Blocage de Coulomb et effet tunnel
Boîte quantique
Effet tunnel élastique Effet tunnel inélastique
TR ( )ωZ Principaux tempscharactéristiques
TeRV
=Γtransfert de la charge=taux de transfert tunnel
temps de relaxationdu circuit [ ]CZRT ,min=τ
autres temps( )
F
Ttun
εεεετ
=
∂∂
=ln
htunnel
Coulombien
=
CeC 2
hτ
Energie de charge / blocage de Coulomb
Ve C
CG
QQG
Coulomb: en. électrostatiqueboîte à 1 électronΣ
=CeEC 2
2
GCCC +=Σ
limitations: activation CB ETk <
fluctuations quantiques KT RR > ( ) ( )SehN
ehRK 22 4
,=
2Fλ
2F
SNλ
= cond. tunnel TNhe
RG
TT
2
21==
val. typiques KEfFC C 11 =⇒=Σ
Effets Coulombiens observables pour KTCB RRETk <> ,
La boîte à un électron
Ve C
CG
QQG
VQs
Cs
Niveaux de la boîte
GQQq −=charge sur l’île
G
GGG
UUVUCQCUQ
+=== ;
circuit série équivalent
G
GGSS
GS
CCCQQCVCQ
CCC
++
==
+=111
( ) ( ) ( ) VCqCC
VCqqCC
qC
VCCC
qdqCC
qC
VC
dqCC
CqQC
dqCQdqqUE
GG
G
G
G
S
G
q
GG
S
q
G
GS
G
q
G
Gq
G
=+
−−+
=
−+
=
+
+=
+
−===
∫
∫∫∫
,22
1
21
1)(
222
2
0
000
( ) ( ) ( ) ( )∑=
−++−=q
iFC VfqqEqE
0
2 εε
( )GC CC
eE+
=2
2
( )
( )
+−+ →
−
−
= >
∑
∑212
exp
expnqg
kTEq
kTqE
kTqEq
q CEkT
q
q
C
21
+n
Boîte supraconductrice: effet de parité
Ve,2e C
CG
QQG
( )∆⋅⋅−∆= VkTD νln
ε
Qubits supraconducteurs Systèmes quantiques controlésà quelques degrés de liberté
many-particle condensatewave function ψ(r) n : nombre de paires de Cooper
ϕ : phase du supraconducteurvariables conjugués:
ϕ and n
quasihole excitations
quasiparticle excitations
Cooper pairs
superconducting gap
ε∆
∆F
E
in =],[ϕ
Y. Nakamura et al.,V. Bouchiat et al.,E. Bibow et al.
Q
CVg
Régime de charge
∆φ >> ∆n
J.R. Friedman et al.D. Vion et al.O. Buisson et al.,
L
Régime de phase
∆φ << ∆n
Boîte à paires de Cooper: qubit de charge
Effet tunnel → Effet Josephson
C,EJC
V
ϕ
q[ ] ( )[ ] ( )ϕϕϕ ˆexpˆ,ˆexpˆ,ˆ iqiiq ±=±⇒= m
q états propres de qétats de charge
( ) ( ) 11ˆexp ±±=± qqqiϕ
transfère une paire de Cooperà travers la jonction
( )
( ) ( )∑
−++−−=
−−=
q
JC
JC
qqqqEqqqqE
EqqEH
112
ˆcosˆ
2
2 ϕ
( )
−−
−
2
2
12
2qEE
EqE
cJ
Jc
Sous-espace (0,1)
( )qEE
C
J
212tan
−=α
12
cos02
sin
12
sin02
cos
αα
αα
+−=+
+=−
q q
q q( )
qEqiqiqqE
qH i
CC ∂
∂−=⇒−=
∂∂ ε
212 ))
( )
( )xJzel
xJ
zc
EE
EqEH
σσ
σσ
+−=
−−−=
21
221
Variante: boîte à deux ports
V⇑
0
2ΦΦ
≈ πθ
1ϕ
EJ/2
q( )
ϕθ
ϕϕ
cos2
cos
coscos2 21
J
JJ
E
EH
−=
+−=
1221 ,
2ϕϕθϕϕϕ −=
+=
2, 12
21qqKqqq −
=+=
[ ] [ ] iKiq == ,,ˆ,ˆ θϕ
L2
22
0
ΦΦ
− πθ bloque θ
canonique classique⇒
EJ* modulable
0
* cosΦΦ
= πJJ EE
q
πθ 2/
2/1=q0=q
θ θ
différence de courant mesurable, sauf pour
[ ]ππθ 2mod,0=⇒ grille: manipulation (entrée)
boucle: lecture (sortie)
Mesure de la charge moyenne avec un SET supra
SET
C-pairbox
Capacitive coupling
V. Bouchiat 1998
Le transistor a un électron (SET-normal)
UV
C C'
CG
U
C C'
-V
Pas de passage tunnel à travers C: boîte a un électron avec charge d'offset q=CV
CG
Pas de passage tunnel a travers C: boîte a un électron avec charge d'offset q'=-C'V
.p
E
.p+1
0
0*
.p
E
.p+1
0
10*
1-1
Indicede flux
( ) ( )2'' qUCenEnE GC −−=
( ) ( )2'' qUCenEnE GC −−=
eV/2 eV/2eV eV
I-V:transfert sequentiel de charge (stochastique)
( )nP
taux de transition vers l’état de charge n, à partir du reservoir gauche
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )kqchqileGkqkG
G nEfeVfddRe
n εεδεεεε −+−+=Γ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
112
r2
221 TVVhe
R ileileGGG
νν=
Coef trans.moyen
def: ( ) ( ) GchG eVnEn −=∆
G∆
D∆
GeV
DeV( )nEch
( ) ( )( ) 1exp
12
−
∆∆
=Γ
kTnn
Ren
G
G
GG
rbasse T ( ) ( ) 0,0 →Γ>∆ nn GG
r
processus inverse:principe de bilan détaillé
( ) ( ) ( )G
GGG Re
nnn 2,0 ∆=Γ<∆
r tunnelinggain d’énergie
( )nGΓs
( ) ( ) ( )nkT
nn GG
G Γ
∆=+Γ
rsexp1
transfert 1±→ nn
( ) ( )nn GG Γ+Γrs
( ) ( )nn DD Γ+Γsr ( )1−nP
transfert nn →−1
( )1−Γ nG
r( )1−Γ nD
s
( )1−nP( )1+Γ nG
s( )1+Γ nD
rtransfert nn →+1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]111111,, +Γ++Γ++−Γ++−Γ−+Γ+Γ+Γ+Γ−= nnnPnnnPnnnntnPtnP DGDGDDGG
rssrsrrs&
flux entrant
Flux sortant
0, état stationnaireLimite n/n+1kT <Ech
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnn
nnnPDDGG
DG
Γ+Γ+Γ+Γ+Γ++Γ
= srrs
rs11 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnnneIDDGG
DGDG
Γ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ−+ΓΓ
= srrs
vsrv11
Caractéristiques d'un SET
V
I
en fonction du bias en fonction de la grille
U=0GC
eU2
=
tRVI
4=
cE−
cE
−=
eEV
RI C
t21
( ) ( )1111,+Γ
+Γ
=Γ
Γ−= ++ nneI
DG
( ) ( ) ( )DG
DGDDGG VVe
nn−∆∆
∝Γ∆∝Γ∆∝Γ −+ ,,
G∆
D∆
GeV
DeV
Caracteristiques I-V (high T)
SET métallique- basse T
J. Pekola et al.: PRL73, (1994)
CB ETk < high-T CB ETk >
−=
TNkeVg
TkE
GG
BB
C
T
1
TkE
GG
B
C
T 6=
∆eTkNV B439.52/1 =
N: # of junctions
SET: N=2
thermométrie primaire
Spectroscopie SET d'une boîte quantique
UV/2
C C'
CG-V/2
Stability diagram: diamonds=blocked conductance
niveaux de l’île
2)1()2( ε+−EE
1)0()1( ε+−EE
0)1()0( ε+−−EE
2Ve
2Ve−
GeU
Spectroscopie de conductnce:Position du pic= nnEnE ε+−− )1()(
(Ishikuro et al. APL71, 3691 (1997).)
Effets de charge dans les MOSFETs « ultimes »
Boeuf et al. (ST-Microelectronics)
non-overlapping gatesSpeed:
formation ofa quantum dot
Tunnel barriers at large Vg
Statistique des pics: loi de Porter-Thomas
x
Fonction d'ondes des fils
NN+1
Fonction d'ondes de l'état N
Correlation entre tG et tD via ψΝ
Loi de Porter-Thomas
H=0, ensemble orthogonal, ν=2
Η0, ensemble unitaire, ν=4
22
22
2
DG
DG
GG
tt
tt
t
+∝Γ
∝Γ
( ) ( )∫−=2/
2/ ,, ,w
w DGNDG dyyxyt ψξ
( ) ( )
ΓΓ
−
ΓΓ
Γ−=Γ
−
0
12/
00 2exp
2!12/2νν
νν
ν
P
Mécanique des circuits quantiques
Objectif: separer les degré de liberté du SET duCircuit externe
( ) ( ) ( ) ( ) 2211
222
22
22
11
2
coscos22
222
22 ϕϕψ
jj EELe
eqUnqCenq
CeH −−
+−−+−=h
Peut etre obtenu a partir du Lagrangien
Transformation canonique
( ) ( ) ( ) ( )sd pnnn ϕϕϕϕ ,,,,,, 2211 →2
, 2121
ϕϕϕ −=−= dnnn
212211 , ϕϕϕκκ +=+= snnp
2
2
1
1
Cn
Cn
Cp
S
+=
Préserver les relations de commutation !
extboxC HHH += −
( )( ) ( ) d
sjgboxC Enn
CCeH ϕϕ cos
2cos2
22 2
21
2
−−+
=−
Absent dans une analyse classique( )( ) ( )
LeeUpq
CeH
sext 22
222 22
22 ψ
+−−=h
Dynamique d’un circuit LC externe
Qubit: lecture par JQP
VBA Mesure
E
G
Manipulation cohérente (Nakamura)
InstabilitéJQP
U
manipulation
préparationlecture
0
préparation
( )102
1+==E
( )102
1−=G
( )EG +=2
10
manipulation( )CRT=τ
( )0→UOscilationde Rabi
E
G
( )U→0
Processus JQPbias( ) 22
221
22
−−
eUC
eCV
Ce GB 1 paire
( )B
GB eVeUC
eCV
Ce
−∆+
−−
22
12 1QP( )
BGB eVeUC
eCV
Ce 2
2222 22
−
+ 0 paire
I=2e/cycle
Circuit à deux îles
Vg1 Vg2
EJ , Ec
S1 S2
Vb
E'JE'J
Base d’états de chargepnnpnn ds ,,/,, 21
n1 n2
21 ggS VVV +=
12 ggD VVV −=paramètres
Diagramme de stabilité (Vb=0)
bbDg
dbSg
s keVe
CVeVC
nC
ee
CVeVC
nC
eE −
−−+
−−=
2222
124
(nd,ns) min E
Cas supra: couplage Josephson le long des lignes jaunes (deg. électrostatique)
0 4e/3Cg
0|2,0⟩
|0,2⟩
|0,0⟩degeneracy
linesVS
VDT P
Base restreinte d’états0,2,2,0,0,0
e
g0,22,00,0 γβα ++=
Pompes à électrons: standard de courant
Pumping cycle
Diagramme de stabilité: valeurs n1,n2 qui minimisent Eel en function de
C1V1 and C2V2
Zorin et al (1998)
tVPVtV Ω+= cos)()( 011
tVPVtV Ω+= sin)()( 022
p 1+p)'0,0()1,0(
)0,1(
Pothier et al. (1992)
)0,0(
)0,1()0,0(
)'0,0()1,0(
)0,0()1,0(
)'0,0(
Cycle en 3 temps
A
B
C
efI =
( ) 11.0 −< TTCRf
Cotunneling
Etat final:un trou à gauche et un électron à
droite+une paire électron trou dans l'île
Deux états intermédiaires possibles
e
e e
e
t t
qε
'qεkε 'kε2
V
2V
−
( ) kq E εε −→+ 10 ( ) '' 10 qk E εε −→+
kε
'kε
kε
'kε
Théorie des perturbations au second ordre
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22
2
22 210
110
1232 kTeV
EERR
VVIG
t
K ππ
+
−→
+→
==
( )
2
2234
=
ct
K
res
co
EeV
RR
GG
π
basse T
( ) 3VVI ∝
valeurs typiquesRt=400 kΩRK=26 kΩ
4102 −⋅=resco
seqII
petit sauf si Iseq bloqué
Pompes à électrons: standard de capacitance
U1 U2 U3 U4 U5 U6V CSS
Pout C
QU =
J. Martinis et al (1999)
Multiple junction:suppress cotunneling
qε
'qεkε 'kε2
V
2V
−
Cotunneling: conserves energyhigher order in tunneling
710−≈∆CCNIST 1999
triangle métrologique:
Josephsoneffect
Electronpump
QuantumHall effectV I
sec-1f
ehV2
=efI =
he
sppGH
2
12 ±=
+= teVvVV
h2sin0CII >
Josephson junction:2 superconductors
separated by oxyde layer
6.4830
=Φ
=VfJ GHz/mV
1610−<∆
J
J
ff
Most accurate standard
few pA
remplacer le kg
accuracy: 710−
need more current!
accuracy:1010−=
∆
H
H
GG
Double-île comme qubitn1 n2 ( )xJzel EEH σσ +−=
21
+= bd
gel VV
CC
eE32
el
J
EE
2tan =α
2,02
cos0,22
sin
2,02
sin0,22
cos
αα
αα
+−=
+=
e
g
États propres
+= bs
gs VV
CC
eE34
JE sE
eVB
Spectroscopie tunnel
VBAA
Mesure
IIe
g0
20
40
60
80
100
0 20 40 60 80 100
V D (m
V)
VS (mV)
0
10
20
30
40
50
0 20 40 60 80 100
V B= -75µV
V D (mV)
V S (m V )
Grenoble: Lafarge, LevyO. Buisson, F. Hekking
Transformations adiabatiques
11.5
2
-0.5-0.25 0 0.25 0.5
0.25
0.5
0.75
1
1.25
11.5
2
-0.5-0.25 0 0.25 0.5
T point P point
0 4e/3Cg
0
VS
VD
P|2,0⟩|0,0⟩
|0,2⟩
|0,0⟩|2,0⟩
|0,2⟩
|e⟩ cycle -I≤4ef
0 4e/3C
0
P
|2,0⟩
|0,2⟩
|0,0⟩
I≤2ef
VS
VD
|0,0⟩
|2,0⟩
|0,2⟩
Geometric description
α
β
γ0,02,00,2 γβα ++=sevolution of state
motion of point (|αs|, |βs|, |γs|) in the abstract space of charge states
( ) ( )rr ses Csi ),(γ⇒
∫ ∇=C
dssiCs rrr r )()(),(γ
),(4 CsΩ=
geometrical interpretationof Berry's phase in space ofcharge state.
|0,0⟩
|0,2⟩
|2,0⟩→ |0,2⟩
Observable: geometrical current
chargetransferred
phaseacross
( )CQ γϕ∂∂=
eiQ 2],[ =ϕ
Effect of tunneling
2π
rotations
elementary charged transferred throughcentral junction during evolution dr:
infinitesimal z rotation
( ) φβααββα ddd 22 +=−
( )∫ −= αββαπ
ddeQ 8Q(C)
γ(C)
|2,0⟩
SQUID
ΦDC
δΦ(t)I(t)
Ce Re
Le
IDC Vm
Quantum circuit Read-out
SQUID: manipulation and quantum measurements
Environment circuitControl line
15µm
sample:- MQT at zero-flux- no MQT at other flux
(Presence of flux noise…)
φ(t)
ϕ
-9
-6
-3
0
3
6
9
-500 -250 0 250 500
I p
V (µV)
Escape measurements
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
Esca
pe p
roba
bilit
y
Ib (µA)
41 mK150 mK227 mK392 mK
∆t=50µs
ϕ
U(ϕ)
MQT
TA
Currentbiased
0
Ib
Read out<V>
t
t
échappement
( )ϕαω
ϕσωϕωˆ)(
ˆˆˆˆ 322
t
qH
RFp
ppe
h
hh
+
⋅−+⋅=
Manipulation-1 shot readout
Ib(t)
Φdc
Φ
Ic
Φ (t)V (t)
out
|0> |1> |2>
working point measuring
point
Ib
t
...
Initial state
final state
Readout via escape
Multi-level spectroscopy
Ip =4.9 µAφDC/φ0=0.095
measurement
RF1f=f01
RF2f=variable
Vm
RF2
0⟩
1⟩
2⟩
excitation 1⟩ - 2⟩
RF1
Vm=835mV
Vm=1.09V
Resonant transition 1⟩ - 2⟩
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
9,6 9,8 10 10,2 10,4 10,6
Pec
h
fRF
(GHz)
RF2Vm = 1.09 V
RF1 + RF2V
m= 835 mV
RF2, Vm
= 835 mV
f12f01
f12 appears only when f01 is applied
Oscillations cohérentes
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 5 10 15 20 25 30 35
Pec
h
ARF
= 0.126 U.A.
TR= 9.5 ns
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30 35
Pec
h
TRF
(ns)
ARF
= 0.501 U.A.
TR= 3.2 ns• fort contraste: 80% !!
• Attenuation time = 13 ns
• fRF matches f01• ARF fixed• TRF variable, from 1 to 35 ns
Tmes
TRF
RF
Mesure(Claudon et al PRL 2004)
manipulation cohérente d’un qubit: le quantronium
D. Vion et al. (2003)( ) ϕθ cos
2cos2
Jc EqqEH −−=
( )Ce
22 2
eUCg
2
[ ] iq =,ϕdegree of freedom
qwrite knob:
read knob: θ
0=∂∂
=∂∂
ϕH
qH
Minimal sensitivityto fluctuation
q
Circuit implementation
EG2
sin2
cos ααψ +=
τα 2RFU∝
Oscillations de RabiManipulation par hyper-fréquenceχχ S
r
th
∆=ϕ
αImage de spin, sphère de Bloch
Décoherence: point d’opération !
At degeneracy: nsT 500=ϕ
2% off: sec30nT =ϕ
0=∂∂
qH Insensible au bruit de charge (q)
50.0=q
52.0=q
( )50.0=q
Opérations à deux qubits
- opération sur 2 qubits: C-not
0 0
iχ iχ
1 1
001
1
Implémentation: deux qubits de charge couplé électrostatiquement(Cm) (Nakamura NEC)
C-box #1C-box #2
Point d’opération et manipulation
Lecture par JQPCouplage capacitif
Stockage dans un champ électromagnétique
( )
( )aagH
aaH
EEH
coup
relec
zJxelboxC
+−
−
+−=
=
+−=
σσ
ω
σσ
*
*21
h
h
Boîte couplée a un mode du resonateur
Jain-Cummings
Σ
=CC
eVg grmsh
Box splitting
22Jel EE +=∆
Limite couplage fort rg ωδ h−∆=>>
'
2*
'
2
21
zzreffgaagH σδ
σδ
ω
+∆+
+=
hh
Lamb shiftac-stark shift
trans
mis
sion
δω
2gr −
0
1
2 δω
2gr −
0
1
∆
↓
↑
0
1
2
0
1
rωh=∆
↓ ↑
g2
g22
Etats qubit-habillés
•qubit: préparation, manipulation, opérations a 2 qubits
•décoherence: fluctuations de charge et électromagnetiques
• intégration: projet euroSQIP: mini-(10 qubit) ordinateur quantique.
Perspectives
• mono-électronique: applications métrologiques: I, T, C• nanoelectronique: MOSFETS : limite balistique dans les canauxcours et effets de charge. Modelisation physique des dispositifs
• conductance des molécules organiques et nanotubes:difficultés: contacts, process, integration, scalability....