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-
Institute of Electrical Power Systems
Berechnung elektrischer Energienetze
Stefan Polster Herwig Renner
Oktober 2017
Berechnung elektrischer Energienetze
II
Formelzeichen und Einheiten
Fรผr das gesamte Skriptum wird folgende Notation verwendet:
- Komplexe Grรถรen werden unterstrichen geschrieben X - Vektoren als fett geschriebene Kleinbuchstaben x - Matrizen als fett geschriebene Groรbuchstaben X - Der Index d bei Matrizen markiert Diagonalmatrizen
Verwendung von Indizes fรผr Knoten und Zweige:
- Indizes beziehen sich auf den zugehรถrigen Knoten - Zweige werden mit zwei Indizes bezeichnet, wobei diese sich auf die verbundenen Knoten
beziehen. Zรคhlrichtung ist vom ersten Index zum zweiten Alle Grรถรen werden, falls nicht anders angegeben, im Per-Unit-System angegeben.
Es gilt fรผr alle Berechnungen:
- Knotenleistungen und Knotenstrรถme sind positiv fรผr Erzeuger - Knotenleistungen und Knotenstrรถme sind negativ fรผr Verbraucher
ฮฑ Menge aller mit Knoten i verbundener Knoten
ฮฮฑ Winkelรคnderung pro Stufe (Phasenschiebertransformator)
ฮฒ Winkel der Spannungsรคnderung bei Regeltransformatoren
ฮณ รbertragungskonstante fรผr Leitungselemente
ฮด Knotenspannungswinkel
ฮต Schranke fรผr Abbruchbedingung bei Iteration
ฮปP, ฮปQ Parameter fรผr Spannungsabhรคngigkeit von Lasten fรผr P, Q
ฮฝi Menge aller mit Knoten i verbundener Knoten
ฯ Leistungswinkel
๐๐ Leitungswinkel
ฯ Winkelfrequenz
ฮฆ Knoten-verbleibende-Zweige-Inzidenzmatrix
ฮจ Knoten-ausgefallene-Zweige-Inzidenzmatrix
A Zweig-Knoten-Inzidenzmatrix
B Suszeptanzmatrix
E Einheitsmatrix
Berechnung elektrischer Energienetze
III
H Hybridmatrix
KZI Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix
K Inverse Kettenmatrix
LODF Line Outage Distribution Factor Matrix
PSDF Phase Shift Distribution Factor Matrix
PTDF Power Transfer Distribution Factor Matrix
Y Admittanzmatrix
Z Impedanzmatrix
C' Kapazitรคtsbelag
f Frequenz
G' Leitwertbelag
I Strom
Ib Bezugsstrom fรผr Per-Unit-System
KP, KQ Parameter fรผr Frequenzabhรคngigkeit von Lasten fรผr P, Q
l Leitungslรคnge
L' Induktivitรคtsbelag
P Wirkleistung
P0 Eisen-, Leerlaufverluste
Pk Kupferverluste
PL รber einen Zweig รผbertragene Wirkleistung
Q Blindleistung
R Wirkwiderstand
R' Wirkwiderstandsbelag
Rm Eisenverlustwiderstand
S Scheinleistung
Sb Bezugsscheinleistung fรผr Per-Unit-System
Snat Natรผrliche Leistung eines Leitungselements
Berechnung elektrischer Energienetze
IV
tmin, tmax, t minimale, maximale, aktuelle Schaltstufe von Regeltransformatoren
U Spannung
Ub Bezugsspannung fรผr Per-Unit-System
ฮu Spannungsรคnderung pro Stufe bei Regeltransformatoren
X Reaktanz
Xm Magnetisierungsreaktanz
Y Admittanz
Z Impedanz
Zb Bezugsimpedanz fรผr Per-Unit-System
ZKS Kurzschlussimpedanz
ZL Lastimpedanz
ZT Ersatzimpedanz fรผr Transformatoren
ZW Wellenwiderstand
Berechnung elektrischer Energienetze
V
Table of Contents
1 Einleitung ......................................................................................... 1
1.1 Per-Unit-System ...................................................................................................................1
2 Grundlegende Netzelemente........................................................... 2
2.1 Zweige ..................................................................................................................................2
2.1.1 Leitungselemente ................................................................................................................ 2
2.1.2 Transformator ...................................................................................................................... 5
2.2 Knotentypen ..........................................................................................................................9
2.2.1 Einspeisungen ..................................................................................................................... 9
2.2.2 Lasten ................................................................................................................................ 10
3 Allgemeine Lastflussrechnung ..................................................... 12
3.1 Systemmatrizen: Strom/Spannungszusammenhรคnge ...................................................... 12
3.2 Lineare und nichtlineare Problemstellungen ..................................................................... 15
3.2.1 Lineare Problemstellungen, I- und Z-Knoten ..................................................................... 15
3.2.2 Iterationsverfahren ............................................................................................................. 16
3.2.3 Funktionalmatrizenverfahren ............................................................................................. 17
3.3 Netzreduktion ..................................................................................................................... 19
4 DC-Lastfluss .................................................................................. 21
4.1 Grundlegende DC-Lastflussgleichungen - PTDF .............................................................. 22
4.2 Phasenschiebertransformatoren im DC-Lastfluss - PSDF ................................................ 24
4.3 Auswirkung von Zweigausfรคllen im DC-Lastfluss โ LODF ................................................ 25
4.4 Abschรคtzung der Genauigkeit ........................................................................................... 26
5 Literaturverzeichnis ....................................................................... 28
Einleitung
1
1 Einleitung Die Berechnung von Lastflรผssen ist ein wesentlicher Bestandteil bei der Planung und Betriebsfรผhrung
von elektrischen Energienetzen. Die grundlegenden Aufgaben einer Lastflussberechnung sind die
Ermittlung der Strom- und Spannungsverhรคltnisse, sowie die resultierenden Leistungsflรผsse รผber
einzelne Betriebsmittel bei einer spezifischen Erzeugungs- und Verbrauchssituation. Mit Hilfe dieser
Ergebnisse kรถnnen eventuelle Grenzwertverletzungen und kritische Lastsituationen erkannt werden
und mit geeigneten Gegenmaรnahmen entschรคrft werden.
Im Folgenden werden die theoretischen รberlegungen von statischen Lastflussberechnungen nรคher
behandelt. Es wird dabei besonderes Augenmerk auf die prinzipiellen Zusammenhรคnge gelegt, da diese
auch bei komplexen Lastflussprogrammen das Grundgerรผst der Berechnungen bilden.
1.1 Per-Unit-System Die Berechnung des physikalischen Systems kann erheblich vereinfacht werden, wenn die
physikalischen SI-Einheiten auf Bezugswerte referenziert werden. Die referenzierten Werte werden in
per-unit (p.u.) angegeben und bilden das Per-Unit-System.
In der Energietechnik werden รผblicherweise Spannung und Leistung als definierte Bezugsgrรถรen
verwendet, wobei sich alle anderen notwendigen Bezugsgrรถรen auf sie zurรผckfรผhren lassen.
Spannungen werden immer auf die Nennspannung Ub der Netzebene bezogen.
๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐๐๐๐
(1-1)
Die Leistungen werden im Allgemeinen auf eine Bezugsleistung Sb fรผr das gesamte System bezogen.
In der Energietechnik wird dafรผr meistens eine Drehstromleistung von 100 MVA gewรคhlt.
๐๐,๐๐, ๐๐๐๐๐๐ =๐๐,๐๐, ๐๐๐๐๐๐
(1-2)
Aus der Bezugsspannung und der Bezugsleistung kann der Bezugsstrom Ib fรผr jede Netzebene
berechnet werden.
๐ผ๐ผ๐๐๐๐ =๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐๐
=๐ผ๐ผ๐๐๐๐
โ3 โ ๐๐๐๐
(1-3)
Die Bezugsimpedanz Zb wird ebenfalls von der Bezugsleistung und Bezugsspannung definiert und fรผr
jede Netzebene einzeln berechnet. Die Umrechnung der Impedanzen zwischen Spannungsebenen
entfรคllt fรผr Per-Unit-Werte, da die Bezugsimpedanz quadratisch proportional zur Bezugsspannung ist
(vgl. Multiplikation mit dem Quadrat der รbersetzung fรผr SI-Einheiten).
Grundlegende Netzelemente
2
๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐๐๐๐
=๐๐๐๐๐๐
โ3 โ ๐ผ๐ผ๐๐
=๐๐๐๐๐๐2๐๐๐๐
(1-4)
Fรผr die Leistungsberechnung in Drehstromsystemen gilt im Per-Unit-System:
๐๐ = โ3 โ ๐๐ โ ๐ผ๐ผโ => ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐๐๐โ (1-5)
๐๐ = 3 โ ๐ผ๐ผ2 โ ๐ ๐ => ๐๐๐๐๐๐ = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐2 โ ๐ ๐ ๐๐๐๐ (1-6)
Siehe auch [1].
2 Grundlegende Netzelemente Es werden nur grundlegende Lastflussprobleme behandelt und die Integration von Elementen der
Netzregelung, wie z.B. FACTS-Elemente, weitgehend nicht betrachtet. Fรผr die Modellierung und
Integration in die Lastflussberechnung wird an dieser Stelle an die Vorlesung โRegelung und Stabilitรคt
elektrischer Energiesystemeโ [1] bzw. auf [2], [3] verwiesen.
2.1 Zweige In der Energietechnik versteht man unter Zweigen im Allgemeinen รbertragungselemente, wie
Freileitungen, Kabel und Transformatoren, welche zwei Knoten miteinander verbinden. Die Zweige
kรถnnen รผber die entsprechenden Ersatzschaltungen der รbertragungselemente modelliert werden.
Eine Ausnahme sind Hochspannungsleichstromรผbertragungen (HGร), welche als Last bzw.
Einspeisung in Knoten modelliert werden.
2.1.1 Leitungselemente Die Leitungselemente fรผr die klassische Energieรผbertragung (AC-Netze) sind Freileitungen und Kabel.
Sie kรถnnen vereinfacht durch eine ฯ-Ersatzschaltung mit konzentrierten Elementen im Mitsystem
beschrieben werden, Abbildung 2-1. In der Literatur wird als Grenze fรผr die Gรผltigkeit der ฯ-
Ersatzschaltung fรผr Freileitungen eine mittlere Leitungslรคnge zwischen 80 km und 200 bis 300 km, bzw.
Kabellรคngen bis 100 km, genannt. Bei lรคngeren Leitungen ist eine Korrektur der Impedanzwerte
notwendig oder es muss die Leitung als Reihenschaltung von mehreren ฯ-Gliedern modelliert werden.
Die Untergrenze bei kurzen Freileitungen ergibt sich aus der Mรถglichkeit den Kapazitรคtsbelag zu
vernachlรคssigen, bei Kabeln ist das durch den bis zu 30-mal grรถรeren Kapazitรคtsbelag auch bei kurzen
Lรคngen nicht mรถglich.
Grundlegende Netzelemente
3
Rโ Lโ
Gโ/2 Gโ/2Cโ/2Cโ/2U1 U2
I2I1
Abbildung 2-1 allgemeines vollstรคndiges ฯ-Ersatzschaltbild einer Leitung
R' Widerstandsbelag
L' Induktivitรคtsbelag
C' Kapazitรคtsbelag
G' Leitwertbelag
In der elektrischen Energietechnik kann der Leitwertbelag vernachlรคssigt werden, da die Isolation im
fehlerfreien Betriebszustand als ideal angenommen werden kann. Zusรคtzlich kรถnnen unter Umstรคnden
Hรถchstspannungsleitungen als verlustlos angenommen werden, wodurch der Wirkwiderstandsbelag
vernachlรคssigt wird.
Die Lรคngs- und Querimpedanzen des Leitungselements von Knoten 1 zu Knoten 2 fรผr mittlere
Leitungslรคngen berechnen sich wie in (2-1) und (2-2) gezeigt (Knoten 0 = Erde).
๐๐12 = (๐ ๐ โฒ + ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟโฒ) โ ๐๐ (2-1)
๐๐10 = ๐๐20 =2
๐๐๐๐๐๐โฒ โ ๐๐ (2-2)
Die Impedanzen fรผr lange Leitungen werden mit der Verwendung des Wellenwiderstandes ZW und der
รbertragungskonstanten ฮณ berechnet.
๐๐12 = ๐๐๐๐ sinh ๏ฟฝ๐พ๐พ๐๐๏ฟฝ (2-3)
๐๐10 = ๐๐20 =๐๐๐๐
tanh๏ฟฝ๐พ๐พ๐๐2 ๏ฟฝ
(2-4)
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐ ๐ โฒ + ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟโฒ๐บ๐บโฒ + ๐๐๐๐๐๐โฒ
โ ๏ฟฝ๐ฟ๐ฟโฒ
๐๐โฒ (2-5)
๐พ๐พ = ๏ฟฝ(๐ ๐ โฒ + ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟโฒ)(๐บ๐บโฒ + ๐๐๐๐๐๐โฒ) โ ๐๐๐๐๏ฟฝ๐ฟ๐ฟโฒ๐๐โฒ (2-6)
Grundlegende Netzelemente
4
Die Admittanzmatrix fรผr ein einzelnes Leitungselement ergibt sich zu:
๐๐ =
โฃโขโขโขโก
1๐๐12
+1๐๐10
โ1๐๐12
โ1๐๐12
1๐๐12
+1๐๐20โฆ
โฅโฅโฅโค
(2-7)
Weitere wichtige Leitungsparameter sind die thermische Grenzleistung Stherm und die natรผrliche
Leistung Snat.
Def: Die thermische Grenzleistung ist jene Leistung, welche รผber ein Leitungselement bei
Nennspannung transportiert werden kann und zum Erreichen der maximal zulรคssigen
Beharrungstemperatur fรผhrt.
Def: Die natรผrliche Leistung eines Leitungselementes ist jene transportierte Leistung, bei welcher
von dem Leitungselement bei Nennspannung keine Blindleistung bezogen oder abgegeben
wird.
๐๐๐๐๐๐๐๐ =๐๐2
๐๐๐๐ (2-8)
Eine ausfรผhrlichere Ableitung kann in [2] gefunden werden.
Fรผr die Berechnung von elektrischen Energienetzen spielt das Blindleistungsverhalten von
Leitungselementen bei Wirkleistungsรผbertragung eine wichtige Rolle. Fรผr eine einfache Abschรคtzung
des Blindleistungsverhaltens wird die รผbertragene Wirkleistung mit der natรผrlichen Leistung des
Leitungselements verglichen und es kรถnnen bei Nennspannung die folgenden drei Betriebsfรคlle
unterschieden werden:
Bei Belastung
โข mit natรผrlicher Leistung ist die Blindleistungsbilanz ausgeglichen.
โข mit unternatรผrlicher Leistung wirkt die Leitung als Blindleistungserzeuger.
โข mit รผbernatรผrlicher Leistung wirkt die Leitung als Blindleistungsverbraucher.
Hochspannungskabel wirken immer als Blindleistungserzeuger, da ihre natรผrliche Leistung รผber der
thermischen Grenzleistung liegt.
Der Betrieb mit natรผrlicher Leistung entspricht dem Optimum und wird sich im Allgemeinen nicht
realisieren lassen und es muss zusรคtzliche Blindleistung durch Kraftwerke oder
Kompensationseinrichtungen bereitgestellt werden. Dabei ist zu beachten, dass Blindleistung nicht รผber
weite Strecken transportiert werden kann.
[1], [2]
Grundlegende Netzelemente
5
2.1.2 Transformator Transformatoren verbinden die verschiedenen Spannungsebenen in elektrischen Netzen. Fรผr die
Berechnung der Strรถme, Spannungen und Impedanzen ist es notwendig diese รผber das
Nennรผbersetzungsverhรคltnis auf eine gemeinsame Bezugsspannung umzurechnen. Die durch
Schaltgruppen verursachte Phasendrehung zwischen Ober- und Unterspannungsseite wird im
Allgemeinen nicht berรผcksichtigt.
Abbildung 2-2 Vollstรคndige Transformatorersatzschaltung, โ-Grรถรen auf Primรคrseite umgerechnet, [1]
R1, R2' Wicklungswiderstรคnde
jX1, jX2' Streureaktanzen
jXm Magnetisierungsreaktanz
Rm Eisenverlustwiderstand
รผ รbersetzungsverhรคltnis
k Schaltgruppe
Die Grรถรen aus dem Ersatzschaltbild kรถnnen aus den Kenndaten und der Verschaltung der Wicklungen
bzw. aus den entsprechenden Kurzschluss- und Leerlaufversuchen ermittelt werden, siehe [4] fรผr eine
genaue Herleitung und Beschreibung.
Sn Nennscheinleistung
Un1, Un2 primรคre und sekundรคre Nennspannung
uk relative Kurzschlussspannung
Pk Kupfer-, Kurzschlussverluste
P0 Eisen-, Leerlaufverluste
Fรผr stationรคre Berechnungen lรคsst sich das Ersatzschaltbild des Transformators stark vereinfachen.
Neben dem Wegfall der Phasendrehung durch die Schaltgruppe, wird durch die Verwendung des Per-
Unit-Systems das รbersetzungsverhรคltnis zu 1. Des Weiteren kรถnnen, bei Vernachlรคssigung von
Magnetisierungsimpedanz und Eisenverlusten bei belasteten Transformatoren, die
Grundlegende Netzelemente
6
Wicklungswiderstรคnde und Streureaktanzen der Primรคr- und Sekundรคrseite zu der
Transformatorimpedanz ZT zusammengefasst werden, Abbildung 2-3.
Kรถnnen die Magnetisierungsimpedanz und die Eisenverluste in der Berechnung nicht vernachlรคssigt
werden, ist es von Vorteil ein ฯ-Ersatzschaltbild fรผr den Transformator zu verwenden, wobei die
Grundvoraussetzung erfรผllt sein muss, dass die primรคr- und sekundรคrseitigen Serienimpedanzen im
Per-Unit-System gleich groร sind bzw. als gleich groร angenommen werden kรถnnen (Z1 = Z2 = R1+jX1),
[2]. Die Admittanzmatrix der Ersatzschaltung ergibt sich zu
๐๐ =
โฃโขโขโขโก
1๐๐12
+1๐๐10
โ1๐๐12
โ1๐๐12
1๐๐12
+1๐๐20โฆ
โฅโฅโฅโค
(2-9)
mit
๐๐12 = ๐ ๐ 1 + ๐ ๐ 2 + ๐๐(๐๐1 + ๐๐2) (2-10)
๐๐10 = ๐๐20 =12
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ + ๐๐๐๐๐๐
(2-11)
Eine gesonderte Betrachtung ist fรผr Regeltransformatoren durchzufรผhren, da sie im Betrieb im
Allgemeinen ein von dem Nennรผbersetzungsverhรคltnis abweichendes รbersetzungsverhรคltnis
aufweisen, welches bei Schrรคg- und Querreglern, sowie Phasenschiebertransformatoren, komplexe
Werte annimmt. Fรผr eine Berechnung werden zusรคtzliche Kenndaten benรถtigt:
tmin, tmax, t minimale, maximale, aktuelle Schaltstufe
ฮu Spannungsรคnderung pro Schaltstufe
ฮฒ Winkel der Spannungsรคnderung
Aus diesen Werten kann nun das komplexe รbersetzungsverhรคltnis cรผ berechnet werden.
๐๐รผ = 1 + ๐ก๐ก โ โ๐ข๐ข(๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐) (2-12)
Das vereinfachte Ersatzschaltbild fรผr Regeltransformatoren ist in Abbildung 2-4 gezeigt und besteht aus
einem idealen Transformator mit dem komplexen รbersetzungsverhรคltnis cรผ : 1 und der
Transformatorlรคngsimpedanz.
๐๐๐๐ = ๐ ๐ 1 + ๐ ๐ 2 + ๐๐(๐๐1 + ๐๐2) (2-13)
Grundlegende Netzelemente
7
ZTI1 I2
U1 U2
Abbildung 2-3 Vereinfachtes Ersatzschaltbild, cรผ = 1
ZT
cรผ : 1
I1 I2
U1 U2U1'
I1'
Abbildung 2-4 Vereinfachtes Ersatzschaltbild fรผr Regeltransformator
Die resultierende Admittanzmatrix fรผr Regeltransformatoren ist:
๐๐ =
โฃโขโขโขโก
1๐๐รผ2 โ ๐๐๐๐
โ1
๐๐รผโ โ ๐๐๐๐
โ1
๐๐รผ โ ๐๐๐๐1๐๐๐๐ โฆ
โฅโฅโฅโค
(2-14)
Eine รberfรผhrung der Regeltransformatoren in ein ฯ-Ersatzschaltbild ist nur fรผr Lรคngsregler mรถglich,
da nur fรผr diese die notwendige Diagonalsymmetrie in Y gegeben ist.
Der Aufbau von Regeltransformatoren und die Herleitung des รbersetzungsverhรคltnisses und der
Admittanzmatrix ist in [1] gegeben.
Sonderfรคlle von Regeltransformatoren sind Phasenschiebertransformatoren (PSTs), welche รผber eine
Serienwicklung eine um 90ยฐ phasenverschobene Spannung ฮu einspeisen. Die Aufteilung in einen
Serien- und einen Erregertransformator bringt den erheblichen Vorteil, dass fรผr die Bauleistung nur der
Durchgangsstrom und die eingespeiste Spannung ฮu ausschlaggebend sind. Im Folgenden wird das
รbersetzungsverhรคltnis eines Phasenschiebertransformators mit symmetrischer 2-Kesselausfรผhrung
genauer betrachtet, Abbildung 2-5.
Grundlegende Netzelemente
8
Abbildung 2-5, symmetrische 2-Kesselausfรผhrung mit getrenntem Erreger- und Serientransformator [1]
Die Implementierung dieses PST erfolgt wie auch bei den schon besprochenen Regeltransformatoren
mit Hilfe des komplexen รbersetzungsverhรคltnisses. Fรผr die Bestimmung dieses wird der PST als eine
Back-to-Back-Anordnung von zwei gegengleichen Querregeltransformatoren modelliert. Das
resultierende รbersetzungsverhรคltnis dieser Einheit hat eine Amplitude von 1 p.u. und eine von der
Schalterstellung abhรคngige Winkelรคnderung.
๐๐รผ =1 + ๐๐ โ ๐ก๐ก โ โ๐ข๐ข1 โ ๐๐ โ ๐ก๐ก โ โ๐ข๐ข
= 1 โ ๐๐๐๐โโ๐ผ๐ผโ๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐กโ๐ผ๐ผ2
= tanโ1(๐ก๐ก โ โ๐ข๐ข) (2-15)
Grundlegende Netzelemente
9
2.2 Knotentypen Unter Knoten versteht man Verbindungspunkte von Leitungen und Anschlusspunkten von
Einspeisungen und Lasten. Die Knoten lassen sich in unterschiedliche Knotentypen anhand der
vorgegebenen Knotengrรถรen einteilen, Tabelle 2-1.
Tabelle 2-1 Knotentyp Netzelement Vorgabe Berechnet
Slackknoten,
Referenzknoten
Kraftwerk, Einspeisung aus
รผbergeordnetem Netz
U S
U, ฯ P, Q
PQ
leistungsgeregelte Last,
Kraftwerk, HGร, sonst.
Einspeisung
S U
P, Q U, ฯ
P, cosฯ
S, cosฯ
PV Kraftwerk, sonst.
Einspeisung P, U Q, ฯ
I stromgeregelte Last I U
I, cosฯ U, ฯ
Z ungeregelte Last Z U
S
Fรผr die Berechnung muss zwingend ein Slackknoten definiert werden, an welchem der komplexe
Spannungszeiger U bekannt ist. Im Allgemeinen wird der Einspeiseknoten aus einer hรถheren
Spannungsebene oder ein groรes Kraftwerk als Slackknoten definiert. Die I- und Z-Knoten beschreiben
Sonderfรคlle von Lastverhalten und werden daher nur selten verwendet.
2.2.1 Einspeisungen Die historisch gewachsene Struktur mit groรen Einspeisungen in der Hoch- und
Hรถchstspannungsebene verรคndert sich momentan durch die Installation von im Vergleich kleinen
dezentralen Einspeisungen in allen Spannungsebenen.
Fรผr die stationรคre Berechnung von Lastflรผssen kรถnnen Einspeisungen durch die Vorgabe von Wirk- und
Blindleistung (PQ-Knoten) oder Wirkleistung und Spannungshรถhe (PV-Knoten) in ihren
Anschlussknoten in das Netzwerk integriert werden. Fรผr dynamische Berechnungen mรผssen die
Grundlegende Netzelemente
10
Einspeisungen entweder vollstรคndig, sprich durch die entsprechenden Differenzialgleichungen und
Regeleinrichtungen, oder durch รคquivalente Impedanzen modelliert werden, siehe auch [1]โ[3].
2.2.2 Lasten Lasten werden bei der stationรคren Lastflussberechnung als konstante von der Spannung und der
Frequenz unabhรคngige Scheinleistungsentnahmen an dem Lastknoten angenommen. Unter
Umstรคnden ist es allerdings notwendig auch bei Lastflussberechnungen zumindest die stationรคren
Abhรคngigkeiten von Lasten in die Berechnung einzubeziehen.
Die stationรคre Leistungsaufnahme lรคsst sich durch das folgende nichtlineare System beschreiben und
hat einen Gรผltigkeitsbereich von 0,5 Un < U < 1,2 Un.ฮป
๐๐(๐๐, ๐๐)๐๐๐๐
=๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๏ฟฝ1 + ๐พ๐พ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ โ 1 + ๐๐๐๐
โ๐ข๐ข๐๐๐๐
+ ๐พ๐พ๐๐โ๐๐๐๐๐๐
(2-16)
๐๐(๐๐, ๐๐)๐๐๐๐
=๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๏ฟฝ1 + ๐พ๐พ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ โ 1 + ๐๐๐๐
โ๐ข๐ข๐๐๐๐
+ ๐พ๐พ๐๐โ๐๐๐๐๐๐
(2-17)
U Knotenspannung
ฮu Knotenspannungsabweichung
Un Nennknotenspannung
ฮf Frequenzabweichung
fn Nennfrequenz
P(U,f),Q(U,f) von Last stationรคr aufgenommene Leistung
Pn, Qn Lastleistung bei Nennbetrieb
ฮปP, ฮปQ Parameter fรผr Spannungsabhรคngigkeit
KP, KQ Parameter fรผr Frequenzabhรคngigkeit
Bezรผglich der Spannungsabhรคngigkeit kann zwischen drei Sonderfรคllen von Lasten unterschieden
werden:
โข Leistungsgeregelte Lasten, ฮป = 0 โข Stromgeregelte Lasten, ฮป = 1 โข Ungeregelte Lasten, ฮป = 2
Eine reale Knotenlast setzt sich im Allgemeinen aus mehreren einzelnen Lasten zusammen und
entspricht daher keinem dieser Sonderfรคlle. Durch Messungen an einzelnen Verbrauchern konnten die
folgenden Wertebereiche fรผr die Lastparameter gefunden werden, Tabelle 2-2 [1].
Grundlegende Netzelemente
11
Tabelle 2-2 cosฯ ฮปP ฮปQ KP KQ
Haushalt 0,9 - 0,99 1,2โฆ1,5 2,9โฆ3,2 0,8โฆ1,0 -1,5โฆ-2,2
Gewerbe 0,85 - 0,9 1โฆ1,3 3โฆ3,5 1,2โฆ1,5 -1,1โฆ-1,6
Industrie 0,85 - 0,9 0,2 6 2,5 1,6
Weitere und genauere Ausfรผhrungen zu dem statischen Lastmodell und dynamischen Lastmodellen
sind in [1]โ[3] zu finden.
Allgemeine Lastflussrechnung
12
3 Allgemeine Lastflussrechnung Die Aufgabe der Lastflussrechnung ist es den elektrischen Status eines Systems bei vorgegebener
Belastung zu berechnen. Als das grundsรคtzliche Ergebnis der Lastflussberechnung kรถnnen die
komplexen Spannungszeiger jedes Knotens angesehen werden, welche auch als die Zustandsgrรถรen
des Systems bezeichnet werden [2]. Alle relevanten Systemgrรถรen wie Leistungsfluss, Stromfluss,
Spannungseinbrรผche, Verluste und andere kรถnnen mit ihnen berechnet werden.
In weiterer Folge werden alle Grรถรen als Per-Unit-Grรถรen behandelt um die Berechnungen zu
vereinfachen und anschaulichere Formeln zu erhalten.
3.1 Systemmatrizen: Strom/Spannungszusammenhรคnge Systemmatrizen beschreiben den Zusammenhang zwischen Knotenstrรถmen und Knotenspannungen.
Die Art der Matrix (Admittanz-, Impedanz-, oder Hybridmatrix) wird von den bekannten Spannungen und
Strรถmen vorgegeben. Dadurch, dass sich die Admittanzmatrix einfach aus der Topologie des Systems
und den entsprechenden Ersatzschaltbildern ableiten lรคsst, ist sie die Ausgangsbasis fรผr die
Berechnung aller anderen Matrizen.
Abbildung 3-1 Ersatzschaltbild eines Netzes durch Zweigimpedanzen, [1]
Die Elemente in der Hauptdiagonale (Eigenadmittanz) sind die Summe aller an dem entsprechenden
Knoten verbundener Zweigadmittanzen (Menge ฮฝi) und Queradmittanzen. Die Nebendiagonalelemente
(Koppeladmittanzen) berechnen sich aus der negativen Summe aller Zweigadmittanzen, welche die
entsprechenden Knoten direkt verbinden. Treten mehrere Spannungsebenen auf, mรผssen entweder
alle Admittanzen auf eine gemeinsame Spannungsebenen bezogen werden oder im Per-Unit-System
gerechnet werden.
๐๐๐๐๐๐ =1๐๐๐๐0
+ ๏ฟฝ1๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
(3-1)
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ = โ1๐๐๐๐๐๐
(3-2)
Allgemeine Lastflussrechnung
13
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐11 โฏ ๐๐1๐๐โฎ โฑ โฎ๐๐๐๐1 โฏ ๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ (3-3)
Die Impedanzmatrix kann nun durch Invertieren berechnet werden.
๐๐ = ๐๐โ1 = ๏ฟฝ๐๐11 โฏ ๐๐1๐๐โฎ โฑ โฎ๐๐๐๐1 โฏ ๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ (3-4)
Die Hauptdiagonalelemente der Impedanzmatrix entsprechen der stationรคren Kurzschlussimpedanz an
dem entsprechenden Knoten falls die Generatorimpedanzen miteinbezogen wurden. Bei Lastknoten
sind etwaige parallele Lastimpedanzen zu berรผcksichtigen.
๐๐๐พ๐พ๐พ๐พ,๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐. ๐๐รผ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐๐๐ก๐ก๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐พ๐พ๐พ๐พ,๐๐ =๐๐๐ฟ๐ฟ,๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ,๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐
(3-5), (3-6)
Mit Hilfe der Admittanz- und Impedanzmatrix kann der Zusammenhang zwischen Knotenstrรถmen und
Knotenspannungen beschrieben werden.
๏ฟฝ๐ผ๐ผ1โฎ๐ผ๐ผ๐๐๏ฟฝ = ๐๐ โ ๏ฟฝ
๐๐1โฎ๐๐๐๐๏ฟฝ ๏ฟฝ
๐๐1โฎ๐๐๐๐๏ฟฝ = ๐๐ โ ๏ฟฝ
๐ผ๐ผ1โฎ๐ผ๐ผ๐๐๏ฟฝ
(3-7), (3-8)
Im Allgemeinen sind in den Problemstellungen sowohl Spannungen als auch Strรถme gegeben, wobei
die Zusammenhรคnge dann mit Hilfe einer Hybridmatrix beschrieben werden kรถnnen. Fรผr die Bildung
der Hybridmatrix wird im ersten Schritt die Admittanzmatrix in Teilmatrizen aufgeteilt.
Fรผr das allgemeine System mit M+N Knoten wird angenommen, dass fรผr M Knoten die Spannungen
(uA) bekannt sind und fรผr N Knoten die Strรถme (iB). Die Systemadmittanzmatrix wird so gewรคhlt, dass
sich bei den Strom- und Spannungsvektoren bekannte und gesuchte Grรถรen separieren lassen.
โ
โโโ
๐ผ๐ผ1โฎ๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐+1โฎ
๐ผ๐ผ๐๐+๐๐โ
โโโ
=
โฃโขโขโขโขโก
๐๐1,1 โฏ ๐๐1,๐๐โฎ โฑ โฎ
๐๐๐๐,1 โฏ ๐๐๐๐,๐๐
๐๐1,๐๐+1 โฏ ๐๐1,๐๐+๐๐โฎ โฑ โฎ
๐๐๐๐,๐๐+1 โฏ ๐๐๐๐,๐๐+๐๐๐๐๐๐+1,1 โฏ ๐๐๐๐+1,๐๐โฎ โฑ โฎ
๐๐๐๐+๐๐,1 โฏ ๐๐๐๐+๐๐,๐๐
๐๐๐๐+1,๐๐+1 โฏ ๐๐๐๐+1,๐๐+๐๐โฎ โฑ โฎ
๐๐๐๐+๐๐,๐๐+1 โฏ ๐๐๐๐+๐๐,๐๐+๐๐โฆโฅโฅโฅโฅโค
โ
โ
โโโ
๐๐1โฎ๐๐๐๐๐๐๐๐+1โฎ
๐๐๐๐+๐๐โ
โโโ
(3-9)
๏ฟฝ๐๐๐ด๐ด๐๐๐ต๐ต๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐๐ด๐ด๐ด๐ด ๐๐๐ด๐ด๐ต๐ต๐๐๐ต๐ต๐ด๐ด ๐๐๐ต๐ต๐ต๐ต
๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๐๐๐ด๐ด๐๐๐ต๐ต๏ฟฝ (3-10)
Durch Umformen der partitionierten Strom-Spannungsbeziehung (3-10) kรถnnen die gesuchten Grรถรen
als Operation der Hybridmatrix mit den gegebenen Grรถรen ausgedrรผckt werden.
๏ฟฝ๐๐๐ด๐ด๐๐๐ต๐ต๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐ฏ๐ฏ๐ด๐ด๐ด๐ด ๐ฏ๐ฏ๐ด๐ด๐ต๐ต๐ฏ๐ฏ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ฏ๐ฏ๐ต๐ต๐ต๐ต
๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๐๐๐ด๐ด๐๐๐ต๐ต ๏ฟฝ (3-11)
Allgemeine Lastflussrechnung
14
Die Elemente der Hybridmatrix berechnen sich zu
๐ฏ๐ฏ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐๐๐ด๐ด๐ด๐ด โ ๐๐๐ด๐ด๐ต๐ต๐๐๐ต๐ต๐ต๐ตโ1๐๐๐ต๐ต๐ด๐ด (3-12)
๐ฏ๐ฏ๐ด๐ด๐ต๐ต = ๐๐๐ด๐ด๐ต๐ต๐๐๐ต๐ต๐ต๐ตโ1 (3-13)
๐ฏ๐ฏ๐ต๐ต๐ด๐ด = โ๐๐๐ต๐ต๐ต๐ตโ1๐๐๐ต๐ต๐ด๐ด (3-14)
๐ฏ๐ฏ๐ต๐ต๐ต๐ต = ๐๐๐ต๐ต๐ต๐ตโ1 (3-15)
Die Drehstromleistung der einzelnen Knoten kann bei bekannten Strรถmen und Spannungen mit
Matrizen berechnet werden.
๐๐ = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐โ = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โ๐๐โ (3-16) mit
๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐1 0 00 โฑ 00 0 ๐๐๐๐
๏ฟฝ (3-17)
[1], [5]
Die Topologie eines Netzwerkes kann in einfacher Form mit Hilfe der Zweig-Knoten-Inzidenzmatrix A
beschrieben werden. Sie hat fรผr ein System mit N Knoten und L Zweigen die Dimension LxN. Das
Element Ai,j ist 1, wenn der Zweig i am Knoten j beginnt, -1, wenn der Zweig i am Knoten j endet und 0,
wenn der Zweig i nicht mit dem Knoten i verbunden ist. Die Summe aller Elemente in einer Zeile muss
0 ergeben.
Die Admittanzmatrix kann mit Hilfe der Inzidenzmatrix und der Zweigadmittanzmatrix Yd berechnet
werden, wenn die Querkapazitรคten fรผr alle Zweige vernachlรคssigt werden kรถnnen.
๐๐ = ๐จ๐จ๐๐๐๐๐๐๐จ๐จ (3-18)
Die Elemente der Diagonalmatrix Ydiag entsprechen den Admittanzen der einzelnen Zweige. Sie hat die
Dimension LxL.
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐1 0 00 โฑ 00 0 ๐๐๐ฟ๐ฟ
๏ฟฝ (3-19)
Die vollstรคndige Herleitung und weitere Anwendungen der Zweig-Knoten-Inzidenzmatrix sind in [6] zu
finden. In der Literatur wird des รfteren die transponierte von A verwendet und als Knoten-Zweig-
Inzidenzmatrix KZI, bzw. node-to-branch incidence matrix NBI, bezeichnet.
Allgemeine Lastflussrechnung
15
3.2 Lineare und nichtlineare Problemstellungen Die Problemstellungen von Lastflussberechnungen ergeben sich aus den im Netzbereich vorhandenen
Knotenarten.
Unabhรคngig von der eigentlichen Problemstellung muss immer ein Knoten als Slackknoten definiert
werden, an welchem die Spannung vorgegeben wird und sich wie eine starre Spannungsquelle verhรคlt.
Als Slackknoten eignen sich grundsรคtzlich Einspeisungen aus รผbergeordneten Spannungsebenen oder
spannungsgeregelte Generatoren.
3.2.1 Lineare Problemstellungen, I- und Z-Knoten Kรถnnen Einspeisungen und Lasten in einem Netzbereich als simple I- oder Z-Knoten modelliert werden,
handelt es sich um lineare Problemstellungen, welche ohne groรen Aufwand mit den Systemmatrizen
gelรถst werden kรถnnen. I-Knoten kรถnnen ohne zusรคtzlichen Aufwand direkt mit Hilfe der Hybridmatrix
behandelt werden.
๏ฟฝ
๐ผ๐ผ1๐๐2โฎ๐๐๐๐
๏ฟฝ = ๐ฏ๐ฏ โ ๏ฟฝ
๐๐1๐ผ๐ผ2โฎ๐ผ๐ผ๐๐
๏ฟฝ (3-20)
In diesem Fall ist der Knoten 1 als Slackknoten gewรคhlt und an den Knoten 2 bis i sind Lasten und
Erzeuger als Konstantstromsenken bzw. Konstantstromquellen (I-Knoten) angenommen.
Z-Knoten kรถnnen ohne weiteren Aufwand in die Admittanzmatrix integriert werden, indem man die
entsprechende Admittanz am Lastknoten hinzufรผgt. Es ist dabei allerdings darauf zu achten, dass der
Knotenstrom dabei nicht direkt berechnet wird, sondern nachtrรคgliche รผber die Knotenspannung und
der Lastimpedanz bestimmt werden muss.
Die Integration von Lasten als Z-Knoten auรerhalb der Admittanzmatrix liefert zwar direkt die
Knotenstrรถme ist aber mathematisch aufwรคndiger und wird nur der Vollstรคndigkeit halber hier angefรผhrt.
Fรผr die Bestimmung der Berechnungsvorschrift wird ein System mit M+N Knoten angenommen, wobei
an M Knoten die Spannung Ui bekannt ist und an N Knoten der Lastwiderstand ZLi. Die
dementsprechend partitionierte Strom-Spannungsbeziehung ergibt sich zu
๏ฟฝ๐๐๐ด๐ด๐๐๐ต๐ต๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐๐ด๐ด๐ด๐ด ๐๐๐ด๐ด๐ต๐ต๐๐๐ต๐ต๐ด๐ด ๐๐๐ต๐ต๐ต๐ต
๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๐๐๐ด๐ด๐๐๐ต๐ต๏ฟฝ (3-21)
und lรคsst sich in zwei Gleichungssysteme aufspalten
๐๐๐ด๐ด = ๐๐๐ด๐ด๐ด๐ด๐๐๐ด๐ด + ๐๐๐ด๐ด๐ต๐ต๐๐๐ต๐ต (3-22) ๐๐๐ต๐ต = ๐๐๐ต๐ต๐ด๐ด๐๐๐ด๐ด + ๐๐๐ต๐ต๐ต๐ต๐๐๐ต๐ต (3-23)
Der Index A (i=1 bis M) bezieht sich dabei auf die Knoten mit bekannten Spannungen, der Index B
(i=M+1 bis N) auf Knoten mit bekannter Lastimpedanz ZLi.
Allgemeine Lastflussrechnung
16
Ersetzt man uB in den Gleichungen (3-22) und (3-23) durch
๐๐๐ต๐ต = โ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐๐ต๐ต (3-24)
๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ = ๏ฟฝ๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐+1 0 0
0 โฑ 00 0 ๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐
๏ฟฝ (3-25)
und lรถst das Gleichungssystem fรผr iA und iB erhรคlt man in Matrizenform:
๏ฟฝ๐๐๐ด๐ด๐๐๐ต๐ต๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐๐ด๐ด๐ด๐ด โ ๐๐๐ด๐ด๐ต๐ต๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๏ฟฝ๐ฌ๐ฌ + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๏ฟฝโ1๐๐๐ต๐ต๐ด๐ด
๏ฟฝ๐ฌ๐ฌ + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๏ฟฝโ1๐๐๐ต๐ต๐ด๐ด
๏ฟฝ โ ๐๐๐ด๐ด = ๏ฟฝ๐ฟ๐ฟ๐ด๐ด๐ด๐ด๐ฟ๐ฟ๐ด๐ด๐ต๐ต
๏ฟฝ โ ๐๐๐ด๐ด (3-26)
Das Minus in (3-24) ergibt sich aus der Definition, dass Knotenstrรถme und โleistungen fรผr Verbraucher
negativ sind. Aus der Gleichung (3-26) kann fรผr den gewรผnschten Slackknoten, wie in Kapitel 3.1
gezeigt, der sich Lastfluss berechnet werden.
Die Dimensionen der Teilmatrizen sind in Tabelle 3-1 angegeben.
Tabelle 3-1 Zeilen x Spalten
uA Mx1
iA Mx1
iB Nx1
ZdL NxN
XAA MxM
XAB NxM
3.2.2 Iterationsverfahren In Allgemeinen werden allerdings Einspeisungen und Lasten durch PQ- bzw. PV-Knoten beschrieben,
wodurch sich nichtlineare Aufgabenstellungen ergeben. Die gegebenen Grรถรen kรถnnen nicht direkt in
die Lastflussgleichungen integriert werden, sondern mรผssen durch Ersetzen der entsprechenden
Strรถme ausgedrรผckt werden.
Ein allgemeines System beschrieben durch seine Hybridmatrix hat N Knoten, wobei Knoten 1 als
Slackknoten (Index A) gewรคhlt ist und die Knoten 2-N (Index B) als PQ-Knoten angenommen sind. Aus
dem entsprechenden Gleichungssystem (3-11) lassen sich Gleichungen fรผr die Spannung an den PQ-
Knoten angeben.
๐๐๐ต๐ต = ๐ฏ๐ฏ๐ต๐ต๐ด๐ด๐๐๐ด๐ด + ๐ฏ๐ฏ๐ต๐ต๐ต๐ต๐๐๐ต๐ต (3-27)
Allgemeine Lastflussrechnung
17
Die Strรถme IB kรถnnen aus der bekannten Scheinleistung der Knoten B berechnet werden.
๐๐๐ต๐ต = (๐ผ๐ผ๐ต๐ต๐๐๐๐๐๐๐๐โ1 )โ โ ๐๐๐ต๐ตโ (3-28)
Es ergibt sich dadurch fรผr uB ein nichtlineares Gleichungssystem, welches durch Iteration gelรถst werden
kann. Als Abbruchbedingung fรผr die Iteration wird die รnderung der Spannung zwischen den Schritten
i und i-1 verwendet
๐๐๐ต๐ต,๐๐ = ๐ฏ๐ฏ๐ต๐ต๐ด๐ด๐๐๐ด๐ด + ๐ฏ๐ฏ๐ต๐ต๐ต๐ต(๐ผ๐ผ๐ต๐ต๐๐๐๐๐๐๐๐,๐๐โ1โ1 )โ โ ๐๐๐ต๐ตโ (3-29)
๐ผ๐ผ๐ต๐ต๐๐๐๐๐๐๐๐,๐๐ = ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐(๐๐๐ต๐ต,๐๐) (3-30) ๏ฟฝ๐๐๐ต๐ต,๐๐ โ ๐๐๐ต๐ต,๐๐โ1๏ฟฝ < ๐๐ (3-31)
Als Startwerte fรผr UBdiag,0 eignet sich im Per-Unit-System die Einheitsmatrix. Diese Startwertvorgabe
wird als Flat Start bezeichnet und entspricht Nennspannung und gleichem Phasenwinkel an allen
Lastknoten. Typische Werte fรผr die Abbruchsbedingungen ฮต liegen zwischen 10-6 und 10-3.
PV-Knoten kรถnnen nur durch groรen mathematischen Aufwand mit Hilfe des Iterationsverfahrens
berechnet werden. Es ist daher zielfรผhrender auch einfache Problemstellungen mit PV-Knoten mit dem
Funktionalmatrizenverfahren zu lรถsen.
Bei Netzen mit einer grรถรeren Anzahl an PQ- bzw. PV-Knoten kann es zu langen Berechnungszeiten
kommen, insbesondere bei vollstรคndiger Berรผcksichtigung der Querelemente.
3.2.3 Funktionalmatrizenverfahren Diese Lรถsungsmethode fรผr die nichtlinearen Problemstellungen basiert auf dem Leistungsfluss รผber die
einzelnen Zweige des Systems, allerdings werden wie hierbei einige Annahmen getroffen um die
Berechnung zu erleichtern.
Zij
Zii Zjj
Ii Ij
Ui Uj
Abbildung 3-2, ฯ-Ersatzschaltung eines Zweiges
Der Leistungsfluss von dem Knoten i zu dem Knoten j รผber einen einzelnen als ฯ-Ersatzschaltung
beschriebenen Zweig berechnet sich zu
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐ผ๐ผ๐๐โ = ๐๐๐๐2(๐๐๐๐๐๐โ + ๐๐๐๐๐๐โ) โ ๐๐๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ (3-32)
Bei Vernachlรคssigung der Querelemente, das entspricht einer Vernachlรคssigung der
Leitungskapazitรคten, vereinfacht sich die Zweigleistung zu
Allgemeine Lastflussrechnung
18
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐2๐๐๐๐๐๐โ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ (3-33)
Durch Separation von Wirk- und Blindleistung erhรคlt man die folgenden Gleichungen
๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐๐2
๐๐๐๐๐๐cos (๐๐๐๐๐๐) โ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
cos(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐) (3-34)
๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐๐2
๐๐๐๐๐๐sin (๐๐๐๐๐๐) โ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
sin(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐) (3-35)
Kann die Zweigimpedanz zwischen den Knoten i und j als rein induktiv angenommen werden, das
entspricht einer verlustlosen Leitung, vereinfachen sich die Gleichungen (3-34)und (3-35) zu
๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
sin(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐) (3-36)
๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐๐2
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
cos(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐) (3-37)
Ausgehend von den Gleichungen fรผr die Leistungsรผbertragung, lรคsst sich die Knotenleistung im Knoten
i als Summe aller Zweigleistungen berechnen, wobei ฮฝi alle Knotenindizes welche direkt mit Knoten i
verbunden sind beinhaltet.
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
sin(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐)๐๐๐๐๐๐๐๐
(3-38)
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
cos๏ฟฝ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐
(3-39)
Alle Knotenleistungen eines Systems mit N Knoten kรถnnen nun als nichtlineare Funktion von
Knotenspannung und deren Winkel ausgedrรผckt werden.
โ
โโโ
๐๐1โฎ๐๐๐๐๐๐1โฎ๐๐๐๐โ
โโโ
= ๐๐(๐๐1, โฆ๐๐๐๐ ,๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐) ๐๐๐๐๐๐. ๐๐ = ๐๐(๐๐)
(3-40)
Durch Ableiten von f(u) nach u und ฯ bzw. u erhรคlt man die Jacobimatrix und die รnderung der Leistung.
Es kann durch Einsetzen eines Arbeitspunktes u0 die Leistungsรคnderung um den Arbeitspunkt
linearisiert werden [5, p. 72].
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐. ๐๐๐๐ = ๐ฑ๐ฑ โ ๐๐๐๐ (3-41)
Allgemeine Lastflussrechnung
19
Aus den Gleichungen (3-40), (3-41) und den durch die von PQ- bzw. PV-Knoten vorgegebenen
Leistungen lรคsst sich eine Lรถsung mit Hilfe des Newton-Raphson-Verfahren finden. Der Index i gibt
dabei den Iterationsschritt an.
๐๐๏ฟฝ๐๐๐๐๏ฟฝ = ๐๐๏ฟฝ๐๐๐๐๏ฟฝ โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ = ! 0 (3-42) ๐๐๐๐๐๐๐๐
(๐๐๐๐) = ๐ฝ๐ฝ๏ฟฝ๐๐๐๐๏ฟฝ (3-43)
๐๐๐๐+1 = ๐๐๐๐ โ ๐ฝ๐ฝ๏ฟฝ๐๐๐๐๏ฟฝโ1 โ ๐๐๏ฟฝ๐๐๐๐๏ฟฝ (3-44)
Bei der Berechnung der Ableitung von g ist zu beachten, dass ssoll die vorgegebenen Werte der PQ-
und PV-Knoten beinhaltet und daher eine Konstante ist. Die Iteration wird beendet sobald die g(ui) eine
gewรคhlte Schranke (10-6 bis 10-3) unterschreitet.
Bei der Anwendung des Funktionalmatrizenverfahrens ist die gesuchte Grรถรe die komplexe Spannung
U in jedem Knoten, durch die Aufspaltung in Betrag und Phase ergeben sich fรผr ein Netzwerk mit N
Knoten folglich 2N Gleichungen. Die Vorgabe des Slackknotens (Betrag und Phase bekannt) und PV-
Knoten (Betrag der Spannung bekannt) verringern die Anzahl der Gleichungen auf 2(N-1) - #(PV-
Knoten). Die entsprechenden Zeilen des Gleichungssystems (3-40) und (3-41) werden vor der
Berechnung gestrichen.
Prinzipiell kann das Newton-Raphson-Verfahren auch ohne jegliche Vereinfachungen durchgefรผhrt
werden, allerdings vergrรถรert sich der Rechenaufwand, insbesondere bei Erstellen der Jakobi-Matrize.
3.3 Netzreduktion Nachdem der Rechenaufwand mit der Anzahl der Knoten in einem Netz ansteigt, kann es notwendig
sein das untersuchte Netz zu reduzieren. Es wird dabei auf Spannungsinformationen in reduzierten
Knoten und auf die Lastflรผsse auf den reduzierten Leitungen verzichtet.
Der erste Schritt zur Netzreduktion ist die Definition des Netzbereiches, welcher vollstรคndig berechnet
werden soll. Die in diesem Bereich liegenden Knoten, welche nur Zweige zu Knoten besitzen, welche
ebenfalls innerhalb des betrachteten Netzbereichs liegen, bleiben unverรคndert und sind im Folgenden
als Gruppe 1 bezeichnet, die Randknoten sind in Gruppe 2 zusammengefasst. Die Knoten auรerhalb
des definierten Bereichs, Gruppe 3, sind die zu reduzierenden Knoten, siehe Abbildung 3-3. Die
Admittanzmatrix des aufgeteilten Systems ergibt sich zu:
๏ฟฝ๐๐1๐๐2๐๐3๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐11 ๐๐12 0๐๐21 ๐๐22 ๐๐23
0 ๐๐32 ๐๐33๏ฟฝ ๏ฟฝ๐๐1๐๐2๐๐3๏ฟฝ
(3-45)
Bei Formel (3-45) und im Folgenden ist zu beachten, dass die Teilelemente der Strom-
/Spannungsvektoren und Admittanzmatrix ebenfalls Vektoren und Matrizen mit der entsprechenden
Grรถรe der dazugehรถrenden Knotengruppe sind.
Allgemeine Lastflussrechnung
20
Durch die Wahl der Knotengruppen sind die Teilmatrizen Y13 und Y31 leer, wodurch es mรถglich ist die
Knoten der Gruppe 3 als Ersatzlasten bzw. Ersatzeinspeisungen in den Knoten der Gruppe 2 zu
integrieren. Die Knotenspannungen u3, Gleichung (3-46),wird dafรผr in den Gleichungen der Strรถme I2,
(3-47), eliminiert. Aus der resultierenden Gleichung, (3-48), kann nun in Ersatzeinspeisung an den
Knoten der Gruppe 2 iยด2 und eine Ersatzadmittanzmatrix Yยด22 ermittelt werden.
๐๐3 = ๐๐33โ1๐๐3 โ ๐๐33โ1๐๐32๐๐2 (3-46) ๐๐2 = ๐๐21๐๐1 + ๐๐22๐๐2 + ๐๐23๐๐3 (3-47)
๐๐2 โ ๐๐23๐๐33โ1๐๐3 = ๐๐21๐๐1 + ๏ฟฝ๐๐22 โ ๐๐23๐๐33โ1๐๐32๏ฟฝ๐๐2 (3-48)
๏ฟฝ๐๐1๐๐2โฒ๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐11 ๐๐12๐๐21 ๐๐22โฒ
๏ฟฝ ๏ฟฝ๐๐1๐๐2๏ฟฝ (3-49)
Das durch (3-49) beschriebene Ersatznetz verhรคlt sich an den Knoten der Gruppe 2 exakt wie das
ursprรผngliche Netz.
Abbildung 3-3, Vollstรคndiges und reduziertes Netz, [1] [1]
Knoten ohne Last oder Einspeisung an welchen nur zwei Zweige verbunden sind, lassen sich durch die
Berechnung der Serienschaltung von den ฯ-Ersatzschaltungen der Zweige reduzieren. Ein Beispiel fรผr
solche Knoten sind รbergรคnge von Freileitungen auf Kabelstrecken, welche ohne Reduzierung als PQ-
Knoten mit einer Scheinleistung von 0 behandelt werden mรผssten.
๐๐2โฒ ๐๐22โฒ
DC-Lastfluss
21
U1 U2
I2I1
Y1 U3
I3-I2
Y2
Abbildung 3-4, Schematische Darstellung von seriellen Zweigen
Im ersten Schritt wird ausgehend von der Admittanzmatrix Y eines Zweiges die inverse Kettenmatrix
bestimmt. In der Literatur wird die inverse Kettenmatrix im Allgemeinen mit B bezeichnet, allerdings wird
in diesem Skriptum B bereits fรผr die Suszeptanzmatrix verwendet. Es wird daher fรผr die inverse
Kettenmatrix K verwendet um Verwechslungen zu vermeiden.
๏ฟฝ๐ผ๐ผ1๐ผ๐ผ2๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐11 ๐๐12๐๐21 ๐๐22
๏ฟฝ1๏ฟฝ๐๐1๐๐2๏ฟฝ (3-50)
๏ฟฝ๐๐2โ๐ผ๐ผ2
๏ฟฝ =1๐๐12
๏ฟฝโ๐๐11 1
det๏ฟฝ๐๐๏ฟฝ โ๐๐22๏ฟฝ1๏ฟฝ๐๐1๐ผ๐ผ1๏ฟฝ = ๐ฒ๐ฒ1 ๏ฟฝ
๐๐1๐ผ๐ผ1๏ฟฝ (3-51)
Der Strom I2 wird fรผr die Berechnung von K als negativ gewรคhlt um weitere ฯ-Glieder durch einfache
Matrizenmultiplikationen in Serie schalten zu kรถnnen. Fรผr mehrere Glieder kann die resultierende
inverse Kettenmatrix als Produkt der einzelnen Matrizen berechnet werden.
๏ฟฝ๐๐3โ๐ผ๐ผ3
๏ฟฝ = ๐ฒ๐ฒ2 ๏ฟฝ๐๐2โ๐ผ๐ผ2
๏ฟฝ = ๐ฒ๐ฒ2๐ฒ๐ฒ1 ๏ฟฝ๐๐1๐ผ๐ผ1๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐พ๐พ11 ๐พ๐พ13๐พ๐พ31 ๐พ๐พ33
๏ฟฝ ๏ฟฝ๐๐1๐ผ๐ผ1๏ฟฝ (3-52)
In weiterer Folge kann aus (3-52) die resultierende Ersatzadmittanzmatrix der seriellen Zweige
berechnet werden. Aus den Elementen der Ersatzadmittanzmatrix kรถnnen die Leitungsparameter der
Ersatzleitung bestimmt werden.
๏ฟฝ๐ผ๐ผ1๐ผ๐ผ3๏ฟฝ =
1๐พ๐พ13
๏ฟฝโ๐พ๐พ11 1
det๏ฟฝ๐ฒ๐ฒ๏ฟฝ โ๐พ๐พ33๏ฟฝ1๏ฟฝ๐๐1๐๐3๏ฟฝ (3-53)
4 DC-Lastfluss Der DC-Lastfluss ist eine Linearisierung des allgemeinen AC-Lastflusses. Die Linearisierung basiert auf
den folgenden drei Annahmen:
1. Fรผr die Zweige wird vorausgesetzt, dass der Widerstandsbelag im Vergleich zu dem
Induktivitรคtsbelag vernachlรคssigbar klein ist und die Querkapazitรคten ebenfalls nicht betrachtet
werden mรผssen. Durch die gewรคhlte Vereinfachung gehen die Netzverluste nicht in den
Lastfluss ein.
Z๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ (4-1)
DC-Lastfluss
22
Fรผr den DC-Lastfluss ist es in der Folge ausreichend, anstelle der komplexen
Zweigadmittanzdiagonalmatrix Yd eine Zweigsuszeptanzdiagonalmatrix Bd zu verwenden. Die
daraus resultierende Systemsuszeptanzmatrix wird mit B bezeichnet.
๐ฉ๐ฉ๐๐ =
โฃโขโขโขโก
1๐๐1
0 0
0 โฑ 0
0 01๐๐๐๐โฆโฅโฅโฅโค
(4-2)
๐ฉ๐ฉ = ๐จ๐จ๐๐๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ (4-3)
2. Das Spannungsprofil wird รผber das gesamte Netz als flach angenommen, das heiรt alle
Knotenspannungen sind im Per-Unit-System gleich groร.
Ui โ 1 โ ๐พ๐พ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ (4-4)
3. Die Spannungswinkel zwischen benachbarten Knoten werden als klein angenommen. Dadurch
kรถnnen die trigonometrischen Terme der AC-Lastflussgleichungen linearisiert werden.
sin (๐ฟ๐ฟ๐๐ โ ๐ฟ๐ฟ๐๐) โ ๐ฟ๐ฟ๐๐ โ ๐ฟ๐ฟ๐๐ (4-5)
cos (๐ฟ๐ฟ๐๐ โ ๐ฟ๐ฟ๐๐) โ 1 (4-6)
Aus den Annahmen fรผr den DC-Lastfluss kann abgeleitet werden, dass nur Wirkleistungslastflรผsse
berechnet werden, sowie perfekte Spannungsstรผtzung, Blindleistungsmanagement und
vernachlรคssigbare รbertragungsverluste vorausgesetzt werden.
Dadurch, dass der DC-Lastfluss eine Linearisierung des allgemeinen Lastflusses ist, hat der gewรคhlte
Arbeitspunkt auf die Linearisierung einen Einfluss, welcher aber nur gering ist. In der Praxis kรถnnen
daher die gleichen DC-Lastflussgleichungen fรผr alle mรถglichen Arbeitspunkte verwendet werden,
solange es keine รnderung in der Topologie gibt.
4.1 Grundlegende DC-Lastflussgleichungen - PTDF Die Lastflussgleichungen (3-36) und (3-37) werden mit den Annahmen fรผr den DC-Lastflusses weiter
vereinfacht:
๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
sin๏ฟฝ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๏ฟฝ โ1๐๐๐๐๐๐
(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐) (4-7)
๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐๐2
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
cos๏ฟฝ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๏ฟฝ โ 0 (4-8)
DC-Lastfluss
23
Die Zweigleistungen kรถnnen mit Hilfe der Inzidenzmatrix und der Zweigsuszeptanzmatrix berechnet
werden.
๐๐๐ฟ๐ฟ = ๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ โ ๐น๐น (4-9)
Die Knotenleistung Pi wird, wie beim AC-Lastfluss, aus der Summe aller Zweigleistungen Pij gebildet. In
der Menge ฮฝi sind die mit Knoten i verbundenen Knoten angegeben.
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ1๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๏ฟฝ๐๐ โ ๐๐๐๐
(4-10)
Die Knotenleistungen des gesamten Netzes kรถnnen mit Hilfe der Admittanzmatrix bzw. der
Inzidenzmatrix und den Zweigadmittanzen, berechnet werden.
๐๐๐๐ = ๐จ๐จ๐๐๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ โ ๐น๐น = ๐ฉ๐ฉ โ ๐น๐น (4-11)
Fรผr die Berechnung des DC-Lastflusses muss, wie auch beim AC-Lastfluss, ein Slackknoten definiert
werden. An diesem Knoten ist der Spannungswinkel mit 0 vorgegeben und muss aus dem Set an
Gleichungen eliminiert werden um die Singularitรคt in den Matrizen zu verhindern. Die Eliminierung
entspricht der Reduzierung der auf den Slackknoten referenzierten Spalte und Zeile der Matrix YB, der
dem Slackknoten zugeordneten Spalte der Matrix BdA und den entsprechenden Eintrรคgen in p und ฯ.
Diese Reduktion kann rechnerisch einfacher implementiert werden, indem die dem Slackknoten
zugeordnete Spalte in A eliminiert wird. Als zusรคtzliche Gleichung, um eine eindeutige Lรถsung zu
erhalten, wird die Summe aller Knotenleistungen, welche ident 0 sein muss, benรถtigt.
๏ฟฝ๐๐๐๐
๐๐
๐๐=1
= 0 (4-12)
Aus den Gleichungen (4-9) und (4-11) kann ein linearer Zusammenhang zwischen den Zweigleistungen
und den Knotenleistungen berechnet werden.
๐๐๐ฟ๐ฟ = (๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ)( ๐จ๐จ๐๐๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ)โ1 โ ๐๐๐๐ = ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท โ ๐๐๐๐ (4-13)
Fรผr die Berechnung der Power Transfer Distribution Faktor Matrix (PDTF) mรผssen die reduzierten
Matrizen verwendet werden, wodurch die Matrix fรผr ein Netzwerk mit L Zweigen und N Knoten die
Dimension Lx(N-1) hat. Das Element PTDFln gibt den durch eine Leistungsinjektion von 1 p.u. im Knoten
n und Leistungsentnahme von 1 p.u. im Slackknoten verursachten Lastfluss รผber die Leitung l an. Die
Werte der einzelnen Elemente sind daher von der Wahl des Slackknoten beeinflusst.
Anzumerken ist, dass der einfache Zusammenhang zwischen Knotenleistung und Zweigleistung,
welcher sich aus den Gleichungen (4-9) und (4-11) zu
๐๐๐๐ = ๐จ๐จ๐๐ โ ๐๐๐ณ๐ณ (4-14)
ableiten lรคsst, wegen der Nichtexistenz der Inversen von A nicht umkehrbar ist.
DC-Lastfluss
24
4.2 Phasenschiebertransformatoren im DC-Lastfluss - PSDF Im DC-Lastfluss kรถnnen Phasenschiebertransformatoren (PST) als einfache Winkelรคnderung ฮฑij
zwischen den Anschlussknoten i und j implementiert werden. Die erweiterten Gleichungen fรผr die Zweig-
und Knotenleistungen ergeben sich zu
๐๐๐๐๐๐ =1๐๐๐๐๐๐
(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ฮฑij) (4-15)
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ1๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ฮฑij๏ฟฝ๐๐ โ ๐๐๐๐
(4-16)
und kรถnnen mit den entsprechenden Matrizen รผbergefรผhrt werden in
๐๐๐ฟ๐ฟ = ๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ โ ๐น๐น + ๐ฉ๐ฉ๐๐ โ ๐ถ๐ถ (4-17) ๐๐๐๐ = ๐จ๐จ๐๐๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ โ ๐น๐น + ๐จ๐จ๐๐๐ฉ๐ฉ๐๐ โ ๐ถ๐ถ (4-18)
Werden diese beiden Gleichungen zusammengefรผhrt erhรคlt man einen linearen Zusammenhang
zwischen den Zweigleistungen und den Knotenleistungen sowie den Phasenschieberwinkeln, welcher
mit Hilfe der schon bekannten PTDF Matrix und der Phase Shift Distribution Faktor PSDF Matrix
beschrieben wird.
๐๐๐ฟ๐ฟ = ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท โ ๐๐๐๐ + ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท โ ๐ถ๐ถ (4-19) mit
๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท = ๐ฉ๐ฉ๐๐ โ (๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ)( ๐จ๐จ๐๐๐ฉ๐ฉ๐๐๐จ๐จ)โ1(๐จ๐จ๐๐๐ฉ๐ฉ๐๐) (4-20)
Fรผr die Berechnung der PSDF Matrix mรผssen, wie schon fรผr die PTDF, die reduzierten Matrizen
verwendet werden. Das Element PSDFllโ gibt hierbei die รnderung der รผbertragenen Leistung des
Zweigs l fรผr eine Winkelรคnderung von 1 rad im Zweig lโ an. Das Vorzeichen der Leistungsรคnderung ist
durch das Vorzeichen der Winkelรคnderung in den Gleichungen (4-15) und (4-16) festgelegt. In diesem
Skriptum wurde sie so gewรคhlt, dass eine positive Winkelรคnderung zu einer positiven
Leistungsรคnderung im zugehรถrigen Zweig fรผhrt. Im Gegensatz zu den Elementen der PTDF Matrix sind
die Werte der PSDF Matrix von dem gewรคhlten Slackknoten unabhรคngig.
Fรผr die Berechnung der PSDF wurde bisher angenommen, dass in jedem Zweig ein PST vorhanden ist
und dadurch auch eine Winkelรคnderung auftritt und die Dimension folglich fรผr ein Netz mit L Zweigen
LxL ist. In der Realitรคt sind allerdings nur die wenigsten Zweige mit PSTs ausgestattet und in allen
anderen Zweigen sind die Winkelรคnderungen ident Null. Die PSDF kann daher auf die den PST-
Zweigen zugeordneten Spalten reduziert werden und hat fรผr ein Netz mit L Zweigen und Lโ PST-
Zweigen die Dimension LxLโ.
DC-Lastfluss
25
4.3 Auswirkung von Zweigausfรคllen im DC-Lastfluss โ LODF Neben einer schnellen Berechnung der Wirkleistungsflรผsse kann mit Hilfe des DC-Lastflusses auch die
Auswirkung von Ausfรคllen von einzelnen Zweigen berechnet werden. Fรผr die Analyse der mรถglichen
Ausfallszenarien ist es sinnvoll, dass das System in ausgefallene Zweige und verbleibende Zweige und
den dazugehรถrenden Inzidenzmatrizen zu unterteilt wird. Es wird dafรผr die folgende Notation verwendet:
R Index fรผr die Menge der verbleibende (remaining) Zweige
O Index fรผr die Menge der ausgefallenen (outage) Zweige
ฮฆ Knoten-verbleibende-Zweige-Inzidenzmatrix, entspricht den Spalten R in AT
ฮจ Knoten-ausgefallene-Zweige-Inzidenzmatrix, entspricht den Spalten O in AT
b Base case, Vorfehlerzustand
c Post contingency case, Nachfehlerzustand
Mit Hilfe dieser Definition lassen sich die korrespondierenden Teilmatrizen der PTDF und PSDF folgend
allgemein berechnen:
๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ = (๐ฉ๐ฉ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐)๐ฉ๐ฉโ1 (4-21)
๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ฉ๐ฉ๐๐๐ ๐ โ ๐ฉ๐ฉ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐ฉ๐ฉโ1 โ (๐๐ โ ๐ฉ๐ฉ๐๐๐ ๐ ) (4-22)
๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐๐๐ ๐ = ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐๐๐๐ = โ๐ฉ๐ฉ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐ฉ๐ฉโ1 โ (๐๐ โ ๐ฉ๐ฉ๐๐๐ ๐ ) (4-23)1
Die zu der Menge O gehรถrenden Matrizen kรถnnen durch Einsetzen von BdO und ฮจ fรผr die Suszeptanz-
und Inzidenzmatrizen in Gleichungen (4-21) und (4-22) ermittelt werden.
Der Wirkleistungsfluss nach Ausfall von O Zweigen kann konventionell bestimmt werden, indem die
neue Systemsuszeptanzmatrix Bc aus den Suszeptanzen und Inzidenzmatrizen der Zweige aus R
gebildet wird und die dazugehรถrigen PTDF- und PSDF-Matrizen berechnet werden.
๐ฉ๐ฉ๐๐ = ๐ฑ๐ฑ๐ฉ๐ฉ๐๐๐ ๐ ๐ฑ๐ฑ๐๐ (4-24) ๐๐๐ฟ๐ฟ๐ ๐ ๐๐ = ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ โ ๐ถ๐ถ๐ ๐ (4-25)
Eine alternative Berechnungsmethode ist die Verwendung der Line Outage Distribution Faktor Matrix
(LODF). Das Element LODFro gibt dabei die zusรคtzliche Zweigleistung normiert auf 1 p.u. im Zweig r
nach einem Ausfall von Zweig o an. Durch die Linearitรคt des DC-Lastflusses kann der
Nachfehlerlastfluss in den Zweigen R aus einer รberlagerung des Ausgangszustandes und den durch
den Ausfall der Zweige O verursachten zusรคtzlichen Lastflรผssen berechnet werden:
๐๐๐ฟ๐ฟ๐ ๐ ๐๐ = ๐๐๐ฟ๐ฟ๐ ๐ ๐๐ + ๐ณ๐ณ๐ณ๐ณ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐๐ โ ๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ (4-26)
1 Die Gleichheit von PSDFOR und PSDFROT ist durch die Diagonalsymmetrie der PSDF Matrix gegeben und lรคsst sich durch Anwendung von (AB)T=BTAT auf (4-23) einfach beweisen.
DC-Lastfluss
26
๐ณ๐ณ๐ณ๐ณ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐๐ = ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐๐ โ ๐๐ = ๐ฉ๐ฉ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐ฉ๐ฉ๐๐โ1 โ ๐๐ (4-27)
Aus der Definition der LODF Matrix ist ersichtlich, dass es sich dabei um die Berechnung der
Zweigleistungen eines passiven Netzwerkes, d.h. es werden Leistungen eingespeist bzw. entnommen,
bei รbertragung von 1 p.u. vom Anfangknoten i zum Endknoten j des ausgefallenen Zweigs o. Bei
Betrachtung von mehreren ausgefallenen Zweigen, entspricht jede Spalte der LODF Matrix den
zusรคtzlichen Zweigleistungen des passiven Netzwerks. Folglich ist die Dimension der LODF fรผr ein
Netzwerk mit R nichtausgefallenen Zweigen und O ausgefallenen Zweigen RxO.
Active Network R
i j
Branch O
Active Network R
i j
Branch OPLO
= +Passive Network R
i j
PLO
Branch O
Abbildung 4-1, Schematische Darstellung der Zweigleistung im Nachfehlerzustand mit LODFs
Fรผr die Berechnung von Netzen mit einer groรen Anzahl an Knoten benรถtigen beide Methoden viel
Rechenzeit, da die notwendige Invertierung der Systemsuszeptanzmatrix durchgefรผhrt werden muss.
Bei der Verwendung von der LODF kann die Invertierung umgangen werden, in dem folgende
Berechnung angewendet wird [7]
๐ณ๐ณ๐ณ๐ณ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐๐ = ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ โ ๐๐ โ (๐ฌ๐ฌ โ ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐๐ โ ๐๐)โ1 = ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ ๐ ๐๐ โ (๐ฌ๐ฌ โ ๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐ท๐๐๐๐)โ1 (4-28)
Durch effizientere Berechnung der LODF Matrix wird die benรถtigte Rechenzeit stark reduziert, wobei
die Reduktion von der Anzahl der ausgefallenen Leitungen und der Knoten des betrachteten Netzwerks
abhรคngig ist. Bei Untersuchungen im ENTSO-E-รbertragungsnetz mit 9865 Knoten und 6080 Zweigen
konnte dabei die Rechenzeit um bis zu dem Faktor 10 reduziert werden. Es ist dabei zu betonen, dass
sich bei Betrachtungen von Ausfallkaskaden sich diese Faktoren fรผr jeden Rechenschritt ergeben und
die Gesamtreduktion daher exponentiell mit der Anzahl der Rechenschritte ansteigt.
Ein weiterer Vorteil der Verwendung von LODF Matrizen ist, dass auch Ausfรคlle von
Phasenschiebertransformatoren keine gesonderte Berechnung benรถtigen.
4.4 Abschรคtzung der Genauigkeit Der DC-Lastfluss ist aus den getroffenen Annahmen heraus prinzipiell fehlerbehaftet. Die prozentuelle
Abweichung zwischen AC-Lastflussergebnissen als Referenz und den Ergebnissen kรถnnen wie folgend
abgeschรคtzt werden. Eine genaue Beschreibung ist in [6] und [8] zu finden.
Die erste Vereinfachung, dass Leitungsverluste vernachlรคssigt werden kรถnnen (Zweigimpedanzen rein
induktiv), deckt sich mit steigendem Spannungslevel des Netzes immer besser mit der Realitรคt. Das
durchschnittliche R/X-Verhรคltnis, ermittelt im Belgischen Hochspannungsnetz, reicht von 0,10 fรผr 380
kV zu 0,32 fรผr 70 kV. Der durchschnittliche Fehler in der Lastflussberechnung lรคsst sich fรผr R/X-
Verhรคltnisse unter 0,5 mit unter 5 % und bei R/X-Verhรคltnissen unter 0,2 mit unter 2 % angeben.
DC-Lastfluss
27
Die zweite Annahme fรผr den DC-Lastfluss geht von einem ideal flachen Spannungsprofil รผber das
gesamte betrachtete Netz aus. In der Realitรคt ist es allerdings nahezu unmรถglich ein solches Profil zu
erreichen und Spannungsfluktuationen treten immer auf. Der durchschnittliche Fehler fรผr geringe
Spannungsfluktuationen (kleiner als 0,01 p.u.) kann mit 5 % angegeben werden. Jedoch zeigen
realistische Beispiele weit grรถรere Spannungsfluktuationen, wodurch hier die grรถรte Quelle fรผr
Ungenauigkeiten in der Lastflussberechnung zu finden sind.
Die dritte Annahme, kleine Spannungswinkel zwischen benachbarten Lasten, ist im Allgemeinen
zutreffender je weniger belastet ein Netz ist. In vermaschten Netzen kann aber auch bei Starklast von
geringen Winkeldifferenzen ausgegangen werden und der Linearisierungsfehler kann mit unter 1 %
angenommen werden.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass die Genauigkeit der DC-Lastflussrechnung eine
durchschnittliche Abweichung von ca. 5 % zu dem AC-Lastfluss aufweist. Der Fehler des Lastflusses
รผber einzelne Zweige kann jedoch durch ungรผnstige Verhรคltnisse stรคrker abweichen. Des Weiteren ist
festzuhalten, dass die Abweichung des DC-Lastfluss zu den realen Lastflรผssen im Allgemeinen grรถรer
sein wird, da durch Netzwerkvereinfachungen und von der Realitรคt abweichenden Daten auch der AC-
Lastfluss den realen Lastfluss nicht vollstรคndig beschreiben kann.
[6]โ[8]
Literaturverzeichnis
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5 Literaturverzeichnis
[1] H. Renner, โRegelung und Stabilitรคt Skriptum,โ 2013.
[2] J. Machowski, J. W. Bialek, and J. R. Bumby, Power System Dynamics: Stability and Control,
2nd ed. Re. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2008.
[3] P. Kundur and R. I. E. Power, โPower system stability and control,โ p. 1โ23+1176 s, 1994.
[4] J. Bacher, Skriptum zu โElektrische Maschinen fรผr die Energietechnik.โ 2013.
[5] L. Fickert and H. Renner, โElektrische Energiesysteme 1 Skriptum,โ 2008.
[6] K. Van Den Bergh, E. Delarue, and W. Dโhaeseleer, โDC power flow in unit commitment models,โ
TME Work. Pap. Environ., no. May, pp. 1โ38, 2014.
[7] J. Guo, Y. Fu, Z. Li, and M. Shahidehpour, โDirect calculation of line outage distribution factors,โ
IEEE Trans. Power Syst., vol. 24, no. 3, pp. 1633โ1634, 2009.
[8] K. Purchala, L. Meeus, D. Van Dommelen, and R. Belmans, โUsefulness of DC Power Flow for
Active Power Flow Analysis,โ Power Eng. Soc. Gen. Meet., pp. 454โ459, 2005.