BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO II
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 1 - PRÉ-ESFORÇO
Carla Marchão Júlio Appleton
Ano Lectivo 2004/2005
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 1
1.1. VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO................................................................. 1
2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO .................................................................. 1
2.1. PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO.................................................................................... 1 2.2. PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO.................................................................................... 1
3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO.................................................. 2
3.1. ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO....................................................................................... 2 3.2. ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO..................................................................................... 3 3.3. BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................ 3 3.4. SISTEMAS DE INJECÇÃO................................................................................................. 3
4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................. 4
5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO .............................. 5
5.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO............................................................................... 5 5.2. TRAÇADO DO CABO........................................................................................................ 5
5.2.1. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço............... 5 5.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL ............................................... 6
6. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS............................................... 13
6.1. EQUAÇÃO DA PARÁBOLA .............................................................................................. 13 6.2. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS................... 14 6.3. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO – TROÇO RECTO....... 14
7. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO............................................................. 15
7.1. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS CABOS
SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES).......................................................................... 15 7.2. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO ............................................................................ 15 7.3. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES ................................................................ 15
7.3.1. Zona das ancoragens........................................................................................ 15 7.3.2. Traçado parabólico............................................................................................ 16 7.3.3. Traçado poligonal.............................................................................................. 16
8. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO......................................................................... 21
8.1. FORÇA MÁXIMA DE TENSIONAMENTO ............................................................................. 21 8.2. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO ........................................................................................... 21
8.2.1. Perdas por Atrito ............................................................................................... 22 8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)............................................. 23 8.2.3. Perdas por deformação instantânea do betão................................................... 24 8.2.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço ............................... 24 8.2.5. Perdas por retracção do betão .......................................................................... 29 8.2.6. Perdas por fluência do betão............................................................................. 29 8.2.7. Perdas por relaxação da armadura ................................................................... 29
9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS........................... 33
9.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO ............................................................................... 33 9.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO ........................................................ 34
10. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ...................... 39
10.1. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESMAGAMENTO DO BETÃO ........................................... 39 10.2. DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DE REFORÇO NA ZONA DAS ANCORAGENS .................. 40
10.2.1. Modelos de escoras e tirantes........................................................................... 40 10.2.2. Tensões de tracção a absorver ......................................................................... 41
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 1
1. Introdução 1.1. VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO
Vencer vãos maiores
Maiores esbeltezas
Diminuição do peso próprio
Melhoria do comportamento em serviço
Utilização racional dos betões e aços de alta resistência
2. Técnicas e sistemas de pré-esforço
2.1. PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO
As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão;
A transferência de força é realizada por aderência;
É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços
de amarração).
2.2. PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO
As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência
necessária;
A transferência é realizada quer nas extremidades, através de dispositivos
mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longo das
armaduras.
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 2
3. Componentes de um sistema de pré-esforço
3.1. ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO
As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter
as seguintes formas:
• fios Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm
Designação Secção nominal
[cm2]
Diâmetro
[mm]
0.5” 0.987 12.7
0.6”N 1.4 15.2
• cordões (compostos por 7 fios)
0.6”S 1.5 15.7
• barras
Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm
(podem ser lisas ou roscadas)
Características dos aços de alta resistência utilizados em armaduras de pré-esforço:
fp0,1k [Mpa] fpk [Mpa] Ep [Gpa]
fios e cordões 1670 1860 195 ± 10
barras 835 1030 170
Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha)
Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas
de pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem).
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 3
3.2. ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO
• Activas
Permitem o tensionamento
• Passivas
Ficam embebidas no betão
• De continuidade
(acoplamentos) Parte passiva, parte activa
3.3. BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO
• Metálicas
• Plásticas
3.4. SISTEMAS DE INJECÇÃO
• Materiais rígidos (ex: calda de cimento)
• Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras)
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 4
4. Efeito do Pré-Esforço
O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicação
em estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais.
Considere-se a seguinte viga pré-esforçada:
pp
Apresenta-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada
(secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para as
seguintes situações:
A – acção do pré-esforço isolado
B – Acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio)
C – situação após a aplicação do pré-esforço
eP0
+
-
A
P0ε+
B
-
+
+ Mpp = -
C
+εP0
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 5
5. Pré-dimensionamento de um elemento pré-esforçado
5.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO
A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h ≅ L15 a 20.
5.2. TRAÇADO DO CABO
A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços das
cargas permanentes.
5.2.1. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço
0.35L a 0.5LL
0.05L a 0.15L
1.5 Øbainha
1.5 Øbainha
• Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau)
• Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota)
• Sempre que possível, nas extremidades, os cabos deverão situar-se dentro do
núcleo central da secção
• O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade
da secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes
• Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limites
correspondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessários
para resistir às forças de ancoragem
Notas:
i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para
as bainhas dos cabos de pré-esforço: cmin = min (φbainha; 0.08 m);
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 6
ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos de
excentricidade máxima;
iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que,
simplificadamente pode ser obtido pela expressão Rmin = 3 Pu (onde Pu
representa a força útil em MN).
5.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL
O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimada através dos seguintes critérios:
• Critério do balanceamento das cargas
qeq ≅ (0.8 a 0.9) qcqp
ou, de uma forma mais rigorosa,
• Critério da limitação da deformação
δpe = (0.8 a 0.9) δcqp, tal que no final δtotal = (1 + ϕ) (δcqp – δpe) ≤ δadmissível
com δadmissível ≅ L 500 a L
1000 (dependente da utilização da obra)
• Critério da descompressão
EC2 – parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar
Tabela 7.1N Valores recomendados para wmáx (mm)
Classe de
exposição
Elementos de betão armado ou pré-
esforçado (p.e. não aderente)
Elementos de betão pré-esforçado
(p.e. aderente)
Comb. quase-permanente de acções Combinação frequente de acções
X0, XC1 0.4 0.2
XC2, XC3, XC4 0.2(1)
XD1, XD2,
XS1, XS2, XS3
0.3 Descompressão
(1) Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 7
A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita
se, nas secções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no
interior da zona comprimida e a uma distância de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m
relativamente à zona traccionada, para estruturas de edifícios ou pontes,
respectivamente.
Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem
tracções ao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida)
por efeito dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço.
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 8
EXERCÍCIO PE1
Considere a viga indicada na figura seguinte.
e1 = 0.15 e2 = 0.38 e5e3 e4 = -0.22 e6 = -0.10
8.00 8.00 4.00 1.00 4.00
Parábola Parábola ParábolaParábola Recta
A B C D
Secção Transversal da Viga:
1.50
0.20
0.50
0.20
0.300.80
0.53
0.37
Propriedades Geométricas da Secção:
A = 0.61 m2
I = 0.0524 m4
Materiais:C30/37
A400NR
A1600/1800 (baixa relaxação)
Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções:
Q
q
pp + rcp
- Cargas permanentes (γg = 1.35): pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m
- sobrecargas (γq = 1.5; ψ1 = 0.6; ψ2 = 0.4): q = 20 kN/m e Q = 100 kN
Nota: q e Q actuam em simultâneo
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 9
a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quase permanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kN. b) Qual o valor de P∞ que seria necessário para garantir a descompressão para a combinação quase permanentes de acções, nas secções B e C? c) Qual o valor de P∞ que seria necessário para garantir a condição σc < fctk para combinação frequente de acções nas secções B e C? d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura. e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço. f) Qual o valor de P∞ que seria necessário para contrariar 80% de deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes? g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P∞ = 0.86 P0 e P0 = 0.90 P’0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 fpk. h) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformação instantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos. i) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação das armaduras). j) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite último de flexão. l) Calcule a área de armadura transversal.
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 10
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1
ALÍNEA A)
1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes
pcqp = cp + ψ2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 × 20 = 38 kN/m
Qcpq = ψ2 Q = 0.4 × 100 = 40 kN
pcqp
Qcqp
R1 R2
20.00 5.00
DEV[kN]
DMF[kNm] 8.00
(+)
1554.0
(-)
675.0
(+) (+)
(-)
346.3
413.8
230.040.0
Σ MB = 0 ⇔ – R1 × 20 + 38 × 20 × 10 – 40 × 5 – 38 × 5 × 2.5 = 0 ⇒ R1 = 346.3 kN
⇒ R2 = 38 × (20 + 5) + 40 – 346.3 = 643.8 kN
2. Cálculo das tensões na secção B
(i) Características geométricas da secção B
0.37
0.530.38
1.50
G
A = 0.61 m2
I = 0.0524 m2
winf = I vinf = 0.0524
0.53 = 0.09886m3
wsup = I vsup = 0.0524
0.37 = 0.1416m3
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 11
(ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço
(-)
P
Mcqp
P / A
+
(+)
(-)
P x eω
(-)
(+)
Mcqp ω
+
σinf = - P A -
P × e winf
+ Mcqp winf
= - 1000 0.61 - 1000 × 0.38
0.09886 + 1554 0.09886 = 10.2MPa
σsup = - P A + P × e
wsup - Mcqp
wsup = - 1000
0.61 + 1000 × 0.38 0.1416 - 1554
0.1416 = - 9.9MPa
ALÍNEA B)
1. Secção B
(+)
+
ω
(-)
ω
(-)
(+)
+
P / A
MB
P
(-)
MB P x e
∞
∞∞
σinf < 0 ⇔ - P∞ A - P∞ × e
w + MB w < 0 ⇔ - P∞
0.61 - P∞ × 0.38 0.09886 + 1554
0.09886 < 0 ⇔
⇔ P∞ > 2866.8 kN 2. Secção C
MC (-) + +
(+)
∞P
(-)
MC ∞∞
P x eP / A
(+)
ω
(-)
ω
σsup < 0 ⇔ - P∞ A - P∞ × e
w + MC w < 0 ⇔ - P∞
0.61 - P∞ × 0.22
0.1416 + 675 0.1416 < 0 ⇔
⇔ P∞ > 1492.9 kN
⇒ P∞ > 2866.8 kN
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 12
ALÍNEA C)
1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente
pfr = cp + ψ1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 × 20 = 42 kN/m
Qfr = ψ1 Q = 0.6 × 100 = 60 kN
pfr
20.00
DMF[kNm] 8.00
1686.0
(+)
R1
825.0
(-)
5.00
R2
Qfr
Σ MB = 0 ⇔ – R1 × 20 + 42 × 20 × 10 – 60 × 5 – 42 × 5 × 2.5 = 0 ⇒ R1 = 378.8 kN
⇒ R2 = 42 × (20 + 5) + 60 – 378.8 = 731.3 kN
2. Secção B
σinf < fctk ⇔ - P∞ A - P∞ × e
w + MB w < fctk ⇔ - P∞
0.61 - P∞ × 0.38 0.09886 + 1686
0.09886 < 2 × 103 ⇔
⇔ P∞ > 2745.6 kN
3. Secção C
σsup < fctk ⇔ - P∞ A - P∞ × e
w + MC w < fctk ⇔ - P∞
0.61 - P∞ × 0.22
0.1416 + 825 0.01416 < 2 × 103 ⇔
⇔ P∞ > 1198,3 kN ⇒ P∞ > 2745.6 kN
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 13
6. Características dos traçados parabólicos
6.1. EQUAÇÃO DA PARÁBOLA
Equação geral da parábola: y = ax2 + bx + c (para determinar os parâmetros a, b e c é necessário conhecer 3 pontos)
x1 x3 x2
y1
y2
y3
Caso se utilize um referencial local:
1) x
y
y = ax2 + c
(y’ (0) = 0 ⇒ b = 0)
2)
x
y
y = ax2
(y’ (0) = 0 ⇒ b = 0 e y (0) = 0 ⇒ c = 0)
Determinação do parâmetro a
f
f
θθ
L/2L/2
tg θ = 2f L/2 = 4f
L
i) y’ (- L/2) = 2a × L/2 = tg θ ⇒ a = 4f L2 ou
ii) y (L/2) = f ⇔ a ×
L
2
2
= f ⇒ a = 4f L2
Determinação da curvatura da parábola
1 R = - y" (L/2) = 2a = 8f
L2
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 14
6.2. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS
e1f1
L1 L2
e2f2
O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, f1 L1 = e1 + e2
L1 + L2 ⇒ f1 = L1 L1 + L2 (e1 + e2) e f2 = (e2 + e1) – f1
6.3. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO – TROÇO RECTO
L1
ff
eθ
L2
tg θ = e - f L1
= e + f L2
⇔ (e – f) L2 = (e + f) L1 ⇔ e L2 – f L2 + f L1 ⇔
⇔ f L1 + f L2 = e L2 – e L1 ⇔ f (L1 + L2) = e (L2 – L1) ⇔ f = e (L2 - L1) L1 + L2
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 15
7. Cargas equivalentes de pré-esforço
A acção do pré-esforço pode ser simulada através de cargas – cargas equivalentes de
pré-esforço.
7.1. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS
CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES)
Forças nas ancoragens;
Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão.
7.2. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO
Forças nas ancoragens;
Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamente
opostas às que o betão exerce sobre o cabo.
7.3. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES
7.3.1. Zona das ancoragens
P P⇔
P tgα
P eα
Nota: tg α ≅ sen α e cos α ≅ 1
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 16
7.3.2. Traçado parabólico
Considere-se o seguinte troço infinitésimal de cabo de pré-esforço, e as acções que o
betão exerce sobre este,
R
P+dPP
dβ
q* ds
ds
dβ/2
ds = R dβ ⇒ dβ ds = 1
R
P dβ 2 + (P + dP)
dβ 2 = q* ds
P dβ = q* ds ⇒ q* = P dβ ds ou q* = P
R
Notas:
- ângulo muito pequeno ⇒ sen dβ 2 ≅ dβ
2
≅ tg dβ
2 e cos dβ 2 ≅ 1;
- consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio.
Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado,
f
f
L/2
β
L/2
tg β = dβ 2 = 2 f
L/2 = 4 f L (1)
ds ≅ L (2)
A partir de (1) e (2), obtém-se
dβ ds = 8 f
L2 ⇒ q* = 8 f P L2
7.3.3. Traçado poligonal
L1
f βQ*
Q*q*
s
tg β = f L1
Q* = q* ds = P dβ = P f L1 ⇔
⇔ Q* = P tg β
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 17
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO)
ALÍNEA D)
8.008.00
Parábola 1
e2 = 0.38
Parábola 3
4.00
Parábola 2 RectaParábola 4
4.001.00
e4 = -0.22 e6 = -0.10e1 = 0.15
(i) Parábola 1
8.00
0.23x
y
y = ax2
y(8) = 0.23 ⇔ a × 82 = 0.23
⇒ a = 3.59375 × 10-3
y(x) = 3.59375 × 10-3 x2
(ii) Parábola 2 1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão
12.00
0.6
8.00
x
12 8 = 0.6
x ⇒ x = 0.4
2. Determinação da equação da parábola
8.00
x
y
0.4
y = ax2
y (8) = 0.4 ⇒ a = 6.25 × 10-3
y (x) = 6.25 × 10-3 x2
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 18
(iii) Parábola 3
x
y4.00
0.2
y = ax2
y (4) = 0.2 ⇒ a = 0.0125
y (x) = 0.0125 x2
(iv) Parábola 4 e troço recto
x
yx
y 1.00 4.000.12
1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância
ff
1.0
θ
y’ (1, 0) = tg θ = 2 f
tg θ = 0.12 + f 5
⇒ 2 f = 0.12 + f 5 ⇔ 10 f = 0.12 + f ⇒ f = 0.01333 m
2. Determinação das equações da parábola e do troço recto
Parábola 4: y (1) = 0.01333 ⇒ y (x) = 0.01333 x2
Troço recto: y = mx + b = 2 × 0.01333 x ⇒ y (x) = 0.02667 x
ALÍNEA E)
1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P∞ = 1000 kN)
q = 8 f P∞ L2
Parábola f [m] L [m] q [kN/m]
1 0.23 16 7.2
2 0.4 16 12.5
3 0.2 8.0 25.0
4 0.0133 2.0 26.6
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 19
2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo Extremidade Esquerda
tg α = y’ (8) = 2 × 3.59375 × 10-3 × 8 = 0.0575
P × tg α = 57.5 kN
P × e = 1000 × 0.15 = 150.0 kNm
Extremidade Direita
tg α = y’ (1) = 0.02667
P × tg α = 26.7 kN
P × e = 1000 × 0.10 = 100.0 kNm
1.008.00
26.6 kN/m
8.00
25.0 kN/m12.5 kN/m7.2 kN/m
4.00 4.00
57.5 kN
1000 kN
150.0 kNm1000 kN
26.7 kN
100.0 kNm
como curiosidade,
Σ Feq = - 57.5 + 7.2 × 8 + 12.5 × 8 - 25.0 × 4 - 26.6 × 1 + 26.7 ≅ 0
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 20
ALÍNEA F)
1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quase-
permanentes
Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão
do tramo apoiado é dada por:
δ = 1 EI
5pL4
384 + L2
16 ( )M1 + M2
onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e
entram na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de
materiais.
Deste modo,
δ = 1 32×106 × 0.0524
5 × 38 × 204
384 + 202 16 ( )0 - 675.0 = 0.037 m
2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço
A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação
das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P∞ = 1000 kN
(cargas equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada:
δ = 0.010 m
3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% da
deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes
δpe = 0.8 δcqp = 0.8 × 0.037 = 0.030 m
⇒ P∞ = 1000 × 0.030/0.010 = 3000 kN
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 21
8. Valor da força de pré-esforço
8.1. FORÇA MÁXIMA DE TENSIONAMENTO
De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pela
seguinte expressão
Pmáx = Ap ⋅ σp,máx
onde, σp,máx = min (0.8 fpk; 0.9 fp0,1k) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordões.
8.2. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO
Perdas instantâneas (8% – 15%)
Pós-tensão
• Perdas por atrito
• Perdas por reentrada de cabos
• Perdas por deformação instantânea do betão
Pré-tensão
• Relaxação da armadura até à betonagem
• Escorregamento nas zonas de amarração
• Deformação instantânea do betão
Perdas diferidas (12% – 15%)
• Perdas por retracção do betão
• Perdas por fluência do betão
• Perdas por relaxação da armadura
P0’ ( força de tensionamento) →8% – 15%
P0 →12% – 15%
P∞ P0 – força de pré-esforço após perdas imediatas P∞ – força de pré-esforço útil ou a tempo infinito
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 22
8.2.1. Perdas por Atrito
dβ/2
P q* ds
dβ
P+dP
µ q* ds = µ P dβ
ds
(Fa = µN) q* ds = P dβ
Por equilíbrio de forças horizontais,
P – P – dP – µ P dβ = 0 ⇔ dP = – µ P dβ ⇔ dP P = – µ dβ ⇔
⇔ ⌡⌠
P0'
P0 1 P dP = ⌡⌠0
β - µ dβ ⇔ Log P0 - Log P0' = - µ × β ⇔ Log P0
P0' = – µβ ⇔
⇔ P0 P0' = e-µβ ⇔ P0 = P0’ × e-µβ
Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento,
P0 (x) = P0’ e-µ(β+kx)
onde, µ representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20);
β representa a soma dos ângulos de desvio;
k representa o desvio angular parasita (valor máximo 0.01 m-1; geralmente 0.004 a 0.005m-1), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento dos cabos de pré-esforço.
Esta expressão também pode aparecer com a forma, P0 (x) = P0’ e-(µβ + k’x) (neste caso k’ = kµ)
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 23
8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)
∆P
P0'
P0(x)
x
P
ωL
∆L – comprimento de reentrada das cunhas (≅ 6mm) ω – comprimento até onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo com curvatura aproximadamente constante),
∆L = ⌡⌠0ω ∆ε dx = ⌡
⌠0
ω ∆σ Ep dx = 1
Ep × Ap ⌡⌠0
ω ∆P dx ⇔ Adiagrama = ∆L × Ep × Ap
⇒ ∆P × ω 2 = ∆L × Ep × Ap (1)
Como ∆P 2 = p × ω ⇔ ∆P = 2 p ω (2)
onde p representa a perda de tensão por atrito, por metro (declive do diagrama) Substituindo (2) em (1) obtém-se, 2 p ω × ω
2 = ∆L × Ep × Ap ⇔ ω = ∆L × Ep × Ap p
8.2.2.1. Casos particulares
(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.)
x
P
P0'
∆P
∆L × Ep × Ap
L
∆P × L = ∆L × Ep × Ap ⇔
⇔ ∆P = ∆L × Ep × Ap L
L – comprimento do cabo
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 24
(ii) Se ω > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pré-esforço mais condicionante)
P
P0'
∆P
L x
p × L∆L × Ep × Ap
∆P×L–p×L×L=∆L×Ep×Ap ⇔
⇔ ∆P = ∆L L × Ep× Ap + p×L
L – comprimento do cabo
8.2.3. Perdas por deformação instantânea do betão
A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão:
∆Pel = Ap ⋅ Ep ⋅ ∑
j ⋅ ∆σc(t)
Ecm(t)
onde, Ecm(t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do pré-esforço;
j = (n-1) / 2n , onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos, tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal;
∆σc(t) representa a tensão no betão, ao nível do centro de gravidade dos cabos de pré-esforço, para a totalidade do efeito do pré-esforço (após perdas por atrito e reentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes.
8.2.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço
∆L = ⌡⌠0 Lε dz = ⌡
⌠0
L P Ap Ep dz = 1
Ap Ep ⌡⌠
0 L P dz
Papós atrito [kN]
P0'
L x [m]
Papós at. (L)∆L ≅ P0' + Papós atrito (L)
2 Ap Ep ×L
Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos.
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 25
ALÍNEA G)
P∞ = 2866.8 kN (valor resultante da verificação da descompressão)
P0 = P∞ 0.86 = 2866.8
0.86 = 3333.5 kN
P0’ = P0 0.9 = 3333.5
0.9 = 3703.9 kN
P0' = 0.75 Fpk ⇒ Ap = P0' 0.75 × 1800 × 103 × 104 = 27.4 cm2
nº de cordões = Ap Acordão
= 27.4 1.4 = 20 cordões ⇒ 2 cabos de 10 cordões de 0.6"
P0’ = 10 × 2 × 1.4 × 10-4 × 1800 × 103 × 0.75 = 3780 kN ALÍNEA H)
1. Cálculo das perdas por atrito
P0 (x) = P0’ e-µ (β + kx) (Adopta-se µ = 0.20 e k = 0.004)
4.008.00
e1 = 0.15
8.00
e2 = 0.38 e4 = -0.22
4.00 1.00
e6 = -0.10
21 3 4 5 6Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Par. 4 Recta
e3 = -0.02 e5 = -0.21
Cálculo dos ângulos de desvio
(i) Parábola 1
y’ (8) = 2 × 3.59375 × 10-3 × 8 = 0.0575
(ii) Parábola 2
y’ (8) = 6.25 × 10-3 × 2 × 8 = 0.1
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 26
(iii) Parábola 3
y’ (4) = 2 × 0.0125 × 4 = 0.1
(iv) Parábola 4
y’ (1) = 2 × 0.01333 = 0.02666
Secção x [m]
β [rad]
Papós atrito [kN] % perdas
1 0 0 3780.0 0
2 8 0.0575 3712.9 1.8
3 16 0.1575 3616.2 4.3
4 20 0.2575 3533.3 6.5
5 21 0.2842 3511.6 7.1
6 25 0.2842 3500.4 7.4
2. Cálculo das perdas por reentrada das cunhas
(i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas (ω)
1ª Iteração
3000
3200
3400
3600
3800
4000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito
x = 8.0m ⇒ p = 3780 - 3712.9 8 = 8.39 kN/m
ω = ∆L × Ep × Ap P = 0.006 × 195 × 106 × 20 × 1.4 × 10-4
8.39 = 19.8 m
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 27
2ª Iteração
3000
3200
3400
3600
3800
4000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
x = 20.0m ⇒ p = 3780 - 3533.3 20 = 12.34 kN/m (admitindo que a perda por atrito é
aproximadamente linear)
ω = 0.006 × 195 × 106 × 20 × 1.4 × 10-4
12.34 = 16.3 m
(ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas (ω)
∆P = 2pω = 2 × 2.34 × 16.3 = 402.3 kN
402.3
0 8 16.316
204.97.4
402.3 x = 16.3
8.3 ⇒ x = 204.9 kN
402.3 x = 16.3
0.3 ⇒ x = 7.4 kN
Secção x [m]
Papós atrito [kN]
∆Preentrada [kN]
Papós reentrada [kN] % perdas
1 0 3780.0 402.3 3377.7 10.6
2 8 3712.9 204.9 3508.0 7.2
3 16 3616.2 7.4 3608.8 4.5
4 20 3533.3 0 3533.3 6.5
5 21 3511.6 0 3511.6 7.1
6 25 3500.4 0 3500.4 7.4
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 28
3. Cálculo das perdas por deformação instantânea do betão
Admitindo que o pré-esforço é aplicado aos 28 dias,
Ecm(t = 28) = 32 GPa ; Ep = 195 GPa
∆Pel = Ap ⋅ Ep ⋅ ∑
j ⋅ ∆σc(t)
Ecm(t) = Ap ⋅ Ep ⋅ n - 1 2n ⋅ ∆σc(t)
Ecm(t)
Secção 2
8.00143.0
Mpp
15.25
Mpp = 656 kNm
Mpe = P × e = 3508 × 0.38 = 1333.0 kNm
+
P / A
(-)+
IMpp × v
(+)
(-)
(-)
(+)
Mpe × vI
∆σc = Mpp × v I - P
A - Mpe × v
I = 656 × 0.38 0.0524 - 3508
0.61 - 1333 × 0.38 0.0524 = - 10.7MPa
∆Pel = 20 × 1.4×10-4 × 195×106 × 2 - 1 2 × 2 × 10.7
32×103 =45.6 kN
P0 (secção 2) = 3508 – 45.6 = 3462.4 kN ⇒ % perdas ≅ 8.4%
3. Cálculo do alongamento teórico dos cabos
∆L = 1 Ap Ep ⌡⌠0
L P dx ≅ 1 28 × 10-4 × 195 × 106 × 3780 + 3500.4
2 × 25 = 0.167m
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 29
8.2.5. Perdas por retracção do betão
∆σ = Ep × εcs ⇔ ∆P Ap = Ep × εcs ⇒ ∆P = – Ep × Ap × εcs
εcs – extensão de retracção do betão (≅ 2.0 × 10-4)
8.2.6. Perdas por fluência do betão
εc = σc × ϕc Ecm
∆σ = Ep × εc ⇔ ∆P Ap = Ep × σc × ϕc
Ecm ⇒ ∆P = – Ap × Ep × σc × ϕc
Ecm
σc – tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às cargas permanentes e ao efeito
do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas).
8.2.7. Perdas por relaxação da armadura
Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são da
ordem de:
Aços de relaxação normal ∆P < 15%
Aços de baixa relaxação ∆P < 6%
Aços de muito baixa relaxação ∆P = 2 a 4%
Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de alta
resistência agrupam-se em três classes:
Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal (ρ1000 = 8%)
Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação (ρ1000 = 2.5%)
Classe 3: aço em barra (ρ1000 = 4%)
O parâmetro ρ1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provete
tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20°C.
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 30
A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes
expressões, consoante a classe da armadura:
(i) Classe 1: ∆σpr = 0.8 × 5.39 ρ1000 e6.7µ
t
1000 0.75 (1-µ)
σpi × 10-5
(ii) Classe 2: ∆σpr = 0.8 × 0.66 ρ1000 e9.1µ
t
1000 0.75 (1-µ)
σpi × 10-5
(iii) Classe 3: ∆σpr = 0.8 × 1.98 ρ1000 e8µ
t
1000 0.75 (1-µ)
σpi × 10-5
onde,
σpi representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdas
imediatas;
t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de
pré-esforço por relaxação (poderá considerar-se t∞ = 500000 horas ≈ 57 anos);
µ = σpi / fpk
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 31
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.)
ALÍNEA I)
1. Perdas por retracção do betão Considerando εcs = - 2.0 × 10-4,
∆P = Ep × Ap × εcs = 195 × 106 × 28 × 10-4 × 2.0 × 10-4 = 109.2 kN 2. Perdas por fluência do betão
Secção 2
Considerando ϕc = 2.5
∆P = Ap × Ep × σc × ϕc Ecm
= 28 × 10-4 × 195 × 106 × 5.86 × 103 × 2.5 32 × 106 = 250 kN
Cálculo de σc
8.00281.3
15.25+14.75=30
Mcp
Mcp = 1290 kNm
Mpe = 3462.4 × 0.38 = 1315.7 kNm
σc = Mcp × v I - P
A - Mpe × v I = 1290× 0.38
0.0524 - 3462.4 0.61 - 1315.7 × 0.38
0.0524 = - 5.86MPa
3. Perdas por relaxação das armaduras
Secção 2
Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, ρ1000 = 2.5%.
∆σpr = 0.8 × 0.66 ρ1000 e9.1µ
t
1000 0.75 (1-µ)
σpi × 10-5 =
= 0.8 × 0.66 × 2.5 × e9.1 × 0.69 ×
500000
1000 0.75 (1-0.69)
× 1236.6 × 10-5 = 36.9 MPa
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 32
σpi = 3462.4 28 × 10-4 = 1236.6MPa
µ = σpi fpk = 1236.6
1800 = 0.69
⇒ ∆Ppr = 36.9 × 103 × 28 × 10-4 = 103.3 kN ∆Pp,r+s+c = 250 + 109.2 + 103.3 = 462.5 kN ⇒ P∞
secção 2 = 3462.4 – 462.5 = 2999.9 kN % perdas diferidas → 13.4%
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 33
9. Verificação da Segurança aos Estados Limite Últimos
9.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO Pelo método do diagrama rectangular simplificado,
Msd = γg Mg + γq Mq
x
Msd
LN
ApAs
Fp
Fs
0.8x
0.85fcdFc
b
Fc = 0.85 fcd × 0.8 x × b
Fp = Ap × fpyd = Ap × fp0,1k 1.15
Fs = As × fyd
Através das equações de equilíbrio, (i) Equilíbrio de momentos (Σ MAs = Msd ⇒ x = ...)
(ii) Equilíbrio de forças (Σ F = 0 ⇔ Fc = Fp + Fs ⇒ As = ...)
Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de
extensões na rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de
pré-esforço são as de cálculo.
Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo fpyd, será necessário adoptar um
método iterativo (método geral)
AsAp
LN
b
x
σp (εp0 + ∆εp)
M
εc
εs
εp0∆εp
σc (εc)
σs (εs)
N
Por exemplo, determina-se x tal que N ≅ 0. Então M = MRd.
Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) fpyd = σp = P∞ Ap
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 34
9.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO
(i) Cálculo da armadura transversal: Asw s = Vsd - P sen α
z ⋅ cotg θ ⋅ fyd
(ii) Verificação da tensão de compressão: σc = Vsd - P sen α z ⋅ bw ⋅ sen θ ⋅ cos θ ≤ 0.6 fcd
(iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no
apoio As fyd ≥ V cotg θ1)
Notas:
• Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados) θ ≅ 20° a 26°;
• Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes num
determinado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deve
considerar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetros
das bainhas.
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 35
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA J)
psd = 1.35 × (15.25 + 14.75) + 1.5 × 20 = 70.5 kN/m
Qsd = 100 × 1.5 = 150 kN
20.00
R1
5.00
R2
150
70.5CA
Σ MC = 0 ⇔ - R1 × 20 + 70.5 × 25 × 7.5 – 150 × 5 = 0 ⇔ R1 = 623.4 kN
⇒ MB = 2731.5 kNm
Secção B
1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular
Hipótese: LN no banzo da secção
Fs
Fp
Fc0.85fcd
0.8x
Msd
1.50
LN
Fp = Ap × fp0,1k 1.15 = 28 × 10-4 × 1600
1.15 × 103 = 3895.7 kN
Fs = As × fyd = As × 348 × 103
Fc = 1.5 × 0.8x × 0.85 × 20 × 103 = 20400x
(i) Equilíbrio de momentos (Σ MAs = Msd)
Fc × (0.86 – 0.4x) – Fsp × 0.11 = Msd ⇔ 20400x × (0.85 – 0.4x) = 2731.5 + 3895.7 ×
0.10 ⇒ x = 0.199m
Fc = 20400 × 0.199 = 4059.6 kN
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 36
(ii) Equilíbrio de forças (Σ F = 0)
Fc – Fsp – Fs = 0 ⇔ 4059.6 – 3895.7 – As × 348 × 103 = 0 ⇔ As = 4.71 cm2
(iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras
LN
∆εp εp0
εs
εc
0.199
Hipótese: εc = 3.5‰
Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias
εs 0.85 - 0.199 = 3.5‰
0.199 ⇒ εs = 11.4‰
Como εs, máx = 10‰ ⇒ εs = 10‰ e εc < 3.5‰
10‰ 0.85 - 0.199 = εc
0.199 ⇒ εc = 3.06‰
Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço
∆εp 0.75 - 0.199 = 3.06‰
0.199 ⇒ ∆εp = 8.5‰
εp0 = P∞ Ap Ep = 2999.9
28×10-4 × 195×106 = 5.5‰
εp = εp0 + ∆εp = 14.0‰ > εpyd = fpyd Ep = 1600 / 1.15
195×103 = 7.1‰
2. Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado)
Hipótese: deq ≅ dp = 0.75
µ = Msd b d2 fcd = 2731.5
1.5 × 0.752 × 20 × 103 = 0.162 ⇒ ω = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm2
As = As,tot – Asp, eq = 117.3 – 28 × 1600 400 = 5.3 cm2
deq ≅ 0.75 × 20 × 1.4 × 1600 + 5.3 × 0.85 × 400 20 × 1.4 × 1600 + 5.3 × 400 = 0.755m
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 37
ALÍNEA L)
20.00
DEV[kN]
623.4
(+)
623.4
(-)
786.6
5.00
502.5
(+)
1289.1
150
150
70.5
DEVp [kN]
164.8
286.4
76.5 76.5(-)
(+)(-)
786.6
502.5DEVtotal [kN]
(+)
458.6
(-)
73.5(+)355.5
Notas:
- O diagrama de esforço transverso devido ao pré-esforço foi obtido
considerando P∞ = 2866.8 kN;
- Para a verificação da segurança ao esforço transverso utiliza-se DEVtotal
Apoio A
θ = 25° ⇒ z cotg θ = 0.9 × 0.85 × cotg 25° = 1.64m
Vsd (z cotg θ) = 458.6 – 49.9 × 1.64 = 376.8 kN
Considerando um cabo cuja bainha tem 100 mm de diâmetro,
φbainha ≥ balma 8 = 0.30
8 = 0.038 m ⇒ bw =0.30 – 0.1 / 2 = 0.25 m
1. Cálculo da armadura transversal
Asw s = Vsd
z ⋅ cotg θ ⋅ fyd = 376.8
1.64 × 348 × 103 × 104 = 6.6 cm2/m
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 38
2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas
σc = Vsd z ⋅ bw ⋅ sen θ ⋅ cos θ = 376.8
0.9×0.85×0.25×sen 25°×cos 25° = 5143.8 kN/m2 ≅ 5.1 MPa
< 0.6 fcd
0.6 fcd = 0.6 × 20 × 103 = 12000 kN/m2 = 12MPa
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 39
10. Verificação da segurança nas zonas das ancoragens
Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas as
hipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada é
transmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da
placa de distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção de
aplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta
zona, devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de
tracção nas direcções transversais.
Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em
limitar as tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para
absorção das forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada.
10.1. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESMAGAMENTO DO BETÃO
Imediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões de
compressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensões
admissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o
mesmo esteja correctamente confinado.
De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada,
aplicada com uma distribuição uniforme numa determinada área Ac0, pode ser
determinado através da expressão:
FRdu = Ac0 ⋅ fcd Ac1 Ac0 ≤ 3.3 fcd ⋅ Ac0
onde,
Ac0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa
de ancoragem);
Ac1 representa a maior área homotética a Ac0, contida no contorno da peça, com
o mesmo centro de gravidade de Ac0 e cuja dimensão dos lados não pode
exceder em três vezes a dimensão dos lados correspondentes de Ac0. No caso
da existência de várias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias
forças não se devem sobrepor.
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 40
Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a
idade de 28 dias, o valor de fcd deve ser substituído por fck,j / γc, representando fck,j o
valor característico da tensão de rotura à compressão aos j dias.
10.2. DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DE REFORÇO NA ZONA DAS ANCORAGENS
De acordo com o parágrafo 8.10.3 do EC2, a avaliação das forças de tracção que
surgem devido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a
modelos de escoras e tirantes.
A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima
de 300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controle da fendilhação, e tem em
conta a dificuldade de garantir uma boa amarração.
10.2.1. Modelos de escoras e tirantes
Os modelos de escoras e tirantes (“strut-and-tie models”) identificam os campos de
tensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras
aos campos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção.
Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de
descontinuidade, como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados
(zonas de aplicação de cargas localizadas).
Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da
zona estrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor
energia de deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes,
sendo assim necessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em
linha de conta com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de
tracção e, consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta
deverá ser a mais conveniente do ponto de vista construtivo.
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 41
10.2.2. Tensões de tracção a absorver 10.2.2.1. Caso de uma só ancoragem Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível
obter o valor da força de tracção.
P/2
P/2
P/2
P/2
De acordo com o REBAP (artigo 140º), a força de tracção para a qual as armaduras
devem ser dimensionadas, é dada pela expressão:
Ft1Sd = 0.3 FSd
1 - a0
a1 (com FSd = 1.35 P0’)
onde,
a1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor
distância entre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão;
a0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da
ancoragem.
10.2.2.1.1. Disposição das armaduras
As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a1 e ser
repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a1 e a1, tendo em consideração que a
resultante se situa à cota 0.4a1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a
garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1.
F
0.1a1
a1
a0
a1
b
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MÓDULO 1 – Pré-Esforço 42
A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensão
correspondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno
da peça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção
normal à direcção considerada.
No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragem
excêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto à
superfície do elemento, destinada a absorver na direcção em causa uma força de
tracção, como em baixo se ilustra
P
Ft = Fc2
e
Fc2
Fc1 = P
O valor da força de tracção pode ser obtido através da expressão:
Ft0Sd = FSd
e
a - 1 6 (com FSd = 1.35 P0’)
10.2.2.2. Caso de várias ancoragens
10.2.2.2.1. Ancoragens muito próximas
Um grupo de ancoragens muito próximas pode ser tratado considerando uma só
ancoragem equivalente, sendo válidos os princípios indicados no ponto anterior. Deve
no entanto verificar-se a segurança para a actuação de cada força, isoladamente. As
áreas de influência a considerar são as seguintes:
F
F
F
área de influência para uma ancoragem individual
área de influência do grupo de ancoragens
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 43
10.2.2.2.2. Ancoragens muito afastadas
No caso de duas forças concentradas afastadas entre si de uma distância superior à
distância entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de
tensões normais, surgem forças de tracção junto à face de aplicação das cargas,
como se indica:
P
P
PP
Deste modo, além das armaduras necessárias para cada ancoragem individual, deve
dispor-se uma armadura junto à face do elemento, na direcção em causa, destinada a
absorver uma força de tracção igual a 0.2P.
É de notar que desde que existam vários cabos, estes não são pré-esforçados
simultaneamente, variando os esforços locais ao longo das operações de pré-esforço.
O plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforços
momentâneos exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta
que podem existir estados provisórios mais desfavoráveis do que o que surge no
sistema final.
10.2.2.3. Aspectos particulares em estruturas pré-esforçadas
10.2.2.3.1. Ancoragens interiores
No caso de uma ancoragem interior, além das tensões transversais atrás
mencionadas, surgem tracções longitudinais atrás da ancoragem como resultado da
deformação local do betão. A resultante das tensões de tracção depende da relação
entre a dimensão da zona carregada e a largura da difusão dos efeitos localizados.
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 44
Considerando uma análise elástica que assuma igual rigidez do betão atrás e à frente
da ancoragem, a força de tracção deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a
experiência mostra que a força de tracção longitudinal pode ser considerada igual a
P/4 pois, devido à fendilhação, a rigidez do betão atrás da ancoragem diminui,
diminuindo também a tensão instalada.
Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com
um comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da secção.
CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL
10.2.2.3.2. Forças de desvio
Sempre que um cabo de pré-esforço muda de direcção, são introduzidas forças radiais
no betão quando o cabo é tensionado. Estas forças radiais actuam no plano de
curvatura e têm uma intensidade igual ao quociente entre a força de pré-esforço e o
raio de curvatura.
Embora estas forças sejam na generalidade das situações muito úteis, podem no
entanto causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do betão.
Nos casos em que os cabos estejam junto à face das peças e a sua curvatura
provoque forças de desvio dirigidas para o exterior é necessário dimensionar
armadura transversal para a absorção destas forças, devendo ser disposta em toda a
zona em que actuem, como se indica na planta abaixo.
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 45
10.2.2.4. Disposições Construtivas
Nas zonas de aplicação de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposição de
armaduras em várias camadas, constituídas por varões de pequeno diâmetro. Estas
armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a
dispersão dos efeitos localizados.
A solução geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais
ramos, como se exemplifica a seguir.
PORMENOR TRANSVERSAL
PORMENOR LONGITUDINAL
Betão Armado e Pré-Esforçado II
MÓDULO 1 – Pré-Esforço 46
No caso em que a carga actue fora do núcleo central, as armaduras dimensionadas
para este efeito devem ser dispostas junto à face do betão ao longo de toda a sua
dimensão e convenientemente amarradas, com a disposição indicada.
PORMENOR LONGITUDINAL PORMENOR TRANSVERSAL