YUNIAR WARDANI, AMK.,SKM., MPH081802697021
[email protected] / [email protected]
1
BIOSTATISTIK DESKRIPTIF
2
Statistik untuk Kedokteran dan Kesehatan M. Sopiyudin Dahlan Sagung Seto atau Toga MasBiostatistik Eko Budiarto, SKMFundamental of Biostatistic Bernad
Rosner
3
MateriSesi 1 Sejarah Statistik
Sesi 2 Konsep data
Sesi 3 Pengaturan , penyusunan distribusi frekwensi dan penyajian data dengan grafik
Sesi 4 Ukuran tendensi tengah (mean, weighted mean dan median)
Sesi 5
Ukuran tendensi tengah, penyebaran data dan keruncingan data (modul, geometrik mean, harmonik mean)
Sesi 6 Ukuran penyebaran data dan keruncingan kurva (range, varians, standar deviasi)
Sesi 7 Ukuran penyebaran data dan keruncingan kurva (persentil, boxplot)
Sesi 8 Konsep probabilitas, peluang kejadian mutually ekslusif, peluang kondisional
Sesi 9 Teori Bayes
Sesi 10 Rate, proporsi, prevalen dan insiden
Sesi 11 Sensitifitas dan spesifisitas, odds ratio, risiko relatif
Sesi 12 Distribusi binomial, distirbusi poisson dan distribusi normal
Sesi 13 Estimasi thd nilai mean
Sesi 14 Estimasi thd nilai proporsi
4
SESI 1SEJARAH STATISTIK
5
Perkembangan StatistikPengertian StatistikPembagian Statistik
Perkembangan Statistik6
Italia statista : pejabat negara (dikenal sejak zaman Romawi). Dipergunakan untuk kepentingan negara yang berisi data pendudukInggris Raja Henry VII 1532
memerintahkan untuk melakukan pencatatan mortalitas penduduk. Th 1632 Inggris resmi menggunakan catatan kematian dan kelahiran. Th 1662 Kapten John Graunt membuat prediksi data kematian dg dasar catatan kematian selama 30 thn
Lanjutan…………7
William Farr, Karl Pearson menggunakan statistik kesehatan tetapi masih banyak kendala dg alasan statistik hanya menggunakan angka2yg tidak sesuai dan perhatian hanya terfokus pd penderita
Pengertian Statistik8
Kumpulan angka yang dihasilkan dari pengukuran / penghitungan yg disebut DATAStatistik sampelS/u metode ilmiah yg d/ digunakan sbg alat
bantu u/ mengambil keputusan, mengadakan analisis data hasil penelitian
Manfaat Statitik (Kesehatan)9
Merencanakan program pelayanan keshMenentukan aternatif penyelesaian masalah
keshMelakukan analisis ttg berbagai penyakit slm
periode waktu tertentu (time series analysis)Menentukan penyebab timbulnya penyakit
baru yg blm diket/menguji obat bg peny tertentu
PENTING10
Statistik Hanya TOOLS (alat) dan bukan satu2nya alat bantu untuk menarik kesimpulan. Misalnya hasil lab, Px R/, pengalaman klinik dll
Peranan Statistik dalam Penelitian11
Menghitung sampel yg diambil dlm suatu populasi sampel dipertanggungjawabkanMenguji validitas dan reliabilitas instrumenTeknik menyajikan data shg data lebih
komunikatifMenguji hipotesis penelitian yg diajukan
Pembagian Statistik12
STATISTIK
DESKRIPTIF
INFERENSIAL
PARAMETRIS
NON PARAMETRIS
13
Deskriptif : menggambarkan/menganalisa s/u keadaan (bukan untuk membuat kesimpulan). Kegiatannya meliputi pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data dan analisis sederhana berupa penghitungan median, variasi, mean, rasio/proporsi dan persentase
14
Statistika Deskriptif
Membantu menyusun (organize) data sehingga menjadi berarti.Meringkas (summarize) dataMenyelidiki hubungan antar variabelMembantu dalam melakukan analisis pendahuluan sebelum menggunakan teknik analisis inferensial.
KUI 611: KMPK14
15
Inferensial:digunakan u/ menarik kesimpulan ciri2 populasi yg dinyatakan dlm parameter populasi mll penghitungan2 statistik sampel.Kegiatannya meliputi pengujian hipotesis berdasarkan estimasi dan distribusi probabilitas.
Inferensial Parametris menganalisa data interval/rasio yg diambil dari populasi yg terdisribusi normal
16
Inferensial Non parametris: digunakan u/ menganalisa data nominal dan ordinal dari populasi yg bebas distribusinya
Note:1. Nominal: tdk berjenjang/peringkat ( L/P)2. Ordinal: mpy jenjang (tgk pendidikan)3. Interval: data nominal/ordinal tetapi
dinyatakan dlm angka (suhu badan 38)4. Rasio: jaraknya sama, mpy angka nol
absolut
17
SESI 2KONSEP DATA
18
Konsep DataJenis DataSkala Data dan Fungsinya
19
Permasalahan - Penelitian
KUI 611: KMPK19
Populasi sampel
Variabel dependen – outcome – respons: Y
independen – faktor – var. penjelas : X
Data
sampling
non-random
random
•pengukuran•pencacahan•wawancara•dst
X Y
1. Konsep Data20
Data: kumpulan angka yang dihasilkan dr pengukuran /penghitunganAsal kata datum materi/kumpulan fakta yg
dipakai utk keperluan s/u analisa, diskusi, presentasi ilmiah/tes statistik.Materi/kumpulan fakta dpt spt informasi, ket,
dr s/u obyek /bbr obyek yyg dikumpulkan sendiri oleh si peneliti, atau berasal dari sumber lain seperti instansi, badan internasional, hasil publikasi ilmiah atau hasil penelitian orang lain.
Sumber Data21
1. Data intern: dikumpulkan berdasarkan hasil pengamatan/penelitian sendiri yg dipakai untuk keperluan sendiri. Contoh: data medical record , kapasitas tempat tidur,dan lain-lain
2. Data ekstern:data yang dikumpulkan berdasarkan data yang sudah ada seperti data yang diambil dari publikasi pihak lain.
Cara Pengumpulan Data22
1. Pengamatan (observation),pengamatan dapat berupa: Interview (tanya jawab) Pemeriksaaan, pemeriksaan dapat dilakukan secara
pemeriksaan, penghitungan, pengukuran
2. Pencatatan (recording) Semua data keterangan/bilangan hasil
pengamatan itu harus dicatat, dengan cara umum seperti di tulis dengan angka, huruf, gambar, grafik, dan sebagainya. Untuk melakukan pencatatan dibutuhkan formulir - formulir pencatatan yang sudah direncanakan dengan baik.
Jenis Data berdasarkan pengukuran23
1. Data kuantitatif dr pengukuran (numerical data) umur : 27 tahun Jumlah anak: lima orang Penghasilan perbulan: rp. 150.000,00 Tinggi badan: 157,5 cm Kadar hb: 14,4 gr%
2. Data kualitatif ket yang bukan bilangan Nama:Rafidh Jenis kelamin: Laki-laki Alamat: Yogyakarta Agama: islam,dan seterusnya
24
3. Data kontinu data bilangan dari hasil pengukuran, biasanya dalam bentuk bilangan pecahan (tergantung pada tingkat ketelitian dari hasil pengukuran data bilangan tersebut)
Contoh: BB : 34,5kg TB : 125,5 meter
25
4. Data diskrit merupakan data dari hasil penghitungan yang biasanya berbentuk
bilangan- bilangan bulat dan tidak berbentuk bilangan
pecahan.
Contoh: jumlah kelereng : 15 buahJumlah kambing : 3 ekorjumlah pengunjung puskemas bulan januari
tahun 2006: 15.000 orang
Objektivitas Data26
1. Validitas sejauhmana data yang diamati dan dikumpulkan mencapai maksud yang sebenarnya. Contoh untuk mengukur panjang.tinggi atau lebar suatu benda menggunakan mistar
2. Reliabilitas sejauhmana data yang diamati dan dikumpulkan dapat dipercaya dan dan dapat dipertanggungjawabkan
3. Accuracy (ketelitian) banyak faktor yang mempengaruhi derajat dari ketelitian, disamping alat yang digunakan.
2. Jenis Data berdasarkan asalnya27
1. Primer diperoleh secara langsung dari anamnese (alloanamnese dan auto anamnese), pengisian kuesioner
2. Sekunder diperoleh secara tidak langsung, biasanya dari data yang sudah terisi
28
Skala Data
NominalOrdinalIntervalRatio
29
Skala NominalIdentifikasi-KlasifikasiData deskrit/kategorik penyusunannya
diklasifikasikan dlm bbrp kategori dg kedudukan setara
Variabel responfasilitas kesehatan tersedia tidak tersedia
Jenis fasilitas kesehatan Puskesmas
Klinik
Rumah Sakit
Lainnya
30
Skala Ordinal
Identifikasi-KlasifikasiUrutan-jenjang
30
Variabel responKepuasan pelayanan kesehatan sangat puas
puas
tidak puas
sangat tidak puas
Tingkat pendidikan Perguruan Tinggi
SMU
SMP
SD
31
Skala IntervalIdentifikasi-KlasifikasiUrutan-jenjangSelisih
31
Variabel responTemperatur dalam skala Celcius 0, 36, 40, dst.
Tahun (Kalender) Masehi 0, 1945, 2007, dst
32
Skala RasioIdentifikasi-KlasifikasiUrutan-jenjangSelisihRasio (ada titik nol murni)
KUI 611: KMPK32
Variabel responBerat badan (kg) 12, 64, 100, dst.
Tinggi badan (cm) 50, 100, 170, dst.
Biaya pemeriksaan (rupiah) 25.000, 50.000, 5 juta, dst
Umur (tahun) 2, 10, 40, 65, dst.
Tugas33
Pilih salah satu topik dari jurnal yg didownload dari web http://www.ncbi.nlm.nih.gov/ contoh no 9 adequat of prenatal care and neonatal mortalityIdentifikasi skala data dari judul yang anda
ambilKumpulkan pekan depan (full text journal dan
summary report dengan tulisan tangan)
Contoh34
No
Variabel Skala Keterangan
1. Usia• <20 th• 20-24 th• 25-29 th• 30-34 th• >35 th
Ordinal • Identifikasi klasifikasi • Urutan berjenjang/tidak setara• Tidak bisa dilakukan dengan operasional matematika
2. Ras• Putih• Hitam• Selain putih dan hitam
Ordinal
3. Status perkawinan• Kawin• Tidak kawin
Nominal
• Identifikasi klasifikasi• Mempunyai kedudukan yang setara
35
SESI 3
PENGATURAN DAN PENYUSUNAN DISTRIBUSI FREKWENSI
Pendahuluan36
Data kuantitatif lebih mudah dalam penataannya dibandingkan dengan data yang bergolongan kualitatif. Data kuantitatif rata-rata, simpangan
baku, median modus dan perhitungan statistik.Data kualitatif distribusi frekwensi,
distribusi relative, distribusi kumulatif.
Distribusi Frekwensi37
Hasil penelitian tentang berat badan 24 mahasiswa sebagai berikut 40,60,45,50,53,70,43,65,67,42,55,52,50,43,60,45,40,52,53,43,70,65,55,60.
Diket:1. Urutkan data kecil besar array2. Buat Tabel (kelp dan tdk berkelp)
Istilah dlm penyusunan distribusi frekwensi :38
1. Jumlah Kelas perhatikan individu yang diamati dan luasnya penyebaran dari hasil pengamatan. STURGES: K=1+3,3 log N
2. Interval Kelas luasnya penyebaran data yang diamati/jarak antara nilai bilangan yang terkecil dengan yang terbesar (range)a. Range= nilai terbesar-nilai terkecilb. interval kelas ( C)= range/ jumlah kelas
39
3. Batas Kelas: batas nilai yang sesungguhnya/class boundary (actual class limit) menambahkan nilai atas dan mengurangi nilai bawah dengan angka 0,5.Limit kelas/tepi kelas: batas kelas yang tercantum.
4. Titik Tengah Kelas: data kuantitatif yang memakai interval kelas.
Titik tengah tersebut diatas ditentukan sebagai berikut:
0+1 = 0,5 2 2+3 = 2,5 2 4+5 = 4,5 2
Jumlah anak yang hidup
Titik tengah
0-1 0,5
2-3 2,5
4-5 4,5
6-7 6,5
40
41
5. Lebar Interval (i)
Jumlah Pengukuran (R)
i = -------------------------------- Jumlah Interval (n) n = 1 + 3,3 Log N
Distribusi Frekuensi Bergolong (berkelompok)
42
Pengertian : Tabel distribusi frekuensi yang menggunakan pengelompokan dalam nilai.Tujuan: Menghemat tenaga, menyingkat
ruangan.
Contoh43
18 13 16 4 10 10 15 17 16 1621 22 20 7 (23) 10 18 (3) 10 810 11 10 10 6 11 23 19 19 2021 12 10 17 7 12 5 9 12 1512 12 16 20 14 15 14 15 16 1517 16 16 14 14 15 19 13 15 1421 8 19 19 19 13 13 19 14 13 20
Penyajian Tesktular Dan Semitabuler44
Tekstual dan semitabuler hanya sesuai untuk data yang ukurannya kecil dan mempunyai kemampuan menyimpulkan secara terbatas.
A. Tekstual, mis Proporsi terbesar kasus DBD mereka yang berusia 5- 9 tahun, yaitu 25 %. Sedangkan terkecil berusia 20-25 tahun
45
B. Semi tekstual: metoda ini suatu pemisahan digunakan pada teks untuk memasukkan hitungan atau ringkasan yang dikehendaki.
Diantara 103 Kasus Penderita PMS, 100 orang diantaranya telah menikah, perincian lamanya menikah sbb :
< 3 tahun 50 orang 3- 5 tahun 20 orang 5 tahun 30 orang
46
C. Penyajian Tabel: Untuk mengatur observasi/ individu kasus yang sama dikumpulkan sehingga frekuensi pemunculannya dalam kelompok dapat diamati dan bentuk tabel tergantung pada maksud penyajiannya, untuk apa tabel dirancang dan kompleksitas materi (data/ informasi) yang ingin disajikan
Prinsip penyusunan Tabel47
1. Tabel disusun sesederhana mungkin (umumnya tidak lebih dari 3 variabel dalam satu tabel agar mudah dibaca).
2. Tabel harus dapat menjelaskan sendiri:a. Kode, singkatan atau simbol digunakan, maka
hal ini harus dijelaskan pada catatan kaki.b. Setiap baris dan kolom diberi label yang
ringkas tetapi jelas.c. Satuan pengukuran data harus dicantumkan.
3. Judul harus jelas, ringkas, dan ‘to the point’ menjawab per tanyaan apa, kapan dan dimana ?
4. Total harus ditunjukkan, total diletakkan pada baris terakhir dan kolom paling kanan.
5. Judul terpisah dari badan tabel oleh garis atau spasi.6. Sumber data disebutkan, kecuali data primer.
Jenis tabel menurut jenis variabel klasifikasi
48
Kasifikasi kualitatif Klasifikasi kuantitatif (distribusi frekwensi) Klasifikasi kombinasi kualitatif dan kuantitatif
D. Penyajian Grafik Dan Diagram 49
Mempermudah pengertian bahan yang disajikan.
Mengubah data dalam bentuk yang dapat berbicara.
Teknik/pola untuk menemukan teknik hubungan yang tersembunyi.
Untuk menemukan persamaan matematik yang sesuai untuk grafik atau diagram tertentu
Definisi Grafik 50
Metode yng menunjukkan data kuantitatif menggunakan sistem koordinat ( sumbub X= variabel bebas/independent varariabel, Sb Y =variabel terpengaruh/dependent variabel), di tiap sumbu dituliskan skala pengukuran.
51
1. Harus dapat menjelaskan sendiri (judul singkat, jelas, menjelaskan apa, dimana, kapan).
2. Grafik dibuat sederhana (tiadak terlalu banyak garis/simbul).
3. Tiap sumbu harus dicantumkan skala pengukuran.4. Frekuensi, persentase dan angka (rate) umumnya
diletakkan pada sumbu Y/ vertikal, dan variabel kuantitativ/ kualitatif pada sumbu horisontal atau X.
5. Skala sb Y harus dimulai dari 0, kecuali bila rentang jauh diats garis batas, skala yang tdk memiliki observasi dihilangkan dan digunakan tanda pemutusan.
6. Namun titik nol tetap harus ditunjukkan.
52
Grafik dan Tabulasi
HistogramDiagram BatangStem-and-leafDiagram LingkaranPiramida PendudukGrafik lain (piktoral, kombinasi)Tabulasi Frekuensi
52
53
Histogram
Representasi grafik dari distribusi frekuensi data kontinu
Biaya (ribu rupiah)
Fre
kue
nsi
40 50 60 70 80 90 100
05
10
15
53
54
Diagram Batang (Barplot)
A B C D E
02
04
06
08
01
00
Data kunjungan di 5 puskesmas A, B, C, D, E di suatu kabupaten
54
55
Grafik Stem-and-leaf
Untuk menunjukkan distribusi dataData berupa angka dengan minimal dua digit
4 3 9
5 1 1 5 5 5 6 8 9
6 0 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8 8 9
7 1 2 2 3 4 4 5 5 8
8 3 4 9
9 2Stem=10 Leaf=1
55
56
57
Diagram Lingkaran (Pie chart)
AB
C D
E
Data kunjungan di 5 puskesmas A, B, C, D, E di suatu kabupaten
57
58
Piramida PendudukIndonesia 2000
15000 10000 5000 0 5000 10000 15000
0- 4 5- 910-1415-1920-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-6465-6970-7475-7980-8485-8990-9495-99100+
Numbers ('000)
Males Females
Population 212,1mThe oldest age group is open-ended.
58
59
Piramida Penduduk
% Total Populasi
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
pria wanita
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85-89
90-94
95-99
100-104
Keterangan
biru Indonesia
putih Jepang
Pembandingan duaPiramida populasi
59
60
Grafik Piktorial & Kombinasi
60
61
Grafik Piktorial & Kombinasi
61
62
Distribusi Frekuensi
Kategori Jumlah Persen
Penolong persalinan
Dokter
Bidan
Dukun
Lainnya
46
854
284
16
3.8%
71.2%
23.7%
1.3%
Total 1200 100.0%
62
63
Aktivitas – Latihan – Sesi 2
Buatlah deskripsi variabel-variabel yang telah dipilih pada aktivitas-latihan sesi 1, jika belum ada datanya, cobalah buat data simulasi (rekaan). Pilih metode yang paling tepat, apakah grafik atau tabelInterpretasikan hasil yang diperoleh
63
64
SESI 4
UKURAN TENDENSI TENGAH
Pengertian65
Mean : Angka Rata-rata Median: Angka yang ada di tengah (suatu
nilai yang membatasi 50% frekuensi distribusi bagian bawah dan 50% frekuensi distribusi bagian atas).MEAN : Mean = angka rata-rata (jumlah nilai -nilai
dibagi dengan jumlah individu)Rumus :
Mean : X 1 + X 2 + X 3…..X n N
66
Rumus lain:M= Σ X
NKeterangan : M = Mean = Rata-rata Σ = Sigma = Jumlah
Contoh67
Penghasilan 3 orang masing-masing Rp 15.000,-, Rp 10.000,- ,Rp 20.000,- Maka Mean/ rata-rata dari penghasilan =
15.000 + 10.000 + 20.000 ------------------------------- = 15.000
3Jadi rata-ratanya Rp 15.000
Menghitung mean pada distribusi tunggal (mean yang di timbang)
Penghasilan (X) Frekwensi (f) fX
20.000 1 20.000
15.000 1 15.000
10.000 4 40.000
Jumlah 6 fX=75.000
68
Mean= Σfx/N= 75.000/6=12.500
Menghitung mean pada distribusi bergolong
Penghasilan (X) Titik Tengah (X) Frekw (f) fX
20.000-25.000 22.500 1 22.500
15.000-19.000 17.000 1 17.000
10.000-14.000 12.000 4 48.000
Jumlah 6 87.500
69
Mean= Σfx/N= 87.500/6=14.583
NILAI RATA-RATA70
Macam nilai rata-rata yaitu:Rata-rata hitung (arithmetic mean)Rata-rata ukur (geometric mean)Rata-rata harmonis (harmonic mean)Rata-rata kuadratis ( quadratic mean)
NILAI RATA-RATA HITUNG 71
Rata-rata hitung = meanRumus utk menghitung nilai rata-rata untuk
data yang belum berkelompok (ungrouped data)
Dimana
Xi = data-data dalam kuumpulan bilangan terN= banyaknya data
N
XX i
jumlah
ratarataX
Contoh72
Hitung nilai rata-rata tinggi badan mahasiswa, dengan data=147,5;161,5; 152,5; 159,7; 166,6 (cm)Jawab:
157,5 5
166,6 159,7 152,5 161,5147,5
N
XX i
Nilai Rata-Rata Untuk Data Yang Sudah Berkelompok
(Grouped Data)73
Rumus
KeteranganN
xf
f
xfx ii
i
ii
Fi adalah frekuensi dari kelompok atau kelas-kelas yang terbentuk
Tabel 4. Berat Badan Penderita Jantung Koroner Di Rumah Sakit
X Tahun 2006Berat badan Banyaknya
individu FiTitik tengah berat badan
(xi)
fixi
41-45 4 43 172
46-50 4 48 192
51-55 1 53 53
56-60 2 58 116
61-65 5 63 315
66-70 7 68 476
71-75 5 73 365
76-80 2 78 156
Total 30 1845
74
Jawab75
kg
N
xf
f
xfx ii
i
ii
5,6130
1845
Rata-Rata Dg Memakai Guessed Mean
76
Menghitung rata-rata tinggi Badan mahasiswa
Rata-Rata Yang Ditimbang (Weight Average)
77
Bila akan dilakukan perhitungan nilai rata-rata beberapa kelompok dg jumlah pengamatan setiap kelompoknya berbeda, maka harus dilakukan dengan pembebanan.Rumus:
1
21
2211
....
...
n
xnx
atau
nnn
xnxnxnx
n
nn
Contoh:
78
Pengukuran berat badan penderita paru –paru ,masing-masing kelompok terdiri dari 3 dan 10 orangKelompok 1: 50, 55, 54, rata-ratanya: 53 KgKelompok 2: 50, 53,52,55,57, rata-ratanya:
53,4KgKelompok 3: 51,55,57,60,52,48,47,58,59,62,
rata-ratanya: 54,9 Kg
Rata-rata tanpa pembebanan:¯x = (53+53,4+54,9)/3 = 53,8 Kg
Rata-rata dengan pembebanan
Kelompok N N n ¯x
1 3 53 159
2 5 53,4 267
3 10 54,9 549
18 161,3 975
79
¯x = 975/18= 54,17 Kg
RATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN)
80
Jarang dipakai rata-rata hitung atau arithmatic meanRumus:1. Data tidak berkelompok
2. Data g byk pengelompokan
n xnxxxMg ...3.2.1
xiN
Mg log1
log
813. Data berkelompok
xifiN
Mg log1
log
Keterangan:xi: semua nilai dalam kumpulan bilanganMg: rata-rata ukurX1,x2,…xn: nilai dalam kumpulan bilanganN: banyaknya bilangan
Contoh82
Hitung rata-rata ukur TB 50 orang mhsTabel 4. Tinggi badan mahasiswa di kotaA
MEDIAN83
Nilai yang membatasi 50% frekuensi distribusi bagian bawah dengan 50% frekuensi distribusi bagian atas.
Median hanya tergantung pada banyaknya frekuensi tidak tergantung kepada variasi nilai -nilai variabel.
Cara Menentukan Median : 1. Susun data dalam bentuk arry data (data disusun dari nilai
terendah ke nilai tertinggi).2. Nilai yang membatasi 50% frekuensi distribusi bagian
bawah dengan 50%3. Frekuensi distribusi bagian atas adalah median
a. Bila frekuensi ganjil : ambil nilai tengah.b. Bila frekuensi genap nilai tengah= dengan menjumlahkan 2 nilai yang ada ditengah dan dibagi dua
Contoh
Hitung nilai mediannya!
Individu Penghasilan (Rp)
1 10,0002 12,0003 13,0004 14,0005 16,0006 16,0007 20,000
84
median penghasilan yaitu Rp 14.000
Kasus85
Nilai : 13 24 35 14 17 82 14 76 43 25 67 90 45 32 21 19 45 67 87 67Berapa Mean dan Median dari data di atas ?JAWAB
MENCARI MEDIAN DARI DISTRIBUSI BERGOLONG
86
Median= Bb+ (1/2N.cfb)i fd
Keterangan : 1. Bb = Batas bawah (nyata) dari interval
yang mengandung median.2. cfb = Frekuensi kumulatif (frekuensi
meningkat) di bawah interva yang mengandung median
3. fd = Frekuensi dalam interval yang mengandung median
4. i = Lebar interval.5. N = Jumlah frekuensi dalam distribusi
Kasus
Tabel 5. Distribusi Frekuensi kadar gula darah Dari 55 Orang Penderita Hipo Glikemi di Poli Penyakit Dalam, RS P, Prop X , 2002
Interval Nilai f cf100-104 1 5595-99 3 5490-94 5 5185-89 9 4680-84 (13) fd 3775-79 10 (24) cfb70-74 6 1465-69 4 860-64 3 455-59 1 1
Jumlah 55
87
88
Langkah2: 1. Membuat kolom frekuensi komulatif meningkat dari
bawah (lihat kolom 3)2. Menentukan interval mana yang mengandung
median, dengan cara membagi dua jumlah indifidu yang ada = 55/2 = 27,5.
3. Menentukan interval mana yang mengandung frekuensi komulatif 27,5 yaitu interval 80-84, sebab cf 27,5 terkandung dalam cf 37.
4. Buat garis/ panah yang menunjukkan posisi interval median.
5. Tentukan batas bawah nyata interval yang mengandung median= 79,50.(Bb)
6. Tentukan frekuensi komulatif dibawah interval yang mengandung median\ yaitu = 24 (cfb).
7. Tentukan frekuensi dalam interval yang mengandung median= 13 (fd).
8. Tentukan lebar interval = 5. (i)9. Tentukan jumlah frekuensi distribusi=5 (N).
89
Median= Bb+ (1/2N.cfb)i fd
= 79,50+ (27,50.24)5 13
= 79,50+1,346 =80,846
Artinya : separo dari 55 orang mempunyai kadar gula diatas 80,846 dan separo dibawah 80,846.
MODUS/MODE90
Mode/ modus dapat dibatasi :Dalam distribusi tunggal = nilai variabel
yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam distribusi.Dalam distribusi bergolong = Titik tengah
interval kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam distribusi.
Contoh91
Serangkaian nilai 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9. (nilai timbul paling banyak adalah nilai 8, maka nilai 8 adalah mode/modus dari distribusi nilai nilai itu.Bila nilai sudah disusun dalam tabel,
penting melihat frekuensinya. Nilai variabel yang sebaris dengan
frekuensi tertinggi itulah mode/modus, demilian juga pada distribusi bergolong.
Berapa nilai modusnya? (nilai modusnya 7) NILAI FREKWENSI
10 1
9 0
8 15
7 18
6 4
5 3
4 1
3 1
92
Nilai modusnya? 93
Menentukan Nilai Modus Dari Data Yang Belum Berkelompok
94
Dari kumpulan bilangan sebagai berikut : 162,157,171,149,154 tidak ada modusnya
Dari kumpulan bilangan sebagai berikut: 159,162,153,147,162,156,modusnya 162
Dari kumpulan bilangan sebagai berikut: 157,164,149,164,151,157,162, modusnya 1dan 164
Dari kumpuan bilangan sebagai berikut: 142,147,162,142,147,147,154, modusnya 147
Apabila mempunyai modus hanya satu disebit sebagai unimodal, yang mempunyai dua modus disebut sebagai bimodal
Menentukan Modus Dari Data Yang Sudah Berkelompok
95
Rumus:
Keterangan : Mo: modusL1: batas bawah kelas modusD1: selisih antara frekwensi dari kelas modus dengan frekwensi
dari kelas didepannyaD2: selisih antara frewensi kelas modus dengan frewensi kelas
dibelakangnya C: interval kelas
cdd
dLMo .
21
11
Contoh: tentukan nilai modus dari data berikut ini:
Berat badan (kg)
Jml individu
35-39.9 9
40-44,95 21
45-49,9 32
50-54,9 25
55-59,9 12
60-64,9 3
Jumlah 92
96
Jawab:
01,485.)2532()2132(
213295,44
.21
11
c
dd
dLMo
Hubungan Antara Mean, Median Dan Modus
97
Pada kurva yang simetris mean,median dan modus terletak pada satu titik (mean=median=modus)
Pada distribusi miring kekanan, modus akan bergeser kekiri mengikuti nilai debngan frekwensi terbanyak, mean akan bergeser ke kanan karena terpengaruh oleh nilai ekstrem dan median terletak antara mean dan modus
Bila distribusi miring kekiri, modus akan bergeser kekanan mengikuti nilai dengan frekwensi terbanyak, mean akan bergeser ke kiri karena terpengaruh oleh nilai ekstrem dan median terletak antara mean dan modus
98
Secara empiris, jarak antara modus dan median merupakan 2/3 jarak antara modus dan mean
Modus mengalami pergeseran terbesar diikuti oleh mean dan median
Median relatif stabil dibandingkan modus dan mean, tetapi bila rata-rata dari sampel ke sampel maka mean mempunyai fluktuasi terkecil
LATIHAN99
Hitung nilai statistik 80, 84, 56, 60, 80, 88, 68, 68, 52, 72, 76, 72, 68, 80, 56, 60, 68, 68, 76, 76, 56, 92, 80, 88, 88, 68, 80, 60, 64, 96, 88, 60, 64, 96, 88, 60, 52, 60, 72, 92, 76, 80, 76Jangkauan/J 96-52=44Banyaknya kls/K K=1+3,3 log
N=1+5,3=6,3 7Lebar kls/C c=J/K=44/7=6,28 7Buat distribusi frekwensi!
Tabel 2. Tabel Distribusi Frekwensi
Nilai Titik Tengah Frekwensi
52-58 55 5
59-65 62 6
66-72 69 9
73-79 76 5
80-86 83 7
87-93 90 6
94-100 97 1
39
100
UKURAN PEMUSATAN
Rata-rata Hitung (Aritmatic Mean)
1. Rumus 1
2. Rumus 2
3. Rumus 3
dx
.f xX
f
101
.d
f xX x
f
..d
f xX x c
f
Keterangan:
N = ∑f (jml seluruh frekwensi/byknya data) = Rata-rata sementara yg diambil pd frekw yg terletak ditengah/pd frekw terbesard = Simpangan =[x-xd]c = Lebar/panjang kls
Tabel 2. Nilai xd diambil dari frekw tengah
Nilai x f fx d fd u fu
52-58 55 5 275 -21 -105 -3 -15
59-65 62 6 372 -14 -84 -2 -12
66-72 69 9 621 -7 -63 -1 -9
73-79 76 5 380 0 0 0 0
80-86 83 7 581 7 49 1 7
87-93 90 6 540 14 84 2 12
94-100 97 1 97 21 21 3 3
39 2866 -98 -14
102
Rumus 1 = 73Rumus 2 = 79 + (-98/39) = 73.49Rumus 3 = 79 + (-14/39) x 5 = 77.21
Tabel 3. Nilai xd diambil dari frekw tengah
103
Nilai x f fk d fd u fu
52 - 58 55 5 275 -14 -70 -2 -10
59 - 65 62 6 372 -7 -42 -1 -6
66 - 72 69 9 621 0 0 0 0
73 - 79 76 5 380 7 35 1 5
80 -86 83 7 581 14 98 2 14
87 - 93 90 6 540 21 126 3 18
94 - 100 97 1 97 28 28 4 4
39 2866 175 25
Rumus 1 = 73.49Rumus 2 = 69 + (175/39) = 73.49Rumus 3 = 69 + (25/39) x 9 = 74.77
Median
Rumus
KeteranganL2 = tepi bwh kls yg memuat medianN = jml seluruh kls
= jml frekuensi sblm kls median f2 = frekuensi kls yg memuat medianC = lebar kls (jangkauan/byknya kelas)
J = kls ats – kls bwhK= 1+ 3,3 log N
2( )f
104
12 2 22[ ( / ].L N f f c
Modus
Rumus
Keterangan :
L : batas bawah kelas modusD1: selisih antara frekwensi dari kelas modus dengan
frekwensi dari kelas didepannyaD2: selisih antara frewensi kelas modus dengan frewensi kelas dibelakangnya C : interval kelas
cdd
dLMo .
21
11
105
KWARTIL
Rumus kwartil bawah (Q1)
Rumus kwartil atas (Q2)
11 1 14[ ( / ].L N f f c
33 3 34[ ( / ].L N f f c
106
Latihan
Nilai x f fk
52 - 58 55 5 275
59 - 65 62 6 372
66 - 72 69 9 621
73 - 79 76 5 380
80 - 86 83 7 581
87 - 93 90 6 540
94 - 100 97 1 97
39 2866
107
Hitung:Median Q1Modus Q3
KUARTIL108
Data yg telah tersusun mjd distribusi dibagi mjd 4 bag yg sama/kuartil.K1 merupakan 25% dr seluruh distribusi, K2
merupakan 50% dan K3 merupakan 75% dari seluruh distribusi.
109
SESI 7
TEORI PROBABILITAS
Pengantar110
Bentuk distribusi probabilitas perlu dipelajari untuk memahami dan menafsirkan implikasi umum dari studi staistik yang lebih lanjut. Perubahan acak=suatu fungsi yang
mengkaitkan bilangan riel pada setiap unsur dalam ruang sampel S.Perubah acak huruf besar, mis X.Padanannya huruf kecil, mis x.
ContohB menyatakan barang yang baik dan C
menyatakan barang yang cacat. Jika kita ingin mengetahui berapa banyaknya barang yang cacat, maka
Jika X menyatakan banyaknya pasien yang sembuh, maka X = {0, 1, 2, 3, 4}Artinya untuk x=0 menyatakan tidak ada yang sembuh, x=1 menyatakan ada satu pasien yang sembuh, analog yang lainya.
E {CCB,CBC,BCC}
E S
111
112
SESI 8
PROBABILITAS DISKRIT DAN PROBABILITAS KONTINU
Distribusi Probabilitas Diskrit113
Suatu perubah acak disebut perubah acak diskrit jika himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Pada contoh (3.1) nilai X adalah 0, 1, 2, 3, 4
maka X adalah perubah acak diskrit. Perubah acak diskrit ini menggambarkan data cacah. Lebih mudah jika semua probabilitas dari
perubah acak X dinyatakan dalam rumusan, misalnya f(x), g(x), h(x), dst. Kadang ditulis f(x)=P(X=x). Pasangan (x,
f(x)) disebut fungsi probabilitas/distribusi probabilitas perubah acak X
Distribusi Probabilitas Diskrit
Jika suatu ruang sampel memuat titik yang berhingga/banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya bilangan cacah, maka ruang sampel tersebut ruang sampel diskret.Contoh:
Suatu eksperimen dari pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali. Tentukan distribusi probabilitas X yang menyatakan banyaknya sisi muka yang tampak dari hasil eksperimen tersebutJawab: S MMM, MMB, MBM, BMM, BBM, BMB, MBB,BBB
n(S) 8
114
dimana M = sisi muka ; B = sisi belakang Misalnya:
X = perubah acak yang menyatakan banyaknya sisi muka yg munculX = { 0, 1, 2, 3}, untuk:
1. x=0, artinya tidak ada sisi muka yg muncul
2. x=1, artinya ada 1-sisi muka yg muncul
3. x=2, artinya ada 1-sisi muka yg muncul
4. x=3, artinya ada 1-sisi muka yg muncul
0 18
0 n(x )n(S)
P(X )
1 38
1 n(X )n(S)
P(X )
115
2 38
2 n(X )n(S)
P(X )
3 18
3 n(X )n(S)
P(X )
Tabel diatas memenuhi:
1.
2.
3.
Tabel 1. Distribusi Probabilitas perubah acak X
X 0 1 2 3
P(X = x)= f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8
0f(x)
116
3 31 18 8 8 8
( ) 1 x
f x
P(X x) f(x)
Distribusi kumulatif perubah acak X:
1 18 2
78
0 0 1 0 1
2 0 1 2 3 0 1 2 3 1
F( ) f( ) ; F( ) f( ) f( )
F( ) f( ) f( ) f( ) ; F( ) f( ) f( ) f( ) f( )
117
Distribusi Probabilitas Kontinyu118
Adh distribusi yang memuat perubah acak kontinyu. Dinyatakan dalam bentuk rumusan (dan
tidak dapat dinyatakan dalam bentuk tabel) karena perubah acaknya berupa interval (selang). Jika suatu ruang sampel memuat titik
sampel yang tak berhingga banyaknya, dan banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya titik pada sepotong garis, maka dikatakan ruang sampel kontinyu.
119
Cara menghitung fungsi peluang utk berbagai selang dari perubah acak kontinyu adalah sebagai berikut:
ContohSebuah toko elektronik menjual 15 radio yang diantaranya ada 5 yang rusak. Jika seorang calon pembeli melakukan test 3 radio yang dipilih secara random, tuliskan distribusi peluang dari banyaknya radio yang rusak dalam sampel tersebut
( ) ( )
( )
( )
P a x b P a x b
P a x b
P a x b
Misalkan:X = perubah acak yang menyatakan banyaknya radio yg rusak
X = {0, 1, 2, 3} 10 B,3R(3)
X=0
X=1 X=2
X=3
n N n
x k xP(X x)
N
k
5 10
0 3 1200
15 455
3
P( )
120
5 10
1 2 2251
15 455
3
P( )
5 10
2 1 1002
15 455
3
P( )
5 10
3 0 103
15 455
3
P( )
Tabel 2. Distribusi Probabilitas perubah acak X
X 0 1 2 3
P(X = x)= f(x) 120/455 225/455 100/455 10/455
0f(x)
121
Tabel diatas memenuhi:1.2.
3. P(X = x) =f(x)
Distribusi kumulatif perubah acak X:
120 225 100 10455 455 455 455
( ) 1 x
f x
120 345455 455
445455
0 0 1 0 1
2 0 1 2 3 0 1 2 3 1
F( ) f( ) ; F( ) f( ) f( )
F( ) f( ) f( ) f( ) ; F( ) f( ) f( ) f( ) f( )
Distribusi Bersyarat
Definisi probabilitas bersyarat sebelumnya bahwa kejadian B terjadi setelah A muncul dinyatakan:
Jika kejadian A dan B masing-masing menyatakan X=x dan Y=y, maka untuk X dan Y perubah acak diskrit:
Jika X dan Y kontinu, maka f(y/x
0 P(A B)
P(B / A) ; P(A)P(A)
0
P(X x,Y y)P(Y y / X x)
P(X x)f(x,y)
; g(x)g(x)
122
Fungsi f(x,y) disebut distribusi probabilitas gabungan/fungsi massa gabungan dari perubah acak diskret X dan Y jika:
1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y)
2.
3. P(X=x,Y=y) = f(x,y), utk tiap daerah A di bidang xy, maka P[(X,Y)єA] =
1x y
f(x,y)
A
f(x,y)
123
Contoh124
Dua buah bolam dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 bolam berwarna biru, 2 berwarna merah, dan 3 berwarna hijau. Jika X menyatakan banyaknya bolam berwarna biru dan Y berwarna merah yang terpilih, maka hitunglah:
a. fungsi probabilitas gabungan X dan Yb. P[(X,Y)єA], bila A daerah {(x,y)/ x+y≤ 1}
Jawab
a. Misalkan, X = banyaknya bolam biru yang terambil = {0, 1, 2}Y = banyaknya bolam merah yang terambil = {0, 1, 2}Pasangan nilai (x,y) yang terjadi :(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)
8 828
2 2 6!! !
125
Misalnya n(S) = banyaknya cara memilih 2 bolam dari 8 yang ada.
Fungsi peluang gabungan f(x,y) dinyatakan dengan rumus:
x = 0, 1,
y = 0, 1, 2
0 ≤ x+y ≤ 2
3 2 3
28
2
x y x yf ( x, y )
126
Dari hasil a diperoleh
328
3 2 3
0 0 20 0
8
2
f( , )3
14
3 2 3
0 1 10 1
8
2
f( , )
128
3 2 3
0 2 00 2
8
2
f( , )928
3 2 3
1 0 11 0
8
2
f( , )
127
314
3 2 3
1 1 011
8
2
f( , ) 328
3 2 3
2 0 02 0
8
2
f( , )
Dari hasil diatas dapat dibuat tabel distribusi probabiliatas sbb:Tabel 3. Distribusi Peluang Gabuangan X
dan Y f(x,y) X Jumlah baris
0 1 2
Y 0 3/28 9/28 3/28 15/28
1 3/14 3/14 3/7
2 1/28 1/28
Jumlah kolom 5/14 15/28 1
3/28
128
Distribusi Binomial129
proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas.
Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali
2. Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikatagorikan sebagai gagal dan sukses
3. Probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain
4. Percobaan yang berulang adalah saling bebas
130
Percobaan Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p. Distribusi probabilitas variabel acak
binomial X, jumlah sukses di dalam n percobaan diberikan oleh
dimana
nxxnqxpp
npnxb ,,3,2,1,0 ,),;(
!!
!
kkn
n
k
n
131
Ada kalanya perhitungan probabilitas distribusi binomial lebih mudah dilakukan dengan menggunakan distribusi kumulatif.Bila pada n percobaan terdapat paling tidak
sebanyak r sukses, maka distribusi binomial kumulatif dinyatakan sebagai:
n
rxr;n,pb
pnnbpnrbpnrbrXP
,;,;1,;
132
Distribusi binomial memiliki rata-rata, variansi, standar deviasi, keofisien
kemiringan, dan koefisien keruncingan sebagai berikut:
a. mean pn
b. variansi qpn 2
c. standar deviasi npq
d. keofisien kemiringan npq
pq 3
e. koefisien keruncingan npq
pq6134
Contoh 3
Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan
terhadap uji-kejut adalah ¾. Carilah probabilitas dimana 2 dari 4 komponen
yang selanjutnya diuji akan bertahan.
Penyelesaian:
Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p=3/4 untuk
masing-masing dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan
2 2 2
4
41 3 1 4! 3 27;3, .
24 4 4 2!2! 4 128b x
133
Contoh 4
Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang
langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui terkena penyakit ini, berapakah
probabilitas (a) paling tidak 10 selamat, (b) dari 3 sampai 8 selamat, dan (c)
tepat 5 selamat?
Penyelesaian:
(a) 9
0
10 1 10 1 ;15, 0,4 1 0,9662 0,0338x
P X P X b x
(b) 8
3
3 8 ;15,0,4x
P X b x
8 2
3 0
;15,0,4 ;15,0,4 0,9050 0,0271 0,8779x x
b x b x
(c) 5 4
0 0
5 5;15,0,4 5;15,0,4 5;15,0,4x x
P X b b b
0,4032 0,2173 0,1859
134
Data yg tdk dikelompokkan
Rumus
Rumus: K3 dan K1 = L + B (S-L)Ket:L= nilai sblm K3 dan K1b = kekurangan unit utk mencapai letak K3 dan K1S = nilai dimana K3 dan K1 berada
343
141
( 1)
( 1)
K n
K n
135
Recommended
