8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
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Uno de los ejes fundamentales del proyecto SABER HACER es el apoyo al
profesorado. Sabemos que, en la actualidad, la docencia es cada vez más compleja.Asistimos a la aparición de nuevos objetivos educativos y de nuevos enfoques y
metodologías, al tiempo que cada docente se enfrenta a una diversidad cada vez
mayor dentro de las aulas (diversidad de estilos de aprendizaje y de niveles de los
alumnos, diversidad de culturas…) y a la aparición de nuevos problemas emergentes.
Para acompañar al profesor en esta situación tan compleja el proyecto SABER
HACER proporciona una completa Biblioteca del Profesorado. En ella se
recogen cientos de recursos que permitirán a cada profesor seleccionar aquellos
que mejor se adecúan a su estilo de enseñanza-aprendizaje, a su forma de evaluar
y a los requerimientos que le plantean las características concretas de su
alumnado y de su centro educativo. En definitiva, es un espacio fundamental para
la personalización de la enseñanza.
En la ESO, la Biblioteca del Profesorado se divide en cinco volúmenes:
• Día a día en el aula
Recoge los recursos destinados a apoyar al profesor en sus presentaciones y en
sus necesidades más cotidianas: fichas de atención a la diversidad y evaluación.
• Competencias para el siglo XXI. Proyectos de área
Un conjunto de proyectos especiales para el área, que favorecerán que el alumno
desarrolle las habilidades que necesitan los ciudadanos del mundo en que vivimos.
• Competencias para el siglo XXI. Proyectos interdisciplinares
Proyectos que le permitirán realizar dinámicas transversales, en coordinación
con otros departamentos.
• Solucionario
Recoge la resolución de todas las actividades incluidas en el libro del alumno.
• Tutoría
Recursos para facilitar esta importante labor.
Además, el proyecto SABER HACER proporciona un modelo de Programación
Didáctica de Aula (PDA) y de rúbricas de evaluación, en formato digital, Wordmodificable.
BIBLIOTECA
DEL PROFESORADO
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1.º ESO 2.º ESO
Día a día
en el aula
Recursos didácticos
• Esquema de la unidad
• Curiosidades matemáticas
• Notación matemática
• Estrategias de resolución de problemas
• Proyecto matemático
• Matemáticas con ordenador
• Resumen de la unidad
Enseñanza individualizada
• Fichas de repaso y apoyo
• Fichas de profundización
• Autoevaluación
Recursos para la evaluación
• Pruebas de evaluación de contenidos
• Pruebas de evaluación por competencias
• Estándares de aprendizaje y soluciones
Recursos didácticos
• Esquema de la unidad
• Curiosidades matemáticas
• Notación matemática
• Estrategias de resolución de problemas
• Proyecto matemático
• Matemáticas con ordenador
• Resumen de la unidad
Enseñanza individualizada
• Fichas de repaso y apoyo
• Fichas de profundización
• Autoevaluación
Recursos para la evaluación
• Pruebas de evaluación de contenidos
• Pruebas de evaluación por competencias
• Estándares de aprendizaje y soluciones
Solucionario Resolución detallada de todas las
actividades propuestas en el libro de
texto
Resolución detallada de todas las
actividades propuestas en el libro
de texto
Competenciaspara el siglo XXI
Proyectos de área
Literatura y matemáticas
Desarrollo de la competencia
matemática
Literatura y matemáticas
Desarrollo de la competencia
matemática
Competenciaspara el siglo XXI
Proyectosinterdisciplinares
Proyectos de trabajo cooperativo
• Magos
• Arqueólogos
• Héroes
Proyecto social
Inteligencia emocional y ética
La prensa en el aula
Proyectos de trabajo cooperativo
• Detectives
• Viajeros
• Inventores
Proyecto social
Inteligencia emocional y ética
La prensa en el aula
Tutoría 22 sesiones
Agenda del tutor
22 sesiones
Agenda del tutor
Componentes de 1.º a 4.º ESO
BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
2
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3.º ESO APLICADAS 3.º ESO ACADÉMICAS 4.º ESO APLICADAS 4.º ESO ACADÉMICAS
Recursos didácticos
• Curiosidadesmatemáticas
• Estrategias de resolución
de problemas
• Proyecto matemático
Recursos parala evaluación
• Pruebas de evaluación de
contenidos
• Pruebas de evaluación
por competencias• Estándares de
aprendizaje y soluciones
Recursos didácticos
• Esquema de la unidad• Curiosidades matemáticas
• Notación matemática
• Estrategias de resolución de
problemas
• Proyecto matemático
• Matemáticas con ordenador
• Resumen de la unidad
Enseñanza individualizada
• Fichas de repaso y apoyo
• Fichas de profundización
• Autoevaluación
Recursos para la evaluación
• Pruebas de evaluación de
contenidos
• Pruebas de evaluación por
competencias
• Estándares de aprendizaje
y soluciones
Recursos didácticos
• Curiosidadesmatemáticas
• Estrategias de resolución
de problemas
• Proyecto matemático
Recursos parala evaluación
• Pruebas de evaluación de
contenidos
• Pruebas de evaluación
por competencias• Estándares de
aprendizaje y soluciones
Recursos didácticos
• Esquema de la unidad• Curiosidades matemáticas
• Notación matemática
• Estrategias de resolución de
problemas
• Proyecto matemático
• Matemáticas con ordenador
• Resumen de la unidad
Enseñanza individualizada
• Fichas de repaso y apoyo
• Fichas de profundización
• Autoevaluación
Recursos para la evaluación
• Pruebas de evaluación de
contenidos
• Pruebas de evaluación por
competencias
• Estándares de aprendizaje
y soluciones
Resolución detalladade todas las actividadespropuestas en el librode texto
Resolución detalladade todas las actividadespropuestas en el librode texto
Resolución detalladade todas las actividadespropuestas en el librode texto
Resolución detalladade todas las actividadespropuestas en el librode texto
Literatura y matemáticas
Desarrollo dela competenciamatemática
Literatura y matemáticas
Desarrollo de lacompetencia matemática
Literatura y matemáticas
Desarrollo dela competenciamatemática
Literatura y matemáticas
Desarrollo de lacompetencia matemática
Proyectos de trabajocooperativo
• Comemos
• Percibimos
• Proyectamos
Proyecto social
Inteligencia emocionaly ética
La prensa en el aula
Proyectos de trabajocooperativo
• Comemos
• Percibimos
• Proyectamos
Proyecto social
Inteligencia emocionaly ética
La prensa en el aula
Proyectos de trabajocooperativo
• Implícate
• Navega
• Sueña
Proyecto social
Inteligencia emocionaly ética
La prensa en el aula
Proyectos de trabajocooperativo
• Implícate
• Navega
• Sueña
Proyecto social
Inteligencia emocionaly ética
La prensa en el aula
22 sesiones
Agenda del tutor
22 sesiones
Agenda del tutor
22 sesiones
Agenda del tutor
22 sesiones
Agenda del tutor
A continuación les presentamos una muestra de la PDA y el Solucionario
correspondientes a la asignatura de Matemáticas 4.º ESO.
Pueden consultar las Bibliotecas de otros cursos en: http://www.e-vocacion.es/
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Programación Didácticade Aula (PDA)
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http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 5/597BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
El modelo de Programación Didáctica de Aula de Santillana
El presente documento ofrece un ejemplo del modelo de Programación Didáctica de Aula(PDA) de Santillana para el área de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas de
4.º de ESO.
La programación pretende ser una herramienta que facilite a los profesores las siguientes ta-
reas:
• Planificar su trabajo de forma eficaz.
• Reflexionar sobre el proceso de aprendizaje de los alumnos.
• Establecer pautas claras para la evaluación.
En relación con la PDA se ha desarrollado un riguroso sistema de rúbricas para la evaluación.
El conjunto de materiales compuesto por las programaciones didácticas de aula y las rúbricas
para la evaluación constituye un apoyo muy valioso para orientar el trabajo docente y facilitar
su aplicación en el aula.
La Programación Didáctica de Aula que recoge este documento está elaborada sobre el Real
Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre de 2014, por el que se establece el currículo básico de
la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.
Las competencias educativas del currículo
‹‹En línea con la Recomendación 2006/962/EC, del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de
diciembre de 2006, sobre las competencias clave para el aprendizaje permanente, este real
decreto se basa en la potenciación del aprendizaje por competencias, integradas en los ele-
mentos curriculares para propiciar una renovación en la práctica docente y en el proceso de
enseñanza y aprendizaje. Se proponen nuevos enfoques en el aprendizaje y evaluación, que
han de suponer un importante cambio en las tareas que han de resolver los alumnos y plan-
teamientos metodológicos innovadores. La competencia supone una combinación de habilida-
des prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros compo-
nentes sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una acción
eficaz. Se contemplan, pues, como conocimiento en la práctica, un conocimiento adquirido a
través de la participación activa en prácticas sociales que, como tales, se pueden desarrollar
tanto en el contexto educativo formal, a través del currículo, como en los contextos educativos
no formales e informales››.
‹‹Se adopta la denominación de las competencias clave definidas por la Unión Europea. Se
considera que “las competencias clave son aquellas que todas las personas precisan para su
realización y desarrollo personal, así como para la ciudadanía activa, la inclusión social y el
empleo”. Se identifican siete competencias clave esenciales para el bienestar de las socieda-
des europeas, el crecimiento económico y la innovación, y se describen los conocimientos, las
capacidades y las actitudes esenciales vinculadas a cada una de ellas››.
Las competencias clave del currículo son las siguientes:
• Comunicación lingüística (CL).
• Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT).
• Competencia digital (CD).
• Aprender a aprender (AA).
• Competencias sociales y cívicas (SC).
• Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (IE).
• Conciencia y expresiones culturales (CEC).
Presentación
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http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 6/59BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.8
Objetivos curriculares de la Educación Secundaria
a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a losdemás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos,
ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato y de opor-
tunidades entre mujeres y hombres, como valores comunes de una sociedad plural y pre-
pararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática.
b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como
condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio
de desarrollo personal.
c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre
ellos. Rechazar la discriminación de las personas por razón de sexo o por cualquier otra
condición o circunstancia personal o social. Rechazar los estereotipos que supongan discri-
minación entre hombres y mujeres, así como cualquier manifestación de violencia contra
la mujer.
d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus re-
laciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los
comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos.
e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sen-
tido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de
las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.
f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas
disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los
diversos campos del conocimiento y de la experiencia.
g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido
crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar de-cisiones y asumir responsabilidades.
h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y,
si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y mensajes comple-
jos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura.
i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada.
j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los
demás, así como el patrimonio artístico y cultural.
k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las dife-
rencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física
y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la
dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitossociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio
ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora.
l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones
artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.
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http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 7/599BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
El área de Matemáticas Orientadas a las Enseñanza Académicas
La competencia matemática, reconocida como clave por la Unión Europea, se desarrolla espe-cialmente gracias a la contribución de la asignatura de Matemáticas. Esta competencia se
entiende como habilidad para desarrollar y aplicar el razonamiento matemático con el fin de
resolver problemas diversos en situaciones cotidianas; en concreto, engloba los siguientes
aspectos y facetas: pensar, modelar y razonar de forma matemática, plantear y resolver pro-
blemas, representar entidades matemáticas, utilizar los símbolos matemáticos, comunicarse
con las Matemáticas y sobre las Matemáticas, y utilizar ayudas y herramientas tecnológicas.
Por otro lado, el pensamiento matemático ayuda a la adquisición del resto de competencias y
contribuye a la formación intelectual del alumnado, lo que permitirá que se desenvuelva mejor
tanto en el ámbito personal como social.
La resolución de problemas y los proyectos de investigación constituyen los ejes fundamenta-
les en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Una de las capacidades
esenciales que se desarrollan con la actividad matemática es la habilidad de formular, plantear,interpretar y resolver problemas, ya que permite a las personas emplear los procesos cogniti-
vos para abordar y resolver situaciones interdisciplinares en contextos reales, lo que resulta
de máximo interés para el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico. En este proce-
so de resolución e investigación están involucradas muchas otras competencias, además de
la matemática, entre otras la comunicación lingüística, al leer de forma comprensiva los enun-
ciados y comunicar los resultados obtenidos; el sentido de iniciativa y emprendimiento al es-
tablecer un plan de trabajo en revisión y modificación continua en la medida que se va resol-
viendo el problema; la competencia digital, al tratar de forma adecuada la información y, en su
caso, servir de apoyo a la resolución del problema y comprobación de la solución; o la compe-
tencia social y cívica, al implicar una actitud abierta ante diferentes soluciones.
El alumnado que curse esta asignatura profundizará en el desarrollo de las habilidades de
pensamiento matemático; concretamente en la capacidad de analizar e investigar, interpretar y comunicar matemáticamente diversos fenómenos y problemas en distintos contextos, así
como de proporcionar soluciones prácticas a los mismos; también debe valorar las posibilida-
des de aplicación práctica del conocimiento matemático tanto para el enriquecimiento perso-
nal como para la valoración de su papel en el progreso de la humanidad.
Es importante que en el desarrollo del currículo de esta asignatura los conocimientos, las
competencias y los valores estén integrados, por lo que los estándares de aprendizaje evalua-
bles se han formulado teniendo en cuenta la imprescindible relación entre dichos elementos.
Todo ello justifica que se haya organizado en torno a los siguientes bloques para los cursos de
3.º y 4.º de ESO, fortaleciendo tanto los aspectos teóricos como las aplicaciones prácticas en
contextos reales de los mismos: Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas, Números y
álgebra, Geometría, Funciones y Estadística y probabilidad.
El bloque de “Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas” es común a los dos cursos ydebe desarrollarse de modo transversal y simultáneamente al resto de bloques, constituyendo
el hilo conductor de la asignatura; se articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el
quehacer matemático: la resolución de problemas, proyectos de investigación matemática, la
matematización y modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico
y la utilización de medios tecnológicos.
Los bloques de contenido que articulan el área son los siguientes:
• Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas.
• Bloque 2. Números y álgebra.
• Bloque 3. Geometría.
• Bloque 4. Funciones.
• Bloque 5. Estadística y probabilidad.
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http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 10/5913BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
C O N T E N I D O S
C R I T E R I O S D E E V A L U A C
I Ó N
C U R R I C U L A R E S
C O
N T E N I D O S C U R R I C U L A R E S D E L A
E T A P A
C O N T E N
I D O S D E L A
U N I D A D
B L O
Q U E 2 . N Ú M E R O S Y Á L G E B R A
R e c o n o c i m i e n t o d e n ú m e r o s q u e n o
p u e d e n
e x p r e s a r s e e n f o r m a d e f r a c c i ó n .
N ú
m e r o s
i r r a c i o n a l e s .
R e p r e s e n t a c i ó n d e n ú m e r o s e n l a r e
c t a r e a l .
I n t e r v a l o s .
P o t e n c i a s d e e x p o n e n t e e n t e r o o f r a
c c i o n a r i o y
r a d i c a l e s s e n c i l l o s .
I n t e r p r e t a c i ó n y u s o d e l o s n ú m e r o s
r e a l e s e n
d i f e r e n t e s c o n t e x t o s e l i g i e n d o l a n o t a c i ó n y
a p r o x i m a c i ó n a d e c u a d a s e n c a d a c a s o .
P o t e n c i a s d e e x p o n e n t e r a c i o n a l . O
p e r a c i o n e s
y p r o p i e d a d e s .
J e r a r q u í a d e o p e r a c i o n e s .
C á l c u l o c o n p o r c e n t a j e s .
I n t e r é s s i m
p l e y
c o m p u e s t o .
N ú m e r o s r a c i o n a l e s e i r r a c i o n a l e s .
N ú m e r o s r e a l e s .
A p r o x i m a c i o n e s y
e r r o r e s d e n ú m e r o s r e a l e s .
I n t e r v a l o s e n l a r e
c t a r e a l .
P o r c e n t a j e s .
I n t e r é s s i m p l e y c
o m p u e s t o .
I d e n t i f i c a c i ó n d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s ,
i r r a c i o n a l e s
y r e a l e s .
R e p r e s e n t a c i ó n e
n l a r e c t a d e l o s n ú m e r o s
r a c i o n a l e s ,
i r r a c i o
n a l e s y r e a l e s .
O b t e n c i ó n d e a p r o x i m a c i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s .
O b t e n c i ó n d e e r r o
r e s a b s o l u t o s y r e l a t i v o s d e
a p r o x i m a c i ó n .
D e s c r i p c i ó n y r e p r e s e n t a c i ó n d e i n t e r v a l o s y
s e m i r r e c t a s .
C á l c u l o d e p o r c e n
t a j e s y p o r c e n t a j e s e n c a d e n a d o s .
O b t e n c i ó n y c á l c u
l o d e i n t e r e s e s s i m p l e s y
c o m p u e s t o s .
V a l o r a c i ó n d e l a i m p o r t a n c i a d e l a s m a t e m á t i c a s e n
l a s o l u c i ó n d e p r o
b l e m a s d e l a v i d a c o t i d i a n a .
B 2 - 1 .
C o n o c e r l o s d i s t i n t o s t i p o s
d e n ú m e r o s e i n t e r p r e t a r e l
s i g n i f i c a d o d e a l g u n a s d e s u s p r o p i e d a d e s m á s
c a r a c t e r í s t i c a s : d i v i s i b i l i d a d , p a r i d a d ,
i n f i n i t u d , p r o x i m i d a d ,
e t c é t e r a .
B 2 - 2 .
U t i l i z a r l o s d i s t i n t o s t i p o s d
e n ú m e r o s y o p e r a c i o n e s ,
j u n t o c o n s u s p r o p i e d a d e s , p a r a
r e c o g e r , t r a n s f o r m a r e
i n t e r c a m b i a r i n f o r m a c i ó n y r e s o l v
e r p r o b l e m a s r e l a c i o n a d o s
c o n l a v i d a d i a r i a y o t r a s m a t e r i a s d e l á m b i t o a c a d é m i c o .
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 11/5914 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
B L O Q U E 1 . P R O C E S O S , M É
T O D O S Y A C T I T U D E S E N
M A T E M Á T I C A S
C R I T E R I O S D E E V A L U A C I Ó N
C U R R I C U L A R E S
E S T Á N D A R E S D E A P R E N
D I Z A J E
I N D I C A D O R E
S D E L O G R O
A C T I V I D A
D E S
( * )
C O M P E T E N C I A S
B 1 - 2 . U t i l i z a r p r o c e s o s d e r a z o n a m i e n t o
y e s
t r a t e g i a s d e r e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a
s ,
r e a l i z a n d o l o s c á l c u l o s n e c e s a r i o s y
c o m
p r o b a n d o l a s s o l u c i o n e s o b t e n i d a s .
B 1 - 2 . 1 . A n a l i z a y c o m p r e n d e e l
e n u n c i a d o d e l o s p r o b l e m a s ( d
a t o s ,
r e l a c i o n e s e n t r e l o s d a t o s , c o n
t e x t o d e l
p r o b l e m a ) .
C o m p r e n d e l a s i t u
a c i ó n p l a n t e a d a e n
e l e n u n c i a d o d e l o
s p r o b l e m a s y
r e s p o n d e a l a s p r e g u n t a s q u e s e l e
f o r m u l a n , e m p l e a n d o n ú m e r o s y d a t o s
r e l a c i o n a d o s e n t r e s í .
P á g . 1 7 .
S a b e r h a c
e r y
a c t s . 2 7 a
3 0 .
P á g . 1 9 .
A c t s . 3 5 y
3 6 .
P á g . 2 6 . A c
t . 1 2 8 .
P á g . 2 7 . A c
t . 1 3 4 .
C L
C M C T
A A
B 1 - 6 . D e s a r r o l l a r p r o c e s o s d e
m a t e m a t i z a c i ó n e n c o n t e x t o s d e l a
r e a l i d a d c o t i d i a n a ( n u m é r i c o s ,
g e o m é t r i c o s , f u n c i o n a l e s , e s t a d í s t i c o s o
p r o b
a b i l í s t i c o s ) a p a r t i r d e l a
i d e n
t i f i c a c i ó n d e p r o b l e m a s e n
s i t u a
c i o n e s p r o b l e m á t i c a s d e l a r e a l i d a d .
B 1 - 6 . 1 . I d e n t i f i c a s i t u a c i o n e s
p r o b l e m á t i c a s d e l a r e a l i d a d , s
u s c e p t i b l e s
d e c o n t e n e r p r o b l e m a s d e i n t e
r é s .
I d e n t i f i c a y c o m p r
e n d e l a s i t u a c i ó n
p l a n t e a d a e n c o n t e x t o s d e l a v i d a
c o t i d i a n a y a p a r t i r d e e l l o s d e s a r r o l l a
p r o c e s o s m a t e m á
t i c o s .
P á g . 2 6 . A c
t . 1 2 8 .
P á g . 2 7 . A c
t . 1 3 4 .
C M C T
A A
B 1 - 7 . V a l o r a r l a m o d e l i z a c i ó n m a t e m á t i c a
c o m
o u n r e c u r s o p a r a r e s o l v e r p r o b l e m
a s
d e l a r e a l i d a d c o t i d i a n a , e v a l u a n d o l a
e f i c a
c i a y l i m i t a c i o n e s d e l o s m o d e l o s
u t i l i z
a d o s o c o n s t r u i d o s .
B 1 - 7 . 1 . R e f l e x i o n a s o b r e e l p r o c e s o y
o b t i e n e c o n c l u s i o n e s s o b r e é l
y s u s
r e s u l t a d o s .
J u s t i f i c a e l p r o c e s
o s e g u i d o p a r a
r e s o l v e r e l p r o b l e m a p l a n t e a d o .
P á g . 2 2 . A c t . 7 8 .
P á g . 2 6 . A c
t . 1 3 3 .
P á g . 2 7 . A c
t . 1 3 4 .
C M C T
A A
B 1 - 8 . D e s a r r o l l a r y c u l t i v a r l a s a c t i t u d e s
p e r s
o n a l e s i n h e r e n t e s a l q u e h a c e r
m a t e m á t i c o .
B 1 - 8 . 1 . D e s a r r o l l a a c t i t u d e s a d e c u a d a s
p a r a e l t r a b a j o e n m a t e m á t i c a s : e s f u e r z o ,
p e r s e v e r a n c i a , f l e x i b i l i d a d y a c
e p t a c i ó n
d e l a c r í t i c a r a z o n a d a .
D e s a r r o l l a a c t i t u d
e s a d e c u a d a s p a r a
e l t r a b a j o e n m a t e
m á t i c a s : e s f u e r z o ,
p e r s e v e r a n c i a , f l e
x i b i l i d a d y
a c e p t a c i ó n d e l a c
r í t i c a r a z o n a d a .
P á g . 2 6 .
A c t s . 1 2 8 a
1 3 3 .
P á g . 2 7 .
P r o y e c t o f i n a l y
a c t . 1 3 4 .
C M C T
A A
( * ) :
L a p a g i n a c i ó n d e l a s a c t i v i d a d e s q u e a p a r e c e e n e s t o s m o d e l o s n o e s
l a d e f i n i t i v a .
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 12/5915BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
B L O Q U E 1 . P R O C E S O S , M É
T O D O S Y A C T I T U D E S E N
M A T E M Á T I C A S ( c o n t i n u
a c i ó n )
C R I T E R I O S D E E V A L U A C I Ó N
C U R R I C U L A R E S
E S T Á N D A R E S D E A P R E N
D I Z A J E
I N D I C A D O R E
S D E L O G R O
A C T I V I D A
D E S
( * )
C O M P E T E N C I A S
B 1 - 1 2 .
U t i l i z a r
l a s
t e c n o
l o g
í a s
d e
l a
i n f o r m a c
i ó n y
l a c o m u n
i c a c
i ó n
d e m o d o
h a b
i t u a
l e n e
l p r o c e s o
d e a p r e n
d i z a
j e ,
b u s c a n
d o ,
a n a
l i z a n
d o y s e
l e c c
i o n a n
d o
i n f o r m a c
i ó n r e
l e v a n
t e e n
I n t e r n e
t o e n
o t r a s
f u e n
t e s ,
e l a b o r a n
d o
d o c u m e n
t o s
p r o p
i o s ,
h a c
i e n
d o e x p o s
i c i o n e s y
a r g u
m e n
t a c
i o n e s
d e
l o s m
i s m o s y
c o m
p a r t i e n
d o e s
t o s e n e n
t o r n o s
a p r o
p i a d o s p a r a
f a c
i l i t a r
l a i n t e r a c c
i ó n .
B 1 - 1 2 . 1 .
E l a b o r a
d o c u m e n
t o s
d i g i t a l e s
p r o p
i o s
( t e x
t o ,
p r e s e n
t a c
i ó n , i m
a g e n ,
v í d e o ,
s o n
i d o …
) c o m o r e s u
l t a d o
d e
l
p r o c e s o
d e
b ú s q u e
d a ,
a n
á l i s i s
y
s e
l e c c
i ó n
d e
i n f o r m a c
i ó n r e
l e v
a n
t e ,
c o n
l a h e r r a m
i e n
t a t e c n o
l ó g
i c a a d e
c u a
d a y
l o s c o m p a r t e p a r a s u
d i s c u s i ó n o
d i f u s
i ó n .
E l a b o r a u n
i n f o r m
e c o m o r e s u
l t a d o
d e
l p r o c e s o
d e
b ú
s q u e
d a ,
a n
á l i s i s y
s e
l e c c
i ó n
d e
i n f o r m a c
i ó n r e
l e v a n
t e .
P á g . 2
7 .
P r o y e c
t o
c o o p e r a t
i v o .
C L
C M C T
C D
A A
( * ) :
L a p a g
i n a c
i ó n
d e
l a s a c
t i v i d a
d e s q u e a p a r e c e e n e s
t o s m o
d e
l o s n o e s
l a d e
f i n i t i v a .
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 13/5916 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
B L
O Q U E 2 . N Ú M E R O S Y Á L
G E B R A
C R I T E R I O S D E E V A L U A C I Ó N
C U R R I C U L A R E S
E S T Á N D A R E S D E A P R E N D I Z A J E
I N D I C A D O R E
S D E L O G R O
A C T I V I D A
D E S
( * )
C O M P E T E N C I A S
B 2 -
1 .
C o n o c e r l o s d i s t i n t o s t i p o s d e
n ú m
e r o s e i n t e r p r e t a r e l s i g n i f i c a d o d e
a l g u
n a s d e s u s p r o p i e d a d e s m á s
c a r a c t e r í s t i c a s : d i v i s i b i l i d a d , p a r i d a d ,
i n f i n
i t u d , p r o x i m i d a d , e t c .
B 2 - 1 . 1 .
R e c o n o c e l o s d i s t i n t o s t i p o s
n ú m e r o s ( n a t u r a l e s , e n t e r o s , r a c i o n a l e s e
i r r a c i o n a l e s y r e a l e s ) , i n d i c a n d o e l c r i t e r i o
s e g u i d o , y l o s u t i l i z a p a r a r e p r e s e n t a r e
i n t e r p r e t a r a d e c u a d a m e n t e i n f o r m a c i ó n
c u a n t i t a t i v a .
I d e n t i f i c a , o r d e n a
, c l a s i f i c a y
r e p r e s e n t a d i s t i n t o s t i p o s d e n ú m e r o s .
P á g . 8 .
A c t s .
1 , 2
y 3 .
P á g . 9 .
A c t s .
4 y 6 .
P á g . 1
0 .
A c t s .
7 , 8
y 9 .
C M C T
A A
B 2 -
2 .
U t i l i z a r l o s d i s t i n t o s t i p o s d e
n ú m
e r o s y o p e r a c i o n e s ,
j u n t o c o n s u s
p r o p i e d a d e s , p a r a r e c o g e r , t r a n s f o r m a r e
i n t e
r c a m b i a r i n f o r m a c i ó n y r e s o l v e r
p r o b l e m a s r e l a c i o n a d o s c o n l a v i d a d i a
r i a
y o t
r a s m a t e r i a s d e l á m b i t o a c a d é m i c o .
B 2 - 2 . 1 .
O p e r a c o n e f i c a c i a e m
p l e a n d o
c á l c u l o m e n t a l , a l g o r i t m o s d e
l á p i z y
p a p e l , c a l c u l a d o r a o p r o g r a m a s
i n f o r m á t i c o s , y u t i l i z a n d o l a n o
t a c i ó n m á s
a d e c u a d a .
E m p l e a l a c a l c u l a
d o r a y u t i l i z a l a
n o t a c i ó n m á s a d e
c u a d a e n l a
r e s o l u c i ó n d e p r o
b l e m a s .
P á g .
1 2 . A
c t . 1 2 .
P á g . 2
0 .
A c t s .
4 7 y 4 9 .
P á g . 2
2 .
A c t s .
6 6 y 6 8 .
C M C T
A A
B 2 - 2 . 2 .
R e a l i z a e s t i m a c i o n e s
c o r r e c t a m e n t e y j u z g a s i l o s r e s u l t a d o s
o b t e n i d o s s o n r a z o n a b l e s .
A p r o x i m a p o r e x c
e s o y p o r d e f e c t o
u t i l i z a n d o e l r e d o
n d e o y e l
t r u n c a m i e n t o y c a l c u l a l o s e r r o r e s d e
a p r o x i m a c i ó n .
P á g . 1
2 .
A c t s .
1 2 , 1
3 y 1 4 .
P á g . 1
3 .
A c t s .
1 5 , 1
6 y 1 7 .
C M C T
A A
B 2 - 2 . 4 .
A p l i c a p o r c e n t a j e s a l a r e s o l u c i ó n
d e p r o b l e m a s c o t i d i a n o s y f i n a n c i e r o s y
v a l o r a e l e m p l e o d e m e d i o s t e
c n o l ó g i c o s
c u a n d o l a c o m p l e j i d a d d e l o s
d a t o s l o
r e q u i e r a .
C a l c u l a p o r c e n t a j e s p a r a r e s o l v e r l o s
p r o b l e m a s q u e s e l e p l a n t e a n .
P á g . 1
6 .
A c t s .
2 4 , 2
5 y 2 6 .
P á g . 1
7 .
S a b e r h a
c e r y
a c t s .
2 7 a 3 0 .
P á g .
2 7 .
A c
t . 1 3 4 .
C M C T
C D
A A
B 2 - 2 . 6 .
C o m p a r a , o r d e n a , c l a
s i f i c a y
r e p r e s e n t a d i s t i n t o s t i p o s d e n
ú m e r o s
s o b r e l a r e c t a n u m é r i c a u t i l i z a
n d o
d i f e r e n t e s e s c a l a s .
O r d e n a , c l a s i f i c a
y r e p r e s e n t a
d i s t i n t o s t i p o s d e
n ú m e r o s s o b r e l a
r e c t a n u m é r i c a .
P á g . 8 .
A c t s .
2 y 3 .
P á g .
9 . A
c t . 6 .
P á g . 1
0 .
A c t s .
7 , 8
y 9 .
C M C T
A A
( * ) : L a p a g i n a c i ó n d e l a s a c t i v i d a d e s q
u e a p a r e c e e n e s t o s m o d e l o s n o e s
l a d e f i n i t i v a .
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 14/5917BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
O T
R O S E L E M E N T O S D E L A
P R O G R A M A C I Ó N
O
R I E N T A C I O N E S
M
E T O D O L Ó G I C A S
M O D
E L O S M E T O D O L Ó G I C O S
P R I N C I P I O S M E T O D O L Ó
G I C O S
A G R
U P A M I E N T O
R M
o d e l o d
i s c u r s i v o / e x p o s i t i v o .
R M
o d e l o e
x p e r i e n c i a l .
£ T
a l l e r e s .
R A
p r e n d i z
a j e c o o p e r a t i v o .
R T
r a b a j o p
o r t a r e a s .
£ T
r a b a j o p
o r p r o y e c t o s .
£ O
t r o s .
R A
c t i v i d a d y e x p e r i m e n t a c i ó n .
R P
a r t i c i p a c i ó n .
£ M
o t i v a c i ó n .
R P
e r s o n a l i z a c i ó n .
£ I n
c l u s i ó n .
R I n
t e r a c c i ó n .
R S
i g n i f i c a t i v i d a d .
R F
u n c i o n a l i d a d .
£ G
l o b a l i z a c i ó n .
£ E
v a l u a c i ó n f o r m a t i v a .
£ O
t r o s .
R T
a r e a s i n d i v i d u a
l e s .
R A
g r u p a m i e n t o f l e x i b l e .
£ P
a r e j a s .
R P
e q u e ñ o g r u p o .
£ G
r a n g r u p o .
£ G
r u p o i n t e r c l a s e
.
£ O
t r o s .
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 15/5918 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
R
E C U R S O S P A R A
L A E V A L U A C I Ó N
P R O C E
D I M I E N T O S D E E V A L U A C I Ó N
I N S T R U M E N T O S P A R A L A E V A L U A C I Ó N
S I S T E M A
D E C A L I F I C A C I Ó N
R O
b s e r v a c i ó n d i r e c t a d e l t r a b a j o d i a r i o .
R A
n á l i s i s y v a l o r a c i ó n d e t a r e a s
e s p e c i a l m e
n t e c r e a d a s p a r a l a e v a l u a c i ó n .
R V
a l o r a c i ó
n c u a n t i t a t i v a d e l a v a n c e
i n d i v i d u a l ( c
a l i f i c a c i o n e s ) .
R V
a l o r a c i ó
n c u a l i t a t i v a d e l a v a n c e i n d i v i d u a l
( a n o t a c i o n e
s y p u n t u a l i z a c i o n e s ) .
£ V
a l o r a c i ó
n c u a n t i t a t i v a d e l a v a n c e
c o l e c t i v o .
£ V
a l o r a c i ó
n c u a l i t a t i v a d e l a v a n c e c o l e c t i v o .
£ O
t r o s .
R O
b s e r v a c i ó n d i r e c t a .
R E
l e m e n t o d e d i a g n ó s t i c o : r ú b r i c a d e l a
u n i d a d .
R E
v a l u a c i ó n d e c o n t e n i d o s , p r u
e b a
c o r r e s p o n d i e n t e a l a u n i d a d .
R E
v a l u a c i ó n p o r c o m p e t e n c i a s ,
p r u e b a
c o r r e s p o n d i e n t e a l a u n i d a d .
R O
t r o s d o c u m e n t o s g r á f i c o s o t
e x t u a l e s .
£ D
e b a t e s e i n t e r v e n c i o n e s .
R P
r o y e c t o s p e r s o n a l e s o g r u p a l e s .
£ R
e p r e s e n t a c i o n e s y d r a m a t i z a
c i o n e s .
£ E
l a b o r a c i o n e s m u l t i m e d i a .
£ O
t r o s .
C a l i f i c a c i ó n c u a n
t i t a t i v a :
P r u e b a s d e e v
a l u a c i ó n d e c o n t e n i d o s .
C a l i f i c a c i ó n c u a l i t a t i v a : t e n d r á c o m o c l a v e
p a r a e l d i a g n ó s t i c o
l a r ú b r i c a c o r r e s p o n d i e n t e
a l a u n i d a d .
P r u e b a s d e e v
a l u a c i ó n p o r
c o m p e t e n c i a s .
O b s e r v a c i ó n d
i r e c t a .
T R A B A J O
C O O P E R A T I V O
O r g a n i z a r a
c t i v i d a d e s p a r a c o s t e a r e l v i a j e d e f i n d e c u r s o
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 16/5919BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
C O N T E N I D O S
T R
A N S V E R S A L E S ( * )
E x p r e s i ó n
o r a l y e s c r i t a .
R e a l i z a r u n i n f o r m
e c o n c a d a u n a d e l a s p r o p u e s t a s
d e a c c i o n e s y a c t i v i d a d e s v i a b l e s
p a r a r e c a u d a r d i n e r o p a r a
c o s t e a r e l v
i a j e d e f i n d e c u r s o ( p á g i n a 2 7 ) .
C o m u n i c a c i ó n a u d i o v i s u a l . E v o l u c i ó n d e l a b
a n c a ( p á g i n a s 6 y 7 ) . L o s t i p o s d e n ú m e r o s ( p á g i n a 1 0 ) . L o s i n t e r v a l o s
( p á g i n a 1 4 ) .
E l t r a t a m i e
n t o d e l a s t e c n o l o g í a s d e l a i n f o r
m a c i ó n y d e l a c o m u n i c a c i ó n .
U s
o d e l a c a l c u l a d o r a p a r a r e a l i z a r d i f e r e n t e s o p e r a c i o n e s
( p á g i n a s 1 2
, 2 0 y 2 2 ) . B ú s q u e d a d e i n f o r m a c i ó
n s o b r e a c c i o n e s y a c t i v i d a d e s p a r a
r e c a u d a r d i n e r o p a r a c o s t e a r e l v i a j e d e f i n d e c u r s o ( p á g i n a
2 7 ) .
E m p r e n d i m
i e n t o .
H a l l a r l o s c o n j u n t o s n u m é r i c o s a l o s q u e p e r t e n e c e u n n ú m e r o
( p á g i n a 1 1 ) . C a l c u l a r l a u n i ó n y l a i n t e r s e c c i ó n d e i n t e r v a l o s
( p á g i n a 1 5 )
. R e s o l v e r p r o b l e m a s d e p o r c e n t a j e
s e n c a d e n a d o s ( p á g i n a 1 7 ) . R e p r e s e n t a r u n a r a í z c u a d r a d a a p l i c a n d o
e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s
s u c e s i v a s v
e c e s ( p á g i n a 2 0 ) . C a l c u l a r l a c a n t i d
a d i n i c i a l s a b i e n d o l o s i n t e r e s e s p r o d u c i d o s ( p á g i n a 2 5 ) . O r g a n i z a r a c t
i v i d a d e s p a r a c o s t e a r e l
v i a j e d e f i n
d e c u r s o ( p á g i n a 2 7 ) .
E d u c a c i ó n
c í v i c a y c o n s t i t u c i o n a l . L a i m p o r t a n c i a d e l a s m a t e m á t i c a s p a r a r e s o
l v e r s i t u a c i o n e s d e l a v i d a d i a r i a ( p á g i n a s 2 6 y 2 7 ) .
( * ) : L a p a g i n a c i ó n d e l a s a c t i v i d a d e s q u e a p a r e c e e n e s t o s m o d e l o s n o e s
l a d e f i n i t i v a .
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 17/59
Solucionario
del libro del alumno
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 18/59
NÚMEROS REALES. PORCENTAJES1
CLAVES PARA EMPEZAR
a) 354735,47100
b) 1 346 13 1 33313,4699 99
c) 5 231 52 5 1795,231990 990
a) 7,2 c)17 2
53 3
b)4
7 d)
12 22
5 5
VIDA COTIDIANA
Una cuenta bancaria es un servicio que ofrecen los bancos para guardar el dinero de sus clientes. A su vez,estos pueden llevar el control de lo que tienen en cada momento.
• Si tenemos 1 440 € en el banco y este mes hemos gastado 480 € de nuestra cuenta, ¿qué parte de nuestrosahorros hemos gastado? ¿Qué porcentaje de lo que teníamos representa ese gasto?
Nos hemos gastado480 1
1 440 3 de nuestros ahorros.
Ese gasto representa1 33,3
0,3 33,33 100
%.
0 1 −3 −2
7,27 8 5 6
23BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.
8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 19/59
RESUELVE EL RETO
Entre cada dos números racionales existe uno irracional y entre cada dos irracionales existe uno racional.
a) Calcula un número irracional comprendido entre1
1000
y1
999.
b) Calcula un número racional situado entre 0,12131415… y 2,12141618…
Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) 0,001 < 0,001000100001… < 1,001
b) 0,12131415… < 0,1214 < 2,12141618…
¿Es el truncamiento siempre una aproximación por defecto? ¿Y el redondeo?
Es por defecto si el número es positivo, y por exceso si es negativo.
El redondeo es por defecto si el número es positivo y la primera cifra que eliminamos es menor que 5,
o bien si el número es negativo y la primera cifra que eliminamos es mayor que 5; y por exceso en caso contrario.
Si disminuimos porcentualmente una cantidad C en un 10 %, ¿qué aumento porcentual habrá que aplicarlea la nueva cantidad para volver a obtener la cantidad inicial?
100 90100 100 10 100 100 10 100 901
100 100 100 100 100 100 10 000
a a a aC C
100 90 10 000 9 000 90 10 000 90 10 000 9000 1000 a a a
El aumento porcentual que habrá que aplicar para obtener la cantidad inicial es1000
11,1%90
a
.
Paloma deposita 1 000 € en un banco a un rédito del 2 % anual de interés compuesto. ¿Qué cantidad de dinerorecibiría si decide sacarlo a los 6 meses? ¿Y si lo hace al año y medio?
Si decide sacar el dinero a los seis meses, como todavía no ha finalizado el período de inversión,
no se trata de un interés compuesto.
Si aplicamos el interés simple:
61 000 2
12 10 €100 100
C r t I
Saca: 1 000 + 10 = 1 010 €.
Si lo hace al año y medio, habrá finalizado un período de inversión, pero no el segundo.
Primer período (1 año): Segundo período (6 meses):
12
1 1000 1 1020 €100 100
t
f i
r C C
61 000 212
10 €100 100
C r t I
Saca: 1 020 + 10 = 1 030 €.
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ACTIVIDADES
3
40y 0,075 Es un número decimal exacto.
3,6
, 3,666... y11
3 Es un número decimal periódico puro.
0,01 y5
500 Es un número decimal exacto.
a) 2, 3 2, 33 2, 3 2, 36
b) 4,27 4,2 4,22 4,2
−5 −4
−4,2−5 −4
2,32 3
2 3
2 3
−5
−4
2 3
2,332,3 2,4
−5 −4
−4,22
−4,3
−4,2
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a) 4 2 d) 14 2 16 4
b)9 4 13
e)5
c) 9 4 3 2 5 f) 4 1 2 1 3
No son irracionales los números de los apartados a), c), d) y f).
a b a b . Respuesta abierta, por ejemplo:
9 4 13
9 4 3 2 5
Racionales → 3,123123123...256
25 3,444... 3,121212... 3,04
Irracionales → 3,121122111222... 3,48163264... 331 10 2
32562 3,48163264... 3,444... 10 31 3,123123123... 3,121212... 3,121122111222...
25
2 3−5 −4
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a) 2 210 3 1 d) 2 2
10 3 1
b) 2 217 4 1 e) 2 2
17 4 1
c) 2 226 5 1 f) 2 2
26 5 1
a) 898979482 6 , .4 6.. c) 424773 9, 7961
b) 73201 3 2 0, 508 8
0 1
0 1
0 1
0−1
0−1
0−1
4 5
4,89 4,90
4,94,8
2 3
2,73 2,74
2,82,7
9 10
9,42 9,43
9,59,4
0 1
1 1
2
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a) 5 → Es un número entero.
b) 1,414213562 2... → Es un número irracional.
c)3
5 → Es un número racional.
d) 625 25 → Es un número natural.
e) 9,42477793 6... → Es un número irracional.
f) 37 → Es un número entero.
g)1125
225 155
→ Es número natural.
h) 2 1463 214 2 36121,463
990 110
→ Es un número racional.
a) 5,0100200030004... Irracional y real. 6,855647 546 Irracional y real.
25 Racional y real. 718281828 .2, ..e Irracional y real.
b)14
2 Racional y real.
197954,972
36
Racional y real.
16 4 Natural, entero, racional y real. 93 Natural, entero, racional y real.
c)5
3
Racional y real. 7 2 9 3 Natural, entero, racional y real.
742 3717,42
100 50 Racional y real. 2,21221222122221... Irracional y real.
d) 6 9 3 Natural, entero, racional y real. 383709 6 3 .., 9. Irracional y real.
876 9 15 3, 2983... Irracional y real. 2247448719
1,6
... Irracional y real.
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Si introducimos 8 en la calculadora, obtenemos 8 2,828427125...
Redondeo a las milésimas: 2,828
Es una aproximación por defecto.
Truncamiento a las milésimas: 2,828 Es una aproximación por defecto.
Por exceso
Por defecto
0,121212... 0,13
0,121212... 0,12
Por exceso
Por defecto
111,2222... 1,23
9
111,2222.... 1,22
9
Por exceso
Por defecto
5,23888... 5,24
5,23888... 5,23
Redondeo a las centésimas1,9 2,00
Redondeo a las centésimas4,7569 4,76
4,7569 4,76 0,0031 a
E
Redondeo a las décimas
2,3 2,3
12,3333... 2,3 0,0333...
30 a
E 0,03333... 1
0,014285...2,3333... 70
r E
Aproximación1,468 1,5
1,468 1,5 0,032 a
E 0,021798365...1,468 1,4
0,
68
032 a
r
E E
Aproximación1,468 1,4
1,468 1,4 0,068 aE
0,025068119...1,468 1,4
0,68
068 ar
E E
La mejor aproximación es la primera porque los errores obtenidos son menores.
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a) (4, 8) 4 8 x d) ( 3, 0] 3 0 x
b) ( , 2) 2 x e) ( , 4) 4 x
c) [1, 5) 1 5 x f) [ 1, ) 1 x
a) 4 0 ( 4, 0] x b) 1 2 [1, 2] x d) 10 4 (4, 10) x
a)
b)
c)
Respuesta abierta. Por ejemplo,
(2, 5) [3, 6] (2, 6] .
Respuesta abierta. Por ejemplo,
( 4, 2) ( 2, 5] ( 2, 2) .
a) ( 5, 1] [0, 2] ( 5, 2] ( 5, 1] [ 0, 2] [ 0, 1] c) [2, 4] (3, 5) [2, 5) [2, 4] (3, 5) (3, 4]
b) ( 1, 5) [1, 2] ( 1, 5) ( 1, 5) [1, 2] [1, 2] d) ( 3, 0] ( 1, 4) ( 3, 4) ( 3, 0 ] ( 1, 4) ( 1, 0]
4 81 2 0 1−3
20
0 1 5
40
−1 0
0 6
0 3
−5 10 2
−1 21 5
2 43 5
−3 −1 0 4
0
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a)5
5% de 1 000 1 000 50100
e)112
112% de 750 750 840100
b)38
38% de 800 800 304100
f)0,6
0,6% de 1 430 1 430 8,58100
c)12,3
12,3% de 500 500 61,5100
g)89
89% de 645 645 574,05100
d)122
122% de 300 300 366100
h)43
43% de 529 529 227,47100
a) Es un aumento:
100 200(100 )% de 10 10 12 20%
100 10
a a a
b) Es una disminución:
100 200(100 )% de 12 12 10 16,67%
100 12
a a a
c) Es una disminución:
100 2000
(100 )% 80 60 25%10de 80 0 80
a
a a
d) Es un aumento:
100 100(100 )% de 60 60 80 33,33%
100 3
a a a
12 11512% de 115% de 1575 1575 217,35
100 100
C : cantidad de personas fallecidas el año pasado
La mortalidad ha descendido un 12,5 % → 100 % − 12,5 % = 87,5 %
87,5 98 10098 112
100 87,5C C
personas murieron el año pasado.
C : cantidad inicial112 20 112
112 500100 100 0,224
C C
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Descuento del 20 % → 100 − 20 = 80 %. Aumento de 21 % de IVA → 100 + 21 = 121 %.
Precio final
80 121
100 100
18
000 = 17
424 € pagó Raúl finalmente por el coche.
a)94
26000 24440
100
estudiantes pasarán las pruebas.
b)25
24440 6110100
estudiantes abandonan la carrera el primer año.
c)90
(24440 6110) 16497100
estudiantes terminan la carrera.
a) 2 000, 3, 5 2000 3 5300 €
100 100
C r t C r t I I
Si ingresamos 2 000 €, al cabo de 5 años recibiremos 2 000 + 300 = 2 300 €.
b) 30, 3, 76,30
30 3 7
100 €
100
C r t C r t I I
Si ingresamos 30 €, al cabo de 7 años recibiremos 30 + 6,30 = 36,30 €.
c)8
4500, 3 ,12
84500 3
12 90100 100
€C r t C r t
I I
Si ingresamos 4 500 €, al cabo de 8 meses recibiremos 4 500 + 90 = 4 590 €.
d)30
670 , 3 ,12
30
2
670 312
100 1007,75 €
C r t C r t I I
Si ingresamos 670 €, al cabo de 30 meses recibiremos 670 + 27,75 = 697,75 €.
490 , 3 ,6 ; 5 3,6 5 490490 2 72
100 12,22 €
00 0,18
I r t C r t CI C
El capital inicial es 2 722,22 €.
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2 0 00 0, 2 40 0, 3 20 000 3 2 4002400 4 %
100 100 600
C I t C r t r I r
a)5
600 , 3 ,4 ; 5790,1
3,41 600 1
10 1 08
0 0 €i
t
C r t
f i f
r C C C
b)
2
3 400 , 3 ,4 ; 2 3,4
1 3400 1100 3635,13 €100 i
t
C r t
f i f
r
C C C
c)3
5 400 , 3 ,4 ; 3 3,41 5400 1
1005969,74 €
100 i
t
C r t
f i f
r C C C
d)2
40 000 , 3 ,4 ; 2 3,41 40 000 1
100 1042766,24
0 €i
t
C r t
f i f
r C C C
Fernando:5
1 000 , 2; 5 21 1000 1100 10
1104,08 €0
i
t
C r t f i f
r C C C
El beneficio que obtiene Fernando es 1104,08 1 000f i
C C 104,08 €.
Esther:
El beneficio de Esther es 1 000 , 2, 5 1000 2 51 000 €.
100 100
C r t C r t I I
Es mayor el beneficio de Fernando que el de Esther.
1 576, 25 1 576, 25f i f i
C C C C
3
1576,26 , 5, 31000
51 1 576,25 1
100 1000 €f i
t
C C r t
f i i i i
r C C C C C
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ACTIVIDADES FINALES
a) 2,333… → Es un número decimal periódico puro.
b) 2,345 → Es un número decimal exacto.
c) 6,00999... → Es un número decimal periódico mixto.
d) 2,435555... → Es un número decimal periódico mixto.
e) −45 → Es un número entero negativo.
f) 123,0 → Es un número entero positivo.
g)
8,91 → Es un número decimal periódico puro.
h) 57,432 → Es un número decimal periódico mixto.
20,666...
3 Periódico puro
297,25
4 Decimal exacto
372,4666...
15 Periódico mixto
1967
2 Entero positivo
Respuesta abierta, por ejemplo:
a) 2 y 3 b) 2,33333... y 4,515151... c) 2,4 y 6,25 d) −2 y −4 e)3 5 y
2 7
5,556 < 5,565 < 5,665 < 5,69 < 5,96 < 5,966
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a)23 5
2,5 29 9
d)25 1
8,3 83 3
b)15 1
0,1690 6
e)18
1,9 29
c)34 7
3,7 39 9
f)53 17
2,94 218 18
Respuesta abierta. Por ejemplo:
a)5 21 22 23 6
4 16 16 16 4
b) 7,16 7,1611 7,1612 7,1613 7,16
c) 2 5 7 313 6 6 2
d)4 97 98 99 5
5 120 120 120 6
e) 0,63 0,6324 0,6325 0,6326 0,632
f)8 85 86 87 9
11 110 110 110 10
3 4 2 3
2 3 8 9
0 10 1
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Todas son irracionales salvo 4, 9 y 16 , que son racionales.
a)2 423 24 2 399
24,232323...99 99
Racional. d) 4 8284271252 4 2, ... Irracional.
b) 828427121 8 53 .., . Irracional. e) 2
4 24 2
1 Racional.
c)3
1 8 9 31
Racional. f) 2869604401 .9, .. Irracional.
a)3 6
32 2
b)265
65 5 32
a) 732050803 1, 7... c) 1644140038 , .6 3..
b) 449489746 2, 3... d) 082761 37 7 ., 253. . 2 3
2,4 2,5
2,44 2,45
1 2
7,0 7,1
7,08 7,09
1 2
1,7 1,8
1,73 1,74
6 7
6,1 6,2
6,16 6,173
6
38
1 37
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a) 2 2 2 250 5 5 7 1
b) 2 2 2 2 2 2
72 6 6 68 2 8 2 2
a) 2 2 2 2 25 10 25 100 100 25 75 75h h h h
75 5 3 → Es un número irracional.
b)2
2 2 2 23 9 9 27 27 33 9 9 3
2 4 4 4 4 2h h h h
33 3
92 32 2 4
b h A A
→ Es un número irracional.
c) 2
22 23 3 3
3 32 4 2
h h h
→ Es un número racional.
33
323
2 2 4
b h A A A
→ Es un número irracional.
a) Falsa, por ejemplo:
0 → Es racional.
b) Falsa, por ejemplo:
9 3
4 2 → Es racional.
10
1
5
10
2
2
6
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Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) 1 2 2 , porque 414213562 1, 2...
b) 1,5 1,62
, porque 570796321,2
7...
c) 1,2 2 1,6 , porque 414213562 1, 2...
d)12
1,5 1,535
, porque 549193312
1,5
38...
a) 25,37 Es un número racional, decimal exacto.
b)6
17 Es un número racional, decimal periódico puro.
c)2
0,45
Es un número racional, decimal exacto.
d) 4641012 3 .., 1. Es un número irracional (decimal con infinitas cifras decimales que no se repiten).
e) 141592 ..3, . Es un número irracional (decimal con infinitas cifras decimales que no se repiten).
f) 7 0,0790
Es un número racional, decimal periódico mixto.
g) 64 8 Es un número natural.
h) 5 Es un número entero.
a)20543
2054,3 10 Es un número racional.
b)2 462 1031
27,3590 45
Es un número racional.
c) 256 16 Es un número natural.
d) 6283185310,5
...
Es un número irracional.
e) 47 Es un número entero.
f) 56776436331 , .5 .. Es un número irracional.
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8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
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a) 12310517 8 1 6262 .., . Es un número irracional y real.
b) 17 8 25 5 Es un número natural, entero, racional y real.
c) 87689438 17 3, 74... Es un número irracional y real.
d) 17 8 9 3 Es un número natural, entero, racional y real.
e) 4721354 20 9 ...0, 55 Es un número irracional y real.
f) 20 4 20 2 18 Es un número natural, entero, racional y real.
g) 20 4 16 Es un número natural, entero, racional y real.
h) 47213594 20 8, 55... Es un número irracional y real.
a) Racionales→ 7 7 8
5, , ,3 9 5
Irracionales→ 2 5
7 8 72 5 5
9 5 3
b) Racionales→ 35
90 Irracionales→
128, 6 3,
2
35 128 6 3
90 2
a) 8 6 2 3
b)5 16
5 12 3 22 3
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Como a es un número racional→ b
ac
, donde b y c son números enteros.
a)2
2 2 b b
ac c
Se puede expresar en forma de fracción. Es racional.
b)2 2 2
b a bc
c
Se puede expresar en forma de fracción. Es racional.
c) 2 2 a b
c Es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten. Es un número irracional.
d) a a Es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten. Es un número irracional.
a) 2 a Como a es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten, al multiplicarlo por 2 seguirá
siendo un número decimal con infinitas cifras que no se repiten. Por tanto, es irracional.
b)2
a Como a es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten, al dividirlo por 2 seguirá siendo
un número decimal con infinitas cifras que no se repiten. Por tanto, es irracional.
c) a Puede ser racional o irracional. Por ejemplo:
Si 2 a a Es un número decimal con infinitas cifras decimales. Es irracional.
Si1 1
1 a a
Se puede expresar en forma de fracción. Es racional.
d)
1
a Sia
es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten, su inverso también lo es. Es irracional.
2 2 21 1 1 3 1, 732050808...d Es un número irracional.
a) Falsa: todos los números enteros son racionales, ya que se pueden expresar como fracciones de
denominador 1.
b) Falsa: el conjunto de los números irracionales está contenido en el conjunto de los números reales.
c) Verdadera: el conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales y por
el conjunto de los números irracionales.
d) Verdadera: un número decimal es racional o irracional. Y los números racionales o irracionales son reales.
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a) Falso. Los números irracionales son números decimales que no se pueden escribir en forma de fracción.
b) Falso. Los números irracionales son números reales que no son racionales.
c) Verdadero. El conjunto de los números irracionales está contenido en el conjunto de los números reales.
d) Falso. Todos los números enteros se pueden escribir como fracciones de denominador 1, es decir, son
números racionales.
e) Verdadero. Todos los números racionales son reales.
f) Falso. Los números irracionales son números decimales que no se pueden escribir en forma de fracción. Es
decir, no son racionales.
g) Falso. Por ejemplo,1
2 es un número racional que no es entero.
h) Verdadero. Los números irracionales son números decimales con infinitas cifras que no se repiten.
i) Falso. Un número entero es un número racional que no tiene cifras decimales.
j) Verdadero. Por definición, un número es racional si se puede expresar en forma de fracción.
a) Verdadero, porque 2 2 22 2d l l l l Si el lado es racional, 2l es irracional.
b) Falso. Por ejemplo, si el lado mide 2869604401...9, A Es irracional.
c) Verdadero, porque2 2
2 2 2 2
2
2 2
22 2
a a a ad l l l l l A l
b bb b
Es racional.
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Las aproximaciones por exceso y por defecto coinciden cuando el número decimal es exacto y
aproximamos a un orden tal que todas las cifras, distintas de cero, del número son de órdenes superiores.
El redondeo siempre coincide con la aproximación por exceso o por defecto; por tanto, puede coincidir
con uno o con los dos.
a) 3,253 8,45 11,713 11,7 Error absoluto: 11,713 11,7 0,013 a
E
3, 3 8, 5 11, 8 Error absoluto: 11,713 11,8 0,087 a
E
Se comete menos error redondeando el resultado.
b) 53, 32 18, 93 34, 39 34, 4 Error absoluto: 34, 39 34, 4 0 ,01 aE
53, 3 18, 9 34, 4 Error absoluto: 34, 39 34, 4 0 ,01 a
E
Se comete el mismo error por los dos métodos.
c) 13, 5 2, 7 36, 45 36, 5 Error absoluto: 36, 45 36, 5 0, 05 a
E
13,5 2,7 36,45 Error absoluto: 36, 45 36, 45 0 a
E
Se comete menos error redondeando los factores.
d) 7,72040,92 75...: 3 ,5, 7 7 Error absoluto: 7, 72075... 7 0, 0, 7 2075... a
E
40,9:5,3 7 7169, 8... Error absoluto: 7,72075... 71698...7, 0,00377... a
E
Se comete menos error redondeando los factores.
a) 3, 59 3, 5 0 09, a
E 0,09
0,3, 59 3, 5
025069
9638...r
r
E E
b) 59,9 0,01 960 a
E 0,09
0,59,91 59,
001502253..91
.r
r
E E
a) 10,4798
Redondeo→ 10,480 10,4798 10,480 0,0002 a
E 0,0002
0,10,4798
000019084...r
E
Truncamiento→ 10,479 10,4798 10,479 0,0008 a
E 0,0008
0,10,4798
000076336...r
E
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b) 4641012 3, 1...
Redondeo→ 3,4641 012 3,4641 00000161..., a
E 0,00000161...
0,1
000000462
6...r
E
Truncamiento→ 3,4641 012 3,4641 00000161..., a
E 0,00000161...
0,
1
00000046
2
6...r
E
c)2
0,63
Redondeo: 0,7 0, 6 0, 7 0, 03 a
E
0,03
0,00,6 0 6
5,
a
r
E E
Truncamiento→ 0,6 0, 6 0, 6 0, 06 a
E
0,06
0,6 ,
10, 0 6
a
r
E E
d) 3,125
Redondeo→ 3,125 0 a
E 0r
E
Truncamiento→ 3,125 0 a
E 0r
E
a) 3, 78496 3 0, 08497 6, a
E 0,08496
0,3,78496
022446737...r
E
b) 0,004248..2,65 .7 a
E 0,004248
0,7
0016058...r
E
La cota de error es 0,001; por tanto, debemos aproximar a las milésimas→ 8,976.
a) Indica que el error relativo al aproximar la cantidad de antibiótico por 1,5 g es como mucho0,2
0,002100
.
b)Real Aproximación Real
Real Real
1,50,002
r
V V V E
V V
.
Si la cantidad de antibiótico es mayor que 1,5 g tendremos:
RealReal
Real
1,5 1,50,002 1,
0,998503006...
V V
V
Si la cantidad de antibiótico es mayor que 1,5 g tendremos:
RealReal
Real
1,5 1,50,002 1,
1,04
02970059...
V V
V
Por lo tanto, la cantidad de antibiótico estará entre 497001, 59... y 50301, 06... gramos.
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1,45→ 1,5 1,45→ 14
El error absoluto en ambos casos es 0,05, y por tanto, el error relativo es el mismo.
14159265358973, ..9. y 141592920355
3, 35391 3
.1
8..
3, 14159265358979... 3, 14159292 000000 035 26398. 676418896..0, ... a
E
El error cometido es del orden de las diezmillonésimas; por tanto, la aproximación es buena
y podemos escribir355
113 .
x 1: primera aproximación x 2: segunda aproximación
1 21 2
Real Real
( ) ( )( ) ( ) a a
r r
E x E x E x E x
V V
Si los valores reales coinciden, los errores absolutos coinciden también.
Si los valores reales no coinciden, se puede afirmar que los errores absolutos son diferentes.
a) [0, 5) c) (40, ) e) [0, 12) (65, )
b) 2,8 [0; 2,8] d) [30, 60] f) [ 2, 6]
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a) 0 7 x e) 4 2 x
b) 3 7 x f) 7 3 x
c) 2 4 x g) 5 6 x
d) 5 3 x h) 4 6 x
a) [ 1, 5) e) [ 1, 0]
b) ( 5, 1] f) ( 5, 0 )
c) ( 3, ) g) ( , 4]
d) ( , 3) h) [5, )
a) (3, ) b) (1, 5) c) ( , 2] d) ( 4, )
a)1
13
Falso. c)5
24
Verdadero. e)
21
2 Verdadero.
b) 1 8 3 Falso. d)4 1
9 2 Verdadero. f)
3 5
2 4
Falso.
0 1 7
0 1 3 7
0−2 1 4
0−7 1−3
0 1 5 6
0 1 4 60−5 1−3
0−4 1−2
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a) A
B =
,3
b) A B C = ( A B) C = (− , 5)
c) A C = [2, 3]
d) A B C = ( A C ) B = ø.
a) Falso. b) Falso. c) Falso. d) Verdadero.
a) [ 0, 2) [ 2, 1) 0 ,1 c) ( 3, 1) [ 1, 4) ( 3 , 4)
b) (1, 2 ] [ 2, 1] [ 2, 2 ] d) [ 4, 1) [ 2, 3) [ 2, 1)
a) A B = [0, 5) A B = [1, 3) f) A B = (−4, 3] A B = ø
b) A B = (−2, 4] A B = (−1, 2] g) A B = ( , 2] A B = ø
c) A B = (−5, 0) A B = 3 h) A B = ( 5, ) A B = ø
d) A B = [−7, −2) A B = (−7, −6) i) A B = ( , 3] (0, ) A B = ø
e) A B = (−1, 0) (0, 1) A B = ø j) A B = A B = [−1, 0]
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a)3 15
0,1520 100
15 % d)1 16,6
0,16 16,6 %6 100
b)8 66,6
0,6 66,6 %12 100
e)7 17,5
0,17540 100
17,5 %
c)
28579 64,0,6 64, %
14 100
14428571 285714 f)
571428
22 28,
0, 28, %7 1
85714 571 200
4 8
34 17 1 34 646646 323
100 100 2 100 2C C C
34 68 34646 2 2 646 1 292
100 100 100C C C
42 9090 0,21 5428,
100 2 0,27 428
11
CC C
1 3 1515 0,015 1 000
2 100 0,015C C C
a) Calculamos el (100 + 20,5) % de 1 020:
100 20,5 120,51020 1020 1229,1
100 100
b) Calculamos el (100 − 35) % de 1 020:
100 35 651020 1020 663100 100
c) Calculamos el (100 + 75) % de 1 020:
100 75 1751020 1020 1785
100 100
d) Calculamos el (100 − 15,75) % de 1 020:
100 15,75 84,251020 1020 859,35
100 100
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a) (100 32)% de C 135 240
240 177,7100 1,35
C C
b) (100 2,4)% de C 97,6 240
240 245,100 0,976
9016...C C
c) (100 16,8)% de C 116,8 240240 205,
100 1,14794520
685C C
d) (100 48)% de C 52 240240 461,
100 053846
,521C C
a) (100 24)% de 0,60124
0, 6 0, 744 0, 744 0, 6 0,144100
€/unidad de aumento.
b) (100 24)% de 1,10124
1,1 1,364 1,364 1,1 0,264100
€/ℓ de aumento.
c) (100 24)% de 10,45 958124
10, 45 12, 12, 958 10, 45 2, 408100
€/kg de aumento.
d) (100 24)% de 1,42124
1,42 1,7608 1,7608 1,42 0,3208100
€/docena de aumento.
e) (100 24)% de 2,30124
2, 3 2, 852 2, 852 2, 3 0, 552100
€/kg de aumento.
4001,25
320 Subida del 25 %
15001,25
1200 Subida del 25 %
551,2222...
45 Subida del 22,22 %
281,4
20 Subida del 40 %
Los aumentos ordenados de menor a mayor son:
Subida de 45 a 55 < Subida de 320 a 400 = Subida de 1 200 a 1 500 < Subida de 20 a 28
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80 2424 30 30 24 6
100 0,8C C días ha disminuido la lista de espera.
100 36 13634 34 1,36 34 46,24
100 100
€ debe ser el precio final de cada artículo.
Aumento del 30 % (100 30 ) % 130 %
Disminución del 15 % (100 15) % 85 %
130 8545 1,3 0,85 45 49,725
100 100 € costará el artículo.
130 85 130 85 11 050 110,51,105
100 100 100 100 10 000 100
110,5 % es el porcentaje sobre el precio inicial.
75 70125 0,525 125
100 100C C 238,10C € valía el producto.
121 118120 1, 4278 120
100 100C C 84,05C € era el precio del abrigo.
No es lo mismo. Por ejemplo:
125 125 125 1251,5625
100 100 100 100C C C
→ Corresponde a un aumento del 56,25 %.
125 2502 2,5
100 100C C C → Corresponde a un aumento del 150 %.
No es lo mismo. Por ejemplo:
130 130 169
100 100 100C C → Corresponde a un aumento del 69 %, no a uno del 60 %.
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100 110100 1101
100 100 10 000
a aC C
1000
100 9,09 %11
a a
El porcentaje de disminución es del 9,09 %.
116 40 4 640 46,4
100 100 10 000 100C C C El resultado es el 46,4 % de la cantidad inicial.
20 000 , 2 ,75 , 4 20000 2,75 42200 €
100 100
C r t C r t I I
a) 800 , 1,8 , 2 ,5 800 1,8 2,536
100 100
C r t C r t I I
€
b) 1 2 00 , 1, 8, 2 ,5 1 200 1,8 2,554
100 100
C r t C r t I I
€
c) 2 4 0 00 , 1, 8, 2 ,5 24 000 1,8 2,51 080
100 100
C r t C r t I I
€
d) 5 750 , 1, 8, 2 ,5 5 750 1,8 2,5258,75
100 100
C r t C r t I I
€
100 , 3 ,5 , 2 ,5 100 3,5 2,58,75
100 100
C r t C r t I I
€
11760 10000 1760I
10 000 , 1 7 60 , 2 10 000 2 17601760 200 8,8
100 100 200
C I t C r t r I r r
% de rédito
5 080 4 000 1 0 80I
4 000 , 1 080 , 3 4 000 3 1 0801 080 1 200 0,9
100 100 1 200
C I t C r t r I r r
% de rédito
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8/15/2019 BIBLIOTECA DEL PROFESORADO
http://slidepdf.com/reader/full/biblioteca-del-profesorado 50/59
3 000 , 225 , 3 3 000 3 225225 90 2,5
100 100 90
C I r C r t t I t r
años
a)3
750 , 1, 25 ; 3 1,251 750 1 778,48
100 100i
t
C r t
f i f
r C C C
€
b)2
5 3 0 00 , 1, 25 ; 2 1,251 53 000 1 54 333,28
100 100i
t
C r t
f i f
r C C C
€
c)
5
9 400 , 1, 25 ; 5 1,25
1 9 400 1 10 002,37100 100
i
t
C r t f i f
r C C C
€
d)4
6 2 0 00 , 1, 25 ; 4 1,251 62 000 1 65 158,61
100 100i
t
C r t
f i f
r C C C
€
5
500, 3; 5 31 500 1 579,64
100 100i
t
C r t
f i f
r C C C
€
579,64 500 79,64f i
I C C € de interés.
10
2 000 , 2 ,75 ; 10 2,751 2 000 1 2623,30
100 100i
t
C r t
f i f
r C C C
€
2 623,30 2 000 623,30f i
I C C € de interés.
2
200, 5; 2 51 200 1 1,1025100 100
f
t
C r t
f i i i
r
C C C C
200181,41
1,1025i
C € de capital invertido.
5
244, 4 5 41 244 1 1126,23
100 100f i
t
C C r t
f i i i i
r C C C C C
€ es el capital invertido.
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Para que se conviertan en 5 500 €:
5 500 , 10 ; 5 000 10
1 5 500 5 000 1 1100 100
f i
t t
C r Cf i
r C C t
Para que se conviertan en 6 050 €:
6 050 , 10 ; 5 000 101 6 050 5 000 1 2
100 100f i
t t
C r C
f i
r C C t
DEBES SABER HACER
a)7 1
23 3
c) 2 265 7 4
b) 1,25
41 Es un número natural.8
49 Es un número racional.
12310562617 , .4 .. Es un número irracional.−
87 Es un número entero.
Redondeo175,6 5,7
3
5, 6 5, 7 0, 3 a
E
0,3
0,05885,
235 ...6
29r
E
Truncamiento175,6 5,6
3
5, 6 5, 6 0, 6 a
E
0, 6
0,11765,
470 ...6
59r
E
2 3 0 1
4
1 2
1,2 1,31,25
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A B = (−5, + ) A B = (−1, 3]
85 121120 123,42 €
100 100 tendrá que pagar por el artículo.
a)
1000, 7, 5 1000 7 5350 €
100 100
C r t C r t I I
1000 350 1 3 50 €
f
C C I
b)5
1000, 7 5 71 1000 1 1 402,55 €
100 100i
t
C r t
f i f
r C C C
−5 −1 3
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COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana.
a) Final del primer año →
100 1,90
480 3 12 489, 12 36 453, 12 €100
Final del segundo año → 100 1,9
453,12 3 12 461,73 36 425,73 €100
b) Si decidimos comprar la tableta a pesar de no tener dinero suficiente en el banco, tendremos que ingresar:
• El saldo negativo→ 510 425,73 95,27 €
• Un 4,58 % de esta cantidad→ 4,58
95,27 4,36 €100
• 39 € por quedarnos en números rojos.
Es decir, el total que tendremos que ingresar será 95, 27 4, 36 39 138, 63 €
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FORMAS DE PENSAR. Razonamiento matemático.
Suponemos que 2 es racional, es decir, se puede expresar en forma de fracción irreducible:
2 a
b , con
a
b fracción irreducible
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad, y llegamos a una contradicción:
2
22 2
a a
b b
2b es divisor de 2
a
Pero esto no es posible, pues a y b son primos entre sí, por ser a
b irreducible.
Por tanto, 2 es irracional.
Si3
5
a
b →
3 5 8
3 5 15
a b
a b
y
3 5 2
3 5 15
a b
a b
son fracciones irreducibles.
Intentamos ahora extraer una regla general:
Supongamos que a b
a b
no es fracción irreducible, es decir,
a b c
a b d
con d a b .
Así:
( ) ( ) a b c b
a b d a b c d b c d a b d a
Como a
b es una fracción irreducible y b c d es un número entero:
a b c cd a x
a b d a x
, con x un número entero.
( )b a c x
d a b x b d d a x b x a c b x a c x a b x
, con x b
Por tanto, a
bno puede ser una fracción irreducible. →
a b
a b
es una fracción irreducible.
Del mismo modo, supongamos que a b
a b
no es fracción irreducible, es decir, a b c
a b d
con d a b .
Así:
( ) ( ) a b c b b
a b d a b c d d b c d d b c a b d a a
Como a
b es una fracción irreducible y d b c es un número entero:
a b c cd a x
a b d a x
, con x un número entero
( )b a x c
d a b x b d d a x b x a c b x a x c a b x
, con x b
Por tanto, a
bno puede ser una fracción irreducible. →
a b
a b
es una fracción irreducible.
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a) 6,325 b) 6,356 c) 6,32 d) 6
a)21 7
2,39 3
210 72,33
90 3
b) 3250,325
999 32500 325
0,3253299 900 999
c)18
1,9 29
En los apartados a) y b) se produce este resultado porque el anteperíodo puede integrarse en el período
El resultado del apartado c) se da porque considerar 1,999... con infinitas cifras decimales es lo mismo que
considerar el número 2.
Sí, son resultados correctos.
Para que el error absoluto por redondeo fuera menor que una millonésima, tendremos que tomar un redondeo
a las millonésimas. En este caso la cota de error absoluto será de media millonésima, pero si tomásemos el
redondeo a las cienmilésimas la cota de error sería de 5 millonésimas, que es mayor que una millonésima.
PRUEBAS PISA
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a) • Es falsa: al pagar de forma proporcional al tamaño del piso, todos los inquilinos están pagando
el metro cuadrado al mismo precio.
• Es verdadera: si conocemos la superficie de un piso, S, y su precio, P, podemos establecer el precio
del metro cuadrado, S
P. Multiplicando este valor por la superficie del segundo piso, obtendremos el precio
del segundo piso.
• Es verdadera si conocemos la superficie total del edificio, ya que podemos calcular el precio del metro
cuadrado y después, con el precio de cada piso, podemos obtener su superficie.
Si no conocemos la superficie total del edificio la afirmación es falsa.
• Es verdadera: si se reduce el precio total del edificio en un 10 %, se reduce de forma proporcional el precio
del metro cuadrado. Por tanto, el precio de cada piso se reduce en un 10 %.
b) 95 + 85 + 70 = 250 m2 es la superficie total del edificio.
Por tanto, al propietario del piso 2 le corresponde pagar85 17
250 50 del total. Es decir:
17300000 102000
50
zeds
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