 7 11 5 31 6 28 6 09 8 52 2 78 7 38 5 44 5 72

Örneklem ortalaması nokta tahmini olarak kullanılırsa:

937.510/10

1

t

tyy

%95 güvenle aralık tahmini:

y . / T . . /

( . , . )

1 96 5 937 1 96 2 10

4 697 7 177

Haftalık satışların ortalaması (5900$); 4700$ ile 7200$ arasındadır.

78

…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…

Ön Bilgi

Tavuk üzerine hazır gıda satışı yapan bir mağazada daha

önceden haftalık tavuk satışları ile ilgili bazı fikirlerin olduğu

varsayılsın. %95 olasılıkla ortalama haftalık satışların 5000$

ile 11000$ arasında olduğuna inanılmaktadır:

95.0)115( P

Olası değerleri ile ilgili subjektif ön yoğunluk fonksiyonu,

ortalama ve varyansa sahip ve normal dağılım

göstermektedir.

2

),(~ 2 N

79


? 2 ?

Normal dağılımın özelliğini kullanarak aşağıdaki eşitlik yazılabilir:

95.0115

)115(

PP

z

standart normal dağılımdır. N(0,1) dir.

95.096.196.1

P

11

96.15

96.1 ve

3427.25306.18 2 ve

80


Eğer normal dağılım hakkındaki ön bilgiyi ifade etmek için

uygunsa, ön yoğunluk fonksiyonu olur. f ( )

N , . 8 2 3427

Daha önceden yapılmış pilot çalışması için ön bilgi ise

aşağıdaki gibi yazılmaktaydı:

0

2

0 ,~T

yN Slayt 64

Slayt 79

LFC örneğinde ön bilgi aşağıdaki gibidir:

2,~ N

81


Bu olayda pilot çalışması yoktur. Bununla beraber bir önceki

hipotetik örnekten geliyormuş gibi ifadesindeki

bilgi kullanılır.

2,~ N

y0 T

22

0

Bu değerleri hesaplayabilmek için a ihtiyaç vardır.

y0 0 ve T

80 y 3427.24 2

00

2

TT

7074.13427.2

40 T

Varsayılan örneklemin hacmi 1.7074 tür. Bu değer tam değer

olmayıp işlem için geçerli değildir.

slayt 79

82

…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…Ön Bilginin Güncellenmesi

Kısım 3’te, normal olasılık yoğunluk fonksiyonu biçiminde

ifade edilen örnek öncesi bilgi ile normal olasılık

yoğunluk fonksiyonundan gelen örnek bilgisi

birleştirildiğinde, elde edilen sonucun, ortalama ve

varyans ile birlikte normal örnek sonrası olasılık

yoğunluk fonksiyonu olduğu ifade edilmişti.

10

1100

TT

yTyT

10

22

TT

Sonuçlar;

4937.58107074.1 21010 yyTT

937.510/10

1

t

tyyslayt.76-77

83


238.6107074.1

)937.5)(10()8)(7074.1(

10

1100

TT

yTyT

3417.0107074.1

42

10

22

TT

Haftalık ortalama satışlar için örnek sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonu

)3417.0,238.6(~ N

Örnek öncesi ve sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonları Şekil

6 dadır. Grafikler incelendiğinde örnek bilgisinin etkisi

görülmektedir. Örnek bilgisi, dağılımı sola kaydırmıştır.

84

f ( | y)

f ( )

f ( )

f ( | y)

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Şekil 6: biliniyorken için ön ve örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları

85


Aralık Tahmini

Örnek sonrası olasılık fonksiyonundan haftalık

ortalama satışlar için aralık tahmini gerçekleştirilmektedir.

)3417.0,238.6(~ N

)1,0(~3417.0

238.6N

%95 olasılıkla aralık tahmini;

95.096.13417.0

238.696.1

P

95.0)384.7092.5( P

veya

86


Hipotez Testi

Tek yönlü hipotez testi:

5:0 H

5:1 H

LFC örneği kapsamında hipotez tavuk ürünleri satış

mağazasının satın alınıp alınmayacağı ile ilgili olsun. Eğer

H1 hipotezi doğru ise mağazayı satın almak karlı olacaktır. Tam

tersi ise satın almak yanlış olacaktır. Yapılacak ilk adım ilgili

test istatistiğini hesaplamaktır.

482.110/2

5937.5

/

5ˆ

Tz

Mağazayı satın almak karlı değildir.

Mağazayı satın almak karlıdır.

87


%5 anlamlılık düzeyinde kritik tablo değeri

tir. olduğu için H0 reddedilemez. Bu nedenle satış

mağazasını satın almak karlı olmayacaktır.

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu kullanıldığında;

645.105.0 z 645.1482.1 z

017.0

)12.2(

3417.0

238.65

)5()( 0

zP

zP

PHP

983.0)5()( 1 PHP

)3417.0,238.6(~ N

88


H0 ın fark oranı:

H1 ın fark oranı:

0173.0983.0/017.0)(/)( 1001 HPHPK

8.57017.0/983.0)(/)( 0110 HPHPK

H1 hipotezi H0 hipotezine göre 57 kat olabilirlikle daha

doğrudur. Bu örnek iki çıkarsamaya ilişkin sonuçların nasıl

farklı olduğunu göstermektedir. Bu farklılık için elde edilen

ön bilgiye bağlı olmaktadır.