Download pdf - BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije, V … · 2019. 3. 18. · Čisto pravo savijanje Čisto složeno savijanje Grede T ili preseka BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne

Čisto pravo savijanjeČisto složeno savijanjeGrede T ili Γ preseka

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1Osnovne akademske studije, V semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke nauke,GRAÐEVINARSTVO

Državni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1


Sadržaj

1 Čisto pravo savijanjeČisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanjeDvojno armirani pravougaoni preseci

2 Čisto složeno savijanjeEkscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetDvojno armirani pravougaoni preseciEkscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet

3 Grede T ili Γ presekaOpšte napomeneUprošćeni proračun T preseka



Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanjeDvojno armirani pravougaoni preseci

Sadržaj







Slobodno i vezano dimenzionisanje

Jednostruko armirani pravougaoni preseciDimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanjeoblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitetbetona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature upreseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija)

Jednostruko armirani pravougaoni preseciProblem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja:

Slobodno dimenzionisanje presekaVezano dimenzionisanje preseka




Slobodno i vezano dimenzionisanje

Jednostruko armirani pravougaoni preseciSlobodno dimenzionisanje podrazumeva usvajanje oblika idimenzija betonskog preseka, kao i određivanje potrebnekoličine armatureProjektant slobodno bira vrstu loma preseka, odn. usvajavrednosti dilatacija u betonu i armaturiVezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebnekoličine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka(iz nekih drugih uslova su poznate dimenzije preseka)Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu iarmaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkimkarakteristikama




Slobodno dimenzionisanje

Jednostruko armirani pravougaoni preseciU slučaju slobodnog dimenzionisanja poznate su vrednostimomenata savijanja Mi za odgovarajuća eksploatacionaopterećenja (i = g, p,∆).Broj nepoznatih veličina b, d,Aa je veći od broja jednačina(dva uslova ravnoteže)Zbog toga se usvaja širina preseka bZa uobičajene dimenzije AB greda, širina poprečnog preseka sebira u granicama 25 - 50 cm, obično se usvaja b = 30cmIzbor širine zavisi od uslova pravilnog smeštanja armature





Jednostruko armirani pravougaoni preseciDilatacije u betonu i zategnutoj armaturi εb, εa biraju seslobodno, uz uslov da barem jedna od njih dostigne graničnuvrednost:

(1) εb = 3.5‰ i 3.0 ≤ εa < 10‰(2) 0 ≤ εb < 3.5‰ i εa = 10‰(3) εb = 3.5‰ i εa = 10‰

Ne vodi se (formalno, u pisanju) računa o znacima napona idillatacijaOd izbora dilatacija zavisi visina poprečnog preseka d





Jednostruko armirani pravougaoni preseciNa primer, ako se usvoji manja dilatacija u armaturi(εa < 10‰), a maksimalna u betonu (εb = 3.5‰), povećavase s, odn. visina pritisnute zone u betonu xTime se dobija i veća sila pritiska u betonu Dbu, a iz uslovaravnoteže normalnih sila, veća je i sila u zategnutoj armaturiZau = Dbu

Kako je Mu zadata veličina, a unutrašnje sile sprega su veće,onda mora da bude manji krak sprega unutrašnjih sila zTime dolazi i do smanjenja visine preseka





Jednostruko armirani pravougaoni preseciNa taj način, izborom različitih dilatacija εb i εa, presecirazličitih visina imaju istu graničnu nosivostKonstantan spoljašnji granični momenat savijanja može da se“prihvati” presecima različitih visinaIpak, smanjenje visine preseka, na račun povećanja armaturebitno utiče na granična stanja upotrebljivosti (na veličnuugiba, pojavu prslina)Ako ima više zategnute armature u preseku, postoje i problemioko smeštaja armature i pravilnog ugrađivanjaZa dilatacije εa ∈ [7÷ 10]‰ dobijaju se tehnički i ekonomskiopravdane dimenzije preseka i količine armature





Jednostruko armirani pravougaoni preseciU zavisnosti od izabranih dilatacija određuju se parcijalnikoeficijenti sigurnosti, pa se računa granični momenatsavijanja:

izabrana εa ⇒ γui ⇒ Mu =∑i

γuiMui

Usvaja se kvalitet materijala: marka betona i vrsta čelika ⇒poznate su računske čvrstoće fB i σvZa usvojene dilatacije εb i εa iz tablica se određuju koeficijentik i µ̄




Tablice - lom po betonu εb = 3.5‰




Tablice - lom po armaturi εa = 10.0‰





Jednostruko armirani pravougaoni preseciPotrebna statička visina h se određuje iz izraza:

h = k

√Mu

b fB

Potrebna površina armature se određuje iz izraza:

Aa = µ b h = µ̄ b hσvfB





Jednostruko armirani pravougaoni preseciNa osnovu sračunate površine armature Aa bira se prečnik ibroj profilaRaspored armature se vrši tako što se poštuje minimalanrazmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betonai odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengijeIzračuna se rastojanje a težišta zategnute armature dozategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina presekad = h+ a

Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) nacele santimetre (odn. na “okruglu cifru”)





Jednostruko armirani pravougaoni preseciMehanički koeficijent armiranja µ̄ zavisi samo od dilatacija ubetonu i čeliku: µ̄ = αb s

Takođe, iz uslova ravnoteže normalnih sila dobija se

µ̄ = αb s =Aa1b h

σvfB

= µσvfB

gde je µ geometrijski koeficijent armiranja:

µ =Aa1b h





Jednostruko armirani pravougaoni preseciZa grede je definisan minimalan koeficijent armiranja µmin:

µ =Aa1b h≥ µmin gde je µmin =

{0.25% GA0.20% RA

Ni u jednom preseku AB grednog nosača ne sme da budemanje armature od minimalno propisane





Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature za presekpravougaonog oblika na koji deluju momenti savijanja usledstalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja. Dati su podaci:

- momenti savijanja . . .Mg = 60 kNm, Mp = 80 kNm- širina poprečnog preseka . . . b = 25 cm- kvalitet materijala . . .MB 30, GA 240/360





Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1Granični momenat savijanja

Mu = 1.6× 60 + 1.8× 80 = 240 kNm

Za usvojeni materijal betona i čelika je:

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

RA 240/360 ⇒ σv = 24.0 kN/cm2

Usvojene dilatacije u betonu i čeliku (simultani lom)εb/εa1 = 3.5/10‰

⇒ k = 2.311, µ̄ = 20.988%, ζb = 0.892





Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1Potrebna statička visina preseka

h = k

√Mu

b fB= 2.311

√240× 102

25× 2.05= 50.0 cm

Potrebna količina zategnute armature

Aa = µ̄b h

100

fBσv

= 20.988× 25× 50

100× 2.05

24= 24.41 cm2





Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1Alternativno, potrebna površina armature je

Aa =Mu

z σv=

Mu

ζb hσv=

240× 102

0.892× 50× 24= 22.42 cm2

Usvojena armatura: 6Φ22 (22.80 cm2)Za širinu grede b=25cm ova armatura ne može da se smesti ujedan red




Usvojene dimenzije grede - primer 1




Alternativne dimenzije za različita granična stanja




Vezano dimenzionisanje

Jednostruko armirani pravougaoni preseciVezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebnekoličine armature za poznate dimenzije poprečnog presekaKod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu iarmaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkimkarakteristikamaZnači, kod vezanog dimenzionisanja poznato je:

- momenti savijanja od eksploatacionih opterećenja Mi

- dimenzije poprečnog preseka b, d- usvojen kvalitet materijala fB , σv

Nepoznato je:- količina armature u preseku Aa

- stanje dilatacija u preseku s





Jednostruko armirani pravougaoni preseci

Pretpostavlja se da je dilatacija u armaturi između 3 i 10‰(naravno, zatezanje), pa se izračuna granični momenatsavijanja Mu (usvajaju se minimalne vrednosti γui)Pretpostavlja se veličina a (rastojanje težišta zategnutearmature od zategnute ivice preseka) . . . uobičajeno jea ≈ 0.1 d, pa se odredi statička visina h = d− aSa određenom statičkom visinom h izračunava se koeficijent k:

k =h√Mub fB

⇒ iz tablica⇒ µ̄





Jednostruko armirani pravougaoni preseciIz tabela za dimenzionisanje se, na osnovu izračunatog kodredi mehanički koeficijent armiranja µ̄, pa se očitajudilatacije εb, εaKontroliše se da li su usvojene odgovarajuće vrednostiparcijalnih koeficijenata sigurnosti (provera da li je εa > 3‰)Određuje se potrebna količina zategnute armature iz izraza:

Aa = µ̄ b hfBσv

ili Aa =Mu

z σv=

Mu

ζb hσv





Jednostruko armirani pravougaoni preseciUsvaja se prečnik armature i dobijeni broj profila se raspoređujeu poprečnom preseku, vodeći računa o pravilnom rasporeduSračunava se stvarni položaj težišta zategnute armature a, atime i stvarna statička visina h, pa se poredi sapretpostavljenomU slučaju većeg odstupanja, proračun se ponavljaU slučju da je dilatacija u armaturi εa < 3‰, presek se dvojnoarmira





Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatogpravougaonog oblika na koji deluje granični momenat savijanjaMu. Dati su podaci:

- granični momenat savijanja . . .Mu = 300 kNm- dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/60 cm- kvalitet materijala . . .MB 30, RA 400/500





Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2Za usvojeni materijal betona i čelika je:

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

RA 240/360 ⇒ σv = 24.0 kN/cm2

Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature dozategnute ivice a1 = 7cm, statička visina preseka je

h = d− a1 = 60− 7 = 53 cm





Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2Koeficijent k je dat sa:

k =h√Mub fB

=53√

300×102

40×2.05

= 2.711

Iz tablica se dobija: za εa = 10‰, najbliža vrednost zak=2.711 je k=2.765, što odgovara dilataciji u betonuεb = 2.425‰Za te dilatacije se očitava i µ̄ = 14.152%, kao i ζb = 0.924





Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2Potrebna količina zategnute armature

Aa = µ̄b h

100

fBσv

= 14.152× 40× 53

100× 2.05

40= 15.38 cm2

Alternativno, potrebna površina armature je

Aa =Mu

z σv=

Mu

ζb hσv=

300× 102

0.924× 53× 40= 15.31 cm2

Usvojena armatura: 6RΦ19 (17.01 cm2)




Usvojena armatura grede - primer 2




Sadržaj







Čisto pravo savijanje

Dvostruko armirani preseciU pritisnutu zonu betonskog preseka uvek se postavljamontažna (konstruktivna) armaturaSmisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da povećažilavost pritisnute zone betonaPrema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskomarmaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu iu pritisnutom deluMeđutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativnomanjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretirajukao jednostruko armirani





Dvostruko armirani pravougaoni preseci

Dvostruko (dvojno) armiranje se primenjuje u slučajevima kadajednostruko armiran presek nije u stanju da prihvati graničnimomenat savijanja sa dilatacijom u armaturi εa ≥ 3‰Kod dvostruko armiranih preseka, osim armature u zategnutojzoni Aa = Aa1, računa se i armatura Aa2 u pritisnutoj zoniRačunska armatura u pritisnutoj zoni zahteva i dodatnuzategnutu armaturu ∆Aa1 kako bi uslovi ravnoteže bilizadovoljeni





Dvostruko armirani pravougaoni preseciGranična vrednost momenta nosivosti preseka na savijanje pripunom iskorišćenju nosivosti jednostruko armiranog preseka,odn. nosivost preseka pri dilatacijama εb = 3.5‰ i εa = 3‰je označena sa Mbu:

Mbu =

(h

k∗

)2

b fB

Vrednosti k∗ i µ̄∗1 određuju se iz tablica za dilatacije koježelimo da zadržimo: εb = 3.5‰ i εa = 3‰





Dvostruko armirani pravougaoni preseciAko je granični momenat savijanja spoljašnjih sila Mu veći odmomenta nosivosti jednostruko armiranog preseka Mbu:

∆Mu = Mu −Mbu > 0

onda je potrebno dvojno armiranjeRazlika momenata ∆Mu se prihvata spregom unutrašnjih silaDau i ∆Zau, odn. pritisnutom i dodatnom zategnutomarmaturom





Dvostruko armirani pravougaoni preseciUsvaja se da su obe armature ušle u prag tečenja:

εa2 ≥ εq ⇒ σa2 = σq = |σv|εa1 ≥ εv ⇒ σa1 = σv

Čelik se ponaša praktično isto i pri zatezanju i pri pritisku




Dijagram napon - dilatacija za armaturni čelik





Dvostruko armirani pravougaoni preseciPrema tome, zategnuta armatura koja odgovara momentunosivosti jednostruko armiranog preseka sa punimiskorišćenjem je data sa

A∗a1 = µ̄∗1 b h

fBσv

ili A∗a1 =

Mbu

z∗ σv=

Mbu

ζ∗b hσv

gde je Mbu momenat nosivosti jednostruko armiranog preseka

Mbu =

(h

k∗

)2

b fB

Vrednosti k∗, µ̄∗1, kao i ζ∗b određuju se iz tablica za dilatacijeεb = 3.5‰ i εa = 3‰





Dvostruko armirani pravougaoni preseciRazlika momenata ∆Mu = Mu −Mbu se prihvata spregomunutrašnjih sila Dau i ∆Zau, odn. pritisnutom i dodatnomzategnutom armaturom:

∆Mu = Dau (h− a2) ⇒ Dau =∆Mu

(h− a2)

Prema tome, potrebna površina pritisnute armature Aa2 jedata sa

Aa2 =Dau

σq=

∆Mu

σv (h− a2)





Dvostruko armirani pravougaoni preseciKako je, iz uslova ravnoteže unutrašnjih sila Dau = ∆Zau, toje potrebna dodatna zategnuta armatura data sa

∆Aa1 =∆Mu

σv (h− a2)

Prema tome, ukupna površina zategnute armature kod dvojnoarmiranog pravougaonog preseka je data sa

Aa1 = A∗a1 + ∆Aa1 = µ̄∗1 b h

fBσv

+∆Mu

σv (h− a2)





Dvostruko armirani pravougaoni preseciAlternativno, ukupna zategnuta armatura može da se odredi iprema izrazu

Aa1 =Mbu

ζ∗b hσv+

∆Mu

σv (h− a2)

Potrebna pritisnuta armatura je

Aa2 =∆Mu

σv (h− a2)




Dvostruko armirani pravougaoni preseci



Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetDvojno armirani pravougaoni preseciEkscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet

Sadržaj







Čisto složeno savijanje

Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetAB elementi opterećeni ekscentričnom normalnom silompritiska, sa napadnom tačkom u osi simetrije, nalaze se uoblasti velikog ekscentriciteta ako se neutralna linija nalaziunutar presekaZnači, jedan deo preseka je zategnut, a drugi je pritisnutTo je složeno savijanje, odn. istovremeni uticaj normalnih sila imomenata savijanjaNormalna sila može da bude sila pritiska ili sila zatezanja





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetPotrebne veličine za dimenzionisanje pravougaonih presekaodređuju se iz uslova ravnoteže na isti način kao i u slučajučistog pravog savijanjaPoznati su eksploatacioni uticaji Mi i Ni (i = g, p,∆), odn.momenti savijanja i normalne sile za posmatrane slučajeveopterećenjaSile u preseku Mi i Ni su određene proračunom nosača nastandardni način, pri čemu je osa nosača geometrijsko mestotežišta poprečnih presekaOdrede se granični uticaji (parcijalni koeficijenti su zaεa ≤ −3‰):

Mu =∑

γuiMi Nu =∑

γuiNi




Ekscentrično pritisnuti elementi - proračunskimodel





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetPostavljaju se dva uslova ravnoteže, spoljašnjih sila Mu i Nu,kao i unutrašnjih sila Dbu i Zau (rezultanta napona pritisaka ubetonu i napona zatezanja u armaturi)Za redukcionu tačku u ravnoteži spregova bira se težištezategnute armature:∑

N = 0 : ⇒ Dbu − Zau −Nu = 0∑Ma1 = 0 : ⇒ Dbu z −Mau = 0

(1)

pri čemu je momenat spoljašnjih sila za težište zategnutearmature dat sa

Mau = Mu +Nu

(d

2− a1

)Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1




Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet

Transformisanjem jednačina (1) na isti način kao i za slučajčistog savijanja, dolazi se do analognih izrazaRazlika je u tome što se umesto Mu u svim izrazima kodsloženog savijanja javlja Mau

Sve tabele koje se koriste za dimenzionisanje u slučaju čistogsavijanja koriste se i u slučaju složenog savijanjaKao i kod čistog savijanja, u dimenzionisanju preseka za slučajsloženog savijanja javljaju se slučajevi

- slobodnog dimenzionisanja- vezanog dimenzionisanja





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetMeđutim, postupak slobodnog dimenzionisanja je iterativan,jer se u izrazu za Mau pojavljuje i nepoznata visina preseka dŠirina poprečnog preseka se, u uobičajenim slučajevima, usvajau granicama od 30 do 50cmZa usvojene dilatacije u betonu i armaturi iz tabela se očitajuvrednosti koeficijenta k i mehaničkog procenta armiranja µ̄1Pošto visina preseka d nije poznata, usvaja se, u prvoj iteraciji,da je Mau = Mu





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet

Potrebna statička visina u prvoj iteraciji h(1) određuje se izizraza

h(1) = k

√Mu

b fB

Da bi se odredila visina preseka u prvoj iteraciji, prema relacijid(1) = h(1) + a1, pretpostavlja se da je rastojanje težištazategnute armature do zategnute ivice preseka a1 približnoa1 ≈ 0.1 d

Prema tome, visina preseka u prvoj iteraciji je

d(1) = h(1) + 0.1 d(1) ⇒ d(1) ≈ 1.1h(1)





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetSa tom visinom se određuje momenat spoljašnjih sila za težištezategnute armature:

Mau = Mu +Nu

(d(1)

2− a1

)

Sa ovim se određuje statička visina preseka u drugoj iteraciji:

h(2) = k

√Mau

b fB⇒ d(2) = h(2) + a1

Ukoliko se dobijena vrednost d(2) razlikuje od prethodnevrednosti d(1) za više od ≈ 1cm, postupak se ponavlja dokonvergencije





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetKada se postigne zadovoljavajuća tačnost za visinu preseka d,potrebna površina armature se određuje iz izraza

Aa1 = µ̄1 b hfBσv− Nu

σvili Aa1 =

Mau

z σv− Nu

σv(2)

Mehanički koeficijent armiranja µ̄1 dobijen je iz tablica, kao ikoeficijent k, za usvojene dilatacije εa i εbPrvi član u izrazu za armaturu Aa1 identičan je kao i izraz zapotrebnu armaturu u slučaju čistog savijanjaDrugi član u izrazu za armaturu Nu/σv pretstavlja smanjenjepovršine zategnute armature zbog napona pritisaka kojenormalna sila pritiska Nu unosi u presek





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetU slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je:

- statički uticaji (Mi, Ni) . . . sračunato je- kvalitet materijala (fB , σv) . . . usvojeno je- dimenzije poprečnog preseka (b, d)

Nepoznato je:- površina armature (Aa)- stanje dilatacija (s)

Na osnovu procenjenog rastojanja težišta zategnute armaturea1 određuje se statička visina preseka h i sračunava graničnimomenat savijanja za težište zategnute armature Mau





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetSa određenim Mau i statičkom visinom h, izračunava sekoeficijent k:

k =h√Maub σv

⇒ εb, εa1, µ̄1

Potrebna površina armature se određuje iz izraza (2):

Aa1 = µ̄1 b hfBσv− Nu

σvili Aa1 =

Mau

z σv− Nu

σv

gde je z = ζb h ≈ 0.9h krak unutrašnjih sila Dbu i Zau





Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitetNa osnovu dobijene potrebne površine zategnute armatureusvoji se prečnik i broj šipki i raspoređuje se u poprečnompreseku, vodeći računa o pravilnom rasporeduOdredi se stvarni položaj težišta zategnute armature i stvarnastatička visinaStavrna statička visina se poredi sa pretpostavljenom i uslučaju odstupanja (većeg od 5-10%) proračun se ponavlja sa“tačnijom” statičkom visinom




Sadržaj







Ekscentrično pritisnuti elementi - velikiekscentricitet

Dvojno armiranje preseka

Ako se dobije da je εa < 3‰, presek se dvojno armira, istokao i u slučaju čistog savijanjaZa usvojene dilatacije u betonu i armaturi εb = 3.5‰ iεa1 = 3‰ iz tablica se očitaju vrednosti k∗ i µ̄∗1Sa ovim se izračunava moment nosivosti jednostrukoarmiranog preseka Mabu:

Mabu =

(h

k∗

)2

b fb





Dvojno armiranje presekaGranični momenat koji treba da prihvate pritisnuta i dodatnazategnuta armatura ∆Mau je dat sa

∆Mau = Mau −Mabu

Ukupna površina zategnute armature (osnovne, koja odgovaranosivosti jednostruko armiranog preseka i dodatne) je data sa

Aa1 = µ̄∗1 b hfBσv

+∆Mau

σv (h− a2)− Nu

σv





Dvojno armiranje presekaAlternativno, ukupna površina zategnute armature je data sa

Aa1 =Mau

z σv+

∆Mau

σv (h− a2)− Nu

σv

Potrebna površina pritisnute armature je data sa

Aa2 =∆Mau

σv (h− a2)




Ekscentrično pritisnuti elementi - dvojno armiranje





Dvojno armiranje preseka - usvajanje armatureU zavisnosti od dobijenih površina pritisnute i ukupnezategnute armature:

1 Aa2 ≤ Aa1 . . . i zategnuta i pritisnuta armatura se usvajaju uskladu sa dobijenim površinama

2 Aa1 ≤ Aa2 ≤ 1.5Aa1 . . . obe zone se armiraju simetrično sasrednjom vrednošću zbira površina

3 Aa2 > 1.5Aa1 . . . presek se armira simetrično, ali se površinaarmature određuje primenom dijagrama interakcije M −N





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatogpravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnogi povremenog opterećenja. Dati su podaci:

- stalno opterećenje . . .Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN- povremeno opterećenje . . .Mp = 680 kNm, Np = 800 kN- dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm- kvalitet materijala . . .MB 40, RA 400/500





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3Za usvojeni materijal betona i čelika je:

MB 40 ⇒ fB = 25.5MPa = 2.55 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400MPa = 40.0 kN/cm2

Granični uticaji Mu i Nu (u odnosu na težište)

Mu = 1.6Mg + 1.8Mp = 2000 kNmNu = 1.6Ng + 1.8Np = 2400 kN





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature dozategnute ivice a1 = 8cm, statička visina preseka je

h = d− a1 = 90− 8 = 82 cm

Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu natežište zategnute armature:

Mau = Mu +Nu

(d

2− a1

)= 2888 kNm





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3Bezdimenzionalni koeficijent k je

k =h√Maub fB

=82√

2888×102

40×2.55

= 1.541

Iz tablica se za k = 1.541 očitava: εb = 3.5‰, kao iεa = 1.10‰Kako je εa = 1.10 < 3.0‰, presek se dvojno armiraIz tablica se, za εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰, očitava: k∗ = 1.719i µ̄∗ = 43.589%





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3Granična nosivost jednostruko armiranog preseka zaεb = 3.5‰ i εa = 3.0‰

Mabu =

(h

k∗

)2

bfB

tako da se dobija

Mabu =

(0.82

1.719

)2

0.40× 25.5× 103 = 2321 kNm





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3Razlika u graničnim momentima:

∆Mau = Mu −Mabu = 2888− 2321 = 567 kNm

se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armatureUz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature dopritisnute ivice preseka jednako a2 = 5cm, pritisnuta armaturaje

Aa2 =∆Mau

σv (h− a2)=

567× 102

40 (82− 5)= 18.41 cm2





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3Ukupna površina zategnute armature je

Aa1 = µ̄∗1 b hfBσv

+∆Mau

σv (h− a2)− Nu

σv

odnosno,

Aa1 =43.589

10040× 82× 2.55

40+ 18.41− 2400

40= 49.55 cm2

Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armaturesu: Aa2 = 18.41 cm2 Aa1 = 49.55 cm2





Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 3Kako je Aa2 < Aa1, obe zone se armiraju prema izračunatimpovršinama armatureUsvaja se sledeća armatura:

zategnuta armatura: Aa1 = 49.55 cm2 . . . usvojeno 8RΦ28(49.26 cm2)pritisnuta armatura: Aa2 = 18.41 cm2 . . . usvojeno 3RΦ28(18.47 cm2)




Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka




Sadržaj








Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitetU slučaju ekscentričnog zatezanja važe svi izrazi kao i za slučajekscentričnog pritiskaUmesto pozitivne sile pritiska N u prikazane relacije silazatezanja Z se unosi sa negativnim znakomTako, na primer, granični momenat za težište zategnutearmature, za ekscentrično zatezanje, dat je sa

Mau = Mu − Zu(d

2− a1

)





Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitetStatička visina preseka se određuje iz relacije

h = k

√Mau

b fB

dok se potrebna površina zategnute armature odrđuje iz izraza

Aa1 = µ̄1 b hfBσv

+Zuσv

ili iz relacije

Aa1 =Mau

z σv+Zuσv





Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4

Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatogpravougaonog oblika na koji deluju granični momenat Mu i silazatezanja Zu. Dati su podaci:

- granični uticaji . . .Mu = 770 kNm, Zu = 720 kN- dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 35/70 cm- kvalitet materijala . . .MB 30, RA 400/500






Za usvojeni materijal betona i čelika je:

MB 30 ⇒ fB = 20.5MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400MPa = 40.0 kN/cm2

Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature dozategnute ivice: a1 = 0.1 d = 7 cmStatička visina preseka

h = d− a1 = 70− 7 = 63 cm






Granični momenat u odnosu na težište zategnute armature:

Mau = Mu − Zu(d

2− a1) = 770− 720×

(0.70

2− 0.07

)Dobija se Mau = 568.4 kNmKoeficijent k je jednak:

k =h√Maub fB

=63√

568.4×102

35×2.05

= 2.238






Za k = 2.238 iz tablica se očitava εb/εa = 3.5/9.05‰, kao iµ̄1 = 22.576% i ζb = 0.884

Potrebna površina zategnute armature

Aa1 = µ̄1 b hfBσv

+Zuσv

Zamenom vrednosti se dobija

Aa1 = 22.576× 35× 70

100× 2.05

40+

720

40= 43.51 cm2






Alternativno, potrebna površina zategnute armature može dase odredi iz izraza

Aa1 =Mau

z σv+Zuσv

=568.4× 102

0.884× 63× 40+

720

40= 43.52 cm2

Usvaja se 9RΦ25 (44.18 cm2)




Prikaz usvojenog armiranja



Opšte napomeneUprošćeni proračun T preseka

Sadržaj







Grede T preseka

Grede T preseka - opšte napomeneU betonskim konstrukcijama, posebno u zgradarstvu, veomačeste su grede T ili Γ presekaTipičan primer su AB ploče oslonjene na AB grede (monolitnoizvedene)Uobičajeno je da su ploče iznad greda (mada ploče mogu dabudu i “okačene” o grede)Takvi elementi se izvode u isto vreme i pretstavljaju monolitnucelinuUkoliko su ploča i neki deo grede ispod ploče u pritisnutojoblasti, onda se greda i odgovarajući deo ploče posmatraju kaogrede T preseka




Grede T ili Γ preseka

Grede T preseka - opšte napomeneUkoliko je neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj oblasti, ondase greda posmatra kao standardna greda pravougaonog presekaKod tavanica koje čine AB ploče oslonjene na sistem greda,obično u dva ortogonalna pravca, na mestu ukrštanja gredanalaze se AB stuboviDelovi greda “u polju”, dakle u srednjim zonama izmeđuoslonačkih stubova, pretstavljaju grede T preseka (zategnuta jedonja zona)Delovi istih greda u zonama iznad stubova pretstavljaju gredepravougaonog preseka (zategnuta je gornja zona)





Grede T preseka - opšte napomene

Ivične grede u tavanici (ploča je samo sa jedne strane grede)su grede Γ presekaGrede između ivičnih su grede T presekaAko je debljina ploče označna sa dpl, a x je visina pritisnutezone preseka, za T preseke mora da bude ispunjen uslovx > dpl (neutralna osa mora da bude u gredi, odn. u rebru)Ako je x ≤ dpl u pitanju je greda pravougaonog preseka B/d(širina je jednaka širini ploče b ili B, a visina je jednaka d -visina ploče i rebra ispod)





Grede T preseka - opšte napomeneOdgovarajući deo ploče levo i desno od grede, koji se tretirakao deo grede T preseka, naziva se računska aktivna širinaploče BMonolitnost veze između ploče i rebra obezbeđuju naponismicanja na spoju ploče i rebraOsim toga, monolitnost veze ploče i rebra se obezbeđuje iodgovarajućom armaturom u ploči upravno na pravac rebra(grede)Raspodena normalnih napona na delu ploče, levo i desno odrebra, je krivolinijskaIntenzitet normalnih napona u ploči se smanjuje sa udaljenjemod rebra




Aktivna širina ploče grede T preseka












Aktivna širina ploče kod greda T preseka





Grede T preseka - opšte napomeneNosači T preseka proračunavaju se kao pravougaoni preseci uslučajevima kada se

1 neutralna linija nalazi u ploči x ≤ dpl2 neutralna linija nalazi u rebru, ali se ploča nalazi u zategnutoj

zoni preseka (npr. iznad oslonaca kod kontinualnih nosača)

U drugim slučajevima, kada je neutralna osa u rebru, a pločaje pritisnuta, dimenzionsanje se vrši kao za T presekU zavisnosti od odnosa računske aktivne širine ploče B i širinerebra b, postoje različiti pristupi proračunu

1 za B/b > 5 . . . uprošćeni postupak proračuna2 za B/b ≤ 5 . . . tačniji postupak proračuna




Sadržaj








Dimenzionisanje greda T preseka

Kada je ispunjen uslov B/b > 5, grede T preseka sedimenzionišu po uprošćenom postupkuOsnovna pretpostavka uprošćenog postupka je zanemarivanjenosivosti rebra: ukupna sila pritiska u preseku je sila pritiska uploči Dbu = Dbpu

Dodatna pretpostavka je da je napon pritiska po debljini pločekonstantan i jednak naponu u sredini debljine ploče σbp(uprosečeni su naponi pritisaka po debljini ploče)Na osnovu toga, krak untrašnjih sila je poznat i iznosiz = h− dp/2





Dimenzionisanje greda T presekaGreška koja se čini u uprošćenom proračunu je relativno mala,a proračun je jednostavnijiKada je B/b > 5, ili još više, zanemarena pritisnuta površinabetona na delu rebra je relativno mala u odnosu na površinupritisnute pločeOsim toga, u zoni pritisnutog rebra su i naponi σb mali (blizinaneutralne ose)





Dimenzionisanje greda T presekaDruga pretpostavka je osrednjavanje stvarnog dijagramanapona pritisaka u ploči na pravougaoni oblikOrdinata pravougaonog dijagrama napona je jednaka naponuσbp ili σbs u vlaknu na sredini debljine ploče (kome odgovaradilatacija u betonu εbp = εbs)




Uprošćeni proračun T preseka









Dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakZbog relativno velike pritisnute površine betona, dilatacije ubetonu retko prelaze vrednosti εb ≈ 0.5÷ 1.5‰Zbog toga, T preseci (po pravilu) dostižu granično stanje lomapo armaturi εa = 10‰Kao i kod “običnih” pravougaonih preseka, dimenzionisanjepreseka u slučaju čistog ili složenog savijanja svodi se na

- slobodno dimenzionisanje- vezano dimenzionisanje





Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakVeličine potrebne sa slobodno dimenzionisanje T presekadobijaju se iz dva uslova ravnoteže (kao i za dimenzionisanjepravougaonih preseka)Granična sila pritiska u ploči i granična sila zatezanja uarmaturi su

Dbu = Dbpu = B dp σbp Zau = Aa σv

Uslov ravnoteže normalnih spoljašnjih i unutrašnjih sila (zaslučaj čistog pravog savijanja) je:∑

N = o : ⇒ B dp σbp −Aa σv = 0 (3)





Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakKrak unutrašnjih sila, odn. krak sile pritiska do težištazategnute armature je z = h− dp/2Uslov ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila zatežište zategnute armature

∑Ma1 = 0 je:

Dbpu z −Mu = 0 (4)

ili, unošenjem izraza za Dbp, kao i za krak sila

B dp σbp (h− dp2

) = Mu (5)





Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak

Ako se napon u sredini ploče σbp unapred usvoji, onda se iz (5)dobija nepoznata staticka visina preseka:

h =Mu

σbpB dp+dp2

(6)

Napon u sredini ploče najčešće se bira u granicama0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB

Ove granice za napon u sredini ploče daju ekonomične itehnički opravdane dimenzije presekaVeće iskorišćenje napona pritiska u betonu dalo bi manju visinupreseka, ali i veću količinu zategnute armature









Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakPoložaj neutralne ose u odnosu na srednju ravan ploče x0može da se odredi iz sličnosti trouglova i izrazi preko dilatacijau betonu i armaturi (videti prethodnu sliku)

x0εbp

=h−

(x0 +

dp2

)εa

odakle se dobija

x0 =εbp

εbp + εa

(h− dp

2

)= s0

(h− dp

2

)(7)





Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakOsim toga, potrebno je da se proveri da li je zadovoljen uslovmaksimalne dilatacije u pritisnutom vlaknu betona:

εb = εbpx0 +

dp2

x0≤ 3.5‰ (8)

Napon pritiska u sredini ploče σbp se usvaja u nekom iznosu,obično u intervalu 0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB

Time je, takođe, usvojena i dilatacija εbp u sredini debljineploče, zbog veze σ − ε za beton:

σb =

{fB4 (4− εb) εb za 0 ≤ εb ≤ 2‰fB za 2 ≤ εb ≤ 3.5‰

(9)






Naime, rešavanjem veze (9) po εb dolazi se do kvadratnejednačine po εb:

ε2b − 4 εb + 4σbfB

= 0

Rešenja ove jednačine su

ε1,2b = 2(1±√

1− σbfB

)

Samo znak − ima smisla, tako da je za usvojen napon usredini ploče σbp odgovarajuća dilatacija εbp data sa

εbp = 2(1−√

1−σbpfB

) (10)





Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakTako, na primer, za neke vrednosti napona σbp u uobičajenomintervalu dobija se

- za σbp = 0.30 fB ⇒ εbp = 0.327 ‰- za σbp = 0.50 fB ⇒ εbp = 0.586 ‰- za σbp = 0.75 fB ⇒ εbp = 1.000 ‰






Ako se neutralna osa nalazi u ploči, x0 ≤ dp/2, presek seproračunava kao pravougaoni, širine BAko je neutralna osa u rebru x0 > dp/2, potrebna površinazategnute armature se određuje iz uslova ravnoteže normalnihsila:

Aa =B dp σbpσv

ili Aa =Mu

σv

(h− dp

2

)





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakU slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je:

- statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi)- geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, dp)- mehaničke karakteristike (MB,σv)

Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi:- površina potrebne armature (Aa)- položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σbp)





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakSračunaju se granični statički uticaji

Mu =∑

γuiMi

Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature dozategnute ivice a1, pa se odredi statička visina

h = d− a1

Iz uslova ravnoteže momenata (5) se odredi napon pritiska usredini ploče:

σbp =Mu

B dp

(h− dp

2





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakU slučaju da se dobije da je σbp > fB, postupak se prekida ivrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra)Iz veze σ − ε, prema relaciji (10), odredi se dilatacija u srediniploče:

εbp = 2(1−√

1−σbpfB

) εa = 10 ‰ ⇒ s0

Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa (7):

x0 =εbp

εbp + εa

(h− dp

2

)= s0

(h− dp

2

)





x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x0 > dp/2neutralna osa je ispod ploče (u rebru)





Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupakDilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovoljiuslov (8):

εb = εbpx0 +

dp2

x0≤ 3.5‰

Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x0 ≤ dp/2), presek sedimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B × dAko je neutralna linija u rebru, odn. za x0 > dp/2, potrebnapovršina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteženormalnih sila)

Aa =Mu

σv

(h− dp

2
